苏教版数学高一必修2试题 平面的基本性质 (2)

平⑵面的基本性质一•复习提间:1•你昱倉样耒么诂一个年而的？怎样亲恚孑一个年而？仓的他注蛊什2•空向中的点•孩•而之向的怎蛊弟畫蛊怎样用後场采蓉云的？3•年而侖哪竣僅麦？—过一条直线L和直线包外一点A的平面有几个？?■推论1:经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面.已知：直线L,点A E L 求证：过直线L和点A有且只有一• A 个平面分析：先在直线L上任取两点B, C, 这样A, B, C三点就能确定一个平面，珥证明L在这个平面内.证明：在直线L上任取两点B,C因为点A不在直线L上, 根据公理3,经过不井线的三点A,B,C有一个平面Q因为Bw Q, C所以根据公理1, L C a即平面Q经过直线L和点A・因为B, C在直线L上,所以经过直线L和点A的平面一定经HA,B ,C于是再根据公理3,经jj不共线的三点ABC的平面只有一个,所以经11直线L和点A的平面只有一个.推论2.经过两条相交直线, 有且只有平推论3.经过两条平行直线,有且只*一个平面右图是一张倒置的课桌，你能用所学的知识检查_下桌子的四条腿是否在同一个平面内？例 1 ・ 已知：AWL, BGL , CGL, D 年 L求证：直线AD, B D, CD 共面.因为直线L 与点D 可以确所以只需证明AD 5B内・:分析:平面 在平面 D5C Bfc在长方体A B C D- A P为棱B B 1的中点，画出由A「C 的平面a与长方休表面的交线. 1 B 1 C 1 D 1 中，1, P三点所确定作法：连结AiP,PCi,AG,它们就是平面与长方体表面的交线.分析：弟圭P疡农年而G Ax A内又忌年而AB〔杓，所以虫P卷年而Of 彫年而AB〕的立銭£•徇理•圭州卷年而4$年而ABj的立偻£.0此尸人就昱年而0C 鸟年而AB〔的立銭.网画豔冈81.情指出下列说法是否正确，并说明理由：(1) 空间三点确定一平面.(2) 平面与平面若有公共点，就不止-(3) 因为平面型斜屋面不与地面相交，所以屋萌在的平面与地神不相交. a3.已知：如平面⑴求克线AB/J^ 面(2)求证:D,A经过D,E是少3(：的£ B点令天的仆业昱依习的二，三题・OO。

平面的基本性质⑵[双基提要]1、掌握平面的概念及平面的表示法，理解三个公理及三个推论的内容及作用；2、会用文字语言、图形语言、符号语言表示点、线、面的位置关系；3、掌握平面的基本性质及其推论的三种语言表示，初步掌握性质与推论的简单应用。

公理1的作用：①判定直线是否在平面内；②点是否在平面内。

公理2的作用：①判定两个平面是否相交；②判定点在直线上。

公理3的作用：①确定平面；②证明点线共面。

[课堂反馈]1、给出以下六个条件：①空间三个点；②空间两条相交直线；③三条直线中的一条与其余两条直线分别相交；④空间一直线与一个点；⑤三条平行直线都与第四条直线相交；⑥两两相交且不交于同一点的三条直线，那么能且只能确定一个平面的条件有 〔 〕A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 2、在空间内，可以确定一个平面的条件是〔 〕 A 、两两相交的三条直线B 、三条直线，其中的一条与另外两条直线分别相交C 、三个点D 、三条直线，它们两两相交，但不交于同一点3、平面α∩平面β=l ，点M ∈α，N ∈α，P ∈β，P l ∉，又MN ∩l =R ，过M 、N 、P 的平面为γ，那么β∩γ等于。

4、以下命题中①三个平面最多可以将空间分成8部分；②假设直线a 平面α，直线b 平面β，那么“a 与b 相交〞与“α与相交β〞可互推；③假设平面α∩平面β=直线l ，a α，b β，且a ∩b =点P ，那么P ∈l ; ④假设n 条直线中任意两条共面，那么它们共面。

其中正确的命题为。

5、：C l L B l l A l l l l l ===342414321,,,//// 求证：4321,,,l l l l 共面。

⊂≠⊂≠⊂≠⊂≠6、如下图，正方体的棱长为4，M 、N 分别是A 1B 1和CC 1的中点。

〔1〕画出过D 、M 、N 的平面与平面BB 1C 1C 及平面AA 1B 1B 的两条交线； 〔2〕设过D 、M 、N 三点的平面与棱B 1C 1交于点P ，求PM+PN 的值。

