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１０． ３９６９／ｊ． ｉｓｓｎ． １００３－５０６０． ２０１１． ０８． ００９二级倒立摆基于融合函数的模糊控制邢景虎，陈其工，江明安徽工程大学电气传动与控制安徽省高校重点实验室，安徽芜湖２４１０００摘要：文章针对多变量、非线性、强耦合性的二级倒立摆系统，采用模糊控制理论研究了二级倒立摆的稳定控制问题。
考虑到二级倒立摆为多变量系统，为了解决模糊控制器规则组合爆炸问题，利用ＬＱＲ控制方法设计了融合函数以降低模糊控制器的输入变量维数，降低了控制器的设计难度，并研究了量化因子对控制效果的影响，通过设置阈值使量化因子可自动调节，进而提升了模糊控制器的性能品质。
仿真和实验结果表明，通过这种模糊控制算法设计的控制器不但结构简单，而且具有良好的控制效果。
二级倒立摆；模糊控制；融合函数；量化因子ＴＰ２７３Ａ１００３－５０６０（２０１１）０８－１１５５－０５Ｆｕｓｉｏｎ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｂａｓｅｄ ｆｕｚｚｙ ｃｏｎｔｒｏｌ ｆｏｒ ａ ｄｏｕｂｌｅ ｉｎｖｅｒｔｅｄ ｐｅｎｄｕｌｕｍ ＸＩＮＧ Ｊｉｎｇ－ｈｕ ＣＨＥＮ Ｑｉ－ｇｏｎｇ ＪＩＡＮＧ Ｍｉｎｇ ２０１０－０７－１９２０１０－１２－２５安徽工程大学青年科研基金资助项目（２００８ＹＱ０４７）邢景虎（１９８０－），男，安徽芜湖人，安徽工程大学讲师；陈其工（１９６１－），男，安徽滁州人，安徽工程大学教授，硕士生导师．万方数据万方数据万方数据万方数据＠＠［１］谷正气．汽车车身现代技术［Ｍ］．北京：机械工业出版社， ２００９：３０１－３０２．＠＠［２］于学兵，车艳秋．车门缝隙对车室内热环境影响的数值模拟 ［Ｊ］．机械设计与制造，２０１０（５）：１３３－１３５．＠＠［３］熊可嘉，王伟，张万平．轿车热环境模拟及风口面积对乘 客舒适性的影响［Ｊ］．制冷技术，２００９，３７（１）：３２－３６．＠＠［４］向立平，王汉青．空调客车内气流分布的人体热舒适性研究 ［Ｊ］．中南大学学报：自然科学版，２００９，４０（５）： １１９４－１１９８．＠＠［５］王贤民，王晓梅．轻型客车空调风道改进设计［Ｊ］．合肥工业 大学学报：自然科学版，２００７，３０（３）：３５７－３６０．＠＠［６］谷正气，盂庆超，杨易，等．轿车室内流场的数值模拟研究 ［Ｊ］．系统仿真学报，２００８，２０（７）：１７００－１７０２．＠＠［７］王福军．计算流体动力学分析［Ｍ］．北京：清华大学出版社， ２００４：１２４．＠＠［８］傅德薰，马延文．计算流体力学［Ｍ］．北京：高等教育出版 社，２００４：１９６．＠＠［９］王保国，王新泉，刘淑艳，等．安全人机工程学［Ｍ］．北京：机 械工业出版杜，２００７：１１２－１２４．＠＠［１］李洪兴．世界首例倒立摆实物控制系统在我校试验成功 ［Ｊ］．北京师范大学学报：自然科学版，２００２，１０（２）：２２－２４．＠＠［２］殷路，单劲松．ｎ级倒立摆数学模型的建立［Ｊ］．科技信息， ２００８（３２）：２０２－２０３．＠＠［３］ Ｏｇａｔａ Ｋ．现代控制工程［Ｍ］．卢伯英，于海勋，译．北京：电 子工业出版社，２００３：３４－２２０．＠＠［４］曲建岭，吴文海，孙俊恩．三级倒立摆系统模糊控制器设计 及仿真［Ｊ］．系统仿真学报，２００４，１６（３）：５７８－５８１．＠＠［５］曲建岭，王磊，高峰．基于信息融合的多输入模糊控制 器设计方法［Ｊ］．测控技术，１９９９，１８（７）：８－１０．＠＠［６］陈江宁，潘笑．基于融合技术的单级倒立摆模糊控制器 ［Ｊ］．微计算机信息，２００９，２５（１）：２９０－２９３． ＠＠［７］周端，王敏，黄心汉．基于最优权值的二级倒立摆模糊 控制器［Ｊ］．计算机与数字工程，２００７，３５（５）：１７１－１７２， １９８．＠＠［８］李士勇．模糊控制、神经控制和智能控制论［Ｍ］．哈尔滨： 哈尔滨工业大学出版杜．１９９８：１２０－２２０．万方数据。
收稿日期：－年－月－日；修回日期：－年－月－日. 基金项目：安徽工程科技学院青年科研基金（2008YQ047）.作者简介：邢景虎（1980--），男，汉(安徽、芜湖市)，讲师，硕士，从事电力电子技术及现代电力传动控制、智 能控制的研究。
