高中数学1.2点、线、面之间的位置关系1.2.1平面的基本性质与推论例题与探究新人教B版必修2

空间中的平行关系 1课堂探究探究一基本性质4的应用基本性质4说明把平行线的传递性推广到空间也能成立，这个基本性质是判断两条直线平行的重要方法之一，其关键在于寻找联系所证两条平行直线的第三条直线．此外，我们还要熟悉各种几何图形的定义和特征．【典型例题1】 如图所示，已知E ，F 分别是空间四边形ABCD 的边AB 与BC 的中点，G ，H 分别是边CD 与AD 上靠近D 的三等分点，求证：四边形EFGH 是梯形．思路分析：要证明四边形EFGH 是梯形，只需证一组对边平行且不相等即可．通过本题条件可知，利用平面的基本性质4即可解决．证明：在△ABC 中，因为E ，F 分别是AB ，BC 边上的中点，所以EF 12AC ． 又在△ACD 中，G ，H 分别是CD ，AD 边上的三等分点，DH DA ＝DG DC ＝13，所以GH 13AC ． 所以EF ∥GH ，且EF ≠GH ，即四边形EFGH 是梯形．探究二等角定理的应用证明角相等的常用方法有： (1)利用题设中的条件，将要证明的两个角放在两个三角形中，利用三角形全等或三角形相似证明两个角相等．(2)在题目中若不容易构造三角形或不能利用三角形全等或相似来证明角相等，可考虑两个角的两边，可利用定理证明这两个角的两边分别对应平行且方向相同或相反，从而达到目的．【典型例题2】 (1)空间中有一个∠A 的两边和另一个∠B 的两边分别平行，∠A ＝70°，则∠B＝________．解析：因为∠A的两边和∠B的两边分别平行，所以∠A＝∠B或∠A＋∠B＝180°．又∠A＝70°，所以∠B＝70°或110°．答案：70°或110°(2)已知E，E1分别是正方体ABCD­A1B1C1D1的棱AD，A1D1的中点．求证：∠BEC＝∠B1E1C1．解：如图所示，连接EE1，因为E1，E分别为A1D1，AD的中点，所以A1E1AE．所以四边形A1E1EA为平行四边形，所以A1A E1E．又因为A1A B1B，所以E1E B1B，所以四边形E1EBB1是平行四边形，所以E1B1∥EB．同理E1C1∥EC．又∠BEC与∠B1E1C1对应边方向相同，所以∠BEC＝∠B1E1C1．探究三直线与平面平行的判定定理1．应用判定定理时，要注意“内”“外”“平行”三个条件必须都具备，缺一不可．2．要明确其思路是用直线与直线平行判定直线和平面平行．应用时，只需在平面内找到一条直线与已知直线平行即可．简单地说，线∥线⇒线∥面．3．在题目中出现中点时，常见的证线线平行的两种途径．(1)中位线→线线平行．(2)平行四边形→线线平行．【典型例题3】一木块形状如图所示，点P在平面VAC内，过点P将木块锯开，使截面平行于直线VB和AC，应该怎样画线？思路分析：可考虑利用线面平行的判定定理分析“目标线”的画法．解：如图，在平面VAC内经过点P作EF∥AC，且与VC的交点为F，与VA的交点为E．在平面VAB内，经过点E作EH∥VB，与AB交于点H．在平面VBC内，经过点F作FG∥VB，与BC交于点G，连接GH，则EF，FG，GH，HE为截面与木块各面的交线．证明如下：因为EH∥VB，FG∥VB，所以EH∥FG，可知E，H，G，F四点共面．因为VB 平面EFGH，EH⊂平面EFGH，所以VB∥平面EFGH．同理可证AC∥平面EFGH．点评证明线面平行时，先在平面内找与已知直线平行的直线，若找不到，再添加辅助线．添加辅助线一般要结合特殊点、特殊图形，添加的辅助线多为中线、高线、中位线或特殊图形的边．探究四直线与平面平行的性质定理的应用1．性质定理可作为直线和直线平行的判定方法．应用时，需要经过已知直线找平面(或作平面)与已知平面相交，以平面为媒介证明线线平行．2．定理中的三个条件：(1)直线a ∥平面α；(2)平面α，β相交，即α∩β＝b ；(3)直线a 在平面β内．缺一不可．定理的应用流程可表示如下：【典型例题4】 如图，四边形EFGH 为空间四边形ABCD 的一个截面，若截面为平行四边形．(1)求证：AB ∥平面EFGH ，CD ∥平面EFGH ；(2)若AB ＝4，CD ＝6，求四边形EFGH 周长的取值X 围．思路分析：(1)利用线面平行的判定和性质定理进行证明；(2)利用图形相似的性质来求边长．解：(1)证明：因为四边形EFGH 为平行四边形，所以EF ∥HG ．因为HG ⊂平面ABD ，EF ⊄平面ABD ，所以EF ∥平面ABD ．因为EF ⊂平面ABC ，平面ABD ∩平面ABC ＝AB ，所以EF ∥AB ，易得AB ∥平面EFGH ．同理，CD ∥EH ，所以CD ∥平面EFGH ．(2)设EF ＝x (0<x <4)，由于四边形EFGH 为平行四边形，EF ∥AB ，CD ∥EH ，所以CD ∥FG ，CF CB ＝4x ． 故FG 6＝BF BC ＝BC －CF BC ＝1－4x ．从而FG ＝6－32x ． 于是四边形EFGH 的周长为l ＝3262x x ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦＝12－x ．又0＜x＜4，所以8＜l＜12，即四边形EFGH周长的取值X围为(8,12)．点评线面平行的判定定理与性质定理常常交替使用：先通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出线线平行，复杂的题目还可以继续推下去，我们可称为平行链，如下：线线平行在平面内作或找一条直线线面平行作或找经过直线的平面与已知平面的交线线线平行探究五易错辨析易错点：将b⊄α与b∥α等同而致误【典型例题5】平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，那么另一条直线也平行于这个平面．已知：直线a∥b，a∥平面α，a，b⊄α．求证：b∥α．错解：因为直线a∥b，所以a与b无公共点．又因为a∥平面α，所以a与平面α也无公共点，又b⊄α，所以b与α无公共点，所以b∥α．错因分析：b⊄α包含b∥α和b∩α＝M两种情况，上面证明误认为b⊄α即意味着b∥α而致错．正解：如图所示，过a及平面α内一点A作平面β，设β∩α＝c．因为a∥α，所以a∥c．因为a∥b，所以b∥c．因为b⊄α，c⊂α，所以b∥α．点评条件中有a∥α，为了利用直线和平面平行的性质定理，因此过a作平面β与α相交，这里我们把平面β称为辅助平面，它可以起到桥梁作用，作辅助平面是把空间问题向平面问题转化的一种手段．和平面几何中添加辅助线一样，在构造辅助平面时，一定要确认这个平面是存在的．在本例中就是以“直线及此直线外一点确定一个平面”为依据作出辅助平面的．。

2018-2019学年高中数学第1章立体几何初步1.2 点、线、面之间的位置关系1.2.1 平面的基本性质课时作业苏教版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学第1章立体几何初步1.2 点、线、面之间的位置关系1.2.1 平面的基本性质课时作业苏教版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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1.2。

