二叉树的4个普遍性质和2个特殊性质的完善推导过程

二叉树的5个性质

1、在二叉树的第k 层上，最多有2k-1(k ≥1)个结点

证明：在二叉树的第i 层上最多有2 i-1 个节点

1层 1个 20

2层 2个 21

3层 4个 22

.....

i 层 2 i-1个

2、二叉树中如果深度为k,那么最多有2k -1个节点

证明：在具有相同深度的二叉树中，仅当每一层都含有最大结点数时，其树中结点数最多。因此利用性质1可得，深度为k 的二叉树的结点数至多为：

20+21+…+2k-1=2k -1

故命题正确。

3、在任意一棵二叉树中，若终端结点的个数为n 0，度为2的结点数为n 2，则n o =n 2+1。 . 证明：n 0=n 2+1 n 0表示度数为0的节点 n 2表示度数为2的节点

推导过程 根据两个公式

1）. n=n 0+n 1+n 2 n 表示二叉树中的节点总个数,n 1表示度数为1的节点个数

2）. n-1=2n 2+n 1 通过观察二叉树我们可知，除了根节点之外，其余的任何节点都有一个入口分支（或其他节点都有一个入口分支），那么节点的总分支数等于节点个数减一，度数为2的节点有2个出口分支，度数为一的有1个出口分支，度数为0的节点没有出口分支 所以总的分支个数为 2n 2+n 1，因此有n=2n 2+n 1+1,

3）.比较n=n 0+n 1+n 2和n=2n 2+n 1+1两式，可得n 0=n 2+1。

5.在完全二叉树中，具有n 个节点的完全二叉树的深度为[log2n]+1，其中[log2n]+1是向下取整。

证明：

根据性质 2: 假设深度为k 的满二叉树的节点个数一定为2k -1，那么n=2k -1推得满二叉树的深度数为k=log 2(n+1);——深度为m 的二叉树最多有2k -1个节点，即是满二叉树的情形。

设完全二叉树是具有n 个节点的二叉树，若按层序编号那么其编号与同样深度的满二叉()

11122111n m m n a q S q --===---()

11111220n k k n a a q k ---==?=≥

树的节点编号在二叉树的位置相同，那么他就是完全二叉树，也就是说他的叶子结点只可能出现在最下边的两层，他的深度等于满二叉的深度，但他的节点一定少于或等于满二叉树的

节点个数（即n2k-1），但一定多于2k-1-1,该结论的理由为：由完全二叉树定义可得：深度

为k得完全二叉树的前k-1层是深度为k-1的满二叉树，一共有2k-1-1个结点。由于完全二叉树深度为k，故第k层上还有若干个结点，因此该完全二叉树的结点个数：n>2k-1-1。

那么，综上所述，n就满足2k-1-1

由于n为整数那么n<=2k-1可以推出n<2k ,n>2k-1-1可以推出n>=2k-1,所以2k-1<=n<2k , 对不等式取对数，即可得k-1<=log2n

4、具有n个结点的二叉树，其深度至少为[log2n]+1，其中[log2n]表示取log2n的整数部分。

证明：由上面的第五性质的证明和完全二叉树的概念可知，完全二叉树作为特殊形态的二叉树，在结点数相同的情况下，完全二叉树是二叉树中层数最少的一种形态，所以上述命题成立。

