【2019-2020】高中数学第一章立体几何初步1-2-1平面的基本性质学案苏教版必修2

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生活中经常( jīngcháng)看到用三角架支撑照相机．
第十四页，共二十页。
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存在 性 (cúnzài)
唯一性
公理3 过不在一条直线上的三点，有且只有一个(yī ɡè)平面．
A
B C
不在一条直线上的三个点 A，B，C 所确定的平面，可以记成 “平面 ABC”．
基本性质3也可简单说成
不共线的三点确定(quèdìng)一个平面．
第十六页，共二十页。
新授
举例(jǔ lì)：
木匠用两根细绳分别沿桌子四条腿底端的对角线 拉直，以判断桌子四条腿的底端是在同一平面内，其依 据是什么？
第十七页，共二十页。
练习四
在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，O 是 AC 的中点．
判断(pànduàn)下列命题是否正确，并说明理由：
1. 由点A，O，C可以确定一个(yī ɡè)平面；
推论1 经过一条直线和直线外的一点， 有且只有一个平面 ．
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面．
第十九页，共二十页。
内容(nèiróng)总结
1.2.1 平面的基本性质。1.2.1 平面的基本性质。温度计中的玻璃管被两个卡子固定在刻度盘上， 可以看到，玻璃管就落在了刻度盘上．。公理1 如果一条直线上有两点在一个(yī ɡè)平面内，。平面内
1.2.1 平面 的基本性质 (píngmiàn)
第一页，共二十页。
导入 问题(wèntí公) 路、平静的海面、教室的黑板都给我们以平面
(píngmiàn)的形象． 你还能从生活中举出类似平面的物体吗？
第二页，共二十页。
导入 1.平面(píngmiàn)

数学：第一章《立体几何初步》学案（新人教版B 版必修2）第一章《立体几何初步》单元小结导航知识链接点击考点（1）了解柱，锥，台，球及简单组合体的结构特征。

（2） 能画出简单空间图形的三视图，能识别三视图所表示的立体模型，并会用斜二测法画出它们的直观图。

（3） 通过观察用平行投影与中心投影这两种方法画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式。

（4） 理解柱，锥，台，球的表面积及体积公式。

（5） 理解平面的基本性质及确定平面的条件。

（6） 掌握空间直线与直线，直线与平面，平面与平面平行的判定及性质。

（7） 掌握空间直线与平面，平面与平面垂直的判定及性质。

名师导航1.学习方法指导 （1） 空间几何体①空间图形直观描述了空间形体的特征，我们一般用斜二测画法来画空间图形的直观图。

②空间图形可以看作点的集合，用符号语言表述点，线，面的位置关系时，经常用到集合的有关符号，要注意文字语言，符号语言，图形语言的相互转化。

③柱，锥，台，球是简单的几何体，同学们可用列表的方法对它们的定义，性质，表面积及体积进行归纳整理。

④对于一个正棱台，当上底面扩展为下底面的全等形时，就变为一个直棱柱；当上底面收缩为中心点时，就变为一个正棱锥。

由1()2S c c h ''=+正棱台侧和()3hV s s '=正棱台，就可看出它们的侧面积与体积公式的联系。

（2） 点，线，面之间的位置关系①“确定平面”是将空间图形问题转化为平面图形问题来解决的重要条件，这种转化最基本的就是三个公理。

②空间中平行关系之间的转化：直线与直线平行 直线与平面平行平面与平面平行。

③空间中垂直关系之间的转化：直线与直线垂直 直线与平面垂直平面与平面垂直。

2.思想方法小结在本章中需要用到的数学思想方法有：观察法，数形结合思想，化归与转化思想等。

主要是立体几何问题转化为平面几何问题，平行与垂直的相互转化等。

3.综合例题分析例1：如图，P 是∆ABC 所在平面外一点，A '，B '，C '分别是PBC ∆，PCA ∆，PAB ∆的重心。

1.2.1　平面的基本性质（1）
教学目标：
1. 初步理解平面的概念；
2. 了解平面的基本性质（公理1，2，3）；
3. 能正确使用集合符号表示有关点、线、面的位置关系；
4. 能运用平面的基本性质解决一些简单的问题．
教材分析及教材内容的定位：
教材首先从生活中的草原、湖面等抽象出平面的描述性概念．教学中要让学生认识到平面是没有厚薄的，是无限延展的．进而阐述平面的基本性质即公理，它们是研究立体几何的理论基础，是今后推理论证的出发点和依据．教学中应重视文字语言、图形语言和符号语言的相互转换．
教学重点：
平面的基本性质．
教学难点：
正确使用图形语言、符号语言表示平面的基本性质.
教学方法：
符号表示: AB
B α
α
⇒⊂⎬
∈⎭
思考：公理1的作用是什么？
它是判定直线在平面内的依据，同时说明了平面的无限延展性(因为直线是向无穷远处延伸的).。