1 平面的基本性质[学业水平训练]1．下列说法中正确的个数为________．①过三点至少有一个平面；②过四点不一定有一个平面；③不在同一平面内的四点最多可确定4个平面．解析：①正确，其中三点不共线时，有且仅有一个平面．三点共线时,有无数个平面;②正确，四点不一定共面；③正确．答案:32．线段AB在平面α内，则直线AB与平面α的位置关系是________．解析:因为线段AB在平面α内，所以A∈α，B∈α。

由公理1知直线AB⊂平面α.答案:直线AB⊂平面α3．把下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在题后横线上．（1)A∉α,a⊂α________。

(2）α∩β＝a,P∉α且P∉β________。

(3)a⊄α，a∩α＝A________.（4)α∩β＝a,α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O________。

解析：(1)图C符合A∉α，a⊂α；(2)图D符合α∩β＝a，P∉α且P∉β;（3）图A符合a⊄α，a∩α＝A；(4）图B符合α∩β＝a,α∩γ＝c，β∩γ＝b,a∩b∩c＝O。

1.2.1 平面的基本性质与推论典题精讲例1根据图形,写出图形中点、直线和平面之间的关系.图1-2-1-4图1-2-1-4(1)可以用几何符号表示为:___________________________________________. 图1-2-1-4(2)可以用几何符号表示为:___________________________________________. 思路解析：本题关键是找出图中基本元素点、直线、平面,然后再仔细分析点与直线、点与平面、直线与平面的位置关系,最后用文字语言和符号语言写出.答案：图1-2-1-4(1)可以用几何符号表示为:α∩β=AB,a⊂α,b⊂β,a∥AB,b∥AB.图1-2-1-4(2)可以用几何符号表示为:α∩β=MN,△ABC的三个顶点满足条件A∈MN,B∈α,C∈β,B∉MN,C∉MN.绿色通道：熟练掌握图形、文字、符号三者之间的相互转化是学习立体几何的基本要求之一.要正确解决此类问题需要从两个方面入手:一是从观察图形方面,可以联想图形对应的实物情形;二是正确理解对应符号的含义,可以结合集合的含义加以理解.变式训练1(1)观察下面的三个图形,说出它们有何异同;(2)用虚线画出图1-2-1-5(4)正方体和图1-2-1-5(5)三棱锥中被遮挡的棱,完成图形.图1-2-1-5思路解析：要注意不同侧面观察出的结果是不同的,可以结合实物加以理解.答案：(1)图(1)可能是平面图形,也可能是空间图形的直观图；图(2)是MN凸在外面的一个空间图形的直观图；图(3)是MN凹在里面的一个空间图形的直观图.(2)补充后如图1-2-1-6:图1-2-1-6例2求证：两两相交且不共点的四条直线共面.思路分析：可以结合公理3及其推论进行证明.需要注意的是,要根据条件画出满足条件的所有图形的情况进行证明.答案:已知a、b、c、d是两两相交且不共点的四条直线，求证：a、b、c、d共面.图1-2-1-7证明:(1)无三线共点情况，如图1-2-1-7，设a∩d=M，b∩d=N，c∩d=P，a∩b=Q，a∩c=R，b∩c=S.∵a∩d=M，∴a、d可确定一个平面α.∵N∈d，Q∈a，∴N∈α，Q∈α.∴NQ⊂α，即b⊂α.同理,c⊂α.∴a、b、c、d共面.(2)有三线共点的情况，如图1-2-1-8,图1-2-1-8设b、c、d三线相交于点K，与a分别交于N、P、M且K∉a，∵K∉a，∴K和a确定一个平面，设为β.∵N∈a，a⊂β，∴N∈β.∴NK⊂β,即b⊂β.同理,c⊂β，d⊂β，∴a、b、c、d共面.由(1)(2)知a、b、c、d共面.变式训练2四条直线两两平行,任意三条不共面,过其中的任意两条作一个平面,共可以作平面__________.思路解析:任意两条确定一个平面,四条直线确定6个平面.答案:6问题探究问题（1）一个平面将空间分成几部分？（2）两个平面将空间分成几部分？（3）三个平面将空间分成几部分？画出图形(要求：至少有两种情况有画法过程).导思:可以根据实际例子进行联想,也可以根据直线将平面分成多少部分进行类比.采用从简单到复杂递进的方法，首先对两个平面在空间的位置分类讨论，再让第3个平面以不同情况介入，然后分类解决.探究：（1）一个平面将空间分成两部分.（2）两个平面平行时，将空间分成三部分;两个平面相交时,将空间分成四部分.（3）情况比较复杂,需分类予以处理.情况1：当平面α、平面β、平面γ互相平行（即α∥β∥γ）,将空间分成四个部分,其图形如图1-2-1-9.图1-2-1-9情况2：当平面α与平面β平行，平面γ与它们相交，（即α∥β，γ与其相交），将空间分成六部分，其图形如图1-2-1-10.图1-2-1-10情况3：当平面α、平面β、平面γ都相交，且三条交线重合（即α∩β=l且α∩γ=l）. 将空间分成六部分，其图形如图1-2-1-11.图1-2-1-11共点，但互不重合（即α∩β=l，且γ与α、β都相交，三条交线共点）.将空间分成八部分，其图形如图1-2-1-12.图1-2-1-12情况4：平面α、平面β、平面γ两两相交且三条交线平行.（即α∩β=l，γ与α、β都相交且三条交线平行）将空间分成七部分，其图形如图1-2-1-13.图1-2-1-13。

第7课时平面的基本性质（三）教学目标：使学生能够进行性质与推论的简单应用、正确运用平面的基本性质及三个推论进行共面、共线、共点问题的证明；要通过知识的应用，使学生掌握方法、规律，学会正确推理，以理服人。

