最短路径题目

初二数学最短路径练习题及答案导言：数学中的最短路径问题是指在网络图中寻找两个顶点之间路径长度最短的问题。

该问题在实际生活中应用广泛，比如在导航系统中为我们找到最短的路线。

对于初二学生而言，在学习最短路径问题时，题目练习是非常重要的。

本文将为初二数学学习者提供一些最短路径练习题及答案，帮助他们巩固知识和提高解题能力。

练习题一：某地有4个村庄A、B、C、D，它们之间的道路如下图所示。

要求从村庄A到村庄D，经过的道路距离最短，请你找出最短路径，并计算出最短路径的长度。

解答一：根据题目所给的道路图，我们可以使用最短路径算法来求解最短路径。

以下是求解过程：1. 首先，我们需要创建一个包含4个顶点的图，并初始化每条边的权值。

将A、B、C、D顶点分别标记为1、2、3、4。

村庄A到村庄B的距离为5，即A-5-B。

村庄A到村庄C的距离为3，即A-3-C。

村庄B到村庄C的距离为2，即B-2-C。

村庄B到村庄D的距离为6，即B-6-D。

村庄C到村庄D的距离为4，即C-4-D。

2. 接下来，我们使用迪杰斯特拉算法求解最短路径。

a) 首先，我们将起始顶点A的距离设置为0，其他顶点的距离设置为无穷大。

b) 然后，我们选择距离最短的顶点，并将其标记为已访问。

c) 然后，我们更新与该顶点相邻的顶点的距离。

如果经过当前顶点到达邻接顶点的距离比已记录的最短路径更短，就更新最短路径。

d) 重复上述步骤，直到找到最短路径为止。

3. 经过计算，最短路径为A-3-C-4-D，距离为7。

练习题二：某城市有6个地点，它们之间的交通图如下所示。

请你计算从地点A到地点F的最短路径，并给出最短路径的长度。

解答二：根据题目所给的交通图，我们可以使用最短路径算法来求解最短路径。

以下是求解过程：1. 首先，我们需要创建一个包含6个顶点的图，并初始化每条边的权值。

将地点A、B、C、D、E、F分别标记为1、2、3、4、5、6。

地点A到地点B的距离为4，即A-4-B。

最短路径经典练习题一、基础理论题1. 请简述迪杰斯特拉（Dijkstra）算法的基本原理。

2. 什么是贝尔曼福特（BellmanFord）算法？它适用于哪些类型的图？3. 请解释A搜索算法中启发式函数的作用。

4. 如何判断一个图中是否存在负权环？5. 简述弗洛伊德（Floyd）算法的基本步骤。

二、单选题A. 迪杰斯特拉算法B. 贝尔曼福特算法C. 弗洛伊德算法D. A搜索算法A. 初始化距离表B. 选择当前距离最小的顶点C. 更新相邻顶点的距离D. 重复步骤B和C，直到所有顶点都被访问A. 迪杰斯特拉算法B. 贝尔曼福特算法C. 弗洛伊德算法D. A搜索算法A. 启发式函数B. 起始节点C. 目标节点D. 图的规模三、多选题A. 迪杰斯特拉算法B. 贝尔曼福特算法C. 深度优先搜索算法D. 广度优先搜索算法A. 初始化距离矩阵B. 更新距离矩阵C. 查找负权环D. 输出最短路径A. 图的存储结构B. 顶点的数量C. 边的数量D. 起始顶点四、计算题A (3)>B (2)> D\ | ^ \ | | \(2)\ | (1)/C \|(4)A (1)>B (2)> D\ ^ |\(2)\ | (3)/C \ |(1)A (2)>B (3)> D\ | ^\(3)\ | (1)/C \ |(2)五、应用题1. 假设你是一名地图软件的开发者，请简述如何利用最短路径算法为用户提供导航服务。

