最短路径

最短路径问题介绍全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：最短路径问题是指在一个带有边权的图中，寻找连接图中两个特定节点的最短路径的问题。

在实际生活中，最短路径问题广泛应用于交通运输、通信网络、物流配送等领域。

通过解决最短路径问题，可以使得资源的利用更加高效，节约时间和成本，提高运输效率，并且在紧急情况下可以迅速找到应急通道。

最短路径问题属于图论中的基础问题，通常通过图的表示方法可以简单地描述出这样一个问题。

图是由节点和边组成的集合，节点表示不同的位置或者对象，边表示节点之间的连接关系。

在最短路径问题中，每条边都有一个权重或者距离，表示从一个节点到另一个节点移动的代价。

最短路径即是在图中找到一条路径，使得该路径上的边权和最小。

在解决最短路径问题的过程中，存在着多种算法可以应用。

最著名的算法之一是Dijkstra算法，该算法由荷兰计算机科学家Edsger W. Dijkstra于1956年提出。

Dijkstra算法是一种贪心算法，用于解决单源最短路径问题，即从一个给定的起点到图中所有其他节点的最短路径。

该算法通过维护一个距离数组和一个集合来不断更新节点之间的最短距离，直到找到目标节点为止。

除了Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法外，还有一些其他与最短路径问题相关的算法和技术。

例如A*算法是一种启发式搜索算法，结合了BFS和Dijkstra算法的特点，对图中的节点进行评估和排序，以加速搜索过程。

Bellman-Ford算法是一种解决含有负权边的最短路径问题的算法，通过多次迭代来找到最短路径。

一些基于图神经网络的深度学习方法也被应用于最短路径问题的解决中，可以获得更快速和精确的路径搜索结果。

在实际应用中，最短路径问题可以通过计算机程序来实现，利用各种算法和数据结构来求解。

利用图的邻接矩阵或者邻接表来表示图的连接关系，再结合Dijkstra或者Floyd-Warshall算法来计算最短路径。

第21讲 最短路径问题一、方法剖析与提炼引例：如图，A 、B 是笔直公路l 同侧的两个村庄，且两个村庄到直路的距离分别是300m 和500m ，两村庄之间的距离为d(已知d 2=400000m 2)，现要在公路上建一汽车停靠站，使两村到停靠站的距离之和最小，则最小距离为___________m 。

【解答】1000。

【解析】如图，作点B 关于公路l 的对称点B′，连接AB′交公路于点C ，CA+CB最短距离就是AB′的长度。

根据勾股定理可以求得AB′=1000m 。

【解法】同侧的两点，通过轴对称变换成异侧，利用两点之间线段最短确定最小距离。

【解释】通过生活中的实际例子，让学生感受最短路径来源于生活，并引出求最短路径常用的方法，利用轴对称变换找对称点及两点之间线段最短（即饮马问题）。

学习时可作如下归纳：（1）在初中范围内和边的不等量有关的知识有哪些，引出两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边；（2）在此图中哪种变换方式比较适合将马路同侧的两条线段变换到异侧，并且保持线段长度不变，旨在复习轴对称、平移、旋转等变换特点；（3）在移动变换中，有没有可能将两条线段置于共线的情形，即最短路径。

例1：已知正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM=2，N 是AC 上一动点，求DN+MN 的最小值。