教学重点、难点：共面、共线、共点问题的证明。

教学过程：一、复习回顾：三个公理及推论；各个公理及推论的作用。

二、新课讨论：例1：直线AB、BC、CA两两相交，交点分别为A、B、C，证明这三条直线共面.［师］空间的几个点和几条直线，如果都在同一个平面内，那么可以简单地说它们“共面”.分析：两两相交，是说每两条直线都相交.此题是让我们证明三条直线共面，我们学过的公理和推论中都没有关于三条直线的，怎么办呢？［生丙］先由两条直线确定一个平面，再证第三条直线也在这个平面内（学生已作了预习，回答出这样的思路应该是没有问题的）.［师］生丙同学的回答正确吗？若正确，怎样证明第三条直线也在这个平面内呢？［生丁］生丙的回答正确.先由两条直线确定一个平面是容易的，要证第三条直线也在这个平面内，只要证第三条直线上有两点在这个平面内就行了，如图，先由AB、AC 确定一个平面，由于B点、C点在确定的平面内，根据公理1可知，直线BC也在这个平面内.［师］生丁所述有道理吗？［生］有道理，完全正确.［师］下面我们根据生丙、生丁两位同学的思路，写出此题的证明过程.证明：∵AB、AC相交，∴AB、AC确定一个平面，设为α∵B∈AB,C∈AC∴B∈α，C∈α∴BC α因此AB、AC、BC都在平面α内.即AB、AC、BC共面.注意：确定的平面叫成什么是无所谓的.不一定非要叫α不可，叫成其他如β、γ都行.［师］谁还有其他不同于生丙同学的意见？［生戊］每两条相交直线都能确定一个平面，若能证明这些平面重合，则也能说明这三条直线共面.［师］同学们想一想，生戊同学的思路可行吗？（同学们积极思考，但无人回答，留出几分钟时间，让同学们继续思考是非常必要的）［生戊］AB、AC可确定一个平面，AB、BC也可确定一个平面，由于点A、B、C 既在第一个平面内，又在第二个平面内.根据公理3，经过A、B、C三点有且只有一个平面，所以这两个平面重合，即AB、AC、BC共面.［师］很好！下面我们根据生戊同学的思路，写出此题的另一种证明.证明：∵AB、AC相交∴AB、AC确定一个平面α∴点A、B、C∈α，且不共线∵AB、BC相交∴AB、BC确定一个平面β∴点A、B、C∈β，且不共线根据公理3，经过不共线的三点A、B、C有且只有一个平面，∴面α与面β重合∴AB、AC、BC共面.［师］从刚才我们的分析讨论中，可以知道，证明共面问题的方法至少有两种：①先由某些条件确定一个平面，然后证明其余已知的都在这个平面内.②所有已知条件确定若干个平面，然后证明这些平面重合.两种证明方法的关键都在“然后”，要注意练习掌握.这两种证明方法比较，第一种更为常用，因为证明若干个平面重合，实在不是一件容易的事情.希望大家都能像生戊同学那样.遇到问题善于思考，多动脑子去想，办法总会是有的.下面再来看一个例子.例2：如图，已知△ABC的各顶点在平面α外，直线AB、BC、AC分别交平面α于P、Q、R，求证：P、Q、R三点共线.分析：平面几何中证明三点共线是怎样证明的？［生］先由两点确定一条直线，然后证明第三点也在这条直线上.［师］这里的三点共线能用这种办法证明吗？比如说，连结点P、点Q，得直线PQ，大家能够证明点R也在直线PQ上吗？［生己］能！由已知条件可知，直线PQ实质上是面ABC与面α的交线，只要证明点R是面ABC与面α的交点，那么R必在直线PQ上.［生庚］既然这样，只要证明点P、Q、R都是面ABC与面α的交点，那么点P、Q、R就共线，它们都在面ABC与面α的交线上.［师］两位同学分析得都很好！在立体几何中，要证明三点共线，只要证明三点都是某两个平面的公共点即可.证明若干点共线的问题，思路同样也是这样的.下面大家一起来写出此题的证明：证明：∵AB∩α＝P ∴P∈AB，P∈平面α又AB 平面ABC ∴P∈平面ABC∴由公理2可知，点P在平面ABC与平面α的交线上∴P、Q、R三点共线例3：三个平面两两相交于三条直线，若这三条直线不平行，求证：这三条直线交于一点. 已知：平面α、β、γ两两相交于三条直线l1、l2、l3，且l1、l2、l3不平行.求证：l1、l2、l3相交于一点证明：如图，α∩β＝l1，β∩γ＝l2，α∩γ＝l3，∵l1⊂β，l2⊂β，且l1、l2不平行∴l1与l2必相交，设l1∩l2=P，①则P∈l1⊂α,P∈l2⊂γ∴P∈α∩γ= l3 ②∴l1、l2、l3相交于一点P.例4：已知一条直线与三条平行直线都相交，求证：这四条直线共面.已知：直线a∥b∥c，直线l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：l与a、b、c共面.证明：∵a∥b∴a、b确定一个平面，设为α又l∩a＝A，l∩b＝B ∴A∈α，B∈α又A∈l，B∈l ∴AB⊂α，即l⊂α同理b、c确定一个平面β，l⊂β.∴平面α与β都过两相交直线b与l.由推论2，两条相交直线确定一个平面.∴α与β重合.故l与a、b、c共面.例5：画出四面体ABCD中过E、F、G三点的截面。

1.2点、线、面之间的位置关系考纲要求：①理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理．◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，这条直线上所有的点在此平面内．◆公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．◆公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．◆定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定．理解以下判定定理．◆如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行．◆如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行．◆如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．◆如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直．理解以下性质定理，并能够证明．◆如果一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个平面与此平面相交，那么这条直线就和交线平行．◆如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行．◆垂直于同一个平面的两条直线平行．◆如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线于另一个平面垂直．③能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．1.2.1 平面的基本性质重难点：理解平面的概念及表示，掌握平面的基本性质并注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言．经典例题：如图，设E，F，G，H，P，Q分别是正方体ABCD-A1B1C1D1所在棱上的中点，求证：E，F，G，H，P，Q共面.当堂练习：1．下面给出四个命题：①一个平面长4m, 宽2m; ②2个平面重叠在一起比一个平面厚; ③一个平面的面积是25m2; ④一条直线的长度比一个平面的长度大, 其中正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．32．若点N在直线a上，直线a又在平面内，则点N，直线a与平面之间的关系可记作（）A．N B．N C．N D．N3．空间不共线的四点，可以确定平面的个数为（）A．0B．1C．1或4D．无法确定4．空间四点A，B，C，D共面但不共线，则下面结论成立的是（）A．四点中必有三点共线B．四点中必有三点不共线C．AB，BC，CD，DA四条直线中总有两条平行D．直线AB与CD必相交5．空间不重合的三个平面可以把空间分成（）A．4或6或7个部分B．4或6或7或8个部分C．4或7或8个部分D．6或7或8个部分6．下列说法正确的是（）①一条直线上有一个点在平面内, 则这条直线上所有的点在这平面内; ②一条直线上有两点在一个平面内, 则这条直线在这个平面内; ③若线段AB, 则线段AB延长线上的任何一点一点必在平面内; ④一条射线上有两点在一个平面内, 则这条射线上所有的点都在这个平面内.A．①②③B．②③④C．③④D．②③7．空间三条直线交于同一点，它们确定平面的个数为n，则n的可能取值为（）A．1 B．1或3 C．1或2或3 D．1或48．如果那么下列关系成立的是（）A．B．C．D．9．空间中交于一点的四条直线最多可确定平面的个数为（）A．7个B．6个C．5个D．4个10．两个平面重合的条件是它们的公共部分有（）A．两个公共点B．三个公共点C．四个公共点D．两条平行直线11．一条直线和直线外的三点所能确定的平面的个数是（）A．1或3个B．1或4个C．1个、3个或4个D．1个、2个或4个12．三条直线两两相交，可以确定平面的个数是（）A．1个B．1个或2个C．1个或3个D．3个13．空间四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF GH=P，则点P（）A．一定在直线BD上B．一定在直线AC上C．在直线AC或BD上D．不在直线AC上也不在直线BD上14．设平面与平面交于直线, 直线, 直线,, 则M_______．15．直线AB、AD，直线CB、CD，点E AB，点F BC，点G CD，点H DA，若直线HE直线FG=M，则点M必在直线___________上．16．如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别为AA1、C1D1的中点，过D、M、N三点的平面与直线A1B1交于点P，则线段PB1的长为_______________．17．如图, 正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线BD1与过A1、D、C1的平面交于点M，则BM：MD1=________________．18．如图，E、F、G、H分别是空间四边形AB、BC、CD、DA上的点，且EH与FG交于点O．求证：B、D、O三点共线．19．证明梯形是平面图形．20．已知: 直线, 且直线与a, b, c都相交．求证: 直线共面．21．在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 直线A1C交平面ABC1D1于点M , 试作出点M 的位置．参考答案：经典例题：证明：连接EF，QG，E，F，Q，G分别是A1D1，D1C1，A1A，C1C的中点，EF||A1C1||QG, 同理FG||EP，设E，F，G，Q确定平面，F，G，E，P确定平面，由于都经过不共线的三点E，F，G，故重合，即E，F，G，P，Q五点共面，同理可证E，F，G，H，Q五点共面，故E，F，G，H，P，Q共面．当堂练习：1.A;2.B;3.C;4.B;5.B;6.B;7.B;8.A;9.B; 10.D; 11.C; 12.C; 13.A; 14.; 15. BD; 16.; 17. 2:1;18.证明：E，. .. 同理可证O, , 即B、D、O三点共线．20.证明: 如图,设与分别交于A ,B ,C ,经过可确定一个平面经过a, b可确定一个平面.,同理B,则AB, 即因经过的平面有且只有一个, 与为同一平面.同理即共面．21.解: 连结D1B , A1B , CD1, 则D1B与A1C的交点即为所求作的点M.证明: D1B平面ABC1D1 , D1B平面A1BCD1 ,平面ABC1D1平面A1BCD1= D1B.A1C平面ABC1D1=M, M平面AB C1D1, M平面A1BCD1 ,M D1B．故M为D1B与A1C的交点．。