6、如果有一颗有n个节点的完全二叉树的节点按层次序编号，对任一层的节点k（1<=k<=n）有

1.如果k=1，则节点是二叉树的根，无父结点，如果k>1，则其父结点为[k/2]，向下取整

2.如果2k>n那么结点k没有左孩子，否则其左孩子为2k

3.如果2k+1>n那么结点k没有右孩子，否则右孩子为2k+1

此外，若对二叉树的根结点从0开始编号，则相应的k号结点的双亲结点的编号为（k －1）/2，左孩子的编号为2k＋1，右孩子的编号为2k＋2。

此性质可采用数学归纳法证明。证明略。

这个性质是一般二叉树顺序存储的重要基础。

二叉树习题及答案

1.设一棵完全二叉树共有699 个结点，则在该二叉树中的叶子结点数？ 1根据二叉树的第i层至多有2A(i - 1)个结点；深度为k的二叉树至多有2A k - 1 个结点(根结点的深度为1)”这个性质： 因为2A9-1 < 699 < 2A10-1 , 所以这个完全二叉树的深度是10，前9 层是一个满二叉树， 这样的话，前九层的结点就有2A9-1=511 个；而第九层的结点数是2A(9-1)=256 所以第十层的叶子结点数是699-511=188 个；现在来算第九层的叶子结点个数。由于第十层的叶子结点是从第九层延伸的，所以应该去掉第九层中还有子树的结点。因为第十层有188 个，所以应该去掉第九层中的188/2=94 个；所以，第九层的叶子结点个数是256-94=162，加上第十层有188 个，最后结果是350 个 2完全二叉树：若二叉树中最多只有最下面两层的结点的度可以小于2，并且最下面一层的结点 (叶结点) 都依次排列在该层最左边的位置上，这样的二叉树为完全二叉树。 比如图：完全二叉树除叶结点层外的所有结点数(叶结点层以上所有结点数)为奇数，此题中，699 是奇数，叶结点层以上的所有结点数为保证是奇数，则叶结点数必是偶数，这样我们可以立即选出答案为B！如果完全二叉树的叶结点都排满了，则是满二叉树，易得满二叉树的叶结点数是其以上所有层结点数+1 比如图： 此题的其实是一棵满二叉树，我们根据以上性质，699+1=700，700/2=350，即叶结点数为350，叶结点层以上所有结点数为350-1=349。 3完全二叉树中，只存在度为2 的结点和度为0 的结点，而二叉树的性质中有一条是： nO=n2+1 ; nO指度为0的结点，即叶子结点，n2指度为2的结点，所以2n2+1=699 n2=349 ; n0=350 2.在一棵二叉树上第 5 层的结点数最多是多少一棵二叉树，如果每个结点都是是满的，那么会满足2A(k-1)1 。所以第5 层至多有2A(5-1)=16 个结点！ 3.在深度为5 的满二叉树中，叶子结点的个数为答案是16 ~ 叶子结点就是没有后件的结点~ 说白了~ 就是二叉树的最后一层~ 深度为K 的二叉树~ 最多有2Ak-1 个结点~ 最多有2A(k-1) 个结点~ 所以此题~ 最多有2A5-1=31 个结点~ 最多有2A(5-1)=16 个叶子结点~ 4.某二叉树中度为2 的结点有18 个，则该二叉树中有几个叶子结点？结点的度是指树中每个结点具有的子树个数或者说是后继结点数。 题中的度为2 是说具有的2 个子树的结点；二叉树有个性质：二叉树上叶子结点数等于度为2 的结点数加1。 5.在深度为7 的满二叉树中，度为2 的结点个数为多少，就是第一层只有一个节点，他有两个子节点，第二层有两个节点，他们也都有两个子节点以此类推，所以到第6 层，就有2的5次方个节点，他们都有两个子节点最后第7 层都没有子节点了。因为是深度为7 的。 所以就是1+2+4+8+16+32 了 2深度为1的时候有0个 深度为2的时候有1个 深度为3的时候有3个 深度为4的时候有7个 深度为n的时候有（2的n-1次方减1 ）个 6?—棵二叉树中共有70个叶子结点与80个度为1的结点，则该二叉树中的总结点数为？

二叉树的4个普遍性质和2个特殊性质的完善推导过程

二叉树的5个性质 1、在二叉树的第k 层上，最多有2k-1(k ≥1)个结点 证明：在二叉树的第i 层上最多有2 i-1 个节点 1层 1个 20 2层 2个 21 3层 4个 22 ..... i 层 2 i-1个 2、二叉树中如果深度为k,那么最多有2k -1个节点 证明：在具有相同深度的二叉树中，仅当每一层都含有最大结点数时，其树中结点数最多。因此利用性质1可得，深度为k 的二叉树的结点数至多为： 20+21+…+2k-1=2k -1 故命题正确。 3、在任意一棵二叉树中，若终端结点的个数为n 0，度为2的结点数为n 2，则n o =n 2+1。 . 证明：n 0=n 2+1 n 0表示度数为0的节点 n 2表示度数为2的节点 推导过程 根据两个公式 1）. n=n 0+n 1+n 2 n 表示二叉树中的节点总个数,n 1表示度数为1的节点个数 2）. n-1=2n 2+n 1 通过观察二叉树我们可知，除了根节点之外，其余的任何节点都有一个入口分支（或其他节点都有一个入口分支），那么节点的总分支数等于节点个数减一，度数为2的节点有2个出口分支，度数为一的有1个出口分支，度数为0的节点没有出口分支 所以总的分支个数为 2n 2+n 1，因此有n=2n 2+n 1+1, 3）.比较n=n 0+n 1+n 2和n=2n 2+n 1+1两式，可得n 0=n 2+1。 5.在完全二叉树中，具有n 个节点的完全二叉树的深度为[log2n]+1，其中[log2n]+1是向下取整。 证明： 根据性质 2: 假设深度为k 的满二叉树的节点个数一定为2k -1，那么n=2k -1推得满二叉树的深度数为k=log 2(n+1);——深度为m 的二叉树最多有2k -1个节点，即是满二叉树的情形。 设完全二叉树是具有n 个节点的二叉树，若按层序编号那么其编号与同样深度的满二叉() 11122111n m m n a q S q --===---() 11111220n k k n a a q k ---==?=≥

【学案】 绝对值的定义和性质

绝对值 学习目标: 1、理解、掌握绝对值概念.体会绝对值的作用与意义 2、掌握求一个已知数的绝对值和有理数大小比较的方法. 3、体验运用直观知识解决数学问题的成功. 学习重点：绝对值的概念 学习难点：绝对值的概念与两个负数的大小比较 教学方法：学生自主探索 教学过程 一、学前准备 问题：如下图 小红和小明从同一处O出发，分别向东、西方向行走10米，他们行走的路线（填相同或不相同），他们行走的距离（即路程远近） 二、合作探究、归纳 1、由上问题可以知道，10到原点的距离是，—10到原点的距离也是 到原点的距离等于10的数有个，它们的关系是一对 . 定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作∣a∣ 2、练习 （1）式子∣-5.7∣表示的意义是 . （2）—2的绝对值表示它离开原点的距离是个单位，记作 . （3）∣24∣= . ∣—3.1∣= ，∣—1 3 ∣= ，∣0∣= . 3、思考、交流、归纳 由绝对值的定义可知：一个正数的绝对值是；一个负数的绝对值是它的；0的绝对值是 . 用式子表示就是： 当a是正数（即a>0）时，∣a∣= ； 当a是负数（即a<0）时，∣a∣= ； 当a=0时，∣a∣= . 4、随堂练习 P11第1、2、3大题

