柱锥台的体积详解

7．2柱、锥、台的体积柱、锥、台的体积公式几何体公式说明柱体V柱体＝ShS为柱体的底面积，h为柱体的高锥体V锥体＝13ShS为锥体的底面积，h为锥体的高台体V台体＝13(S上＋S下＋S上·S下)×hS上、S下分别为台体的上、下底面积，h为台体的高1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果两个柱体的体积相等，则表面积相等．()(2)如果一个柱体和一个锥体的体积相等，则两几何体的底面积相同．()(3)锥体的体积是柱体体积的13.()(4)柱体、锥体、台体这些简单几何体的体积只与该几何体的底面积和高有关．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．已知有一个圆柱形水缸，其中底面半径为0.5 m，里面水高度为0.8 m，现在有一个不规则几何体放进水缸，并且完全浸入水中，水面上升到1.2 m，则此不规则几何体体积约为(精确到0.1，π取3.14)()A．0.4 m3B．0.2 m3C．0.3 m3D．0.8 m3解析：选C.由水面上升0.4 m得体积V＝π·0.52×0.4＝0.1π≈0.3(m3)．3．圆台的上、下底面的面积分别为π，4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是() A.23π3B．23πC.73π6D．73π3解析：选D.设上、下底面半径为r′，r，母线长为l，则⎩⎪⎨⎪⎧πr′2＝π，πr2＝4π，π（r′＋r）·l＝6π，所以⎩⎪⎨⎪⎧r′＝1，r＝2，l＝2.圆台的高h ＝l 2－（r －r ′）2＝3，所以V 圆台＝13(π＋π·4π＋4π)·3＝73π3.4．如图是一个几何体的三视图，若它的体积是33，则a ＝________.解析：由三视图可知几何体为一个直三棱柱，底面三角形中边长为2的边上的高为a ， 则V ＝3×⎝⎛⎭⎫12×2×a ＝33， 所以a ＝ 3. 答案： 3求不规则几何体的体积可通过对几何体分割，使每部分能够易求得其体积，也可将其“补”成规则几何体，使所求体积等于整体几何体的体积减去部分几何体的体积，这就是我们常说的割补法，是解决此类问题的常用方法，还要注意不同的割补方式会得到不同的几何体，做题时要仔细观察．柱体、锥体的体积如图，某几何体的主视图是平行四边形，左视图和俯视图都是矩形，求该几何体的体积．[解] 由三视图知，该几何体为平行六面体，由图知高h ＝ 22－12＝ 3.底面积：S ＝3×3＝9， 所以其体积V ＝9 3.在本例中，几何体的体积还可以怎样解？解：以▱A 1ABB 1所在平面为底面，变成一个直棱柱，由主视图及俯视图可得A 1E ＝3，S ▱A 1ABB 1＝33，V 柱＝33×3＝9 3.求柱体、锥体体积常用的方法(1)公式法：直接代入公式求解．(2)等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱、三棱柱补成四棱柱等． (4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．1.(1)一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．(2)如图所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，过顶点B ，D ，A 1截下一个三棱锥． ①求剩余部分的体积；②求三棱锥A -A 1BD 的体积及高．解：(1)设正六棱锥的高为h ，侧面的斜高为h ′. 由题意，得13×6×12×2×3×h ＝23，所以h ＝1， 所以斜高h ′＝12＋（3）2＝2，所以S 侧＝6×12×2×2＝12.故填12.(2)①V 三棱锥A 1­ABD ＝13S △ABD ·A 1A＝13×12·AB ·AD ·A 1A ＝16a 3. 故剩余部分的体积V ＝V 正方体－V 三棱锥A 1-ABD ＝a 3－16a 3＝56a 3. ②V 三棱锥A 1-ABD ＝V 三棱锥A 1-ABD＝16a 3. 设三棱锥A -A 1BD 的高为h ， 则V 三棱锥A 1-ABD ＝13·S △A 1BD·h ＝13×12×32(2a )2h ＝36a 2h ， 故36a 2h ＝16a 3，解得h ＝33a . 台体的体积设圆台的高为3，其轴截面(过圆台轴的截面)如图所示，母线A 1A 与底面圆的直径AB 的夹角为60°，在轴截面中A 1B ⊥A 1A ，求圆台的体积V .