高中数学第三章概率3.3几何概型几何概型均匀随机数的产生教学案新人教A版必修

3.3.2均匀随机数的产生（1）产生两组0～1之间的均匀随机数，X RAND =，Y RAND =；（2）数出0.5Y X >-的个数1N ，计算()1n N f A N=（N 代表每组均匀随机数的个数）。

教师展示频率分布折线图 方法2：（计算）以横坐标X 表示报纸送到时间,以纵坐标Y 表示父亲离家时间,建立平面直角坐标系,父亲在离开家前能得到报纸的事件构成区域是下图：由于随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的,所以符合几何概型的条件。

根据题意,只要点落到阴影部分,就表示父亲在离开家前能得到报纸,即事件A 发生,所以11117222()18P A -⨯⨯==。

设计意图：及时练习巩固 和提升，让学生感受频率的随机性和相对稳定性，同时用计算验证随机模拟的可靠性。

方法1：（试验模拟）随机撒一把豆子,每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的,落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比,即≈圆的面积落在圆中的豆子数正方形的面积落在正方形中的豆子数，假设正方形的边长为2,则224ππ==⨯圆的面积正方形的面积.由于落在每个区域的豆子数是可以数出来的,所以π≈落在圆中的豆子数落在正方形中的豆子数×4，这样就得到了π的近似值。

方法2：（计算机模拟）（1）用计算机产生两组［0,1］内均匀随机数 1a RAND =,1b RAND =。

（2）经过平移和伸缩变换, 12(0.5)a a =-, 12(0.5)b b =-； （3）数出落在圆 221x y +=内的点 (),a b 的个数 1N ,计算14N Nπ=（N 代表落在正方形中的点(),a b 的个数）。

对于不同的建系方法，不同选取长度单位的方法予以肯定。

拓展：若把圆变成椭圆，如何估计椭圆的面积？ 若把圆变成更加不规则图形，如何计算不规则图形面积？ 设计意图：通过思考，层层深入，逐步得到解题方法，不仅锻炼学生灵活处理问题能力，也锻炼了学生积极思考的能力。

3.3.2 均匀随机数的产生（教案）课标要求1．了解均匀随机数的产生方法与意义．2．会用模拟试验求几何概型的概率．3．能利用模拟试验估计不规则图形的面积．重点难点1．会利用模拟试验估计概率．(重点)2．会设计简单的模拟试验的设计方案．(难点)自学导引1.均匀随机数定义：如果试验的结果是区间[a，b]内的任何一个实数，而且出现任何一个实数是等可能的，则称这些实数为均匀随机数．2.均匀随机数的产生(1)计算器上产生[0,1]的均匀随机数的函数是RAND函数．并统计试验结果．(2) 计算机模拟的方法：用Excel软件产生[0,1]区间上均匀随机数进行模拟．注意操作步骤．[a，b]上均匀随机数的产生利用计算器或计算机产生[0,1]上的均匀随机数x＝RAND，然后利用伸缩和平移交换x＝x1]想一想：概率为0的事件一定是不可能事件吗？概率为1的事件也一定是必然事件吗？提示：如果随机事件所在区域是一个单点，因单点的长度、面积、体积均为0，则它出现的概率为0(即P＝0)，但它不是不可能事件；如果随机事件所在的区域是全部区域扣除一个单点，则它出现的概率为1(即P＝1)，但它不是必然事件．均匀随机数的产生：(1)用计算器产生0～1之间的均匀随机数过程如图所示：(2)用计算机产生均匀随机数的过程如下：S cilab 中用rand()函数来产生0～1的均匀随机数，每调用一次rand()函数，就产生一个随机数，如果要产生a～b之间的随机数，则使用变换rand()*(b－a)＋a得到例题1：取一根长度为3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，用随机模拟的方法计算剪得两段的长都不小于1 m的概率有多大？[思路探索] 利用计算器产生随机数的方法或利用随机模拟的方法解决．(1)利用计算器或计算机产生一组[0,1]的均匀随机数，a1＝RAND；(2)经过伸缩变换，a＝a1*3;(3)统计出［1，2］内随机数的个数N1和［0，3］内随机数的个数N；(4)计算频率f n(A)= 即为概率P(A)的近似值.规律方法用模拟试验求概率近似值的步骤如下：1.确定求均匀随机数的实数区间[a，b]；2.用计算器或计算机求[0,1]内的均匀随机数；3.用伸缩变换转化到[a，b]内的随机数；4.确定试验次数N和事件A发生次数N，求得频率得出概率的近似值变式1：在长为4，宽为2的矩形中有一以矩形长为直径的半圆．(1)随机撒一把豆子，计算豆子落入半圆的概率．(2)利用计算机模拟的方法估计π值例题2：如图所示，向边长为2的正方形内投飞镖，求飞镖落在中央边长为1的正方形内的概率．变式2：在长为12 cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形．用随机模拟法估算该正方形的面积介于36 cm2与81 cm2之间的概率．变式3：利用随机模拟的方法近似计算图中阴影部分(y＝2－2x－x2与x轴围成的图形)的面积．思路分析：在坐标系内画出正方形，用随机模拟方法可以求出阴影部分面积与正方面积之比，从而求得阴影部分的近似值．。

