1高中数学北师大必修课件： 柱锥台的体积

R
结论:截面面积相等
则两个几何体的体积相等
二、知识梳理
R
R
R
12V球
πR2 R 1 πR2 R 3
4．球的体积计算公式：
V球
4 πR3 3
二、知识梳理
探究
S1
R
4 πR3 3
V球
1 3
RS1
1 3
RS2
1 3
RS3
1 3
RS球面
球的表面积： S球面 4πR2
二、知识梳理
例1 有一堆相同规格的六角螺帽毛坯共重5.8 kg，已知底面六边 形边长是12 mm，高是10 mm，内孔直径是10 mm，那么约有毛 坯多少个？（铁的比重是7.8 g/cm3）
柱、锥、台和球的体积
一、复习导入
复习回顾 1. 正方体的体积公式 V正方体=a3(这里a为棱长) 2. 长方体的体积公式
V长方体=abc(这里a，b，c分别为长方体长、宽、高) 或V长方体=Sh(S，h分别表示长方体的底面积和高)
二、知识梳理
一、教学情境 平面几何中我们用单位正方形的面积来度量平面图形的面积， 立体几何中用单位正方体(棱长为1个长度单位)的体积来度量几 何体的体积.
S′= S
V台体
1 h(S 3
SS S)
这里S、S′分别是上，下底面积，h是高
S′=0
1 V锥体= 3 Sh
这里S是底面积，h是高
二、知识梳理
5. 球的体积 实验: 给出如下几何模型
R
R
二、知识梳理
步骤 1．拿出圆锥和圆柱
2．将圆锥倒立放入圆柱
二、知识梳理
3．取出半球和新的几何体做它们的截面
二、知识梳理
三、数学建构 1．柱体（棱柱、圆柱）的体积：

等体积法
当按所给图象的方位不便计算时,可 选择条件较集中的面作底面,以便计
算底面积和高.
常见结论
正四面体的棱长为a, 那么它的
高为 6 a
3
体积为 2 a3
12
内切球半径为 6 a 外接球半径为 6 a
12
4
练习
1、三棱锥S-ABC的底面是直角边 分别为a, b的直角三角形，高为c， 那么它的体积为________。
体积
1、两个等高的几何体
2、假设在所有等高处的程度截面的面积相 等
那么这两个几何体的体积相等。
考虑：如何解决柱体的体积问题？
柱体的体积
长方体的体积
柱体的体积
V柱体Sh V圆柱r2h
h
ss
Ss
sS
等底等高的柱体体积相等
锥体的体积
h’
h
S’
S’
s
s
V圆锥 13V圆柱
V柱=sh
V锥=？
假如三棱锥的底面积是S，高是h，那么 它的体积是 V 是面 等边三角 它的斜高3为 ，求这个正四棱锥 积的 。体
P
D
C
O
E
A
B
等体积法
4、棱长为a,各面均为等边三角形的四面体〔正 四面体〕S-ABC,求它的体积. S
A BD C
V长方体 Sh
柱
祖暅原理
、 锥 、
V柱体Sh V圆柱r2h
台 的 体
V锥体
1 3
B′
B′
A
CA
C
C
C
考虑： B
B
B
V V （1） A' ABC 与 CA'B'C' 关系：

其中 S 上、S 下分别为台体上、下底面面积，h 为台体的高．特别 1 地，圆台的体积公式可以表示为：V 圆台＝ πh(r2＋rr′＋r′2)，其 3 中 r，r′分别为圆台的上、下底面的半径，h 为圆台的高．
1.正方体的表面积为 96，则正方体的体积为( A．48 6 C．16
[答案] B
)
B．64 D．96
如图①是一个水平放置的正三棱柱ABC－A1B1C1，D是棱
BC的中点．正三棱柱的主视图如图②. 求正三棱柱ABC－A1B1C1的体积．
[解析] 由三视图可知： 在正三棱柱中， AD＝ 3， AA1＝3， AD 3 从而在底面即等边△ABC 中，AB＝ ＝ ＝2， sin60° 3 2 1 所以正三棱柱的体积 V＝Sh＝ ×BC×AD×AA1 2 1 ＝ ×2× 3×3＝3 3. 2
解法 2：设长方体的长、宽、高分别为 a、b、c，则 ab＝ 2 ac＝ 3 bc＝ 6
，三式相乘得 a2b2c2＝6，
∴长方体的体积为 V＝abc＝ 6.
[规律总结] 求柱体的体积关键是求其底面积和高，底面
积利用平面图形面积的求法，常转化为三角形及四边形，高常 与侧棱、 斜高及其在底面的正投影组成直角三角形， 进而求解．
[解析] 设正方体的棱长为 a，则 6a2＝96，所以 a＝4，于 是正方体的体积为 a3＝64.
2．已知直角三角形两直角边长分别为a、b，分别以这两 个直角边为轴，旋转所形成的几何体的体积比为( A．a︰b C．a3︰b3 B．b︰a D．b3︰a3 )
[答案] B
πb2a [解析] 以 a 为轴的几何体的体积为 ， 3 πa2b 以 b 为轴的几何体的体积为 ， 3 ∴体积比为 b︰a.
1.棱柱和圆柱的体积 Sh 柱体(棱柱和圆柱)的体积公式：V柱体＝________ ，其中S为

