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二叉树知识点总结1. 二叉树的性质1.1 二叉树的性质一：二叉树的深度二叉树的深度是指从根节点到叶子节点的最长路径长度。
对于一个空树而言，它的深度为0；对于只有一个根节点的树而言，它的深度为1。
根据定义可知，深度为k的二叉树中，叶子节点的深度值为k。
由此可知，二叉树的深度为所有叶子节点深度的最大值。
1.2 二叉树的性质二：二叉树的高度二叉树的高度是指从根节点到叶子节点的最短路径长度。
对于一个空树而言，它的高度为0；对于只有一个根节点的树而言，它的高度为1。
由此可知，二叉树的高度总是比深度大一。
1.3 二叉树的性质三：二叉树的节点数量对于一个深度为k的二叉树而言，它最多包含2^k - 1个节点。
而对于一个拥有n个节点的二叉树而言，它的深度最多为log2(n+1)。
1.4 二叉树的性质四：满二叉树满二叉树是一种特殊类型的二叉树，它的每个节点要么是叶子节点，要么拥有两个子节点。
满二叉树的性质是：对于深度为k的满二叉树而言，它的节点数量一定是2^k - 1。
1.5 二叉树的性质五：完全二叉树完全二叉树是一种特殊类型的二叉树，它的所有叶子节点都集中在树的最低两层，并且最后一层的叶子节点从左到右依次排列。
对于一个深度为k的完全二叉树而言，它的节点数量一定在2^(k-1)和2^k之间。
2. 二叉树的遍历二叉树的遍历是指按照一定的顺序访问二叉树的所有节点。
二叉树的遍历主要包括前序遍历、中序遍历和后序遍历三种。
2.1 前序遍历（Pre-order traversal）前序遍历的顺序是：根节点 -> 左子树 -> 右子树。
对于一个二叉树而言，前序遍历的结果就是按照“根-左-右”的顺序访问所有节点。
2.2 中序遍历（In-order traversal）中序遍历的顺序是：左子树 -> 根节点 -> 右子树。
对于一个二叉树而言，中序遍历的结果就是按照“左-根-右”的顺序访问所有节点。
2.3 后序遍历（Post-order traversal）后序遍历的顺序是：左子树 -> 右子树 -> 根节点。
基本二叉树知识讲解一、有关二叉树的学习性质1：二叉树上叶子结点数等于度为2的结点数加1。
性质2：二叉树的第i层上至多有2的i次方减1个结点（i>=1）。
性质3：深度为h的二叉树至多有2的h次方减1个结点。
满二叉树：在一棵二叉树中，当第i层的结点树为2的i次方减1个时，称此层的结点数是满的。
当一棵二叉树中的每一层都满时，称此树为满二叉树。
特性：除叶子结点以外的其他的结点的度皆为2，且叶子结点在同一层上。
深度为h的满二叉树中的结点数为2的h次方减1。
性质4：设含有n个结点的完全二叉树的深度为k，则k=(int)(log2n)+1,即深度k等于log2n的整数部分再加1。
二叉树的存储结构1：顺序存储结构二叉树的顺序存储结构类型定义如下：#define TREEMINSIZE 10typedef struct{BTreeDT(数据类型) *base;int spacesize;BTreeDT nullvalue;}SeqTree;2：链式存储结构（一般的二叉树主要采用链式存储结构通常有二叉链表和三叉链表两种形式）1>二叉链表存储结构二叉链表中的每个结点由data，lchild和rchild三个域组成，定义如下：typedef struct bkbtnode{BTreeDT data;struct bkbtnode *lchild;struct bkbtnode *rchild;}BTNode,*BKBTree;在二叉链表中，查找某结点的孩子很容易实现，但查找某结点的双亲不方便。
