高中数学必修三第三章3.3几何概型教学设计

3.3 几何概型第2课时导入新课设计思路一：〔问题导入〕以下图是卧室与书房地砖示意图，图中每一块地砖除颜色外完全一样，小猫分别在卧室与书房中自由地走来走去.在哪个房间里，小猫停留在黑砖上概率大？卧室〔书房〕设计思路二：〔情境导入〕在概率论开展早期，人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果随机试验是不够，还必须考虑有无限多个试验结果情况.例如一个人到单位时间可能是8：00 至9：00之间任何一个时刻；往一个方格中投一个石子，石子可能落在方格中任何一点……这些试验可能出现结果都是无限多个.推进新课新知探究对于导入思路一：由于地砖除颜色外完全一样，小猫自由地走来走去，因此，小猫可能会停留在任何一块地砖上，而且在任何一块地砖上停留可能性一样，对于这样一个随机事件概率，有如下结论：对于一个随机试验，如果我们将每个根本领件理解为从某特定几何区域内随机地抽取一点，而该区域内每一点被取到时机都一样，这样就可以把随机事件与几何区域联系在一起.如果每个事件发生概率只与构成该事件区域长度〔面积或体积〕成比例，那么称这样概率模型为几何概率模型，简称几何概型.几何概型与古典概型一样也是一种等可能事件概率模型，它特点是：〔1〕试验中所有可能出现结果，也就是根本领件有无限多个. 〔2〕根本领件出现可能性相等.实际上几何概型是将古典概型中有限性推广到无限性，而保存等可能性，这就是几何概型.几何概型概率计算方法如下：一般地，在几何区域D 中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d 内〞为事件A ，那么事件A 发生概率为P(A)= .这里要求D 测度不为0，其中“测度〞意义依D 确定，当D 分别是线段、平面图形与立体图形时，相应“测度〞分别是长度、面积与体积等.对于导入思路二：〔1〕几何概率模型：如果每个事件发生概率只与构成该事件区域长度〔面积或体积〕成比例，那么称这样概率模型为几何概率模型.〔2〕几何概型概率公式：P 〔A 〕=)()(面积或体积的区域长度试验的全部结果所构成面积或体积的区域长度构成事件A . 〔3〕几何概型特点：1°试验中所有可能出现结果〔根本领件〕有无限多个.2°每个根本领件出现可能性相等.应用例如思路1例1 取一个边长为2a 正方形及其内切圆〔如下图〕，随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内概率.分析：由于是随机丢豆子，故可以认为豆子落入正方形内任意一点都是时机均等，这符合几何概型条件，可以看成几何概型.于是利用几何概型求概率公式，豆子落入圆中概率应该等于圆面积与正方形面积比.解：记“豆子落入圆内〞为事件A ，那么 P(A)=4422ππ==a a 正方形面积圆的面积. 答：豆子落入圆内概率为4π.点评：在解题时，首先要区分是古典概型还是几何概型，这两种随机事件概率类型虽然每一个事件发生都是等可能，但是几何概型是有无数个根本领件情形，古典概型是有有限个根本领件情形.此外，本例可以利用计算机模拟，过程如下：〔1〕在Excel 软件中，选定A1，键入“=〔rand 〔〕-0.5〕*2”. 〔2〕选定A1，按“ctrl+C〞.选定A2～A1 000，B1～B1 000，按“ctrl+V〞.此时，A1～A1 000，B1～B1 000均为［-1，1］区间上均匀随机数.〔3〕选定D1，键入“=power 〔A1，2〕+ power 〔B1，2〕〞；再选定D1，按“ctrl+C〞；选定D2～D1 000，按“ctrl+V〞，那么D列表示A2+B2.〔4〕选定F1，键入“=IF〔D1＞1，1，0〕〞；再选定F1，按“ctrl+C〞；选定F2～F1 000，按“ctrl+V〞，那么如果D列中A2+B2＞1，F列中值为1，否那么F列中值为0.〔5〕选定H1，键入“FREQUENCY〔F1：F10，0.5〕〞，表示F1～F10中小于或等于0.5个数，即前10次试验中落到圆内豆子数；类似，选定H2，键入“FREQUENCY〔F1：F20，0.5〕〞，表示前20次试验中落到圆内豆子数；选定H3，键入“FREQUENCY 〔F1：F50，0.5〕〞，表示前50次试验中落到圆内豆子数；选定H4，键入“FREQUENCY〔F1：F100，0.5〕〞，表示前100次试验中落到圆内豆子数；选定H5，键入“FREQUENCY〔F1：F500，0.5〕〞，表示前500次试验中落到圆内豆子数；选定H6，键入“FREQUENCY〔F1：F1 000，0.5〕〞，表示前1 000次试验中落到圆内豆子数.〔6〕选定I1，键入“H1*4/10〞，表示根据前10次试验得到圆周率π估计值；选定I2，键入“H2*4/10〞，那么I2为根据前20次试验得到圆周率π估计值；类似操作，可得I3为根据前50次试验得到圆周率π估计值，I4为根据前100次试验得到圆周率π估计值，I5为根据前500次试验得到圆周率π估计值，I6为根据前1 000次试验得到圆周率π估计值.如图：例2 如图，在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM小于AC概率.分析：在线段AB上取一点C′，使得线段AC′长度等于线段AC长度.那么原问题就转化为求AM小于AC′概率.所以，当点M 位于以下图中线段AC′上时，AM＜AC，故线段AC′即为区域d.区域d测度就是线段AC′长度，区域D测度就是线段AB长度.解：在AB上截取AC′=AC.于是P(AM<AC)=P(AM<AC′)=.2.答：AM小于AC′概率为2变式训练：假设将例2改为：如以下图，在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C在∠ACB内部任作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AM小于AC概率.解：此时，应该看作射线CM落在∠ACB内部是等可能.公式中区域D是∠ACB〔内部〕，而区域d求法应该与原题是一样，即在线段AB上取一点C′，使得线段AC′长度等于线段AC长度〔如图〕，那么区域d就是∠ACC′〔内部〕.从而区域d测度就是∠ACC′度数，区域D测度就是∠ACB度数.∠ACC′==67.5°，所以所求事件概率为.点评：由此可见，背景相似问题，当等可能角度不同时，其概率是不一样.此题可参考习题3.3第6题.例3 (会面问题)甲、乙二人约定在12 点到下午5 点之间在某地会面，先到者等一个小时后即离去.设二人在这段时间内各时刻到达是等可能，且二人互不影响.求二人能会面概率.分析：两人相约时间都是5小时，设X ,Y 分别表示甲、乙二人到达时刻，因此，0≤X≤5,0≤Y≤5，这样两人到达时刻就构成一个正方形，而两人能会面必须满足|X －Y|≤1，而这个不等式所表示是一个带状，位于正方形内图形，由于两人到达时刻是随机，而且，在每一个时刻到达可能性是一样，因此，符合几何概型所具有特点，可以运用几何概型概率计算方法来计算.解：记A={二人能会面}.以 X ,Y 分别表示甲、乙二人到达时刻，于是0≤X≤5,0≤Y≤5,即点M 落在图中阴影局部.所有点构成一个正方形，即有无穷多个结果.由于每人在任一时刻到达都是等可能，所以落在正方形内各点是等可能，符合几何概型条件.二人会面条件是：|X －Y|≤1,故正方形面积为5×5=25，阴影局部面积为5-2×21×42259. 点评： 建立适当数学模型，是解决几何概型问题关键.对于“碰面问题〞可以模仿此题建立数学模型.例4 如图，随机投掷一个飞镖扎在靶子上，假设飞镖既不扎在黑色靶心，也不扎在两个区域之间，更不会脱靶，求飞镖扎在以下区域概率：(1)编号为25区域；(2)编号在6到9之间区域；(3)编号为奇数区域.〔每一个小区域面积一样〕分析：由于飞镖是随机投掷到靶子上，并且落在靶子每一个位置可能性一样，因此，符合几何概型特点.解： 假设靶子每一个区域面积为1个单位，那么靶子所在圆面积为28个单位.〔1〕记事件A 为“飞镖扎在编号为25区域〞，那么P(A)= 281. 〔2〕记事件B 为“飞镖扎在编号为6到9之间区域〞，那么P(B)= .〔3〕记事件C 为“飞镖扎在编号为奇数区域〞，那么P(C)=.答：〔1〕飞镖扎在编号为25区域概率为281；(2)飞镖扎在编号在6到9之间区域概率为71；(3)飞镖扎在编号为奇数区域概率为21. 点评：仔细研读题目，从题目提供信息进展分析，寻找适当解题方法，是解决此题要害所在.思路2例1 在1 L 高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病种子，从中随机取出10 mL ，含有麦诱病种子概率是多少分析：病种子在这1 L 种子中分布可以看作是随机，取得10 mL 种子可视为区域d ，所有种子可视为区域D.解：取出10 mL 麦种，其中“含有病种子〞这一事件记为A ，那么 P(A)=1001100010==所有种子的体积取出种子的体积. 答：含有麦诱病种子概率为1001. 点评：由于病种子是随机地处在容器中，它可以位于容器任何一个位置，而且在每一个位置可能性一样，符合几何概型特点，所以运用几何概型概率计算方法来解决此题.