1.求台体的体积，其关键在于求上、下底面的面积和高，一般地棱台常把 高放在直角梯形中去求解，若是圆台则把高放在等腰梯形中求解. 2. “还台为锥”是求解台体问题的重要思想，作出截面图，将空间问题平 面化，是解决此类问题的关键.
[再练一题] 3.正四棱台的高是12 cm，两底面边长之差为10 cm，表面积为512 cm2，求 此四棱台的体积.
[探究共研型]
台体的体积
探究1 如图1716，三棱柱ABCA1B1C1中，若E，F分别为AB，AC的中
点，平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1，V2的两部分，能否求出几何体AEF－ A1B1C1的体积V1?
图1716
【提示】 能.几何体AEF－A1B1C1为三棱台，设三棱柱的高为h，底面的面 积为S，体积为V，则V＝V1＋V2＝Sh.因为E，F分别为AB，AC的中点，所以 1 1 1 S△AEF＝4S，V1＝3hS＋ S＋ 4 7 S ＝12Sh. S· 4
2 2
∴V正方体∶V圆柱＝a
3
2 π 3 ∶ a π ＝
π 2 ∶1＝ π∶2.
锥体的体积 XXX
一个正三棱锥底面边长为 6，侧棱长为 15，求这个三 棱锥体积.
【精彩点拨】 已知底面边长和侧棱长，可先求出三棱锥的底面积和高， 再根据体积公式求出其体积.
【自主解答】
如图所示，正三棱锥SABC.
【自主解答】
由三视图可知：在正三棱柱中，AD＝
3 ，AA1＝3，从而
3 AD 在底面即等边△ABC中，AB＝sin 60° ＝ ＝2， 3 2 所以正三棱柱的体积 1 1 V＝Sh＝2×BC×AD×AA1＝2×2× 3×3＝3 3.
计算柱体体积的关键及常用技巧： (1)计算柱体体积的关键：确定柱体的底面积和高. (2)常用技巧： ①充分利用多面体的截面及旋转体的轴截面，构造直角三角形，从而计算 出底面积和高. ②由于柱体的体积仅与它的底面积和高有关，而与柱体是几棱柱，是直棱 柱还是斜棱柱没有关系，所以我们往往把求斜棱柱的体积通过作垂直于侧棱的 截面转化成求直棱柱的体积.

（课本P47例4 ）
解:如图,AC为高为146.6m,底面边长为115.2m,
V 1 S AC 1 230.42 146.6 2594046.（ 0 m3）
3
3
答:金字塔的体积约是 2594046.0m3.
例2、已知一正四棱台的上底边长为4cm,下底边长为 8cm,高为3cm,求其体积.（课本P48例45）
习题2、某小区修建一个圆台形的花台，它的两底面半 径分别为1m和2m，高为1m，问：需要多少立方米土才 能把花台填满？(结果用 表示)
（课本P50练习1，台体体积公式应用）
习题3、一块正方形薄铁片的边长是 a ，以它的一个 顶点为圆心，一边长为半径画弧，沿弧剪下一个扇形， 用这块扇形铁板围成一个圆锥筒，求它的容积.
V柱体= sh
h
S
S
h S
二、棱锥和圆锥的体积
D1 A11
D
C11 B11
C
A
B
正方体（边长为a）
请大家猜想下： 棱锥的体积公式是什么？
定理︰如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面
积是Ｓ，高是ｈ，那么它的体积是：
V锥体
1 3
Sh
h
S
S
三、棱台和圆台的体积
上节课我们知道，柱锥台的侧面积公式有着紧密联 系。那柱、锥、台的体积公式是否也有联系呢？
柱、锥、台体积的计算公式及它们之间的联系：
V Sh
上底扩大
上底缩小
S上 =S S下 =S
S上 =0 S下 =S
V
1 3
( S上
S下
S上 S下 )h
V 1 Sh 3
棱台和圆台的是怎样得到的?
例1、埃及胡夫金字塔大约建于公元前2580年,其形状 为正四棱锥.金字塔高146.6米,底面边长230.4米. 这座金字塔的体积是多少？（精确到十分位）

