2019-2020年高中数学必修2平面的基本性质(1)

平面【知识梳理】1．平面的概念几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的．几何里的平面是无限延展的．2．平面的画法(1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍．如图①.(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来．如图②.3．平面的表示法图①的平面可表示为平面α、平面ABCD 、平面AC 或平面BD . 4．平面的基本性质题型一、文字语言、图形语言、符号语言的相互转化【例1】 根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系． (1)点P 与直线AB ； (2)点C 与直线AB ； (3)点M 与平面AC ；(4)点A1与平面AC；(5)直线AB与直线BC；(6)直线AB与平面AC；(7)平面A1B与平面AC.[解](1)点P∈直线AB；(2)点C∉直线AB；(3)点M∈平面AC；(4)点A1∉平面AC；(5)直线AB∩直线BC＝点B；(6)直线AB⊂平面AC；(7)平面A1B∩平面AC＝直线AB.【类题通法】三种语言的转换方法(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．【对点训练】1．根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：(1)A ∈α，B∉α；(2)l⊂α，m∩α＝A，A∉l；(3)P∈l，P∉α，Q∈l，Q∈α.解：(1)点A在平面α内，点B不在平面α内，如图(1)；(2)直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上，如图(2)；(3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q，如图(3)．题型二、点、线共面问题【例2】证明两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．[解]已知：如图所示，l∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1、l2、l3在同一平面内．证法1：(纳入平面法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2⊂α，∴B∈α.同理可证C∈α.又∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α.∴直线l1、l2、l3在同一平面内．证法2：(辅助平面法)∵l1∩l2＝A，∴l1、l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴l2、l3确定一个平面β.∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β.同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共线的三个点A、B、C既在平面α内，又在平面β内．∴平面α和β重合，即直线l1、l2、l3在同一平面内．【类题通法】证明点、线共面问题的理论依据是公理1和公理2，常用方法有(1)先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”；(2)先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”；(3)假设不共面，结合题设推出矛盾，用“反证法”．【对点训练】2．下列说法正确的是()①任意三点确定一个平面②圆上的三点确定一个平面③任意四点确定一个平面④两条平行线确定一个平面A．①②B．②③C．②④D．③④解析：选C不在同一条直线上的三点确定一个平面．圆上三个点不会在同一条直线上，故可确定一个平面，∴①不正确，②正确．当四点在一条直线上时不能确定一个平面，③不正确．根据平行线的定义知，两条平行直线可确定一个平面，故④正确.题型三、共线问题【例3】已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示．求证：P，Q，R三点共线．[证明]法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由公理3可知：点P在平面ABC与平面α的交线上，同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上．∴P，Q，R三点共线．法二：∵AP∩AR＝A，∴直线AP与直线AR确定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC⊂平面APR.∵Q∈BC，∴Q∈平面APR，又Q∈α，∴Q∈PR，∴P，Q，R三点共线．【类题通法】点共线：证明多点共线通常利用公理3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上．【对点训练】3.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q，求证：B，Q，D1三点共线．证明：如下图所示，连接A1B，CD1.显然B∈平面A1BCD1，D1∈平面A1BCD1.∴BD1⊂平面A1BCD1.同理BD1⊂平面ABC1D1.∴平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1.∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，∴Q∈平面ABC1D1.又∵A1C⊂平面A1BCD1，∴Q∈平面A1BCD1.∴Q∈BD1，即B，Q，D1三点共线．【练习反馈】1．若点Q在直线b上，b在平面β内，则Q，b，β之间的关系可记作()A．Q∈b∈βB．Q∈b⊂βC．Q⊂b⊂βD．Q⊂b∈β解析：选B∵点Q(元素)在直线b(集合)上，∴Q∈b.又∵直线b(集合)在平面β(集合)内，∴b⊂β，∴Q∈b⊂β.2．两个平面若有三个公共点，则这两个平面()A．相交B．重合C．相交或重合D．以上都不对解析：选C若三个点在同一直线上，则两平面可能相交；若这三个点不在同一直线上，则这两个平面重合．3．下列对平面的描述语句：①平静的太平洋面就是一个平面；②8个平面重叠起来比6个平面重叠起来厚；③四边形确定一个平面；④平面可以看成空间中点的集合，它当然是一个无限集．其中正确的是________．解析：答案：④4．设平面α与平面β交于直线l，A∈α，B∈α，且直线AB∩l＝C，则直线AB∩β＝________. 解析：∵α∩β＝l，AB∩l＝C，∴C∈β，C∈AB，∴AB∩β＝C.答案：C5．将下列符号语言转化为图形语言．(1)a⊂α，b∩α＝A，A∉a.(2)α∩β＝c，a⊂α，b⊂β，a∥c，b∩c＝P.解：(1)(2)。