1．已知α∩β＝m，a⊂α，b⊂β，a∩b＝A，则直线m与A的位置关系用集合符号表示为________．解析：∵a∩b＝A，∴A∈a，又a⊂α.∴A∈α，同理A∈β.∴A∈m.答案：A∈m2．已知点A，直线a，平面α.①A∈a，a⊄α⇒A∉α；②A∈a，a∈α⇒A∈α；③A∉a，a⊂α⇒A∉α；④A∈a，a⊂α⇒A ⊂α.以上命题表达正确的个数为________．解析：①中若a与α相交，且交点为A，则不正确；②中“a∈α”符号不正确；③中A可在α内，也可在α外；④符号“A⊂α”不正确．答案：03．一条直线和直线外两点可确定平面的个数是________个．答案：1或24．平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为________．(六个面都是平行四边形的四棱柱为平行六面体)解析：如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1，与AB，CC1都共面的棱为BC，D1C1，DC，AA1，BB1，共5条．答案：55．直线AB，AD⊂平面α，直线CB，CD⊂平面β，点E∈AB，点F∈BC，点G∈CD，点H∈DA，若直线EH∩直线FG＝M，则点M在________上．解析：由已知得B，D∈平面α，B，D∈平面β，∴α∩β＝BD，而E，H分别在AB，DA上，∴直线EH⊂α，同理FG⊂β.又∵直线EH∩直线FG＝M，∴M∈EH，M∈FG，∴M∈α，M∈β，∴M∈BD.答案：BD6．如图所示，在正方体中，请画出过A1、B、D三点的截面．解：如图所示，阴影部分即为过三点A1、B、D的截面．7．已知：如图所示，平面α、β、γ满足α∩β＝a，β∩γ＝b，α∩γ＝c，a∩b＝A.求证：a，b，c三线交于一点．证明：∵a∩b＝A，∴A∈a，A∈b，又α∩β＝a，β∩γ＝b，∴a⊂α，b⊂γ，∴A∈α，A∈γ.而α∩γ＝c，∴A∈c.∴a，b，c相交于点A.8．已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.证明：直线a，b，c和l共面．证明：∵a∥b，∴a，b确定一个平面α，∴A∈α，B∈α，而A，B∈l，∴l⊂α，b⊂α，a⊂α.又a∥c，则a，c确定一个平面β，∴A∈β，C∈β，∴A，C∈l，∴l⊂β.又a⊂β，∴l，a既在平面α内，又在平面β内，而相交直线l，a只能确定一个平面．由推论2得α与β重合．∴l，a，b，c共面．。

高一数学教学案(121)必修 2 平面的基本性质(2)班级 姓名目标要求1、了解公理3及推论1、推论2、推论3，并能运用推论解释生活中的一些现象； 2、初步学习立体几何中的证明．重点难点 公理3及三个推论的理解和运用． 典例剖析例1、已知：,,,A l B l C l D l ∈∈∈∉，（如图），求证：直线,,AD BD CD 共面．例2、求证：两两相交且不过同一点的三条直线在同一个平面内．例3、 如图,在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别为1AA 、11C D 的中点，过D 、M 、N 三点的平面与直线11A B 交于点P ，求线段1PB 的长．例4、如图，正方体1111ABCD A B C D 中，P ,,M N 分别为CD ,111,A B CC 的中点。

