人教版高中数学必修三 第三章 概率 《几何概型》备课资料

3．3．1 几何概型（第1课时）一、教学目标：1．知识与技能：（1）通过等公交车和转盘游戏，引入几何概型定义和几何概型中概率计算公式，明确几何概型与古典概型的区别.（2）通过例题教学，使学生进一步理解几何概型的使用条件，学会利用几何概型的概率计算公式解决问题.（3）在几何概型下进一步理解“不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1；而概率为0的事件不一定是不可能事件，概率为1的事件不一定是必然事件”的含义.2．过程与方法：发现法教学，通过师生共同探究，体会数学知识的形成，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力.3．情感、态度与价值观：本节课的主要特点是现实问题多，需要将现实问题转化为数学问题来解决，加强数学知识与现实世界的联系，学习时养成勤学严谨的学习习惯.二、教学重点与难点：重点：掌握几何概型的判断及几何概型中概率的计算公式.难点：准确确定全部几何区域和与事件A对应的区域，并求出它们的长度、面积或体积.三、教法与教具：教学方式：启发、探究式教学辅助：多媒体课件四、教学基本流程：五、教学过程（一）知识回顾复习古典概型创设情境，引入课题通过转盘游戏猜想相应的概率几何概型的概念、特点、与古典概型的区别例题讲解及变式，明确几何概型的计算步骤练习和小结作业和课后思考1、古典概型的特点是什么？在古典概型下，如何计算随机事件A 出现的概率？2、当随机试验的基本事件有无限个时，事件的概率应该如何求呢?（二）新知探究当随机试验的基本事件有无限个时，事件的概率应该如何求呢?1、创设情境情境1： 公共汽车站每隔15分钟有一辆1路汽车通过，乘客到达车站的任一时刻是等可能的，那么乘客等车不超过10分钟的概率是多少？情境2：图中有两个转盘.甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B 区域时,甲获胜,否则乙获胜.如果你是甲，你会选择那一个转盘进行游戏？你为何作此选择？你获胜的可能性是多少？思考讨论： 1. 指针指向B 区域的机会（概率）与什么有关？2.指针指向B 区域的机会（概率）与圆的大小有关吗？3.把转盘②变成③图, 指针指向B 区域的机会（概率）会不会改变？情境3：在500ml 的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml 水样放到显微镜下观察，那么发现草履虫的概率是多少？ 2、探究（1）你是如何计算概率的？（2）它们的共同特征是什么？（3）以上3个问题是否属于古典概型问题？为什么？3、几何概率模型的定义及计算公式（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型.（2）几何概型的概率公式：()A P A 构成事件的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）（强调：求几何概型的概率时考虑试验的结果个数失去意义.）（3）几何概型的特点：（类比古典概型，说出异同点）1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等．(三)应用举例1、判断下列概率类型并求其概率：（1）在区间[0,9]上任取一个整数，恰好取在区间[1,3]上的概率为多少？（2）在区间[0,9]上任取一个实数，恰好取在区间[1,3]上的概率为多少？2、例题及变式例1：某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.（假设电台只在整点报时）变式1：求他等待的时间至少20分钟的概率．变式2：求他等待的时间为20至40分钟的概率．变式3：一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？B B N NB（1）红灯；（2）黄灯；（3）不是红灯.3、解决情境14、达标训练1.如右图,假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆,分别计算它落到阴影部分的概率.2.有一杯1升的水，其中含有1个细菌，用一个小杯从这杯水中取出0.1升，求小杯水中含有这个细菌的概率.3.取一根长为30厘米的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长都不少于10厘米的概率有多大?4.(2010湖南文科)在区间[]2,1-上随机取一个数x，则[]1,0∈x的概率为 .5.思考题：在转盘游戏中,当指针指向B区域时,甲获胜.(1)如果在转盘上，区域B缩小为一个点，那么甲获胜的概率是多少？ (2)如果在转盘上，区域B扩大为整个转盘扣除一个点，那么甲获胜的概率是多少？结论：概率为0的事件不一定是不可能事件；概率为1的事件不一定是必然事件.（四）课堂小结1、几何概型的特点：(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限个(2)每个基本事件出现的可能性相等.2、几何概型的概率公式：()AP A=构成事件的区域长度（面积或体积）全部结果所构成的区域长度（面积或体积）几何概型是适用于试验结果无限多且事件是等可能发生的概率类型，找出随机事件与所有基本事件相对应的几何区域,把问题转化为几何概型问题是解决问题的关键. 3、注意理解几何概型与古典概型的区别.（五）作业布置1、课本P142 习题3.2 A组 12、在区间[,]22ππ-上随机取一个数x，求cos x的值介于0到21之间的概率.(09山东高考）（六）课后思考（会面问题）甲乙两人约定在6时到7时之间在某处会面,并约定先到者应等候另一个人15分钟,过时即可离去,求两人能会面的概率.。

几何概型一、教学目标（1）学生能掌握几何概型的特点，明确几何概型与古典概型的区别。

（2）能识别实际问题中概率模型是否为几何概型。

（3）会利用几何概型公式对简单的几何概型问题进行计算。

二、教学重点与难点教学重点：（1）几何概型的特点及与古典概型的区别（2）几何概型概率计算公式及应用。

教学难点：把求未知量的问题转化为几何概型求概率的问题；三、教学方法与手段让学生通过对几个试验的观察分析，提炼它们共同的本质的东西，从而亲历几何概型的建构过程，并在解决问题中，给学生寻找发现、讨论交流、合作分享的机会。

感知用图形解决概率问题的方法，掌握数学思想与逻辑推理的数学方法。

四、教学过程一、 创设情境 引入新课【知识回顾】(1)1 (2) 2A () A P A ⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨=⎪⎪⎪⎩试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；、古典概型的特点每个基本事件出现的可能性相等。

古典概型包含基本事件的个数、事件的概率公式：基本事件的总数 【课前练习】判断下列试验中事件发生的概率是否为古典概型？（1）抛掷两颗骰子，求出现两个“4点”的概率；（学生口答）（2）5本不同的语文书，4本不同的数学书，从中任取2本，取出的书恰好都是数学书的概率；（学生口答）（3）取一根长度为3m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于1m的概率；学生分析：剪刀落在绳子的任意一个位置是等可能的，但剪刀落的位置是无限个的，因而无法利用古典概型；（4）下图中有两个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向黄色区域时，甲获胜，否则乙获胜.你认为甲获胜的概率分别是多少？（1）（2）学生分析：指针指向的每个方向都是等可能性的，但指针所指的位置却是无限个的，因而无法利用古典概型；（5）有一杯1升的水,其中含有1个细菌,用一个小杯从这杯水中取出0.1升,求小杯水中含有这个细菌的概率.学生分析：细菌在1升水的杯中任何位置的机会是等可能的，但细菌所在的位置却是无限多个的，因而不能利用古典概型。

几何概型的教学设计（一）知识回顾、温故知新1、什么叫基本事件？试验中可能出现的结果2、古典概型的两个基本特点是什么？（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;（2）每个基本事件出现的可能性相等.3、在古典概型下，如何计算随机事件A出现的概率？（二）创设情景，引入课题问题1．取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m的概率有多大？问题2.转盘上有8个面积相等的扇形。

转动转盘，求转盘停止转动时指针落在白色区域部分的概率。

问题3.在500ml的水中有一只草履虫，现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，求发现草履虫的概率。

思考：1、试验中的基本事件是什么？有多少个基本事件？2、每个基本事件的发生是等可能的吗？3、符合古典概型的特点吗？能用古典概型描述该事件的概率吗？为什么？思考：如何求出上述问题的概率呢？【学生活动】根据生活经验学生通过思考，不难得出答案：问题1利用长度比来计算概率问题2利用面积比来计算概率问题3利用体积比来计算概率思考：上面三个随机试验有什么共同特点？结论：（1）一次试验可能出现的结果有无限多个；（2）每个结果的发生都具有等可能性．（三）、探究新知、建构模型由上面问题的研究我们可以探讨1、几何概型的概念：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的几何度量（长度、面积或体积等)成正比,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.2、在几何概型中，事件A的概率计算公式3、几何概型的基本特点：１）试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；２）每个基本事件出现的可能性相等．4、对比古典概型与几何概型的基本特点，找出他们的异同点（四）知识深化，强化技能对于几何概型问题，求解的关键是确定事件A对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率。