又 ∵A1C? 平面 A1BCD1， ∴ Q∈ 平面 A1BCD1.
∴ Q在平面 A1BCD1 与 ABC1D1 的交线上，即 Q∈ BD1， ∴ B，Q， D1 三点共线． 跟踪训练 3 证明 方法一 ∵AB∩ α＝P， ∴ P∈ AB， P∈平面 α. 又 AB? 平面 ABC，∴ P∈平面 ABC.
A?l ? A和 l 确 (1) 确定一个平面的 定一个平面 α 依据 .
(2) 证明平面重合； a∩ b＝A? a， b (3) 证明点、线共面 确定一个平面 α
a∥ b? a， b 确 定一个平面 α
类型一 点、直线、平面之间的位置关系的符号表示
例 1 如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系
______.
5. 如图， a∩ b＝ A， a∩c＝ B， a∩ d＝ F， b∩ c＝ C， c∩ d＝ D， b∩ d＝ E，求证： a， b， c， d
共面 .
6 / 11
1. 解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集 合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文 字语言描述出来，再转换为符号语言 . 文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言 所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚 . 2. 在处理点线共面、三点共线及三线共点问题时初步体会三个公理的作用，突出先部分再 整体的思想 .
. 和点、直线一样，平面也是从现实世界中
抽象出来的几何概念 .
(2) 平面的画法
一般用水平放置的 ____________ 作为平面的
直观图
一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立 体感，被遮挡部分用 ____ 画出来 .
(3) 平面的表示方法 平面通常用希腊字母 α ， β， γ…表示，也可以用平行四边形的两个相对顶点的字母表 示，如图中的平面 α、平面 AC等 .

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平面的性质、直线位置关系一、学习目标1．熟练掌握平面的基本性质及其简单应用；2．熟练掌握两直线位置关系，异面直线所成角,以及它们的应用。

二、学习过程（一）、基础训练1．若直线上有两个点在平面外,则直线上至多有________个点在平面内。

2．在空间中，下列命题正确的是(1)对边相等的四边形一定是平面图形(2）四边相等的四边形一定是平面图形（3）有一组对边平行且相等的四边形是平面图形（4）有一组对角相等的四边形是平面图形3．如果一条直线与两条平行线中的一条是异面直线，那么它与另一条直线的位置关系是________。

4．若直线a ，b 与直线c 相交成等角，则a ，b 的位置关系是________。

（二）、例题讲解例1 如图，在三棱锥A BCD -中，E ，F ，G ，H 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 边上的点.（1） 若E ，F ，G,H 是中点，求证：四边形EFGH 是平行四边形；（2）若,AE CF AH CG EB FB HD GD===求证:E ，F ，G,H 共面； （3） ,AE CF AH CG EB FB HD GD =≠=试判定直线EH ，FG,BD 的关系.例2 在正方体ABCD—A1B1C1D1中（1)求AC与A1D所成角的大小；（2)若E，F分别为AB，AD的中点，求AD1与EF所成角的大小；（3）求A1C与AD1所成角的大小。

2019-2020年高中数学第1章立体几何初步4平面的基本性质（2）教学案（无答案）苏教版必修2目标要求1、了解公理3及推论1、推论2、推论3，并能运用推论解释生活中的一些现象；2、初步学习立体几何中的证明．重点难点公理3及三个推论的理解和运用．典例剖析例1、已知：，（如图），求证：直线共面．例2、求证：两两相交且不过同一点的三条直线在同一个平面内．例3、如图,在棱长为的正方体中，M、N分别为、的中点，过D、M、N三点的平面与直线交于点P，求线段的长．例4、如图，正方体中，,分别为,的中点。

（1）求作直线PN 与平面交点；（2）过三点P 、M 、N 的平面与平面交线. 学习反思1、公理3： ； 推论1______________________________________________________； 推论2： ； 推论3：2、证明点线共面问题的基本方法是：由公理3及三个推论直接得出其中一部分点线确定一个平面，由公理１证明其余的点线也在该平面内．3、平面是立体几何中的基本要素之一，公理3及三个推论是判断平面存在性和唯一性的方法． 课堂练习1、 指出下列说法是否正确，并说明理由．(1)四条线段顺次首尾相连接，所得的图形是平面图形； (2)空间三个点确定一个平面；(3)平面和平面若有公共点，就不止一个；(4)因为平面型斜屋面不与地面相交，所以屋面所在的平面与地面不相交．NM1B 1C 12、下列判断中，正确的是.A、四边形是平面图形 B 、两个平面有三个公共点，它们必然重合C、三条直线两两相交，它们必在同一平面内D、一条直线与两条平行直线相交，这三条直线必定在同一个平面内3、空间三条直线交于同一点，它们确定平面的个数为n，则n的可能取值为 .4、画一个＂三个平面两两相交＂的直观图．江苏省泰兴中学高一数学作业(121)班级姓名得分1、已知表示不同的点，表示不同的直线，表示不同的平面，下面推理不正确的是 .A、若，，，，则B、若，，，，则C、若两两相交，则一定在同一平面内D、若，，且不共线，则重合2、下列判断中不正确的是 . A、经过空间任意三点有且只有一个平面 B、过两条相交直线的平面有且只有一个 C、若两个平面相交，则它们有且只有一条公共直线D、过两条平行直线的平面有且只有一个3、在正方体中有下列两个判断：（1）由确定的平面是；（2）由确定的平面与由确定平面是同一平面．其中 .A、（1）正确（2）正确B、（1）正确（2）错误C、（1）错误（2）正确D、（1）错误（2）错误4、已知正方体中，分别是的中点，那么正方体的过的截面图形是 . DO1O1C1B1ABCA15、给出下列四个命题：（1）圆心和圆上两点可确定一个平面；（2）经过一点的三条直线可以确定一个平面；（3）点在平面内，也在直线上，则直线在平面内；（4）平面与平面有不在同一条直线上的三个公共点，则平面与平面重合；其中正确的序号是 ．6、如图，若直线与四边形的三条边分别交于点，求证为平面四边形．7、证明空间无三线共点且两两相交的四条直线在同一平面内．8、如图，正方体中，分别为的中点，画出过三点的平面与平面，平面的交线．9、已知直线，直线d 与a,b,c 分别相交于点Ａ，Ｂ，Ｃ，求证：四条直线共面．DFGACEBlC B Acb a dNM11C 1。