例2 假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6:30～7:30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作时间在早上7:00～8:00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)概率是多少？分析：由于两人到达与离开时刻是随机，而且，在每一个时刻到达或离开可能性是一样，因此，符合几何概型所具有特点，可以运用几何概型概率计算方法来计算.解：如图，以横坐标x表示报纸送到时间，纵坐标y表示父亲离家时间建立平面直角坐标系，假设随机试验落在方形区域内任何一点是等可能，所以符合几何概型条件.根据题意，只要点落到阴影局部，就表示父亲在离开家前能得到报纸，即事件A发生，所以P(A)==87.5%.点评：建立适当数学模型，该模型符合几何概型特点，这是解答此题关键所在.另外我们还可以运用计算机产生随机数来模拟该试验.设X是0到1之间均匀随机数，Y也是0到1之间均匀随机数.如果Y+7＞X+6.5，即Y＞X-0.5，那么父亲在离开家前能得到报纸.计算机模拟方法：〔1〕选定A1，键入函数“=rand〔〕〞；〔2〕选定A1，按“ctrl+C〞，选定A2～A50，B1～B50，按“ctrl+V〞.此时，A1～A50，B1～B50均为［0，1］区间上均匀随机数.用A列数加7表示父亲离开家时间，B列数加6.5表示送报人送到报纸时间.如果A+7＞B+6.5，即A-B＞-0.5，那么表示父亲在离开家前能得到报纸.〔3〕选定D1，键入“=A1-B1”；再选定D1，按“ctrl+C〞，选定D2D50，按“ctrl+V〞.〔4〕选定E1，键入函数“=FREQUENCY〔D1：D50，-0.5〕〞，E1表示统计D列中小于或等于-0.5数个数，即父亲在离开家前不能得到报纸频数.〔5〕选定F1，键入“=〔50-E1〕/50.F1表示统计50次试验中，父亲在离开家前能得到报纸频率.下面是我们在计算机上做50次试验，得到结果是P(A)=0.88，如图：例3 假设一个直角三角形两直角边长都是0到1之间随机数，试求斜边长小于34事件概率.分析：由于直角边长是0到1之间随机数，因此设两直角边长分别为x,y，而x,y满足0≤x≤1,0≤y≤1，斜边长=，x,y可以落在0≤x≤1,0≤y≤1所表示图形任何一个位置，而且在每个位置可能性一样，满足几何概型特点.解：设两直角边长分别为x,y，那么0≤x≤1,0≤y≤1，斜边长=，如右图，样本空间为边长是1正方形区域，而满足条件事件所在区域面积为.因此，所求事件概率为P=.点评：根据条件，构造满足题目条件数学模型，再运用几何概型概率计算方法来计算某个事件发生概率，是一种常用求解概率问题方法.例4 甲、乙两人相约于中午12点到13点之间在某一个地方碰面，并约定先到者等候20分钟后可以离开，试设计模拟方法估计两人能碰面概率.分析：当两人到达碰面地点时间相差在20分钟之内时，两人能碰面.我们可以用两个转盘来模拟两人到达碰面地点时间.解： 运用转盘模拟方法.具体步骤如下：〔1〕做两个带指针〔分针〕转盘，标上刻度在0到60来表示时间，如右图；〔2〕每个转盘各转m 次，并记录转动得到结果，以第一个转盘结果x 表示甲到达碰面地点时间，以第二个转盘结果y 表示乙到达碰面地点时间；〔3〕统计两人能碰面〔满足|x －y|<20〕次数n ；〔4〕计算m n 值，即为两人能碰面概率近似值〔理论值为95〕. 点评：实施模拟方法除了转盘模拟方法外，还可以运用现代信息技术即计算机来模拟，具体操作如下：〔1〕新建一个电子表格文件，在A1位置输入：=RAND( )60，产生一个0到60随机数x ；〔2〕将A1位置处表达式复制到B1处，这样又产生一个0到60随机数y ；〔3〕在C1位置处输入：=IF 〔A1-B1<=-20，0，IF 〔A1-B1<20，1，0〕，判断两人能否碰面〔即是否满足|x －y|<20〕，如果是，就返回数值1，否那么返回数值0；〔4〕将第一行三个表达式复制100行，产生100组这样数据，也就是模拟了100次这样试验，并统计每次结果；〔5〕在C101处输入：=SUM(C1:C100)/100统计这100次重复试验中正好两人能碰面频率，即事件“两人能碰面〞发生概率近似值.知能训练课本本节练习4、5.解答:4.设A={射线OA落在∠xOT内}.因为射线OA落在∠xOT内是随机，也就是射线OA可以落在∠xOT内任意一个位置，这符合几何概型条件，区域d测度是60，区域D测度是360，根据几何概型概率计算公式，得P(A)=.5.运用计算机模拟结果大约为2.7左右.点评：根据实际问题背景，判断是否符合几何概型特点，如是那么选择符合题意“测度〞，运用求几何概型概率方法来解决问题，此外我们还可以设计符合问题模拟方法来模拟得到问题近似解.课堂小结在这节课上我们主要是运用几何概型求解一些问题概率，以及运用模拟方法求某一个事件概率近似值.结合上节课内容可以知道，几何概型概率问题仍然是随机事件概率，与古典概型区别是古典概型所含根本领件个数是有限个，而几何概型所包含根本领件个数是无限.对于几何概型我们着重研究如下几种类型：〔1〕与长度有关几何概型；〔2〕与面积有关几何概型；〔3〕与体积有关几何概型；(4)与角度有关几何概型.其中我们对与面积有关几何概型与与体积有关几何概型要求重点掌握.作业课本习题3.3 4、5、6.设计感想几何概型是区别于古典概型又一随机事件概率模型，在解决实际问题时首先根据问题背景，判断该事件是属于古典概型还是几何概型，这两者区别在于构成该事件根本领件个数是有限个还是无限个.在使用几何概型概率计算公式时，一定要注意其适用条件：每个事件发生概率只与构成该事件区域长度成比例.随机数在日常生活中，有着广泛应用，我们可以利用计算器或计算机来产生均匀随机数，从而来模拟随机试验，其具体方法是：建立一个概率模型，它与某些我们感兴趣量〔如概率值、常数〕有关，然后设计适当试验，并通过这个试验结果来确定这些量.这种方法也是我们研究问题常用方法.习题详解1.记A={灯与两端距离都大于2 m}.因为把一盏灯挂在绳子上位置是随机，也就是说灯挂在绳子上位置可以是绳子上任意一点，这符合几何概型条件，根据P=，得P(A)= .答：灯与两端距离都大于2 m概率为13.2.记A={所投点落入小正方形内}.由于是随机投点，故可以认为所投点落入大正方形内任意一点都是时机均等，这符合几何概型条件，可以看成几何概型.于是利用几何概型求概率公式，所投点落入小正方形内概率应该等于小正方形内面积与大正方形面积比，即 P(A)=943222==大正方形面积小正方形面积. 答：所投点落入小正方形内概率为94.3.记A={所投点落在梯形内部}.由于是随机投点，故可以认为所投点落入矩形内任意一点都是时机均等，这符合几何概型条件，可以看成几何概型.于是利用几何概型求概率公式，所投点落入梯形内部概率应该等于梯形面积与矩形面积比，即 P(A)=125)2131(21=⨯⨯+⨯=b a b a a 矩形面积梯形面积. 答：所投点落在梯形内部概率为125. 4.设A={该点落在正方形内}.因为该点落在正方形内是随机，也就是该点可以落在正方形内任意一个位置，这符合几何概型条件，根据几何概型求概率计算公式，得P(A)=. 答：乘客到达站台立即乘上车概率为π21. 5.分析：直接求“硬币落下后与格线有公共点〞概率比拟困难，可以考虑先求“硬币落下后与格线无公共点〞概率，再求“硬币落下后与格线有公共点概率〞.解：因为直径等于2 cm 硬币投掷到正方形网格上是随机，也就是硬币可以落在正方形网格上任意一个位置，这符合几何概型条件.要求“硬币落下后与格线无公共点〞概率，根据几何概型求概率计算公式：P(A)=，因为每个小正方形边长都等于6 cm ，硬币直径为2 cm ，设有n 个小正方形，那么区域d 测度为n·π·12，区域D 测度n·62，故“硬币落下后与格线无公共点〞概率为，而事件“硬币落下后与格线有公共点〞是“硬币落下后与格线无公共点〞对立面，所以事件“硬币落下后与格线有公共点〞概率为1－36π.答：硬币落下后与格线有公共点概率为1－36π.6.贝特朗算出了三种不同答案，三种解法似乎又都有道理.人们把这种悖论称为概率悖论，或贝特朗奇怪论.贝特朗解法如下：解法一：任取一弦AB ，过点A 作圆内接等边三角形〔如图1〕.因为三角形内角A 所对弧，占整个圆周31.显然，只有点B 落在这段弧上时，AB 弦长度才能超过正三角形边长a ，故所求概率是31.解法二：任取一弦AB ，作垂直于AB 直径PQ.过点P 作圆内接等边三角形，交直径于N ，并取OP 中点M 〔如图2〕.容易证明QN=NO=OM=MP.我们知道，弦长与弦心距有关.一切与PQ 垂直弦，如果通过MN 线段，其弦心距均小于QN ，那么该弦长度就大于等边三角形边长，故所求概率是21.解法三：任取一弦AB.作圆内接等边三角形内切圆〔如图3〕，这个圆是大圆同心圆，而且它半径是大圆21，它面积是大圆4141. 图1 图2 图3细细推敲一下，三种解法前提条件各不一样：第一种假设了弦端点在四周上均匀分布；第二种假设弦中点在直径上均匀分布；第三种假设弦中点在小圆内均匀分布.由于前提条件不同，就导致三种不同答案.这是因为在那时候概率论一些根本概念〔如事件、概率及可能性等〕还没有明确定义，作为一个数学分支来说，它还缺乏严格理论根底，这样，对同一问题可以有不同看法，以致产生一些奇谈怪论.。