一棵喊有n个结点的二叉树采用二叉链表存储时，将有2n-（n-1）=n+1个指针域是空的。
2>三叉链表存储结构typedef struct tkbtnode{BTreeDT data;struct tkbtnode *lchild;struct tkbtnode *rchild;struct tkbtnode *parent;}TKBTNode,*TKBTree;其中，parent域存放该结点双亲的指针。
数据结构之⼆叉树（BinaryTree）⽬录导读 ⼆叉树是⼀种很常见的数据结构，但要注意的是，⼆叉树并不是树的特殊情况，⼆叉树与树是两种不⼀样的数据结构。
⽬录 ⼀、⼆叉树的定义 ⼆、⼆叉树为何不是特殊的树 三、⼆叉树的五种基本形态 四、⼆叉树相关术语 五、⼆叉树的主要性质（6个） 六、⼆叉树的存储结构（2种） 七、⼆叉树的遍历算法（4种） ⼋、⼆叉树的基本应⽤：⼆叉排序树、平衡⼆叉树、赫夫曼树及赫夫曼编码⼀、⼆叉树的定义 如果你知道树的定义（有限个结点组成的具有层次关系的集合），那么就很好理解⼆叉树了。
定义：⼆叉树是n(n≥0)个结点的有限集，⼆叉树是每个结点最多有两个⼦树的树结构，它由⼀个根结点及左⼦树和右⼦树组成。
（这⾥的左⼦树和右⼦树也是⼆叉树）。
值得注意的是，⼆叉树和“度⾄多为2的有序树”⼏乎⼀样，但，⼆叉树不是树的特殊情形。
具体分析如下⼆、⼆叉树为何不是特殊的树 1、⼆叉树与⽆序树不同 ⼆叉树的⼦树有左右之分，不能颠倒。
⽆序树的⼦树⽆左右之分。
2、⼆叉树与有序树也不同（关键） 当有序树有两个⼦树时，确实可以看做⼀颗⼆叉树，但当只有⼀个⼦树时，就没有了左右之分，如图所⽰：三、⼆叉树的五种基本状态四、⼆叉树相关术语是满⼆叉树；⽽国际定义为，不存在度为1的结点，即结点的度要么为2要么为0，这样的⼆叉树就称为满⼆叉树。
这两种概念完全不同，既然在国内，我们就默认第⼀种定义就好）。
完全⼆叉树：如果将⼀颗深度为K的⼆叉树按从上到下、从左到右的顺序进⾏编号，如果各结点的编号与深度为K的满⼆叉树相同位置的编号完全对应，那么这就是⼀颗完全⼆叉树。
如图所⽰：五、⼆叉树的主要性质 ⼆叉树的性质是基于它的结构⽽得来的，这些性质不必死记，使⽤到再查询或者⾃⼰根据⼆叉树结构进⾏推理即可。
性质1：⾮空⼆叉树的叶⼦结点数等于双分⽀结点数加1。
证明：设⼆叉树的叶⼦结点数为X，单分⽀结点数为Y，双分⽀结点数为Z。
公共基础专题探究——二叉树1．6 树与二叉树树是一种简单的非线性结构，所有元素之间具有明显的层次特性。
在树结构中，没有前件的结点只有一个，称为树的根结点，简称树的根。
每一个结点可以有多个后件，称为该结点的子结点。
没有后件的结点称为叶子结点。
在树结构中，一个结点所拥有的后件的个数称为该结点的度，所有结点中最大的度称为树的度。
为该结点的左子树与右子树。
二叉树的基本性质：必考的题目（1）在二叉树的第k层上，最多有2k-1(k≥1)个结点；（2）深度为m的二叉树最多有2m-1个结点；（3）度为0的结点（即叶子结点）总是比度为2的结点多一个；（4）二叉树中 n = n0 +n1 +n2k层上有2k-1个结点深度为m的满二叉树有2m-1个结点。
若干结点。
二叉树的遍历：（一般画个图要你把顺序写出来）后序遍历（访问根结点在访问左子树和访问右子树之后）重点题型：二叉树的遍历例1：某二叉树的前序序列为ABCD，中序序列为DCBA，则后序序列为（DCBA ）。
