信号及其描述习题
1.1求周期方波（图1-4）的傅立叶级数（复指数函数形式）。画出频谱图|C n |—ω ；φn —ω 图并与表1-1对比。
解：傅立叶级数的复指数形式表达式：⋅⋅⋅±±±==
∑+∞
-∞
=,3,2,1,0;)(0n e
C t x n t
jn n
ω
式中：
所以：
幅值频谱：
相位频谱：
傅立叶级数的复指数形式的幅值频谱图和相位频谱都是双边频谱图。 1.2求正弦信号 x (t )=x 0sin ωt 的绝对均值μ|x |和均方根值x rms
解：
1.3求指数函数 的频谱。 解：
1.4求符号函数（题图1-1a ）和单位阶跃函数（题图1-1b ）的频谱.
[]
()⎪⎩⎪⎨⎧
⋅⋅⋅±±±=⋅
⋅⋅±±±=-=--=+⨯+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦
⎤+⎢⎣⎡-==---------⎰
⎰⎰,6,4,2;
0,5,3,1;2cos 12111)(1)(12
0000
2
00200202200
0000
00
0000n n n A j n n A j e e n jA n jA e jn A T e jn A T dt Ae dt e A T dt e t x T C jn jn T t jn T t jn T t jn T t jn T T t jn n πππ
ππωωπ
πωωωωω⋅⋅⋅±±±±=⎪⎭⎫ ⎝⎛
-=∑
+∞
-∞=,7,5,3,1;2)(0n e
n A j t x t jn n ωπ⋅⋅⋅±±±==+=,5,3,1;22
2n n A C C C nI nR n π
⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅---=⋅⋅⋅=-=⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-==,5,3,1;2,5,3,1;202n n n A arctg C C arctg nR nI n ππ
πϕω
π
πωμ2;2sin 1)(lim 0000000=
===⎰⎰
∞→T x tdt x T dt t x T T T x 式中：()2
sin 1)(1002
0002000x dt dt x T dt t x T x T T rms ===⎰
⎰ω)0;0(;)(≥>=-t Ae t x t ααf j A dt e Ae dt e t x f X ft j t ft j παπαπ2)()(022+=⋅==⎰
⎰∞+--∞+∞--
解:1) 符号函数的频谱:
令:
2)单位阶跃函数的频谱:
1.5求被截断的余弦函数cos ω0t （题图1-2）的傅立叶变换。
解：
1.6求指数衰减振荡信号（见图1-11b ）： 的频谱 解：
1.7设有一时间函数f (t )及其频谱(题图1-3所示)，现乘以余弦型振荡cos ω0t ，(ω0>ωm )。
在这个关系中，函数f (t )叫做调制信号，余弦型振荡cos ω0t 叫做载波。试求调幅信号f (t )cos ω0t 的傅立叶变换。示意画出调幅信号及其频谱。又问：若ω0<ωm 时将会出现什么情况？ 解： f
j dt e e dt e e dt e t x f X t x e t x ft j t
ft j t ft j t ππαπααπαα1)1(lim )()(;)(lim )(022002110
1=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-===⎰
⎰⎰
∞+---∞--→--→f
j dt e e dt e t x f X t x e t x ft j t ft j t
ππααπαα21lim )()(;)(lim )(0202220
2=⎪⎭⎫ ⎝⎛===⎰
⎰∞+--→--→⎩⎨
⎧≥<=T t T t t t x ;
0;cos )(0ω(
)
[]210000222202sin sin 2)(2)(sin 2)(2)(sin 2
12cos )()(00
θθππππππππππ⋅+⋅=⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡--+++=+===--+-+--+∞∞--⎰⎰
⎰c c T T f f T f f T f f T f f T dt e e e dt te f dt e t x f X ft j t f j t f j T T T
T
ft j ft
j )0,0(;sin )(0≥>=-t t e t x t
αωα(
)
()
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-++=-⋅===-∞+---+∞
-+∞∞--⎰
⎰⎰
)(21)(2122
2sin )()(00202220
0200f f j f f j j dt e e e j
e dt
e t
f e dt e t x f X ft j t f j t f j t ft j t
ft j παπαππππαπαπ[]()
1121
)(2cos )()()(22220200dt e e e t f dt e t f t f dt e t x f X ft j t f j t f j ft j ft
j ππππππ⋅⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+=⋅==-∞
+∞
---+∞
∞
-+∞∞--⎰⎰
⎰