例1、一海豚在水池中自由游弋，水池是长30m，宽20m的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸不超过2m的概率．本题由学生独立思考，代表发言，生生补充，教师评价完成解题过程。

3.3.1 几何概型整体设计教学分析这部分是新增加的内容.介绍几何概型主要是为了更广泛地满足随机模拟的需要,但是对几何概型的要求仅限于初步体会几何概型的意义,所以教科书中选的例题都是比较简单的.随机模拟部分是本节的重点内容.几何概型是另一类等可能概型,它与古典概型的区别在于试验的结果不是有限个,利用几何概型可以很容易举出概率为0的事件不是不可能事件的例子,概率为1的事件不是必然事件的例子.利用古典概型产生的随机数是取整数值的随机数,是离散型随机变量的一个样本;利用几何概型产生的随机数是取值在一个区间的随机数,是连续型随机变量的一个样本.比如［0,1］区间上的均匀随机数,是服从［0,1］区间上均匀分布的随机变量的一个样本.随机模拟中的统计思想是用频率估计概率.本节的教学需要一些实物模型为教具,如教科书中的转盘模型、例3中的随机撒豆子的模型等.教学中应当注意让学生实际动手操作,以使学生相信模拟结果的真实性,然后再通过计算机或计算器产生均匀随机数进行模拟试验,得到模拟的结果.在这个过程中,要让学生体会结果的随机性与规律性,体会随着试验次数的增加,结果的精度会越来越高.随机数的产生与随机模拟的教学中要充分使用信息技术,让学生亲自动手产生随机数,进行模拟活动.几何概型也是一种概率模型,它与古典概型的区别是试验的可能结果不是有限个.它的特点是在一个区域内均匀分布,所以随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状、位置无关,只与该区域的大小有关.如果随机事件所在区域是一个单点,由于单点的长度、面积、体积均为0,则它出现的概率为0,但它不是不可能事件;如果一个随机事件所在区域是全部区域扣除一个单点,则它出现的概率为1,但它不是必然事件.均匀分布是一种常用的连续型分布,它来源于几何概型.由于没有讲随机变量的定义,教科书中均匀分布的定义仅是描述性的,不是严格的数学定义,要求学生体会如果X落到［0,1］区间内任何一点是等可能的,则称X为［0,1］区间上的均匀随机数.三维目标1.通过师生共同探究,体会数学知识的形成,正确理解几何概型的概念；掌握几何概型的概率公式：P （A ）=)()(面积或体积的区域长度试验的全部结果所构成面积或体积的区域长度构成事件A ,学会应用数学知识来解决问题,体会数学知识与现实世界的联系,培养逻辑推理能力.2.本节课的主要特点是随机试验多,学习时养成勤学严谨的学习习惯,会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型,会进行简单的几何概率计算,培养学生从有限向无限探究的意识.重点难点教学重点：理解几何概型的定义、特点,会用公式计算几何概率.教学难点：等可能性的判断与几何概型和古典概型的区别.课时安排1课时教学过程导入新课思路1复习古典概型的两个基本特点：（1）所有的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件发生都是等可能的.那么对于有无限多个试验结果的情况相应的概率应如何求呢?为此我们学习几何概型,教师板书本节课题几何概型.思路2下图中有两个转盘,甲、乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B 区域时,甲获胜,否则乙获胜.在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少?为解决这个问题,我们学习几何概型.思路3在概率论发展的早期,人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果的随机试验是不够的,还必须考虑有无限多个试验结果的情况.例如一个人到单位的时间可能是8：00至9：00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一个石子,石子可能落在方格中的任何一点……这些试验可能出现的结果都是无限多个.这就是我们要学习的几何概型.推进新课新知探究提出问题(1)随意抛掷一枚均匀硬币两次,求两次出现相同面的概率？(2)试验1.取一根长度为3 m 的绳子,拉直后在任意位置剪断.问剪得两段的长都不小于1 m 的概率有多大？试验2.射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环.从外向内为白色,黑色,蓝色,红色,靶心是金色.金色靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为122 cm,靶心直径为12.2 cm.运动员在70 m 外射箭.假设射箭都能射中靶面内任何一点都是等可能的.问射中黄心的概率为多少？(3)问题(1)(2)中的基本事件有什么特点?两事件的本质区别是什么?(4)什么是几何概型?它有什么特点?(5)如何计算几何概型的概率?有什么样的公式?(6)古典概型和几何概型有什么区别和联系?活动：学生根据问题思考讨论,回顾古典概型的特点,把问题转化为学过的知识解决,教师引导学生比较概括.讨论结果：(1)硬币落地后会出现四种结果：分别记作（正,正）、（正,反）、（反,正）、（反,反）.每种结果出现的概率相等,P （正,正）=P （正,反）=P （反,正）=P （反,反）=1/4.两次出现相同面的概率为214141=+. (2)经分析,第一个试验,从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为3 m 的绳子上的任意一点.第二个试验中,射中靶面上每一点都是一个基本事件,这一点可以是靶面直径为122 cm 的大圆内的任意一点.在这两个问题中,基本事件有无限多个,虽然类似于古典概型的“等可能性”,但是显然不能用古典概型的方法求解.考虑第一个问题,如右图,记“剪得两段的长都不小于1 m”为事件A.把绳子三等分,于是当剪断位置处在中间一段上时,事件A 发生.由于中间一段的长度等于绳长的31, 于是事件A 发生的概率P(A)=31.第二个问题,如右图,记“射中黄心”为事件B,由于中靶心随机地落在面积为41×π×1222 cm 2的大圆内,而当中靶点落在面积为41×π×12.22 cm 2的黄心内时,事件B 发生,于是事件B 发生的概率P(B)=22122412.1241⨯⨯⨯⨯ππ=0.01.(3)硬币落地后会出现四种结果（正,正）、（正,反）、（反,正）、（反,反）是等可能的,绳子从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为3 m 的绳子上的任意一点,也是等可能的,射中靶面内任何一点都是等可能的,但是硬币落地后只出现四种结果,是有限的;而剪断绳子的点和射中靶面的点是无限的;即一个基本事件是有限的,而另一个基本事件是无限的.(4)几何概型.对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中的每一个点被取到的机会都一样,而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机试验,称为几何概型.如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型（geometric models of probability ）,简称几何概型.几何概型的基本特点：a.试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；b.每个基本事件出现的可能性相等.(5)几何概型的概率公式：P （A ）=)()(面积或体积的区域长度试验的全部结果所构成面积或体积的区域长度构成事件A . (6)古典概型和几何概型的联系是每个基本事件的发生都是等可能的;区别是古典概型的基本事件是有限的,而几何概型的基本事件是无限的,另外两种概型的概率计算公式的含义也不同.应用示例思路1例1 判断下列试验中事件A发生的概率是古典概型,还是几何概型.（1）抛掷两颗骰子,求出现两个“4点”的概率;（2）如下图所示,图中有一个转盘,甲、乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B区域时,甲获胜,否则乙获胜,求甲获胜的概率.