【解析】前序序列为ABCD，可知A为根结点。
根据中序序列为DCBA可知DCB是A的左子树。
根据前序序列可知B是CD的根结点。
再根据中序序列可知DC是结点B的左子树。
根据前序序列可知，C是D的根结点，故后序序列为DCBA例2：对下列二叉树进行前序遍历的结果为 ABDYECFXZ例3：设二叉树如下，则后序序列为 DGEBHFCA【解析】本题中前序遍历为ABDEGCFH，中序遍历为DBGEAFHC，后序遍历为DGEBHFCA完全二叉树指除最后一层外，每一层上的结点数均达到最大值，在最后堆排序问题：例1：已知前序序列与中序序列均为ABCDEFGH，求后序序列【解析】设根节点为D≠0，左子树为L，右子树为R，有遍历顺序为：前：D-L-R 已知ABCDEFGH中：L-D-R 已知ABCDEFGH后：L-R-D 待求由此可知，L=0，D-R= ABCDEFGH故R-D=HGFEDCBA，即后序序列= HGFEDCBA变式训练1：已知后序序列与中序序列均为ABCDEFGH，求前序序列答案：HGFEDCBA，（这次R=0）结论：若前序序列与中序序列均为某序列，则后序序列为该序列的倒序，且为折线；同样地，若后序序列与中序序列均为某序列，则前序序列为该序列的倒序，且为折线例2：已知前序序列=ABCD，中序序列=DCBA，求后序序列【解析】设根节点为D≠0，左子树为L，右子树为R，有遍历顺序为：前：D-L-R 已知ABCD中：L-D-R 已知DCBA后：L-R-D 待求因为ABCD与DCBA正好相反，由此可知，R=0所以D-L=ABCD，即L-D=DCBA所以后序序列= DCBA变式训练2-1：中序序列=BDCA，后序序列=DCBA，求前序序列【解析】设根节点为D≠0，左子树为L，右子树为R，有遍历顺序为：前：D-L-R 待求中：L-D-R 已知BDC,A后：L-R-D 已知DCB,A通过观察可知，R=0，L={B,D,C}，D=A中、后变换时，{B,D,C}发生了变化，说明左子树结构特殊，进一步令中’：L’-D’-R’已知B,DC后’：L’-R’-D’已知DC,B可知L’=0，即D’=B，R’= DC可以画出二叉树示意图为：Array所以前序序列= ABCD变式训练2-2：中序序列=ABC，后序序列=CBA，求前序序列【解析】设根节点为D≠0，左子树为L，右子树为R，有遍历顺序为：前：D-L-R 待求中：L-D-R 已知ABC后：L-R-D 已知通过观察可知，L=0，D-R=ABC，R-D=CBA所以前序序列=D-L-R= D-R=ABC变式训练2-3：前序序列=ABC，中序序列=CBA，求后序序列【解析】设根节点为D≠0，左子树为L，右子树为R，有遍历顺序为：前：D-L-R 已知A,BC中：L-D-R 已知CB,A后：L-R-D 待求通过观察可知，D=A ，L={B,C}，R=0所以后序序列=CBA (一边偏)题型二：求二叉树的深度。
完全二叉树的总结点数公式完全二叉树是一种特殊的二叉树结构，它的每个节点都有两个子节点，除了最后一层的叶子节点外，其他层的节点都是满的。
在完全二叉树中，叶子节点只会出现在最后一层或者倒数第二层，并且最后一层的叶子节点都靠左排列。
在这篇文章中，我们将探讨完全二叉树的总结点数公式以及相关的性质。
完全二叉树的总结点数公式是一个重要的数学公式，它可以帮助我们计算完全二叉树中节点的数量。
这个公式的表达式如下：总结点数 = 2的h次方 - 1其中，h代表完全二叉树的高度。
这个公式的推导过程是基于完全二叉树的性质而得出的。
在完全二叉树中，每一层的节点数都是满的，除了最后一层。
