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北师大版高中数学必修2：柱锥台的体积

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北师版新课标高中数学必修二 柱、锥、台和球的体积课件

北师版新课标高中数学必修二 柱、锥、台和球的体积课件
R
结论:截面面积相等
则两个几何体的体积相等
二、知识梳理
R
R
R
12V球
πR2 R 1 πR2 R 3
4．球的体积计算公式：
V球
4 πR3 3
二、知识梳理
探究
S1
R
4 πR3 3
V球
1 3
RS1
1 3
RS2
1 3
RS3
1 3
RS球面
球的表面积： S球面 4πR2
二、知识梳理
例1 有一堆相同规格的六角螺帽毛坯共重5.8 kg，已知底面六边 形边长是12 mm，高是10 mm，内孔直径是10 mm，那么约有毛 坯多少个？（铁的比重是7.8 g/cm3）
柱、锥、台和球的体积
一、复习导入
复习回顾 1. 正方体的体积公式 V正方体=a3(这里a为棱长) 2. 长方体的体积公式
V长方体=abc(这里a，b，c分别为长方体长、宽、高) 或V长方体=Sh(S，h分别表示长方体的底面积和高)
二、知识梳理
一、教学情境 平面几何中我们用单位正方形的面积来度量平面图形的面积， 立体几何中用单位正方体(棱长为1个长度单位)的体积来度量几 何体的体积.
S′= S
V台体
1 h(S 3
SS S)
这里S、S′分别是上，下底面积，h是高
S′=0
1 V锥体= 3 Sh
这里S是底面积，h是高
二、知识梳理
5. 球的体积 实验: 给出如下几何模型
R
R
二、知识梳理
步骤 1．拿出圆锥和圆柱
2．将圆锥倒立放入圆柱
二、知识梳理
3．取出半球和新的几何体做它们的截面
二、知识梳理
三、数学建构 1．柱体（棱柱、圆柱）的体积：

高中数学北师大版必修2课件：第一章立体几何初步1.7.2柱、锥、台的体积

高中数学北师大版必修2课件：第一章立体几何初步1.7.2柱、锥、台的体积
成的角为45°,则此三棱柱的体积为(
)
6
A. 2
B. 6
6
C. 6
6
D. 3
解析:如图所示,正三棱柱ABC-A1B1C1中,面对角线
AB1=2,∠B1AB=45°,
于是 B1B=2sin 45°= 2,AB=B1B= 2.
1
∴V=S△ABC·B1B=2 × 2 × 2sin 60°× 2 =
答案:A
又四边形ABCD为正方形,DC⊥AD,
所以DC⊥平面PDAQ.
于是得PQ⊥DC.
在直角梯形 PDAQ 中,可得
2
DQ=PQ= PD,
2
所以DQ2+PQ2=PD2.所以PQ⊥QD.
又DQ∩DC=D,所以PQ⊥平面DCQ.
即 PQ 为三棱锥 P-DCQ 的高,且 PQ= 2a,
1
2
2
2
而△DCQ 的面积为 ·a· 2a= a2,
由图可见,柱体、锥体的体积公式是台体的体积公式的特例.
【做一做1】 已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4,高为2,
则其体积为
.
解析:由题意可得六棱台上、下底面的面积分别为
S 上=6 3,S 下=24 3,高 h=2,
1
∴V 六棱台=3h(S 上+S 下+ 上 ·下)
1
=3×2×(6 3+24 3+12 3)=28 3.
1
V 柱∶V 锥=πR2h∶ πr2h=3∶4,故选 D.
3
答案:D
1
2
3
4
5
4.已知某几何体的三视图如图所示,根据图中标出的尺寸(单位:cm),
可得这个几何体的体积是
.

