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解三角形应用举例

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解三角形应用举例

解三角形应用举例

1.2│ 新课感知 新课感知
在日常生活和工农业生产中，为了达到某种目的，常常 想测得一个点与另一个不可到达的点间的距离或在远处的 两个物体之间的距离，这样的想法能实现吗？如何实现呢？
测量距离的问题
例1、设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。 测量者在A的同测，在所在的河岸边选定一点C，测出 75 ， C 60 AC的距离是55cm， A＝ ＝ ，求A、B 6 2.449 ). 两点间的距离(精确到0.1m ，
10 A
50 40
B

BC 28
∴我舰的追击速度为14n mile/h
又在△ABC中由正弦定理得：
AC BC sin B sin A
即 B=38.2° 故我舰行的方向为北偏东
AC sin A 5 3 故 sin B BC 14
50°- 38.2°=11.8°
课堂小结 1、本节课通过举例说明了解斜三角形在实际中的一些应用。 掌握利用正弦定理及余弦定理解任意三角形的方法。 2、在分析问题解决问题的过程中关键要分析题意，分清已知 与所求，根据题意画出示意图，并正确运用正弦定理和余 弦定理解题。 3、在解实际问题的过程中，贯穿了数学建模的思想，其流程 图可表示为： 实际问题
15 45
解：在⊿ABC中， ∠A=15°, ∠C=45°-15°=30°. 根据正弦定理，
15 45
BC AB sin A sin C
AB sin A 5sin15 5( 6 2) BC 2.5875(km). sቤተ መጻሕፍቲ ባይዱn C sin 30 2
CD=BC×tan∠DBC=BC×tan15°≈693(m) 答：山的高度约为693米。
28 cos30 sin 60 sin(60 30 ) 42( m)

高中数学教案】人教A版必修5第一章1.2《解三角形应用举例》教案

高中数学教案】人教A版必修5第一章1.2《解三角形应用举例》教案

《解三角形应用举例》教案一、教学目标1.知识与技能能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题.2.过程与方法（1）通过解决“底部不可到达的物体高度测量”的问题，初步掌握将实际问题转化为解斜三角形的问题的方法.（2）进一步提高利用正弦定理、余弦定理解斜三角形的能力，提高运用数学知识解决实际问题的能力.3.情感、态度与价值观进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力二、教学重点和难点教学重点：结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题.教学难点：能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件.教学关键：将实际问题中的高度问题转化为数学问题.教学突破方法：通过分析实践、自主探究、合作交流等一系列的寻求问题解决方法的活动，讨论解决方法，步步改进方法，探求最佳方法.三、教法与学法导航教学方法：本节课是解三角形应用举例的延伸.采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架.通过3道例题的安排和练习的训练来巩固深化解三角形实际问题的一般方法.教学形式要坚持“引导——讨论——归纳”，目的不在于让学生记住结论，更多的要养成良好的研究、探索习惯.作业设计思考题，提供学生更广阔的思考空间.学习方法：学生通过数学建模，自主探究、合作交流，在实践中体验过程，在过程中感受应用，在交流中升华.四、教学过程1.创设情境，导入新课提问：现实生活中，人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？今天我们就来共同探讨这方面的问题.2.主题探究，合作交流例1 如图1，AB 是底部B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB 的方法.图1分析：求AB 长的关键是先求AE ，在△ACE 中，如能求出点C 到建筑物顶部A 的距离CA ，再测出由点C 观察A 的仰角，就可以计算出AE 的长.解：选择一条水平基线HG ，使H 、G 、B 三点在同一条直线上.在H 、G 两点用测角仪器测得A 的仰角分别是α、β，CD =a ，测角仪器的高是h ，那么，在△ACD 中，根据正弦定理可得： )sin(sin βαβ-=a AC ， h a h AC h AE AB +-=+=+=)sin(sin sin sin βαβαα. 例 2 如图2，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角0454'︒=α，在塔底C 处测得A 处的俯角150'︒=β.已知铁塔BC 部分的高为27.3 m ，求出山高CD （精确到1m ）.图2教师：根据已知条件，大家能设计出解题方案吗（给时间给学生讨论思考）？若在△ABD 中求CD ，则关键需要求出哪条边呢？学生：需求出BD 边.教师：那如何求BD 边呢？学生：可首先求出AB 边，再根据∠BAD=α求得.解:在△ABC 中，∠BCA =90°+β，∠ABC =90°-α，∠BAC =αβ-，∠BAD =α.根据正弦定理， )sin(βα-BC =)90sin(β+︒AB.所以 AB =)sin()90sin(βαβ-+︒BC =)sin(cos βαβ-BC .在Rt △ABD 中，得：BD =AB sin ∠BAD =)sin(sin cos βααβ-BC .将测量数据代入上式，得：BD =)1500454sin(0454sin 150cos 3.27'-'''︒︒︒︒ =934sin 0454sin 150cos 3.27'''︒︒︒≈177.4（m ）.CD =BD -BC ≈177-27.3=150（m ）.学生：山的高度约为150 m.教师：有没有别的解法呢？学生：若在.△ACD 中求CD ，可先求出AC .教师：分析得很好，请大家接着思考如何求出AC ？学生：同理，在△ABC 中，根据正弦定理求得.（解题过程略）例3 如图3，一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A 处时测得公路南侧远处一山顶D 在东偏南15°的方向上，行驶5km 后到达B 处，测得此山顶在东偏南25°的方向上，仰角为8°，求此山的高度CD （精确到1m ）.图3教师：欲求出CD ，大家思考在哪个三角形中研究比较适合呢？学生：在△BCD 中教师：在△BCD 中，已知BD 或BC 都可求出CD ，根据条件，易计算出哪条边的长？ 学生：BC 边解:在△ABC 中， ∠A =15°，∠C = 25°-15°=10°，根据正弦定理，A BC sin =CAB sin ， BC =C A AB sin sin =︒︒10sin 15sin 5≈7.452 4（km ）. tan tan81047(m)CD BC DBC BC =⨯∠≈⨯︒≈答：山的高度约为1047m.教材第15页练习第1、2、3题.3.小结利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化.4.课外作业（1）教材第19、20页习题1.2 A 组第6，7，8题（2）为测某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距20m 的楼的楼顶处测得塔顶A 的仰角为30︒，测得塔基B 的俯角为45°，则塔AB 的高度为多少m ？答案：20+3320m。