课题名称几何概型授课教师科目高中数学班级教学目标1．理解几何概型的特点。

2．会应用几何概型的计算公式求几何概型的概率。

3．体会生活和学习中与几何概型有关的实例。

教学重点难点重点：几何概型的特点及公式的应用。

难点:几何概型的应用。

教学过程设计意图复习导入【知识回顾】（你已做好知识准备了吗？你一定还记得以下知识吧！）1.请看下面的例子并回答问题：（1）投掷一颗骰子，观察向上的点数。

（2）一先一后投掷两枚硬币，观察正反面出现的情况。

想一想：这两个试验是什么类型的？2. 古典概型的两个特点：3.古典概型的计算公式：【创设情境】探究合作（师生互动，合作探究，分组展示，点拨提升！）探究一：引例1：从区间[1，6]中任取一个实数。

引例2：取一个边长为2a的正方形 (如图),随机地向正方形内丢一粒豆子。

思考：上述试验还是不是古典概型？为什么？温故知新，类比正弦函数的图象和性质，研究余弦函数展示目标齐读学习目标、学习重点、学习难点：【学习目标】1.理解几何概型的特点。

2.会应用几何概型的计算公式求几何概型的概率。

3.体会生活和学习中与几何概型有关的实例。

【重点】几何概型的特点及公式的应用【难点】几何概型的应用师生互认学习目标，引导学生带着目标进入新课学习，有的放矢。

新课讲授新课讲授小组内讨论：参照古典概型的特点，上述试验的特点是什么？特点：（1）_________________________________；（2）______________________________________。

具有上述特点的试验称为几何概型。

我们通过上面的试验，得出了几何概型的概念，明确了几何概型事件的两个基本特点。

那么如何用数学表达式来解决几何概型事件的概率问题呢？探究二：问题1：从区间[1，6]中任取一个实数，求取到的数比3小的概率是多少？问题2：下面是运动会射箭比赛的靶面，靶面半径为10cm,黄心半径为1cm.现一人随机射箭，假设每箭都能中靶,且射中靶面内任一点都是等可能的, 请问射中黄心的概率是多少?问题3：500ml水样中有一只草履虫，从中随机取出2ml水样放在显微镜下观察，问发现草履虫的概率？通过以上三个问题，类比古典概型，你是否能够得出几何概型的计算公式呢？在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：通过问题引导，让学生初步感知本节课的主要问题，并对比前节课古典概型内容完成思维推理，训练，训练四基中的基本技能和基本思想。

几何概型一、教学目标：1、 知识与技能：（1）正确理解几何概型的概念；（2）掌握几何概型的概率公式：P （A ）=积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A ； （3）会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型；（4）了解均匀随机数的概念；（5）掌握利用计算器（计算机）产生均匀随机数的方法；（6）会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题．2、 过程与方法：（1）发现法教学，通过师生共同探究，体会数学知识的形成，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力；（2）通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯。

3、 情感态度与价值观：本节课的主要特点是随机试验多，学习时养成勤学严谨的学习习惯。

二、重点与难点：1、几何概型的概念、公式及应用；2、利用计算器或计算机产生均匀随机数并运用到概率的实际应用中．三、学法与教学用具：1、通过对本节知识的探究与学习，感知用图形解决概率问题的方法，掌握数学思想与逻辑推理的数学方法；2、教学用具：投灯片，计算机及多媒体教学．四、教学设想：1、创设情境：在概率论发展的早期，人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果的随机试验是不够的，还必须考虑有无限多个试验结果的情况。

例如一个人到单位的时间可能是8：00至9：00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一个石子，石子可能落在方格中的任何一点……这些试验可能出现的结果都是无限多个。

2、基本概念：（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；（2）几何概型的概率公式：P （A ）=积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A ； （3）几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等．3、 例题分析：课本例题略例1 判下列试验中事件A 发生的概度是古典概型，还是几何概型。

内容：3．3 几何概型教学目标：1、知识与技能：（1）正确理解几何概型的概念；（2）掌握几何概型的概率公式：P（A）=dD的测度的测度；（3）会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型；（4）会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题．2、过程与方法：（1）发现法教学，通过师生共同探究，体会数学知识的形成，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力；（2）通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯。