（1）求作直线PN 与平面1111A B C D 交点；（2）过三点P 、M 、N 的平面与平面1111A B C D 交线.学习反思1、公理3： ； 推论1______________________________________________________； 推论2： ； 推论3：2、证明点线共面问题的基本方法是：由公理3及三个推论直接得出其中一部分点线确定一个平面，由公理１证明其余的点线也在该平面内．3、平面是立体几何中的基本要素之一，公理3及三个推论是判断平面存在性和唯一性的方法． 课堂练习1、 指出下列说法是否正确，并说明理由．(1)四条线段顺次首尾相连接，所得的图形是平面图形； (2)空间三个点确定一个平面；N M11C 1(3)平面α和平面β若有公共点，就不止一个；(4)因为平面型斜屋面不与地面相交，所以屋面所在的平面与地面不相交．2、下列判断中，正确的是 . A 、四边形是平面图形 B 、两个平面有三个公共点，它们必然重合 C 、三条直线两两相交，它们必在同一平面内D 、一条直线与两条平行直线相交，这三条直线必定在同一个平面内3、空间三条直线交于同一点，它们确定平面的个数为n ，则n 的可能取值为 .4、画一个＂三个平面两两相交＂的直观图．高一数学作业(121)班级 姓名 得分1、 已知,,A B C 表示不同的点，,,a l m 表示不同的直线，,αβ表示不同的平面，下面推理不正确的是 . A 、若A l ∈，A α∈，B l ∈，B α∈，则l α⊂ B 、若A α∈，A β∈，B α∈，B β∈，则AB αβ=C 、若,,a l m 两两相交，则,,a l m 一定在同一平面内D 、若,,A B C α∈，,,A B C β∈，且,,A B C 不共线，则,αβ重合2、下列判断中不正确的是 . A 、经过空间任意三点有且只有一个平面 B 、过两条相交直线的平面有且只有一个 C 、若两个平面相交，则它们有且只有一条公共直线 D 、过两条平行直线的平面有且只有一个3、在正方体1111ABCD A B C D -中有下列两个判断：（1）由11A C B 、、确定的平面是11ADC B ；（2）由11A C B 、、确定的平面与由1A C D 、、确定平面DO 1O1C 1B 1ABCA 1是同一平面．其中 .A 、（1）正确 （2）正确B 、（1）正确 （2）错误C 、（1）错误 （2）正确D 、（1）错误 （2）错误4、已知正方体1111ABCD A B C D -中，,,P Q R 分别是11,,AB AD B C 的中点，那么正方体的过,,P Q R 的截面图形是 .5、给出下列四个命题：（1）圆心和圆上两点可确定一个平面；（2）经过一点的三条直线可以确定一个平面；（3）点A 在平面α内，也在直线a 上，则直线a 在平面α内；（4）平面α与平面β有不在同一条直线上的三个公共点，则平面α与平面β重合；其中正确的序号是 ．6、如图，若直线l 与四边形ABCD 的三条边,,AB AD CD 分别交于点,,E F G ，求证ABCD 为平面四边形．7、证明空间无三线共点且两两相交的四条直线在同一平面内．8、如图，正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别为111,A B CC 的中点，画出过,,D M N 三点的平面与平面1BC ，平面1AB 的交线．DFG ACEBlNC 19、已知直线////a b c ，直线d 与a,b,c 分别相交于点Ａ，Ｂ，Ｃ，求证：,,,a b c d 四条直线共面．高一数学教学案(133)必修 2 平面与平面的位置关系（5）班级 姓名目标要求1、进一步掌握面面垂直的判定定理及其应用；2、理解两平面垂直的性质定理；3、线面平行、垂直关系的综合应用． 重点难点重点：两平面垂直的性质定理及应用； 难点：线面平行、垂直关系的相互转化． 典例剖析例1、求证：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内．CB A cb ad例2、如图，已知平面α平面β＝l ，,αβ同垂直于平面γ．求证：l γ⊥．例3、如图，已知PA ⊥平面,ABCD ABCD 为矩形，M 、N 分别为AB 、PC 的中点． （1）求证：MN AB ⊥；（2）若平面PDC 与平面ABCD 成045角，求证：平面MND ⊥平面PDC ．学习反思1、两平面垂直的性质定理是 , 其实质是 ．2、领悟转化思想：线⊥线线⊥面面⊥面．γβlα_ M_ E _ P_ N_ D _ C_ B _ A课堂练习1、已知,a b 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，且a α⊥，b β⊥，则下列命题中的真命题的序号是__________________.(1) 若//a b ，则//αβ (2) 若αβ⊥，则a b ⊥ (3) 若,a b 相交，则,αβ相交 (4) 若,αβ相交，则,a b 相交 2、设,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，给出下列命题： ①若m α⊥，//n α，则m n ⊥； ②若//αβ，//βγ，m α⊥，则m γ⊥ ； ③若//m α，//n α，则//m n ； ④若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ． 其中正确命题的序号是__________________．3、E 、F 分别是正方形ABCD 的边AB 和CD 的中点，EF 、BD 相交于O , 以EF 为棱将正方形折成直角二面角，则BOD ∠= ．4、如图,αβ⊥ ，l αβ=，,,,,AB AB l BC DE BC DE αββ⊂⊥⊂⊂⊥ ．求证：AC DE ⊥．高一数学作业(133)班级 姓名得分1、l 、m 、n 表示直线，,αβ表示平面，则下列命题中正确的序号是________________. (1)若//,,,//l n l n αβαβ⊂⊂则 (2)若,,l l αβαβ⊥⊂⊥则 (3)若,,//l n m n l m ⊥⊥则 (4)若,//,l l αβαβ⊥⊥则2、m 、n 表示直线，,,αβγ表示平面，给出下列四个命题 ①若m αβ=，n α⊂，n m ⊥，则αβ⊥；②若αβ⊥，m αγ=，n βγ=，则m n ⊥ ；③若αβ⊥，αγ⊥，m βγ=，则m α⊥；αl A B ECDβ④若m α⊥，n β⊥，m n ⊥则αβ⊥． 其中正确命题为 ．3、ABCD 是正方形，以BD 为棱把它折成直二面角A BD C --, E 为CD 的中点， 则AED ∠的大小为________．4、三个平面两两垂直，它们的交线交于一点O ，点P 到三个面的距离分别是3，4， 5， 则OP 的长为 ．5、,αβ是两个不同的平面，,m n 是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：① m n ⊥；②αβ⊥； ③n β⊥； ④m α⊥ ．以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：． 6、在直二面角l αβ--内放置木棒AB ,,A B αβ∈∈．如果AB 与平面β成045的角，AB 在平面β内的射影与棱l 成045的角，求AB 与平面α所成的角．7、如图，在四面体ABCD 中，DA ⊥平面ABC ，090ABC ∠=,AE CD ⊥,AF DB ⊥．求证：（1）EF DC ⊥；（2）平面DBC ⊥平面AEF ．BAαlβDFECBA8、如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 把BCD ∆折起，使C 移到1C 点，且1C 在平面ABD 上的射影O 恰好在AB 上． （1）求证：1AD BC ⊥；（2）求证：面1ADC ⊥面1BDC ．c 1ODCBA。