5、阅读思考，发现新知 阅读P12，你有什么发现吗？ 在数轴上表示的两个数，右边的数总要 左边的数 也就是：（1）正数 0，负数 0，正数大于负数. （2）两个负数，绝对值大的 . 三、巩固新知，灵活应用 1、例题 P13 2、比较下列各对数的大小：—3和—5； —2.5和—∣—2.25∣ 四、小结： 本节课的收获： 你还有什么疑惑？ 五、当堂清 1．______7.3=-；______0=；______75.0=+-． 2．______31=+；______45=--；______3 2=-+． 3．______510=-+-；______5.55.6=---． 4．______的相反数是它本身，_____的绝对值是它本身，_______的绝对值是它的相反数．

全国计算机等级考试二级公共基础之树与二叉树1

全国计算机等级考试二级公共基础之树与二叉树 1.6 树与二叉树 1.6.1 树的基本概念 树是一种简单的非线性结构。在树这种结构中，所有元素之间的关系具有明显的层次关系。用图形表示树这种数据结构时，就象自然界中的倒长的树，这种结构就用“树”来命名。如图： 在树结构中，每个结点只有一个前件，称为父结点，没有前件的结点只有一个，称为树的根结点，简称为树的根（如R）。 在树结构中，每一个结点可以有多个后件，它们都称为该结点的子结点。没有后件的结点称为叶子结点（如W，Z，A ，L，B，N，O，T，H，X）。 在树结构中，一个结点拥有的后件个数称为结点的度（如R的度为4，KPQDEC 结点度均为2）。 树的结点是层次结构，一般按如下原则分层：根结点在第1层；同一个层所有结点的所有子结点都在下一层。树的最大层次称为树的深度。如上图中的树深度为4。R结点有4棵子树，KPQDEC结占各有两棵子树；叶子没有子树。 在计算机中，可以用树结构表示算术运算。在算术运算中，一个运算符可以有若干个运算对象。如取正（+）与取负（-）运算符只有一个运算对象，称为单目运算符；加（+）、减（-）、乘（*）、除（/）、乘幂（**）有两个运算对象，称为双目运算符；三元函数f(x,y,z)为 f函数运算符，有三个运算对象，称为三目运算符。多元函数有多个运算对象称多目运算符。 用树表示算术表达式原则是： (1)表达式中的每一个运算符在树中对应一个结点，称为运算符结点

(2)运算符的每一个运算对象在树中为该运算结点的子树(在树中的顺序从 左到右) (3)运算对象中的单变量均为叶子结点 根据上面原则，可将表达式：a*(b+c/d)+c*h-g*f表示如下的树。 树在计算机中通常用多重链表表示，多重链表的每个结点描述了树中对应结点的信息，每个结点中的链域（指针域）个数随树中该结点的度而定。 1.6.2 二叉树及其基本性质 1. 什么是二叉树 二叉树是很有用的非线性结构。它与树结构很相似，树结构的所有术语都可用到二叉树这种结构上。 二叉树具有以下两个特点： （1）非空两叉树只有一个根结点 （2）每个结点最多有两棵子树，且分别称该结点的左子树与右子树。 也就是说，在二叉树中，每一个结点的度最大为2，而且所有子树也均为二叉树。二叉树中的每一个结点可以有左子树没有右子树，也可以有右子树没有左子树，甚至左右子树都没有。

绝对值的性质及运用

知识精讲 绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离. 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. ①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值 号. ②一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. ③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0. ④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5. 求字母a 的绝对值： ①(0)0(0)(0)a a a a a a >??==??-?=?-≤? 利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小. 绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0. 例如：若0a b c ++=，则0a =，0b =，0c = 绝对值的其它重要性质： （1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a ≥，且a a ≥-； （2）若a b =，则a b =或a b =-； （3）ab a b =?；a a b b =(0)b ≠； （4）222||||a a a ==； a 的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离． a b -的几何意义：在数轴上，表示数a ．b 对应数轴上两点间的距离． 绝对值

【例题精讲】 模块一、绝对值的性质 【例1】到数轴原点的距离是2的点表示的数是（ ） A ．±2 B．2 C ．-2 D ．4 【例2】下列说法正确的有（ ） ①有理数的绝对值一定比0大；②如果两个有理数的绝对值相等，那么这两个数相等；③互为相反数的两个数的绝对值相等；④没有最小的有理数，也没有绝对值最小的有理数；⑤所有的有理数都可以用数轴上的点来表示；⑥符号不同的两个数互为相反数． A ．②④⑤⑥ B ．③⑤ C ．③④⑤ D ．③⑤⑥ 【例3】如果a 的绝对值是2，那么a 是（ ） A ．2 B ．-2 C ．±2 D．12 ± 【例4】若a ＜0，则4a +7|a |等于（ ） A ．11a B ．-11a C ．-3a D ．3a 【例5】一个数与这个数的绝对值相等，那么这个数是（ ） A ．1，0 B ．正数 C ．非正数 D ．非负数 【例6】已知|x |=5，|y |=2，且xy ＞0，则x -y 的值等于（ ） A ．7或-7 B ．7或3 C ．3或-3 D ．-7或-3 【例7】若1-=x x ，则x 是（ ） A ．正数 B ．负数 C ．非负数 D ．非正数 【例8】已知：a ＞0，b ＜0，|a|＜|b|＜1，那么以下判断正确的是（ ） A ．1-b ＞-b ＞1+a ＞a B ．1+a ＞a ＞1-b ＞-b