课题：10.1平面的基本性质课题：10.1平面的基本性质【教学目标】1.知识目标：理解和掌握平面的三个基本性质，并学会应用性质进行一些简单的分析和判断。

2. 能力目标：通过实例和多媒体进行直观教学，培养学生的观察能力和空间想象能力。

通过应用性质进行一些简单的分析和判断，培养逻辑思维能力。

3.情感目标：（1）通过创设主题式故事情境，增强学习兴趣。

（2）结合生活，进行“数学来源于生活”的唯物主义观念教育。

（3）通过问题解决，培养学生合作交流、独立思考等良好的个性品质，以及勇于批判、敢于创新的科学精神。

【教学重点】平面的基本性质。

因为研究空间图形时，往往将有关点、线归结到一个平面内，再利用平面图形的性质解决。

所以要求学生对基本性质有较深刻的理解。

【教学难点】平面的基本性质的掌握与运用。

因为平面的基本性质既抽象又枯燥，而中职幼师专业的学生想象和思维都较弱，所以掌握与运用三个平面的基本性质会有一定的难度。

【教学方法】遵循学生的认知规律，结合多媒体将具体与抽象、感性与理性、动手与动脑有机地结合在一起。

进行思考、交流，师生共同讨论等学法。

根据中职学生想象能力、思维能力较弱的特点，尽量从直观入手，因此考虑通过创设既靠近生活，又体现数学本质，并且能从情感上激发学生主动、深入思考的有效情境（主题式故事情境）作为载体的启发式教法。

【教学过程】图9−5公理1作为判断和证明直线是否在平图9−8反映了只要“两面共一点”，就两面共一线，且过这一点，线唯把信封的一角竖立在桌面上，那么信封所在平面和桌面所在平面只交于一点，对吗？如图：在长方体ABCD—A1B1C1D1是棱A1B1上的中点，画出C1三点所确定的平面α与长方体表面的交线。

数学必修二平面性质知识点总结
在数学学习中认识平面知识点时，需要掌握平面的基本性质，下面是店铺给大家带来的数学必修二平面性质知识点总结，希望对你有帮助。

数学平面的基本性质知识点总结(一)
平面的基本性质
教学目标
1、知识与能力：
(1)巩固平面的基本性质即四条公理和三条推论.
(2)能使用公理和推论进行解题.
2、过程与方法：
(1)体验在空间确定一个平面的过程与方法;
(2)掌握利用平面的基本性质证明三点共线、三线共点、多线共面的方法。

3、情感态度与价值观：
培养学生认真观察的态度，慎密思考的习惯，提高学生的审美能力和空间想象的能力。

教学重点
平面的三条基本性质即三条推论.
教学难点
准确运用三条公理和推论解题.
教学过程
一、问题情境
问题1：空间共点的三条直线能确定几个平面?空间互相平行的三条直线呢?
问题2：如何判断桌子的四条腿的底端是否在一个平面内?
二、温故知新
公理1
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点
都在这个平面内.
公理2
如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其它公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线.
公理3
经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.
推论1
经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面.
推论2
经过两条相交直线，有且只有一个平面.
推论3
经过两条平行直线，有且只有一个平面.
公理 4(平行公理) 平行于同一条直线的两条直线互相平行.
把以上各公理及推论进行对比：。