1.2 点、线、面之间的位置关系1.2.1 平面的基本性质5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1.下面判断中正确的是( )A.任意三点确定一个平面B.两条垂直的直线确定一个平面C.一条直线和任一点确定一个平面有素D.与一条直线都相交的三条平行直线共面思路解析：本题只要紧紧围绕着确定平面的条件来逐一判断即可，并且注意全面地考虑问题，从而得到正确的结论.由确定平面的条件不难得知，选D.答案：D2.若两个不重合的平面有公共点，则公共点的个数是( )A.1个B.2个C.1个或无数个D.无数个且在同一条直线上思路解析：利用公理2可知如果两个平面有一个公共点，则它们就一定有一条交线，而线是由无数个点构成的，所以这两个平面有无数个在同一直线上的交点.答案：D3.如图1-2-1所示，请你用符号表示以下各叙述：图1-2-1(1)点A、B在直线a上_____________；(2)直线a在平面α____________内，点C在平面α内____________；(3)点D不在平面α____________内，直线b不在平面α____________内.思路解析：要熟练掌握集合中的符号在表示空间中点、直线、平面的位置关系时的不同意义. 答案：(1)A∈a，B∈a (2)a⊂α C∈a (3)D∉αbα10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.下列说法正确的是( )A.立体图形中的虚线是辅助线B.一张白纸是一个平面C.一个平面将空间分成两个部分D.三点确定一个平面思路解析：立体图形中的虚线和平面几何中不一样，它表示肉眼看不见的线，因此A是错误的；平面具有无限延展性，所以B是错误的；只有不在同一条直线上的三点才能确定一个平面，如果三点共线则可以确定无数个平面，因此D也是错误的.答案：C2.与“直线l上两点A、B在平面α内”含义不同的是( )A.l⊂αB.平面α过直线lC.直线l上只有这两个点在α内D.直线l上所有点都在α内思路解析：据平面的基本性质，一直线上有两点在一个平面内，则这条直线上所有点都在该面内.故A、B、D均与此等价，只有C违背.答案：C3.若a⊂α，b⊂β，α∩β=c，a∩b=M，则( )A.M∈cB.M∉cC.M⊂cD.M c思路解析：注意点、线、面关系的符号表示,结合公理2可知M⊂c.答案：A4.若空间三个平面两两相交，则它们的交线条数是( )A.1或2B.2或3C.1或3D.1或2或3思路解析：若三个平面经过同一直线，则有1条交线；若三个平面不过同一直线，则有3条交线(共点或互相平行).答案：C30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.下列说法正确的是( )A.四边形是平面图形B.有三个公共点的两个平面必重合C.两两相交的三条直线必在同一个平面内D.三角形是平面图形思路解析：空间四边形不是平面图形，故A说法不正确；若三个公共点在一条直线上，则两个平面不一定重合，B也是错误的；C中两两相交的三条直线可能会经过同一点，此时三条直线不一定在同一个平面内，因此选D.答案：D2.正方体ABCD—A1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点，那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是( )A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形思路解析：本题主要考查同学们的空间想象能力，作法如下：如上图所示，延长PQ分别交CB、CD的延长线于M、N，连结MR分别交BB1于E，交CC1的延长线于H，连结NH，交D1D、D1C1于F、G，则六边形QPERGF为截面图形.答案：D3.由四条平行直线最多可以确定( )A.两个平面B.四个平面C.五个平面D.六个平面思路解析：本题从确定平面的条件来考虑即可，要使四条平行直线确定平面最多，只有当这四条直线中任意两条所确定的平面互不相同时即为最多，从而得到结果.由确定平面的条件知由四条平行直线最多可以确定六个平面，选D.答案：D4.图1-2-2是一桌子放倒时的示意图，现有足够长的绳子，如何利用它简便地判断桌子的四条腿的底端是否在同一平面内？请将你的判断方法画在图上，并说出判断的重要依据是什么？图1-2-2思路解析：判断四条腿的底端是否在同一平面内，即判断四点共面，可依据确定平面的条件，且要具有可操作性.答案：操作方法：用两根绳子沿四条腿的对角底端拉直，若绳子相交，则说明四点共面，否则不共面.原理是：两相交直线确定一个平面.5.两个平面把空间分成几个部分？三个平面呢？思路解析：两个平面划分空间的情况如下图所示：三个平面划分空间的情况比较复杂，可自己设计模型探索.答案：两个平面将空间分成3或4部分，三个平面可以把空间分成4或6或7或8部分. 6.分别根据下列条件画出相应的图形：(1)P∈α，Q∉α，P∈l，Q∈l；(2)α∩β=l，△ABC顶点A∈l，B∈α，B∉l，C∈β，C∉l.答案：符合条件的图形如下图所示.7.如图1-2-3所示，已知A、B、C是平面α外不共线的三点，并且直线AB、BC、AC分别交α于P、Q、R三点，求证：P、Q、R三点共线.图1-2-3思路解析：欲证P、Q、R三点共线，只需证P、Q、R都在面ABC和平面α的交线上，即只需证P、Q、R为两个平面的公共点.证明点共线问题，一般转化为证明这些点是某两平面的公共点，这样可据公理2证明这些点在两平面的交线上.证明：∵AB∩α=P，AB⊂面ABC，∴P∈面ABC，P∈α.∴P在平面ABC与平面α的交线上.同理，可证Q、R也在平面ABC与α的交线上.∴P、Q、R三点共线.8.如图1-2-4，α∩β=l，梯形ABCD的两底分别为AD、BC，且AB⊂α，CD⊂β，求证：AB 与CD的交点在l上.图1-2-4思路解析：解决点共线和直线共点问题，是平面的性质的应用.直线共点问题的解决步骤：一先说明直线相交，二证明交点也在其他直线上，可以利用公理2进行证明，如本题.证明：因为梯形是平面图形，它的两腰AB与CD不平行，故只能相交，假设交点为M，则M∈AB，又AB⊂α，则M∈α，同理，M∈β，则M∈(α∩β)，即M∈l.因此AB与CD的交点在l上.9.求证：若两条平行直线都和同一条直线相交，则这三条直线共面.思路解析：文字命题要注意先书写已知、求证，而后进行证明.本题要求证明三线共面，通常可以先由两条直线确定一个平面，再证其他直线也在这个平面内.答案：如上图，已知直线a、b、l，且a∥b，l∩a=A，l∩b=B，求证：a、b、l共面.证明：∵a∥b，∴直线a、b确定一个平面，设为α.∵l∩a=A，l∩b=B，∴A∈a，B∈b.∴A∈α，B∈α.又∵A∈l，B∈l，∴l⊂α.∴a、b、l共面.。