解三角形的实际应用举例

解三角形的实际应用举例

AB sin CAB 15 sin15 BC sin120 sin ACB
6 2 sin15 4
5 6 BC ( 3 1) 4.48(海里) 2
(1)解决实际应用问题的关键思想方法是把实际问题转化为 数学问题，即数学建模思想。 (2)解决实际应用问题的步骤
(1)设A到P的距离为xkm,用x表示B,C到P的距离,并求x的值;
(2)求静止目标P到海防警戒线a的距离(结果精确到0.01km).
a
P B C
D A
分析
(1)PA,PB,PC长度之间的关系可以通过收到信号的先后时
间建立起来. (2)作PD⊥a,垂足为D,要求PD的长,只需要求出PA的长和cos∠APD, 即cos∠PAB的值.由题意,PA-PB,PC-PB都是定值,因此,只需分别在 △PAB和△PAC中,求出cos∠PAB, cos∠PAC的表达式,建立方程即 可.
=3.571 ∴BC≈1.89(m)． 答：顶杆BC约长1.89m．
例2.如图，两点C，D与烟囱底部在同一水平直线上,在点C1，D1利
用高1.5m的测角仪器, 测得烟囱的仰角分别是 ＝450和 ＝600, ＣＤ间的距离是12m.求烟囱的高AB (结果精确到0.01m). B
C1 C

D1 D

(18 2 6)(m)
从而 A1 B 因此
2 BC1 18 3 19.732(m) 2 AB A1B AA1 19.732 1.5 21.23(m)
例3：如图是曲柄连杆机构的示意图,当曲柄CB绕点C旋转时,通
过连杆AB的传递,活塞作直线往复运动.当曲柄在CB0位置时,曲 柄和连杆成一条直线,连杆的端点A在A处.设连杆AB长为l mm,曲 柄CB长为r mm,l>r. (1)当曲柄自CB0按顺时针方向旋转角为θ时,其中0O≤θ<360O, 求活塞移动的距离(即连杆的端点A移动的距离A0A); (2)当l =340mm, r =85mm,θ=80O时,求A0A的长(结果精确到1mm).

解三角形应用举例

解三角形应用举例

解三角形应用举例一、测量距离问题例1(1)如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出A，B 的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，若测得CD＝32km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，则A，B两点间的距离为km.答案6 4解析∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，∴∠DAC＝60°，∴AC＝DC＝32km.在△BCD中，∠DBC＝180°－∠CDB－∠ACD－∠ACB＝45°，由正弦定理，得BC＝DCsin∠DBC·sin∠BDC＝32sin 45°·sin 30°＝64(km).在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos 45°＝34＋38－2×32×64×22＝38.∴AB＝64km.∴A，B两点间的距离为64km.(2)如图，为了测量两座山峰上P，Q两点之间的距离，选择山坡上一段长度为300 3 m且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得∠PAB＝90°，∠PAQ＝∠PBA＝∠PBQ＝60°，则P，Q两点间的距离为m.答案900解析由已知，得∠QAB＝∠PAB－∠PAQ＝30°.又∠PBA＝∠PBQ＝60°，∴∠AQB＝30°，∴AB＝BQ.又PB为公共边，∴△PAB≌△PQB，∴PQ ＝PA.在Rt△PAB中，AP＝AB·tan 60°＝900(m)，故PQ＝900 m，∴P，Q两点间的距离为900 m.二、测量高度问题例2如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B 两点间的距离为60 m，则树的高度为m.答案30＋30 3解析在△PAB中，∠PAB＝30°，∠APB ＝15°，AB＝60 m，sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝22×32－22×12＝6－2 4，由正弦定理得PB sin 30°＝AB sin 15°， 所以PB ＝12×606－24＝30(6＋2)， 所以树的高度为PB ·sin 45°＝30(6＋2)×22＝(30＋303)(m ). 三、测量角度问题例3 已知岛A 南偏西38°方向，距岛A 3海里的B 处有一艘缉私艇.岛A 处的一艘走私船正以10海里/小时的速度向岛北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？⎝⎛⎭⎫参考数据：sin 38°≈5314，sin 22°≈3314 解 如图，设缉私艇在C 处截住走私船，D 为岛A 正南方向上一点，缉私艇的速度为x 海里/小时，结合题意知BC ＝0.5x ，AC ＝5，∠BAC ＝180°－38°－22°＝120°.由余弦定理可得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·ACcos 120°，所以BC 2＝49，所以BC ＝0.5x ＝7， 解得x ＝14.又由正弦定理得sin ∠ABC ＝AC ·sin ∠BAC BC＝5×327＝5314， 所以∠ABC ＝38°，又∠BAD ＝38°，所以BC ∥AD ，故缉私艇以14海里/小时的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船. 素养提升 数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程，主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或数学术语予以表征.从实际问题中抽象出距离、高度、角度等数学问题，然后利用正弦定理、余弦定理求解，很好地体现了数学抽象的数学素养.。