高中数学北师大版必修二 1. 7.2 柱、锥、台的体积 课件(35张)

高中数学北师大版必修二 1. 7.2 柱、锥、台的体积 课件(35张)

1.求台体的体积，其关键在于求上、下底面的面积和高，一般地棱台常把 高放在直角梯形中去求解，若是圆台则把高放在等腰梯形中求解. 2. “还台为锥”是求解台体问题的重要思想，作出截面图，将空间问题平 面化，是解决此类问题的关键.
[再练一题] 3.正四棱台的高是12 cm，两底面边长之差为10 cm，表面积为512 cm2，求 此四棱台的体积.
[探究共研型]
台体的体积
探究1 如图1716，三棱柱ABCA1B1C1中，若E，F分别为AB，AC的中
点，平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1，V2的两部分，能否求出几何体AEF－ A1B1C1的体积V1?
图1716
【提示】 能.几何体AEF－A1B1C1为三棱台，设三棱柱的高为h，底面的面 积为S，体积为V，则V＝V1＋V2＝Sh.因为E，F分别为AB，AC的中点，所以 1 1 1 S△AEF＝4S，V1＝3hS＋ S＋ 4 7 S ＝12Sh. S· 4
2 2
∴V正方体∶V圆柱＝a
3
2 π 3 ∶ a π ＝
π 2 ∶1＝ π∶2.
锥体的体积 XXX
一个正三棱锥底面边长为 6，侧棱长为 15，求这个三 棱锥体积.
【精彩点拨】 已知底面边长和侧棱长，可先求出三棱锥的底面积和高， 再根据体积公式求出其体积.
【自主解答】
如图所示，正三棱锥SABC.
【自主解答】
由三视图可知：在正三棱柱中，AD＝
3 ，AA1＝3，从而
3 AD 在底面即等边△ABC中，AB＝sin 60° ＝ ＝2， 3 2 所以正三棱柱的体积 1 1 V＝Sh＝2×BC×AD×AA1＝2×2× 3×3＝3 3.
计算柱体体积的关键及常用技巧： (1)计算柱体体积的关键：确定柱体的底面积和高. (2)常用技巧： ①充分利用多面体的截面及旋转体的轴截面，构造直角三角形，从而计算 出底面积和高. ②由于柱体的体积仅与它的底面积和高有关，而与柱体是几棱柱，是直棱 柱还是斜棱柱没有关系，所以我们往往把求斜棱柱的体积通过作垂直于侧棱的 截面转化成求直棱柱的体积.

北师大高中数学必修第二册6.6.2柱、锥、台的体积【课件】

北师大高中数学必修第二册6.6.2柱、锥、台的体积【课件】

S 上，S 下分别为台体的上、 下底面积，h 为高
状元随笔 柱体、锥体、台体体积之间的关系 柱体、锥体、台体的关系如下：
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)如果两个柱体的体积相等，则表面积相等．( × ) (2)如果一个柱体和一个锥体的体积相等，则两几何体的底面积相 同．( × ) (3)锥体的体积是柱体体积的13.( × ) (4)柱体、锥体、台体这些简单几何体的体积只与该几何体的底面 积和高有关．( √ )
-BHC＋VAGD
-BHC＝2VE
-ADG＋VAGD
-BHC＝2×13×
42×12＋
42×1＝
2 3.
答案：A
方法归纳
(1)求解棱锥的体积时，注意棱锥的四个基本量，即底面边长、高、 斜高、侧棱，并注意高、斜高、底面边心距所成的直角三角形的应用．
(2)求解圆锥的体积时，除应用“圆锥的侧面展开图是扇形，扇形 的弧长为圆锥的底面周长”求出母线长和底面半径外，还需注意“圆 锥的轴截面是等腰三角形”的应用．
2
343
A. 3 B. 3 C.3 D.2
解析：
如图，分别过点 A，B 作 EF 的垂线，垂足分别为 G，H，连接 DG，
CH，易得 EG＝HF＝21，AG＝GD＝BH＝HC＝ 23，则△BHC 中 BC 边的
高 h＝ 22.
∴S△AGD＝S△BHC＝21× 22×1＝ 42，∴该多面体的体积 V＝VE -ADG＋VF
解析：
如图所示的四棱锥 A -BCD 符合题意，把三棱锥 A -BCD 放到长方体 中，长方体的长、宽、高分别为 5,3,4，△BCD 为直角三角形，直角边长 分别为 5 和 3，三棱锥 A -BCD 的高为 4，故该三棱锥的体积 V＝31×12 ×5×3×4＝10.