2019-2020年高中数学必修2(B)平面的基本性质及推论教学目标：理解公理1、2、3的内容及应用教学重点：理解公理1、2、3的内容及应用教学过程：（一）公理一:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内1、直线与平面的位置关系2、符号:点在直线上,记作,点在平面内,记作,直线在平面内,记作（二）公理二:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线.今后所说的两个平面(或两条直线),如无特殊说明,均指不同的平面(直线).两个平面有且只有一条公共直线,称这两个平面相交,公共直线称为两个平面的交线,记作.（三）公理三:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.（四）问题：(1)如果一条线段在平面内,那么这条线段所在直线是否在这个平面内?(2)一条直线经过平面内一点和平面外一点,它和这个平面有几个公共点?为什么?(3)有没有过空间一点的平面?这样的平面有多少个?(4)有没有过空间两点的平面?这样的平面有多少个?(5)有没有过一条直线上三点的平面?这样的平面有多少个?(6)有没有过不在同一条直线上三点的平面?这样的平面有多少个?(五)给出几个正方体作出截面图形小结：本节课应了解：1.理解公理一、三,并能运用它解决点、线共面问题.2.理解公理二,并能运用它找出两个平面的交线及“三线共点”和“三点共线”问题.3.初步掌握“文字语言”、“符号语言”、“图形语言”三种语言之间的转化. 课后作业：略平面的基本性质及推论（二）教学目标：理解推论1、2、3的内容及应用 教学重点：理解推论1、2、3的内容及应用 教学过程：（五）推论1：直线及其外一点确定一个平面 （六）推论2：两相交直线确定一个平面 （七）推论3：两平行直线确定一个平面 （四）例1已知：空间四点、、、不在同一平面内． 求证：和既不平行也不相交．证明：假设和平行或相交，则和可确定一个平面，则，，故，，，.这与已知条件矛盾.所以假设不成立,即和既不平行也不相交．卡片:1、反证法的基本步骤：假设、归谬、结论；2、归谬的方式：与已知条件矛盾、与定理或公理矛盾、自相矛盾． 例2已知：平面平面=，平面平面=，平面平面=且不重合． 求证：交于一点或两两平行．证明：(1)若三直线中有两条相交，不妨设、交于． 因为，，故， 同理，， 故．所以交于一点．(2)若三条直线没有两条相交的情况，则这三条直线两两平行． 综上所述,命题得证. 例3已知在平面外，它的三边所在的直线分别交平面于． 求证：三点共线．证明：设所在的平面为，则为平面与平面的公共点， 所以三点共线．卡片：在立体几何中证明点共线，线共点等问题时经常要用到公理２． 例4正方体中,E 、F 、G 、H 、K 、L 分别是的中点. 求证：这六点共面．证明：连结和， 因为 是的中点， 所以 ．又 矩形中，所以 ，所以 可确定平面，所以 共 面，同理 ， 故 共面． 又 平面与平面都经过不共线的三点，故 平面与平面重合，所以E 、F 、G 、H 、K 、L 共面于平面． 同理可证，所以，E 、F 、G 、H 、K 、L 六点共面． 卡片：证明共面问题常有如下两个方法：A B C P Q R C A A B B C D D EFG H KL1111(1)接法：先确定一个平面，再证明其余元素均在这个平面上；(2)间接法：先证明这些元素分别在几个平面上，再证明这些平面重合．课堂练习：1.判断下列命题是否正确(1)如果一条直线与两条直线都相交,那么这三条直线确定一个平面． ( )(2)经过一点的两条直线确定一个平面． ( )(3)经过一点的三条直线确定一个平面． ( )(4)平面和平面交于不共线的三点A、B、． ( )(5)矩形是平面图形. ( )2.