二级倒立摆基于融合函数的模糊控制邢景虎(安徽工程科技学院 电气传动与控制安徽省高校重点实验室，安徽 芜湖241000)摘 要：采用模糊控制理论研究了二级倒立摆的控制问题。
考虑到二级倒立摆为多变量系统，为了解决模糊控制器规则组合爆炸问题，利用LQR 控制方法设计了融合函数以降低模糊控制器的输入变量维数，大大减少模糊控制的规则数，并研究了量化因子对控制效果的影响，通过设置阈值使量化因子可自动调节，进而提高模糊控制器的性能品质。
仿真和实验结果表明，这种模糊控制算法规则数少，响应速度快，有良好的稳定性和鲁棒性。
关键词：二级倒立摆；LQR ；模糊控制；融合函数；量化因子 中图分类号：TP273 文件标识码：AFusion Function Based Fuzzy Control for a Double InvertedPendulumXING Jing-hu(Anhui University of Technology And Science, Anhui Provincial key Laboratory of Electric and Control, Wuhu 241000, China. Correspondent:XING Jing-hu,E-mail:xingjinghu@ )Abstract: The fuzzy control theory is introduced to study the controlling problem of the double inverted pendulum in this paper. In order to solve the fuzzy rule number ’sexplosion in multi-variable system,the dimensions of input varieties of a fuzzy controller are depressed by designing a fusion function using the LQR theory, and it can reduce the rules of fuzzy greatly. The infection of quantification factors to the effect of control is studied. The quality of the fuzzy controller is improved by adding auto turning quantification factors. Simulation and experiment prove that this fuzzy control arithmetic has the advantages of few rules, fast speed, good stability and good robustness. Keywords:Double inverted pendulum; LQR;Fuzzy control; fusion function; quantification factors1 引言倒立摆系统是一个非线性、强耦合、多变量和自然不稳定的系统，倒立摆系统通常用来检验控制策略的效果，是控制理论研究中较为理想的实验装置。
模糊控制在二级倒立摆系统中的应用
模糊控制是一种基于模糊逻辑的控制方法，它可以应用于各种控制系统中，包括二级倒立摆系统。
二级倒立摆系统是一种常见的非线性系统，它由两个相互垂直的杆和一个可旋转的关节组成。
该系统具有高度非线性和不稳定性，对控制要求较高，而模糊控制则可以很好地解决这些问题。
在二级倒立摆系统中，模糊控制的应用通常涉及到以下几个方面。
首先，通过对系统的建模和仿真分析，可以确定二级倒立摆系统的运动特性和控制要求。
其次，根据系统的特点和要求，可以设计相应的模糊控制器，并进行实验验证。
最后，对实验结果进行分析和评估，以确定模糊控制在二级倒立摆系统中的有效性和优越性。
在具体的应用中，模糊控制通常采用基于规则的模糊控制方法，即根据一定的规则来进行控制决策。
具体而言，模糊控制器通常包括模糊化、规则库、模糊推理和解模糊四个部分。
其中，模糊化将系统输入转化为模糊量，规则库定义了一系列的控制规则，模糊推理根据输入的模糊量和规则库中的控制规则来确定控制输出，解模糊将模糊输出转化为具体的控制量。