因此，在计算总结点数时，我们只需要计算除了最后一层外的节点数量，然后再加上最后一层的节点数即可。
我们来看完全二叉树的第一层。
由于完全二叉树的定义，第一层只有一个节点，即根节点。
因此，第一层的节点数为1。
接下来，我们来看完全二叉树的第二层。
根据完全二叉树的定义，第二层的节点数等于第一层节点数的两倍，即2。
继续往下，我们可以得到第三层的节点数为4，第四层的节点数为8，以此类推。
可以观察到，每一层的节点数都是2的次方。
因此，我们可以用2的h次方来表示每一层的节点数。
接下来，我们需要计算除了最后一层之外的节点数。
在完全二叉树中，除了最后一层的节点数是满的，其他层的节点数都是满的。
如果完全二叉树的高度为h，那么除了最后一层之外的节点数可以用以下公式表示：除最后一层之外的节点数 = 2的(h-1)次方 - 1接下来，我们需要计算最后一层的节点数。
根据完全二叉树的定义，最后一层的节点数是小于或等于前面各层节点数的两倍。
因此，最后一层的节点数可以用以下公式表示：最后一层的节点数 = 2的(h-1)次方或者 2的h次方 - 2的(h-1)次方我们将除了最后一层之外的节点数和最后一层的节点数相加，即可得到完全二叉树的总结点数。
将上述公式代入，我们可以得到完全二叉树的总结点数公式：总结点数 = 2的(h-1)次方 - 1 + 2的h次方 - 2的(h-1)次方简化上述公式，我们可以得到：总结点数 = 2的h次方 - 1这就是完全二叉树的总结点数公式。
二叉树的基本性质（1）在二叉树的第k层上，最多有2k-1(k≥1)个结点；解释：最多的时候是满二叉树，它的第1层有21-1=1个结点；第2层有22-1=2个结点；第3层23-1=4个结点；第4层有24-1=8个结点；……（2）深度为m的二叉树最多有2m-1个结点，最少有m个结点；（3）对于任意一棵二叉树，度为0的结点（即叶子结点）总是比度为2的结点多一个；即如果其叶子结点数为N0，而度数为2的结点总数为N2，则N0=N2+1；（4）具有n个结点的二叉树，其深度至少为[log2n]+1,其中[log2n]+1表示取log2n的整数部分；（5）给定N个节点，能构成h(N)种不同的二叉树；h(N)为卡特兰数的第N项。
h(n)=C(n,2*n)/(n+1)。
（6）具有n个结点的完全二叉树的深度为[log2n]+1；（7）设完全二叉树共有n个结点。
如果从根结点开始，按层序（每一层从左到右）用自然数1，2，….n给结点进行编号（k=1,2….n），有以下结论：①若k=1，则该结点为根结点，它没有父结点；若k>1，则该结点的父结点编号为INT(k/2)；②若2k≤n，则编号为k的结点的左子结点编号为2k；否则该结点无左子结点（也无右子结点）；③若2k+1≤n，则编号为k的结点的右子结点编号为2k+1；否则该结点无右子结点。
性质1 在二叉树的第i层上至多有2i-1个结点(i>=1)。
证明采用归纳法证明此性质。
当i=1时，只有一个根结点，2i-1=20 =1,命题成立。
现在假定对所有的j，1<=j<i,命题成立，即第j层上至多有2j-2个结点，那么可以证明j＝i时命题也成立。
由归纳假设可知，第i－1层上至多有2i-2个结点。
由于二叉树每个结点的度最大为2，故在第i层上最大结点数为第i－1层上最大结点数的二倍，即2×（2i-2）＝2i-1。
性质2 深度为k的二叉树至多有2k－1个结点（k>=1)。
以二叉树或树作为表的组织形式，称为树表，它是一类动态查找表，不仅适合于数据查找，也适合于表插入和删除操作。
