关键路径和最短路径详解过程

数据结构第19讲_关键路径与最短路径_C 在数据结构的学习过程中，我们经常会遇到需要寻找最短路径的问题。

最短路径问题是指在图中寻找连接两个顶点之间最短路线的问题。

在实际生活中，最短路径问题广泛应用于交通、通信等领域。

在本篇文章中，我们将介绍关键路径和最短路径的概念，以及它们在实际问题中的应用。

首先，让我们来介绍关键路径。

关键路径是指在项目管理中，连接起始点和终止点的最长路径，也是项目完成所需要的最短时间。

关键路径可以通过计算活动的最早开始时间（EST）和最晚开始时间（LST）来确定。

活动的EST是指在没有任何限制条件下，活动可以最早开始的时间；而LST则是指在不影响项目完成时间的前提下，活动可以最晚开始的时间。

关键路径的长度等于项目的最早完成时间和最晚完成时间相等的活动的持续时间之和。

通过确定关键路径，我们可以优化项目进度，提高项目的整体效率。

接下来，让我们来介绍最短路径。

最短路径是指在图中寻找连接两个顶点之间最短路线的问题。

最短路径可以通过使用一些经典的算法来解决，例如迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法。

迪杰斯特拉算法是一种贪心算法，通过计算出从起点到其他顶点的最短路径，然后逐步扩展路径长度来逐步求解最短路径问题。

弗洛伊德算法是一种动态规划算法，通过构建一个关于各个顶点之间最短路径长度的矩阵来求解最短路径问题。

最短路径问题在实际生活中具有广泛应用，例如在地图导航中，我们需要找到从起点到目的地的最短路线；在网络通信中，我们需要找到网络中两个节点之间传输数据的最短路径。

在本篇文章中，我们介绍了关键路径和最短路径的概念，以及它们在实际问题中的应用。

关键路径用于确定项目完成所需的最短时间，而最短路径用于寻找连接两个顶点之间最短路线的问题。

这些概念都是数据结构中的重要内容，对于我们理解和解决实际问题具有重要意义。

数据结构第20次课（续表）思考.题作业题试对下图所示的AOE网络，解答下列问题。

(1) 这个工程最早可能在什么时间结束。

(2) 求每个事件的最早开始时间Ve[i]和最迟开始时间Vl[I]。

(3) 求每个活动的最早开始时间e( )和最迟开始时间l( )。

(4) 确定哪些活动是关键活动。

画出由所有关键活动构成的图，指出哪些活动加速可使整个工程提前完成。

*参考资料《数据结构辅导与提高》，徐孝凯编著，清华大学出版社《数据结构习题解答与考试指导》，梁作娟等编著，清华大学出版社授课内容关键路径对整个工程和系统，人们关心的是两个方面的问题：一）工程能否顺利进行（对AOV网进行拓扑排序）二）估算整个工程的完成所必须的最短时间（对AOE网求关键路径）1. AOE-网}与AOV-网相对应的是AOE-网(Activity On Edge)，即边表示活动的网。

AOE-网是一个带权的有向无环图，其中，顶点表示事件(Event)，弧表示活动，权表示活动持续的时间。

通常，AOE-网可用来估算工程的完成时间。

例：下图是一个假想的有11项活动的AOE-网。

其中有9个事件v1，v2，…，v9，每个事件表示在它之前的活动已经完成，在它之后的活动可以开始。

如v1表示整个工程开始，v9表示整个工程结束，v5表示a4和a5已经完成，a7和a8可以开始。

与每个活动相联系的数是执行该活动所需的时间。

比如，活动a1需要6天，a2需要4天等。

和AOV-网不同，对AOE-网有待研究的问题是：(1)完成整项工程至少需要多少时间(2)哪些活动是影响工程进度的关键2. 关键路径由于在AOE-网中有些活动可以并行地进行，所以完成工程的最短时间是从开始点到完成点的最长路径的长度(这里所说的路径长度是指路径上各活动持续时间之和，不是路径上弧的数目)。