解三角形的实际应用举例

解三角形的实际应用举例

第二章 解三角形
(2)由正弦定理得 AC＝sin[180°20－sin（（3405°°＋＋4650°°＋）60°）] ＝20ssiinn4150°5°＝20sisnin4575°° ＝10(1＋ 3)(米)， BC＝sin[180°－（206s0i°n 4＋5°30°＋45°）] ＝20sisnin4455°°＝20(米)．
栏目 导引
第二章 解三角形
测量高度问题 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向 正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在 西偏北 30°的方向上，行驶 600 m 后到达 B 处， 测得此山顶在西偏北 75°的方向上，仰角为 30°，则此山的 高度 CD＝________m.
栏目 导引
第二章 解三角形
栏目 导引
第二章 解三角形
若 P 在 Q 的北偏东 44°，则 Q 在 P 的( )
A．东偏北 46°
B．东偏北 44°
C．南偏西 44°
D．西偏南 44°
解析：选 C.如图，因为 P 在 Q 的北偏东 44°，则 Q 在 P 的南 偏西 44°.
栏目 导引
第二章 解三角形
A，B 两点间有一小山，选定能直接到达点 A，B 的点 C， 测得 AC＝60 m，BC＝160 m，∠ACB＝60°，则 A，B 两点间 的距离为________m. 解析：在△ABC 中，由余弦定理得 AB2＝AC2＋BC2－2·AC·BC·cos 60° ＝602＋1602－2×60×160cos 60°＝196 00， 所以 AB＝140 m，即 A、B 两点间的距离为 140 m. 答案：140
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第二章 解三角形
1.(1)在 200 m 高的山顶上，测得山下一塔顶

解三角形(4)---解三角形应用举例

解三角形(4)---解三角形应用举例

解三角形(4)---解三角形应用举例例1、如图，设A 、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离是55m ，∠BAC=︒51，∠ACB=︒75．求A 、B 两点的距离（精确到0.1m ）启发提问1：∆ABC 中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？启发提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条件告诉了边AB 的对角，AC 为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC 的对角，应用正弦定理算出AB 边。

解：根据正弦定理，得ACB AB ∠sin = ABCAC ∠sin AB =ABC ACB AC ∠∠sin sin =ABC ACB ∠∠sin sin 55 = )7551180sin(75sin 55︒-︒-︒︒ =︒︒54sin 75sin 55 ≈ 65.7(m) 答：A 、B 两点间的距离为65.7米变式练习：两灯塔A 、B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东30︒，灯塔B 在观察站C 南偏东60︒，则A 、B 之间的距离为多少？（画图建立数学模型。

答案：2a km ）例2、如图，A 、B 两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A 、B 两点间距离的方法。

分析：这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题．首先需要构造三角形，所以需要确定C 、D 两点．根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出AC 和BC ，再利用余弦定理可以计算出AB 的距离．解：测量者可以在河岸边选定两点C 、D ，测得CD=a ，并且在C 、D 两点分别测得∠BCA=α，∠ACD=β，∠CDB=γ，∠BDA =δ，在∆ADC 和∆BDC 中，应用正弦定理得：AC = )](180sin[)sin(δγβδγ++-︒+a = )sin()sin(δγβδγ+++a BC = )](180sin[sin γβαγ++-︒a = )sin(sin γβαγ++a 计算出AC 和BC 后，再在∆ABC 中，应用余弦定理计算出AB 两点间的距离AB =αcos 222BC AC BC AC ⨯-+ 分组讨论：还没有其它的方法呢？变式训练：若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得∠BCA=60︒，∠ACD=30︒，∠CDB=45︒，∠BDA =60︒（画图建立数学模型。