在二级倒立摆系统中，模糊控制可以用于调节系统的角度和位置，以实现系统的稳定和控制。
具体而言，模糊控制器通常将摆杆的角度和位置作为系统的输入，输出控制信号，以调节系统的运动状态。
通过对模糊控制器的设计和调试，可以使二级倒立摆系统具有较好的控制性能和鲁棒性。
总之，模糊控制在二级倒立摆系统中的应用是一种有效的控制方法，可以提高系统的控制性能和鲁棒性，实现系统的稳定和控制。
绪论 (1)1倒立摆系统的建模 (2)1.1倒立摆系统的特性分析 (2)1.2二级倒立摆系统的数学建模 (3)1.2.1基于牛顿力学的二级倒立摆系统数学模型建立41.3二级倒立摆系统数学模型的线性化处理 (5)2线性二次型最优控制（LQR）的方案设计 (8)2.1二级倒立摆性能分析 (8)2.1.1稳定性分析 (8)2.1.2能控性能观性分析 (9)2.2线性二次型最优调节器原理 (11)2.3加权阵Q和R的选择 (13)3模糊控制的基本原理 (14)3.1模糊理论的基本知识 (14)3.1.1模糊控制概述 (14)3.1.2模糊集合 (15)3.1.3 模糊规则和模糊推理 (16)3.1.4反模糊化 (17)3.2模糊控制系统的设计 (17)3.2.1模糊控制系统的组成及原理 (17)3.2.2模糊控制器设计的基本方法与步骤 (19)3.3二级倒立摆模糊控制器的设计 (20)4二级倒立摆模糊控制系统的MATLAB仿真 (23)4.1基于最优调节器的二级倒立摆控制系统的MATLAB仿真 (24)4.2基于模糊控制器的二级倒立摆控制系统的MATLAB仿真 (26)4.2.1二级倒立摆模糊控制系统的仿真波形 (26)4.2.2量化因子和比例因子对模糊控制器性能的影响 (28)4.3两种控制系统的MATLAB仿真对比研究 (29)结束语 (30)致 (31)参考文献 (32)附录 (33)本文以二级倒立摆模型为控制对象，首先阐述了倒立摆系统控制算法的研究发展过程和现状，介绍了倒立摆系统的结构和数学模型，并详细推导了二级倒立摆的数学模型。
其次，本文主要研究倒立摆系统的现代控制方法以及智能控制方法，用LQR 最优控制方法、模糊控制理论设计了控制器，通过MATLAB及SIMULINK仿真两个控制器，分析指出两方法的优缺点，结果表明：智能控制策略不仅能满足非线性系统的控制要求，而且能明显改善控制指标，整个系统具有更好的动态特性。
最后完成了二级倒立摆系统控制程序的设计和调试，实验取得较好的仿真控效果，并对实验结果进行了详细的分析。
结论部分对本课题的意义、目的和工作内容进行总结。
关键词：二级倒立摆，最优控制，模糊控制ABSTRACTThe paper is focused on the double inv erted pen dulum. After discuss ingthe historical development process and t he current tendency of theresearch based on the inv erted pen dulum, the paper firstly in troduced the structure and deduced the mathematical model of the double in verted pen dulum. Then focuses mainly on the research of the inverted pendulum system's control using the dynamicalcontrol methods as well as the intelligentcontrol methods, I developed the system controllers based on the LQR optimal con trol methods and the fuzzy con trol methods ,I also simulated the whole system by using the MATLAB and the SIMULI NK, after that the advantages and disadvantages of the two control methods