常见的树表：二叉排序树平衡二叉树B-树B+树9.3.1 二叉排序树二叉排序树（简称BST）又称二叉查找（搜索）树，其定义为：二叉排序树或者是空树，或者是满足如下性质（BST性质）的二叉树：❶若它的左子树非空，则左子树上所有节点值（指关键字值）均小于根节点值；❷若它的右子树非空，则右子树上所有节点值均大于根节点值；❸左、右子树本身又各是一棵二叉排序树。
注意：二叉排序树中没有相同关键字的节点。
二叉树结构满足BST性质：节点值约束二叉排序树503080209010854035252388例如:是二叉排序树。
66不试一试二叉排序树的中序遍历序列有什么特点？二叉排序树的节点类型如下：typedef struct node{KeyType key;//关键字项InfoType data;//其他数据域struct node*lchild,*rchild;//左右孩子指针}BSTNode;二叉排序树可看做是一个有序表，所以在二叉排序树上进行查找，和二分查找类似，也是一个逐步缩小查找范围的过程。
1、二叉排序树上的查找Nk< bt->keybtk> bt->key 每一层只和一个节点进行关键字比较！∧∧p查找到p所指节点若k<p->data，并且p->lchild=NULL，查找失败。
若k>p->data，并且p->rchild=NULL，查找失败。
查找失败的情况加上外部节点一个外部节点对应某内部节点的一个NULL指针递归查找算法SearchBST()如下（在二叉排序树bt上查找关键字为k的记录，成功时返回该节点指针，否则返回NULL）：BSTNode*SearchBST(BSTNode*bt,KeyType k){if(bt==NULL||bt->key==k)//递归出口return bt;if(k<bt->key)return SearchBST(bt->lchild,k);//在左子树中递归查找elsereturn SearchBST(bt->rchild,k);//在右子树中递归查找}在二叉排序树中插入一个关键字为k的新节点，要保证插入后仍满足BST性质。
二叉树性质3证明电5熊文昌证明：性质3：对任何一颗二叉树T，如果其终端结点数为n0，度为2的结点数为n2，则n0＝n2＋1；证明：设p[i]代表第i层的结点；1> ：i=1时仅有根结点―――――――n0=1,n2=0 →n0=n2+1;2>：i>1时对于每一层，其结点生成下层结点方式有两种：a> ：一个结点生成两个：n0=n0+1, n2=n2+1 → n0=n2+1;b> ：一个结点生成一个：n0=n0+0, n2=n2+0 → n0=n2+1;（这两种方式可生成任何二叉树）由此归纳可得：对任何一颗二叉树T，均有：n0＝n2＋1电4张晓力证明：设总结点数为n，则n=1时（即只有根结点），肯定满足n0=n2+1;设n=k时满足n0=n2+1，则n=k+1时，即在n=k的二叉树上再加一个结点，若结点的双亲为叶子，则新的根的叶子总数n0不变，n2不变，仍然满足n0=n2+1;若结点的双亲为只有一个分支的结点，则叶子数n0=n0+1，度为2的结点数n2=n2+1; 仍有n0=n2+1成立;故n=任意值均满足条件。
电3邢昆峰证明：设度为1的结点数为a，度为2的结点数为b，叶子数为c:除根结点外,每个度为2的结点共与三个叉相连，度为1的结点与两个叉相连，在根结点上虚拟一个叉则应是一个叉上有一个节点，即[3( b-1)+2+c+2a]/2+1=a+b+c;整理得c=b+1;证毕。