柱、锥、台的体积课件-2023-2024学年高一下学期数学北师大版(2019)必修第二册

柱、锥、台的体积课件-2023-2024学年高一下学期数学北师大版(2019)必修第二册
内容索引
例2 有一堆相同规格的六角螺帽毛坯共重6kg.已 知毛坯底面正六边形的边长是12mm，高是10mm，内 孔直径是10mm.那么这堆毛坯约有多少个？(铁的密度 是7.8g/cm3)
【解析】 因为 V ＝ 六棱柱 43×122×6×10≈3 741(mm3)， V圆柱＝π×52×10≈785(mm3)， 所以V螺帽＝3 741－785＝2 956(mm3)＝2.956(cm3)， 2.96560×007.8≈260(个)， 故这堆毛坯约有260个．
内容索引
注意：棱柱的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向 另一个底面作垂线，这点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离．
棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离． 棱台的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面 作垂线，这点与垂足之间的距离．
内容索引
思考2 观察棱柱、棱锥、棱台的体积公式 V 棱柱＝Sh，V 棱锥＝13Sh，V 棱台＝13h(S′ ＋ S′S＋S)，它们之间有什么关系？你能用棱柱、棱锥、棱台的结构特征 来解释这种关系吗？
【解析】 棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间的关系 V 棱柱＝Sh S′＝S V 棱台＝13h(S′＋ S′S＋S) S′＝0V 棱锥＝13Sh.
内容索引
V柱体＝Sh(S为底面积，h为柱体高)； V 锥体＝13Sh(S 为底面积，h 为锥体高)； V 台体＝13(S′＋ S′S＋S)h(S′，S 分别为上、下底面面积，h 为台体高)． 当S′＝S时，台体变为柱体，台体的体积公式也就是柱体的体积公 式；当S′＝0时，台体变为锥体，台体的体积公式也就是锥体的体积公 式．
内容索引
柱、锥、台体积的计算
例1 如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四 棱锥，两部分的高都是 0.5 m，公共面ABCD是边长为1 m的正方形，那 么这个漏斗的容积是多少立方米(精确到0.01 m3)?

北师大版高中数学必修2课件1.7柱、锥、台的体积课件(数学北师大必修二)

北师大版高中数学必修2课件1.7柱、锥、台的体积课件(数学北师大必修二)

解：各面均为等边三角形，边长为 a ，则 S底 = 为h
6 1 1 3 2 6 2 3 a ， V = Sh a a a 3 3 3 4 3 12
3 2 a ,三棱锥的高 4
.
二、知识应用： 题型一 计算柱、锥、台的体积问题
例 1. (3)求上、下底面半径分别为 2、5，母线长为 5 的圆台体积.
解：因为上下底面半径分别为 2、5，所以上下底面积分别为 4 、25 . 由截面梯形可得，圆台高为 4，则圆台体积为
V锥体 = 1 ' 1 S S S ' S h = 4 +25 + 4 25 4=52 3 3



二、知识应用： 题型二 三视图中的柱锥台的体积问题
解 : 如 图 AC 为高 BC 为底面 的边 心距 ， 则 AC=146.6, BC=115.2 ，底面周长 C=4×230.4, S =C·AB=×4×230.4×≈85916.2(m2). V=S·AC=×230.42×146.6≈2594046.0(m3)


二、知识应用： 题型一 计算柱、锥、台的体积问题
例 1. (1) 已知圆柱的底面半径为 2cm，母线为 3 cm，求这个圆柱的体积.
2 2 V = Sh r h 2 3 12 cm3 解： 圆柱
二、知识应用： 题型一 计算柱、锥、台的体积问题
例 1. (2) 已知棱长为 a,各面均为等边三角形的四面体 S-ABC,求它的体积
1 1 1 1
与 B1 A1BC 等底面积等高，所以 VA ABC VB A BC ，则三
1 1 1
1 个三棱锥体积均等，则等于整个柱体体积的 3 .