初中绝对值知识

一、基础知积： 1、几何绝对值概念----在上，一个数到的距离叫做该数的绝 对值。|a-b|表示数轴上表示a的点和表示的点 的距离 2、代数绝对值概念：---一个正数的绝对值是它的本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零，即： I a I = {a,(a > 0)0(a=0) 3、绝对值性质： (1)任何的绝对值都是大于或等于0的数，这是绝对值的非负性； (2)绝对值等于0的数只有一个，就是0。 (3)绝对值等于同一个正数的数有两个，这两个数或相等。 (4)互为相反数的两个数的绝对值相等。 (5)正数的绝对值是它本身。 (6)负数的绝对值是它的相反数。 (7)0的绝对值是0。 4、绝对值其它性质： (1)任何一个数的绝对值都不少于这个数，也不少于这个数的相反数。

即：I a I> a; I a I> -a; ⑵若I a I = I b I 则a=b 或a=-b (3)I ab I = I a I * I b I ; I a/b I = I a I / I b I (b 工0) (4) I a I 2= I a2I =a2 (5) I a I - I b I

习题8(二叉树的定义和性质)

习题8(二叉树的定义和性质) 一、选择题 1、除个别结点外，其余结点只能有1个前驱结点，可有任意多个后继结点，这样的结构为( B )。 A）线性结构 B）树形结构 C）图形结构 D）拓扑结构 2、在下述结论中，正确的是( D )。 ①只有一个结点的二叉树的度为0 ②二叉树的度为2 ③二叉树的左右子树可任意交换 ④深度为K的完全二叉树的结点个数小于或等于深度相同的满二叉树 A）①②③ B）②③④ C）②④ D）①④ 3、下列有关树的概念错误的是( B )。 A）一颗树中只有一个无前驱的结点 B）一颗树的度为树中各个结点的度数之和 C）一颗树中，每个结点的度数之和等于结点的总数减1 D）一颗树中每个结点的度数之和与边的条数相等4、对任一颗树，设它有n个结点，这n个结点的度数之和为d，下列关系式正确的是( D )。 A）d＝n B）d＝n－2 C）d＝n＋1 D）d＝n－1 5、下列说法中正确的是( D )。 A）二叉树中任何一个结点的度都为2 B）二叉树的度为2 C）任何一棵二叉树中至少有一个结点的度为2 D）一棵二叉树的度可以小于2 6、以二叉链表作为二叉树的存储结构，在具有n个结点的二叉链表中(n>0)，空链域的个数为( C )。 A）2n-1 B）n-1 C）n+1 D）2n+1 7、树最适合用来表示( C )。 A）有序数据元素 B）无序数据元素 C）元素之间具有分支层次关系的数据 D）元素之间无联系的数据8、由4个结点可以构造出多少种不同的二叉树( C )。 A）4 B）5 C）14 D）15 9、一个二叉树具有( A )种基本形态。 A）5 B）4 C）3 D）2 10、二叉树的第I层上最多含有结点数为( C )。 A）2I B）2I-1-1 C）2I-1 D）2I -1 11、深度为5的二叉树至多有( C )个结点. A）16 B）32 C）31 D）10 12、一个满二叉树，共有n个结点，其中m个为树叶，则( B )。 A）n= m+1 B）m=( n +1)/2 C）n =2 m D）n =2 m 13、深度为h的满m叉树的第k层有( A )个结点。(1=

绝对值的性质及运用

知识精讲 绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离. 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. ①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值号. ②一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. ③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0. ④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5. 求字母a的绝对值： ① (0) 0(0) (0) a a a a a a > ? ? == ? ?-< ? ②(0) (0) a a a a a ≥ ? =? -< ? ③(0) (0) a a a a a > ? =? -≤ ? 利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小. 绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0. 例如：若0 a b c ++=，则0 a=，0 b=，0 c= 绝对值的其它重要性质： （1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a ≥，且a a ≥-；（2）若a b =，则a b =或a b =-； （3）ab a b =?； a a b b =(0) b≠； （4）222 |||| a a a ==； a的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离． a b -的几何意义：在数轴上，表示数a．b对应数轴上两点间的距离．【例题精讲】 模块一、绝对值的性质 【例1】到数轴原点的距离是2的点表示的数是（） A．±2 B．2 C．-2 D．4 绝对值

绝对值的意义及应用

绝对值的意义及应用 绝对值是初中代数中的一个重要概念，应用较为广泛．在解与绝对值有关的问题时，首先必须弄清绝对值的意义和性质。对于数x而言，它的绝对值表示为：|x|. 一. 绝对值的实质： 正实数与零的绝对值是其自身，负实数的绝对值是它的相反数，即 也就是说，|x|表示数轴上坐标为x的点与原点的距离。 总之，任何实数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，请牢牢记住这一点。 二. 绝对值的几何意义： 一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。 例1. 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化简结果为( ) A．2a+3b-c B．3b-c C．b+c D．c-b (第二届“希望杯”数学邀请赛初一试题) 解：由图形可知a＜0，c＞b＞0，且|c|＞|b|＞|a|，则a+b＞0，b-c＜0． 所以原式＝-a+b+a+b-b+c＝b+c，故应选(C)． 三. 绝对值的性质： 1. 有理数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，绝对值最小的数是零。 2. 任何有理数都有唯一的绝对值，并且任何一个有理数都不大于它的绝对值，即x≤|x|。 3. 已知一个数的绝对值，那么它所对应的是两个互为相反数的数。 4. 若两个数的绝对值相等，则这两个数不一定相等(显然如|6|＝|-6|，但6≠-6)，只有这两个数同号，且这两个数的绝对值相等时，这两个数才相等。 四. 含绝对值问题的有效处理方法 1. 运用绝对值概念。即根据题设条件或隐含条件，确定绝对值里代数式的正负，再利用绝对值定义去掉绝对值的符号进行运算。