[解] 设AB的中点为O ，连接A 1O ，作A 1D ⊥AB ，易知A 1D ＝3， 因A 1B ⊥A 1A ，则在Rt △A 1AB 中，A 1O ＝12AB ＝AO .又因∠A 1AB ＝60°，所以△A 1AO 为等边三角形． 所以在△A 1AO 中A 1D ＝32AO ＝3，得AO ＝2 3.设圆台的上、下底面半径分别为r ，R . 所以R ＝AO ＝23，r ＝12A 1B 1＝12OB ＝12AO ＝DO ＝ 3. 由V ＝13π×3×(12＋23×3＋3)＝π×(12＋6＋3)＝21π.故圆台体积为21π.(1)求台体的体积，其关键在于求高，一般地，把高放在直角梯形中求解．(2)“还台为锥”是一种求解台体的重要思想．借助相似等手段以及相关知识求解．2.(1)已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为________．(2)正四棱台的侧棱长为3 cm ，两底面边长分别为1 cm 和5 cm ，求体积．解：(1)由题意可得六棱台上、下底面的面积分别为S 上＝63，S 下＝243，高h ＝2，所以V 六棱台＝13h (S 上＋S 下＋S 上·S 下)＝13×2×(63＋243＋123)＝28 3.故填28 3.(2)正四棱台ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 1、O 分别是两底面的中心．因为A 1C 1＝2，AC ＝52，所以A 1O 1＝22，AO ＝522， 所以O 1O ＝32－⎝⎛⎭⎫522－222＝1，V ＝13×1×(12＋52＋12×52)＝13(1＋25＋5)＝313(cm 3)． 组合体的体积如图所示，已知等腰梯形ABCD 的上底AD ＝2 cm ，下底BC ＝10 cm ，底角∠ABC ＝60°，现绕腰AB 旋转一周，求所得的旋转体的体积．[解] 过D 作DE ⊥AB 于E ，过C 作CF ⊥AB 于F ，Rt △BCF 绕AB 旋转一周形成以CF 为底面半径，BC 为母线长的圆锥；直角梯形CFED 绕AB 旋转一周形成圆台；直角三角形ADE 绕AB 旋转一周形成圆锥，那么梯形ABCD 绕AB 旋转一周所得的几何体是以CF 为底面半径的圆锥和圆台，挖去以A 为顶点、以DE 为底面半径的圆锥的组合体．因为AD ＝2，BC ＝10，∠ABC ＝60°， 所以在Rt △BCF 中，BF ＝5，FC ＝5 3. 因为AD ∥BC ，所以∠DAE ＝∠ABC ＝60°， 所以在Rt △ADE 中，DE ＝3，AE ＝1. 又在等腰梯形ABCD 中可求AB ＝8，所以AF ＝AB －BF ＝8－5＝3，EF ＝AE ＋AF ＝4， 所以旋转后所得几何体的体积为V ＝13π·BF ·FC 2＋13π·EF ·(DE 2＋FC 2＋DE ·FC )－13π·AE ·DE 2＝13π·5·(53)2＋13π·4·[(3)2＋(53)2＋3·5 3 ]－13π·1·(3)2＝248π(cm 3)， 故所得的旋转体的体积为248π cm 3.解组合体的体积的步骤第一步：弄清组合体的构成；第二步：求出各部分简单几何体的体积；第三步：把第二步解出的体积相加或者相减，得组合体的体积．3.(1)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.(2)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________．解析：(1)此几何体是由一个长为3，宽为2，高为1的长方体与底面直径为2，高为3的圆锥组合而成的，故V＝V长方体＋V圆锥＝3×2×1＋1π×12×3＝(6＋π)m3.3(2)圆柱的底面半径为2，母线长为4，其体积V1＝Sh＝π×22×4＝16π；被挖去一个底面是边长为2的正方形，侧棱长为4的长方体，其体积V2＝22×4＝16.故该几何体的体积是V＝V1－V2＝16π－16.答案：(1)6＋π(2)16π－16规范解答几何体体积求解(本题满分12分)如图，一个高为H的三棱柱形容器中盛有水，若侧面AA1B1B 水平放置时，液面恰好分别过AC，BC，A1C1，B1C1的中点E，F，E1，F1.当底面ABC水平放置时，液面高为多少？[解]当侧面AA1B1B水平放置时，水的体积V等于四棱柱ABFE-A1B1F1E1的体积，V＝V四棱柱＝S梯形ABFE·H. (4分)当底面ABC水平放置时，设水面高为h，则水的体积V＝S△ABC·h. (6分)因为E，F分别为AC，BC的中点，所以S△CEF＝14S△ABC，所以S梯形ABFE＝34S△ABC. (9分)由S梯形ABFE·H＝S△ABC·h，即34S△ABC ·H＝S△ABC·h，得h＝34H，(11分)故当底面ABC水平放置时，液面高为34H.