习题8(二叉树的定义和性质)
一、选择题
1、除个别结点外，其余结点只能有1个前驱结点，可有任意多个后继结点，这样的结构为( B )。
A）线性结构 B）树形结构 C）图形结构 D）拓扑结构
2、在下述结论中，正确的是( D )。
①只有一个结点的二叉树的度为0 ②二叉树的度为2 ③二叉树的左右子树可任意交换
④深度为K的完全二叉树的结点个数小于或等于深度相同的满二叉树
A）①②③ B）②③④ C）②④ D）①④
3、下列有关树的概念错误的是( B )。
A）一颗树中只有一个无前驱的结点 B）一颗树的度为树中各个结点的度数之和
C）一颗树中，每个结点的度数之和等于结点的总数减1 D）一颗树中每个结点的度数之和与边的条数相等4、对任一颗树，设它有n个结点，这n个结点的度数之和为d，下列关系式正确的是( D )。
A）d＝n B）d＝n－2 C）d＝n＋1 D）d＝n－1
5、下列说法中正确的是( D )。
A）二叉树中任何一个结点的度都为2 B）二叉树的度为2
C）任何一棵二叉树中至少有一个结点的度为2 D）一棵二叉树的度可以小于2
6、以二叉链表作为二叉树的存储结构，在具有n个结点的二叉链表中(n>0)，空链域的个数为( C )。
A）2n-1 B）n-1 C）n+1 D）2n+1
7、树最适合用来表示( C )。
A）有序数据元素 B）无序数据元素 C）元素之间具有分支层次关系的数据 D）元素之间无联系的数据8、由4个结点可以构造出多少种不同的二叉树( C )。
A）4 B）5 C）14 D）15
9、一个二叉树具有( A )种基本形态。
A）5 B）4 C）3 D）2
10、二叉树的第I层上最多含有结点数为( C )。
A）2I B）2I-1-1 C）2I-1 D）2I -1
11、深度为5的二叉树至多有( C )个结点.
A）16 B）32 C）31 D）10
12、一个满二叉树，共有n个结点，其中m个为树叶，则( B )。
A）n= m+1 B）m=( n +1)/2 C）n =2 m D）n =2 m
13、深度为h的满m叉树的第k层有( A )个结点。
(1=<k=<h)
A）m k-1 B）m k-1 C）m h-1 D）m h-1
14、在一棵高度为k的满二叉树中，结点总数为( C )。
A）2k-1 B）2k C）2k-1 D）⎣log2k⎦+1
15、假定一棵二叉树的结点数为18，则它的最小高度为( C )。
A）18 B）8 C）5 D）4
16、一个具有1025个结点的二叉树的高h为( C )。
A）11 B）10 C）11至1025之间 D）10至1024之间
17、树T的度为4，其中度为1，2，3和4的结点数分别为4，1，10，20，则T中的叶子数为( B )。
A）41 B）82 C）113 D）122
18、若一棵二叉树具有10个度为2的结点，5个度为1的结点，则度为0的结点个数是( B )。
A）9 B）11 C）15 D）不确定
19、二叉树中，度为1的结点数为9，则该二叉树的叶子结点的数目为( D )。
A）10 B）11 C）12 D）不确定
20、设高度为h的二叉树上只有度为0和度为2的结点，则此二叉树中所含的结点数至少为( C )。
A）2h B）2h+1 C）2h-1 D）h+1
21、若完全二叉树的结点总数为偶数，则度为1的结点有( B )个。
A）0 B）1 C）2 D）不确定
22、一棵完全二叉树上有1001个结点，其中叶子结点的个数是( D )。
A）250 B）500 C）254 D）501
23、具有65个结点的完全二叉树其深度为( B )。
A）8 B）7 C）6 D）5
24、对于有n 个结点的二叉树, 其高度为( D )。
A）nlog2n B）log2n C）⎣log2n⎦|+1 D）不确定
25、一棵具有 n个结点的完全二叉树的树高度（深度）是( A )。
A）⎣logn⎦+1 B）logn+1 C）⎣logn⎦ D）logn-1
26、将有关二叉树的概念推广到三叉树，则一棵有244个结点的完全三叉树的高度( C )。
A）4 B）5 C）6 D）7
27、已知一棵完全二叉树的第6层有8个叶结点，则完全二叉树的结点个数最多是( C )。