《解直角三角形应用举例》

《解直角三角形应用举例》
分析：从飞船上能最远直接
看到的地球上的点，应是视 线与地球相切时的切点．
如图，⊙O表示地球，点F是飞船 的位置，FQ是⊙O的切线，切点Q是 从飞船观测地球时的最远 PQ 点． PQ 的长就是地面上P、Q PQ 两点间的距离，为计算 的长需 先求出∠POQ（即a）
解：在图中，FQ是⊙O的切线，△FOQ是直角三角形．
A
B
D
C
2、在山脚C处测得山顶A的仰角为45°。问题 如下：沿着水平地面向前300米到达D点，在D 点测得山顶A的仰角为600 , 求山高AB。
A
C
D
B
3.如图1，已知楼房AB高为50m，铁塔塔基距楼房地 基间的水平距离BD为100m，塔高CD为 m C ） ，则下面结论中正确的是（ 100 3 ( 50) A．由楼顶望塔顶仰角为60° 3 B．由楼顶望塔基俯角为60° C．由楼顶望塔顶仰角为30° D．由楼顶望塔基俯角为30°
Ａ
a
b
Ｃ
温故而知新
如图，Rt△ABC中，∠C=90°，
（1）若∠A=30°，BC=3，则AC= 3 3 （2）若∠B=45°，AC=3，则AB=
3
（3）若∠A=α°，AC=3，则BC= 3 tan
m （4）若∠A=α°，BC=m，则AC= tan
A
B
A
C B
┌ C
ห้องสมุดไป่ตู้
1. 如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，
=300 1.20 22
在进行观察或测量时，
仰角和俯角
从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角. 铅 垂 线
视线
仰角 水平线
俯角 视线

解三角形应用举例(二)

解三角形应用举例(二)

B
80
A0
A
B0
C
已知△ABC中， BC＝85mm，AB＝340mm，∠C＝80°，
求AC． 解：（如图）在△ABC中， 由正弦定理可得： BC sin C 85 sin 80 sin A 0.2462 AB 340 因为BC＜AB，所以A为税角 ， A＝14°15′ ∴ B＝180°－（A＋C）＝85°45′ 又由正弦定理： AB sin B 340 sin 85 45 AC 344.3( mm) sin C 0.9848

A0 A A0C AC ( AB BC ) AC ( 340 85) 344.3 80.7 81( mm )
答：活塞移动的距离为81mm．
解三角形应用举例
总结 实际问题 抽象概括 示意图 数学模型 推 演 理 算 实际问题的解 还原说明 数学模型的解

B

A
C
CD=BD-BC=42-28=14(m) 答：山的高度约为14米。
D
测量术语： 1 仰角，俯角 2 方向角：北偏西，南偏东 3 方位角：从正北方向顺时针旋转 到目标方向线的水平角
例 2 如图, 某渔轮在航行中不幸遇 险, 发出呼救信号. 我海军舰艇在 A处获悉后, 测出该渔轮在方位角为45 0 , 距离为10n mile的C处, 并测得渔轮正沿方位角 为105 0 的方向,以9 n mile / h的速度向小岛靠拢 .我海军舰艇立 即以21 n mile / h的速度前去营救 .求舰艇的航向和靠近 渔轮所需的时间 (角度精确到 0.10 , 时间精确到1 min).
答 舰艇应沿着方位角66.8 0 的方向航行, 经过40 min 就可靠近渔轮.

解三角形的实际应用举例ppt

解三角形的实际应用举例ppt
A
(1) 已知三边 , 求三个角;
A
B
C
BCຫໍສະໝຸດ (2) 已知两边和它们的夹角,
(2) 已知两边和一边对角, 求其它元素。
A C
求其它元素。
A C
B
B
补充：我军有A、B两个小岛相距10海里， 敌军在C岛，从A岛望C岛和B岛成60°的视 角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，为 提高炮弹命中率，须计算B岛和C岛间的距 离，请你算算看。
0
A
6 2 0
0
D B
0
1 . 95 m
1 . 95
1 . 40
2
2 1 . 95 1 . 40 cos 66 2 0
=3.571 ∴BC≈1.89(m)． 答：顶杆BC约长1.89m．
练1.如图,一艘船以32海里/时的 速度向正北航行,在A处看灯塔S 在船的北偏东200, 30分钟后航行 到B处,在B处看灯塔S在船的北 偏东650方向上,求灯塔S和B处的 距离.（保留到0.1） 解：AB=16，由正弦定理知：
数学结论 解三角形问题
谢谢
再见！
解三角形问题是三角学的基本问题之一。什 我国古代很早就有测量方面的知识，公元 解三角形的方法在度量工件、测量距离和高 么是三角学？三角学来自希腊文“三角形”和 一世纪的《周髀算经》里，已有关于平面测量 度及工程建筑等生产实际中，有广泛的应用， “测量”。最初的理解是解三角形的计算，后 的记载，公元三世纪， 我国数学家刘徽在计 在物理学中，有关向量的计算也要用到解三角 来，三角学才被看作包括三角函数和解三角形 算圆内接正六边形、正十二边形的边长时，就 形的方法。 两部分内容的一门数学分学科。 已经取得了某些特殊角的正弦……