1.2.1 平面的基本性质与推论知识梳理1.平面的基本性质(1)空间点和直线的基本性质连结两点的线中,线段最短.过两点有一条直线,并且只有一条直线.(2)平面的性质公理及推论公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面内.图1-2-1-1如图1-2-1-1,A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α,任意C∈l⇒C∈α.这时,我们说直线在平面内或平面经过直线.公理2:经过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面.可以简单地说,不共线的三点确定一个平面.公理3:如果不重合的两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过这个点的公共直线. 如图1-2-1-2,P∈α∩β⇒α∩β=l,且P∈l.图1-2-1-2如果两个平面有一条公共直线,则称这两个平面相交,这条直线叫两个平面的交线.2.平面基本性质的推论推论1:经过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面.推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面.推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.如果空间中的几个点或几条直线都在同一平面内,那么我们就说它们共面.知识导学教材从基本公理出发,研究点、线、面的基本关系,以“定义—判定—性质”的思路,从局部到整体,用线来研究面,再用平面的性质研究直线的垂直与平行,从而加深对简单几何体中线与面之间关系的正确认识.三个公理和三个推论是立体几何的基础,要在理解的基础上加以应用,有时需要结合初中平面几何的知识,把知识综合起来解决问题.在学习这一部分知识时还要注意,在平面几何中成立的定理或命题在立体几何中需要重新进行证明才能使用,有些在平面几何中的真命题在立体几何中可能是假命题,要注意加以区别.疑难突破1.在立体几何中,怎样表示平面?剖析:通常画平行四边形来表示平面(注意通常两字).水平平面:通常画成锐角成45°,横边等于邻边的两倍.非水平平面：画成平行四边形.直立的平面：一组对边为铅垂线的平行四边形.相交的平面：一定要画出交线,遮住部分的线段画虚线或不画.平面通常用希腊字母α、β、γ表示,如平面α(通常写在一个锐角内);也可以用两个相对顶点的字母来表示,如平面BC.点A在直线l上，记作：A∈l；点A在直线l外，记作A∉l;直线l在平面α内，记作l⊂α.2.平面的3个性质公理和推论及它们的作用.剖析:从集合的角度看,公理1是说,如果一条直线(点集)中有两个元素(点)属于一个平面(点集),那么这条直线就是这个平面的真子集,是证明直线在平面内的重要依据;公理2和三个推论是确定平面的依据,可以证明点(或线)共面,也是确定平面个数的重要依据.需要注意,“有且只有”的含义;公理3是说,两个不重合的平面,只要它们有公共点,它们就是相交的位置关系,交集是一条直线,它为证明若干点共线提供了一条新的途径,也是证明若干条直线通过同一点的重要方法.公理1给出了判断直线在平面内的方法,也说明了在空间中的每个平面内都存在着各种平面图形,在每个平面内的问题也就是初中学习的平面几何的问题.公理2及三个推论说明了怎样的条件可以确定一个平面,从而使我们知道在什么条件下可以画出确定的平面,什么条件下两个平面重合,这些都是研究空间图形时首先需要明确的.公理3说明了两个相交平面的特征,对我们确定或画出两个平面的交线具有重要的指导作用.在应用上,公理1的主要作用是判定直线在平面内;公理2主要用于证明平面的确定和平面重合;公理3的作用是证明两个平面相交、三点共线和点在直线上等.证明三线共点问题常用公理2及推论来确定平面,再用公理3证该点在交线上;证明点、线共面等问题常利用公理2或推论确定一个平面,再利用公理1或公理3证明其他元素在这个平面上或者先说明一些元素在一个平面内,其余元素在另一个平面内,之后证明这两个平面重合(同一法).3.直线和平面的位置关系.剖析:直线与平面的位置关系有且只有三种:(1)直线在平面内——有无数个公共点，如图1-2-1-3(1)；图1-2-1-3(2)直线与平面相交——有且只有一个公共点，如图1-2-1-3(2);(3)直线与平面平行——没有公共点,如图1-2-1-3(3).要理解直线与平面的位置关系,可以结合实际图形,例如棱锥、棱柱、棱台等图形中线与面的位置关系加以理解;还可以结合生活中的实际进行理解,比如墙角所在的直线和地面对应的面之间的关系,教室内的灯管和地面及墙面之间的关系都可以加强对线与面之间关系的理解.。