1.2 平面的基本性质一、我们要参观的景点理解空间点、线、面的位置关系；会用数学语言规范地表述空间点、线、面的位置关系；了解可以用来作为推理依据的三条公理及三条推论，深刻理解其作用.二、我们的旅程景点一：平面的概念（1）概念：平面是不加定义的原始概念；（数学哲学）（2）平面的特征：________________________________________【思考】一个平面可以把空间（宇宙）分成几个部分？两个平面呢？三个平面呢？（3）平面的画法和表示方法（三种方法）：__________________________________________【你到了哪里？】判断下列说法是否正确？并说明理由（1）平行四边形是一个平面；（）（2）平面的形状是平行四边形；（）10cm；（）（4）空间图形中，先画的线是实线，后（3）平面ABCD的面积为2画的是虚线.( )景点二：点、线、面的位置关系直线AB 在平面AC 内集合 和集合 关系直线A A 1不在平面AC 内平面α与平面β相交于直线a【你到了哪里？】1.若点Q 在直线b 上，b 在平面β内，则β、、b Q 之间的关系可记作：_____________2.依据题意，画出图形（1）直线l 过平面α内一点A ，且过外两点B 、C ；（2）平面α与平面β的交线为l ，直线m 在α内，直线n 在β内，且m 、n 与l 分别交于点P 、Q ；景点三：平面的三条基本性质（分别用三种数学语言表述）公理1公理2公理3图形语言文字 语言如果 ____________ ，那么这条直线在此平面内.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么 _________________________过 ________ ，有且只有一个平面. 符号语言公理作用【例1】在ABC ∆中，若α⊂AB ，α⊂BC ，试问AC 是否在平面α内；【变式】画出平面P C A 11与长方体下地面ABCD 的交线【例3】已知H G F E ,,,分别是空间四边形ABCD （四条线段首尾相接，且连结点不在同一个平面内，所组成的空间图形叫空间四边形）各边CD CB AD AB ,,,上的点，且直线HG EF ,交于点P ，求证：点P D B ,,在同一条直线上.【例4】用公理解释下列现象：（1）将一把直尺置于桌面上，通过是否漏光就能检查桌面是否平整； （2）用两个合页和一把锁就能将一扇门固定； （3）照相机支架只需三条腿就够了； （4）许多自行车后轮旁只需安一只撑脚景点四：公理3的三个推论【例5】已知:,,,A l B l C l D l ∈∈∈∉，求证：直线AD ，BD ，CD 共面【例6】平面的确定及共面问题 （1）不共面的四点可以确定几个平面？（2）两两平行，但不共面的三条直线可以确定几个平面？ （3）共点的三条直线可以确定几个平面？【你到了哪里？】1. 如果一条直线与两条平行直线都相交,证明：三条直线共面2.在正方体中，试画出过其中三条棱的中点P 、Q 、R 的平面截得正方体的截面形状．3.课本5,4,3,222#P。