解三角形应用举例

解三角形应用举例

B C
α β
A
D
BC AB = sin(α β ) sin(90 + β )
BC sin(90 + β ) BC cos β = 所以，AB = sin(α β ) sin(α β )
解RtABD, 得 BC cos β sin α BD = AB sin ∠BAD = sin(α β ) 28 cos 30 sin 60 = sin(60 30 ) = 42(m)
视 线
N 仰角 俯角
水平线
方位角 60度
目标方向线
视 线
二、例 题 讲 解
例2、如图，要测底部不能到达的烟囱的高 ，从与烟囱底部在 、如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB， 间的距离是12m.已知测角仪器高 已知测角仪器高1.5m,求烟囱的高。 求烟囱的高。 ， 间的距离是 求烟囱的高 β = 60° CD间的距离是 已知测角仪器高 想一想 图中给出了怎样的一个 几何图形？已知什么， 几何图形？已知什么， 求什么？ 求什么？
a sin β AC = sin(α β ) a sin α sin β AB = AE + h = AC sin α + h = +h sin(α β )
ห้องสมุดไป่ตู้
练习: 在山顶铁塔上B处测得地面 练习 在山顶铁塔上 处测得地面 上一点A的俯角 的俯角α＝ ° 上一点 的俯角 ＝ 60° ，在塔底 C处测得 处的俯角 ＝30°。已 处测得A处的俯角 处测得 处的俯角β＝ ° 知铁塔BC部分的高为 部分的高为28m，求出 知铁塔 部分的高为 ， 山高CD. 山高 分析：根据已知条件， 分析：根据已知条件，应该设 法计算出AB或 的长 法计算出 或AC的长 解：在⊿ABC中， 中 ∠BCA=90°+β, ° ∠ABC=90°-α, ∠BAC=α° β, ∠BAD=α.根据正弦定理， 根据正弦定理， 根据正弦定理

解三角形应用举例

解三角形应用举例

3 .
14
在Rt HAO中，AH＝350米，cos HAO＝11， 14
所以OA＝ AH ＝4900 445(米)． cos HAO 11
答：扇形的半径OA的长约为445米．
测量角度问题
【例5】 缉私艇发现在北偏东45°方向，距离12 n mile的海面上有一走私船正以10 n mile/h的 速度沿东偏南15°方向逃窜．缉私艇的速度 为14 n mile/h.若要在最短的时间内追上该走 私船，缉私艇应沿北偏东45°＋α的方向去 追．求追及所需的时间和角α的正弦值．
方法2：连结AC， 作OH AC，交AC于H. 由题意，得 CD＝500米，AD＝300米，CDA＝120. 在 ACD中， AC 2＝CD 2＋AD 2－2?CD·AD·cos120 ＝5002＋3002＋2 500 300 1＝7002，
2 所以AC＝700(米)．
则cos CAD＝ AC2 AD2 CD2 ＝11. 2 AC AD 14
44
得A＋ ，故A＝ .
42
4
2由S＝1 AC·ABsinA＝3 2 AB＝3，得AB＝2 2.
2
4
由此及余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC ABcosA
＝9＋8－2 3 2 2 2 ＝5，故BC＝ 5. 2
测量距离问题
【例1】 如图，某住宅小区的平面图呈 扇形AOC.小区的两个出入口设 置在点A及点C处，小区里有两 条笔直的小路AD，DC，且拐弯处的转角为120°. 已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走 到A用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米， 求该扇形的半径OA的长(精确到1米)．
【解析】方法1：设该扇形的半径为r米． 由题意，得 CD＝500米，DA＝300米，CDO＝60. 在 CDO中， CD2＋OD2－2 CD OD cos60＝OC2，

解三角形应用举例

解三角形应用举例

B
例4:如图,在山顶铁塔上B处测得地面上一 点A的俯角,在塔底C处测得A处的俯角.已 知铁塔BC部分的高为27.3米,求出山高 CD.
例5:一辆汽车在一条水平的公路上向正 东行驶,到A处时测得公路南侧远处一山 顶D在东偏南15°的方向上,行驶5KM后 到达B处,测得此山顶在东偏南25°的方 向上,仰角为8° ,求此山的高度CD.

(1)已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5° (2)已知B=62.7°Ｃ＝６５.8° ,b=3.16cm; (3)已知三边的长分别为 a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm.
例8:在某市进行城市环境建设中，要把 一个三角形的区域改造城市内公园，经 过测量得到这个三角形区域的三条边长 分别为68m,88m,127m,这个区域的面 积是多少？ （精确到0.1cm2）
例1 设A,B两点在河的两岸,要测量两点之间的 距离,测量者在A的 同侧,在所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离是55cm,
BAC 51, ACB 75
求A,B两点间的距离
B
A
C
例 2 如图A,B两点都在河的对岸(不可到达),设 计一种测量A,B两点距离的方法
A B
例3 : AB是底部B不可到达的一个建筑物,A 为建筑物的最高点,设计一种测量建筑物高 度AB的方法. A
例6:如图一艘海轮从A出发,沿北偏东75°的方 向航行67.5海里后到达海岛B,然后从B出发,沿 北偏东32°的方向航向54海里后到达海岛C. 如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿 怎样的方向航行,需要航行多少距离?，根据下列条件，求三角 形的面积S（精确到0.1cm2）