1.2.1 平面的基本性质(1)【教学目标】1.了解平面的概念,会用符号语言、图形语言表示空间中的点、直线、平面的位置关系；2.了解平面的基本性质和三个公理，并通用其解释生活中的一些具体问题；3．通过对三个公理的文字语言、图形语言和符号语言的互译，培养学生的语言转换能力；4．通过平面的概念和三个公理的文字叙述培养学生的观察能力和空间想象能力．【教学重点】1．空间点、直线、平面之间的位置关系的文字、符号和图形语言的表示；2．平面的基本性质的三个公理及其作用；3．对公理3中“有且仅有一个”的含义的理解．【教学难点】1．对平面的无限延展性的理解；2．符号语言的正确使用；3．对公理3的理解．【过程方法】1．通过师生之间、同学之间的互相交流，培养学生合作性学习的习惯；2．通过平面概念的学习，掌握点、线、面之间的内在联系．【教学过程】一、引言平面几何----研究内容是平面图形，即由一个平面内的点、线所构成的图形，研究它们的形状、大小和位置关系、画法、计算以及它们的应用．立体几何-----空间图形，由空间的点、线、面构成．研究对象-----空间图形；研究内容-----性质、画法、计算、证明及应用．二、平面的概念1．实例：桌面、黑板面、平静的水面等．2．平面是一个只描述而不定义的最基本的的概念（和直线类比）．注：平面是无限延展的，没有厚薄、大小和面积．3．平面的画法⑴单个平面水平 竖直⑵两个平面（平行或相交） 注：①被遮住的部分用虚线或不画；②平行四边形表示的平面可以扩展； ③画非水平平面时，只须画成平行四边形即可，画直立平面要有一组对边为铅垂线．4．平面的表示法(1)平面α，β，γ或平面ABCD或平面AC ； (2)点用大写字母A ，B ；(3)直线用小写字母l ，m ，n 或用AB ．5．空间的点、直线和平面的位置关系的符号表示如下：三、平面的基本性质公理1．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内． 公理1用符号表示为：⎭⎬⎫A ∈ αB ∈ α ⇒ 直线AB ⊂ α．公理2．如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线．公理2用符号表示为：⎭⎬⎫P ∈ α P ∈ β ⇒ α ∩ β = m ，且P ∈m ．公理3．经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面． 注：“有且只有”的含义：“有”说明存在；“只有”说明唯一．【反馈练习】1． 找出能说明公理3的例子． 2． 课本P 22 练习1，2，3，4，5． 【课后作业】1．分别将下列文字语言转化为符号语言：①点A 在平面α内，但不在平面β内： ；②直线m 经过平面α外一点M ： ； ③直线m 既在平面α内，又在平面β内： ． 2．下列命题中，正确的个数有 个． ①平静的水面可以看成一个平面；②一本平整的书有100张纸装订而成，其厚度是1cm ，则每一张纸对应的平面的厚度是0.1mm ；③有一个平面的长是5cm ，宽是4cm ；④已知立几图形中，线段AB 在平行四边形内，则直线AB 一定也在平面α内．3．点M 在直线l 上，l 在平面α内，则M ，l ，α的关系是 ． 4．已知点A ，B 均是平面α，β的公共点，则有 ． 5．已知空间不共面的四点，过其中的任意三点可确定一个平面，由这四个点可确定 个平面． 6．空间不重合的三个平面可以将空间分成 个部分．7．如果三条直线两两相交，那么这三条直线是否确定平面？8．四条线段顺次首尾相接，所得的图形一定是平面图形吗？为什么？9．证明三角形一定是平面图形．10．三个平面两两相交，共有几种情况？请分别画出它们的直观图．。