【解答】连结BD 交AC 于点O ，根据正方形的对称性可知，B 点即为D 的对称点。

连结BM 交AC 于点N ，则BM 的值为DN+MN 的最小值。

所以BM=10。

【解析】如图，点B 即为点D 关于AC 的对称点，连接BM ，BM 的长度即为DN+MN的最小距离。

在Rt△BCM 中，根据勾股定理可求得BM=10。

【解法】此题 DN ，MN 这两条线段中，M ，D 两点固定，只有N 一个点是移动的，故只需确定点N ，使得距离之和最短即可。

【解释】此例从最基本的图形出发，让学生易于接受，敢于探索。

学生依据正方形自身拥有的轴对称性找到对称点，将同侧两条线段利用翻折变成异侧的两条线段，利用两点之间线段最短找到最短路径。

13.4 课题学习最短路径问题1．最短路径问题(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．如下图，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时点C是直线l与AB的交点．(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．如下图，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时先作点B关于直线l的对称点B′，则点C是直线l与AB′的交点．为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，证明AC＋CB＜AC′＋C′B.如下：证明：由作图可知，点B和B′关于直线l对称，所以直线l是线段BB′的垂直平分线．因为点C与C′在直线l上，所以BC＝B′C，BC′＝B′C′.在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，所以AC＋B′C＜AC′＋B′C′，所以AC＋BC＜AC′＋C′B.【例1】在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小．分析：先确定其中一个点关于直线l的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直线l的交点M即为所求的点．解：如下图：(1)作点B关于直线l的对称点B′；(2)连接AB′交直线l于点M.(3)则点M即为所求的点．点拨：运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，然后用“两点之间线段最短”解决问题.运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不管题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同．警误区利用轴对称解决最值问题应注意题目要求根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问．3．利用平移确定最短路径选址选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上．如果两点在一条直线的同侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大，如果两点在一条直线的异侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小，都可以用三角形三边关系来推理说明，通常根据最大值或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决．解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题．【例2】如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水．(1)假设要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？(2)假设要使厂部到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？分析：(1)到A，B两点距离相等，可联想到“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，又要在河边，所以作AB的垂直平分线，与EF的交点即为符合条件的点．(2)要使厂部到A村、B村的距离之和最短，可联想到“两点之间线段最短”，作A(或B)点关于EF的对称点，连接对称点与B点，与EF的交点即为所求．解：(1)如图1，取线段AB的中点G，过中点G画AB的垂线，交EF于P，则P到A，B的距离相等．也可分别以A、B为圆心，以大于12AB 为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，与EF 的交点P 即为所求．(2)如图2，画出点A 关于河岸EF 的对称点A ′，连接A ′B 交EF 于P ，则P 到A ，B 的距离和最短．【例3】 如图，从A 地到B 地经过一条小河(河岸平行)，今欲在河上建一座与两岸垂直的桥，应如何选择桥的位置才能使从A 地到B 地的路程最短？思路导引：从A 到B 要走的路线是A →M →N →B ，如下图，而MN 是定值，于是要使路程最短，只要AM ＋BN 最短即可．此时两线段应在同一平行方向上，平移MN 到AC ，从C 到B 应是余下的路程，连接BC 的线段即为最短的，此时不难说明点N 即为建桥位置，MN 即为所建的桥．解：(1)如图2，过点A 作AC 垂直于河岸，且使AC 等于河宽．(2)连接BC与河岸的一边交于点N.(3)过点N作河岸的垂线交另一条河岸于点M.则MN为所建的桥的位置．4．生活中的距离最短问题由两点之间线段最短(或三角形两边之和大于第三边)可知，求距离之和最小问题，就是运用等量代换的方式，把几条线段的和想方法转化在一条线段上，从而解决这个问题，运用轴对称性质，能将两条线段通过类似于镜面反射的方式转化成一条线段，如图，AO＋BO＝AC的长．所以作已知点关于某直线的对称点是解决这类问题的基本方法．【例4】(实际应用题)茅坪民族中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图a所示两直排(图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？图a 图b解：如图b.(1)作C点关于OA的对称点C1，作D点关于OB的对称点D1，(2)连接C1D1，分别交OA，OB于P，Q，那么小明沿C→P→Q→D 的路线行走，所走的总路程最短．利用轴对称和三角形的三边关系是解决几何中的最大值问题的关键．先做出其中一点关于对称轴的对称点，然后连接对称点和另一个点，所得直线与对称轴的交点，即为所求．根据垂直平分线的性质和三角形中两边之差小于第三边易证明这就是最大值．破疑点解决距离的最值问题的关键运用轴对称变换及三角形三边关系是解决一些距离的最值问题的有效方法．【例5】如下图，A，B两点在直线l的两侧，在l上找一点C，使点C到点A、B的距离之差最大．分析：此题的突破点是作点A(或B)关于直线l的对称点A′(或B′)，作直线A′B(AB′)与直线l交于点C，把问题转化为三角形任意两边之差小于第三边来解决．解：如下图，以直线l为对称轴，作点A关于直线l的对称点A′，A′B的连线交l于点C，则点C即为所求．理由：在直线l上任找一点C′(异于点C)，连接CA，C′A，C′A′，C′B.因为点A，A′关于直线l对称，所以l为线段AA′的垂直平分线，则有CA＝CA′，所以CA －CB＝CA′－CB＝A′B.又因为点C′在l上，所以C′A＝C′A′.在△A′BC′中，C′A－C′B＝C′A′－C′B＜A′B，所以C′A′－C′B＜CA－CB.点拨：根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．。