【2019最新】高中数学1-2点线面之间的位置关系1-2-1平面的基本性质与推论自主训练新人教B版必修2 平面的基本性质与推论自主广场我夯基我达标1.下列图形中,满足α∩β=AB,a⊂α,b⊂β,a∥AB,b∥AB的图形(图1-2-1-14)是( )图1-2-1-14思路解析:可以根据图形的特点及直线与平面平行的性质进行判断,也可以使用反证法进行证明.答案：C2.若点B在直线b上,b在平面β内,则B、b、β之间的关系可以记作( )A.B∈b∈βB.B∈b⊂βC.B⊂b⊂βD.B⊂b∈β思路解析:关键是弄清点与直线是元素与集合之间的关系,直线与平面是集合与集合之间的关系.答案：B3.如果直线a⊂平面α,直线b⊂平面α,M∈α,N∈b且M∈l,N∈l,那么( )A.l⊂αB.l⊄αC.l∩α=MD.l∩α=N思路解析:因为M∈α,N∈b,a,b⊂β,所以M,N∈α,而MN确定平面l,根据公理1可知l⊂α.故选A.答案：A4.已知一条直线和这条直线外不在同一直线上的三点，讨论可以确定平面的个数.思路分析:解决问题要围绕条件，关键是分清点与直线的各种位置关系，进行分类讨论.公理3及其推论是高考考查的重点知识，一般是与排列组合知识综合在一起考查.要注意分类讨论思想的应用.解：设直线l及l外不共线的三点A、B、C.由公理3知A、B、C可以确定一个平面α，若l在α内，这时只能确定一个平面.若l不在α内,(1)若A、B、C中有两点与l共面，这时可以确定三个平面.(2)若A、B、C中无任何两点与l共面，这时可以确定四个平面.综上所述，一直线与这条直线外不共线的三点，确定平面的个数可以是1个、3个或4个.5.如图1-2-1-15，直线a∥b∥c，直线l分别交a、b、c于点A、B、C,求证：四条直线a、b、c、l共面.图1-2-1-15思路分析:证明共面问题的主要依据是公理3及其推论，由此入手进行思维，发掘解题方法.证明共面的方法有：(1)先根据公理3及其推论确定一个平面，再证明有关的点、线在此平面内；(2)过有关的点、线分别确定一个平面，然后再证明这些平面重合；(3)反证法.证法一：∵a∥b，∴a，b确定一个平面a.∵A∈a，B∈b，∴A∈α，B∈α.又A∈l，B∈l，∴l⊂α.∵C∈l，∴C∈α.∴a与C同在d内.又∵a∥c，∴直线a、c确定一个平面β.∵点C∈c，c⊂β，则点C∈β，即平面β也是直线a和点C确定的平面.∴平面α和平面β重合，因此c⊂α.∴a、b、c、l共面.证法二：由证法一得a、b、l共面α，即b在a、l确定的平面内.同理,可证c在a、l确定的平面内.∵过a与l只能确定一个平面，∴a、b、c、l共面于a、l确定的平面.我综合我发展6.如图1-2-1-16，已知E、F与G分别为正方体ABCD—A1B1C1D1棱AB、B1C1与DA的中点，试过E、F、G三点作正方体ABCD—A1B1C1D1的截面.图1-2-1-16思路解析:公理2是确定截面的理论依据，同时本题中也蕴含了点共线的证明方法，通常证明两个点都在两个平面的交线上，再证明第三点既在第一个平面内，又在第二个平面内,即也在交线上.解决过点的截面问题关键在于能依据公理2及公理3确定截面与几何体的交线.图1-2-1-17作法:(1)连结GE并延长交CB延长线于M，交CD延长线于N，连结MF，交棱B1B于点H，连结HE.(2)延长EH交A1B1的延长线于点R.连结FR，FR交D1C1于Q.(3)连结QN交D1D于点K，连结KG.六边形KGEHFQ就是所要作的截面.7.有一种骰子，每一面上都有一个英文字母，图1-2-1-18是从3种不同的角度看同一粒骰子的情形.请问H反面的字母是什么？图1-2-1-18思路分析:此题中解决问题的关键点在于能够把空间正方体的表面展开成一个平面图形，这种化空间为平面的解题思想是立体几何解题的一种基本思想.同时在学习立体几何时，可以借助实物模型培养自己的空间想象能力.解：H的反面是S，原正方体表面字母的排列如图.图1-2-1-19代数解法:由①设S的对面X，H的对面Y，E的对面Z.见题图.若X、Y、Z中没有S，则由①②知S的相邻4个面分别为H、E、O、P，但由②③知S相邻的面中有两个不同的P,与已知矛盾.∴X、Y、Z中还有一个S,即六个面是E、H、S、O、P、S的某种排列,与P相邻的面有S、O、H、S.∴P与E相对，即Z=P.又由②③中P的倒置知,②到③的变化中有一个翻转过程，故H的反面为S.8.已知三个平面两两相交，有三条交线,求证:若这三条交线不平行，则它们交于一点.思路分析:证明三线共点的基本思路是先证其中两条直线有交点，再证该交点在第三条直线上.对于证空间中多线共点，平面几何中证多线共点的思维方法仍然适用，只是在思考中应考虑空间图形的特点.答案：已知：如图,设三个平面为α、β、γ，且α∩β=c，α∩γ=b，β∩γ=a.且a、b、c不平行.图1-2-1-20求证：a、b、c三线交于一点.证明:α∩β=c，α∩γ=b，∴b⊂α，c⊂α.∵b、c不相互平行，∴b、c交于一点.设b∩c=P，∵P∈c，c⊂β，∴P∈β.同理,P∈γ.∵β∩γ=a，∴P∈a.故a、b、c交于一点P.9.如图1-2-1-21,点A∉平面BCD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，若EH与FG 交于P(这样的四边形ABCD就叫做空间四边形).求证：P在直线BD上.图1-2-1-21思路分析:证明点在直线上及三点共线都可以使用公理2进行,即说明点P在某两个平面的交线上即可.证明：∵EH∩FG=P，∴P∈EH，P∈FG，∵E、H分别属于直线AB、AD，∴EH 平面ABD.∴P∈平面ABD.同理,P∈平面CBD.又∵平面ABD∩平面CBD=BD，∴P在直线BD上.。