活动：学生紧紧抓住古典概型和几何概型的区别和联系,然后判断.解：（1）抛掷两颗骰子,出现的可能结果有6×6=36种,且它们都是等可能的,因此属于古典概型;（2）游戏中指针指向B区域时有无限多个结果,而且不难发现“指针落在阴影部分”,概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量,即与区域长度有关,因此属于几何概型.点评：本题考查的是几何概型与古典概型的特点,古典概型具有有限性和等可能性.而几何概型则是在试验中出现无限多个结果,且与事件的区域长度有关.例2 某人午休醒来,发觉表停了,他打开收音机想听电台整点报时,求他等待的时间短于10分钟的概率.活动：学生分析,教师引导,假设他在0—60之间的任一时刻,打开收音机是等可能的,但0—60之间有无数个时刻,不能用古典概型的公式来计算随机事件发生的概率,因为他在0—60之间的任一时刻打开收音机是等可能的,所以他在哪个时间段打开收音机的概率只与该时间段的长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件,所以可用几何概型的概率计算公式计算.解：记“等待的时间小于10分钟”为事件A,打开收音机的时刻位于［50,60］时间段内则事件A发生.由几何概型的求概率公式得P（A）=（60-50）/60=1/6，即“等待报时的时间不超过10分钟”的概率为1/6.打开收音机的时刻X是随机的,可以是0—60之间的任何时刻,且是等可能的.我们称X服从［0,60］上的均匀分布,X 称为［0,60］上的均匀随机数.变式训练某路公共汽车5分钟一班准时到达某车站,求任一人在该车站等车时间少于3分钟的概率（假定车到来后每人都能上）.解：可以认为人在任一时刻到站是等可能的.设上一班车离站时刻为a,则某人到站的一切可能时刻为Ω=(a,a+5),记A g ={等车时间少于3分钟},则他到站的时刻只能为g=(a+2,a+5)中的任一时刻,故P(A g )=53=Ω的长度的长度g . 点评：通过实例初步体会几何概型的意义.思路2例1 某人欲从某车站乘车出差,已知该站发往各站的客车均每小时一班,求此人等车时间不多于20分钟的概率.活动：假设他在0—60分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的,但在0到60分钟之间有无穷多个时刻,不能用古典概型公式计算随机事件发生的概率.可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率.因为客车每小时一班,他在0到60分钟之间任何一个时刻到站等车是等可能的,所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件.解：设A={等待的时间不多于10分钟},我们所关心的事件A 恰好是到站等车的时刻位于［40,60］这一时间段内,因此由几何概型的概率公式,得P （A ）=（60-40）/60=1/3. 即此人等车时间不多于10分钟的概率为1/3.点评：在本例中,到站等车的时刻X 是随机的,可以是0到60之间的任何一刻,并且是等可能的,我们称X 服从［0,60］上的均匀分布,X 为［0,60］上的均匀随机数.变式训练在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油,假设在海域中任意一点钻探,钻到油层面的概率是多少？分析：石油在1万平方千米的海域大陆架的分布可以看作是随机的，而40平方千米可看作构成事件的区域面积,由几何概型公式可以求得概率.解：记“钻到油层面”为事件A,则P(A)=0.004.答：钻到油层面的概率是0.004.例2 小明家的晚报在下午5：30—6：30之间任何一个时间随机地被送到,小明一家人在下午6：00—7：00之间的任何一个时间随机地开始晚餐.则晚报在晚餐开始之前被送到的概率是多少？活动：学生读题,设法利用几何概型公式求得概率.解：建立平面直角坐标系,如右图中x=6,x=7,y=5.5,y=6.5围成一个正方形区域G .设晚餐在x （6≤x≤7）时开始,晚报在y （5.5≤y≤6.5）时被送到,这个结果与平面上的点（x,y ）对应.于是试验的所有可能结果就与G 中的所有点一一对应.由题意知,每一个试验结果出现的可能性是相同的,因此,试验属于几何概型.晚报在晚餐开始之前被送到,当且仅当y<x,因此图中的阴影区域g 就表示“晚报在晚餐开始之前被送到”.容易求得g 的面积为87,G 的面积为1.由几何概型的概率公式,“晚报在晚餐开始之前被送到”的概率为P （A ）=87 的面积的面积G g . 变式训练 在1升高产小麦种子中混入了一种带麦锈病的种子,从中随机取出10毫升,则取出的种子中含有麦锈病的种子的概率是多少？分析：病种子在这1升中的分布可以看作是随机的,取得的10毫升种子可视作构成事件的区域,1升种子可视作试验的所有结果构成的区域,可用“体积比”公式计算其概率.解：取出10毫升种子,其中“含有病种子”这一事件记为A,则P(A)=0.01.所以取出的种子中含有麦锈病的种子的概率是0.01.知能训练1.已知地铁列车每10 min 一班,在车站停1 min,求乘客到达站台立即乘上车的概率. 解：由几何概型知,所求事件A 的概率为P(A)=111. 2.两根相距6 m 的木杆上系一根绳子,并在绳子上挂一盏灯,求灯与两端距离都大于2 m 的概率.解：记“灯与两端距离都大于2 m”为事件A,则P(A)=62=31. 3.在500 mL 的水中有一个草履虫,现从中随机取出2 mL 水样放到显微镜下观察,则发现草履虫的概率是（ ）A.0.5B.0.4C.0.004D.不能确定解析：由于取水样的随机性,所求事件A ：“在取出2 mL 的水样中有草履虫”的概率等于水样的体积与总体积之比5002=0.004. 答案：C4.平面上画了一些彼此相距2a 的平行线,把一枚半径r<a 的硬币任意掷在这个平面上,求硬币不与任何一条平行线相碰的概率.解：把“硬币不与任一条平行线相碰”的事件记为事件A,为了确定硬币的位置,由硬币中心O 向靠得最近的平行线引垂线OM,垂足为M,如右图所示,这样线段OM 长度（记作OM ）的取值范围就是［0,a ］,只有当r ＜OM≤a 时硬币不与平行线相碰,所以所求事件A 的概率就是P（A ）=ar a a a r -=的长度的长度],0[],(.拓展提升1.约会问题两人相约8点到9点在某地会面,先到者等候另一人20分钟,过时就可离去,试求这两人能会面的概率.解：因为两人谁也没有讲好确切的时间,故样本点由两个数（甲、乙两人各自到达的时刻）组成.以8点钟作为计算时间的起点,设甲、乙各在第x 分钟和第y 分钟到达,则样本空间为Ω：{(x,y)|0≤x≤60,0≤y≤60},画成图为一正方形.以x,y 分别表示两人的到达时刻,则两人能会面的充要条件为|x-y|≤20.这是一个几何概率问题,可能的结果全体是边长为60的正方形里的点,能会面的点的区域用阴影标出（如下图）.所求概率为P=95604060222=-=的面积的面积G g .2.（蒲丰(Buffon)投针问题）平面上画很多平行线,间距为a.向此平面投掷长为l(l<a)的针,求此针与任一平行线相交的概率.解：以针的任一位置为样本点,它可以由两个数决定：针的中点与最接近的平行线之间的距离x,针与平行线的交角φ（见下图左）.样本空间为Ω:{(φ,x),0≤φ≤π,0≤x≤a/2},为一矩形.针与平行线相交的充要条件是g：x≤2lsinφ（见下图右).所求概率是P=的面积的面积Ωgππφφπaladl22/sin)2/(0=∙∙=⎰.注：因为概率P可以用多次重复试验的频率来近似,由此可以得到π的近似值.方法是重复投针N次,（或一次投针若干枚,总计N枚）,统计与平行线相交的次数n,则P≈n/N.又因a与l 都可精确测量,故从2l/aπ≈n/N,可解得π≈2lN/an.历史上有不少人做过这个试验.做得最好的一位投掷了3 408次,算得π≈3.141 592 9,其精确度已经达到小数点后第六位.设计一个随机试验,通过大量重复试验得到某种结果,以确定我们感兴趣的某个量,由此而发展的蒙特卡洛(Monte-Carlo)方法为这种计算提供了一种途径.课堂小结几何概型是区别于古典概型的又一概率模型,使用几何概型的概率计算公式时,一定要注意其适用条件：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度成比例.作业课本习题3.3A组1、2、3.。