路径长度最长的路径叫做关备注：回顾键路径(Critical Path)。

假设开始点是v1，从v1到v i的最长路径长度叫做事件v i的最早发生时间。

为什么关键路径等于最短时间最短路径计算案例这是一篇关于关键路径和最短时间最短路径计算的深度探讨文章，我将从简到繁，由浅入深地解释这个主题，并据此撰写一篇有价值的文章。

文章将采用知识的文章格式，内容会使用序号标注，并多次提及指定的主题文字。

我的个人观点和理解也会在文章中得到充分体现。

我们需要了解什么是关键路径和最短时间最短路径计算。

关键路径是项目管理中的一个重要概念，它指的是项目中的一条或多条路径，如果这些路径上的活动延迟一天，就会导致整个项目的延迟。

而最短时间最短路径计算则是指在一个加权有向图中，从一个顶点到另一个顶点的最短路径问题。

接下来，我们将深入探讨为什么关键路径等于最短时间最短路径计算，并且结合实际案例来说明。

这样的深度和广度的探讨，将帮助我们更全面地理解这个主题。

在这个讨论中，我认为关键路径等于最短时间最短路径计算是因为项目管理中的关键路径实际上就是项目中的最短路径。

通过案例分析，我们可以更加具体地理解这个概念。

比如某个项目中有许多任务需要完成，每个任务都有其完成所需的时间和依赖关系，我们需要找到一条路径，使得这些任务能够在最短的时间内完成。

这个路径就是项目的关键路径，也可以看作是最短时间最短路径。

在文章结尾的总结和回顾性内容中，我将再次强调关键路径和最短时间最短路径计算的重要性，并提出自己对这个主题的个人观点和理解。

总字数会超过3000字，以确保文章的深度和广度。

通过这篇文章，我希望读者能够对关键路径和最短时间最短路径计算有更深入的理解，从而在实际项目管理中能够更加灵活地应用这些概念，提高项目的执行效率和质量。

在实际项目管理中，关键路径和最短时间最短路径计算是非常重要的工具和技术。

它们可以帮助项目经理和团队有效地规划和控制项目进度，确保项目能够按时完成。

在这一部分，我们将进一步讨论关键路径和最短时间最短路径计算的具体应用，并探究如何在实际项目中应用这些概念。

让我们再次强调一下关键路径和最短时间最短路径计算的定义。

数据结构课程辅导---图的最短路径、拓扑排序和关键路径一、最短路径由图的概念可知，在一个图中，若从一顶点到另一顶点存在着一条路径(这里只讨论无回路的简单路径)，则称该路径长度为该路径上所经过的边的数目，它也等于该路径上的顶点数减1。

由于从一顶点到另一顶点可能存在着多条路径，每条路径上所经过的边数可能不同，即路径长度不同，我们把路径长度最短（即经过的边数最少）的那条路径叫做最短路径，其路径长度叫做最短路径长度或最短距离。

上面所述的图的最短路径问题只是对无权图而言的，若图是带权图，则把从一个顶点i到图中其余任一个顶点j的一条路径上所经过边的权值之和定义为该路径的带权路径长度，从vi到vj可能不止一条路径，我们把带权路径长度最短（即其值最小）的那条路径也称作最短路径，其权值也称作最短路径长度或最短距离。

例如，在图3-1中，从v0到v4共有三条路径：{0,4},{0,1,3,4}和{0,1,2,4}，其带权路径长度分别为30,23和38，可知最短路径为{0,1,3,4}，最短距离为23。

图3-1 带权图和对应的邻接矩阵实际上，这两类最短路径问题可合并为一类，这只要把无权图上的每条边标上数值为1的权就归属于有权图了，所以在以后的讨论中，若不特别指明，均认为是求带权图的最短路径问题。