最短路径的算法最短路径的算法小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水，若要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂?要回答出这个问题，我们就要了解一下最短路径的相关知识。

以下是店铺与大家分享最短路径的知识。

最短路径最短路径，是指用于计算一个节点到所有节点的最短的线路。

主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。

Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。

最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在图(由结点和路径组成的)中两结点之间的最短路径。

最短路径问题最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图(由结点和路径组成的)中两结点之间的最短路径。

算法具体的形式包括：确定起点的最短路径问题- 即已知起始结点，求最短路径的问题。

适合使用Dijkstra算法。

确定终点的最短路径问题- 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题。

在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。

确定起点终点的最短路径问题- 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。

全局最短路径问题- 求图中所有的最短路径。

适合使用Floyd-Warshall算法。

Dijkstra算法1.定义概览Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。

主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。

Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法，在很多课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。

注意该算法要求图中不存在负权边。

问题描述：在无向图 G=(V,E) 中，假设每条边 E[i] 的长度为 w[i]，找到由顶点 V0 到其余各点的最短路径。

(单源最短路径)2.算法描述1)算法思想：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合(用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了)，第二组为其余未确定最短路径的顶点集合(用U表示)，按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。

拓扑排序和最短路径是两个不同的图论问题，它们在解决实际应用问题时有着重要的应用。

首先，让我们解释一下拓扑排序，然后再来看如何用拓扑排序来解决最短路径问题。

拓扑排序：拓扑排序是用于有向无环图（Directed Acyclic Graph, DAG）的一种排序方式，通常用于对事件或活动的排序。

这种排序方法假设事件之间的依赖关系通过有向边表示，并且没有环路。

拓扑排序的结果是一个线性序列，其中每个节点都出现在其直接依赖节点之后。

拓扑排序在项目管理、调度和决策制定等领域有广泛应用。

最短路径问题：最短路径问题是图论中的一个经典问题，它要求找到图中两个节点之间的最短路径。

通常使用Dijkstra算法或Floyd-Warshall算法来解决这个问题。

最短路径问题在路径规划、网络路由和物流优化等领域有广泛应用。

如何用拓扑排序求最短路径：1. **确定拓扑排序**：首先，使用拓扑排序算法（如Kahn算法）对有向无环图进行排序。

这个排序将给出图中所有节点的线性顺序。

2. **计算最短路径**：基于拓扑排序的顺序，可以很容易地找到两个节点之间的最短路径。

如果节点i和节点j在拓扑排序中的位置分别为i和j，那么从i到j的最短路径长度就是图中从i到j的边的权重中较小的那个（如果存在的话）。

如果没有这样的边，那么两个节点之间没有直接路径，最短路径为无穷大。

这个方法的关键在于利用拓扑排序的线性特性，通过简单观察就可以找到最短路径。

**注意**：这个方法只适用于无环图（DAG）。

如果图中存在环路，拓扑排序就无法使用，需要使用其他方法（如Tarjan算法）来处理。