1.2 点、线、面之间的位置关系平面的基本性质教学目标初步了解平面的概念；了解平面的基本性质（公理31 ）；能正确使用集合符号表示有关点、线、面的位置关系；能运用平面的基本性质解决一些简单的问题．重点难点正确使用集合符号表示点、线、面的位置关系，平面的基本性质．引入新课1．平面的概念：光滑的桌面、平静的湖面等都是我们熟悉的平面形象，数学中的平面概念是现实平面加以抽象的结果．平面的特征：平面没有大小、厚薄和宽窄，平面在空间是无限延伸的．2．平面的画法：3．平面的表示方法：4．用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系：点与直线的位置关系：点与平面的位置关系：直线与平面的位置关系：5．平面的基本性质：公理1：文字语言描述为：符号语言表示为：公理2：文字语言描述为：符号语言表示为：公理3：文字语言描述为：符号语言表示为：例1 辨析：10个平面重叠起来，要比5个平面重叠起来厚． （ ） 有一个平面的长是50米，宽是20米． （ ） 黑板面是平面． （ ） 平面是绝对的平，没有大小，没有厚度，可以无限延展的抽象的数学概念．（ ） 例2 把下列图形中的点、线、面关系用集合符号表示出来．例3 把下列语句用集合符号表示，并画出直观图．（1）点A 在平面α内，点B 不在平面α内，点A ，B 都在直线a 上；（2）平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内且平行于直线m ．例4 如图，ABC ∆中，若BC AB ，在平面α内，判断AC 是否在平面α内．巩固练习1．用符号表示“点A 在直线l 上，l 在平面α外”，正确的是（ ） A ．α∉∈l l A ， B ．α⊄∈l l A ， C ．α⊄⊂l l A ， D ．α∉⊂l l A ， 2．下列叙述中，正确的是（ ） A ．ααα∈∴∈∈PQ Q P ,,C ．αα∈∴∈∈⊂CD AB D AB C AB ,,,B ．PQ Q P =⋂∴∈∈βαβα,, D ．AB AB AB =⋂∴⊂⊂βαβα,, 3．为什么许多自行车后轮旁只安装一只撑脚？4．四条线段顺次首尾相接，所得的图形一定是平面图形吗？课堂小结正确使用集合符号表示点、线、面的位置关系，平面的基本性质． 课后训练班级：高一（）班某某：____________lα A a α AC B α l a A Bβ12．直线和平面的公共点的个数可能为． 3．根据下列条件画图：（1）a A a A ∈⊂∈，，αα；（2）αβα∈=⋂A l ，且β∈A ；（3）m B m B l l A A ∈=⋂=⋂∈∈，，，，βαβα；（4）ααα⊂⊂⊂c b a ，，且C a c B c b A b a =⋂=⋂=⋂，，．二 提高题4．如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，下列命题 是否正确？并说明理由．①．1AC 在平面B B CC 11内； ②．若1O O 、分别为面1111D C B A ABCD 、的中心，则平面C C AA 11与平面11BDD B 的交线为1OO ； ③．由点C O A 、、可以确定平面；④．设直线⊄l 平面AC ，直线⊄m 平面C D 1，若l 与m 相交，则交点一定在直线CD 上；⑤．由点11B C A 、、确定的平面与由点D C A 、、确定的平面是同一个平面．A 115．平面⋂α平面l =β，直线α⊂a ，且a 与l 不平行，在β内作直线b ，使b a ，相交．三 能力题6．在正方体1111D C B A ABCD -中，画出平面1ACD 与平面1BDC 的交线，并说明理由．ACA 1α β al。

公共点个数 有且只有一个 没有 没有
特别提醒
若直线 a,b 是异面直线,则在空间中找不到一个平面,使其同时经过 a,b 两条 直线.例如,如图所示的长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,棱 AB 和 B1C1 所在的直线 既不平行又不相交,找不到一个平面同时经过这两条棱所在的直线.要注意 分别在两个平面内的直线不一定是异面直线,可以平行,可以相交,也可以异 面.
.
探究一
探究二
探究三
探究四
解析:图(1)可以用几何符号表示为 α∩β=AB,a⊂ α,b⊂ β,a∥AB,b∥AB. 即平面 α 与平面 β 相交于直线 AB,直线 a 在平面 α 内,直线 b 在平面 β 内,直线 a 平行于直线 AB,直线 b 平行于直线 AB. 图(2)可以用几何符号表示为 α∩β=MN,△ABC 的三个顶点满足条件 A∈MN,B∈α,C∈β,B∉ MN,C∉ MN. 即平面 α 与平面 β 相交于直线 MN,△ABC 的顶点 A 在直线 MN 上,点 B 在 α 内但不在直线 MN 上,点 C 在平面 β 内但不在直线 MN 上. 答案:α∩β=AB,a⊂ α,b⊂ β,a∥AB,b∥AB α∩β=MN,△ABC 的三个顶 点满足条件 A∈MN,B∈α,C∈β,B∉ MN,C∉ MN
(2)在“A∈α,A∉ α,l⊂ α,l⊄ α”中“A”视为平面 α(集合)内的点(元素),直 线 l(集合)视为平面 α(集合)的子集.明确这一点,才能正确使用集合符号.
探究一
探究二
探究三
探究四
【典型例题 1】 如图所示,写出图形中的点、直线和平面之间的关系.
图(1)可以用几何符号表示为
.
图(2)可以用几何符号表示为
经过不在同一条直线上的

第七页，共三十八页。
平面的符号(fú hà o)表示
常把希腊字母α、β、γ等写在代表平面的平行四 边形的一个角上，如平面α、平面β等；也可以用代表
平面的四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写 (dàxiě)英文字母作为这个平面的名称．
D
A
C B
记作： 平面
平面ABCD
平面AC或平面BD
D
A
E
图形(túxíng)语言：
l
B
α
A
符号语言： 符 号 表 示 ：
Al,Bl,且 A,B l
若 A ,B 直 线 A B
第十四页，共三十八页。
公理1的作用有三：
一 是可以用来判定(pàndìng)一条直线是否在平面内，即
要判定直线在平面内，只需确定直线上两个
点在平面内即可；
二 是可以用来(yònɡ lái)判定点在平面内，即如果直线在 平面内、点在直线上，则点在平面内.
三 是表明(biǎomíng)平面是“平的”
第十五页，共三十八页。
随堂练习(liànxí)
在正方体 AB C A 1B D 1C 1D 中1，判断下列命题 是否正确，并说明理由：
CCBB AC ①直线(zhíxiàn1)
在平面
11
错误 内；
(cuòwù)
C D
B A
C1 D1
B1 A1
第十六页，共三十八页。
可以确定一个平面；
错误(cuòwù)
C
B
D
OA
C1 D1
B1 A1
第二十七页，共三十八页。
有且只有一个的含义:
至少有一个
“有”
只有 一个” “
(zhǐyǒu)