电1范倩证明性质5：设左孩子标号为a,右孩子标号为b,选定结点标号为k;1）当只有两层时：根结点标号为k=i=1，他的左孩子为a=2＝2i, 右孩子为b=3＝2i+1;2）当其层数超过两层时：取任一标号为k=i的结点，并设其左孩子标号a=2*I，其右孩子标号b=2*i+1，则可求得a与k之间按标号相差的结点个数j=a-k+1=i-1;在研究a的孩子时，a的左孩子和a之间按标号隔的是这（i-1)个结点的所有孩子[2*(i-1)]，以及b点，故得a的左孩子的标号a'=a+2*(i-1)+1+1=4*i=2a,故a的右孩子标号b'=a'+1=4*i+1=2a+1;反方向可证k结点的双亲为i/2;综上所述，k=2时成立；由前一层可推出下一层，故定理得证！简单证明，必有疏漏，还待修改，请老师和同学赐教！。
二叉树结构的特点二叉树是一种常见的数据结构，它具有以下特点：1. 结构简单：二叉树是一种有序树结构，每个节点最多只有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点。
这种结构的简洁性使得二叉树在实际应用中得到广泛使用。
2. 层次性：二叉树具有明显的层次性，即树的每一层都可以通过节点间的父子关系来确定。
根节点是第一层，根节点的子节点是第二层，以此类推。
3. 有序性：在二叉树中，每个节点的左子节点小于它，右子节点大于它。
这种有序性使得二叉树在查找和排序方面具有很高的效率。
4. 高度平衡：二叉树的高度平衡性是指树的左右子树的高度差不超过1。
高度平衡的二叉树可以保证查找、插入和删除操作的平均时间复杂度为O(log n)。
5. 递归性：二叉树的定义是递归的，即每个子树都是二叉树。
这种递归性质使得在二叉树上的操作可以通过递归算法来实现。
6. 存储结构灵活：二叉树的存储结构可以采用顺序存储和链式存储两种方式。
顺序存储是将二叉树的节点按照层次顺序存储在一维数组中，链式存储是通过每个节点的指针来连接各个节点。
在二叉树的基础上，还可以扩展出以下几种特殊的二叉树结构：1. 完全二叉树：完全二叉树是指除了最后一层外，其他层的节点个数都达到最大值，并且最后一层的节点依次从左到右排列。
完全二叉树的特点是高度平衡，可以用数组来存储。
2. 满二叉树：满二叉树是指每个节点都有两个子节点的二叉树，即除了叶子节点外，每个节点都有两个子节点。
满二叉树的特点是节点个数达到最大值，高度平衡。
3. 平衡二叉树：平衡二叉树是指任意节点的左右子树的高度差不超过1的二叉树。
平衡二叉树的特点是高度平衡，可以保证各种操作的时间复杂度较低。
4. 二叉搜索树：二叉搜索树是一种特殊的二叉树，它具有以下性质：对于树中的任意节点，其左子树中的节点值都小于它，右子树中的节点值都大于它。
二叉搜索树的特点是可以高效地进行查找、插入和删除操作。
5. 线索二叉树：线索二叉树是对二叉树的一种扩展，它的特点是在每个节点上增加了指向前驱节点和后继节点的指针。
二叉树知识点总结二叉树是数据结构中常见且重要的一种形式，它可以用于解决许多实际问题，并在算法和编程中扮演着重要的角色。
本文将对二叉树的基本概念、性质以及常见的应用进行总结。
一、基本概念和性质1. 二叉树的定义：二叉树是一种特殊的树形结构，每个节点最多有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点。
左子节点小于等于父节点，右子节点大于等于父节点。
2. 二叉树的特点：二叉树具有递归性质，即每个子节点都可以视为一棵二叉树。
同时，二叉树的遍历方式有前序遍历、中序遍历、后序遍历和层次遍历等。