高一数学点线面之间的位置关系1.2 点线面之间的位置关系（1）班级：姓名：第五课时 1.2.1 平面的基本性质（1）教学目标1、了解平面的基本性质即三条公理．2、能正确使用集合符号表示空间图形中的点线面的关系．教学重点平面的三条基本性质即三条公理．教学难点运用三条公理解决问题．教学过程一、问题情境1、把直尺边缘上的任意两点放到桌面上，则直尺的整个边缘都能落在桌面上吗？为什么？2、演示与思考：将一张矩形硬纸板的一角立在桌面上，试问硬纸板所在的平面与桌面所在的平面仅有一个公共点吗？为什么？二、学生活动用两个合页和一把锁就可以将一扇门固定，将一把直尺置于桌面上，通过是否漏光能检查桌面是否平整，为什么？椅子放不稳，是地面不平还是椅子本身有问题？三、建构数学1、平面的特性及点线面位置的表示（1）平面的特性：平面没有厚薄，可以无限向四周延展．（2）平面的表示：常用希腊字母表示，也可以用表示平行四边形的对角顶点的字母来表示，如平面，平面AC等．（3）点线面的位置关系及符号表示：（对照图2）点P在直线AB上：；点C不在直线AB上：；点M在平面AC内：平面AC；点A1不在平面AC内：平面AC；直线AB与直线BC交于点B：；直线AB在平面AC内：平面AC；直线AA1不在平面AC内：平面AC．2、公理1及符号表示如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．用符号表示为：直线PQ．（见图1）3、公理2及符号表示如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其它公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线．用符号表示为：且．（见图3）4、公理3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．（见图4）不共线的三点A、B、C通常记作"平面ABC"．四、数学运用例1、如图所示的正方体中的三个面所在平面A1C1、A1B、BC1分别记作．（1）A1，B1，C1，D1；（2），，A1，B1；（3）A，B，A，B；（4），，．例2、如图，点A平面BCD，E、F、G、H分别是AB、CD、DA上的点，若EH与FG交点K，求证：K在直线BD上．学生练习：1、口答：P.23 练习1、2、3、4、5．2、分别用符号表示下列语句，并画出图形：（1）直线l过平面内一点A，且过外两点B、C；（2）平面与平面的交线为l，直线m在内，直线n在内，且m、n与l分别交于P、Q点；（3）平面与平面相交于直线l，直线m在内，直线n在内，且m、n都与l平行．五、回顾小结本节主要学习了平面三个基本性质即三条公理，学会了如何用符号来表示点线面的关系．六、课外作业（一）自测训练：必修2 学习与评价[课课练] P.010 分层训练班级姓名等级（二）反馈练习（友情提醒：老师喜欢书写认真、过程完整、页面清洁的作业）[ 1.2.1 平面的基本性质（1）]1、下列命题正确的是（）A、立体图形中的虚线是辅助线；B、一张白纸是一个平面；C、一个平面将空间分成两个部分；D、三点确定一个平面．2、若两个不重合的平面有公共点，则公共点个数是（）A、1个B、1个或无数个C、2个D、无数个且在一条直线上3、如右图所示，点A 平面ABC；点A 平面BCD；BD平面ABD；BD平面ABC；平面ABC平面ACD=；=BC．4、将"平面与平面相交于直线l，直线m、n分别平面与内，且直线m与n相交于点O"用数学符号语言．5、如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1C1B1D1=O1，B1D平面A1BC1=P，求证：点B、P、O1共线．6、分别根据下列条件画出相应的图形：（1）；（2），△ABC的顶点A，B，B，C，C．7、如图，在四面体ABCD中，点E在棱BD上，AF是△ACD的中线，G在线段AF上，试画出BG与平面ACE的交点．1.2 点线面之间的位置关系（2）班级：姓名：第六课时 1.2.1 平面的基本性质（2）教学目标1、巩固平面的基本性质即三条公理和三条推论．2、能使用公理和推论进行解题．教学重点平面的三条基本性质即三条推论．教学难点准确运用三条公理和推论解题．教学过程一、问题情境1、空间共点的三条直线能确定几个平面？空间互相平行的三条直线呢？2、如何判断桌子的四条腿的底端是否在一个平面内？瓦匠如何判断房屋的基底是否同在一水平面内？二、学生活动1、试用一支笔将一本讲义夹支撑住．2、在如图所示的长方体中，试找出所有的对角面．三、建构数学1、推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．已知：直线l，点；求证：过直线l和点A有且只有一个平面．2、推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面．证明方法类似推论1．3、推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面．证明用定义及反证法．四、数学运用例1、已知：；求证：直线AD、BD、CD共面．例2、已知；求证：．例3、已知，求证：四条直线在同一平面内．*例4、如图，三棱锥A-BCD中，E、G分别是BC、AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF:FC=DH:HA=2:3；求证：EF、GH、BD交于一点．[渗透空间问题平面化思想]学生练习：1、如果直线两两相交，那么这三条直线是否共面？（口答）2、四条线段顺次首尾连接，所得的图形一定是平面图形吗？（口答）3、画一个"三个平面两两相交"的直观图．4、已知空间不共面的四点，过其中任意三点可以确定一个平面，由这四个点能确定几个平面？五、回顾小结本节主要学习了平面公理的三个推论，学会了如何使用公理及其推论解题．六、课外作业（一）自测训练：必修2 学习与评价[课课练] P.011 拓展延伸回顾反思班级姓名等级（二）反馈练习（友情提醒：老师喜欢书写认真、过程完整、页面清洁的作业）[ 1.2.1 平面的基本性质（2）]1、经过同一直线上的3个点的平面（）A、有且只有1个B、有且只有3个C、有无数个D、有0个2、若空间三个平面两两相交，则它们的交线条数是（）A、1或2B、2或3C、1或3D、1或2或33、与空间四点距离相等的平面共有（）A、3个或7个B、4个或10个C、4个或无数个D、7个或无数个4、四条平行直线最多可以确定（）A、三个平面B、四个平面C、五个平面D、六个平面5、四条线段首尾顺次相连，它们最多可确定的平面个数有个．6、给出以下四个命题：①若空间四点不共面，则其中无三点共线；②若直线l上有一点在平面外，则l在外；③若直线、、中，与共面且与共面，则与共面；④两两相交的三条直线共面．其中所有正确的命题的序号是．7、已知A、B、C不在同一条直线上，求证：直线AB、BC、CA共面．8、求证：如果一条直线与两条平行线都相交，那么这三条直线在同一个平面内．已知：直线、、且，，；求证：直线、、共面．9、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，①AA1与CC1能否确定一个平面？为什么？②点B、C1、D能否确定一个平面？为什么？③画出平面ACC1A1与平面BC1D的交线，平面ACD1与平面BDC1的交线．10、两两相交且不共点的四条直线共面．（注：有两种情形，见图，试分别证之）1.2 点线面之间的位置关系（3）班级：姓名：第七课时 1.2.2 空间两条直线的位置关系（1）教学目标1、了解空间两条直线的位置关系．2、理解公理4即平行公理和等角定理．教学重点平行公理和等角定理．教学难点等角定理的运用．教学过程一、问题情境1、请你动手将一张长方形的纸如图对折几次后打开，观察这些折痕有怎样的位置关系？并推测平面几何中"平行线的传递性" 在空间是否成立？2、在平面中，如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等吗？在空间呢？二、学生活动试用两支笔和一硬纸板，分别在平面和空间按下图所示情形进行比画，观察两条直线的位置关系，并填写下表．三、建构数学1、公理 4（平行公理）平行于同一条直线的两条直线互相平行．用符号可表示为：．（试从棱柱或圆柱中找到模型）思考：经过直线外一点有几条直线和这条直线平行？2、等角定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．已知：∠BAC和∠B1A1C1的边AB∥A1B1，AC∥A1C1，并且方向相同；求证：∠BAC=∠B1A1C1．思考：如果∠BAC和∠B1A1C1的边AB∥A1B1，AC∥A1C1，并且方向相反；那么∠BAC和∠B1A1C1之间有何关系？为什么？四、数学运用例1、在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知E、F分别是AB、BC的中点，求证：EF∥A1C1．