2019-2020年高中数学第1章立体几何初步3平面的基本性质（1）教学案（无答案）苏教版必修2目标要求1、理解平面的基本概念，掌握它的基本画法，会用图形、文字和符号语言描述点、直线、平面及其位置；2、了解公理1、公理2，并能使用它们解释生活中的一些现象；3、初步学习几何中的证明． 重点难点重点：使用符号语言及公理1、公理2的正确理解和使用； 难点：公理1、公理2的正确理解和使用． 典例剖析例1、（1）已知平面与平面相交，且，试画出图形；（2）用符号语言表示“点在直线上，直线与平面交于点，不在平面内”，并画出图形；（3）将判断：“P l P l P ααββ∈⎫⇒=∈⎬∈⎭I 且”改写成文字语言叙述．例2、已知：如图，三角形在平面外，,,AB P BC Q AC R ααα===I I I ， 求证：、、三点共线．αRQPCB A例3、：三个平面两两相交，得到三条交线，求证：如果其中有两条交线交于一点，那么第三条交线必通过这一点． 学习反思公理1： ； 它的作用为：判断直线是否在平面内、点是否在平面内；公里2：______________________________________________________________________它的作用为：只要两个平面有一个公共点，就可判定这两个平面必相交于过这个点的一条直线； 两平面的公共点必在它们的交线上． 课堂练习1、用符号语言表示“点在直线上，在平面外”, _________________.2、判断下列叙述的真假 ①、因为, 所以②、因为, 所以③、因为,,,AB C AB D AB α⊂∈∈ 所以 ④、因为, 所以且3、若，那么直线与平面有 个交点．4、用符号语言表示“平面与平面的交线为，直线不在平面内，点在内，点不在内”： ．5、在正方体中，Ｐ为棱 中点，画出由三点所确定的平面与长方体表面的交线．江苏省泰兴中学高一数学作业(120)班级 姓名 得分1、若,,,a b c a b M αβαβ⊂⊂==I I ，则点M 与直线c 关系为________________.2、用符号语言表示语句“直线相交于平面内的一点”3、一个平面把空间分成 部分；两个平面把空间分成 部分；三个平面把空间分成 部分．4、下列推理正确的是 （1） （2）,,A A AB B B αβαβαβ∈∈⎫⇒=⎬∈∈⎭I（3） (4) 5、根据条件画出下列图形：（1）；（2），Δ的顶点,,,,A l B B l C C l αβ∈∈∉∈∉．6、用符号语言叙述下列图形.C 1A 1CBAb aAαlaNMβαγβαabc O7、如图，在正方体中， 点在棱上，点在棱上． （1）画出直线和平面的交点E ； （2）作出平面和平面的交线．8、如图，平面四边形的四个顶点分别在空间四边形的四条边上，求证： 若与所在的两条直线相交于点，则必在所在的直线上．9、是正方体的上底面的中心，是对角线和截面的交点．求证：三点共线．PHGFEDCBAO 1M D 1C 1B 1A 1DCBAPC 1B 1A 1A。

1.2.1 平面的基本性质与推论1．平面的基本性质及推论推论1 经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面(图①)．推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面(图②)．推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面(图③)．2．异面直线(1)定义：把既不相交又不平行的直线叫做异面直线．(2)画法：(通常用平面衬托)3．空间两条直线的位置关系⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点.平行直线：同一平面内，没有公共点.异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.思考：不在同一平面的两条直线是异面直线，对吗？ [提示] 不对，是不同在任何一个平面内．1．如图所示的平行四边形MNPQ 表示的平面不能记为( )A ．平面MNB ．平面NQPC ．平面αD ．平面MNPQA [MN 是平行四边形MNPQ 的一条边，不是对角线，所以不能记作平面MN .] 2．能确定一个平面的条件是( ) A ．空间三个点B ．一个点和一条直线C ．无数个点D ．两条相交直线D [不在同一条直线上的三个点可确定一个平面，A ，B ，C 条件不能保证有不在同一条直线上的三个点，故不正确．]3．根据图，填入相应的符号：A ________平面ABC ，A ________平面BCD ，BD ________平面ABC ，平面ABC ∩平面ACD ＝________.[答案] ∈ ∉ ⊄ AC【例1】根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：(1)A∈α，B∉α；(2)l⊂α，m⊄α，m∩α＝A，A∉l；(3)P∈l，P∉α，Q∈l，Q∈α.[解] (1)点A在平面α内，点B不在平面α内．(2)直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上．(3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q.图形分别如图(1)，(2)，(3)所示．图(1) 图(2) 图(3)1．用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．2．要注意符号语言的意义．如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”表示，直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”表示．3．由符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．1.如图，根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系．(1)点P与直线AB；(2)点C与直线AB；(3)点M与平面AC；(4)点A1与平面AC；(5)直线AB与直线BC；(6)直线AB与平面AC；(7)平面A1B与平面AC.[解] (1)点P∈直线AB；(2)点C∉直线AB；(3)点M∈平面AC；(4)点A1∉平面AC；(5)直线AB∩直线BC＝点B；(6)直线AB⊂平面AC；。