《几何概型》教案教材分析：几何概型是在古典概型基础上进一步的发展，是等可能事件的概念从有限向无限的延伸.几何概型的基本特点是：在每次随机试验中，不同的试验结果有无限多个，即基本事件有无限个；在这个随机试验中，每个试验结果出现的可能性相等，即基本事件是等可能的.几何概型与古典概型的区别在于，几何概型是无限个等可能事件的情况，而古典概型中的等可能事件只有有限个.教材从两者的比较入手，通过分析简单的几何概型的例子入手引出几何概型的计算方法。

本节安排的例题和习题分别从一维的长度，二维的面积，三维的体积作为测度进行分析的.教学目标：知识与技能：1.学生初步掌握并运用几何概型解决有关概率问题；2、能够正确区分几何概型与古典概型；3、提高学生判断与选择几何概型的概率公式的能力；过程与方法：通过实例把几何概型与古典概型进行比较分析发掘几何概型的特点以及几何概型的概率计算方法；情感态度价值观：学生体会数学来源于实践，并且培养学生发现问题、分析问题进而解决问题的良好习惯.教学重点与难点：重点：几何概型的特点及其几何概型的概率公式的判断与选择；难点：几何概型的概率公式的判断与选择.教学方法：探究性学习，体现以“教师为主导，学生为主体”教学过程:一、知识回顾1.古典概型的特点2.概率公式：二、探索研究【对比研究】(骰子游戏)：甲乙两人掷骰子，掷一次，规定谁掷出6点朝上则谁胜，请问甲、乙谁获胜的概率大？学生分析：掷骰子的结果是有限个，且掷得每个结果都是等可能性的，符合古典概型的特点，因而可以利用古典概型计算；学生求解：1;6p=甲16p=乙。

（转盘游戏）：图中有两个转盘.甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B区域时,甲获胜,否则乙获胜.在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少?①②师生共同分析：1、指针指向的每个方向都是等可能性的，但指针所指的位置却是无限个的，因而不是古典概型；2、利用B区域的所对弧长、所占的角度或所占的面积与整个圆的弧长、角度或面积成比例研究概率；学生求解：法一（利用B区域所占的弧长）：1(1)();2B p B ==所在扇形区域的弧长整个圆的弧长3(2)().5B p B ==所在扇形区域的弧长整个圆的弧长法二（利用B 区域所占的圆心角）：1801(1)();3602B p B ︒︒===所在圆心角的大小圆周角336035(2)();3605B p B ︒︒⨯===所在圆心角的大小圆周角 法三（利用B 区域所占的面积）：1(1)();2B p B ==所在扇形的面积整个圆的面积3(2)().5B p B ==所在扇形的面积整个圆的面积【提出问题】⑴两个问题中，求概率的方法一样吗？若不一样,请问是什么原因？ ⑵你是如何解决这些问题的？学生对比分析：⑴ 骰子游戏中色子的六个面上的数字是有限个的，且每次投掷都是等可能性的，因而是古典概型；转盘游戏中指针指向的每个方向都是等可能性的，但指针所指的方向却是无限个的，因而不是古典概型.⑵借助几何图形的长度、面积等计算概率；【问题探究】分析下列三个问题的概率，从中你能得出哪些求概率的结论？问题 1（绳子问题）：某人在家门前相距6米的两棵树间系一条绳子，并在绳子上挂一个衣架，求衣架钩与两树的距离都大于2米的概率.学生分析：衣架钩与两树的距离都大于2米, 所以衣架钩应在图中B 、C 之间的任何一点都可以，结果有无数多种，而且等可能，所以不是古典概型；学生求解:记“衣架钩与两树的距离都大于2米”为事件A ， 所以30P()0.650A == 学生归纳：1、该概率的特点不符合古典概型，不能利用古典概型；2、A P()A =构成事件的区域长度试验的全部结果构成的区域长度 问题2（撒豆子问题）：如图,假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆,计算它落到阴影部分的概率.学生分析：豆子撒在图形的每个位置的机会是等可能的，但豆子的位置却是无限多个的，因而不能利用古典概型。