has been analysed .So the conclusion indicates that the intelligent control strategies can not only achieve the con trolli ng dema nd of the non-l in ear system, but also meliorate sig nifica ntly the con trol in dex of the system, as a result , the whole system's dynamic characteristic has been improved greatly. Lastly, I designed and debugged the code for modeling as well as controlling the double inverted pendulum using the MATLAB. The desired result of the simulation has been realized and discussed in detail. The meaning, the purpose and the main content of the paper has bee n summarized in the end o f the paper.Key words: double in verted pen dulum , optimal con trol , fuzzy con troller倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，是进行控制理论设计及测试的理想实验平台。
倒立摆系统控制涉及到机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域。
其被控系统本身是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统，可以作为一个典型的控制对象对其进行研究⑴。
同时，由于实际机械系统中存在的各种摩擦力，实际倒立摆系统亦具有一定的不确定性。
倒立摆系统的控制涉及到许多典型的控制问题：非线性问题、随动及跟踪问题、鲁棒性问题、非最小相位系统的镇定问题等等。
正是由于倒立摆系统的特殊性，许多不同领域的专家学者在检验新提出理论的正确性和实际可行性时，都将倒立摆系统作为实验测试平台。
再将经过测试后的控制理论和控制方法应用到更为广泛的领域中去⑴。
如：把一级倒立摆的研究成果应用到对航空航天领域中的火箭发射推进器和卫星飞行状态控制的研究；把二级倒立摆的研究成果应道到双足机器人行走控制中[2]。
所以说，对倒立摆系统控制理论的研究不仅具有理论研究价值，也具有相当的实际工程应用价值。
倒立摆系统的传统控制方法主要是使用经典控制理论和现代控制理论。
它们都以精确的系统数学模型为控制对象。
经典控制理论在线性定常、输入输出量较少的系统中能很好的完成控制设计指标，经典控制理论的数学基础是拉普拉斯变换，占主导地位的分析和综合方法是频率域方法。
而现代控制理论是建立在状态空间分析法上的，基本分析方法是时域分析法。
这种方法能够克服经典控制理论的缺陷：能够解决系统的输入输出变量过多、系统的非线性等问题。
现代控制理论已经在工业生产过程、军事科学、航空航天等许多方面都取得了成功的应用。
例如极小值原理可以用来解决某些最优控制问题；利用卡尔曼滤波器可以对具有有色噪声的系统进行状态估计；预测控制理论可以对大滞后过程进行有效的控制。
但是它们都有一个基本的要求：需要建立被控对象的精确数学模型⑶随着科学技术的迅猛发展，各个领域对自动控制控制精度、响应速度、系统稳定性与适应能力的要求越来越高，所研究的系统也日益复杂多变。
然而由于一系列的原因，诸如被控对象或过程的非线性、时变性、多参数间的强烈耦合、较大的随机干扰、过程机理错综复杂、各种不确定性以及现场测量手段不完善等，难以建立被控对象的精确模型⑷。
虽然常规自适应控制技术可以解决一些问题，但范围是有限的。
对于像二级倒立摆这样的非线性、多参数、强耦合的被控对象，使用传统控制理论难以达到良好的控制性能。
而模糊控制理论能够克服这些困难，达到实际设计要求。