3. 二叉树的性质：a. 二叉树的第i层至多有2^(i-1)个节点；b. 深度为k的二叉树至多有2^k - 1个节点；c. 对于任意一棵二叉树，若其叶节点数为n0，度为2的节点数为n2，则n0 = n2 + 1；d. 具有n个节点的完全二叉树的深度为(log2 n) + 1。
二、二叉树的应用1. 二叉搜索树：二叉搜索树（BST）是一种特殊的二叉树，它满足左子节点小于父节点，右子节点大于父节点的条件。
BST的特性使得查找、插入和删除操作的时间复杂度为O(log n)，因此在数据库、图形处理等领域经常被使用。
2. 平衡二叉树：由于BST的特性，如果数据插入的顺序不合理，可能导致树的高度过高，使得操作效率降低。
为了解决这个问题，人们提出了平衡二叉树（AVL）的概念。
AVL树通过旋转操作保持树的平衡，使得左右子树的高度差不超过1，从而保证了操作的效率。
3. 红黑树：红黑树是一种自平衡的二叉查找树，它在AVL树的基础上做了一些调整。
红黑树的特点是节点可以为红色或黑色，并且满足以下规则：根节点为黑色，叶节点为黑色且为空，红色节点的两个子节点都是黑色。
红黑树在C++标准库（STL）中的map和set等容器中得到了广泛应用。
4. 堆：堆是一种完全二叉树，它可以分为大顶堆和小顶堆。
大顶堆中，父节点的值大于或等于两个子节点的值，小顶堆则相反。
堆在排序算法中有广泛应用，如堆排序、优先队列等。
森林、树、⼆叉树的性质与关系森林、树、⼆叉树的性质与关系这篇博客写的太累了。
本⽂中对于这部分的讲解没有提到的部分：对于⼆叉树的遍历：重点讲了⾮递归遍历的实现⽅式和代码（递归⽅法使⽤的相对较多，请直接参考博客代码）对于哈夫曼编码和线索⼆叉树的代码实现没有列出。
树我们对于树和⼆叉树这⼀部分的内容主要研究树的逻辑结构和存储结构，由于计算机的特殊性存储结构及⼆叉树的简单性，我们更主要讨论⼆叉树的逻辑结构和存储结构并对其进⾏实现（其中包含⼆叉树的⼀些重要性质），另外我们在研究这⼀类问题时，⾸先要考虑到树与森林之间的转换，以及树与⼆叉树之间的转换。
从⽽简化为最简单的⼆叉树问题。
知识体系结构图：树的定义：（采⽤递归⽅法去定义树）树：n（n≥0）个结点的有限集合。
当n＝0时，称为空树；任意⼀棵⾮空树满⾜以下条件：（1）有且仅有⼀个特定的称为根的结点；（2）当n＞1时，除根结点之外的其余结点被分成m（m>0）个互不相交的有限集合T1,T2,… ,Tm，其中每个集合⼜是⼀棵树，并称为这个根结点的⼦树。
（⽤图的定义法去描述树：连通⽽不含回路的⽆向图称为⽆向树，简称树，常⽤T表⽰树）树的基本术语：结点的度：结点所拥有的⼦树的个数。
树的度：树中各结点度的最⼤值。
叶⼦结点：度为0的结点，也称为终端结点。
分⽀结点：度不为0的结点，也称为⾮终端结点。
孩⼦、双亲：树中某结点⼦树的根结点称为这个结点的孩⼦结点，这个结点称为它孩⼦结点的双亲结点；兄弟：具有同⼀个双亲的孩⼦结点互称为兄弟。
祖先、⼦孙：在树中，如果有⼀条路径从结点x到结点y，那么x就称为y的祖先，⽽y称为x的⼦孙。
路径：如果树的结点序列n1, n2, …, nk有如下关系：结点ni是ni+1的双亲（1<=i<k），则把n1, n2, …, nk称为⼀条由n1⾄nk的路径；路径上经过的边的个数称为路径长度。
结点所在层数：根结点的层数为1；对其余任何结点，若某结点在第k层，则其孩⼦结点在第k+1层。
二叉树的5个性质
1、在二叉树的第k 层上，最多有2k-1(k ≥1)个结点
证明：在二叉树的第i 层上最多有2 i-1 个节点
1层 1个 20
2层 2个 21
3层 4个 22
.....