3.3.2均匀随机数的产生学习目标 1.了解均匀随机数的意义，会利用计算器(计算机)产生均匀随机数；2.理解用模拟方法估计概率的实质，会用模拟方法估计概率；3.会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题.知识点一均匀随机数的意义思考回忆一下在古典概型中我们是如何利用整数值随机数来模拟古典概型的？能不能用它来模拟几何概型？答案我们用整数值随机数对应古典概型中的基本事件，通过大量产生随机数来代替试验，通过统计产生的随机数中代表事件A发生的那些数的个数，进而计算频率来估计事件A发生的概率.因为几何概型的基本事件无限多，代表总的基本事件以及事件A包含的基本事件是连续的区域，所以不能用整数值随机数来模拟几何概型.要想用随机数对应几何概型中的基本事件，也需要用连续的.一般地，在取值区间[a，b]上的任何一个实数出现的可能性都是相等的.我们把这样的随机数叫均匀随机数.知识点二均匀随机数的产生1.计算器上产生[0,1]的均匀随机数的函数是RAND函数.2.Excel软件产生[0,1]的均匀随机数的函数为“rand ()”.3.[a，b]上均匀随机数的产生.利用计算器或计算机产生[0,1]上的均匀随机数x＝RAND，然后利用伸缩和平移交换，x＝x1*(b-a)+a就可以得到[a，b]内的均匀随机数，试验的结果是[a，b]上的任何一个实数，并且任何一个实数都是等可能的.知识点三用模拟方法估计概率思考我们已经有了几何概型概率公式，为什么还要估计概率？答案原因有两个：一个是几何概型涉及的区域不规则，难以度量；另一个是用计算机产生随机数样本容量可以很大，而且统计结果方便快捷，可操作性强.用模拟方法估计概率的步骤：①把实际问题中事件A及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围；②用计算机(或计算器)产生指定范围内的随机数； ③统计试验的结果，代入几何概型概率公式估得概率.利用几何概型的概率公式，结合随机模拟试验，可以解决求概率、面积、参数值等一系列问题.类型一 均匀随机数的产生例1 取一根长度为5 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，用均匀随机模拟方法估计剪得两段的长都不小于2 m 的概率有多大？解 设“剪得两段的长都不小于2 m ”为事件A .(1)利用计算器或计算机产生n 个0～1之间的均匀随机数，x ＝RAND. (2)作伸缩变换：y ＝x *(5－0)，转化为[0,5]上的均匀随机数. (3)统计出[2,3]内均匀随机数的个数m . (4)概率P (A )的近似值为mn.反思与感悟 均匀随机数的产生都是以[0,1]上的均匀随机数为基础，通过平移和伸缩变换得到目标区间上的随机数.跟踪训练1 如图所示，向边长为2的正方形内投飞镖，用计算机随机模拟这个试验，求飞镖落在中央边长为1的正方形内的概率.解 用计算机随机模拟这个试验，步骤如下：(1)利用计算器或计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数a 1＝RAND ，b 1＝RAND.(2)经过伸缩平移变换，a ＝(a 1－0.5)*4，b ＝(b 1－0.5)*4得到两组[－2,2]上的均匀随机数. (3)统计出试验总次数N ，落在阴影部分的次数N 1.(4)计算频率f n (A )＝N 1N就是飞镖落在小正方形内的概率的近似值.类型二 随机模拟方法例2 假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30～7：30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去上班的时间在早上7：00～8：00之间，如果把“你父亲在离开家之前能得到报纸”称为事件A ，你能设计一种随机模拟的方法近似计算事件A 发生的概率吗？ 解 方法一 (随机模拟的方法)做两个带有分针的圆盘，标上时间，分别旋转两个圆盘，记下父亲在离家前能得到报纸的次数，则P (A )＝父亲在离家前能得到报纸的次数试验的总次数.方法二 用计算机产生随机数模拟试验.X 是0～1之间的均匀随机数，Y 也是0～1之间的均匀随机数.如果Y ＋7>X ＋6.5，即Y >X －0.5，那么父亲在离开家前能得到报纸.在计算机上做M 次试验，统计一下Y >X －0.5的Y 的个数，如果为N ，则所求概率为N /M .反思与感悟 用随机数模拟的关键是把实际问题中事件A 及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围.用转盘产生随机数，这种方法可以亲自动手操作，但费时费力，试验次数不可能很大.用计算机产生随机数，可以产生大量的随机数，又可以自动统计试验的结果，同时可以在短时间内进行多次重复试验，可以对试验结果的随机性和规律性有更深刻的认识.跟踪训练2 在下图的正方形中随机撒一把豆子，计算落在圆中的豆子数与落在正方形中的豆子数之比并以此估计圆周率的值.