2. 在一个网络游戏中，玩家需要从起点到达终点，途中会遇到各种障碍。

请设计一种算法，帮助玩家找到最佳路径。

六、判断题1. 迪杰斯特拉算法只能用于无向图的最短路径问题。

（）2. 贝尔曼福特算法可以检测图中是否存在负权环。

（）3. 在A搜索算法中，如果启发式函数h(n)始终为0，则算法退化为Dijkstra算法。

（）4. 弗洛伊德算法的时间复杂度与图中顶点的数量无关。

（）七、填空题1. 迪杰斯特拉算法中，用来存储顶点到源点最短距离的数组称为______。

最短路径练习题一、基础理论题1. 请简述迪杰斯特拉（Dijkstra）算法的基本原理。

2. 什么是贝尔曼福特（BellmanFord）算法？它与迪杰斯特拉算法有什么区别？3. 请解释弗洛伊德（Floyd）算法的核心思想。

4. A算法是如何工作的？它相较于其他最短路径算法有什么优势？5. 请列举几种常见的最短路径问题应用场景。

二、单项选择题A. 初始化距离表，将起点到其他点的距离设置为无穷大B. 每次从距离表中找出未确定最短路径的点中距离最小的点C. 更新距离表时，可以出现负权边D. 确定起点到所有点的最短路径后，算法结束A. 图中存在负权边B. 图中存在负权环C. 图中不存在负权环D. 图中存在多条边3. 在弗洛伊德算法中，path[i][j]表示的是？A. 从点i到点j的最短路径长度B. 从点i到点j的最短路径C. 从点j到点i的最短路径长度D. 从点j到点i的最短路径A. 当前点到终点的直线距离B. 当前点到终点的实际路径长度C. 当前点的邻接点数量D. 当前点的父节点三、填空题1. 在迪杰斯特拉算法中，用来存储起点到各点最短距离的数据结构是______。

2. 贝尔曼福特算法的时间复杂度为______。

3. 弗洛伊德算法的核心三重循环分别对应三个变量：______、______和______。

4. A算法的启发式函数f(n) = g(n) + h(n)，其中g(n)表示______，h(n)表示______。

四、应用题A 6 B| \ |1 2 3| \ |D 4 CA >B (2)^ || vC <D (1)A >B (4)^ || vC >D (2)4. 请简述如何使用A算法解决迷宫问题，并给出一个示例。

五、编程题1. 编写一个迪杰斯特拉算法的实现，输入为一个带权无向图和起点，输出为起点到其他各顶点的最短路径长度。

2. 编写一个贝尔曼福特算法的实现，输入为一个带权有向图和起点，输出为起点到其他各顶点的最短路径长度及是否存在负权环。

10个节点最短路径算法题最短路径算法是图论中的一种重要算法，用于计算两个节点之间的最短路径。

在以下内容中，将介绍并讨论10个与最短路径算法相关的题目，并给出相关参考内容，以加深对该算法的理解。

1. Dijkstra算法题目：给定一个加权有向图和一个源节点，请找出从源节点到每个其他节点的最短路径。

参考内容：《算法导论》（Introduction to Algorithms）一书中第24章，提供了关于Dijkstra算法原理和实现的详细解释。

2. Bellman-Ford算法题目：给定一个加权有向图和一个源节点，请找出从源节点到每个其他节点的最短路径，其中图中可能存在负权边。

参考内容：《算法导论》第24章，提供了Bellman-Ford算法的详细解释和实现。

3. Floyd-Warshall算法题目：给定一个有向图，请找出任意两个节点之间的最短路径。

参考内容：《算法导论》第25章，提供了Floyd-Warshall算法的详细解释和实现。

4. A*算法题目：给定一个加权有向图、一个源节点和一个目标节点，请找出从源节点到目标节点的最短路径。

参考内容：《人工智能：一种现代方法》（ArtificialIntelligence: A Modern Approach）一书中第3章，提供了A*算法的详细解释和实现。