3、情感态度与价值观：本节课的主要特点是随机试验多，学习时养成勤学严谨的学习习惯。

教学重点：几何概型的概念、公式及应用；教学难点：利用计算器或计算机产生均匀随机数并运用到概率的实际应用中．教学过程：一、问题情境1．取一根长度为３ｍ的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于１ｍ的概率有多大？2．射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环．从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色．金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径为１２２ｃｍ，靶心直径为１２．２ｃｍ．运动员在７０ｍ外射箭．假设射箭都能中靶，且射中靶面内任一点都是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？3．两个人约定在8：00至9：00之间到某地点约会，规定先到的人等十分钟后离开，问两人能见面的概率是多大？二、建构数学从上面的分析可以看到，对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样。

一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点．这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等．用这种方法处理随机试验，称为几何概型．在几何区域Ｄ中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域内”为事件Ａ，则事件Ａ发生的概率：Ｐ（Ａ）＝dD的测度的测度．这里要求Ｄ的测度不为０，其中“测度”的意义依Ｄ确定，当Ｄ分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的“测度”分别是长度、面积和体积等．三、数学运用1．例题例1 取一个边长为２ａ的正方形及其内切圆（如图），随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率．思考：由此例可知，豆子落入圆内的概率()4P A π=，我们可用Ｅｘｃｅｌ来模拟撒豆子的试验，以此来估计圆周率，请你设计出相关算法。

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3.3 几何概型(1）教学目标：1．了解随机数的概念和意义；2．了解用模拟方法估计概率的思想；3．了解几何概型的基本概念、特点和意义 ；4．了解测度的简单含义；5．了解几何概型的概率计算公式．教学重点：几何概型的特点：（1）基本事件有无限多个;（2)基本事件发生是等可能的．教学难点:几何概型的概率计算公式的推导．教学方法：谈话、启发式．教学过程：一、问题情境问题1：取一根长度为3m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m 的概率有多大？问题2：射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环，从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心为3m金色．金色靶心叫“黄心"．奥运会的比赛靶面直径为122cm，靶心直径为12．2cm，运动员在70m外射．假设射箭都能中靶，且射中靶面内任意一点都是等可能的，那么射中黄心的概率有多大？能用古典概型描述该事件的概率吗?为什么？（1）能用古典概型描述事件的概率吗?为什么?(2)试验中的基本事件是什么？（3）每个基本事件的发生是等可能的吗？(4)符合古典概型的特点吗?二、学生活动问题1：射中靶面上每一点都是一个基本事件,这一点可以是靶面直径为122cm的大圆内的任意一点．问题2：射中靶面上每一点都是一个基本事件,这一点可以是靶面直径为122cm的大圆内的任意一点．三、建构数学对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中的每一个点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点．这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等．用这种方法处理随机试验，称为几何概型．几何概型的特点：(1)基本事件有无限多个;（2）基本事件发生是等可能的．一般地,在几何区域D中随机地取一点，记“该点落在其内部一个区域d内”为事件A,则事件A发生的概率:.D的测度d的测度P(A)=四、数学运用1．例题．例1 两根相距8m 的木杆上系一根拉直绳子，并在绳子上挂一盏灯，求灯与两端距离都大于3m 的概率．解:记“灯与两端距离都大于3m ”为事件A,由于绳长8m ，当挂灯位置介于中间2m 时,事件A 发生，于是事件A 发生的概率P （A ）= 82=41． 例2 取一个边长为2a 的正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率．事件A,记“豆子落在圆内”为:解 .a a πππ===22圆的面积P(A)正方形面积44答:豆子落入圆内的概率为4 数学拓展：模拟撒豆子试验估计圆周率．如果向正方形内撒n 颗豆子，其中落在圆内的豆子数为m ，那么当n 很大时，比值n m ，即频率应接近于 P （A ），于是有由此可得4πm n ≈2．练习． （1）在数轴上，设点x ∈[－3，3]中按均匀分布出现,记a ∈(－1，2]为事件A ，则P （A ）=（ ）A ．1B ．0C ．12D ．13(2)在1L 高产小麦种子中混入一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10mL ，含有麦锈病种子的概2a().m P A n ≈率是多少?（3)在1万平方公里的海域中有40平方公里的大陆贮藏着石油．假如在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是多少？（4)如右下图，假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆，分别计算它落到阴影部分的概率．（5）在正方形ABCD 内随机取一点P,求∠APB ＞ 90°的概率．22)2(21)(a aD d A P π==的测度的测度解：.8π=变式：∠APB ＝90°?.00)(2===a D d B P 的测度的测度结论：概率为0的事件可能发生！五、要点归纳与方法小结本节课学习了以下内容：1．古典概型与几何概型的对比．相同：两者基本事件的发生都是等可能的;BCD PB C D P不同：古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个．2．几何概型的概率公式．积等）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积等）的区域长度（面积或体构成事件A A P )(3．几何概型问题的概率的求解．（1）古典概型与几何概型的区别在于：几何概型是无限多个等可能事件的情况，而古典概型中的等可能事件只有有限多个；（2）D 的测度不为0，当D 分别是线段、平面图形、立体图形时，相应的“测度”分别是长度、面积和体积．（3）区域应指“开区域",不包含边界点；在区域D 内随机取点是指：该点落在D 内任何一处都是等可能的,落在任何部分的可能性只与该部分的测度成正比而与其性状位置无关．。