解 随机撒一把豆子，每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的，落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比，即圆的面积正方形的面积≈落在圆中的豆子数落在正方形中的豆子数.设正方形的边长为2，则圆半径为1，则圆的面积正方形的面积＝π2×2＝π4，由于落在每个区域的豆子数是可能数出来的，所以π≈落在圆中的豆子数落在正方形中的豆子数×4.所以就得到了π的近似值.类型三 用模拟法估计面积例3 利用随机模拟方法计算由y ＝1和y ＝x 2所围成的图形的面积.解 以直线x ＝1，x ＝－1，y ＝0，y ＝1为边界作矩形，(1)利用计算器或计算机产生两组0～1区间的均匀随机数，a 1＝RAND ，b ＝RAND ； (2)进行平移和伸缩变换，a ＝2(a 1－0.5)；(3)数出落在阴影内的样本点数N 1，用几何概型公式计算阴影部分的面积. 例如做1 000次试验，即N ＝1 000，模拟得到N 1＝698， 所以P ＝N 1N ＝阴影面积矩形面积＝6981 000，即阴影面积S ＝矩形面积×6981 000＝2×6981 000＝1.396. 反思与感悟 解决本题的关键是利用随机模拟法和几何概率公式分别求得几何概率，然后通过解方程求得阴影部分面积的近似值，解决此类问题时注意两点：一是选取合适的对应图形；二是由几何概型正确计算概率.跟踪训练3 利用随机模拟的方法近似计算图中阴影部分(y ＝2－2x －x 2与x 轴围成的图形)的面积.解 (1)利用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数，a 1＝RAND ，b 1＝RAND ；(2)经过平移和伸缩变换a ＝a 1*4-3，b =b 1*3，得到一组［-3，1］，一组［0，3］上的均匀随机数；(3)统计试验总次数N 和落在阴影部分的点数N 1（满足条件b<2-2a -a 2的点（a ,b ）个数）； (4)计算频率N 1N就是点落在阴影部分的概率的近似值；(5)设阴影部分面积为S .由几何概型概率公式得点落在阴影部分的概率为S12.即S 12≈N 1N. 所以S ≈12N 1N即为阴影部分面积的近似值.1.用均匀随机数进行随机模拟，可以解决( ) A.只能求几何概型的概率，不能解决其他问题 B.不仅能求几何概型的概率，还能计算图形的面积 C.不但能估计几何概型的概率，还能估计图形的面积 D.最适合估计古典概型的概率 答案 C2.关于用Excel 软件产生均匀随机数，下列说法错误的是( ) A.只能产生[0,1]区间上的随机数 B.产生均匀随机数的函数是RAND C.产生的均匀随机数是伪随机数D.用Excel 软件不但能产生大量均匀随机数，还方便统计结果. 答案 B3.将[0,1]内的均匀随机数转化为[－3,4]内的均匀随机数，需要实施的变换为( ) A.a ＝a 1*7 B.a ＝a 1*7+3 C.a =a 1*7-3 D.a ＝a 1*4答案 C解析 根据伸缩和平移变换a ＝a 1*[4-(-3)]+(-3)= a 1*7-34.用随机模拟方法求得某几何概型的概率为m ，其实际概率的大小为n ，则( ) A.m >n B.m <nC.m ＝nD.m 是n 的近似值 答案 D解析 随机模拟法求其概率，只是对概率的估计.5.设x 是[0,1]内的一个均匀随机数，经过变换y ＝2x ＋3，则x ＝12对应变换成的均匀随机数是( )A.0B.2C.4D.5 答案 C1.在区间[a ，b ]上的均匀随机数与整数值随机数的共同点都是等可能取值，不同点是均匀随机数可以取区间内的任意一个实数，整数值随机数只取区间内的整数.2.利用几何概型的概率公式，结合随机模拟试验，可以解决求概率、面积、参数值等一系列问题，体现了数学知识的应用价值.一、选择题1.用计算器或计算机产生20个[0,1]之间的随机数x ，但是基本事件都在区间[－1,3]上，则需要经过的线性变换是( ) A.y ＝3x －1 B.y ＝3x ＋1 C.y ＝4x ＋1 D.y ＝4x －1答案 D解析 将区间[0,1]伸长为原来的4倍，再向左平移一个单位得区间[－1,3]，所以需要经过的线性变换是y ＝4x －1.2.与均匀随机数特点不符的是( ) A.它是[0,1]内的任何一个实数 B.它是一个随机数C.出现的每一个实数都是等可能的D.是随机数的平均数 答案 D解析 A 、B 、C 是均匀随机数的定义，均匀随机数的均匀是“等可能”的意思，并不是“随机数的平均数”.3.质点在数轴上的区间[0,2]上运动，假定质点出现在该区间各点处的概率相等，那么质点落在区间[0,1]上的概率为( ) A.14 B.13C.12D.以上都不对 答案 C解析 区间[0,2]的长度为2，记“质点落在区间[0,1]上”为事件A ，则事件A 的区间长度为1，则P (A )＝12.4.