空间中的四点，无三点共线是四点共面的条件．3.空间四个平面两两相交，其交线条数为 .4.空间四个平面把空间最多分为部分．5.空间五个点最多可确定个平面．6.命题“平面、相交于经过点M的直线a”可用符号语言表述为 .7.梯形ABCD中,AB∥CD,直线AB、BC、CD、DA分别与平面交于点E、G、F、H.那么一定有G直线EF,H直线EF.8.求证：三条两两相交且不共点的直线必共面.小结：本节课学习了平面的基本性质的推论及其应用课后作业：略2019-2020年高中数学必修2(B)柱、锥、台和球的体积(一)教学目标：了解柱、锥、台的体积的计算方法教学重点：了解柱、锥、台的体积的计算方法教学过程：（一）祖暅原理：祖暅(音gèng)，一名祖暅之，是祖冲之的儿子，他的活动时期大约在公元504—526年．祖氏父子在数学和天文学上都有杰出的贡献．祖暅的主要工作是修补编辑祖冲之的《缀术》．他推导球体积公式的方法非常巧妙．根据中国算书《九章算术》中李淳风的注释，下面我们使用现代的术语，并将原来的图形略加修改，把祖暅当时推导球体积公式的方法介绍如下：作一个几何体V1．底面OABC是一个正方形，边长为r(图2-18)．高取一点S，过点S与底面平行的截面为SPQR，设它的边长为a，OS为h，则截面面积a2=r2-h2．另取一个边长为r的正方体V2(图2-19)，连结O′D′，O′C′，O′A′，锥体O′-A′B′C′D′记作V3，V2-V3是正方体O′D′挖去锥体O′-A′B′C′D′剩下的几何体．下面来证明V 1=V2-V3．设平行于底面与底面距离为h的平面，截V2的截面是正方形P′TS′M，面积等于r2，截V3的截面是正方形Q′TR′N，面积等于h2(因为Q′T=O′T=h)，所以这两个正方形的差形成曲尺形P′Q′NR′S′M，它的面积等于r2-h2．比较V1与V2-V3在等高(h)处的截面，它们的面积都是r2-h2，因此体积相等，即V1=V2-V3．祖暅原理的原文是“幂势既同，则积不容异．”“幂”是截面积，“势”是几何体的高．意思是：两个同高的几何体，如果与底等距离的截面积总相等，那么几何体的体积相等．这就是现在说的：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．积为V4(是未知数)．和V1比较，在高h处的截面积C″EF是以a为半祖暅提出的“幂势既同，则积不容异”，及“体积之比等于对应截面积之比”，在这里是当作公理使用．提法“幂势既同，则积不容异”，在西方通常叫做“卡瓦列利原理”(Cavalierisches，Prinzip)．卡瓦列利[米兰Milan(现意大利城市)人]在他的名著《连续不可分几何》中提出这一原理，这本书出版于1635年．（二）长方体的体积（三）利用祖暅原理可以说明：等底面积等高的长方体与柱体的体积相等，故柱体的体积为：（四）利用祖暅原理可以说明：等底面积等高的锥体的体积均相等（五）三棱住可以分割成三个体积相等的锥故锥体的体积为（六）利用两个锥体做差可得台体的体积公式（七）例子：(1) 长方体的三个面的面积分别为2、6和9，则长方体的体积为[ ](2)平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，在从B点出发的三条棱上分别取其中点E、F、G，则棱锥B-EFG的体积是平行六面体体积的[ ](3)如果一个正四面体的体积为9dm3，则其表面积S的值为[ ]棱锥的体积是 [ ](5)设正三棱柱的外接圆柱体体积为V1，内切切圆柱体积为V2，则[ ]A．V1∶V2=∶1 B．V1∶V2=2∶1C．V1∶V2=4∶1 D．V1∶V2=8∶1小结：本节课应了解：祖暅原理以及柱锥台的体积计算公式。