《几何概型》教案教学目标1．了解几何概型的定义及其特点． 2．了解几何概型与古典概型的区别．3．会用几何概型的概率计算公式求几何概型的概率． 教学重难点1．注意理解几何概型与古典概型的区别．2．理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解，概率公式为P (A )＝构成事件A 的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积教学过程[情境导学] 在现实生活中，常常会遇到试验的所有可能结果是无穷多的情况，例如：一个正方形方格内有一内切圆，往这个方格中投一个石子，求石子落在圆内的概率，由于石子可能落在方格中的任何一点，这个实验不能用古典概型来计算事件发生的概率．对此，我们必须学习新的方法来解决这类问题． 探究点一 几何概型的概念思考1 计算随机事件发生的概率，我们已经学习了哪些方法？答 (1)通过做试验或计算机模拟，用频率估计概率；(2)利用古典概型的概率公式计算．思考2 某班公交车到终点站的时间可能是11：30～12：00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一粒芝麻，芝麻可能落在方格中的任何一点上．这两个试验可能出现的结果是有限个，还是无限个？若没有人为因素，每个试验结果出现的可能性是否相等？ 答 出现的结果是无限个；每个结果出现的可能性是相等的．思考3 下图中有两个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B 区域时，甲获胜，否则乙获胜．你认为甲获胜的概率分别是多少？答 以转盘(1)为游戏工具时，甲获胜的概率为12；以转盘(2)为游戏工具时，甲获胜的概率为35.思考 4 上述每个扇形区域对应的圆弧的长度(或扇形的面积)和它所在位置都是可以变化的，从结论来看，甲获胜的概率与字母B 所在扇形区域的哪个因素有关？哪个因素无关？答 与扇形的弧长(或面积)有关，与扇形区域所在的位置无关．思考5 玩转盘游戏中所求的概率就是几何概型，你能给几何概型下个定义吗？参照古典概型的特征，几何概型有哪两个基本特征？答 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型；几何概型的基本特征：(1)可能出现的结果有无限多个；(2)每个结果发生的可能性相等． 思考6 古典概型和几何概型有什么相同点和不同点？ 答 相同点：两者基本事件发生的可能性都是相等的；不同点：古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个. 例1 判断下列试验中事件A 发生的概型是古典概型，还是几何概型． (1)抛掷两颗骰子，求出现两个“4点”的概率； (2)思考3中，求甲获胜的概率．解 (1)抛掷两颗骰子，出现的可能结果有6×6＝36种，且它们都是等可能的，因此属于古典概型；(2)游戏中指针指向B 区域时有无限多个结果，而且不难发现“指针落在阴影部分”，概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量，即与区域面积有关，因此属于几何概型．反思与感悟 判断一个概率是古典概型还是几何概型的步骤：(1)判断一次试验中每个基本事件发生的概率是否相等，若不相等，那么这个概率既不是古典概型也不是几何概型；(2)如果一次试验中每个基本事件发生的概率相等，再判断试验结果的有限性，当试验结果有有限个时，这个概率是古典概型；当试验结果有无限个时，这个概率是几何概型．跟踪训练1 判断下列试验是否为几何概型，并说明理由： (1)某月某日，某个市区降雨的概率．(2)设A 为圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点与A 连接，求弦长超过半径的概率．解 (1)不是几何概型，因为它不具有等可能性；(2)是几何概型，因为它具有无限性与等可能性．探究点二 几何概型的概率公式问题 对于具有几何意义的随机事件，或可以化归为几何问题的随机事件，一般都有几何概型的特性，那么，对于属于几何概型的试验，如何求某一事件的概率？有没有求几何概型的概率公式呢？思考1 有一根长度为3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段的长度都不小于1 m 的概率是多少？你是怎样计算的？答 从每一个位置剪断都是一个基本事件，剪断位置可以是长度为3 m 的绳子上的任意一点．如上图，记“剪得两段的长都不小于1 m”为事件A .把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件A 发生．由于中间一段的长度等于绳长的13，于是事件A 发生的概率P (A )＝13.思考2 射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的分环，从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色，金色靶心叫“黄心”．奥运会射箭比赛的靶面直径是122 cm ，黄心直径是12.2 cm ，运动员在距离靶面70 m 外射箭．假设射箭都等可能射中靶面内任何一点，那么如何计算射中黄心的概率？答 如右图，由于中靶点随机地落在面积为14×π×1222 cm 2的大圆内，若要射中黄心，则中靶点落在面积为14×π×12.22 cm 2的圆内，所以P ＝14×π×12.2214×π×1222＝0.01.思考3 在装有5升纯净水的容器中放入一个病毒，现从中随机取出1升水，那么这1升水中含有病毒的概率是多少？你是怎样计算的？答 概率为15，由于病毒在5升水中的哪个位置的可能性都有，1升水中含有病毒的概率为1升水的体积除以5升水的体积．思考4 根据上述3个思考中求概率的方法，你能归纳出求几何概型中事件A 发生的概率的计算公式吗？ 答 P (A )＝构成事件A 的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.例2 某公共汽车站每隔10分钟有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求乘客候车时间不超过6分钟的概率．解 如下图所示，设上辆车于时刻T 1到达，而下辆车于时刻T 2到达，则线段T 1T 2的长度为10，设T 是线段T 1T 2上的点，且TT 2的长为6，记“等车时间不超过6分钟”为事件A ，则事件A 发生即当点t 落在线段TT 2上，即D ＝T 1T 2＝10，d ＝TT 2＝6.所以P (A )＝d D ＝610＝35. 故乘客候车时间不超过6分钟的概率为35.反思与感悟 数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．利用图解题的关键：首先用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A 满足的几何区域，然后根据构成这两个区域的几何长度(面积或体积)，用几何概型概率公式求出事件A 的概率．跟踪训练2 某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率．解 记“等待的时间小于10分钟”为事件A ，打开收音机的时刻位于[50,60]时间段内则事件A 发生．由几何概型的概率公式求得P (A )＝60－5060＝16，即“等待报时的时间不超过10分钟”的概率为16.探究点三 几何概型的应用例3 在Rt△ABC 中，∠A ＝30°，过直角顶点C 作射线CM 交线段AB 于M ，求使|AM |>|AC |的概率． 解设事件D 为“作射线CM ，使|AM |>|AC |”． 在AB 上取点C ′使|AC ′|＝|AC |， 因为△ACC ′是等腰三角形，所以∠ACC ′＝180°－30°2＝75°，μA ＝90－75＝15，μΩ＝90， 所以P (D )＝1590＝16.反思与感悟 几何概型的关键是选择“测度”，如本例以角度为“测度”．因为射线CM 落在∠ACB 内的任意位置是等可能的．若以长度为“测度”，就是错误的，因为M 在AB 上的落点不是等可能的．跟踪训练3 在△ABC 中，∠B ＝60°，∠C ＝45°，高AD ＝3，在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，求BM <1的概率．解 ∵∠B ＝60°，∠C ＝45°，∴∠BAC ＝75°， 在Rt△ADB 中，AD ＝3，∠B ＝60°， ∴BD ＝ADtan 60°＝1，∠BAD ＝30°. 记事件N 为“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，使BM <1”，则可得∠BAM <∠BAD 时事件N 发生．由几何概型的概率公式得P (N )＝30°75°＝25.【当堂测、查疑缺】1．下列关于几何概型的说法错误的是( )A ．几何概型也是古典概型中的一种B ．几何概型中事件发生的概率与位置、形状无关C ．几何概型中每一个结果的发生具有等可能性D ．几何概型在一次试验中能出现的结果有无限个 答案 A解析 几何概型与古典概型是两种不同的概型．2．面积为S 的△ABC ，D 是BC 的中点，向△ABC 内部投一点，那么点落在△ABD 内的概率为( ) A.13B.12C.14D.16答案 B解析 向△ABC 内部投一点的结果有无限个，属于几何概型．设点落在△ABD 内为事件M ，则P (M )＝△ABD 的面积△ABC 的面积＝12.3．ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为( )A.π4B ．1－π4C.π8D ．1－π8答案 B解析 若以O 为圆心，1为半径作圆，则圆与长方形的公共区域内的点满足到点O 的距离小于或等于1， 故所求事件的概率为P (A )＝S 长方形－S 半圆S 长方形＝1－π4.4．在区间[－1,1]上随机取一个数x ，则sin πx 4的值介于－12与22之间的概率为________．答案 56解析 ∵－1≤x ≤1，∴－π4≤πx 4≤π4.由－12≤sin πx 4≤22，得－π6≤πx 4≤π4，即－23≤x ≤1.故所求事件的概率为1＋232＝56.作业：习题3.3A 1,2,3。

3.3.1几何概型教学目标：初步体会几何概型的意义。

教学重点：初步体会几何概型的意义。

教学过程：1．古典概型要求样本点总数为有限．若是有无限个样本点，特别是连续无限的情况，虽是等可能的，也不能利用古典概型．但是类似的算法可以推广到这种情形．若样本空间是一个包含无限个点的区域Ω（一维，二维，三维或n 维），样本点是区域中的一个点．此时用点数度量样本点的多少就毫无意义．“等可能性”可以理解成“对任意两个区域，当它们的测度（长度，面积，体积，…）相等时，样本点落在这两区域上的概率相等，而与形状和位置都无关”．在这种理解下，若记事件A={任取一个样本点，它落在区域g ⊂Ω}，则A 的概率定义为 P(A)=的测度的测度Ωg ． 这样定义的概率称为几何概率．2．例1 某路公共汽车5分钟一班准时到达某车站，求任一人在该车站等车时间少于3分钟的概率（假定车到来后每人都能上）．可以认为人在任一时刻到站是等可能的． 设上一班车离站时刻为a ，则某人到站的一切可能时刻为 Ω= (a, a+5)，记A={等车时间少于3分钟}，则他到站的时刻只能为g = (a+2, a+5)中的任一时刻，故 P(A)=53=Ω的长度的长度g ． 例2（会面问题）两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时离去．求两人会面的概率．因为两人谁也没有讲好确切的时间，故样本点由两个数（甲乙两人各自到达的时刻）组成．以7点钟作为计算时间的起点，设甲乙各在第x 分钟和第y 分钟到达，则样本空间为Ω:{(x,y) | 0≤x ≤60,0≤y ≤60},画成图为一正方形．会面的充要条件是|x －y| ≤20，即事件A={可以会面}所对应的区域是图中的阴影线部分．P(A)=9560)2060(60222=--=Ω的面积的面积g课堂练习：略小结：通过实例初步体会几何概型的意义课后作业：略3.4概率的应用教学目标：结合实际问题情景，理解概率的应用教学重点：结合实际问题情景，理解概率的应用教学过程：1．概率依赖于观察者至少在数学中概率是依赖于观察者的。