柱、锥、台的体积高中数学北师大版2019必修第二册


计算柱体体积的关键及常用技巧 1计算柱体体积的关键：确定柱体的底面积和高. 2常用技巧： ①充分利用多面体的截面及旋转体的轴截面，构造直角三角 形，从而计算出底面积和高.
②由于柱体的体积仅与它的底面积和高有关，而与柱体是几棱 柱，是直棱柱还是斜棱柱没有关系，所以我们往往把求斜棱柱的体 积通过作垂直于侧棱的截面转化成求直棱柱的体积.
名称 体积(V) 棱柱 __S_h_
柱体 圆柱 πr2h
棱锥
锥体 圆锥
13Sh 13πr2h
棱台 台体 圆台
13h(S＋ SS′＋S′) 13πh(r2＋rr′＋r′2)
球
43πR3
1．若长方体的长、宽、高分别为 3 cm、4cm、5cm，则长方体
的体积为 ( )
A．27 cm3
B．60 cm3
[解] 设棱台的高为h，S△ABC＝S，则S△A1B1C1＝4S. ∴VA1-ABC＝13S△ABC·h＝31Sh， VC-A1B1C1＝31S△A1B1C1·h＝34Sh. 又V台＝13h(S＋4S＋2S)＝37Sh， ∴VB-A1B1C＝V台－VA1-ABC－VC-A1B1C1 ＝37Sh－S3h－4S3h＝32Sh， ∴体积比为1∶2∶4.
S下＝42＝16(cm2)， ∴V正四棱台＝13× 2×(4＋ 4×16＋16) ＝13× 2×28＝238 2 (cm3)．
求台体的体积关键是求出上、下底面的面积和台体的高．要注 意充分运用棱台内的直角梯形或圆台的轴截面寻求相关量之间的关 系．
1．本节课的重点是掌握柱体、锥体、台体的体积的求法，难点 是组合体的表面积．
C．64 cm3
D．125 cm3
B [长方体的体积为 3×4×5＝60(cm3)．]

高中数学北师大版必修二1.7.2【教学课件】《柱、锥、台的体积》


������������ A. ������������������
������������������ B. ������ ������
������������ C. ������������
������������ D. ������������
������ ������ 解析：由题意知2πr＝c，所以r＝ 。又因为ch＝S，所以h＝ 。 ������ ������������
计算即可，常用方法为割补法和等积变换法。 (1)割补法：求一个组合体的体积可以将这个组合体分割成几个柱体、锥 体(或补成一个柱体或锥体)，求出柱体和锥体的体积，从而得出几何体的 体积。
(2)等积变换法：三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面。求体积时，可
选择容易计算的方式来计算。
北京师范大学出版社 | 必修二
北京师范大学出版社 | 必修二
例2 已知一个正三棱台的两底面分别为边长为20 cm和30 cm， 且其侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高和体积。 解：如图所示，
北京师范大学出版社 | 必修二
正三棱台ABC－A′B′C′中，O、O′为两底面的中心，D、D′是BC、B′C′的中点， ������ 则DD′是梯形BCC′B′的高，所以S侧＝ (20＋30)·DD′·3＝75DD′。 ������ 又A′B′＝20，AB＝30，
北京师范大学出版社 | 必修二
解: (1)证明：取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B。 因为CA＝CB，所以OC⊥AB。
由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，
故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB。
因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C。
又A1C不在平面OA1C内，故AB⊥A1C。