1．2．1 平面的基本性质与推论1．了解异面直线的概念．2．理解平面的基本性质．3．会证共点、共线、共面问题．1．平面的基本性质文字语言图形语言符号语言基本性质1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内．这时就说，直线在平面内或平面经过直线若A∈l，B∈l，A∈α，B∈α，则l⊂α基本性质2经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，简称为不共线的三点确定一个平面若A，B，C三点不共线，则有且只有一个平面α，使A∈α，B∈α，C∈α基本性质3如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线α，β不重合，若A∈α，A∈β，则α∩β＝l且A∈l推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．3．共面与异面直线(1)空间中的几个点或几条直线，如果都在同一个平面内，我们就说它们共面．如果两条直线共面，那么它们平行或者相交．(2)我们把不同在任何一个平面内的直线叫异面直线．(3)画法：画两条异面直线时，为了充分显示出它们既不平行又不相交的特点，即不共面的特点，通常采用平面衬托法，以加强直观性，常见的画法如图．1．下列命题正确的是( )①一条直线和一个点确定一个平面；②两条相交直线确定一个平面；③两条平行直线确定一个平面；④四个点确定一个平面．A．①③B．②③C．③④D．②③④答案：B2．用符号语言表示下列语句，并画成图形．(1)直线l经过平面α内两点A、B；(2)直线l在平面α外，且过平面α内一点P；(3)直线l在平面α内，又在平面β内；(4)直线l是平面α与β的交线，平面α内有一条直线m与l平行．解：(1)A∈α，B∈α，A∈l，B∈l．(2)l⊄α，P∈l，P∈α．(3)l⊂α，l⊂β．(4)α∩β＝l，m⊂α，m∥l．3．判断下列图形是否是平面图形？为什么？(1)三角形；(2)平行四边形；(3)任意四边形．解：(1)是．因为不在同一直线上的三点确定一个平面．(2)是．因为两条平行直线确定一个平面．(3)不一定是．因为它可以是空间四边形．4．两条直线无公共点是否一定平行呢？解：不一定．在空间中，两条直线无公共点，则这两条直线可能平行，也可能异面．共面问题证明两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．【解】已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C．求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．证明：法一：(纳入平面法)因为l1∩l2＝A，所以l1和l2确定一个平面α．因为l2∩l3＝B，所以B∈l2．又因为l2⊂α，所以B∈α．同理可证C∈α．又因为B∈l3，C∈l3，所以l3⊂α．所以直线l1，l2，l3在同一平面内．法二：(辅助平面法)因为l1∩l2＝A，所以l1，l2确定一个平面α．因为l2∩l3＝B，所以l2，l3确定一个平面β．因为A∈l2，l2⊂α，所以A∈α．因为A∈l2，l2⊂β，所以A∈β．同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β．所以不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内．所以平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内．(1)解决线共面问题的基本方法是：先由两个推论确定出平面，然后再证明其余的线也在该平面内；或由一部分线确定一个平面，由另一部分线确定另一个平面，再证明这两个平面重合．(2)在解决某些数学问题时，需根据问题的具体情况进行逻辑划分，即分类讨论．点、线、面的位置关系有可能较为复杂，需对所有情形逐一讨论．在进行分类讨论时，需做到不重不漏．理解题意，依据公理，合理分类，分清各种位置的可能性，然后分别予以解决．求证：两两平行的三条直线如果都与另一条直线相交，那么这四条直线共面．已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C．求证：直线a、b、c和l共面．证明：如图．因为a∥b，由推论3可知直线a与b确定一个平面，设为α．因为l∩a＝A，l∩b＝B，所以A∈a，B∈b．则A∈α，B∈α．而A∈l，B∈l，所以由基本性质1可知l⊂α．因为b∥c，由推论3可知直线b与c确定一个平面，设为β，同理可知l⊂β．因为平面α和平面β都包含直线b与l，且l∩b＝B，所以由推论2可知：经过两条相交直线，有且只有一个平面．所以平面α与平面β重合，所以直线a、b、c和l共面．多点共线问题在长方体ABCD­A1B1C1D1中，O1是上底面A1B1C1D1的对角线的交点，长方体体对角线A1C交截面B1D1A于点P．求证：O1，P，A三点在同一直线上．【证明】连接AC(如图所示)．因为A1C交截面B1D1A于点P，A1C⊂平面ACC1A1，所以P∈平面B1D1A，且P∈平面ACC1A1．又因为平面B1D1A∩平面ACC1A1＝AO1，所以P∈AO1(基本性质3)，所以O1，P，A三点在同一直线上．证明点共线问题常用方法(1)先找出两个平面，再证明这三个点都是这两个平面的公共点，从而根据基本性质3判定他们都在交线上．(2)选择两点确定一条直线，再证另一点在这条直线上．1．已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD(四条线段首尾相接，且连接点不在同一平面内，所组成的空间图形叫空间四边形)各边AB、AD、CB、CD上的点，且直线EF和GH交于点P，如图，求证：点B、D、P在同一条直线上．证明：因为直线EF∩直线GH＝P，所以P∈直线EF，而EF⊂平面ABD，所以P∈平面ABD．同理，P∈平面CBD，即点P是平面ABD和平面CBD的公共点．显然，点B、D也是平面ABD和平面CBD的公共点，由基本性质3知，点B、D、P都在平面ABD和平面CBD的交线上，即点B、D、P在同一条直线上．2．如图所示，在正方体AC1中，E，F分别为BC，CC1的中点，P，Q分别为AB，C1D1的中点．求证：P，Q，E，F四点共面．