一海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m ，宽20 m 的长方形，海豚离岸边不超过2 m 的概率为(注：海豚所占区域忽略不计)( ) A.1150 B.2125 C.2375 D.1300 答案 C解析 记“海豚离岸边不超过 2 m ”为事件A ，则事件A 为“海豚离岸边超过2 m ”.且P (A )＝(20－4)×(30－4)20×30＝5275.∴P (A )＝1－P (A )＝2375.5.在线段AB 上任取三个点x 1，x 2，x 3，则x 2位于x 1与x 3之间的概率是( ) A.12 B.13 C.14 D.1 答案 B解析 因为x 1，x 2，x 3是线段AB 上任意的三个点，任何一个数在中间的概率相等且都是13.6.向图中所示正方形内随机地投掷飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率为( )A.14B.2536C.25144 D.1 答案 C解析 直线6x －3y －4＝0与直线x ＝1交于点⎝⎛⎭⎫1，23，与直线y ＝－1交于点⎝⎛⎭⎫16，－1，易知阴影部分面积为12×56×53＝2536.∴P ＝S 阴影S 正方形＝25364＝25144.7.如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积约为()A.43B.83 C.23 D.无法计算答案 B解析 ∵S 阴影S 正方形≈23，∴S 阴影≈23S 正方形＝83.8.如图所示，在墙上挂着一块边长为16 cm 的正方形木块，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2 cm 、4 cm 、6 cm ，某人站在3 m 之外向此板投镖，设镖击中线上或没有投中木板时不算，可重投，记事件A ＝{投中大圆内}，事件B ＝{投中小圆与中圆形成的圆环内}， 事件C ＝{投中大圆之外}.(1)用计算机产生两组[0,1]内的均匀随机数，a 1＝RAND ，b 1＝RNAD.(2)经过伸缩和平移变换，a ＝16a 1－8，b ＝16b 1－8，得到两组[－8,8]内的均匀随机数. (3)统计投在大圆内的次数N 1(即满足a 2＋b 2<36的点(a ，b )的个数)，投中小圆与中圆形成的圆环次数N 2(即满足4<a 2＋b 2<16的点(a ，b )的个数)，投中木板的总次数N (即满足上述－8<a <8，－8<b <8的点(a ，b )的个数).则概率P (A )，P (B )，P (C )的近似值分别是( ) A.N 1N ，N 2N ，N －N 1N B.N 2N ，N 1N ，N －N 2N C.N 1N ，N 2－N 1N ，N 2N D.N 2N ，N 1N ，N 1－N 2N 答案 A解析 P (A )的近似值为N 1N ，P (B )的近似值为N 2N ，P (C )的近似值为N －N 1N .二、填空题9.在区间[－1,1]上随机任取两个数x ，y ，则满足x 2＋y 2<14的概率为________.答案π16解析 当x ，y ∈[－1,1]时，点(x ，y )构成的区域是一个边长为2的正方形，其面积等于2×2＝4，而满足x 2＋y 2<14的点(x ，y )构成的区域是一个半径为12的圆的内部，其面积等于π4，所以所求概率P ＝π44＝π16.10.方程x 2＋x ＋n ＝0 (n ∈(0,1))有实根的概率为________. 答案 14解析 方程有实根，则Δ＝12－4n ≥0，即n ≤14，又n ∈(0,1)，∴方程有实根的概率为P ＝14－01－0＝14.11.利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“3a －1<0”发生的概率为________. 答案 13解析 由3a －1<0得a <13.由几何概型概率公式得P ＝13.12.已知如图所示的矩形，其长为12，宽为5.在矩形内随机地撒1 000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为550颗，则可以估计出阴影部分的面积约为________.答案 33解析 据题意可知，黄豆落在阴影部分的概率约为5501 000＝1120 ，其概率可用阴影部分的面积与矩形面积的比来度量，即1120＝S 阴影S 矩形＝S 阴影12×5⇒S 阴影＝33.三、解答题13.利用随机模拟方法计算图中阴影部分(曲线y ＝2x 与x 轴、x ＝±1所围成的部分)的面积.解 (1)利用计算机产生两组[0,1]区间上的均匀随机数，a 1＝RAND ，b 1＝RAND ； (2)进行平移和伸缩变换得到一组[－1,1]区间上的均匀随机数和一组[0,2]区间上的均匀随机数；(3)统计试验总次数N 和落在阴影内的点数N 1(满足条件b <2a 的点(a ，b )的个数)； (4)计算频率N 1N ，即落在阴影部分的概率的近似值；(5)设阴影面积为S ，则用几何概型公式求得点落在阴影部分的概率为P ＝S4.所以N 1N ≈S 4，所以S ≈4N 1N ，即为阴影部分面积的近似值.。