下面是一个简单的Python代码示例，展示了如何使用拓扑排序来找到两个节点之间的最短路径：```pythonfrom collections import defaultdict, dequedef topological_sort(graph):# 计算每个节点的入度并找出入度为0的节点作为起点in_degree = {node: 0 for node in graph}for node in graph:for neighbor in graph[node]:in_degree[neighbor] += 1return_nodes = [node for node in graph if in_degree[node] == 0]return return_nodes, [graph[node] for node in return_nodes]def shortest_path(graph, start, end):# 使用拓扑排序的结果来查找最短路径# 假设每个节点的入度为0的节点在结果列表中位于列表的开头queue = deque([start]) # 使用队列进行广度优先搜索visited = set() # 记录已访问的节点while queue:node = queue.popleft()if node == end: # 找到目标节点，返回路径长度和路径上的节点path_length = 0current = nodewhile current in visited: # 确保路径上的节点按顺序访问current = graph[current][0] # 获取下一个邻居节点path_length += 1visited.add(node) # 将已访问的节点添加到已访问集合中return path_length, current + [end] # 返回路径长度和完整路径（不包括起始节点）for neighbor in graph[node]: # 继续探索当前节点的邻居节点（下一个步长）if neighbor not in visited: # 如果邻居节点尚未访问过queue.append(neighbor) # 将邻居节点加入队列中以供下一步搜索return None, None # 如果找不到目标节点，返回None```以上代码使用了一个字典来表示图的结构，其中键是节点名称，值是一个包含相邻节点的列表。

最短路径与标号法前面我们学习过动态规划的应用，图中没明显阶段求最短路径的问题属于无明显阶段的动态规划，通常用标号法求解，求最短路径问题是信息学奥赛中很重要的一类问题，许多问题都可转化为求图的最短路径来来解，图的最短路径在图论中有经典的算法，本章介绍求图的最短路径的dijkstra算法、Floyed算法，以及标号法。

一、最短路径的算法1、单源点最短路径（dijkstra算法）给定一个带权有向图G=（V，E），其中每条边的权是一个非负实数，另外，还给定V中的一个顶点，称为源点。

求从源点到所有其他各顶点的最短路径长度。

这个问题称为单源最短路径问题。

求单源最短路径可用dijkstra算法求解。

（dijkstra算法）算法思想：设源点为x0，dist[i]表示顶点i到源点x0的最短路径长度，map[i,j]表示图中顶点i到顶点j的长度，用数组mark对所有的顶点作标记，已求出源点到达该点J的最短路径的点J记为mark[j]=true,否则标记为false。

初始时，对源点作标记，然后从未作标记的点中找出到源点路径长度最短的顶点minj，对该顶点作标记，并对其它未作标记的点K作判断：if dist[minj]+map[minj,k]<dist[k] then dist[k]= dist[minj]+map[minj,k]。

重复处理，直到所有的顶点都已作标记，这时求出了源点到所有顶点的最短路径。

算法过程：const maxn=100;varmap: array[1..maxn,1..maxn] of integer;dist: array[1..maxn] of integer;mark: array[1..maxn] of Boolean;n,k: integer;procedure dijkstra;var I,j,min,minj,temp:integer;beginfillchar(mark,sizeof(mark),0);for I:=1 to n do dist[i]:=maxint;dist[k]:=0;for I:=1 to n-1 dobeginmin:=maxint;for j:=1 to n doif (not mark[j]) and (dist[j]<min) thenbeginmin:=dist[j]; minj:=j;end;mark[minj]:=true;for j:=1 to n doif (not mar[j]) and (map[minj,j]>0) thenbegintemp:=dist[minj]+map[minj,j];if temp<dist[j] then dist[j]:=temp;end;end;end;以上只是求出了从源点到其它所有点的最短路径长度，所经过的具体路径没有保存，如果要求出具体的路径来，那么在求最短路径的过程中要将经过的中间点记录下来。