第3节几何概型[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P135～P136，回答下列问题．(1)教材问题中甲获胜的概率与什么因素有关？提示：与两图中标注B的扇形区域的圆弧的长度有关．(2)教材问题中试验的结果有多少个？其发生的概率相等吗？提示：试验结果有无穷个，但每个试验结果发生的概率相等．2．归纳总结，核心必记(1)几何概型的定义与特点①定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．②特点：(ⅰ)可能出现的结果有无限多个；(ⅱ)每个结果发生的可能性相等．(2)几何概型中事件A的概率的计算公式P(A)＝构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.[问题思考](1)几何概型有何特点？提示：几何概型的特点有：①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；②每个基本事件出现的可能性相等．(2)古典概型与几何概型有何区别？提示：几何概型也是一种概率模型，它与古典概型的区别是：古典概型的试验结果是有限的，而几何概型的试验结果是无限的．[课前反思]通过以上预习，必须掌握的几个知识点：(1)几何概型的定义：；(2)几何概型的特点：；(3)几何概型的计算公式：.某班公交车到终点站的时间可能是11∶30－12∶00之间的任何一个时刻．往方格中投一粒芝麻，芝麻可能落在方格中的任何一点上．[思考1] 这两个试验可能出现的结果是有限个，还是无限个？提示：无限多个．[思考2]古典概型和几何概型的异同是什么？名师指津：古典概型和几何概型的异同如表所示：名称古典概型几何概型相同点基本事件发生的可能性相等不同点①基本事件有限个①基本事件无限个②P(A)＝0⇔A为不可能事件②P(A)＝0A为不可能事件③P(B)＝1⇔B为必然事件③P(B)＝1B为必然事件讲一讲1．取一根长为5 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于2 m 的概率有多大？[尝试解答] 如图所示．记“剪得两段绳长都不小于2 m”为事件A.把绳子五等分，当剪断位置处在中间一段上时，事件A发生．由于中间一段的长度等于绳长的15，所以事件A发生的概率P(A)＝15.求解与长度有关的几何概型的关键点在求解与长度有关的几何概型时，首先找到试验的全部结果构成的区域D，这时区域D 可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A发生对应的区域d，在找d的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到不会影响事件A的概率．练一练1．(2016·全国乙卷)某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A.13B.12C.23D.34解析：选B 如图，7：50至8：30之间的时间长度为40 分钟，而小明等车时间不超过10 分钟是指小明在7：50至8：00之间或8：20至8：30之间到达发车站，此两种情况下的时间长度之和为20 分钟，由几何概型概率公式知所求概率为P＝2040＝12.故选B.讲一讲2．(2014·辽宁高考)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是( )A.π2B.π4C.π6D.π8[尝试解答] 由几何概型的概率公式可知，质点落在以AB为直径的半圆内的概率P＝半圆的面积长方形的面积＝12π·121×2＝π4，故选B.答案：B解与面积相关的几何概型问题的三个关键点(1)根据题意确认是否是与面积有关的几何概型问题；(2)找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积；(3)套用公式，从而求得随机事件的概率．练一练2．如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是( )A ．1－π4 B.π2－1 C ．2－π2 D.π4解析：选A 由几何概型知所求的概率P ＝S 图形DEBF S 矩形ABCD ＝2×1－14×π×12×22×1＝1－π4. 讲一讲3．如图，在棱长为2的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1 中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1 内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．[尝试解答] 点P 到点O 的距离大于1的点位于以O 为球心，以1为半径的半球外．记点P 到点O 的距离大于1为事件A ，则P (A )＝23－12×4π3×1323＝1－π12. 答案：1－π12如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的区域体积及事件A 所占的区域体积．练一练3．如图所示，有一瓶2升的水，其中含有1个细菌．用一小水杯从这瓶水中取出0.1升水，求小杯水中含有这个细菌的概率．解：记“小杯水中含有这个细菌”为事件A ，则事件A 的概率只与取出的水的体积有关，符合几何概型的条件．∵小水杯中有0.1升水，原瓶中有2升水，∴由几何概型求概率的公式得P (A )＝0.12＝0.05. ——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重点是了解几何概型的意义，会求几何概型的概率．难点是理解几何概型的特点和计算公式．2．本节课要掌握以下几类问题：(1)理解几何概型，注意与长度有关的几何概型的求解关键点，见讲1.(2)求解与面积相关的几何概型问题的三个关键点，见讲2.(3)注意与体积有关的几何概型的求解策略，见讲3.3．本节课的易错点：不能正确求出相关线段的长度或相关区域的面积或相关空间的体积，如讲1,2,3.课下能力提升(十九)[学业水平达标练]题组1 与长度有关的几何概型1．在区间[－2,3]上随机选取一个数X ，则X ≤1的概率为( )A.45B.35C.25D.15解析：选B 在区间[－2,3]上随机选取一个数X ，则X ≤1，即－2≤X ≤1的概率为P ＝35. 2．已知地铁列车每10 min 一班，在车站停1 min ，则乘客到达站台立即乘上车的概率是( )A.110B.19C.111D.18解析：选A 试验的所有结果构成的区域长度为10 min ，而构成事件A 的区域长度为1min ，故P (A )＝110. 3．在区间[－2,4]上随机取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为56，则m ＝________. 解析：由|x |≤m ，得－m ≤x ≤m ，当m ≤2时，由题意得2m 6＝56，解得m ＝2.5，矛盾，舍去．当2<m<4时，由题意得m－－26＝56，解得m＝3.答案：34．如图所示，在单位圆O的某一直径上随机地取一点Q，求过点Q且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率．解：弦长不超过1，即|OQ|≥32，而Q点在直径AB上是随机的，记事件A＝{弦长超过1}．由几何概型的概率公式得P(A)＝32×22＝32.∴弦长不超过1的概率为1－P(A)＝1－32.题组2 与面积、体积有关的几何概型5.在如图所示的正方形中随机撒入 1 000粒芝麻，则撒入圆内的芝麻数大约为________(结果保留整数)．解析：设正方形边长为2a，则S正＝4a2，S圆＝πa2.因此芝麻落入圆内的概率为P＝πa24a2＝π4，大约有1 000×π4≈785(粒)．答案：7856．一个球型容器的半径为3 cm，里面装有纯净水，因为实验人员不小心混入了一个H7N9病毒，从中任取1 mL水，含有H7N9病毒的概率是________．解析：水的体积为43πR3＝43×π×33＝36π(cm3)＝36π(mL)．故含有病毒的概率为P＝136π.答案：136π7．(2015·西安质检)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1内随机取点，则该点落在三棱锥A1­ABC内的概率是________．解析：设正方体的棱长为a ，则所求概率P ＝VA 1­ABC VABCD­A 1B 1C 1D 1＝13×12a 2·a a 3＝16. 答案：168．如图所示，图2中实线围成的部分是长方体(图1)的平面展开图，其中四边形ABCD 是边长为1的正方形．若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是14，则此长方体的体积是________．解析：设长方体的高为h ，由几何概型的概率计算公式可知，质点落在长方体的平面展开图内的概率P ＝2＋4h 2h ＋22h ＋1＝14，解得h ＝3或h ＝－12(舍去)，故长方体的体积为1×1×3＝3. 答案：39．在街道旁边有一游戏：在铺满边长为9 cm 的正方形塑料板的宽广地面上，掷一枚半径为1 cm 的小圆板．规则如下：每掷一次交5角钱，若小圆板压在边上，可重掷一次；若掷在正方形内，需再交5角钱才可玩；若压在正方形塑料板的顶点上，可获得一元钱．试问：(1)小圆板压在塑料板的边上的概率是多少？(2)小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少？解：(1)如图(1)所示，因为O 落在正方形ABCD 内任何位置是等可能的，小圆板与正方形塑料板ABCD 的边相交接是在圆板的中心O 到与它靠近的边的距离不超过1 cm 时，所以O 落在图中阴影部分时，小圆板就能与塑料板ABCD 的边相交接，这个范围的面积等于92－72＝32(cm 2)，因此所求的概率是3292＝3281.(2)小圆板与正方形的顶点相交接是在圆心O 与正方形的顶点的距离不超过小圆板的半径1 cm 时，如图(2)阴影部分，四块合起来面积为π cm 2，故所求概率是π81. [能力提升综合练]1．下列关于几何概型的说法中，错误的是( )A ．几何概型是古典概型的一种，基本事件都具有等可能性B ．几何概型中事件发生的概率与它的位置或形状无关C ．几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限多个D ．几何概型中每个结果的发生都具有等可能性解析：选A 几何概型和古典概型是两种不同的概率模型，故选A.2．已有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )解析：选A 利用几何概型的概率公式，得P (A )＝38，P (B )＝28，P (C )＝26，P (D )＝13， ∴P (A )＞P (C )＝P (D )＞P (B )，故选A.3．如图，在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于S4的概率是( )A.14B.12C.34D.23解析：选C 因为△ABC 与△PBC 是等高的，所以事件“△PBC 的面积大于S4”等价于事件“|BP |∶|AB |＞14”．即P (△PBC 的面积大于S 4)＝|PA ||BA |＝34. 4．已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机地取一点P ，使△APB 的最大边是AB ”发生的概率为12，则AD AB＝( )A.12B.14C.32D.74解析：选D 依题可知，设E ，F 是CD 上的四等分点，则P 只能在线段EF 上且BF ＝AB .不妨设CD ＝AB ＝a ，BC ＝b ，则有b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 42＝a 2，即b 2＝716a 2，故b a ＝74.5．(2016·石家庄高一检测)如图，在平面直角坐标系内，射线OT 落在60°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠xOT 内的概率为________．解析：记“射线OA 落在∠xOT 内”为事件A .构成事件A 的区域最大角度是60°，所有基本事件对应的区域最大角度是360°，所以由几何概型的概率公式得P (A )＝60°360°＝16. 答案：166．一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中M 是AB 的中点．一只苍蝇在几何体ADF ­BCE 内自由飞行，求它飞入几何体F ­AMCD 内的概率．解：由三视图可得直观图为直三棱柱且底面ADF 中AD ⊥DF ，DF ＝AD ＝DC ＝a .因为V F ­AMCD ＝13S 四边形AMCD ×DF ＝13×12(12a ＋a )·a ·a ＝14a 3， V ADF ­BCE ＝12a 2·a ＝12a 3，所以苍蝇飞入几何体F ­AMCD 内的概率为14a 312a 3＝12. 7．在长度为10 cm 的线段AD 上任取两点B ，C .在B ，C 处折此线段而得一折线，求此折线能构成三角形的概率． 解：设AB ，AC 的长度分别为x ，y ，由于B ，C 在线段AD 上，因而应有0≤x ，y ≤10，由此可见，点对(B ，C )与正方形K ＝{(x ，y )|0≤x ≤10,0≤y ≤10}中的点(x ，y )是一一对应的，先设x <y ，这时，AB ，BC ，CD 能构成三角形的充要条件是AB ＋BC >CD ，BC ＋CD >AB ，CD ＋AB >BC ，注意AB ＝x ，BC ＝y －x ，CD ＝10－y ，代入上面三式，得y >5，x <5，y －x <5，符合此条件的点(x ，y )必落在△GFE 中(如图)．同样地，当y <x 时，当且仅当点(x ，y )落在△EHI 中，AC ，CB ，BD 能构成三角形， 利用几何概型可知，所求的概率为S △GFE ＋S △EHI S 正方形＝14.。

几何概型教案一、教学目标：（1）知识与技能目标 ：通过具体实例正确理解几何概型定义及与古典概型的区别；掌握几何概型的概率计算公式并能解决简单实际问题 。

（2）过程与方法目标 ：通过解决引例问题及归纳定义、公式，体验从特殊到一般的思想方法；通过实际问题，培养学生数学建模能力；通过对问题的观察、对比和交流讨论，领悟类比思想与转化思想.（3）情感、态度与价值观目标 ：通过对几何概型的教学，培养学生独立思考探索的能力，增强学生合作交流的机会，帮助学生树立科学的世界观和辩证的思想.二、教学重点、难点：重点：几何概型的判断及几何概型中概率的计算公式难点：选择正确的几何度量,通过数学建模解决实际问题三、教学方法：引导发现式四、教学手段：多媒体辅助式教学五、教学过程;(一) 复习提问上节课我们学习了古典概型，大家还记得它的特点和求概率公式吗？1、古典概型的两个特点:(1)有限性:试验中所有可能出现的基本事件只有有限个.(2)等可能性:每个基本事件出现的可能性相等.2、计算古典概型的公式：（二）问题情境我们来看一个很简单的古典概型问题 1、从区间[0，10]内任取一个整数 ，求取到(1,3)x ∈的概率。

2、从区间[0，10]内任取一个实数 ，求取到(1,3)x ∈的概率。

（三）归纳特点从刚才问题中，你能发现上述概型有什么特点吗？（1）试验中所有可能出现的基本事件有无限多个;（2）每个基本事件出现的可能性相等.如果满足这两个特点的概型我们把他叫做几何概型。

（四）得出定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型。

概率计算公式:x xP(A)= 构成事件A 的区域长度(面积或体积) 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)（五）例题分析【例1】某人午休醒来，发觉表停了，他打开收音机想听电台整点报时，求他等待的时间短于10分钟的概率.分析：假如他在0～60分钟之间任何一个时刻打开收音机是等可能的，但0～60之间有无穷个时刻，不能用古典概型的公式计算随机事件发生的概率。