3.3.1 几何概型教学设计【课题】 3.3.1 几何概型【教材】普通高中课程标准实验教科书数学3 必修人民教育出版社A版【授课教师】【教材分析】本节课是高中数学人教A版必修三第三章第三节第一课时几何概型，是新课程改革后新增的内容，是在学习了随机事件的概率及古典概型之后，引入的另一类等可能模型，在概率论中占有相当重要的地位. 学好几何概型有利于理解概率的概念，有利于计算一些事件的概率，有利于解释生活中的一些现象.【学情分析】学生通过古典概型的学习初步形成了解决概率问题的思维模式，但还不是很成熟.学生在学习本节课时特别容易和古典概型相混淆，究其原因是思维不严谨，对几何概型的概念理解不清.另外，在解决几何概型的问题时，几何度量的选择也需要特别重视，在实际授课时，应当引导学生发现规律，找出适当的方法来解决问题.【教学目标】知识与技能：初步体会几何概型的意义，会用公式求解简单的几何概型的概率．过程与方法：通过试验，与已学过计算概率的方法进行比较，提出新问题，师生共同探究，提出可行性解决问题的建议或想法.情感态度与价值观：感知生活中的数学，培养学生用随机的观点来理解世界，加强与现实生活的联系，以科学的态度评价身边的随机现象，学会用科学的方法去观察世界和认识世界.【重点难点】教学重点: 几何概型的基本特征及如何求几何概型的概率.教学难点: 如何判断一个试验是否是几何概型，如何将实际背景转化为几何度量.【教法学法】本节课教师采用层层设疑、启发引导学生自主探究的教学模式；使用多媒体来辅助教学，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识.【教学基本流程】复习回顾↓情景引入↓建立模型↓例题训练↓练习巩固↓课堂总结↓作业布置教学情境设计：升的水,其中含有1个细菌求小杯水中含有这个细菌的概率概算公式：某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，并规定:顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会。