北师大版高中数学必修2第6章6.2柱、锥、台的体积课件

母线都相切，求球的表面积．
课堂小结
知识点总结: (1) 祖暅原理;
(2) 柱体与锥体的体积公式;
(3) 球的体积公式．
思想总结:
化归思想
①借助“祖暅原理”,所有柱体的体积转化
为长方体的体积；
②柱体都可以分为三个等体积的锥体；
③球的体积转化为圆柱体积和圆锥体积的差.
作业布置
课本256~257页习题6-6 A组
北师大 (2019版)•数学必修二
第六章 立体几何初步
§6.2 祖暅原理与柱体、锥体、球的体积
情景导入
祖暅原理：幂势既同，则积不容异
情景导入
祖暅原理：幂势既同，则积不容异
水平截面面积
高
情景导入
夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所
截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.
R
新知探究：③球体体积的计算公式
步骤：
1.拿出圆锥和圆柱
2.将圆锥倒立放入圆柱
新知探究：③球体体积的计算公式
注意:
12 = ℎ
1 = ℎ
几何画板演示
典例分析
[典例1] 如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面
部分是一个四棱锥，两部分的高都是0.5 m，公共面ABCD
是边长为1 m的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米
图1
图2
新知探究：③球体体积的计算公式
探究：先研究半径为R的半球. 为了应用祖暅原理，需要找到一
个能够求体积的几何体，使它和半球可夹在两个平行平面之间，
当用平行于这两个平面的任意一个平面去截它们时，截得的截面
面积总相等.
给出以下三种几何模型，其高与底面半径均为R：

2019-2020高中北师版数学必修2 第1章 §7 7.2 柱、锥、台的体积课件PPT


得几何体的体积为( )
A．12π
B．16π
C．20π
D．24π
栏目导航
B [旋转后的几何体为以AC＝4为底面半径，以3为高的圆锥， V＝31πr2h＝31π×42×3＝16π.]
栏目导航
3．如图是一个几何体的三视图，若它的体积是3 ________.
3 ，则a＝
栏目导航
3 [由三视图可知几何体为一个直三棱柱，底面三角形中边长 为2的边上的高为a，
[三棱锥B1-ABC1的体积等于三棱锥A-B1BC1的体积，三棱锥
A-B1BC1的高为 23，底面积为12，故其体积为13×12× 23＝123.]
栏目导航
3．已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜
边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为
()
2 2π A. 3 C．2 2π
则V＝3×12×2×a＝3 3， 所以a＝ 3.]
栏目导航
4．高为3的三棱锥P-ABC底面是边长为1的正三角形，则三棱锥
P-ABC的体积为________．
3 4
[由已知三棱锥P-ABC的底面面积S＝12× 23×1＝ 43，
∴VP-ABC＝31×
43×3＝
3 4 .]
栏目导航
合作探究 提素养
栏目导航
[解] 设正方体边长为a，圆柱高为h，底面半径为r，
则有 a22π＝rhπ＝r24，a2，
① ②
由①得r＝ ππa，
由②得πrh＝2a2，∴V圆柱＝πr2h＝2 π πa3，
∴V正方体∶V圆柱＝a3∶2
π
πa3＝
2π∶1＝
π∶2.
栏目导航
锥体的体积问题
【例2】 如图，已知四棱锥P-ABCD的底面 为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H， PH是四棱锥的高．若AB＝ 6，∠APB＝∠ADB ＝60°，求四棱锥P-ABCD的体积．
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解:
1 V 3 (S上 S下 S上 S下 )h
1 (42 82 42 82 )3 3
A
=112（cm3）
答:正四棱台的体积为 112cm3..
A
D
S上
C
B
h
D
S下 C
B
习题1、某自来水厂要制作一个无盖长方体水箱，所用 材料的形状是矩形板，制作方案如图，求水箱的容积.
1.7.2 棱、锥、台的体积
柱、锥、台的侧面积公式
1.旋转体
圆柱
2.多面体
圆台
圆锥
直棱柱
正棱台
正棱锥
请大家思考：如何求以上几何体的体积？
做一做：取一些书堆放在桌面上(如图所示) ， 并改变它们的放置方法，观察改变前后的体积是否 发生变化？
从以上事实中你得到什么启发？
等底等高柱体的体积相等.
一、棱柱和圆柱的体积 底面积相等，高也相等的柱体的体积也相等。
180 180 2
a
圆锥筒的底面周长： c 2 r a ,
解得，圆锥筒的底面半径：
r
2
a
.
4
a h
所以，圆锥筒的高： h 圆锥筒的体积：
a2