例2. 已知：|x-2|+x-2＝0， 求：(1)x+2的最大值；(2)6-x的最小值。 解：∵|x-2|+x-2＝0，∴|x-2|＝-(x-2) 根据绝对值的概念，一个数的绝对值等于它的相反数时，这个数为负数或零， ∴x-2≤0，即x≤2，这表示x的最大值为2 (1)当x＝2时，x+2得最大值2+2＝4； (2)当x＝2时，6-x得最小值6-2＝4 2. 用绝对值为零时的值分段讨论．即对于含绝对值代数式的字母没有条件限制或限制不确切的，就需先求零点，再分区间定性质，最后去掉绝对值符号。 例3. 已知|x-2|+x与x-2+|x|互为相反数，求x的最大值． 解：由题意得(|x-2|+x)+(x-2+|x|)＝0，整理得|x-2|+|x|+2x-2＝0 令|x-2|＝0，得x＝2，令|x|＝0，得x＝0 以0，2为分界点，分为三段讨论： (1)x≥2时，原方程化为x-2+x+2x-2＝0，解得x＝1，因不在x≥2的范围内，舍去。 (2)0≤x＜2时，原方程化为2-x+x+2x-2＝0，解得x＝0 (3)x＜0时，原方程化为2-x-x+2x-2＝0，从而得x＜0 综合(1)、(2)、(3)知x≤0，所以x的最大值为0 3. 整体参与运算过程．即整体配凑，借用已知条件确定绝对值里代数式的正负，再用绝对值定义去掉绝对值符号进行运算。 例4. 若|a-2|＝2-a，求a的取值范围。 解：根据已知条件等式的结构特征，我们把a-2看作一个整体，那么原式变形为|a-2|＝-(a-2)，又由绝对值概念知a-2≤0，故a的取值范围是a≤2 4. 运用绝对值的几何意义．即通过观察图形确定绝对值里代数式的正负，再用绝对值定义去掉绝对值的符号进行运算． 例5. 求满足关系式|x-3|-|x+1|＝4的x的取值范围． 解：原式可化为|x-3|-|x-(-1)|＝4 它表示在数轴上点x到点3的距离与到点-1的距离的差为4 由图可知，小于等于-1的范围内的x的所有值都满足这一要求。

二叉树

第六章树 第一部分：知识点 知识脉络： 重点：二叉树的性质、：I树的各种遍历方法及它g1所确定的序列问的关系、 二又树上的基本运算算法 的实现、二又树的线索化方法，构造赂夫曼树的方法。 难点：二叉树上各种算法，特别是遍历的非递归算法的设计。 一、二叉树的遍历的非递归算法 1.先序遍历 先将根结点入栈，然后只要栈不空，先出栈，然后沿着左子针依次访问沿途经过的子树根结点，同时将右指针进栈（以便递归访问左子树后访问右子树），如此重复，直至栈为空。 void PreOrderBiTree(BitTree T) { SqStack S; BitTree p; InitStack(&S); /* 初始化一个空栈*/ Push(&S,T); /* 根结点指针进栈*/ while(!EmptyStack(S)) /* 栈为空时算法结束*/ { Pop(S，&p); /* 弹栈，p指向(子树)根结点*/ while(p) { printf("%d ",p->data); /* 访问根结点*/ if(p->rchild) Push(S,p->rchild); /* 非空的右指针进栈*/ p=p->lchild; /* 沿着左指针访问，直到左指针为空*/ }

} 2.中序遍历 先沿着左指针走到最左下的结点同时将沿途经过的（子树）根结点指针进栈。当走到空指针时，出栈得到一个结点并访问，然后跳到右子树上。如此重复，直到指针为空并且栈为空为止。 void InOrderBitree(BitTree T) { SqStack S; BitTree p; InitStack(&S); /* 初始化一个栈*/ p=T; /* p指向根结点*/ while(p||!EmptyStack(S)) /* 当p为空且栈为空时算法结束*/ { while(p) { Push(S,p); p=p->lchild; /* 沿左指针走，沿途经过的(子树)根结点指针进栈*/ } Pop(S，&p); printf("%d ",p->data); /*当左指针为空时弹栈并访问该结点(子树根结点) */ p=p->rchild; /* 向右跳一步到右子树上继续进行遍历过程*/ } } 3.后序遍历 void PostOrderBiTree(BitTree T) { SqStack S; BitTree p,q; InitStack(S); p=T;q=NULL; while(p||!EmptyStack(S)) { if(p!=q) { while(p) { Push(S,p); if(p->lchild) p=p->lchild; else p=p->rchild; } } if(S->top==S->base) break; GetTop(S,&q); if(q->rchild==p) { p=Pop(S); printf("%d ",p->data); } else p=q->rchild; }