高二数学 第三章第3节几何概型 理 知识精讲人教新课标A 版必修3一、学习目标：（1）了解几何概型的概念及基本特点 （2）熟练掌握几何概型中概率的计算公式 （3）会进行简单的几何概率计算（4）能运用模拟的方法估计概率，掌握模拟估计面积的思想二、重点、难点：重点：掌握几何概型中概率的计算公式；并能进行简单的几何概率计算。

难点：将实际问题转化为几何概型，并能正确应用几何概型的概率计算公式解决问题。

三、考点分析：本部分内容是新增的内容，对几何概型的要求仅限于体会几何概型的意义，所以在练习时，侧重于一些简单的试题即可。

（1）区别古典概型与几何概型（2）理解随机模拟求几何概型的概率1、几何概型的概念： 对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的可以几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则可以理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点。

这里的区域可以是线段，平面图形，立体图形等．用这种方法处理随机试验，称为几何概型。

2、几何概型的基本特点：（1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个； （2）每个基本事件出现的可能性相等。

3、几何概型的概率：一般地，在几何区域D 中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率()d P A D的测度的测度。

说明：（1）D 的测度不为0；（2）其中“测度”的意义依D 确定，当D 分别是线段，平面图形，立体图形时，相应的“测度”分别是长度，面积和体积。

（3）区域为“开区域”；（4）区域D 内随机取点是指：该点落在区域内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的测度成正比而与其形状位置无关。

4、模拟计算几何概型的步骤： （1）构造图形（作图）；（2）模拟投点，计算落在阴影部分的点的频率m n； （3）利用()m d P A n D ≈=的测度的测度算出相应的量。

数学学科课堂导学案课题：3.3.1几何概型教学目标1、让学生理解几何概型试验的基本特征，并掌握几何概型的特征2、会求简单的几何概型试验的概率教学重点几何概型的特点、几何概型的识别、几何概型的概率公式教学难点建立合理的几何模型求解概率创设情境引入新课问题1：若A={1,2,3,4,5,6,7,8,9},则从A中任取出一个数,这个数不大于3的概率是多少？问题2：若A=(0,9],则从A中任意取出一个数,这个数不大于3的概率是多少？小组合作探究试验试验1：取一根长为9米的彩带，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于3米的概率是多少?试验2：图中有两个转盘.甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B区域时,甲获胜,否则乙获胜.在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少?试验3：有一杯1升的水, 其中含有1个细菌, 用一个小杯从这杯水中取出0.1升, 求小杯水中含有这个细菌的概率.新知定义知识归纳请同学们阅读教材P135-136，归纳得出1、几何概型的定义2、几何概型的特点3、几何概型的概率计算公式例题讲解变式提高例1 ：取一个长为2a的正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率。

变式：例1中，豆子落在圆外的概率是多少？豆子落在圆周的概率是多少？例2.有一个底面半径为1cm ，高为3cm的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点A，则点A到点O的距离不大于1的概率是多少？例3：在直角三角形ABC,其中∠CAB=60°.在斜边AB上任取一点M,那么AM小于AC的概率有多大？变式：在上一题构造的直角三角形ABC的基础上,过直角顶点C在∠ACB内部任作一条射线CM,与线段AB交于点M,那么这时AM<AC的概率有多大？课堂巩固练习1、某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.2、已知矩形ABCD,AB=8，AD=6，向矩形ABCD内投一粒豆子，落点为P求：(1)∠APB＞ 90°的概率P1;(2)∠APB＜ 90°的概率P2;(3)∠APB = 90°的概率P3;课堂小结1、你是怎么区分古典概型与几何概型？2、若是几何概型，你是怎么样求它的概率？研究性学习：A BC D总结解题策略：材料：“贝特朗问题”法国学者贝特朗（Joseph Bertrand）于1889年提出的概率悖论，其具体内容是：在半径为1的圆内的随机取一条弦，该弦的长度长于圆的内接正三角形边长3的概率。