5. Johnson算法题目：给定一个加权有向图，请找出任意两个节点之间的最短路径，其中图中可能存在负权边。

参考内容：《算法导论》第25章，提供了Johnson算法的详细解释和实现。

6. SPFA算法题目：给定一个加权有向图和一个源节点，请找出从源节点到每个其他节点的最短路径。

参考内容：各种算法教材、博客文章和论文中提供了SPFA算法的详细解释和实现，如《算法导论》第24章。

7. Yen's算法题目：给定一个加权有向图、一个源节点和一个目标节点，请找出从源节点到目标节点的K条最短路径。

参考内容：论文《Finding the K Shortest Loopless Paths in a Network》中提供了Yen's算法的详细解释和实现。

我国计算机应用技术大赛全国算法精英大赛是一项旨在挖掘和培养计算机算法领域人才的赛事，也是我国计算机领域最具权威性和影响力的赛事之一。

本届比赛共吸引了来自全国各地的上千名算法精英参赛，他们在比赛过程中展现出了高超的算法实力和丰富的计算机知识，为整个赛事增添了无限的精彩和激烈竞争。

通过参与本次大赛的比赛内容和过程观察，我们对比赛中的一些典型题目进行了深入分析和解题思路总结。

我们希望通过本文，向广大计算机算法爱好者和参与者们介绍一些本次大赛的精彩题目，并提供一些解题思路和算法分析，帮助大家更好地了解和掌握这些优秀的算法应用。

以下是我们对本次大赛某些典型题目的解题思路总结和分析：1. 题目一：最短路径问题这是一个典型的图论问题，要求在一个有向加权图中求解从起点到终点的最短路径。

常见的解决方法是使用Dijkstra算法或者Floyd算法，通过编程实现对图的遍历和动态规划，找出最短路径的权值和路径节点。

在实际编程过程中，需要考虑如何有效地存储图结构和权值，以及如何高效地搜索和更新最短路径信息。

2. 题目二：动态规划问题动态规划是一类重要的算法设计思想，本次比赛中也出现了相关的动态规划问题。

这类问题通常要求在满足一定约束条件下，求解某种最优解或者最大值。

动态规划算法通过状态转移和递推的方式，逐步逼近最优解。

在解决动态规划问题时，需要注意如何定义状态和状态转移方程，以及如何设计合适的算法逻辑和辅助数据结构，以实现高效的动态规划求解。

3. 题目三：字符串匹配与查找问题字符串匹配与查找是计算机算法领域中一个经典且常见的问题。

在本次比赛中，也出现了相关的字符串匹配和查找题目。

常见的解决方法包括暴力法、KMP算法、Boyer-Moore算法等。

这些方法都在字符串匹配效率、空间复杂度和实际应用场景上有不同的特点和优劣势。

在解决字符串匹配和查找问题时，需要根据具体情况选择合适的方法，并且要考虑相关算法的实现细节和优化技巧。

蚂蚁爬行的最短路径1．一只蚂蚁从原点0出发来回爬行，爬行的各段路程依次为：+5，-3，+10，-8，-9，+12，-10．回答下列问题：（1）蚂蚁最后是否回到出发点0；（2）在爬行过程中，如果每爬一个单位长度奖励2粒芝麻，则蚂蚁一共得到多少粒芝麻． 解：（1）否，0+5-3+10-8-9+12-10=-3，故没有回到0； （2）（|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-9|+|+12|+|-10|）×2=114粒2. 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点B 的最短距离是 .解：如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段AB 即为最短路线．AB = 51222=+．3．（2006•茂名）如图，点A 、B 分别是棱长为2的正方体左、右两侧面的中心，一蚂蚁从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是 cm第6题．解：由题意得，从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是两个棱长的长，即2+2=4．4．如图，一只蚂蚁从正方体的底面A 点处沿着表面爬行到点上面的B 点处，它爬行的最短路线是（ ）A ．A ⇒P ⇒B B ．A ⇒Q ⇒BC ．A ⇒R ⇒BD ．A ⇒S ⇒B解：根据两点之间线段最短可知选A ． 故选A ．5．如图，点A 的正方体左侧面的中心，点B 是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是（ ）解：如图，AB =()1012122=++．故选C ．16． 正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为（ ）解：展开正方体的点M 所在的面， ∵BC 的中点为M ， 所以MC =21BC =1， 在直角三角形中AM = =．7．如图，点A 和点B 分别是棱长为20cm 的正方体盒子上相邻面的两个中心，一只蚂蚁在盒子表面由A 处向B 处爬行，所走最短路程是 cm 。

解：将盒子展开，如图所示：AB =CD =DF +FC =21EF + 21GF =21×20+21×20=20cm ． 故选C ．8. 正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为 .解：将正方体展开，连接M 、D 1， 根据两点之间线段最短，MD =MC +CD =1+2=3，MD 1= 132322212=+=+DD MD ．9．如图所示一棱长为3cm 的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm ，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm ，则它从下底面点A 沿表面爬行至侧面的B 点，最少要用 2.5秒钟．解：因为爬行路径不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．（1）展开前面右面由勾股定理得AB = = cm ；（2）展开底面右面由勾股定理得AB ==5cm ；第7题1AB A 1B 1D CD 1C 124所以最短路径长为5cm ，用时最少：5÷2=2.5秒．10．（2009•恩施州）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是 。