平面的基本性质（2）教学目标：掌握三个公理及三个推论并了解它的作用；能应用公理及推论判定直线在平面内、两平面相交、确定平面；掌握直线共面的证明。

教学过程： 一．复习回顾公理1： 公理2： 公理3： 二、基础训练1．点P 在直线l 上，而直线l 在平面α内，用符号表示为（ ） A ．P l α⊂⊂ B ．P l α∈∈ C ．P l α⊂∈ D ．P l α∈⊂ 2．下列推理，错误的是（ ） A ．,,,A l A B l B l ααα∈∈∈∈⇒⊂ B ．,,,A A B B AB αβαβαβ∈∈∈∈⇒=C ．,l A l A αα⊄∈⇒∉D ．,,,,,,,,A B C A B C A B C αβαβ∈∈⇒且不共线与重合3．下面是四个命题的叙述语（其中A 、B 表示点，a 表示直线，α表示平面） ①,A B AB ααα⊂⊂∴⊂ ②,A B AB ααα∈∈∴∈ ③,A a a A αα∉⊂∴∉ ④,A a A a αα∉⊂∴∉其中叙述方法和推理过程都正确的命题的序号是_______________．4．如图，点A ∉平面BCD ，E 、F 、G 、H 分别是AB 、CD 、DA 上的点，若EH 与FG 交K 求证：K 在直线BD 上．ABCDEH KGF三、建构数学 公理的三个推论1.推论1：经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面. 图形语言： 符号语言：已知：点A ∉a . 求证：过点A 和直线a 可以确定一个平面. 证明：（1）存在性.因为A ∉a ，在a 上任取两点B ，C.所以过不共线的三点A ，B ，C 有一个平面a .（公理3） 因为B ∈α，C ∈α，所以a ∈a .（公理1）故经过点A 和直线a 有一个平面a . （2）唯一性.如果经过点A 和直线a 的平面还有一个平面b ，那么A ∈b ，a ⊂ b . 因为B ∈a ， C ∈a ，所以B ∈b ，C ∈b .（公理1） 故不共线的三点A ，B ，C 既在平面a 内又在平面b 内.所以平面a 和平面b 重合.（公理3）所以经过点A 和直线a 有且只有一个平面 2.推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面. 图形语言： 符号语言：已知：直线 a ，b 且P b a = .求证：过 a ，b 有且只有一个平面. 证明：在a 上取不同于点P 的点Ab A ∉ ，∴过直线 b 和点 A 只有一个平面，ααα⊂∴∈∈AP P A ,, ，即α⊂a∴过a ，b 只有一个平面，即：过 a ，b 有且只有一个平面．3.推论3：经过两条平行的直线有且只有一个平面. 图形语言： 符号语言：已知：直线 a ，b 且b a //.求证：过 a ，b 有且只有一个平面． 证明：由平行线的定义知a ，b 在同一平面内.b a ,∴有平面α.设点A 为直线a 上任一点，则点A 在直线b 外，∴点A 和直线b 在过a ，b 的平面α内， 又由推论1，过点A 和直线b 的平面只有一个，∴过 a ，b 有且只有一个平面．,,A l A l ααα∉⇒∈⊂有且只有一个平面使,,a b P a b ααα=⇒⊂⊂有且只有一个平面使//,,a b a b ααα⇒⊂⊂有且只有一个平面使四、应用举例例1.已知:,,,A l B l C l D l ∈∈∈∉，求证：直线AD ，BD ，CD 共面。