去绝对值符号的几种常用方法

去绝对值符号的几种常用方法 解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法相同。因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。 1．利用定义法去掉绝对值符号 根据实数含绝对值的意义，即|x |=(0)(0)x x x x ≥??-????≤? ；|x |>c (0)0(0)(0)x c x c c x c x R c <->>???≠=??∈c (c >0)来解，如|ax b +|>c (c >0)可为ax b +>c 或ax b +<－c ；|ax b +|或||||x a x b m -+-<(m 为正常数)类型不等式。对||||ax b cx d m +++>(或

绝对值的性质及运用

绝对值 基本要求：借助数轴理解绝对值得意义，会求实数得绝对值 略高要求：会利用绝对值得知识解决简单得化简问题 【知识点整理】 绝对值得几何意义:一个数得绝对值就就是数轴上表示数得点与原点得距离、数得绝对值记作、 绝对值得代数意义:一个正数得绝对值就是它本身；一个负数得绝对值就是它得相反数;0得绝对值就是０、注意:①取绝对值也就是一种运算，运算符号就是“”,求一个数得绝对值,就就是根据性质去掉绝对值符号、 ②绝对值得性质：一个正数得绝对值就是它本身；一个负数得绝对值就是它得相反数;得绝对值就是、 ③绝对值具有非负性,取绝对值得结果总就是正数或0、 ④任何一个有理数都就是由两部分组成:符号与它得绝对值,如:符号就是负号,绝对值就是、 求字母得绝对值: ①②③ 利用绝对值比较两个负有理数得大小:两个负数,绝对值大得反而小、 绝对值非负性:如果若干个非负数得与为0,那么这若干个非负数都必为０、 例如:若,则，， 绝对值得其它重要性质： (1)任何一个数得绝对值都不小于这个数,也不小于这个数得相反数，即,且； (2)若,则或; （3）;; (4)； 得几何意义:在数轴上,表示这个数得点离开原点得距离． 得几何意义:在数轴上,表示数.对应数轴上两点间得距离. 【例题精讲】 模块一、绝对值得性质 【例1】到数轴原点得距离就是２得点表示得数就是( ) A.±2 Ｂ．2 C.-2 D.4 【例2】下列说法正确得有() ①有理数得绝对值一定比0大;②如果两个有理数得绝对值相等,那么这两个数相等;③互为相反数 得两个数得绝对值相等；④没有最小得有理数,也没有绝对值最小得有理数；⑤所有得有理数都可以用数轴上得点来表示;⑥符号不同得两个数互为相反数. A.②④⑤⑥B．③⑤C.③④⑤D．③⑤⑥ 【例3】如果a得绝对值就是2,那么ａ就是() A.2 B.-2 C.±2 D. 【例4】若ａ<0，则4a＋7|a｜等于（）

绝对值基础知识讲解

绝对值(基础) 【学习目标】 1.掌握一个数的绝对值的求法与性质; 2.进一步学习使用数轴,借助数轴理解绝对值的几何意义; 3.会求一个数的绝对值,并会用绝对值比较两个负有理数的大小; 4、 理解并会熟练运用绝对值的非负性进行解题、 【要点梳理】 要点一、绝对值 1、定义:一般地,数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值,记作|a|、 要点诠释: (1)绝对值的代数意义:一个正数的绝对值就是它本身;一个负数的绝对值就是它的相反数;0的绝对值就是0.即对于任何有理数a 都有: (2)绝对值的几何意义:一个数的绝对值就就是表示这个数的点到原点的距离,离原点的距离越远,绝对值越大;离原点的距离越近,绝对值越小. (3)一个有理数就是由符号与绝对值两个方面来确定的. 2、性质:绝对值具有非负性,即任何一个数的绝对值总就是正数或0. 要点二、有理数的大小比较 1、数轴法:在数轴上表示出这两个有理数,左边的数总比右边的数小、 如:a 与b 在数轴上的位置如图所示,则a ＜b. 2、法则比较法: 两个数比较大小,按数的性质符号分类,情况如下: 两数同号 同为正号:绝对值大的数大 同为负号:绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 －数为0 正数与0:正数大于0 负数与0:负数小于0 要点诠释: 利用绝对值比较两个负数的大小的步骤:(1)分别计算两数的绝对值;(2)比较绝对值的大小;(3)判定两数的大小. 3、 作差法:设a 、b 为任意数,若a -b ＞0,则a ＞b;若a -b ＝0,则a ＝b;若a -b ＜0,a ＜b;反之成立. 4、 求商法:设a 、b 为任意正数,若1a b >,则a b >;若1a b =,则a b =;若1a b <,则a b <;反之也成立.若a 、b 为任意负数,则与上述结论相反. 5、 倒数比较法:如果两个数都大于0,那么倒数大的反而小、 【典型例题】 类型一、绝对值的概念 1.求下列各数的绝对值. 112-,-0、3,0,132??-- ??? (0)||0 (0)(0)a a a a a a >??==??-