几何概型一、教学目标（1）学生能掌握几何概型的特点，明确几何概型与古典概型的区别。

（2）能识别实际问题中概率模型是否为几何概型。

（3）会利用几何概型公式对简单的几何概型问题进行计算。

二、教学重点与难点教学重点：（1）几何概型的特点及与古典概型的区别（2）几何概型概率计算公式及应用。

教学难点：把求未知量的问题转化为几何概型求概率的问题；三、教学方法与手段让学生通过对几个试验的观察分析，提炼它们共同的本质的东西，从而亲历几何概型的建构过程，并在解决问题中，给学生寻找发现、讨论交流、合作分享的机会。

感知用图形解决概率问题的方法，掌握数学思想与逻辑推理的数学方法。

四、教学过程一、 创设情境 引入新课【知识回顾】(1)1 (2) 2A () A P A ⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨=⎪⎪⎪⎩试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；、古典概型的特点每个基本事件出现的可能性相等。

古典概型包含基本事件的个数、事件的概率公式：基本事件的总数 【课前练习】判断下列试验中事件发生的概率是否为古典概型？（1）抛掷两颗骰子，求出现两个“4点”的概率；（学生口答）（2）5本不同的语文书，4本不同的数学书，从中任取2本，取出的书恰好都是数学书的概率；（学生口答）（3）取一根长度为3m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于1m的概率；学生分析：剪刀落在绳子的任意一个位置是等可能的，但剪刀落的位置是无限个的，因而无法利用古典概型；（4）下图中有两个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向黄色区域时，甲获胜，否则乙获胜.你认为甲获胜的概率分别是多少？（1）（2）学生分析：指针指向的每个方向都是等可能性的，但指针所指的位置却是无限个的，因而无法利用古典概型；（5）有一杯1升的水,其中含有1个细菌,用一个小杯从这杯水中取出0.1升,求小杯水中含有这个细菌的概率.学生分析：细菌在1升水的杯中任何位置的机会是等可能的，但细菌所在的位置却是无限多个的，因而不能利用古典概型。

《几何概型》◆教学目标【知识与能力目标】初步体会几何概型的意义，会用公式求解简单的几何概型的概率。

【过程与方法能力目标】通过试验，与已学过计算概率的方法进行比较，提出新问题，师生共同探究，提出可行性解决问题的建议或想法。

【情感态度价值观目标】用具有现实意义的实例，激发学生的学习兴趣培养学生对各种不同的实际情况的分析、判断、探索，培养学生的应用能力。

◆教学重难点◆【教学重点】几何概型的基本特征及如何求几何概型的概率。

【教学难点】如何判断一个试验是否是几何概型，如何将实际背景转化为几何度量。

◆教学过程一、新课导入我们知道古典概型只有在满足“有限性”和“等可能性”两个性质的前提下才能适用，那么对于试验结果有无穷多个的情形该怎样处理呢？例1.在转盘上有8个面积相等的扇形，转动转盘，求转盘停止转动时指针落在阴影部分的概率。

例2. 在500ml的水中有一只草履虫，现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，求发现草履虫的概率。

观察上述两例，可知以上两个试验的可能结果个数无限，所以它们都不是古典概型。

先看例1，由经验得知“指针落在阴影部分的概率”可以用阴影部分的面积与总面积之.比来衡量，即P(A)=12同样地，例2中由于取水样的随机性，所求事件A : “在取出的2ml的水样中有草履虫”=0.04.的概率等于水样的体积与总体积之比2500二、探究新知通过对上述例题的探讨，引出几何概型的概念以及特点进行归纳总结。

几何概型如果把事件A理解为区域Ω的某一个子区域A，A的概率只与子区域A的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与A的位置和形状无关，则称满足以上条件的试验为几何概型。

在几何概型中，事件A的概率定义为：P(A)=µA，其中μΩ表示区域Ω的几何度量，μAµΩ。

《必修三《几何概型》教案教案：几何概型一、教学目标1.知识与技能：-了解几何概型的基本概念和相关属性；-掌握计算几何概型的可能性和概率；-能够运用几何概型解决实际问题。

2.态度与价值观：-培养学生对几何概型的兴趣和好奇心；-培养学生合作、探究和创新精神。

二、教学重点和难点1.重点：-几何概型的基本概念和相关属性；-计算几何概型的可能性和概率。

2.难点：-运用几何概型解决实际问题。

三、教学过程1.教学准备：-教师准备PPT、绘制几何概型相关图形。

2.导入与引入：-向学生提问：“大家了解什么是几何概型吗？”-学生回答后，教师进行引导，介绍几何概型的基本概念和相关属性。

3.概念讲解：-讲解几何概型的基本概念，例如：平面上点、线、面，三维空间中体等；-讲解几何概型的相关属性，例如：相似、相等等；-通过示例和图像说明几何概型的应用，如建筑设计、工程测量等。

4.练习与讨论：-让学生通过绘制几何概型图形，进行练习；-学生分组讨论几何概型的相关问题，例如：如何计算不同形状的房屋占地面积等。

5.案例分析：-教师给出一个实际生活中的案例，例如：如何计算一个无规则形状的花坛的面积；-学生利用几何概型的知识和技巧，分析并解决这个问题；-学生分组展示自己的解决过程和答案，并进行讨论。

6.解决问题与拓展：-继续给学生出一些难度适中的问题，让学生运用几何概型的知识和技巧解决；-引导学生思考如何拓展几何概型的应用领域，发现几何概型在日常生活中的其他应用。

四、课堂小结-教师对本课的教学内容和学生的表现进行总结；-检查学生对几何概型的掌握情况，回答学生提出的问题；-引导学生对几何概型的学习进行反思和思考。

五、作业布置-布置相关练习题，要求学生运用几何概型的知识和技巧解答；-要求学生写一篇小结，总结几何概型的基本概念和相关属性。

六、教学反思-分析课堂教学过程中的不足和问题；-总结有效的教学方法和策略，为下一节课的教学做好准备。

2019-2020学年高中数学《3.3几何概型》教案新人教版必修3一、教学任务分析：1、通过本节课的学习使学生掌握几何概型的特点，明确几何概型与古典概型的区别。

2、通过学生玩转盘游戏、教师分析得出几何概型概率计算公式。

3、通过例题教学，使学生能掌握几何概型概率计算公式的应用，并理解均匀分布的概念。

二、教学重点与难点：重点：（1）几何概型概率计算公式及应用。

（2）如何利用几何概型，把问题转化为各种几何概型问题。

难点：正确判断几何概型并求出概率。

三、教学基本流程：四、教学情境设计：问题问题设计意图师生活动（1）谁能叙述古典概型的有关知识吗？复习上节课相关知识师：提出问题，引导学生回忆，对学生活动进行评价。