解三角形实际应用举例

解三角形实际应用举例
的应用
我国古代很早就有测量方面的知识， 我国古代很早就有测量方面的知识，公元 解三角形问题是三角学的基本问题之一。 解三角形问题是三角学的基本问题之一。 解三角形的方法在度量工件、 解三角形的方法在度量工件、测量距离和 一世纪的《周髀算经》 一世纪的《周髀算经》里，已有关于平面测量 什么是三角学？三角学来自希腊文“三角形” 什么是三角学？三角学来自希腊文“三角形” 高度及工程建筑等生产实际中，有广泛的应用， 高度及工程建筑等生产实际中，有广泛的应用， 的记载，公元三世纪， 的记载，公元三世纪， 我国数学家刘徽在计 测量” 最初的理解是解三角形的计算， 和“测量”。最初的理解是解三角形的计算， 在物理学中， 在物理学中，有关向量的计算也要用到解三角 算圆内接正六边形、正十二边形的边长时， 算圆内接正六边形、正十二边形的边长时，就 后来， 后来，三角学才被看作包括三角函数和解三角 形的方法。 形的方法。 已经取得了某些特殊角的正弦…… 形两部分内容的一门数学分学科。 形两部分内容的一门数学分学科。
B间的距离？ 间的距离？
α βa
C B
简解： 简解：由正弦定理可 得 AB/sinα=BC/sinA =a/sin(α+β) A
α
β
a C
B
两点在河的两岸， 例1、设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。 、 、 两点在河的两岸 要测量两点之间的距离。 测量者在A的同测，在所在的河岸边选定一点 ， 测量者在 的同测，在所在的河岸边选定一点C， 的同测 测出AC的距离是 的距离是55cm，∠BAC＝51o， ∠ACB 测出 的距离是 ， ＝ 两点间的距离（ ＝75o，求A、B两点间的距离（精确到 、 两点间的距离 精确到0.1m） ）
练习1：海中有岛 ，已知A岛周围 岛周围8海里内有 练习 ：海中有岛A，已知 岛周围 海里内有 暗礁，今有一货轮由西向东航行，望见A岛 暗礁，今有一货轮由西向东航行，望见 岛 在北75° 航行20 2海里后，见此岛在北 海里后， 在北 °东，航行 30°东，如货轮不改变航向继续前进，问有 如货轮不改变航向继续前进， ° 无触礁危险。 无触礁危险。 A

解三角形的应用举例

解三角形的应用举例

解三角形的应用举例主讲：黄冈中学高级教师汤彩仙一、知识概述1、基线：在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做基线．2、仰角和俯角：在视线和水平线所成角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角，如图．3、坡度：坡向与水平向的夹角，如图．4、方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线所成的角，如图中B点的方位角为α．5、方向角：从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角，如南偏西60°，指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°．如图中∠ABC为北偏东60°或为东偏北30°．二、例题讲解例1、某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼叫信号，我海军军舰在A处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45°距离为10海里的C处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9海里/小时的速度向小岛靠拢，我海军军舰立即以21海里/小时的速度前去营救，求军舰的航向和靠近渔轮所需的时间．解：如图，设所需的时间为t小时，则，∠ACB=45°＋75°=120°.在中，根据余弦定理，则有：，可得，.解得或（舍）．又所以军舰应以方位角为航行，且靠近渔轮需要小时.例2、在某定点A测得一船初始位置B在A的北偏西度，10分钟后船在A的正北，又过了10分钟后船到达A的北偏东度，若船的航向与速度都不变，航向为北偏东度，求的正切值．解：如图，在中，由正弦定理得，又，故，即①在中，由正弦定理得，即②由题意，有，由①②得.整理得．.即，∴．例3、如果，某观测站C在城A的南偏西20°的方向上，由A城出发有一公路，走向是南偏东40°，在C 处测得距C为31公里的公路上B处，有一人正沿公路向A城走去，走了20公里后，到达D处，此时C、D间距离为21公里，问此人还需走多少公里到达A城.解：法一：设AD=x，AC=y，则解得x=15（负值舍掉）.法二：.法三：作CE⊥AD于E，则，.根据余弦定理，.则.。