1.2.1 平面的基本性质双基达标限时15分钟1．空间首尾相连的四条线段所在直线最多可确定________个平面．解析相邻的两条直线确定一个平面，则可确定4个．答案 42．下列命题中正确的个数是________．①四边相等的四边形是菱形；②若四边形有两个对角都是直角，则这四边形是圆内接四边形；③“平面不经过直线”的等价说法是“直线上至多有一个点在平面内”；④若两平面有一条公共直线，则这两平面的所有公共点都在这条公共直线上．解析①不正确，可用四根火柴摆成空间四边形．②不正确，可用斜边相等的两直角三角板拼一下，或用矩形纸片，沿其对角线折起，看出四点不共面，故不共圆．③正确，公理1l⊂a⇔l上有两点在a内．④正确，公理2.答案 23．有以下3个命题：①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；②直线l在平面α内，可以用符号“l∈α”表示；③若平面α内的一条直线a与平面β内的一条直线b相交，则α与β相交．其中所有真命题的序号是________．解析若平面外的直线与平面有两个公共点，则这条直线一定在这个平面内，故①正确；直线l在平面α内用符号“⊂”表示，即l⊂α，故②错误；由a与b相交，说明两个平面有公共点，因此一定相交，故①③正确．答案①③4．下列各图是正方体或正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点共面的图形是________．解析①中，PS∥RQ，②中，PQ∥RS，③中，PQ∥RS，④中的四点不共面．答案 ①②③5.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点M ，N ，P ，Q 分别是棱AD ，AB ，B 1C 1，C 1D 1的中点．①直线DB 1在平面MNPQ 上；②平面MNPQ 与平面AA 1D 1D 的交线为MD 1.上述两个命题中，错误的是________．解析 ①显然D ，B 1∉面MNPQ ，∴不正确；②D 1不在面MNPQ 与面AA 1D 1D 的交线上，∴不成立．答案 ①②6．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是B 1C 1和D 1C 1的中点，P 、Q 分别为EF 和BD 的中点，对角线A 1C 与平面EFDB 交于点H ，求证：P 、H 、Q 三点共线．解 ∵EF ∥DB ，∴可确定平面BF ，⎭⎪⎬⎪⎫EF ⊂平面BF P ∈EF ⇒P ∈平面BF. 同理，Q ∈平面BF ，∴P 、H 、Q ∈平面BF.∵A 1C 1∥AC ，∴确定平面A 1C.∵P ∈A 1C 1，Q ∈AC ，H ∈A 1C ，∴P 、H 、Q ∈平面A 1C.∴P 、H 、Q 三点一定在平面BF 与平面A 1C 的交线上， ∴P 、H 、Q 三点共线．综合提高 限时30分钟7．三条直线两两相交，它们可确定平面的个数是________．解析 本题主要考查确定平面问题，关键是想象两两相交的三条直线的状态．三条两两相交的直线可能只有一个交点，也可能有3个交点．若它们只有一个交点，则会有两种情况：(1)共面(如角及其平分线)；(2)互不共面(如三棱锥的三条侧棱)，则可确定平面的个数是1或3；若它们有3个交点(如三角形的三边)，则只能确定一个平面．答案 1或38．平面α∩平面β＝l ，点A ∈α，B ∈α，C ∈β，且C ∉l ，AB∩l ＝R ，过A 、B 、C 三点确定平面γ，则β∩γ＝________.解析 ∵AB∩l ＝R ，∴R ∈l ，R ∈AB.又α∩β＝l ，∴l ⊂β，∴R ∈β，R ∈γ，又C ∈β，C ∈γ，∴β∩γ＝CR.答案 CR9．若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成________部分．解析 三条两两相交的直线把一个平面分成7个部分，如图①，即三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成7部分，如图②.答案 710．一条直线和直线外三个点最多能确定的平面个数是________．解析 考虑空间元素确定平面的问题，关键是怎样保证确定的平面最多．当直线外的三个点能确定平面，且这个平面不经过已知直线时，它们确定的平面最多，此时这条直线和每一个点分别确定一个平面，故共确定4个平面．