求图的最短路径问题用途很广。

例如，若用一个图表示城市之间的运输网，图的顶点代表城市，图上的边表示两端点对应城市之间存在着运输线，边上的权表示该运输线上的运输时间或单位重量的运费，考虑到两城市间的海拔高度不同，流水方向不同等因素，将造成来回运输时间或运费的不同，所以这种图通常是一个有向图。

如何能够使从一城市到另一城市的运输时间最短或者运费最省呢？这就是一个求两城市间的最短路径问题。

求图的最短路径问题包括两个方面：一是求图中一顶点到其余各顶点的最短路径，二是求图中每对顶点之间的最短路径。

下面分别进行讨论。

1. 从一顶点到其余各顶点的最短路径对于一个具有n个顶点和e条边的图G，从某一顶点vi(称此为源点)到其余任一顶点vj(称此为终点)的最短路径，可能是它们之间的边(i,j)或<i,j>，也可能是经过k个（1≤k≤n-2，最多经过除源点和终点之外的所有顶点）中间顶点和k+1条边所形成的路径。

关键路径和最短路径：基本思路：1.关键路径法：关键路径法对于一个项目而言，只有项目网络中最长的或耗时最多的活动完成之后，项目才能结束，这条最长的活动路线就叫关键路径。

2.最短路径法：求一个顶点到其余顶点的最短路径主要运用Dijkstra 算法，把图中的顶点分为两个集合S 和T ，集合S 皴法已确定最短路径的顶点，集合T 存放尚未确定最短路径的顶点。

按最短路径长度递增的次序逐个将T 集合中的顶点加入到S 中，直到从源点出发可以到达的所有顶点都在S 中为止。

演算过程：1.关键路径各项活动的最早时间，t(A)=0t(B)=max{2,15+4}=19t(C)=15t(D)=19+10=29t(E)=max{19+19,15+11}=38t(F)=max{29+6,38+5}=43事项的最早时间为43各事项的最迟时间，t(F)=43t(D)=43-6=37t(E)=43-5=38t(B)=min{37-10,38-19}=19t(C)=min{19-4,38-11}=15t(A)=15-15=0.所以关键路径为：A →C →B →E →FA B C DE F 2 1111 465起终2.最短路径首先将A 点分到S集合中，其余各点分到T集合，S（A）=0，其余各点为T=+∞与A相关的边（A,B）,(A,C)T(B)=min{T(B),S(A)+2}=min{+∞，0+2}=2T(C)=min{T(C),S(A)+15}=min{+∞,0+15}=15∴S(C)=15,记录路径(A,C)与C相关的边（C,B）,(C,E)T(B)=min{T(B),S(C)+4}=min{2,15+4}=2T(E)=min{T(E),S(C)+11}=min{+∞,15+11}=26∴S(B)=2,记录路径(A,B)与B相关的边(B,D),(B,E)T(D)=min{T(D),S(B)+10}=min{+∞,2+10}=12T(E)=min{T(E),S(B)+19}=min{26,2+19}=21∴S(D)=12，记录路径(B,D)与D相关的边(D,F)T(F)=min{T(F),S(D)+6}=min{+∞，12+6}=18∴S(E)=21，记录路径(B,E)与E相关的边(E,F)T(F)=min{T(F),S(E)+5}=min{18,21+5}=18∴S(F)=18，记录路径(D,F)从A点到到其余各顶点最短路为：所以A到F的最短路为A→B→D→FB+树和B*树：针对上述文件建立4阶的B+树和B*树索引结构，用图形描述在该文件中先后新增ID为50和45的记录，用图形分别描述新增两条记录后索引结构（B+树和B*树）的变化B+树和B*树的区别：B+叶子结点中存储记录,在B+树中，所有的非叶子结点可以看成是索引，而其中的关键字是作为“分界关键字”，用来界定某一关键字的记录所在的子树。