生：回忆、概括。

（2）现实生活中，常常遇到试验的所有可能结果是无穷多的情况，如何计算概率？引出课题：几何概型。

师：提出问题，引导学生思考，激发兴趣。

生：思考。

（3）学生玩转盘游戏，猜想在两种情况下，甲获胜的概率是多少？让学生通过观察，猜想几何概型的特点及计算公式。

师：提出问题，引导学生思考、猜想，得出几何概型的概率计算公式。

生：观察、思考、猜想。

（4）你能说说几何概型与古典概型的区别吗？引导学生分析、比较，更加深对几何概型的理解。

师：引导学生比较两种概型的区别，明确几何概型要求的基本事件有无限多个，明确几何概型的复习古典概型的概念提出问题，引入课题学生玩转盘游戏、猜想甲获胜的概率几何概型的概念、特点、与古典概型的区别例1 的教学，明确几何概型的计算步骤练习和小结计算公式。

生：思考，比较，理解。

（5）例题，P 147练习。

通过例1明确与长度有关的几何概型概率的求法。

在练习中设置与角度、面积、体积有关的几何概型的概率求法。

师：引导学生把问题抽象为与长度有关的几何概型问题，并明确求解步骤。

师生共同完成解题过程，然后学生独立完成相应练习，教师进行点评。

引导学生阅读书本P 131明确均匀分布的概念。

生：思考完成练习。

3.3几何概型（2）教学目标：1．了解几何概型的基本概念、特点和意义；2．了解测度的简单含义；3．了解几何概型的概率计算公式；4．能运用其解决一些简单的几何概型的概率计算问题．教学重点：测度的简单含义，即：线的测度就是其长度，平面图形的测度就是其面积，立体图形的测度就是其体积等．教学难点：如何确定事件的测度（是长度还是面积、体积等）．教学方法：谈话、启发式．教学过程：一、知识回顾1．复习与长度有关的几何概型．有一段长为10米的木棍,现要截成两段,每段不小于3米的概率有多大？二、学生活动从每一个位置剪断都是一个基本事件,基本事件有无限多个.但在每一处剪断的可能性相等,故是几何概型.三、建构数学古典概型与几何概型的对比.相同：两者基本事件的发生都是等可能的；不同：古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个.2.几何概型的概率公式.积等）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积等）的区域长度（面积或体构成事件A A P =)( 四、数学运用1．例题.与面积(或体积)有关的几何概型例 1 在1L 高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子,从中随机取出10mL ,含有麦锈病种子的概率是多少?解：取出10mL 麦种，其中“含有病种子”这一事件记为A ，则.1001为含有麦锈病种子的概率:答1001100010所有种子的体积取出种子的体积P(A)===变式训练：1.街道旁边有一游戏：在铺满边长为9 cm 的正方形塑料板的宽广地面上, 掷一枚半径为1 cm 的小 圆板.规则如下：每掷一次交5角钱,若小圆板压 在正方形的边上,可重掷一次；若掷在正方形内，须再交5角钱可玩一次； 若掷在或压在塑料板的顶点上,可获 1元钱.试问：（1）小圆板压在塑料板的边上的概率是多少？（2）小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少？解 (1)考虑圆心位置在中心相同且边长分别为7 cm 和9 cm 的正方形围成的区域内,所以概率为.8132979222=- 探究提高：几何概型的概率计算公式中的“测度”,既包含本例中的面积,也可以包含线段的长度、体积等,而且这个“测度”只与“大小”有关,而与形状和位置无关.与角度有关的几何概型例2 在等腰直角三角形ABC 中，在斜边AB 上任取一点M ，求AM 小于AC 的概率．解：在AB 上截取AC′＝AC ， 故AM ＜AC 的概率等于AM ＜AC ′的概率． ACB MC ’记事件A 为“AM 小于AC ”，222)(=='==ACAC AB C A AB AC A P 答：AM ＜AC 的概率等于22． 思考：在等腰直角三角形ABC 中，过点C 在∠C 内作射线CM ，交AB 于M ，求AM 小于AC 的概率．此时的测度是作角是均匀的，就成了角的比较了． P （A ）＝43283'==∠∠ππACB ACC D d 例3 课本的例4．可化为几何概型的概率问题例4 甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面, 并约定先到者应等候另一人一刻钟,过时即可离去. 求两人能会面的概率.思维启迪：在平面直角坐标系内用x 轴表示甲到达 约会地点的时间,y 轴表示乙到达约会地点的时间,用0分到60分表示6时到7时的时间段,则横轴0到60与纵轴0到60的正方形中任一点的坐标(x ,y )就表示甲、乙两人分别在6时到7时时间段内到达的时间.而能会面的时间由|x －y |≤15所对应的图中阴影部分表示.以x 轴和y 轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间,则两人能够会面的充要条件是|x －y |≤15.在如图所示平面直角坐标系下,(x ，y )的所有可能结果是边长为60的正方形区域，而事件A “两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示．由几何概型的概率公式得： .167600302526003604560)(222=-=-==S S A P A 所以，两人能会面的概率是.167 A CBM C’2．练习.甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头,它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的.（1）如果甲船和乙船的停泊时间都是4小时,求它们中 的任何一条船不需要等待码头空出的概率；（2）如果甲船的停泊时间为4小时,乙船的停泊时间为2小时,求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率.解 (1)设甲、乙两船到达时间分别为x ，y ,则0≤x ＜24，0≤y ＜24且y －x ≥4或y －x ≤－4.作出区域⎪⎩⎪⎨⎧-<->-<≤<≤44,240,240x y x y y x 或设“两船无需等待码头空出”为事件A ,.362524242020212)(=⨯⨯⨯⨯=A P 则 （2）当甲船的停泊时间为4小时，乙船的停泊时间为2小时,两船不需等待码头空出,则满足x －y ≥2或y －x ≥4，设在上述条件时“两船不需等待码头空出”为事件B ,画出区域.2882215764422424222221202021)(.24,240,240==⨯⨯⨯+⨯⨯=⎪⎩⎪⎨⎧>->-<≤<≤B P y x x y y x 或五、要点归纳与方法小结本节课学习了以下内容：1．适当选择观察角度，把问题转化为几何概型求解；2．把基本事件转化为与之对应的区域D ；3．把随机事件A 转化为与之对应的区域d ；4．利用几何概型概率公式计算．。