答案 411．如图，四面体ABCD 中，E 、G 分别为BC 、AB 的中点．点F 在CD 上，点H 在AD 上，且有DF ∶FC ＝DH ∶HA ＝3∶2，求证：EF 、GH 、BD 交于一点．证明 ∵DF ∶FC ＝DH ∶HA ＝2∶3，∴FH 綉35AC.而EG 綉12AC.∴HF ∥EG ，且EG>HF.EG<HF. ∴E 、F 、G 、H 四点共面，且EF 与GH 一定相交，设交点为P. ∴P 是平面ABD 与平面CBD 的一个公共点，而平面ABD∩平面CBD ＝BD.∵P ∈BD ，∴EF 、GH 、BD 交于一点．12．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为3的正方体，点E 在AA 1上，点F 在CC 1上，且AE ＝FC 1＝1，求证：E 、B 、F 、D 1四点共面．证明 如图，在DD 1上取点N ，使DN ＝1，连结EN 、CN ，则AE ＝DN ＝1，CF ＝ND 1＝2.又∵AE ∥DN ，ND 1∥CF ，∴四边形ADNE 、四边形CFD 1N 都为平行四边形．从而EN 綉AD ，FD 1∥CN.又AD 綉BC ，∴EN 綉BC ，故四边形BCNE 是平行四边形．由此推知CN ∥BE ，从而FD 1∥BE.因此，E 、B 、F 、D 1四点共面．13．(创新拓展)在棱长是a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是AA 1、D 1C 1的中点，过D 、M 、N 三点的平面与平面A 1B 1C 1D 1相交于直线l.(1)画出交线l ；(2)设l∩A 1B 1＝P ，求PB 1的长；(3)求点D 1到l 的距离．解 (1)如图，延长DM 交D 1A 1的延长线于点Q ，则点Q 是平面DMN 与平面A 1B 1C 1D 1的一个公共点．连接QN ，则直线QN 就是两平面的交线l.(2)∵M 是AA 1的中点，MA 1∥DD 1，∴A 1是QD 1的中点．又A 1P ∥D 1N ，∴A 1P ＝12D 1N.∵N 是D 1C 1的中点，∴A 1P ＝14D 1C 1＝a 4， ∴PB 1＝A 1B 1－A 1P ＝34a. (3)过点D 1作D 1H ⊥PN 于点H ，则D 1H 就是点D 1到l 的距离，∵QD 1＝2A 1D 1＝2a ，D 1N ＝a 2， ∴D 1H ＝D 1Q·D 1N QN ＝2a·a 24a 2＋a 24＝21717 a. 即点D 1到l 的距离是21717a。

随堂练习：平面的基本性质
1．空间中，可以确定一个平面的条件是________．(填序号)
①两条直线；②一点和一条直线；③一个三角形；④三个点．
2．已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有________条．3．空间不共线的四点，可以确定平面的个数是________．
4．下列四个命题：
①两个相交平面有不在同一直线上的三个公共点；
②经过空间任意三点有且只有一个平面；
③过两平行直线有且只有一个平面；
④在空间两两相交的三条直线必共面．
其中正确命题的个数是________．
5．下列命题：
①书桌面是平面；
②有一个平面的长是50 m，宽是20 m；
③平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象数学概念．
其中正确命题的个数为________．
6．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC、BD交于点M，E为AB的中点，F为AA1的中点．
求证：(1)C1、O、M三点共线；
(2)E、C、D1、F四点共面．
答案
1．③
2．1或2或3
3．1或4
4．1
5．1
6.证明(1)∵C1、O、M∈平面BDC1，
又C1、O、M∈平面A1ACC1，由公理2知，点C1、O、M在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上，∴C1、O、M三点共线．
(2)∵E，F分别是AB，A1A的中点，
∴EF∥A1B.∵A1B∥CD1，∴EF∥CD1.
∴E、C、D1、F四点共面．。