第一课时 3.3.1 几何概型教学要求：结合已学过两种随机事件发生的概率的方法，更进一步研究试验结果为无穷多时的概率问题理解几何概型的定义与计算公式.教学重点：初步体会几何概型的意义.教学难点：对几何概型的理解.教学过程：一、复习准备：1. 回忆基本事件的两个特点：（1）任何两个基本事件是互斥的。

（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和.2．回忆古典概型有两个特征：有限性和等可能性.3．提出问题：在现实生活中，常常遇到试验结果是无穷多的情况，那又怎样计算呢？二、讲授新课：1. 教学：几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型（geometric models of probability ）简称为几何概型.在几何概型中，事件A 概率计算公式为：()()()A P A =构成事件的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积几何概型的特点：在一个区域内均匀分布，只与该区域的大小有关.几何概型与古典概型的区别：试验的结果不是有限个.例1 某路公共汽车5分钟一班准时到达某车站，求任一人在该车站等车时间少于3分钟的概率（假定车到来后每人都能上）．可以认为人在任一时刻到站是等可能的． 设上一班车离站时刻为a ，则某人到站的一切可能时刻为 Ω= (a, a+5)，记A={等车时间少于3分钟}，则他到站的时刻只能为g = (a+2, a+5)中的任一时刻，故3()5g P A ==Ω的长度的长度 例2.某个人午觉醒来，他打开收音机。

想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率.分析：在0到60分钟任一时刻打开收音机是等可能的，但0到60分钟之间有无穷个时刻，不能用古典概型的公式计算，，因为是等可能的，所以他在哪一时段打开收音机的概率只与该时段的长度有关而与位置无关，这符合几何概型的要求.）3. 小结： 如何利用几何概型事件和随机模拟方法来求一些求知量？三、巩固练习：1.（会面问题）两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时离去．求两人会面的概率.答案：592.猪八戒每天早上7点至9点之间起床，求它在7点半之前起床的概率.（将问题转化为时间长度）1. 作业：P137，A 组第1题第二课时 3.3.2均匀随机数的产生教学要求：让学生知道如何利用计算机Excel 软件产生均匀随机数关利用随机模拟方法估计求知量.教学重点：体会随机模拟中的统计思想.教学难点：如何把求未知量的问题转化为几何概型概率的问题.教学过程：一、复习准备：1. 回忆：几何概型的定义，以及相关的古典概型中的随机模拟方法.二、讲授新课：1.教学：均匀随机数的产生操作方法与整数值随机数产生的方法相同，前面学生有了基础这里易掌握只要老师在课堂是带学生操作一次就行。

§3.3几何概型3.3.1几何概型【明目标、知重点】1．了解几何概型的定义及其特点．2．了解几何概型与古典概型的区别．3．会用几何概型的概率计算公式求几何概型的概率．【填要点、记疑点】1．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的特点(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个．(2)每个基本事件出现的可能性相等．3．几何概型的概率公式P(A)＝构成事件A的区域长度(面积或体积).试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)【探要点、究所然】[情境导学]在现实生活中，常常会遇到试验的所有可能结果是无穷多的情况，例如：一个正方形方格内有一内切圆，往这个方格中投一个石子，求石子落在圆内的概率，由于石子可能落在方格中的任何一点，这个实验不能用古典概型来计算事件发生的概率．对此，我们必须学习新的方法来解决这类问题．探究点一几何概型的概念思考1计算随机事件发生的概率，我们已经学习了哪些方法？答(1)通过做试验或计算机模拟，用频率估计概率；(2)利用古典概型的概率公式计算．思考2某班公交车到终点站的时间可能是11：30～12：00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一粒芝麻，芝麻可能落在方格中的任何一点上．这两个试验可能出现的结果是有限个，还是无限个？若没有人为因素，每个试验结果出现的可能性是否相等？答出现的结果是无限个；每个结果出现的可能性是相等的．思考3下图中有两个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜．你认为甲获胜的概率分别是多少？答 以转盘(1)为游戏工具时，甲获胜的概率为12；以转盘(2)为游戏工具时，甲获胜的概率为35. 思考4 上述每个扇形区域对应的圆弧的长度(或扇形的面积)和它所在位置都是可以变化的，从结论来看，甲获胜的概率与字母B 所在扇形区域的哪个因素有关？哪个因素无关？答 与扇形的弧长(或面积)有关，与扇形区域所在的位置无关．思考5 玩转盘游戏中所求的概率就是几何概型，你能给几何概型下个定义吗？参照古典概型的特征，几何概型有哪两个基本特征？答 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型；几何概型的基本特征：(1)可能出现的结果有无限多个；(2)每个结果发生的可能性相等．思考6 古典概型和几何概型有什么相同点和不同点？答 相同点：两者基本事件发生的可能性都是相等的；不同点：古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个.例1 判断下列试验中事件A 发生的概型是古典概型，还是几何概型．(1)抛掷两颗骰子，求出现两个“4点”的概率；(2)思考3中，求甲获胜的概率．解 (1)抛掷两颗骰子，出现的可能结果有6×6＝36种，且它们都是等可能的，因此属于古典概型；(2)游戏中指针指向B 区域时有无限多个结果，而且不难发现“指针落在阴影部分”，概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量，即与区域面积有关，因此属于几何概型．反思与感悟 判断一个概率是古典概型还是几何概型的步骤：(1)判断一次试验中每个基本事件发生的概率是否相等，若不相等，那么这个概率既不是古典概型也不是几何概型；(2)如果一次试验中每个基本事件发生的概率相等，再判断试验结果的有限性，当试验结果有有限个时，这个概率是古典概型；当试验结果有无限个时，这个概率是几何概型．跟踪训练1 判断下列试验是否为几何概型，并说明理由：(1)某月某日，某个市区降雨的概率．(2)设A 为圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点与A 连接，求弦长超过半径的概率． 解 (1)不是几何概型，因为它不具有等可能性；(2)是几何概型，因为它具有无限性与等可能性． 探究点二 几何概型的概率公式问题 对于具有几何意义的随机事件，或可以化归为几何问题的随机事件，一般都有几何概型的特性，那么，对于属于几何概型的试验，如何求某一事件的概率？有没有求几何概型的概率公式呢？思考1 有一根长度为3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段的长度都不小于1 m的概率是多少？你是怎样计算的？答 从每一个位置剪断都是一个基本事件，剪断位置可以是长度为3 m 的绳子上的任意一点．如上图，记“剪得两段的长都不小于1 m ”为事件A .把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件A 发生．由于中间一段的长度等于绳长的13， 于是事件A 发生的概率P (A )＝13. 思考2 射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的分环，从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色，金色靶心叫“黄心”．奥运会射箭比赛的靶面直径是122 cm ，黄心直径是12.2 cm ，运动员在距离靶面70 m 外射箭．假设射箭都等可能射中靶面内任何一点，那么如何计算射中黄心的概率？答 如右图，由于中靶点随机地落在面积为14×π×1222 cm 2的大圆内， 若要射中黄心，则中靶点落在面积为14×π×12.22 cm 2的圆内， 所以P ＝14×π×12.2214×π×1222＝0.01. 思考3 在装有5升纯净水的容器中放入一个病毒，现从中随机取出1升水，那么这1升水中含有病毒的概率是多少？你是怎样计算的？答 概率为15，由于病毒在5升水中的哪个位置的可能性都有，1升水中含有病毒的概率为1升水的体积除以5升水的体积．思考4 根据上述3个思考中求概率的方法，你能归纳出求几何概型中事件A 发生的概率的计算公式吗？答 P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积). 例2 某公共汽车站每隔10分钟有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求乘客候车时间不超过6分钟的概率．解 如下图所示，设上辆车于时刻T 1到达，而下辆车于时刻T 2到达，则线段T 1T 2的长度为10，设T 是线段T 1T 2上的点，且TT 2的长为6，记“等车时间不超过6分钟”为事件A ，则事件A发生即当点t 落在线段TT 2上，即D ＝T 1T 2＝10，d ＝TT 2＝6.所以P (A )＝d D ＝610＝35. 故乘客候车时间不超过6分钟的概率为35.反思与感悟 数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．利用图解题的关键：首先用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A 满足的几何区域，然后根据构成这两个区域的几何长度(面积或体积)，用几何概型概率公式求出事件A 的概率．跟踪训练2 某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率．解 记“等待的时间小于10分钟”为事件A ，打开收音机的时刻位于[50,60]时间段内则事件A 发生．由几何概型的概率公式求得P (A )＝60－5060＝16， 即“等待报时的时间不超过10分钟”的概率为16. 探究点三 几何概型的应用例3 在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，过直角顶点C 作射线CM 交线段AB 于M ，求使|AM |>|AC |的概率．解设事件D 为“作射线CM ，使|AM |>|AC |”．在AB 上取点C ′使|AC ′|＝|AC |，因为△ACC ′是等腰三角形，所以∠ACC ′＝180°－30°2＝75°， μA ＝90－75＝15，μΩ＝90，所以P (D )＝1590＝16. 反思与感悟 几何概型的关键是选择“测度”，如本例以角度为“测度”．因为射线CM 落在∠ACB 内的任意位置是等可能的．若以长度为“测度”，就是错误的，因为M 在AB 上的落点不是等可能的．跟踪训练3 在△ABC 中，∠B ＝60°，∠C ＝45°，高AD ＝3，在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，求BM <1的概率．解 ∵∠B ＝60°，∠C ＝45°，∴∠BAC ＝75°，在Rt △ADB 中，AD ＝3，∠B ＝60°，∴BD ＝AD tan 60°＝1，∠BAD ＝30°. 记事件N 为“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，使BM <1”，则可得∠BAM <∠BAD 时事件N 发生．由几何概型的概率公式得P (N )＝30°75°＝25.【当堂测、查疑缺】1．下列关于几何概型的说法错误的是( ) A ．几何概型也是古典概型中的一种B ．几何概型中事件发生的概率与位置、形状无关C ．几何概型中每一个结果的发生具有等可能性D ．几何概型在一次试验中能出现的结果有无限个答案 A解析 几何概型与古典概型是两种不同的概型．2．面积为S 的△ABC ，D 是BC 的中点，向△ABC 内部投一点，那么点落在△ABD 内的概率为( ) A.13B.12C.14D.16 答案 B解析 向△ABC 内部投一点的结果有无限个，属于几何概型．设点落在△ABD 内为事件M ，则P (M )＝△ABD 的面积△ABC 的面积＝12. 3．ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为( ) A.π4B ．1－π4 C.π8D ．1－π8 答案 B解析 若以O 为圆心，1为半径作圆，则圆与长方形的公共区域内的点满足到点O 的距离小于或等于1，故所求事件的概率为P (A )＝S 长方形－S 半圆S 长方形＝1－π4. 4．在区间[－1,1]上随机取一个数x ，则sinπx 4的值介于－12与22之间的概率为________． 答案 56解析 ∵－1≤x ≤1，∴－π4≤πx 4≤π4.由－12≤sin πx 4≤22，得－π6≤πx 4≤π4， 即－23≤x ≤1. 故所求事件的概率为1＋232＝56.【呈重点、现规律】1．几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率模型．2．几何概型主要用于解决与长度、面积、体积有关的题目．3．注意理解几何概型与古典概型的区别．4．理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解，概率公式为P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)。