解：各面均为等边三角形，边长为 a ，则 S底 = 为h
6 1 1 3 2 6 2 3 a ， V = Sh a a a 3 3 3 4 3 12
3 2 a ,三棱锥的高 4
.
二、知识应用： 题型一 计算柱、锥、台的体积问题
例 1. (3)求上、下底面半径分别为 2、5，母线长为 5 的圆台体积.
解：因为上下底面半径分别为 2、5，所以上下底面积分别为 4 、25 . 由截面梯形可得，圆台高为 4，则圆台体积为
V锥体 = 1 ' 1 S S S ' S h = 4 +25 + 4 25 4=52 3 3



二、知识应用： 题型二 三视图中的柱锥台的体积问题
解 : 如 图 AC 为高 BC 为底面 的边 心距 ， 则 AC=146.6, BC=115.2 ，底面周长 C=4×230.4, S =C·AB=×4×230.4×≈85916.2(m2). V=S·AC=×230.42×146.6≈2594046.0(m3)


二、知识应用： 题型一 计算柱、锥、台的体积问题
例 1. (1) 已知圆柱的底面半径为 2cm，母线为 3 cm，求这个圆柱的体积.
2 2 V = Sh r h 2 3 12 cm3 解： 圆柱
二、知识应用： 题型一 计算柱、锥、台的体积问题
例 1. (2) 已知棱长为 a,各面均为等边三角形的四面体 S-ABC,求它的体积
1 1 1 1
与 B1 A1BC 等底面积等高，所以 VA ABC VB A BC ，则三
1 1 1
1 个三棱锥体积均等，则等于整个柱体体积的 3 .

计算柱体体积的关键及常用技巧 1计算柱体体积的关键：确定柱体的底面积和高. 2常用技巧： ①充分利用多面体的截面及旋转体的轴截面，构造直角三角 形，从而计算出底面积和高.
②由于柱体的体积仅与它的底面积和高有关，而与柱体是几棱 柱，是直棱柱还是斜棱柱没有关系，所以我们往往把求斜棱柱的体 积通过作垂直于侧棱的截面转化成求直棱柱的体积.
名称 体积(V) 棱柱 __S_h_
柱体 圆柱 πr2h
棱锥
锥体 圆锥
13Sh 13πr2h
棱台 台体 圆台
13h(S＋ SS′＋S′) 13πh(r2＋rr′＋r′2)
球
43πR3
1．若长方体的长、宽、高分别为 3 cm、4cm、5cm，则长方体
的体积为 ( )
A．27 cm3
B．60 cm3
[解] 设棱台的高为h，S△ABC＝S，则S△A1B1C1＝4S. ∴VA1-ABC＝13S△ABC·h＝31Sh， VC-A1B1C1＝31S△A1B1C1·h＝34Sh. 又V台＝13h(S＋4S＋2S)＝37Sh， ∴VB-A1B1C＝V台－VA1-ABC－VC-A1B1C1 ＝37Sh－S3h－4S3h＝32Sh， ∴体积比为1∶2∶4.
S下＝42＝16(cm2)， ∴V正四棱台＝13× 2×(4＋ 4×16＋16) ＝13× 2×28＝238 2 (cm3)．
求台体的体积关键是求出上、下底面的面积和台体的高．要注 意充分运用棱台内的直角梯形或圆台的轴截面寻求相关量之间的关 系．
1．本节课的重点是掌握柱体、锥体、台体的体积的求法，难点 是组合体的表面积．
C．64 cm3
D．125 cm3
B [长方体的体积为 3×4×5＝60(cm3)．]