数据结构课程辅导---图的最短路径、拓扑排序和关键路径一、最短路径由图的概念可知，在一个图中，若从一顶点到另一顶点存在着一条路径(这里只讨论无回路的简单路径)，则称该路径长度为该路径上所经过的边的数目，它也等于该路径上的顶点数减1。

由于从一顶点到另一顶点可能存在着多条路径，每条路径上所经过的边数可能不同，即路径长度不同，我们把路径长度最短（即经过的边数最少）的那条路径叫做最短路径，其路径长度叫做最短路径长度或最短距离。

上面所述的图的最短路径问题只是对无权图而言的，若图是带权图，则把从一个顶点i到图中其余任一个顶点j的一条路径上所经过边的权值之和定义为该路径的带权路径长度，从v i到v j可能不止一条路径，我们把带权路径长度最短（即其值最小）的那条路径也称作最短路径，其权值也称作最短路径长度或最短距离。

例如，在图3-1中，从v0到v4共有三条路径：{0,4},{0,1,3,4}和{0,1,2,4}，其带权路径长度分别为30,23和38，可知最短路径为{0,1,3,4}，最短距离为23。

图3-1 带权图和对应的邻接矩阵实际上，这两类最短路径问题可合并为一类，这只要把无权图上的每条边标上数值为1的权就归属于有权图了，所以在以后的讨论中，若不特别指明，均认为是求带权图的最短路径问题。

求图的最短路径问题用途很广。

例如，若用一个图表示城市之间的运输网，图的顶点代表城市，图上的边表示两端点对应城市之间存在着运输线，边上的权表示该运输线上的运输时间或单位重量的运费，考虑到两城市间的海拔高度不同，流水方向不同等因素，将造成来回运输时间或运费的不同，所以这种图通常是一个有向图。

如何能够使从一城市到另一城市的运输时间最短或者运费最省呢？这就是一个求两城市间的最短路径问题。

求图的最短路径问题包括两个方面：一是求图中一顶点到其余各顶点的最短路径，二是求图中每对顶点之间的最短路径。

下面分别进行讨论。

1. 从一顶点到其余各顶点的最短路径对于一个具有n个顶点和e条边的图G，从某一顶点v i(称此为源点)到其余任一顶点v j(称此为终点)的最短路径，可能是它们之间的边(i,j)或<i,j>，也可能是经过k个（1≤k≤n-2，最多经过除源点和终点之外的所有顶点）中间顶点和k+1条边所形成的路径。