最新人教版高中数学必修3第三章《几何概型》教案《几何概型》教案教学目标：1．正确理解几何概型的概念；可以辨别某种概型就是古典概型还是几何概型；掌控几何概型的概率公式；2．发现法教学，通过师生共同探究，体会数学知识的形成，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力；3．通过自学与探究活动，体会理论源于课堂教学并应用于课堂教学的辩证唯物主义观点．教学重点难点：1．重点：几何概型的概念、公式及应用领域；2．难点：几何概型与古典概型各自的适用范围．教法与学法：1．教法挑选：使用鼓励辨认出和概括归纳结合的教学方法，通过明确提出问题、分析问题、解决问题等教学过程，观测对照、归纳概括几何概型的概念及其概率公式；2．学法指导：以学生活动为主，引导学生在动手操作、实践探索、合作交流的基础上，充分调动学生学习的积极性和主动性．结合本课的实际需要，作如下指导：对于概念，学会几何概型与古典概型的比较；立足基础知识和基本技能，掌握好典型例题；注意数形结合思想的运用，把抽象的问题转化为熟悉的几何概型．教学过程：一、设置情境，引出概念教学教学过程环节问题开篇以一个游如图，存有两个旋钮．甲、乙两人玩玩旋钮游戏，戏开篇，唤起学规定当指针指向ｂ区域时，甲获得胜利，否则乙获得胜利．生自学兴趣，引发学生的主动教师以游戏开篇，在充分调动学生兴趣的情形下，明确提出问题．设计意图师生活动引人深思问题：在以下两种情况下分别谋甲获得胜利的概率．题中甲获得胜利的概率只与图中几何因素有关，我概念介们就说道它就是几何概型．特别注意：（1）这里“只”非常关键，如果没“只”字，那么就意味著几何概型的概率可能将还与思索．得出概念，学生在认知概教师得出概念的基础上，举念，使学生互相出来适当例子，浅探讨，并派遣代表化认知概念．列举适当例子．绍其他因素有关，这就是错误的．为时程难点并作铺垫（2）正确理解“几何因素”，一般说来指区域长度（或面积或体积）如果每个事件出现的概率只与形成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则表示这样的概率模型为几何概率模型，缩写为几何概型．在几何概型中，事件a的概率的计算公式如下：二、例题揭秘，深化概念教学教学过程环节趁热打例1：假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30～7：30之间把报纸送到你家，而你父亲离开家去工作的时间在早上7：00～8：00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸通过例题的讲解，深化对事直接点学生回答，教师予以点设计意图师生活动铁深化概念（称为事件a）的概率是多少．件的分类的理解．评．分析：利用几何概型的公式计算事件的概率．解：如图，正方形区域内任何一点的横坐标表示送报人送到报纸的时间，纵坐标表示父亲离开家去工作的时间．假设随机试验落在正方形内任一点是等可能的，所以符合几何概型的条件．根据题意，只要点落到阴影部分，就表示父亲在离开家前能得到报纸，即事件a发生，所以三、归纳小结，课堂延展教学教学过程环节设计意图师生活动1．几何概型就是区别于古典概型的又一概率模概括小结作业稳固作业布置：课本练型，采用几何概型的概率计算公式时，一定必须特别注意其适用于条件：每个事件出现的概率只与形成该事件区域的长度（面积或体积）成比例．2．几何概型的特点：(1)试验中所有可能将发生稳固新知，由学生谈论体会，师生共同概括总结．础．学打下一定基的结果(基本事件)存有无穷个(2)每个基本事件发生为学生的时程研习的可能性成正比．3．在几何概型中，事件a的概率的计算公式如下：教学设计说明1．教材地位分析：“几何概型”这一节内容是安排在“古典概型”之后的第二类概率模型，是对古典概型内容的进一步拓展，是等可能事件的概念从有限向无限的延伸．此节内容是为更广泛地满足随机模拟的需要而在新课标中增加的，这是与以往教材安排上的最大的不同之处．充分体现了数学与实际生活的紧密关系：来源生活，而又高于生活．同时也暗示了它在概率论中的重要作用，在高考中的题型的转变．2．学生现实分析：由于大部分学生对于数学缺少兴趣，自学数学缺乏主动性，太少动手解题．因此，教学过程中要不断进一步增强学生自学的兴趣，使学生主动自学数学．3.本节课中，从概念的形成到应用建模，再到知识的巩固拓展都是学生在这些活动中完成，教师启发引导下，学生思考、讨论、探究，从而解决问题，充分体现学生的主体地位，而且这种学习方式除了贯穿课堂，也延伸至课外．教师不要一气呵成，而应设计有梯度的问题带动学生学习的积极性，只有学生真正参与课堂，教学效果才是好的，才能教育出真正的人才．。