例2、已知E、E1分别为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AD、A1D1的中点，求证：∠C1E1B1=∠CEB．例3、已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AB、AD、C1B1、C1D1的中点；试判断下列直线是否平行？（1）EF与GH；（2）DE与HB1．例4、如图，在正四面体ABCD中，E、F、G分别是AB、AC、AD上的点，且满足；求证：△EFG∽△BCD．学生练习：课本P.26. 练习 1，2，3．五、回顾小结本节主要学习了平行公理等角定理，等角定理使用时要注意方向．六、课外作业（一）自测训练：必修2 学习与评价[课课练] P.012 分层训练拓展延伸班级姓名等级（二）反馈练习（友情提醒：老师喜欢书写认真、过程完整、页面清洁的作业）[ 1.2.1 空间两条直线的位置关系（1）]1、空间三条直线互相平行，由每两平行线确定一个平面，则可确定的平面个数为（）A、1B、1或2C、1或3D、2或32、设ABCD是空间四边形，M、N分别是AB、CD的中点，且AC=4，BD=6，则（）A、 B、 C、 D、3、若角和角的两边分别对应平行，当时，．4、下列命题中：①垂直于同一条直线的两条直线平行；②一条直线垂直于两条平行线中的一条直线，则它也垂直于另一条直线；③经过直线外一点有无数条直线和这条直线垂直；④若∠AOB=∠A1O1B1，且OA∥O1A1，则OB∥O1B1．其中正确命题的序号为．5、判断题：（1）a、b、c、d是4条直线，a∥b，b∥c，c∥da∥d；（）（2）若a、b是直线，且无公共点，则a∥b．（）6、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G分别为棱CC1、BB1、DD1的中点；试证明：∠BGC=∠FD1E．7、如图，A是△BCD所在平面外一点，M、N分别是△ABC 和△ACD的重心；（1）求证：MN∥BD；（2）若BD=6，求MN的长．1.2 点线面之间的位置关系（4）班级：姓名：第八课时 1.2.2 空间两条直线的位置关系（2）教学目标1、理解异面直线的判断方法．2、能准确地求出异面直线所成的角．教学重点异面直线所成的角．教学难点构造异面直线所成的角．教学过程一、问题情境1、空间两条直线如果不平行就一定相交吗？你能找出两条既不平行又不相交的例子吗？2、（1）垂直于同一条直线的两条直线，有几条种位置关系？（2）已知a和b是异面直线，a和c是异面直线，那么b 和c也是异面直线吗？二、学生活动1、构造一个正方体ABCD-A1B1C1D1，试在其中找出与直线A1C异面的所有棱和面对角线，并观察这些异面直线所成的角的大小情况．2、观察上述各种异面直线的位置情况，试考虑异面直线的平面直观图有几种不同的画法．三、建构数学1、异面直线的判断方法：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线．用符号可表示为：若，则直线AB与l是异面直线．[反证法] 2、异面直线所成的角：设a，b是两条异面直线，经过空间任意一点O，作直线，则把直线所成的锐角或直角叫做异面直线a，b所成的角．特例当异面直线a，b所成的角为90°时，则称这两条异面直线是互相垂直的；记为a⊥b．四、数学运用例1、在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中；（1）正方体的哪些棱所在的直线与直线BC1是异面直线；（2）求异面直线AA1与BC所成的角；（3）求异面直线BC1与AC所成的角．例2、如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2a，AA1=a，E、F分别是A1B1和B1C1的中点，求AE与BF所成的角．例3、如图，，求证：b、c为异面直线．例4、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=a，E、F分别是棱BC、DC的中点，求异面直线AD1和EF所成的角的大小．学生练习：课本P.28. （口答）练习 1，2，3，4，5，6．五、回顾小结本节主要学习了异面直线的判断和所成的角，证明异面直线要注意反证法和判断方法，找所成的角时要充分注意平行线的作用．六、课外作业（一）自测训练：必修2 学习与评价[课课练] P.014 分层训练拓展延伸班级姓名等级（二）反馈练习（友情提醒：老师喜欢书写认真、过程完整、页面清洁的作业）[ 1.2.1 空间两条直线的位置关系（2）]1、若a，b是两条异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是（）A、相交B、异面C、平行D、异面或相交2、若直线a，b与直线l所成的角相等，则a，b的位置关系是（）A、异面B、平行C、相交D、相交、平行、异面均可能3、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与BD1异面的棱共有条．4、"a，b为异面直线"是指：①，且a不平行于b；②平面，平面，且；③平面，平面；④平面，平面，且；⑤不存在平面能使同时成立．其中正确命题的序号为．5、在空间四边形ABCD中，AB=CD=8，M、N分别是BC、AD的中点，若异面直线AB与CD所成的角为60°时，求MN的长．6、如图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，若EG=FH，求AC与BD所成的角．7、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为棱AB、BB1、A1D1、C1D1的中点；（1）求异面直线DD1和EF所成的角的大小；（2）求异面直线EF和GH所成的角的大小．1.2 点线面之间的位置关系（5）班级：姓名：第九课时 1.2.3 直线与平面的位置关系（1）教学目标1、直观感知直线与平面的三种位置关系．2、能初步理解直线和平面平行的判定定理和性质定理．教学重点直线和平面平行的判定定理与性质定理．教学难点使用定理解决问题．教学过程一、问题情境1、一支粉笔所在的直线与黑板面（或桌面）所在的平面之间有哪些可能的位置关系？2、（1）经过平面外一点可以作多少条直线与平行？（2）若直线∥平面，则在平面内与平行的直线有多少条？二、学生活动试用一支笔和一张硬纸板，分别在平面和空间按下图所示情形进行比画，观察直线与平面的位置关系，并填写下表．注：通常把直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外；符号表示为：三、建构数学1、直线与平面平行的判定定理：[书中说明：本章判定定理不作证明]如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．用符号可表示为：；图示为：2、直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．已知：；求证：．四、数学运用例1、已知E，F分别是三棱锥A-BCD的侧棱AB，AD的中点，求证：EF∥平面BCD．例2、一个长方体木块如图所示，要经过平面A1C1内一点P 和棱BC将木块锯开，应怎样画线？．例3、求证：如果三个平面两两相交于三条直线，并且其中两条直线平行，那么第三条直线也和它们平行．已知：平面，且；求证：，．例4、如图，已知E、F、G、M分别是四面体的棱AD、CD、BD、BC的中点；求证：AM∥平面EFG．例5、已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证：另一条也平行于这个平面．学生练习：课本P.32. （口答）练习 1，2，3，4．五、回顾小结本节主要学习了直线与平面的位置关系，学习了直线与平面平行的判定和性质定理．六、课外作业（一）自测训练：必修2 学习与评价[课课练] P.016 分层训练拓展延伸班级姓名等级（二）反馈练习（友情提醒：老师喜欢书写认真、过程完整、页面清洁的作业）[ 1.2.3 直线与平面的位置关系（1）]1、已知直线a∥平面，，那么过点P且平行于直线a的直线（）A、只有一条，不在平面内；B、有无数条，不一定在平面内；C、只有一条，且在平面内；D、有无数条，一定在平面内．2、过空间一点作平面，使其同时与两条异面直线平行，这样的平面（）A、只有一个B、至多有两个C、不一定存在D、有无数个3、若直线a与平面内的无数条直线平行，则直线a与平面的关系是．4、若空间ABCD的两条对角线AC、BD的长分别是9、17，过AB的中点E且平行于BD、AC的截面四边形的周长为．5、在长方体ABCD-A1B1C1D1的各面中，与BC平行的面有哪些？与CC1平行的面有哪些？6、根据下列条件画出图形：平面平面，直线，CD∥，，直线,．7、如图，设P、Q分别是正方体的面AA1D1D和面A1B1C1D1的中心，求证：PQ∥平面AA1B1B．8、如图，a、b是两条异面直线，A、C与B、D分别是a、b上的两点，直线a∥平面，直线b∥平面，，若AM=BM，求证：CN=DN．1.2 点线面之间的位置关系（6）班级：姓名：第十课时 1.2.3 直线与平面的位置关系（2）教学目标1、了解直线与平面垂直的意义及相关的概念．