证明：如图所示，连接BC1，因为E，F分别为BC，CC1的中点，P，Q分别为AB，C1D1的中点，所以EF ∥BC 1，BC 1∥PQ ． 所以EF ∥PQ ．所以E ，F ，P ，Q 四点共面．多线共点问题如图所示，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E 为AB 中点，F 为AA 1的中点，求证：(1)E ，C ，D 1，F 四点共面； (2)CE ，D 1F ，DA 三线共点． 【证明】(1)分别连接EF ，A 1B ，D 1C ． 因为E ，F 分别是AB 和AA 1的中点， 所以EF ═∥12A 1B ． 又因为A 1D 1═∥B 1C 1═∥BC ， 所以四边形A 1D 1CB 是平行四边形， 所以A 1B ∥CD 1， 从而EF ∥CD 1．所以EF 与CD 1确定一个平面， 所以E ，C ，D 1，F 四点共面． (2)如图所示， 因为EF ═∥12CD 1， 所以延长直线D 1F 和CE 必相交，设D 1F ∩CE ＝P ． 因为D 1F ⊂平面AA 1D 1D ，P ∈D 1F ， 所以P ∈平面AA 1D 1D ．又CE ⊂平面ABCD ，P ∈EC ，所以P ∈平面ABCD ．即P 是平面ABCD 与平面AA 1D 1D 的公共点，而平面ABCD ∩平面AA 1D 1D ＝AD ，所以P ∈AD ，所以CE，D1F，DA三线共点．立体几何是以平面几何为基础的，平面几何中的一些结论在立体几何中也适用，有些立体几何问题可转化为平面几何问题来解决，本例充分利用平面中两线的位置关系，直线D1F 与CE相交于点P，进而证明P∈直线AD．已知三个平面α，β，γ两两相交于三条直线，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直线a和b不平行，求证：a，b，c三条直线相交于同一点．证明：因为α∩γ＝b，β∩γ＝a，所以a⊂γ，b⊂γ．又由于直线a和b不平行，所以a，b必相交．设a∩b＝P，如图，则P∈a，P∈b．因为a⊂β，b⊂α，所以P∈β，P∈α．又α∩β＝c，所以P∈c，即交线c经过点P．所以a，b，c三条直线相交于同一点．1．如果一条直线上有两点在同一平面内，那么这条直线就在这个平面内，解答时抓住直线上的两个点与平面的关系．2．证明多点共线通常利用基本性质3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上．3．证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点．1．不共线的三点能确定一个平面，解答时首先分析所给的元素是否具有确定唯一平面的条件，再进行计算或推理．2．平面的基本性质3是确定两个平面交线的基础，解答时关键是寻找两个相交平面的公共点，这些点都在这两个平面的交线上，据此可得相应结论．3．共面与异面是直线的两种位置关系，解答时会用符号语言与图形语言表示位置关系，能按照定义说明两条直线共面还是异面，对于异面直线，要学会从理论上进行说明．1．在空间内，可以确定一个平面的条件是( )A．两两相交的三条直线B．三条直线，其中的一条与另外两条直线分别相交C．三个点D．三条直线，它们两两相交，但不交于同一点答案：D2．如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面α，M∈a，N∈b，且M∈l，N∈l，那么( ) A．l⊂αB．l⊄αC．l∩α＝M D．l∩α＝N解析：选A．因为M∈a，N∈b，a⊂α，b⊂α，所以M∈α，N∈α．而M，N确定直线l，根据基本性质1可知，l⊂α．故选A．3．假设一块木板斜立在地面上，当用一根木棒在后面撑住时，能使板面固定，这个道理是________．答案：过直线和直线外一点有且只有一个平面4．对于结论“若a⊂α且a∩b＝P，则P∈α”，用文字语言可以叙述为__________．答案：若直线a与直线b相交于一点P且直线a在平面α内，则点P一定在平面α内[学生用书P91(单独成册)])[A 基础达标]1．下列命题：①公理1可用集合符号叙述为：若A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α，则必有l∈α；②四边形的两条对角线必相交于一点；③用平行四边形表示的平面，以平行四边形的四条边作为平面边界线；④梯形是平面图形．其中，正确的命题个数为( )A．1 B．2C．3 D．4解析：选A．①中应为l⊂α；②中空间四边形对角线异面；③中平面没有界线，只有④正确．2．如图，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，且C∉l，则平面ABC 与平面β的交线是( )A．直线ACB．直线BCC．直线ABD．直线CD解析：选D．由题意知平面ABC与平面β有公共点C，根据基本性质3，这两平面必定相交，有且只有一条经过点C的交线．由于两点确定一条直线，所以只要再找到两平面的另一个公共点即可．显然点D在直线AB上，从而它在平面ABC内；而D在直线l上，所以它又在平面β内，这样D也是平面ABC与平面β的公共点．因此平面ABC与平面β的交线是直线CD．3．已知α，β为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列推理错误的是( )A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂βB．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MNC．A∈α，A∈β⇒α∩β＝AD．A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共线⇒α，β重合解析：选C．选项C中，α与β有公共点A，则它们有过点A的一条交线，而不是点A，故C错．4．空间四点A，B，C，D共面但不共线，那么这四点中( )A．必有三点共线B．必有三点不共线C．至少有三点共线D．不可能有三点共线解析：选B．若AB∥CD，则AB，CD共面，但A，B，C，D任何三点都不共线，故排除A，C；若直线l与直线外一点A在同一平面内，且B，C，D三点在直线l上，所以排除D．故选B．5．如图所示，AA1是长方体的一条棱，这个长方体中与AA1异面的棱共有( )A．3条B．4条C．5条D ．6条解析：选B ．