(12分)失分点，此处易误认为是棱台导致解错．明确相似三角形的面积与对应边的关系，易错点．解题步骤要完整，此结论易漏掉．在求几何体的条件时，确定几何体的特征至关重要，尤其是不熟悉的放置位置时，更要准确把握几何体的类型．在研究两个几何体的体积、表面积的关系时，充分利用平面几何中面积或线段的比例，可以大大简化运算，降低出错率．1．圆锥底面半径为3，母线长为5，则这个圆锥的体积为()A．36πB．18πC．45πD．12π解析：选D.设圆锥的高为h，则h＝52－32＝4，故圆锥体积V＝13πr2h＝13π×32×4＝12π.2．已知一个圆柱的底面直径和母线长均为4，则该圆柱的体积为()A．2πB．4πC．8πD．16π解析：选D.由已知得圆柱的底面半径为2，高为4，故其体积为π×22×4＝16π.3．如图所示，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，设三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积为V ，那么三棱台AEF -A 1B 1C 1的体积为________(用V 表示)．解析：设△ABC 的面积为S ，则S △AEF ＝14S ，所以V 台＝13⎝⎛⎭⎫S ＋S ·14S ＋14S ·h ＝13×74Sh ＝712V . 答案：712V4．如图，一个底面直径为20 cm 的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm ，高为20 cm 的一个圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降几厘米？(π≈3.14)解：设水面下降的高度为x cm ，因为圆锥形铅锤的体积为13×π×⎝⎛⎭⎫622×20＝60π(cm 3)，小圆柱的体积为π×(20÷2)2×x ＝100πx (cm 3)．所以60π＝100πx ，解得x ＝0.6(cm)．则铅锤取出后，杯中水面下降了0.6 cm., [学生用书P107(单独成册)])[A 基础达标]1．若一个圆锥的轴截面(过圆锥顶点和底面直径的截面)是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的体积为( )A ．3πB ．33π C.3πD ．32π 解析：选B.设圆锥的底面半径为R ，依题意知该圆锥的高即轴截面的高h ＝32·2R ＝3R ，所以12·2R ·3R ＝3，解得R ＝1.所以V ＝13×π×12×3＝33π.2．将两个棱长为10 cm 的正方体铜块熔化后铸成底面边长为5 cm 的正四棱柱，则该四棱柱的高为( )A ．8 cmB ．80 cmC ．40 cmD ．165cm解析：选B.设正四棱柱的高为h cm ，依题意得5×5×h ＝2×103，解得h ＝80(cm)． 3．一个棱锥的三视图如图所示，则它的体积为( )A.12 B ．32C ．1D ．13解析：选A.由三视图可知该几何体为四棱锥，棱锥的体积V ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22×1×1＝12. 4．正三棱柱的侧面展开图是边长为2和4的矩形，则该正三棱柱的体积是( ) A.839B ．439C.239D ．439或839解析：选D.当2为正三棱柱的底面周长时，正三棱柱底面三角形的边长a ＝23，底面面积S ＝34a 2＝39，正三棱柱的高h ＝4，所以正三棱柱的体积V ＝Sh ＝439；当4为正三棱柱的底面周长时，正三棱柱底面三角形的边长a ′＝43，底面面积S ′＝34a ′2＝439，正三棱柱的高h ′＝2，所以正三棱柱的体积V ′＝S ′h ′＝839.所以正三棱柱的体积为439或839.5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．8－2πB ．8－πC ．8－π2D ．8－π4解析：选B.这是一个正方体切掉两个14圆柱后得到的几何体，如图，几何体的高为2，V＝23－14×π×12×2×2＝8－π.故选B.6．一个长方体的三个面的面积分别是2，3，6，则这个长方体的体积为________． 解析：设长方体的棱长分别为a ，b ，c ，则⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝2，ac ＝3，bc ＝6，三式相乘可知(abc )2＝6，所以长方体的体积V ＝abc ＝ 6.答案： 67．