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第7节 解三角形应用举例最新考纲 能够运用正弦定理、余弦定理等知识方法解决一些与测量、几何计算有关的实际问题.知 识 梳 理1.仰角和俯角 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).2.方向角相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等．3.方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如图2)．4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.[常用结论与微点提醒]1.不要搞错各种角的含义，不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混.2.在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易出现错误.诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)东北方向就是北偏东45°的方向.( )(2)从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( )(3)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.( ) (4)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系.()解析(2)α＝β；(3)俯角是视线与水平线所构成的角.答案(1)√(2)×(3)×(4)√2.若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A 在点B的()A.北偏东15°B.北偏西15°C.北偏东10°D.北偏西10°解析如图所示，∠ACB＝90°，又AC＝BC，∴∠CBA＝45°，而β＝30°，∴α＝90°－45°－30°＝15°.∴点A在点B的北偏西15°.答案 B3.(教材习题改编)如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为()A.50 2 mB.50 3 mC.25 2 mD.2522m解析由正弦定理得ABsin∠ACB＝ACsin B，又∵B＝30°，∴AB＝AC sin∠ACBsin B＝50×2212＝502(m).答案 A4.轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港C，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25 n mile/h，15 n mile/h，则下午2时两船之间的距离是______n mile.解析 设两船之间的距离为d ，则d 2＝502＋302－2×50×30×cos 120°＝4 900，∴d ＝70，即两船相距70 n mile.答案 705.(2014·全国Ⅰ卷)如图所示，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得∠MCA ＝60°.已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝________m. 解析 在Rt △ABC 中，∠CAB ＝45°，BC ＝100 m ，所以AC ＝100 2 m. 在△AMC 中，∠MAC ＝75°，∠MCA ＝60°，从而∠AMC ＝45°，由正弦定理得，AC sin 45°＝AM sin 60°，因此AM ＝100 3 m. 在Rt △MNA 中，AM ＝100 3 m ，∠MAN ＝60°， 由MN AM ＝sin 60°得MN ＝1003×32＝150 m.答案 150考点一 测量高度问题【例1】 如图所示，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m.解析 在△ABC 中，AB ＝600，∠BAC ＝30°，∠ACB ＝75°－30°＝45°，由正弦定理得BC sin ∠BAC ＝AB sin ∠ACB ，即BC sin 30°＝600sin 45°，所以BC ＝3002(m).在Rt △BCD 中，∠CBD ＝30°，CD ＝BC tan ∠CBD ＝3002·tan 30°＝1006(m).答案 100 6规律方法 1.在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键.2.在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错.3.注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题.【训练1】 如图所示，为了估测某塔的高度，在同一水平面的A ，B 两点处进行测量，在点A 处测得塔顶C 在西偏北20°的方向上，仰角为60°；在点B 处测得塔顶C 在东偏北40°的方向上，仰角为30°.若A ，B 两点相距130 m ，求塔的高度CD .解 设CD ＝h ，则AD ＝h 3，BD ＝3h ， 在△ADB 中，∠ADB ＝180°－20°－40°＝120°，∴由余弦定理AB 2＝BD 2＋AD 2－2BD ·AD ·cos 120°，可得1302＝3h 2＋h 23－2·3h ·h 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12， 解得h ＝1039，故塔的高度为1039(m).考点二 测量距离问题【例2】 如图，A ，B 两点在河的同侧，且A ，B 两点均不可到达，要测出AB 的距离，测量者可以在河岸边选定两点C ，D ，测得CD ＝a ，同时在C ，D 两点分别测得∠BCA ＝α，∠ACD ＝β，∠CDB ＝γ，∠BDA ＝δ.在△ADC 和△BDC 中，由正弦定理分别计算出AC 和BC ，再在△ABC 中，应用余弦定理计算出AB .若测得CD＝32km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A，B两点间的距离.解∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，∴∠DAC＝60°，∴AC＝DC＝32(km).在△BCD中，∠DBC＝45°，由正弦定理，得BC＝DCsin∠DBC·sin∠BDC＝32sin 45°·sin 30°＝64(km).在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos 45°＝34＋38－2×32×64×22＝38.∴AB＝64(km).∴A，B两点间的距离为64km.规律方法 1.选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解. 2.确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.【训练2】海轮“和谐号”从A处以每小时21海里的速度出发，海轮“奋斗号”在A处北偏东45°的方向，且与A相距10海里的C处，沿北偏东105°的方向以每小时9海里的速度行驶，则海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为________小时.解析设海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为x小时，如图，则由已知得△ABC中，AC＝10，AB＝21x，BC＝9x，∠ACB＝120°.由余弦定理得：(21x)2＝100＋(9x)2－2×10×9x×cos 120°，整理，得36x2－9x－10＝0，解得x＝23或x＝－512(舍).所以海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为23小时.答案2 3考点三测量角度问题【例3】如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cos θ的值为________.解析在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝2 800⇒BC＝207.由正弦定理，得ABsin∠ACB ＝BC sin∠BAC⇒sin∠ACB＝ABBC ·sin∠BAC＝217.由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，则cos∠ACB＝277.由θ＝∠ACB＋30°，得cos θ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACB cos 30°－sin∠ACB sin 30°＝2114.答案21 14规律方法解决测量角度问题的注意事项(1)首先应明确方位角或方向角的含义.(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步.(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的结合使用.