《几何概型》教学设计教学内容分析:本课时教材选自人教A版数学必修3第三章概率部分第3．3节的内容．几何概型是概率必修章节的收尾篇，共有两个课时，本节课为第一课时,它是继古典概型之后学习的另一类等可能概型；是教材新增加的内容，对它的要求仅限于初步体会几何概型的意义．几何概型的研究，是古典概型的拓广，将古典概型试验结果有限个拓广到无限个；课本介绍几何概型主要是为了更广泛地满足随机模拟的需要．概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义，运用数学方法去研究不确定现象的规律，让学生初步形成用随机的观念去观察、分析、研究客观世界的态度，并获取认识世界的初步知识和科学方法．一.学生学习情况分析:学生前面已经学习了随机事件的概率和古典概型,初步学会了用古典概型公式解决概率题,大多数学生对于概率的学习以及概率试验产生了浓厚的兴趣,逐渐会把一些问题模型化．但是学生在探究问题的能力，应用数学的意识等方面发展不够均衡，尚有待加强．二.设计思想:建构主义学习理论认为，建构就是认知结构的组建，其过程一般是引导学生从身边的、生活中的实际问题出发，发现问题，思考如何解决问题，进而联系所学的旧知识，首先明确问题的实质，然后总结出新知识的有关概念和规律，形成知识点，把知识点按照逻辑线索和内在联系，串成知识线，再由若干条知识线形成知识面，最后由知识面按照其内容、性质、作用、因果等关系组成综合的知识体。

也就是以学生为主体，强调学生对知识的主动探索、主动发现以及学生对所学知识意义的主动建构．基于以上理论，本节课遵循引导发现、循序渐进的思路，采用问题探究式教学，让学生在观察分析、自主探索、合作交流的过程中建构几何概型的概念以及归纳出几何概型公式，运用实物、多媒体辅助，倡导“自主、合作、探究”的学习方式．具体流程如下:→→→三.教学过程设计:课题引入：你出行要坐公交车，如果公交车每15分钟一班，其中包括公交车在站台等待的时间3分钟，你到站台的任意时刻是等可能的，那么你刚到站台，就能坐上车，不用等待的概率是多少呢？（基本事件有无限多个，故不是古典概型）教师:这个模型就是我们今天要学习的几何概率模型，简称几何概型．导入新课问题情境[情景一]教师取一根长度为3米的绳子，拉直后在任意位置剪断，使得剪出的两段的长都不小于一米(记为事件A)，求此事件发生的概率．师生共同探究:此试验中，从每一个位置剪断都是一个试验结果，剪断位置可以是绳子上任一点，试验的可能结果为无限个，发现不是古典概型，不可以用古典概型的方法求解．探索：如图所示，把绳子三等分，于是当剪断位置在中间一段时，事件A 发生，于是1()3P A 中间线段长度＝整条线段长度[情景二]十一节期间，“XX 百货”超市为了扩大知名度，特意举行了大型的购物抽奖促销活动，有的顾客在购物后抽奖时，有点犯蒙了，原来聪明的商家为促销活动设计了三种方案：飞镖游戏：如图所示，规定顾客射中红色区域表示中奖 聪明的你能帮他们分析一下选择哪种方案中奖的概率大？五等分 圆心角之比为1:2:3 半径之比为1:2问题1：在三种情况下某顾客中奖的概率分别是多少?学生思考并回答,可见在图中,顾客中奖的概率分别为51、61、41 问题2：上述每个红色区域对应的位置和形状都是不同的，从结论来看，顾客中奖的概率与红色区域的哪个因素有关？哪些因素无关？（与面积有关，与其位置和形状无关）[情景三]一只小蜜蜂在一棱长为6cm 的正方体笼子里飞，它距笼边大于1cm 的概率是多少?问题3同学们观察对比，找出三个情景的共同点与不同点？问题4同学们能否根据自己的理解说说什么是几何概型？【设计意图】三个情景设置让学生发现试验的结果有无限个,此发现它们不是古典概型, 无法用古典概型的方法求解，然后师生探索此问题怎样解决，最后教师点题：这就是我们今天要学习的几何概型． 情境一的设计是从长度方面考虑问题,是为了引入概念，情境二、三的设计从面积和体积方面考虑问题,是为了让学生全面了解几何概型的概念，并且渗透数形结合的数学思想方法．小组的讨论是为了培养学生的合作意识和团队精神．(二)概念形成在问题情景的铺垫下,教师引导学生用自己的语言描述几何概型的概念：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型．A 发生的概率的计算公式为：A ()P A =构成事件的区域长度(面积或体积）全部结果所构成的区域长度（面积或体积）【设计意图】通过用表格列出相同和不同点，既体现了数学中类比的思想又能让学生更好的了解几何概型，从而突出教学重点．通过递进式地设置问题，使学生将实际问题转化成数学概念,体验到了探寻数学规律的乐趣,加深了学生对概念的了解和对公式的探究，突出教学重点．(三)实际应用例1某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率．（此例师生共同探讨解决）解完此例题后归纳求解几何概型问题的步骤：记事件例2一海豚在水中自由游弋，水池为长30m ，宽20m 的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边超过2m 的概率．（此例先让学生独立思考，然后教师再画龙点睛的分析并求解）课堂训练:1．如图,假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆,分别计算它落到阴影部分的概率.2、你出行要坐公交车，如果公交车每15分钟一班,其中包括公交车在站台等待的时间3分钟，那么你刚到站台，就能坐上车，不用等待的概率是多少呢？【设计意图】实际应用部分有问题,有例题,也有学生的训练,练习2的设计是为了让学生认识到数学源于生活，又应用于生活，生活中处处有数学;例题的设置让学生对几何概型的题目有了更深刻的理解,认识到几何概型主要是要把概率问题与几何问题完美的结合，几何度量中到底是长度、面积还是体积呢？我们要认真加以判断,要学会用数形结合的思想解决概率问题．(四)课堂小结教师引导学生反思:本节课我们学了什么?学会了什么?1.几何概型的定义、计算公式如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成 比 例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A A P )( 2.注意理解几何概型与古典概型的区别。