平面的基本性质（一）平面的基本性质是研究空间图形性质的理论基础，也是以后演绎推理的逻辑依据．平面的基本性质是通过三条公理及其重要推论来刻划的，通过这些内容的教学，使学生初步了解从具体的直观形象到严格的数学表述的方法，使学生的思维从直觉思维上升至分析思维，使学生的观念逐步从平面转向空间．一、素质教育目标（一）知识教学点平面的基本性质是通过三个与平面的特征有关的公理来规定的．1．公理1说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直”来刻划平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法．2．公理2揭示了两个平面相交的主要特征，提供了确定两个平面交线的方法．3．公理3及其三个推论是空间里确定一个平面位置的方法与途径，而确定平面是将空间问题转化为平面问题的重要条件，这个转化使得立体几何的问题得以在确定的平面内充分使用平面几何的知识来解决，是立体几何中解决相当一部分问题的主要的思想方法．4．“有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在，但不唯一，“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性．在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证．5．公理3的三个推论是以公理3为主要的推理论证的依据，是命题间逻辑关系的体现，为使命题的叙述和论证简明、准确，应将其证明过程用数学的符号语言表述．（二）能力训练点1．通过由模型示范到三条公理的文字叙述培养观察能力与空间想象能力．2．通过由公理3导出其三个推论的思考与论证培养逻辑推理能力．3．将三条定理及三个推论用符号语言表述，提高几何语言水平．（三）德育渗透点借助模型和实物来说明三个公理，进行“数学来源于实践”的唯物主义观念的教育，通过三条公理及公理3的三个推论的学习，逐步渗透事物间既有联系又有区别的观点，更由于对三个推论的证明培养言必有据，一丝不苟的学习品质和公理法思想．二、教学重点、难点、疑点及解决办法1．教学重点（1）体现平面基本性质的三条公理及其作用．（3）两条公理及公理3的三个推论中的“有且只有一个”的含义．（3）用图形语言和符号语言表述三条公理及公理3的三个推论．（4）理解用反证法和同一法证明命题的思路，并会证一些简单问题．2．教学难点（1）对“有且只有一个”语句的理解．（2）对公理3的三个推论的存在性与唯一性的证明及书写格式．（3）确定两相交平面的交线．3．解决办法（1）从实物演示中引导学生观察和实验，阐明公理的条件和结论间的直观形象，加深对“有且只有一个”语句的理解．（2）通过系列设问，帮助学生渐次展开思维和想象，理解公理的实质和作用．三、课时安排2课时．四、学生活动设计准备好两块纸板，一块薄平的泡沫板，四根长15cm 左右的小竹针，其中三根一样长，一根稍短．针对三条公理设计不同的活动，对公理1，可作如下示范：把直尺的两端紧按在玻璃黑板上，完全密接；对公理2，可用两块硬纸板进行演示（如图1－9）；对公理3，使用图1－10所示的模型进行演示．五、教学步骤（一）明确目标（1）理解井熟记平面基本性质的三条公理及公理3的三个推论．（2）掌握这三个公理和三个推论的文字语言、图形语言、符号语言间的互译．（3）理解“有且只有一个”的含义，在此基础上，以公理3为主要依据，推证其三个推论．（4）能够用模型来说明有关平面划分空间的问题．（5）理解并掌握证明命题的常用方法——反证法和同一法．（二）整体感知本课以平面基本性质的三条公理及公理3的三个推论为主要内容，既有学生熟悉的事实，又有学生初次接触的证明，因此以“设问——实验——归纳”法和讲解法相结合的方式进行教学．首先，对于平面基本性质的三条公理，因为是“公理”，无需证明，教学中以系列设问结合模型示范引导学生共同思考、观察和实验，从而归纳出三条公理并加以验证．其中公理1应以直线的“直”和“无限延伸”来刻划平面的“平”和“无限延展”；公理2要抓住平面在空间的无限延展特征来讲；公理3应突出已知点的个数和位置，强调“三个点”且“不在同一直线上”．通过三条公理的教学培养学生的观察能力和空间观念，加深对“有且只有一个”语句的理解．对于公理3的三个推论的证明，学生是初次接触“存在性”和“唯一性”的证明，应引导学生以公理3为主要的推理依据进行分析，逐渐摆脱对实物模型的依赖，培养推理论证能力，证明过程不仅要进行口头表述，而且教师应进行板书，使学生熟悉证明的书写格式和符号．最后，无论定理还是推论，都要将文字语言转化为图形语言和符号语言，并且做到既不遗漏又不重复且忠于原意．三、教学重点、难点的学习与完成过程A．公理师：立体几何中有一些公理，构成一个公理体系．人们经过长期的观察和实践，把平面的三条基本性质归纳成三条公理．请同学们思考下列问题（用幻灯显示）．问题1：直线l上有一个点P在平面α内，直线l 是否全部落在平面α内？问题2：直线l上有两个点P、Q在平面α内，直线l是否全部落在平面α内？（用竹针穿过纸板演示问题1，用直尺紧贴着玻璃黑板演示问题2，学生思考回答后教师归纳．）这就是公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．这里的条件是什么？结论是什么？生：条件是直线（a）上有两点（A、B）在平面（α）内，结论是：直线（a）在平面（α）内．师：把条件表示为A∈a，B∈b且A∈α，B∈α，把结论表示11）．