【训练3】如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD等于()A.30°B.45°C.60°D.75°解析依题意可得AD＝2010m，AC＝305m，又CD＝50 m，所以在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD＝AC2＋AD2－CD22AC·AD＝（305）2＋（2010）2－502 2×305×2010＝ 6 000 6 0002＝22，又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.答案 B基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.在相距2 km的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离为()A. 6 kmB. 2 kmC. 3 kmD.2 km解析如图，在△ABC中，由已知可得∠ACB＝45°，∴ACsin 60°＝2sin 45°，∴AC＝22×32＝6(km).答案 A2.一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是( ) A.102海里 B.103海里 C.203海里 D.202海里解析 如图所示，易知，在 △ABC 中，AB ＝20，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°，根据正弦定理得BC sin 30°＝AB sin 45°， 解得BC ＝102(海里).答案 A3.(2018·许昌调研)如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与B 的距离为( )A.a kmB.3a kmC.2a kmD.2a km解析 由题图可知，∠ACB ＝120°，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos ∠ACB ＝a 2＋a 2－2·a ·a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3a 2，解得AB ＝3a (km).答案 B4.如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m ，则河流的宽度BC 等于( )A.240(3－1)mB.180(2－1)mC.120(3－1)mD.30(3＋1)m解析 如图，∠ACD ＝30°，∠ABD ＝75°，AD ＝60 m ，在Rt △ACD 中，CD ＝AD tan ∠ACD ＝60tan 30°＝603(m)， 在Rt △ABD 中，BD ＝AD tan ∠ABD ＝60tan 75°＝602＋3＝60(2－3)(m)， ∴BC ＝CD －BD ＝603－60(2－3)＝120(3－1)(m).答案 C5.如图，测量河对岸的塔高AB 时可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD＝30，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB 等于( )A.5 6B.15 3C.5 2D.15 6解析 在△BCD 中，∠CBD ＝180°－15°－30°＝135°.由正弦定理得BC sin 30°＝30sin 135°， 所以BC ＝15 2.在Rt △ABC 中，AB ＝BC tan ∠ACB ＝152×3＝15 6.答案 D二、填空题6.江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.解析如图，OM＝AO tan 45°＝30(m)，ON＝AO tan 30°＝33×30＝103(m)，在△MON中，由余弦定理得，MN＝900＋300－2×30×103×3 2＝300＝103(m).答案10 37.在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是30°，60°，则塔高为________m.解析如图，由已知可得∠BAC＝30°，∠CAD＝30°，∴∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠ADC＝120°.又AB＝200 m，∴AC＝40033(m).在△ACD中，由余弦定理得，AC2＝2CD2－2CD2·cos 120°＝3CD2，∴CD＝13AC＝4003(m).答案400 38.(2018·潍坊模拟)校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10 6 m(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上.若国歌时长为50 s，升旗手应以________m/s的速度匀速升旗.解析依题意可知∠AEC＝45°，∠ACE＝180°－60°－15°＝105°，∴∠EAC＝180°－45°－105°＝30°.由正弦定理可知CEsin∠EAC ＝ACsin∠CEA，∴AC＝CEsin∠EAC·sin∠CEA＝20 3 m.∴在Rt△ABC中，AB＝AC·sin∠ACB＝203×32＝30 m.∵国歌时长为50 s，∴升旗速度为3050＝0.6 m/s.答案0.6三、解答题9.如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上.(1)求渔船甲的速度；(2)求sin α的值.解(1)依题意知，∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α.在△ABC 中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784.解得BC＝28.所以渔船甲的速度为BC2＝14海里/时.(2)在△ABC中，因为AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，由正弦定理，得ABsin α＝BCsin 120°，即sin α＝AB sin 120°BC ＝12×3228＝3314.10.(2018·武汉质检)如图所示，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角为α，在塔底C 处测得A 处的俯角为β.已知铁塔BC 部分的高为h ，求山高CD .解 由已知得，∠BCA ＝90°＋β，∠ABC ＝90°－α，∠BAC＝α－β，∠CAD ＝β.在△ABC 中，由正弦定理得AC sin ∠ABC ＝BC sin ∠BAC ， 即AC sin （90°－α）＝BC sin （α－β）， ∴AC ＝BC cos αsin （α－β）＝h cos αsin （α－β）. 在Rt △ACD 中，CD ＝AC sin ∠CAD ＝AC sin β＝h cos αsin βsin （α－β）. 故山高CD 为h cos αsin βsin （α－β）. 能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.(2018·山西康杰中学、临汾一中等五校联考)飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔15 000 m ，速度为1 000 km/h ，飞行员先看到山顶的俯角为15°，经过108 s 后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为________m(取3＝1.732).解析 ∵108 s ＝0.03 h ，∴AB ＝1 000×0.03＝30 km.∵∠C ＝75°－15°＝60°，∴AB sin 60°＝BC sin 15°，∴BC ＝AB sin 15°sin 60°. ∴C 到AB 边的距离为h ＝BC sin 75°＝203sin 15°sin 75°＝103sin 30°＝53＝5×1.732＝8.66 km.∴山顶的海拔高度为(15－8.66)km＝6 340 m.答案 6 34012.(2017·呼和浩特调研)某人为测出所住小区的面积，进行了一些测量工作，最后将所住小区近似地画成如图所示的四边形，测得的数据如图所示，则该图所示的小区的面积是________km2.解析如图，连接AC，由余弦定理可知AC＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B＝3，故∠ACB ＝90°，∠CAB＝30°，∠DAC＝∠DCA＝15°，∠ADC＝150°，ACsin∠ADC＝ADsin∠DCA，即AD＝AC sin∠DCAsin∠ADC＝3·6－2412＝32－62，故S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ADC＝12×1×3＋12×⎝⎛⎭⎪⎫32－622×12＝6－34(km2).答案6－3413.如图，在海岸A处，发现北偏东45°方向距A为(3－1)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A为2海里的C处的缉私船奉命以103海里/时的速度追截走私船.此时走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间(注：6≈2.449).解设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，则有CD。