一、课标要求：1、本章的课标要求包括算法的含义、程序框图、基本算法语句，通过阅读中国古代教学中的算法案例，体会中国古代数学世界数学发展的贡献。

2、算法就是解决问题的步骤，算法也是数学及其应用的重要组成部分，是计算机科学的基础，利用计算机解决问需要算法，在日常生活中做任何事情也都有算法，当然我们更关心的是计算机的算法，计算机可以解决多类信息处理问题，但人们必须事先用计算机熟悉的语言，也就是计算能够理解的语言（即程序设计语言）来详细描述解决问题的步骤，即首先设计程序，对稍复杂一些的问题，直接写出解决该问题的程序是困难的，因此，我们要首先研究解决问题的算法，再把算法转化为程序，所以算法设计是使用计算机解决具体问题的一个极为重要的环节。

3、通过对解决具体问题的过程与步骤的分析（如二元一次方程组的求解等问题），体会算法的思想，了解算法的含义。

理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构。

理解并掌握几种基本的算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句。

进一步体会算法的基本思想。

4、本章的重点是体会算法的思想，了解算法的含义，通过模仿、操作、探索，经过通过设计程序框图解决问题的过程。

点是在具体问题的解决过程中，理解三种基本逻辑结构，经历将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程，理解几种基本的算法语句。

二、编写意图与特色：算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算科学的重要基础。

随着现代信息技术飞速发展，算法在科学技术、社会发展中发挥着越来越大的作用，并日益融入社会生活的许多方面，算法思想已经成为现代人应具备的一种数学素养。

需要特别指出的是，中国古代数学中蕴涵了丰富的算法思想。

在本模块中，学生将在义务教育阶段初步感受算法思想的基础上，结合对具体数学实例的分析，体验程序框图在解决问题中的作用；通过模仿、操作、探索，学习设计程序框图表达解决问题的过程；体会算法的基本思想以及算法的重要性和有效性，发展有条理的思考与表达的能力，提高逻辑思维能力。