A）39 B）52 C）111 D）119
28、完全二叉树中，其根的序号为1，下列可判定序号为p和q的两个结点是否在同一层的正确选项是( A )。
A）⎣log2p⎦＝⎣log2q⎦ B）log2p＝log2q C）⎣log2p⎦+1＝⎣log2q⎦ D）⎣log2p⎦＝⎣log2q⎦+1
29、含有101个结点的完全二叉树存储在数组A[1..101]中，对1≤k≤101，若A[k]为叶子结点，则k的最小值是( A )。
A）51 B）50 C）49 D）48
30、将含有100个结点的完全二叉树按照从上到下从左到右依次对结点编号，根结点的编号为1，编号为71的结点的双亲的编号为( B )。
A）34 B）35 C）36 D）无法确定
31、在一棵顺序二叉树中，若一结点的编号为i，则其右孩子的编号为( C )。
A）i/2取整 B）2i C）2i+1 D）2i-1
二、填空题
1、树是n（n>0）个结点的有限集，有且仅有一个特定的称为（根）的结点，当n>1时，区域结点可分为m（m>0）
个（互不相交）的有限集，每一个集合称为根的（子树）。
2、树的结点包含一个（数据结构）及若干指向其（子树）的分支。
结点拥有的子树数称为（度），度为0
的结点称为（叶子），度不为0的结点称为（分支节点）。
3、二叉树的每个结点至多只有（ 2 ）颗子树，且子树有（左右）之分。
4、设二叉树根结点的层次为0，对含有100个结点的二叉树，可能的最大高度和最低高度分别是（ 99 6 ）。
5、设一棵完全二叉树具有1000个结点，则此完全二叉树有（ 500 ）个叶子结点，有（ 499 ）个度为2
的结点，有（ 1 ）个结点只有非空左子树，有（ 0 ）个结点只有非空右子树。
6、一棵二叉树高度为h,所有结点的度或为0，或为2，则这棵二叉树最少有（ 2h-1 ）结点。
7、设二叉树根结点的层次为0，在一颗高度为10的满二叉树中非叶子结点的个数是（ 2^10-1 ）。
8、用数组A[1..n]顺序存储完全二叉树的各结点，则当i≤（n－1）/2时，结点A[i]的右子女是结点（ A[2i+1] ）。
9、深度为h的满二叉树的结点总数为（2^h-1）；深度为h的完全二叉树的结点数最小为（ 2^(h-1)），最大为（2^h-1）。
10、在完全二叉树中，编号为i和j的两个结点处于同一层的条件是（ [log i j]=[log i j] ）。
三、简答题
1、证明：对于任意满二叉树，其分枝数B=2(n0-1)，其中n0为叶子结点数。
【解答】因为在满二叉树中没有度为1的结点，所以有： n=n0+n2
设B为树中分枝数，则 n=B+1 所以
B=n0 +n2-1
再由二叉树性质： n0=n2+1 代入上式有：
B=n0+n0-1-1=2(n0-1)
2、已知A[1..N]是一棵顺序存储的完全二叉树，如何求出A[i]和A[j]的最近的共同祖先？
解：根据顺序存储的完全二叉树的性质，编号为i的结点的双亲的编号为 i/2 ，故A[i]和A[j]的最近的共同祖先可如下求出：
while(i/2!j/2)
if(i>j)i=i/2;
else j=j/2;
退出while后，若i/2=0，则最近共同祖先为根结点，否则共同祖先为i/2。
3、一棵度为m的树中有n1个度为1的结点，n2个度为2的结点，…，nm个度为m的结点，问该树中有多少片叶子？
【解答】设该树的总结点数为n，则 n=n0+n1+n2+……+nm
又：
n=分枝数+1=0×n0+1×n1+2×n2+……+m×nm+1 由上述两式可得：
n0= n2+2n3+……+(m-1)nm+1
5、试求有n个叶结点的非满的完全二叉树的高度
【参考答案】
设完全二叉树中叶子结点数为n，则根据完全二叉树的性质，度为2的结点数是n-1，而完全二叉树中，度为1的结点数至多为1，所以具有n个叶子结点的完全二叉树结点数是n+(n-1)+1=2n或2n-1（有或无度为1的结点）。
由于具有2n(或2n-1)个结点的完全二叉树的深度是log2(2n)+1( log2(2n-1)+1，即élog2nù+1,故n个叶结点的非满的完全二叉树的高度是élog2nù+1。
（最下层结点数>=2）。