2、能初步理解直线和平面垂直的判定定理和性质定理．教学重点直线和平面垂直的判定定理与性质定理．教学难点使用定理解决问题．教学过程一、问题情境1、分别说出长方体的侧棱与底面之间、圆柱（圆锥）的轴与底面之间的位置关系．2、（1）准备正三角形、矩形纸片各一张，分别对折后适当放开并竖立在桌面上，观察折痕与桌面有怎样的位置关系？（2）如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线垂直于这个平面吗？二、学生活动用一个30°、60°、90°的三角板在桌面上，绕一直角边所在直线旋转，由此得出直线与平面垂直的概念，点到平面的距离等等．三、建构数学1、直线与平面垂直的概念如果一条直线与平面内的任意一条直线都垂直，那么直线垂直于平面，记为．直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，垂线与平面的交点叫垂足．2、重要结论过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．过平面外一点A向平面引垂线，则点A和垂足B之的距离叫做点A到平面的距离．3、直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线和这个平面垂直．用符号表示为：若，则．4、直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．已知：；求证：．四、数学运用例1、求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．已知：，求证：．例2、已知：直线l∥平面，求证：直线l上各点到平面的距离相等．[注：如果一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离叫做这条直线的和这个平面的距离]例3、如图，已知P是菱形ABCD所在平面外一点，且PA=PC，求证：AC⊥平面PBD．例4、如图，A是平面BCD外一点；AB⊥CD，AC⊥BD，求证：AD⊥BC．学生练习：课本P.35. （口答）练习 1，2，3．五、回顾小结本节主要学习了直线与平面垂直的判定和性质定理．六、课外作业（一）自测训练：必修2 学习与评价[课课练] P.018 分层训练拓展延伸班级姓名等级（二）反馈练习（友情提醒：老师喜欢书写认真、过程完整、页面清洁的作业）[ 1.2.3 直线与平面的位置关系（2）]1、以下条件中，能判定直线l⊥平面的是（）A、l与平面内的一个三角形的两边垂直；B、l与平面内的一条直线垂直；C、l与平面内的两条直线垂直；D、l与平面内的无数条直线垂直．2、正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为A1C1上的点，则在下列直线中一定与直线CE垂直的直线是（）A、ACB、BDC、A1D1D、AA13、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，给出以下结论：①AB⊥平面BCC1B1；②AC⊥平面CDD1C1；③AC⊥平面BDD1B1；④A1C⊥平面AB1D1．其中正确的命题的序号是．4、四面体ABCD中，是直角三角形的面至多有个．5、有一旗杆高8m，它的顶端挂一条10m长的绳子，拉紧绳子，并把它的下端放在地面上两点（和旗杆脚不在同一条直线上），如果这两点都和旗杆脚的距离为6m，那么旗杆和地面垂直，为什么？6、命题"如果三条直线共点且两两垂直，那么其中一条直线垂直于另外两条直线确定的平面"正确吗？为什么？7、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为棱CC1的中点，AC与BD交于点O，求证：A1O⊥平面MBD．8、已知于A，于B，于Q；求证：．1.2 点线面之间的位置关系（7）班级：姓名：第十一课时 1.2.3 直线与平面的位置关系（3）教学目标1、理解直线与平面所成的角的概念并会求直线与平面所成的角．2、能理解斜线、垂线及其射影之间的关系．教学重点求直线与平面所成的角．教学难点找出直线与平面所成的角．教学过程一、问题情境1、（1）分别指出长方体的每一条侧棱与底面的位置关系、两条侧棱之间的关系．（2）圆柱的任意一条母线与底面都垂直吗？任两条母线之间有怎样的位置关系？2、直线与平面所成的角一定是锐角吗？其取值范围是什么？二、学生活动试用三支笔，按右图PQ、P'Q和PP'的方式放置，并回答下列问题：（1）PQ、P'Q和PP'分别叫什么线？（2）PQ、P'Q和PP'和a中有多少对互相垂直的直线？（3）这些互相垂直的直线对之间有没有内在的关系？三、建构数学1、基本概念平面的斜线：平面的斜线段：直线与平面所成的角：直线与平面所成的角的范围是：2、重要命题（1）如图，已知AC，AB分别是平面和垂线和斜线，C，B分别是垂足和斜足，，；求证：．（2）如图，已知AC，AB分别是平面和垂线和斜线，C，B分别是垂足和斜足，，；求证：．四、数学运用例1、已知正方形ABCD的边长为a，P为平面ABCD外一点，PA⊥平面ABCD，且；求PC与平面ABCD所成的角．例2、若Rt∠ABC的一边BC平行于平面，另一边AB与平面斜交于A；求证：Rt∠ABC在平面上的正投影仍是Rt∠．例3、如图，从点P引三条射线PA、PB、PC，且每两条之间的夹角都等于60°，求：PC与平面APB所成角的余弦值．例4、如图，已知∠BAC在平面内，，∠PAB=∠PAC；求证：点P在平面上的射影在∠BAC的平分线上．学生练习：课本P.37. （口答）练习 1，2，3，4．五、回顾小结本节主要学习了直线与平面所成的角，应重视平面的垂线．六、课外作业（一）自测训练：必修2 学习与评价[课课练] P.020 分层训练拓展延伸班级姓名（二）反馈练习（友情提醒：老师喜欢书写认真、过程完整、页面清洁的作业）[ 1.2.3 直线与平面的位置关系（3）]1、若直线，直线，则与的关系是（）A、平行B、相交C、异面D、垂直2、已知a、b、c、d是空间四条直线，如果，那么（）A、且B、a、b、c、d中任意两条都不平行C、或D、a、b、c、d中至多有一对直线互相平行3、如图，BC是Rt△ABC的斜边，PA⊥平面ABC，PD⊥BC于D，连结AD、PC、PB，则图中共有个直角三角形．4、给出下列四个命题：①；②；③；④．其中正确的命题的序号是．5、判断题：（1）．（）（2）．（）6、如图，已知正方体ABCD的边长为1，线段EF∥平面ABCD，点E、F在平面ABCD的正投影分别为A、B，且EF到平面ABCD的距离为；求：（1）EA与FD所成的角；（2）FD与平面ABCD所成的角．7、如图，已知，垂足为A，，垂足为B，，，求证：．8、设直线a、b分别在正方体ABCD-A'B'C'D'中两个不同的侧面内，要使，则a、b应满足什么条件．（本题是开放题，答案不唯一）1.2 点线面之间的位置关系（8）班级：姓名：第十二课时 1.2.4 平面与平面的位置关系（1）教学目标1、直观感知平面与平面的位置关系．2、理解两个平面平行的判定定理和性质定理．教学重点两个平面的判定定理和性质定理．教学难点两个定理综合使用．教学过程一、问题情境1、仔细观察正方体，看两个平面可能有哪几种位置关系？2、（1）如果一个平面内有两条直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行吗？（2）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面吗？（3）如果两个平面平行，那么分别在两个平面的直线是什么位置关系？二、学生活动1、用两本书模拟平面，填写下表：2、阅读课本回答：工人师傅怎样用水平仪测量桌面是否平行？三、建构数学1、两个平面平行如果两个平面和没有公共点，则称这两个平面平行．记为：．2、两个平面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．用符号表示如下：图形表示：若且则3、两个平面平行的性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．已知：；求证：．4、基本概念（1）与两个平行平面都垂直的直线，叫做这两个平行平面的公垂线．（2）夹在两个平行平面之间的公垂线段叫做这两个平行平面的公垂线段．（3）两个平行平面的公垂线段的长度叫做两个平行平面间的距离．四、数学运用例1、如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：平面C1DB∥平面AB1D1．例2、求证：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．已知：；求证：．例3、若平面∥平面，平面∥平面，则平面∥平面．学生练习：课本P.41. （口答）练习 1，2，3，4．五、回顾小结本节主要学习了平面与平面平行的判定和性质．六、课外作业（一）自测训练：必修2 学习与评价[课课练] P.022 分层训练拓展延伸班级姓名。