1．等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角__________（简写成“等边对等角”）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互__________（简写成“三线合一”）．等腰三角形的其他性质：（1）等腰三角形两腰上的中线、高分别相等．（2）等腰三角形两底角的平分线相等．（3）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．（4）当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°．2．等腰三角形的判定判定等腰三角形的方法：（1）定义法：有两边__________的三角形是等腰三角形；（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对__________”）．数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）．【注意】（1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”“腰”．（2）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定．3．等边三角形及其性质等边三角形的概念：三边都相等的三角形是__________三角形．等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于__________．【注意】（1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；（2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质．4．等边三角形的判定判定等边三角形的方法：（1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形．（2）三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）有一个角是60°的__________三角形是等边三角形．5．含30°角的直角三角形的性质一在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的__________．【注意】（1）该性质是含30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性质，更不能应用．（2）这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系．（3）该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切．（4）在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15°的角转化后，再利用这个性质解决问题．6．最短路径问题1．求直线异侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要连接这两点，所得线段与直线的交点即为所求的位置．2．求直线同侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，所得线段与该直线的交点即为所求的位置．K知识参考答案：1．相等，重合2．相等，等边3．等边，60°4．等腰5．一半K—重点等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质K—难点等腰三角形中的分类讨论问题K—易错等腰三角形“三线合一”性质的应用一、等腰三角形的性质和判定1．应用“三线合一”性质的前提条件是在等腰三角形中，且必须是底边上的中线、底边上的高和顶角平分线，若是一腰上的高与中线就不一定重合．2．等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线（或底边上的高、底边上的中线）所在的直线是它的对称轴．【例1】如图，AD⊥BC，D是BC的中点，那么下列结论错误的是A．△ABD≌△ACD B．∠B=∠CC．△ABC是等腰三角形D．△ABC是等边三角形【答案】D【解析】因为AD⊥BC，D是BC的中点，所以△ABD与△ACD关于直线AD对称，由轴对称的性质可知△ABD ≌△ACD，∠B=∠C，△ABC是等腰三角形，但不能得到△ABC是等边三角形，故选D．【例2】已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60︒，则这个等腰三角形的顶角是A．30︒B．60︒C．150︒D．30︒或150︒【答案】D【例3】如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，E是AB上的一点，EF∥AD交CA的延长线于F．求证：△AEF是等腰三角形．【解析】∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD．又∵AD∥EF，∴∠F=∠CAD，∠FEA=∠BAD，∴∠FEA=∠F，∴△AEF是等腰三角形．二、等边三角形的性质和判定判定等边三角形时常用的选择方法：若已知三边关系，一般选用（1）；若已知三角关系，一般选用（2）；若已知该三角形是等腰三角形，一般选用（3）．【例4】下列推理中，错误的是A．∵∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形B．∵AB=AC，且∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形C．∵∠A=60°，∠B=60°，∴△ABC是等边三角形D．∵AB=AC，∠B=60°，∴△ABC是等边三角形【答案】B【例5】如图，已知OA=5，P是射线ON上的一个动点，∠AON=60°．当OP=__________时，△AOP为等边三角形．【答案】5【解析】已知∠AON=60°，当OP=OA=5时，根据有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形，可得△AOP 为等边三角形．故答案为：5．三、含30°角的直角三角形的性质含30°角的直角三角形的性质是求线段长度和证明线段倍分关系的重要依据．【例6】在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D．如果∠A=30°，AE=6 cm，那么CE等于A．4 cm B．2 cmC．3 cm D．1 cm【答案】C四、最短路径问题通常利用轴对称变换将不在一条直线上的两条或多条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的选择. 【例7】公园内两条小河MO，NO在O处汇合，两河形成的半岛上有一处景点P（如图所示）．现计划在两条小河上各建一座小桥Q和R，并在半岛上修三段小路，连通两座小桥与景点，这两座小桥应建在何处才能使修路费用最少？请说明理由．【解析】如图，作P关于OM的对称点P′，作P关于ON的对称点P″，连接P′P″，分别交MO，NO于Q，R，连接PQ，PR，则P′Q=PQ，PR=P″R，则Q，R就是小桥所在的位置．理由：在OM上任取一个异于Q的点Q′，在ON上任取一个异于R的点R′，连接PQ′，P′Q′，Q′R′，P″R′，PR′，则PQ′=P′Q′，PR′=P″R′，且P′Q′+Q′R′+R′P″>P′Q+QR+RP″，所以△PQR的周长最小，故Q，R就是我们所求的小桥的位置．。