1、求下图从事件0出发的关键路径，要求详细过程。

1、事件Vj 可能的最早发生时间ve(j) Ve(0)=0;Ve(1)=ve(0)+weight(<v0,v1>)=0+5=5; Ve(2)=ve(0)+weight(<v0,v2>)=0+9=9; Ve(3)=ve(0)+weight(<v0,v3>)=0+14=14; Ve(4)=ve(1)+weight(<v1,v4>)=5+4=9;Ve(5)=max{ve(2)+weight(<v2,v5>),ve(4)+weight(<v4,v5>)}=max{9+10,9+6}=19; Ve(6)=ve(3)+weight(<v3,v6>)=14+3=17;Ve(7)=max{ve(3)+weight(<v3,v7>),ve(6)+weight(<v6,v7>)}=max{14+7,17+5}=22; Ve(8)=max{ve(6)+weight(<v6,v8>),ve(7)+weight(<v7,v8>)}=max{17+5,22+8}=30; Ve(9)=max{ve(4)+weight(<v4,v9>),ve(5)+weight(<v5,v9>),ve(8)+weight(<v8,v9>)}= Max{9+12,19+10,30+18}=48;56 7855 3141010 9124a 12a 6a 8 a 11 a 5a 2a 13 a 10 a 4a 1 a 9 a 7 a 318a 08 763 142592、事件vi可能的最晚发生时间vl(i)Vl(9)=48;Vl(8)=vl(9)-weight(<v8,v9>)=48-18=30;Vl(7)=vl(8)-weight(<v7,v8>)=30-8=22;Vl(6)=min{ve(7)-weight(<v7,v6>),ve(8)-weight(<v8,v6>)}=min{22-5,30-5}=min{17,25 }=17;Vl(5)=vl(9)-weight(<v5,v9>)=48-10=38;Vl(4)=min{vl(5)-weight(<v4,v5>),vl(9)-weight(<v4,v9>)}=min{38-6,48-12}=min{32,3 6}=32;Vl(3)=min{vl(6)-weight(<v3,v6>),vl(7)-weight(<v3,v7>)}=min{17-3,22-7}=min{14,15 }=14Vl(2)=vl(5)-weight(<v2,v5>)=38-10=28;Vl(1)=vl(4)-weight(<v1,v4>)=32-4=28;Vl(0)=min{vl(1)-weight(<v0,v1>),vl(2)-weight(<v0,v2>),vl(3)-weight(<v0,v3>)}= Min{28-5,28-9,14-14}=min{23,19,0}=0;3、活动a(k)=<vi,vj>的最早开始时间E(k)E(0)=ve(0)=0E(1)=ve(0)=0E(2)=ve(0)=0E(3)=ve(1)=5E(4)=ve(2)=9E(5)=ve(3)=14E(6)=ve(3)=14E(7)=ve(4)=9E(8)=ve(6)=17E(9)=ve(4)=9E(10)=ve(5)=19E(11)=ve(6)=17E(12)=ve(7)=22E(13)=ve(8)=304、活动a(k)的最晚开始时间L(k)L(0)=vl(1)-weight(<v0,v1>)==28-5=23L(1)=vl(2)-weight(<v0,v2>)==28-9=21L(2)=vl(3)-weight(<v0,v3>)==14-14=0L(3)=vl(4)-weight(<v1,v4>)==32-4=28L(4)=vl(5)-weight(<v2,v5>)==38-10=28L(5)=vl(6)-weight(<v3,v6>)==17-3=14L(6)=vl(7)-weight(<v3,v7>)==22-7=15L(7)=vl(5)-weight(<v4,v5>)==38-6=32L(8)=vl(7)-weight(<v6,v7>)==22-5=17L(9)=vl(9)-weight(<v4,v9>)==48-12=36 L(10)=vl9)-weight(<v5,v9>)==48-10=38 L(11)=vl(8)-weight(<v6,v8>)==30-5=34 L(12)=vl(8)-weight(<v7,v8>)==30-8=22 L(13)=vl(9)-weight(<v8,v9>)==48-18=30L(0)-E(0)=23-0=23L(1)-E(1)=21-0=21L(2)-E(2)=0-0=0L(3)-E(3)=28-5=23L(4)-E(4)=28-9=19L(5)-E(5)=14-14=0L(6)-E(6)=15-14=1L(7)-E(7)=32-9=23L(8)-E(8)=17-17=0L(9)-E(9)=36-9=27L(10)-E(10)=38-19=19L(11)-E(11)=34-17=17L(12)-E(12)=22-22=0L(13)-E(13)=30-30=05、题中图的关键路径如下图所示：2、对于下图所示的有向图，试利用Dijkstra算法求源点1到其他各顶点的最367 8 9短路径，可参考教材P207图7.29中的表格形式给出计算过程。