如图是一个几何体的三视图，其中主视图和左视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为2的等腰梯形，则该几何体的体积是________．解析：由三视图可知此几何体为一圆台，上底半径为2，下底半径为1，不难求出此圆台的高，如图，h ＝（2）2－12＝1，故体积V ＝13π·(22＋2×1＋12)×1＝7π3.答案：7π38．若圆柱的高扩大为原来的4倍，底面半径不变，则圆柱的体积扩大为原来的__________倍；若圆柱的高不变，底面半径扩大为原来的4倍，则圆柱的体积扩大为原来的________倍．解析：圆柱的体积公式为V圆柱＝πr 2h ，底面半径不变，高扩大为原来的4倍时，其体积也变为原来的4倍；高不变，底面半径扩大为原来的4倍时，其体积变为原来的42＝16倍．答案：4 169．四边形ABCD 中，A (0，0)，B (1，0)，C (2，1)，D (0，3)，将四边形绕y 轴旋转一周，求所得旋转体的体积．解：因为C (2，1)，D (0，3)，所以圆锥的底面半径r ＝2，高h ＝2. 所以V 圆锥＝13πr 2h ＝13π×22×2＝83π.因为B (1，0)，C (2，1)，所以圆台的两个底面半径R ＝2，R ′＝1， 高h ′＝1.所以V 圆台＝13πh ′(R 2＋R ′2＋RR ′)＝13π×1×(22＋12＋2×1)＝73π， 所以V ＝V 圆锥＋V 圆台＝5π. 10．一几何体的三视图如图： (1)画出它的直观图；(2)求该几何体的体积．解：(1)其直观图如下．(2)这个几何体是一个三棱锥．由三视图知：AC＝5 cm，作BD⊥AC于D，则BD＝125cm，得S底＝5×125×12＝6(cm2)，高h＝6 cm，得V＝13×6×6＝12(cm3)．[B能力提升]11．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．2πB．3πC ．5πD ．7π解析：选B.由三视图可知，此几何体是底面半径为1，高为4的圆柱被从母线的中点处截去了圆柱的14，根据对称性，可补全此圆柱如图，故体积V ＝34×π×12×4＝3π. 12．一个圆锥形容器和一个圆柱形容器，它们的轴截面尺寸如图所示，两容器内所盛液体的体积正好相等，且液面高度h 正好相同，则h ＝________．解析：设圆锥形容器的液面的半径为R ，则液体的体积为13πR 2h ，圆柱形容器内的液体体积为π⎝⎛⎭⎫a 22h . 根据题意，有13πR 2h ＝π⎝⎛⎭⎫a 22h ，解得R ＝32a .再根据圆锥形容器的轴截面与内盛液体轴截面是相似三角形，得32a a ＝ha ，所以h ＝32a . 答案：32a 13.如图所示，已知三棱柱ABC -A ′B ′C ′，侧面B ′BCC ′的面积是S ，点A ′到侧面B ′BCC ′的距离是a ，求证：三棱柱ABC -A ′B ′C ′的体积V ＝12Sa .证明：法一：如图所示，连接A ′B ，A ′C ，这样就把三棱柱分割成了两个棱锥．显然三棱锥A ′­ABC 的体积是13V ，而四棱锥A ′­BCC ′B ′的体积为13Sa ，故有13V ＋13Sa ＝V ，所以三棱柱ABC -A ′B ′C ′的体积V ＝12Sa .法二：如图所示，将三棱柱ABC -A ′B ′C ′补成一个四棱柱ACBD -A ′C ′B ′D ′，其中AC ∥BD ，AD ∥BC ，即ACBD 为一个平行四边形，显然三棱柱ABD ­A ′B ′D ′的体积与原三棱柱ABC -A ′B ′C ′的体积相等．因为四棱柱ACBD -A ′C ′B ′D ′以BCC ′B ′为底面，高为点A ′到面BCC ′B ′的距离，所以补形后的四棱柱的体积为Sa ，于是三棱柱ABC -A ′B ′C ′的体积V ＝12Sa .14．(选做题)如图，有个水平放置的圆台形容器，上、下底面半径分别为2分米、4分米，高为5分米，现以每秒3立方分米的速度往容器里面注水，当水面的高度为3分米时，求所用的时间．(精确到0.01秒)解：如图，设水面的半径为r 分米，则EH ＝(r －2)分米，BG ＝2分米，在△ABG 中，因为EH ∥BG ， 所以AH AG ＝EH BG .因为AH ＝2分米，所以25＝r －22.所以r ＝145(分米)．所以当水面的高度为3分米时，容器中水的体积为 V 水＝13π·3⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1452＋145×4＋42＝876π25(立方分米)． 所以所用的时间为876π253＝292π25≈36.69(秒)．所以所用的时间约为36.69秒．。