a 2 4

15a . 4
r
V

1 3
Sh

1 r2
3
h

1
3

a 2 4

15a 4
15 a3
柱、锥、台体积的计算公式及它们之间的联系：
V Sh
上底扩大
S上 =S S下 =S
上底缩小
S上 =0 S下 =S
1 V 3 (S上 S下 S上 S下 )h
V 1 Sh 3
棱台和圆台的是怎样得到的?
例1、埃及胡夫金字塔大约建于公元前2580年,其形状 为正四棱锥.金字塔高146.6米,底面边长230.4米. 这座金字塔的体积是多少？（精确到十分位）
. 192
已知A、B是三棱柱上底面两边的中点，如图截面 ABCD将三棱柱分为两部分，求这两部分的体积比。
O
解：设△ABE的面积为S
E BG
V1
A F
V2
H
C
D
V1

1 3
h( S

S 4S 4S)
7 Sh 3
V2

4Sh

7 3
Sh

5 3
Sh
V1 :V2 7 : 5
常见几何体的体积公式：
径分别为1m和2m，高为1m，问：需要多少立方米土才
能把花台填满？(结果用 表示)
1m
（课本P50练习1，台体体积公式应用）
解：V

1 3 (S上

S下

S上 S下 )h
= 1（ 12 + 22 + 12 22）1
3
= 1（ +4 + 4）1
V柱体= sh
h
S
S
h S
二、棱锥和圆锥的体积
D1 A11
D
C11 B11
C
A
B
正方体（边长为a）
请大家猜想下： 棱锥的体积公式是什么？
定理︰如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面
积是Ｓ，高是ｈ，那么它的体积是：
V锥体

1 3
Sh
h
S
S
三、棱台和圆台的体积
上节课我们知道，柱锥台的侧面积公式有着紧密联 系。那柱、锥、台的体积公式是否也有联系呢？
3
= 7（m3）
3 答：需要
7
m3 土才能把花台填满.
3
1m 2m
习题3、一块正方形薄铁片的边长是 a ，以它的一个顶 点为圆心，一边长为半径画弧，沿弧剪下一个扇形，用 这块扇形铁板围成一个圆锥筒，求它的容积.
(结果用
a
表示)
（课本P47练习1，锥体体积公式应用）
a
解：扇形的弧长：l n R 90 a a ,
(结果用 a 表示)
（课本P47练习2，锥体体积公式应用）
习题1、某自来水厂要制作一个无盖长方体水箱，所用 材料的形状是矩形板，制作方案如图，求水箱的容积.
（课本P47练习1，柱体体积公式应用）
补
割 割 10
5
补
555
10
5
10
10
解： V Sh=（1010）5=500
习题2、某小区修建一个圆台形的花台，它的两底面半
柱体、锥体、台体的体积
柱 V Sh
体
S S'
台 V 1 (S SS S)h
体
3
S' 0
锥 V 1 Sh
体
3
课后作业: 课本P51 习题6，8
（课本P47练习1，柱体体积公式应用）
习题2、某小区修建一个圆台形的花台，它的两底面半 径分别为1m和2m，高为1m，问：需要多少立方米土才 能把花台填满？(结果用 表示)
（课本P50练习1，台体体积公式应用）
习题3、一块正方形薄铁片的边长是 a ，以它的一个 顶点为圆心，一边长为半径画弧，沿弧剪下一个扇形， 用这块扇形铁板围成一个圆锥筒，求它的容积.
（课本P47例4 ）
解:如图,AC为高为146.6m,底面边长为115.2m,
V 1 S AC 1 230.42 146.6 2594046.（ 0 m3）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3
3
答:金字塔的体积约是 2594046.0m.3
例2、已知一正四棱台的上底边长为4cm,下底边长为 8cm,高为3cm,求其体积.（课本P48例45）