������������ A. ������������������
������������������ B. ������ ������
������������ C. ������������
������������ D. ������������
������ ������ 解析：由题意知2πr＝c，所以r＝ 。又因为ch＝S，所以h＝ 。 ������ ������������
计算即可，常用方法为割补法和等积变换法。 (1)割补法：求一个组合体的体积可以将这个组合体分割成几个柱体、锥 体(或补成一个柱体或锥体)，求出柱体和锥体的体积，从而得出几何体的 体积。
(2)等积变换法：三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面。求体积时，可
选择容易计算的方式来计算。
北京师范大学出版社 | 必修二
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例2 已知一个正三棱台的两底面分别为边长为20 cm和30 cm， 且其侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高和体积。 解：如图所示，
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正三棱台ABC－A′B′C′中，O、O′为两底面的中心，D、D′是BC、B′C′的中点， ������ 则DD′是梯形BCC′B′的高，所以S侧＝ (20＋30)·DD′·3＝75DD′。 ������ 又A′B′＝20，AB＝30，
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解: (1)证明：取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B。 因为CA＝CB，所以OC⊥AB。
由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，
故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB。
因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C。
又A1C不在平面OA1C内，故AB⊥A1C。

第四页，共21页。
1.长方体的体积(tǐjī)
D1
C1
A1
D
d B1
c
C
A
S
Bb
a
V长方体 abc 或V S底h d 2 a2 b2 c2
第五页，共21页。
2.柱体的体积(tǐjī)
思考：取一些书堆放(duī fànɡ)在桌面上(如图所示) ， 并改变它们的放置方法，观察改变前后的体积是否发生 变化？
O P
N
分析：六角螺帽毛坯的体积是一个(yī ɡè)正六棱柱的体 积与一个(yī ɡè)圆柱的体积的差.
第十四页，共21页。
O
P
N
解:V正六棱柱=3×1223× ×10≈3.74×103(mm3)，
2
V圆柱(yuánzhù)=3.14×52×10 = 0.785×103(mm3 毛坯的体积V=3.74×103-0.785×103
【解析】该几何体是底面是直角 (zhíjiǎo)梯形，高为4的直四棱 柱， 则该1 几何体的体积是
2
V= ×(2+5)×4×4=56.
第十八页，共21页。
4.如图，已知正四棱锥(léngzhuī)P-ABCD的底边长为6、侧棱 长为5．求正四棱锥(léngzhuī)P-ABCD的体积和侧面积．
解：设底面ABCD的中心(zhōngxīn)为O，边BC中点为E，
连接PO，PE，OE.
在Rt△PEB中，PB=5，
BE=3，则斜高PE=4.
在Rt△POE中，PE=4，
OE=3，则高PO= 7 .
所以(sVuǒ13y·ǐS)ABCD·
PO
1 3
62
7 12
7，
S侧面积
1· 2

该旋转体的体积为( )
A．4π
B． 3π
C．43π
D．23π
解析：该几何体为圆柱与圆锥的组合体． V＝π×12×1＋13×(π×12)×1＝43π. 答案：C
已知正四棱台两底面边长分别为 20 cm 和 10 cm，侧 面积是 780 cm2.求正四棱台的体积．
【解】 如图所示，正四棱台 ABCD－ A1B1C1D1 中，A1B1＝10 cm，AB＝20 cm.取 A1B1 的中点 E1，AB 的中点 E，则 E1E 是侧面 ABB1A1 的高．设 O1、O 分别是上、下底面的中心， 则四边形 EOO1E1 是直角梯形．
π·4π)·
3＝7
3π 3.
答案：D
1．柱体的体积与哪些因素有关？ 答：柱体的体积仅与它的底面积和高有关，而与它是否为直 棱柱无关．
2．柱体、锥体、台体之间有无联系？ 答：柱体锥体可以看作“特殊”的台体，它们之间的关系 如下： (1)柱体、锥体、台体之间的关系
(2)体积公式之间的关系
课堂互动探究
由 S 侧＝4×12×(10＋20)·E1E＝780 得 EE1＝13， 在直角梯形 EOO1E1 中，O1E1＝12A1B1＝5， OE＝12AB＝10， ∴O1O＝ E1E2－OE－O1E12＝12， V 正四棱台＝13×12×(102＋202＋10×20)＝2 800(cm3)． 故正四棱台的体积为 2 800 cm3.
方形，那么该圆柱的体积是( )
π A.4
B．π2
C．π
D．14
解析：由题意知，圆柱的底面直径为 1，高为 1，∴V＝π×
122×1＝π4. 答案：A
2．棱锥和圆锥的体积 V 锥体＝13Sh，其中 S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．