数据结构第19讲关键路径与最短路径关键路径与最短路径是数据结构中非常重要的概念和算法。

它们在许多领域中都有广泛的应用，包括项目管理、网络通信、物流运输等等。

本文将介绍关键路径和最短路径的概念、算法以及它们的应用。

一、关键路径关键路径是指在一个项目中，所有活动中最长的路径，也即完成整个项目所需的最长时间。

关键路径的长度决定了项目的最短完成时间，因此对于项目管理非常重要。

关键路径的计算通常使用网络图来表示项目的各个活动以及它们的前后关系。

在网络图中，每个活动用一个节点表示，活动之间的关系用边来表示。

活动之间的关系可以分为两种：顺序关系和并行关系。

1.顺序关系：活动A必须在活动B之前完成，这种关系用有向边表示。

2.并行关系：活动A和活动B可以同时进行，这种关系用无向边表示。

关键路径算法通过在网络图上进行正向遍历和逆向遍历来计算关键路径。

具体步骤如下：1.正向遍历：从起始节点出发，计算每个节点的最早开始时间。

最早开始时间是指在没有任何延迟的情况下，从起始节点到达该节点所需的最短时间。

2.逆向遍历：从终点节点出发，计算每个节点的最晚开始时间。

最晚开始时间是指在不延误整个项目完成时间的情况下，从终点节点回到该节点所需的最短时间。

3.计算关键路径：根据每个节点的最早开始时间和最晚开始时间，找出那些最早开始时间和最晚开始时间相等的节点，这些节点就是关键路径上的节点。

关键路径的计算可以有效地帮助项目管理者确定项目的最短完成时间，并将各个活动按照优先级进行排序和调度，从而提高项目的管理效率。

二、最短路径最短路径是指在一个加权图中，从起点到终点所经过的边的权值之和最小的路径。

最短路径算法有很多种，下面介绍两种常用的最短路径算法：迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法。

1.迪杰斯特拉算法：迪杰斯特拉算法是一种贪心算法，用于解决单源最短路径问题。

具体步骤如下：-创建两个集合S和V-S，分别用于存放已确定最短路径的节点和待确定最短路径的节点。

数据结构课程辅导---图的最短路径、拓扑排序和关键路径一、最短路径由图的概念可知，在一个图中，若从一顶点到另一顶点存在着一条路径(这里只讨论无回路的简单路径)，则称该路径长度为该路径上所经过的边的数目，它也等于该路径上的顶点数减1。

由于从一顶点到另一顶点可能存在着多条路径，每条路径上所经过的边数可能不同，即路径长度不同，我们把路径长度最短（即经过的边数最少）的那条路径叫做最短路径，其路径长度叫做最短路径长度或最短距离。

上面所述的图的最短路径问题只是对无权图而言的，若图是带权图，则把从一个顶点i到图中其余任一个顶点j的一条路径上所经过边的权值之和定义为该路径的带权路径长度，从v i到v j可能不止一条路径，我们把带权路径长度最短（即其值最小）的那条路径也称作最短路径，其权值也称作最短路径长度或最短距离。

例如，在图3-1中，从v0到v4共有三条路径：{0,4},{0,1,3,4}和{0,1,2,4}，其带权路径长度分别为30,23和38，可知最短路径为{0,1,3,4}，最短距离为23。

图3-1 带权图和对应的邻接矩阵实际上，这两类最短路径问题可合并为一类，这只要把无权图上的每条边标上数值为1的权就归属于有权图了，所以在以后的讨论中，若不特别指明，均认为是求带权图的最短路径问题。

求图的最短路径问题用途很广。

例如，若用一个图表示城市之间的运输网，图的顶点代表城市，图上的边表示两端点对应城市之间存在着运输线，边上的权表示该运输线上的运输时间或单位重量的运费，考虑到两城市间的海拔高度不同，流水方向不同等因素，将造成来回运输时间或运费的不同，所以这种图通常是一个有向图。

如何能够使从一城市到另一城市的运输时间最短或者运费最省呢？这就是一个求两城市间的最短路径问题。

求图的最短路径问题包括两个方面：一是求图中一顶点到其余各顶点的最短路径，二是求图中每对顶点之间的最短路径。

下面分别进行讨论。

1. 从一顶点到其余各顶点的最短路径对于一个具有n个顶点和e条边的图G，从某一顶点v i(称此为源点)到其余任一顶点v j(称此为终点)的最短路径，可能是它们之间的边(i,j)或<i,j>，也可能是经过k个（1≤k≤n-2，最多经过除源点和终点之外的所有顶点）中间顶点和k+1条边所形成的路径。