3.3.1 几何概型备课资料几何概型是高中数学新增加的内容,其特点鲜明,题目类型较为固定.高中数学学习阶段所出现的几何概型问题总结如下.1.与长度有关的几何概型例1 有一段长为10米的木棍,现要将其截成两段,要求每一段都不小于3米,则符合要求的截法的概率是多大？分析：由于要求每一段都不小于3米,也就是说只能在距两端都为3米的中间的4米中截,这是一道非常典型的与长度有关的几何概型问题.解：记两段木棍都不小于3米为事件A,则P(A)=52103310=--. 2.与面积有关的几何概型这里有一道十分有趣的题目：例2 郭靖、潇湘子与金轮法王等武林高手进行一种比赛,比赛规则如下：在很远的地方有一顶帐篷,可以看到里面有一张小方几,要将一枚铜板扔到这张方几上.已知铜板的直径是方几边长的43,谁能将铜板整个地落到方几上就可以进行下一轮比赛.郭靖一扔,铜板落到小方几上,且没有掉下,问他能进入下一轮比赛的概率有多大？分析：这是一道几何概型问题,在几何概型中,样本空间是问题所涉及的整个几何图形,在本题中,样本空间就是小方几的桌面面积.一个事件就是整个几何图形的一部分,这个事件发生的概率就是这部分面积与整个图形的面积比.解：不妨设小方几的边长为1,铜板落到小方几上,也就是铜板的中心落到方几上,而要求整个铜板落到小方几上,也就是要求铜板的中心落到方几中内的一个41×41的小正方形内（如上图）,这时铜板中心到方几边缘的距离≥铜板边长的83.整个方几的面积为1×1=1,而中央小正方形的面积为41×41=161,所以郭靖进入下一轮比赛的概率为1611161=. 例3 甲、乙两人相约在上午9：00至10：00之间在某地见面,可是两人都只能在那里停留5分钟.问两人能够见面的概率有多大？解：设甲到的时间为（9+x ）小时,乙到的时间为（9+y ）小时,则0≤x≤1,0≤y≤1.点（x,y ）形成直角坐标系中的一个边长为1的正方形,以（0,0）,（1,0）,（0,1）,（1,1）为顶点（如右图）.由于两人都只能停留5分钟即121小时,所以在|x-y|≤121时,两人才能会面.由于|x-y|≤121是两条平行直线x-y=121与y-x=121之间的带状区域,正方形在这两个带状区域是两个三角形,其面积之和为(1-121)×(1-121)=(1211)2. 从而带形区域在这个正方形内的面积为1-(1211)2=14423,因此所求的概率为14423114423=. 3.与体积有关的几何概型例4 在5升水中有一个病毒,现从中随机地取出1升水,含有病毒的概率是多大？分析：病毒在这5升水中的分布可以看作是随机的,取得的1升水可以看作构成事件的区域,5升水可以看作是试验的所有结果构成的区域,因此可能用体积比公式计算其概率.解：“取出1升水,其中含有病毒”这一事件记作事件A,则P(A)=51=所有水的体积取出的水的体积=0.2. 从而所求的概率为0.2.现在我们将这个问题拓展一下：例5 在5升水中有两个病毒,现从中随机地取出1升水,含有病毒的概率是多大？分析：此题目与上一题有一点区别,即现在在5升水中含有两个病毒,我们不妨将这两个病毒分别记作病毒甲和病毒乙.随机地取1升水,由上题我们可知含有病毒甲的概率为51,含有病毒乙的概率也是51,而这两种情况都包括了“既有病毒甲又有病毒乙”的情况,所以应当将这种情况去掉. 解：记“取1升水,含有病毒甲”为事件A ；“取1升水,含有病毒乙”为事件B,则“既含有病毒甲又含有病毒乙”为事件AB.从而所求的概率为P=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=25951515151=⨯-+=0.36. 4.与角度有关的几何概型例6 在圆心角为90°的扇形中,以圆心为起点作射线OC,求使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°的概率.解：设事件A 是“作射线OC,求使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°”.则μa =90°-30°-30°=30°,而μΩ=90°,由几何概型的计算公式得P （A ）=319030=︒︒=ΩμμA .注意：在高中数学阶段,我们对于与面积有关的几何概型和与体积有关的几何概型要求重点掌握.这里只是列出了几道与几何概型有关的题目,可以说,在高中数学学习阶段,这四种几何概率模型基本上包括了我们所要学习的几何概型,希望能对大家有一点帮助.。

参赛课题：几何概型使用教材：普通高中课程标准实验教科书数学必修3（人教A版）《几何概型》教案说明一、《几何概型》在教材中的地位本节课是高中数学（必修3）第三章概率的第三节几何概型的第一课时，是在学习了古典概型情况下教学的。

它是对古典概型内容的进一步拓展，主要是要把概率问题与几何问题完美的结合，用数形结合的思想，通过建立基本事件与相应点的对应，实现从有限到无限形式上的转化，使等可能事件的概念从有限向无限延伸，进而建立合理的几何模型解决相关概率问题。

此节内容也是新课标中增加的，反映了《新课标》对数学知识在实际应用方面的重视．同时也暗示了它在概率论中的重要作用，以及在高考中的题型的转变。

二、《几何概型》教学目标定位1、教学目标1）知识目标通过解决具体问题让学生感知用图形解决概率问题的思路，体会几何概型计算公式及几何意义。

2）能力目标通过多个问题的分析及试验让学生理解几何概型的特征，归纳总结出几何概型的概率计算公式，渗透有限到无限，转化与化归及数形结合的思想。

3）情感目标教会学生用数学方法去研究不确定现象的规律，帮助学生获取认识世界的初步知识和科学方法。

2、教学目标的设置意图几何概型概念中的核心是它的两个特征，（1）试验中所有可能出现的基本事件有无限多个；（2）每个基本事件出现的可能性相等（等可能性），所以教学的重点不是“如何计算概率”，而是要引导学生动手操作，开展小组合作学习，通过举出大量的几何概型的实例与数学模型使学生概括、理解、深化几何概型的两个特征及概率计算公式。

同时使学生初步能够把一些实际问题转化为几何概型，并能够合理利用随机、统计、化归、数形结合等数学思想方法有效解决有关的概率问题。

三、《几何概型》的重难点分析1、教学重点：几何概型概念及计算公式的形成过程.2、教学难点：将实际问题转化为数学问题，建立几何概率模型，并求解。

3、诊断分析：本节课让学生动手操作，亲身体验感受基本事件的个数不可数的情形下，从而引起思维的困惑，进而引导学生利用数形结合的思想，通过建立等量替代的关系，实现有限和无限之间的对应转化，从而解决了无限性难以计算的问题，让学生理解这样的对应是内在的，逻辑的，因此建立的度量公式是合理，这是本节课的难点所在，也是学生难以理解的地方。

《几何概型》教案(共2课时)第一课时 3.3.1 几何概型一、教学目标1、知识与技能：通过这节内容学习，让学生理解几何概型，掌握其基本计算方法并会运用．2、过程与方法：通过对照前面学过的知识，让学生自主思考，寻找几何概型的随机模拟计算方法，设计估计未知量的方案，培养学生的实际操作能力．3、情感态度与价值观：通过学习，让学生体会试验结果的随机性与规律性，培养学生的科学思维方法，提高学生对自然界的认知水平．二、教学重点：几何概型的概念，特点及概率的求法教学难点：把实际问题转化为几何概型求概率的问题。

三、教学程序（一）检查预习，导入新课1.我们已经学习了哪两种方法计算随机事件发生的概率？2.古典概型应满足哪些条件？如何计算古典概型的概率？引入：试验的所有可能结果是有限的，并且每个结果发生的可能性相等，这样的随机事件的概率可用古典概型公式求概率。

在现实生活中，常常会遇到所有可能结果是无限个，又如何求概率呢？这就要用到我没们今天学习的几何概型。

（二）引导自学，合作讨论1.问题情境：如图，有两个转盘．甲、乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向Ｂ区域时，甲获胜，否则乙获胜．在下列两种情况下分别求甲获胜的概率．2.合作讨论：（1）几何图形和甲获胜是否有关系，若有关系，和几何体图形的哪些表面特征有关系？学生凭直觉，可能会指出甲获胜的概率与扇形弧长或面积有关．即：字母B所在扇形弧长（或面积）与整个圆弧长（或面积）的比．（2）变换图中B与N的顺序，结果是否发生变化？3 引导学生讨论归纳几何概型定义，教师明晰———抽象概括（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；（2）几何概型的概率公式：P （A ）=积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A ； （3）几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等4. 自学检测：判下列试验中事件A 发生的概率是古典概型，还是几何概型。