i 层 2 i-1个
2、二叉树中如果深度为k,那么最多有2k -1个节点
证明：在具有相同深度的二叉树中，仅当每一层都含有最大结点数时，其树中结点数最多。
因此利用性质1可得，深度为k 的二叉树的结点数至多为：
20+21+…+2k-1=2k -1
故命题正确。
3、在任意一棵二叉树中，若终端结点的个数为n 0，度为2的结点数为n 2，则n o =n 2+1。
. 证明：n 0=n 2+1 n 0表示度数为0的节点 n 2表示度数为2的节点
推导过程 根据两个公式
1）. n=n 0+n 1+n 2 n 表示二叉树中的节点总个数,n 1表示度数为1的节点个数
2）. n-1=2n 2+n 1 通过观察二叉树我们可知，除了根节点之外，其余的任何节点都有一个入口分支（或其他节点都有一个入口分支），那么节点的总分支数等于节点个数减一，度数为2的节点有2个出口分支，度数为一的有1个出口分支，度数为0的节点没有出口分支 所以总的分支个数为 2n 2+n 1，因此有n=2n 2+n 1+1,
3）.比较n=n 0+n 1+n 2和n=2n 2+n 1+1两式，可得n 0=n 2+1。
5.在完全二叉树中，具有n 个节点的完全二叉树的深度为[log2n]+1，其中[log2n]+1是向下取整。
证明：
根据性质 2: 假设深度为k 的满二叉树的节点个数一定为2k -1，那么n=2k -1推得满二叉树的深度数为k=log 2(n+1);——深度为m 的二叉树最多有2k -1个节点，即是满二叉树的情形。
设完全二叉树是具有n 个节点的二叉树，若按层序编号那么其编号与同样深度的满二叉()
11122111n m m n a q S q --===---()
11111220n k k n a a q k ---==⋅=≥
树的节点编号在二叉树的位置相同，那么他就是完全二叉树，也就是说他的叶子结点只可能出现在最下边的两层，他的深度等于满二叉的深度，但他的节点一定少于或等于满二叉树的
节点个数（即n2k-1），但一定多于2k-1-1,该结论的理由为：由完全二叉树定义可得：深度
为k得完全二叉树的前k-1层是深度为k-1的满二叉树，一共有2k-1-1个结点。
由于完全二叉树深度为k，故第k层上还有若干个结点，因此该完全二叉树的结点个数：n>2k-1-1。
那么，综上所述，n就满足2k-1-1<n<=2k-1；
由于n为整数那么n<=2k-1可以推出n<2k ,n>2k-1-1可以推出n>=2k-1,所以2k-1<=n<2k , 对不等式取对数，即可得k-1<=log2n<k ，而k作为整数，因此k=[log2n]+1
4、具有n个结点的二叉树，其深度至少为[log2n]+1，其中[log2n]表示取log2n的整数部分。
证明：由上面的第五性质的证明和完全二叉树的概念可知，完全二叉树作为特殊形态的二叉树，在结点数相同的情况下，完全二叉树是二叉树中层数最少的一种形态，所以上述命题成立。
6、如果有一颗有n个节点的完全二叉树的节点按层次序编号，对任一层的节点k（1<=k<=n）有
1.如果k=1，则节点是二叉树的根，无父结点，如果k>1，则其父结点为[k/2]，向下取整
2.如果2k>n那么结点k没有左孩子，否则其左孩子为2k
3.如果2k+1>n那么结点k没有右孩子，否则右孩子为2k+1
此外，若对二叉树的根结点从0开始编号，则相应的k号结点的双亲结点的编号为（k －1）/2，左孩子的编号为2k＋1，右孩子的编号为2k＋2。
此性质可采用数学归纳法证明。
证明略。
这个性质是一般二叉树顺序存储的重要基础。