树和二叉树的基本知识

树和二叉树的基本知识 树是一种非线性的数据结构，用它能很好地描述有分支和层次特性的数据集合。树型结构在现实世界中广泛存在，如把一个家族看作为一棵树，树中的结点为家族成员的姓名及相关信息，树中的关系为父子关系，即父亲是儿子的前驱，儿子是父亲的后继；把一个国家或一个地区的各级行政区划分看作为一棵树，树中的结点为行政区的名称及相关信息，树中的关系为上下级关系，如一个城市包含有若干个区，每个区又包含有若干个街道，每个街道又包含有若干个居委会；把一本书的结构看作是一棵树，树中的结点为书、章、节的名称及相关信息，树中的关系为包含关系。树在计算机领域中也有广泛应用，如在编译系统中，用树表示源程序的语法结构；在数据库系统中，树型结构是数据库层次模型的基础，也是各种索引和目录的主要组织形式。在许多算法中，常用树型结构描述问题的求解过程、所有解的状态和求解的对策等。 在树型结构中，二叉树是最常用的结构，它的分支个数确定，又可以为空，具有良好的递归特性，特别适宜于程序设计，因此我们常常将一般树型结构转换成二叉树进行处理。 第一节树 一、树的定义 一棵树（tree）是由n（n>0）个元素组成的有限集合，其中： 1．每个元素称为结点(node)； 2．有一个特定的结点，称为根结点或树根（root）； 3．除根结点外，其余结点被分成m（m>=0）个互不相交的有限集合T0,T1,T2,……T m-1，而每一个子集T i又都是一棵树（称为原树的子树subtree）。 图1 图1就是一棵典型的树结构。从树的定义可以看出： 1．树是递归定义的，这就决定了树的操作和应用大都是采用递归思想来解决； 2．一棵树中至少有1个结点，这个结点就是根结点，如上图中的结点1； 3．只有根结点没有前趋结点，其余每个结点都有唯一的一个前趋结点； 4．所有结点都可以有0或多个后继结点；

各类型二叉树例题说明

5.1树的概念 树的递归定义如下：（1）至少有一个结点（称为根）（2）其它是互不相交的子树 1.树的度——也即是宽度，简单地说，就是结点的分支数。以组成该树各结点中最大的度作为该树的度，如上图的树，其度为3;树中度为零的结点称为叶结点或终端结点。树中度不为零的结点称为分枝结点或非终端结点。除根结点外的分枝结点统称为内部结点。 2.树的深度——组成该树各结点的最大层次，如上图，其深度为4； 3.森林——指若干棵互不相交的树的集合，如上图，去掉根结点A，其原来的二棵子树T1、T2、T3的集合{T1,T2,T3}就为森林； 4.有序树——指树中同层结点从左到右有次序排列，它们之间的次序不能互换，这样的树称为有序树，否则称为无序树。 5.树的表示 树的表示方法有许多，常用的方法是用括号：先将根结点放入一对圆括号中，然后把它的子树由左至右的顺序放入括号中，而对子树也采用同样的方法处理；同层子树与它的根结点用圆括号括起来，同层子树之间用逗号隔开，最后用闭括号括起来。如上图可写成如下形式： (A(B(E(K,L),F),C(G),D(H(M),I,J))) 5. 2 二叉树 1.二叉树的基本形态： 二叉树也是递归定义的，其结点有左右子树之分，逻辑上二叉树有五种基本形态： (1)空二叉树——(a)； (2)只有一个根结点的二叉树——(b)； (3)右子树为空的二叉树——(c)； (4)左子树为空的二叉树——(d)； (5)完全二叉树——(e) 注意：尽管二叉树与树有许多相似之处，但二叉树不是树的特殊情形。 2.两个重要的概念： (1)完全二叉树——只有最下面的两层结点度小于2，并且最下面一层的结点都集中在该层最左边的若干位置的二叉树； (2)满二叉树——除了叶结点外每一个结点都有左右子女且叶结点都处在最底层的二叉树,。 如下图： 完全二叉树 1页

绝对值的性质及运用

基本要求：借助数轴理解绝对值的意义，会求实数的绝对值 略高要求：会利用绝对值的知识解决简单的化简问题 【知识点整理】 绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a . 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号. ②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. ③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0. ④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5. 求字母a 的绝对值： ①(0)0(0)(0)a a a a a a >??==??-?=?-≤? 利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小. 绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0. 例如：若0a b c ++=，则0a =，0b =，0c = 绝对值的其它重要性质： （1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a ≥，且a a ≥-； （2）若a b =，则a b =或a b =-； （3）ab a b =?；a a b b =(0)b ≠； （4）222||||a a a ==； a 的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离． a b -的几何意义：在数轴上，表示数a ．b 对应数轴上两点间的距离． 【例题精讲】 模块一、绝对值的性质 【例1】到数轴原点的距离是2的点表示的数是（ ） A ．±2 B ．2 C ．-2 D ．4 【例2】下列说法正确的有（ ） ①有理数的绝对值一定比0大；②如果两个有理数的绝对值相等，那么这两个数相等；③互为相绝对值

树和二叉树

树和二叉树 树形结构（非线性结构）：1）节点之间有分支；2）具有层次关系。 应用：自然界的树；人类社会的家谱和行政组织机构；计算机中的编译（用树表示源程序的语法结构）、数据库系统（用树组织信息）、算法分析（用树描述执行过程）。 定义：是n（n>=0）个节点的有限集。 若n=0,称为空树； 若n>0，则它满足如下两个条件； 1）有且仅有一个特定的称为根的节点； 2）其余节点可分为m（m>=0）个互不相交的有限集T1,T2,T3.....Tm，其中每一个集合本身又是一棵树，并称为根的子树。 树的其他表示方式： 还可以用广义表的形式表示（A(B(D))(C(E)(F))）。 树的基本术语： 根节点：非空树中无前驱节点的节点。 节点的度：节点拥有的子树数。 树的度：树内各节点的度的最大值。 叶子（终端节点）：度为0的节点 分支节点（非终端节点）：根节点以外的分支节点称为内部节点。 孩子、双亲：节点的子树的根称为该节点的孩子，该节点称为孩子的双亲。