1倒立摆系统的建模1.1倒立摆系统的特性分析直线型二级倒立摆系统是典型的机械电子系统。
这种倒立摆系统具有如下特性：(1) .开环不稳定系统。
倒立摆系统有两个平衡状态：竖直向下和竖直向上。
竖直向下的状态是系统稳定的平衡点，而竖直向上的状态是系统不稳定的平衡点，开环时微小的扰动都会使系统离开竖直向上的状态而进入到竖直向下的状态中。
(2) .不确定性。
主要是指建立系统数学模型时的参数误差、测量噪声以及机械传动过程中的非线性因素所导致的难以量化的部分。
(3) .耦合特性。
倒立摆摆杆和小车之间，以及多级倒立摆系统的上下摆杆之间都是强耦合的。
这既是可以采用单电机驱动倒立摆控制系统的原因，也是使得控制系统的设计、控制器参数调节变得复杂的原因。
(4) .仿射非线性系统。
倒立摆控制系统是一种典型的仿射非线性系统，可以应用微分几何方法进行分析。
(5) .欠冗余性。
一般地，倒立摆控制系统采用单电机驱动，因而它与冗余结构，比如说冗余机器人有较大不同。
之所以采用欠冗余是要在不失系统可靠性的前提下节约经济成本或者有效的空间。
由于以上倒立摆的特性，在建模时，为了简单起见，忽略系统中一些次要的难以建模的因素，如空气阻力、伺服电机的静摩擦力、系统连接处的松弛程度、摆杆连接处质量分布不均匀、传动皮带的弹性以及传动齿轮的间隙等等。
将小车抽象为质点，摆杆抽象为匀质刚体，摆杆绕转轴转动，这样不仅可以简化分析，而且可以建立系统较为精确的数学模 型。
1.2二级倒立摆系统的数学建模二级倒立摆系统如图2.1所示。
二级倒立摆装置由沿导轨运动的小车和通过转轴固定 在小车上的摆体组成。
在导轨一端装有用来测量小车位置的光电编码器。
摆体与小车之间、 摆体与摆体之间有转轴连接，并在连接处有两个光电编码器分别用来测量下摆和上摆的角 度。
下摆和上摆可以绕各自的转轴在水平导轨上左右运动，从而使倒立摆稳定在竖直位置 并且可以沿着导轨倒立行走。
建立系统的运动方程时，为了简化二级倒立摆系统的数学模型，忽略空气流动作用在 摆杆上的力矩干扰，并做以下假设：(1) .小车、下摆摆杆和上摆摆杆都是刚体；(2) .皮带轮与皮带间无相对滑动，皮带不能拉伸变长；(3) .小车与导轨之问的摩擦力与小车速度成正比；(4) .各摆杆与转轴间的转动摩擦力矩与摆杆的角度成正比；在建立模型时，定义二级倒立摆物理参数符号：M ,小车质量，取0.595kg口丄，下摆刚性摆杆质量，取0.161kg图2.1二级倒立摆系统口二，上摆刚性摆杆质量，取0.142kgL,下摆质心阳到转轴的距离，取0.124m,上摆质心匕到转轴上的距离，取0.227m1 1,下摆摆杆长度，取0.151mL,上摆摆杆长度，取0.151m1,下摆摆杆与垂直向上方向所夹角度二，上摆摆杆与垂直向上方向所夹角度F,倒立摆系统的控制力x,小车的水平位移量下摆重心的水平位移量'上摆重心的水平位移量5下摆重心的垂直位移量\上摆重心的垂直位移量1;,小车与平台间的动摩擦系数，取11( )'-,下摆与转轴・间的摩擦阻力矩系数，取0.00324(上，上摆与转轴二间的摩擦阻力矩系数，取0.000774( )'-,下摆到下摆质心匕的转动惯量，取0.00284()L 上摆到上摆质心上的转动惯量，取0.002433()1.2.1基于牛顿力学的二级倒立摆系统数学模型建立(1).对上摆进行受力分析：对上摆列转矩平衡方程，可得..：in ；\ ； I . '■ j 1 ：(2-1对上摆列水平方向受力方程，可得=国卩IT卫=即H卩卫cos迥卩+凹国cos個诅+ X)"]](2-2)对上摆列垂直方向受力方程，可得31EE = 13口叭国二EiE(EUJ3 sin [E1E + E d E sin 胆疋十Y)*j ](2-3)⑵对下摆进行受力分析:对下摆列转矩方程,Gy%sin 吗+ %色一吗)一％% -ey 気吗c”叫+吗吒习sinQj =几鮎(3).对整个倒立摆系统进行受力分析:联立上面所有方程，并消去 L. , ■可得二级倒立摆模型方程:一耳耳sin 述=G o u (2-7)跖［翳cos 珏囘+珈週cos(S^ —叫鳧4- Y 两+歸鸥Y 區;+跖I 瓏sin® — 一 F 261 + F a 02(2-8)1.3二级倒立摆系统数学模型的线性化处理为了简化分析过程，必须对二级倒立摆系统数学模型进行一定的简化。