这条公理是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面，如泥瓦工用直的木条刮平地面上的水泥浆．在这里，我们用平行四边形来表示平面，那么平面是不是只有平行四边形这么个范围呢？生：不是，因为平面是无限延展的．师：对，根据公理1，直线是可以落在平面内的，因为直线是无限延伸的，如果平面是有限的，那么无限延伸的直线又怎么能在有限的平面内呢？所以平面具有无限延展的特征．现在我们根据平面的无限延展性来观察一个现象（演示图1－9－（1）给学生看）．问：两个平面会不会只有一个公共点？生甲：只有一个公共点．生乙：因为平面是无限延展的，应当有很多公共点．师：生乙答得对，正因为平面是无限延展的，所以有一个公共点，必有无数个公共点．那么这无数个公共点在什么位置呢？（教师随手一压，一块纸板随即插入另一块纸板上事先做好的缝隙里）．可见，这无数个公共点在一条直线上．这说明，如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．此时，就说两平面相交，交线就是公共点的集合，这就是公理2，其条件和结论分别是什么？生：条件是两平面（α、β）有一公共点（A），结论是：它们有且只有一条过这个点的直线．师：条件表示为A∈α，A∈β，结论表示为：α∩β＝a，A∈a，图形表示为图1－9－（2）或图1－12．公理2是判定两平面相交的依据，提供了确定相交平面的交线的方法．下面请同学们思考下列问题（用幻灯显示）：问题1：经过空间一个已知点A可能有几个平面？问题2：经过空间两个已知点A、B可能有几个平面？问题3：经过空间三个已知点A、B、C可能有几个平面？（教师演示图1－10给学生看，学生思考后回答，教师归纳）．这说明，经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面，即公理3，其条件、结论分别是什么？生：条件是：不在同一直线上的三点（A、B、C），结论是：过这三点（A、B、C）有且只有一个平面（α）．A∈α，B∈α，C∈α，图形表示为图1－13，公理3是确定平面位置的依据之一．以上三个公理是平面的基本性质．其中公理2和公理3中的“有且只有一个”有两层含义，在数学中，“有一个”是说明“存在”、但不唯一；“只有一个”是说明“唯一”，但不保证图形存在．也就是说，如果有顶多只有一个．因此，在证明有关“有且只有一个”语句的命题时，要证明两个方面——存在性和唯一性．B．推论师：确定一个平面的依据，除公理3外，还有它的三个推论．推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．说出推论1的条件和结论．生：条件是：一条直线和直线外一点，结论是：经过这条直线和这一点有且只有一个平面．求证：经过a和A有且只有一个平面．证明：“存在性”即存在过A、a的平面，在直线a 上任取两点B、C．∴A、B、C三点不在同一直线上．∴过A、B、C三点有且只有一个平面α（公理3）．∴B∈α，C∈α．即过直线a和点A有一个平面α．“唯一性”，假设过直线a和点A还有一个平面β．∴B∈β，C∈β．∴过不共线三点A、B、C有两个平面α、β，这与公理3矛盾．∴假设不成立，即过直线a和点A不可能还有另一个平面β，而只能有一个平面α．这里证明“唯一性”时用了反证法．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．其条件、结论分别是什么？生：条件是：两条直线相交，结论是：经过这两条直线有且只有一个平面．师（板书）：已知：直线a∩直线b＝A．求证：经过a、b有且只有一个平面．证明：“存在性”．在a、b上分别取不同于点A的点B、C，得不在同一直线上的三点A、B、C，则过A、B、C三点有且只有一个平面α（公理3）．∵A∈a，B∈a，A∈α，B∈α，∴平面α是经过相交直线a、b的一个平面．“唯一性”．设过直线a和b还有另一个平面β，则A、B、C三点也一定都在平面β内．∴过不共线三点A、B、C就有两个平面α和β．∴平面α与平面β重合．∴过直线a、b的平面只有一个．这里证明唯一性时，用的是“同一法”．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．（证明作为思考题）C．练习1．下面是一些命题的叙述语（A、B表示点，a表示直线，α、β表示平面）A．∵A∈α，B∈α，∴AB∈α．B．∵a∈α，a∈β，∴α∩β=a．其中命题和叙述方法都正确的是． [ ]2．下列推断中，错误的是[ ]D．A、B、C∈α，A、B、C∈β，且A、B、C不共3．一个平面把空间分成____部分，两个平面把空间最多分成____部分，三个平面把空间最多分成____部分．4．确定经过A、B、C三点的平面与已知平面α、β的交线．（图1－16）四、总结、扩展本课主要的学习内容是平面的基本性质，有三条公理及公理3的三推论．其中公理1用于判定直线是否在平面内，公理2用于判定两平面相交，公理3及三个推论是确定平面的依据．“确定一个平面”与“有且只有一个平面”是同义词．“有”即“存在”，“只有一个”即“唯一”．所以证明有关“有且只有一个”语句的命题时，要证两方面——存在性和唯一性．证明的方法是反证法和同一法．五、布置作业1．复习课本有关内容并预习课本例题．2．课本习题（略）．3．确定经过A、B、C三点的平面与已知平面α、β、γ的交线．4．思考题：（1）三个平面把空间可能分成几部分？（2）如何证明推论3？六、答案练习：1．D，2．C，3．图1－18．作业：3．图1－19．七、板书设计。