兄弟节点： 节点的祖先：从根节点所经分支上的所有节点。 节点的子孙：以某节点为根的子树中的任一节点。 树的深度（高度）：树中最大层次（根节点为第一层）。 有序树：树中节点的各子树从左至右有次序（） 无序树：树中的节点没有次序。 森林：是m （m>=0）棵互不相交的树的集合。一棵树可以看成是一个特殊的森林。给森林中的各子树加上一个双亲节点，森林就变成了树（树一定是森林，森林不一定是树）。 二叉树的性质和存储结构 性质1、在二叉树的第i 层上至多有2^(i -1)个节点（i>=1）。至少1个 归纳基：当i=1时，只有一个根节点，2^(i -1)=2^0=1，命题成立。 归纳假设：设对所有的j （1<=j=1）。至少有k 个节点 由性质1可见，深度为k 的二叉树的最大节点数为 ∑ =-k i i 1 )1(^2=2^k -1 性质3：对任何一棵二叉树T ，如果其终端节点数为n0，度为2的节点数为n2，则 n0=n2+1。 总边数为B ，B=n -1; B=n2*2+n1*1; n=n2*2+n1*1+1 总节点数为n ，n=n2*2+n1*1+1; 又 n0=n2+1 满二叉树 ·一棵深度为k 且有2^k -1个节点的二叉树称为满二叉树。 ·特点：1）每一层上的节点数都是最大节点数（即每层都满，不能空的）；2）叶子节点全部在最底层。 ·对满二叉树节点位置进行编号： ·编号规则：从根节点开始，自上而下，自左而右。 ·每一节点位置都有元素。 ·满二叉树在同样深度的二叉树中节点个数最多；满二叉树在同样深度的二叉树中叶子节点个数最多。

二叉树习题及答案

1.设一棵完全二叉树共有699个结点,则在该二叉树中的叶子结点数？ 1根据“二叉树的第i层至多有2^(i ? 1)个结点;深度为k的二叉树至多有2^k ? 1个结点(根结点的深度为1)”这个性质: 因为2^9-1 < 699 < 2^10-1 ,所以这个完全二叉树的深度就是10,前9层就是一个满二叉树, 这样的话,前九层的结点就有2^9-1=511个;而第九层的结点数就是2^(9-1)=256 所以第十层的叶子结点数就是699-511=188个; 现在来算第九层的叶子结点个数。 由于第十层的叶子结点就是从第九层延伸的,所以应该去掉第九层中还有子树的结点。因为第十层有188个,所以应该去掉第九层中的188/2=94个; 所以,第九层的叶子结点个数就是256-94=162,加上第十层有188个,最后结果就是350个 2完全二叉树:若二叉树中最多只有最下面两层的结点的度可以小于2,并且最下面一层的结点(叶结点)都依次排列在该层最左边的位置上,这样的二叉树为完全二叉树。 比如图: 完全二叉树除叶结点层外的所有结点数(叶结点层以上所有结点数)为奇数,此题中,699就是奇数,叶结点层以上的所有结点数为保证就是奇数,则叶结点数必就是偶数,这样我们可以立即选出答案为B！ 如果完全二叉树的叶结点都排满了,则就是满二叉树,易得满二叉树的叶结点数就是其以上所有层结点数+1比如图: 此题的其实就是一棵满二叉树,我们根据以上性质,699+1=700,700/2=350,即叶结点数为350,叶结点层以上所有结点数为350-1=349。 3完全二叉树中,只存在度为2的结点与度为0的结点,而二叉树的性质中有一条就是:n0=n2+1;n0指度为0的结点,即叶子结点,n2指度为2的结点,所以2n2+1=699 n2=349;n0=350 2.在一棵二叉树上第5层的结点数最多就是多少 一棵二叉树,如果每个结点都就是就是满的,那么会满足2^(k-1)1。 所以第5层至多有2^(5-1)=16个结点！ 3、在深度为5的满二叉树中,叶子结点的个数为 答案就是16 ~ 叶子结点就就是没有后件的结点~ 说白了~ 就就是二叉树的最后一层~ 深度为K的二叉树~ 最多有2^k-1个结点~ 最多有2^(k-1)个结点~ 所以此题~ 最多有2^5-1=31个结点~ 最多有2^(5-1)=16个叶子结点~ 4、某二叉树中度为2的结点有18个,则该二叉树中有几个叶子结点？ 结点的度就是指树中每个结点具有的子树个数或者说就是后继结点数。 题中的度为2就是说具有的2个子树的结点; 二叉树有个性质:二叉树上叶子结点数等于度为2的结点数加1。 5、在深度为7的满二叉树中,度为2的结点个数为多少, 就就是第一层只有一个节点,她有两个子节点,第二层有两个节点,她们也都有两个子节点以此类推,所以到第6层,就有2的5次方个节点,她们都有两个子节点 最后第7层都没有子节点了。因为就是深度为7的。 所以就就是1+2+4+8+16+32了