依据异面直线的判定定理找与AA 1异面的棱．因为AA 1在面A 1ABB 1内，B 1在面A 1ABB 1内，C 1不在面A 1ABB 1内，所以C 1B 1是与AA 1异面的棱．同理，BC ，CD ，C 1D 1都是与AA 1异面的棱，故正确答案为B ．6．已知点A ，直线a ，平面α．①A ∈a ，a ∈α⇒A ∈α；②A ∉a ，a ⊂α⇒A ∉α；③A ∈a ，a ⊂α⇒A ⊂α． 以上命题正确的个数为________．解析：①中“a ∈α”符号不对；②中A 可以在α内，也可以在α外，故不正确；③中“A ⊂α”符号不对．答案：07．如图所示，在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，判断下列直线间的位置关系： (1)直线A 1B 与D 1C 的位置关系是________； (2)直线A 1B 与B 1C 的位置关系是________； (3)直线D 1D 与D 1C 的位置关系是________； (4)直线AB 与B 1C 的位置关系是________． 解析： 题号 结论 原因分析(1) 平行 因为A 1D 1═∥BC ，所以A 1BCD 1为平行四边形，所以A 1B ∥D 1C (2) 异面 A 1B 与B 1C 不同在任何一个平面内(3) 相交 D 1D ∩D 1C ＝D 1(4)异面AB 与B 1C 不同在任何一个平面内8．如图所示的正方体中，P ，Q ，M ，N 分别是所在棱的中点，则这四个点共面的图形是________(把正确图形的序号都填上)．解析：图形①中，连接MN ，PQ (图略)，则由正方体的性质得MN ∥PQ ，根据公理2的推论3可知两条平行直线可以确定一个平面，故图形①正确．分析可知③中四点共面，②④中四点均不共面．答案：①③9．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q，求证：B，Q，D1三点共线．证明：如图，连接A1B，CD1，显然B∈平面A1BCD1，D1∈平面A1BCD1．所以BD1⊂平面A1BCD1．同理BD1⊂平面ABC1D1所以平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1．因为A1C∩平面ABC1D1＝Q，所以Q∈平面ABC1D1．又因为A1C⊂平面A1BCD1，所以Q∈平面A1BCD1．所以Q在平面A1BCD1与ABC1D1的交线上，即Q∈BD1，所以B，Q，D1三点共线．10．在四面体A­BCD中，E，G分别为BC，AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF∶FC ＝DH∶HA＝2∶3，求证：EF，GH，BD交于一点．证明：因为E，G分别为BC，AB的中点，所以GE∥AC．又因为DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3，所以FH∥AC，从而FH∥GE．故E，F，H，G四点共面．因为FH∥AC，DH∶DA＝2∶5，所以FH∶AC＝2∶5，即FH ＝25AC ．又因为E ，G 分别为BC ，AB 的中点， 所以GE ＝12AC ，所以FH ≠GE ，所以四边形EFHG 是一个梯形，GH 和EF 交于一点，设为O ．因为O ∈GH ，GH ⊂平面ABD ，O ∈EF ，EF ⊂平面BCD ， 所以O 在平面ABD 内，又在平面BCD 内， 所以O 在这两个平面的交线上，而这两个平面的交线是BD ，且交线只有这一条， 所以点O 在直线BD 上． 故EF ，GH ，BD 交于一点．[B 能力提升]11．若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成( ) A ．5部分 B ．6部分 C ．7部分D ．8部分解析：选C ．作出这三个平面的截面，如图所示，把空间分为7部分，本题考查了学生的空间想象能力．顺利作出截面是解决本题的关键，其中l 1，l 2，l 3是截线．12．在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱DD 1和BB 1上的点，MD ＝13DD 1，NB ＝13BB 1，那么正方体的过点M ，N ，C 1的截面图形是( )A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形解析：选C ．在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱DD 1和BB 1上的点，MD ＝13DD 1，NB ＝13BB 1．如图，延长C 1M 交CD 于点P ，延长C 1N 交CB 于点Q ，连接PQ 交AD 于点E ，AB 于点F ，连接NF ，ME ，则正方体的过点M ，N ，C 1的截面图形是五边形，故选C ．13．在四边形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ，BC ，DC ，AD (或延长线)分别与平面α相交于点E ，F ，G ，H ．求证：E ，F ，G ，H 必在同一直线上． 证明：因为AB ∥CD ，所以四边形ABCD 是一个平面图形，即AB ，CD 确定一个平面β，则AB ⊂β，AD ⊂β． 因为E ∈AB ，所以E ∈β， 因为H ∈AD ，所以H ∈β．又因为E ∈α，H ∈α，所以α∩β＝EH ． 因为DC ⊂β，G ∈DC ，所以G ∈β．又因为G ∈α，所以点G 在α与β的交线EH 上． 同理，点F 在α与β的交线EH 上． 所以E ，F ，G ，H 四点共线．14．(选做题)如图所示，在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是AA 1，D 1C 1的中点，过D ，M ，N 三点的平面与正方体的下底面相交于直线l ．(1)画出直线l 的位置；(2)设l ∩A 1B 1＝P ，求线段PB 1的长．解：(1)延长DM 交D 1A 1的延长线于E ，连接NE ，则NE 即为直线l 的位置．(2)因为M 为AA 1的中点，AD ∥ED 1， 所以AD ＝A 1E ＝A 1D 1＝a ． 因为A 1P ∥D 1N ，且D 1N ＝12a ，所以A 1P ＝12D 1N ＝14a ，于是PB 1＝A 1B 1－A 1P ＝a －14a ＝34a ．。