最新人教版高中数学必修3第三章《几何概型》教案《几何概型》教案教学目标：1．正确理解几何概型的概念；可以辨别某种概型就是古典概型还是几何概型；掌控几何概型的概率公式；2．发现法教学，通过师生共同探究，体会数学知识的形成，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力；3．通过自学与探究活动，体会理论源于课堂教学并应用于课堂教学的辩证唯物主义观点．教学重点难点：1．重点：几何概型的概念、公式及应用领域；2．难点：几何概型与古典概型各自的适用范围．教法与学法：1．教法挑选：使用鼓励辨认出和概括归纳结合的教学方法，通过明确提出问题、分析问题、解决问题等教学过程，观测对照、归纳概括几何概型的概念及其概率公式；2．学法指导：以学生活动为主，引导学生在动手操作、实践探索、合作交流的基础上，充分调动学生学习的积极性和主动性．结合本课的实际需要，作如下指导：对于概念，学会几何概型与古典概型的比较；立足基础知识和基本技能，掌握好典型例题；注意数形结合思想的运用，把抽象的问题转化为熟悉的几何概型．教学过程：一、设置情境，引出概念教学教学过程环节问题开篇以一个游如图，存有两个旋钮．甲、乙两人玩玩旋钮游戏，戏开篇，唤起学规定当指针指向ｂ区域时，甲获得胜利，否则乙获得胜利．生自学兴趣，引发学生的主动教师以游戏开篇，在充分调动学生兴趣的情形下，明确提出问题．设计意图师生活动引人深思问题：在以下两种情况下分别谋甲获得胜利的概率．题中甲获得胜利的概率只与图中几何因素有关，我概念介们就说道它就是几何概型．特别注意：（1）这里“只”非常关键，如果没“只”字，那么就意味著几何概型的概率可能将还与思索．得出概念，学生在认知概教师得出概念的基础上，举念，使学生互相出来适当例子，浅探讨，并派遣代表化认知概念．列举适当例子．绍其他因素有关，这就是错误的．为时程难点并作铺垫（2）正确理解“几何因素”，一般说来指区域长度（或面积或体积）如果每个事件出现的概率只与形成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则表示这样的概率模型为几何概率模型，缩写为几何概型．在几何概型中，事件a的概率的计算公式如下：二、例题揭秘，深化概念教学教学过程环节趁热打例1：假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30～7：30之间把报纸送到你家，而你父亲离开家去工作的时间在早上7：00～8：00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸通过例题的讲解，深化对事直接点学生回答，教师予以点设计意图师生活动铁深化概念（称为事件a）的概率是多少．件的分类的理解．评．分析：利用几何概型的公式计算事件的概率．解：如图，正方形区域内任何一点的横坐标表示送报人送到报纸的时间，纵坐标表示父亲离开家去工作的时间．假设随机试验落在正方形内任一点是等可能的，所以符合几何概型的条件．根据题意，只要点落到阴影部分，就表示父亲在离开家前能得到报纸，即事件a发生，所以三、归纳小结，课堂延展教学教学过程环节设计意图师生活动1．几何概型就是区别于古典概型的又一概率模概括小结作业稳固作业布置：课本练型，采用几何概型的概率计算公式时，一定必须特别注意其适用于条件：每个事件出现的概率只与形成该事件区域的长度（面积或体积）成比例．2．几何概型的特点：(1)试验中所有可能将发生稳固新知，由学生谈论体会，师生共同概括总结．础．学打下一定基的结果(基本事件)存有无穷个(2)每个基本事件发生为学生的时程研习的可能性成正比．3．在几何概型中，事件a的概率的计算公式如下：教学设计说明1．教材地位分析：“几何概型”这一节内容是安排在“古典概型”之后的第二类概率模型，是对古典概型内容的进一步拓展，是等可能事件的概念从有限向无限的延伸．此节内容是为更广泛地满足随机模拟的需要而在新课标中增加的，这是与以往教材安排上的最大的不同之处．充分体现了数学与实际生活的紧密关系：来源生活，而又高于生活．同时也暗示了它在概率论中的重要作用，在高考中的题型的转变．2．学生现实分析：由于大部分学生对于数学缺少兴趣，自学数学缺乏主动性，太少动手解题．因此，教学过程中要不断进一步增强学生自学的兴趣，使学生主动自学数学．3.本节课中，从概念的形成到应用建模，再到知识的巩固拓展都是学生在这些活动中完成，教师启发引导下，学生思考、讨论、探究，从而解决问题，充分体现学生的主体地位，而且这种学习方式除了贯穿课堂，也延伸至课外．教师不要一气呵成，而应设计有梯度的问题带动学生学习的积极性，只有学生真正参与课堂，教学效果才是好的，才能教育出真正的人才．。

3.3.1 几何概型教学目标：1、学生初步掌握并运用几何概型解决有关概率问题；2、能够正确区分几何概型及古典概型；3、提高学生判断与选择几何概型的概率公式的能力。

教学重点与难点：重点：1、几何概型的特点及其几何概型的概率公式的判断与选择；难点：几何概型的概率公式的判断与选择教学方法：“学生为主体，教师为主导”的探究性学习模式板书设计：教学过程:【知识回顾】古典概型的特点及其概率公式： (1)1 (2) 2A () A P A ⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨=⎪⎪⎪⎩试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；、古典概型的特点每个基本事件出现的可能性相等。

古典概型包含基本事件的个数、事件的概率公式：基本事件的总数【课前练习】(赌博游戏)：甲乙两赌徒掷色子，规定掷一次谁掷出6点朝上则谁胜，请问甲、乙赌徒获胜的概率谁大？学生分析：色子的六个面上的数字是有限个的，且每次都是等可能性的，因而可以利用古典概型；学生求解：1;6p =甲16p =乙。

（转盘游戏）：图中有两个转盘.甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B 区域时,甲获胜,否则乙获胜.在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少?① ②学生分析：1、指针指向的每个方向都是等可能性的，但指针所指的位置却是无限个的，因而无法利用古典概型；2、利用B 区域的所对弧长、所占的角度或所占的面积与整个圆的弧长、角度或面积成比例研究概率；学生求解：法一（利用B 区域所占的弧长）：1(1)();2B p B ==所在扇形区域的弧长整个圆的弧长3(2)().5B p B ==所在扇形区域的弧长整个圆的弧长 法二（利用B 区域所占的圆心角）：1801(1)();3602B p B ︒︒===所在圆心角的大小圆周角336035(2)();3605B p B ︒︒⨯===所在圆心角的大小圆周角 法三（利用B 区域所占的面积）：1(1)();2B p B ==所在扇形的面积整个圆的面积3(2)().5B p B ==所在扇形的面积整个圆的面积 【问题猜想】1.两个问题概率的求法一样吗？若不一样,请问可能是什么原因导致的？2.你是如何解决这些问题的？3.有什么方法确保所求的概率是正确的？学生对比分析：。

3-3.3 几何概型一、教材分析在人教版高中数学教材的知识体系中，几何概型被安排在必修3的第三章第三节，是继古典概型后对另一常见概型的学习，是在古典概型基础上进一步的拓展，将等可能事件的概念从有限延伸至无限。

学好此节内容有助于学生全面系统地掌握概率知识和进一步形成辩证思想。

二、学情分析学生已经学习了概率的含义以及古典概型的计算方式，对概率有一定的了解，掌握了一定的概率求解方法，掌握了古典概型的相关知识。

通过对比分辨两种概型的区别与联系，进行几何概型的学习。

三、教学目标1、知识与技能：通过实际操练，使学生从多种维度体验几何概型的实际应用，初步体会几何概型的意义；将古典概型与几何概型进行对比，使学生明确几何概型与古典概型的区别，掌握几何概型概率计算公式的应用,能够运用线性规划等方法解决复杂的几何概型问题。

通过思维拓展，使学生初步了解随机模拟方法的使用及其实际意义。

2、过程与方法：通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯，培养学生实践能力、协调能力、创新意识和处理数据能力以及应用数学意识。

3、情感、态度与价值观：帮助学生养成合作交流的习惯，初步形成建立数学模型的能力，通过学生的实际操作，激发学生学习的兴趣，重视数学在实际生活中的作用。

四、教学重点、难点1.教学重点①正确理解几何概型的定义、特点；②会用几何概型概率公式求解随机事件的概率。

2.教学难点①根据古典概型与几何概型的区别，来判断一个试验是否为几何概型；②将实际问题抽象成几何概型,并灵活运用各类方法解决几何概型问题.五、教法选择“以学生为主体”的探究性教学，讲授法，谈话法六、教学过程本节课的教学，共分为五个部分：一、知识梳理二、情境导入三、问题探究四、思维拓展五、回顾小结七、教学设计一、知识梳理【师】：同学们，上节课我们学习了古典概型，通过以下情景我们来回顾一下。

情景一：区间[0,4]上取一整数，恰好在区间[0,1]上的概率是多少？（板书在右边）这个情境里，基本事件是什么？基本事件有哪些？每一个基本事件发生的可能性为多少？什么情况下事件A发生？【生】：所取得的整数；01234五个；1/5；0,1；2/5【师】：非常好，由此我们可以得出情景一下的概率为2/5.那么由此我们可以知道古典概型有什么特点呢？【生】：基本事件可数，发生的可能性相同。

第一课时 3.3.1 几何概型教学要求：结合已学过两种随机事件发生的概率的方法,更进一步研究试验结果为无穷多时的概率问题理解几何概型的定义与计算公式。

教学重点:初步体会几何概型的意义.教学难点:对几何概型的理解.教学过程:一、复习准备:1。

回忆基本事件的两个特点：（1)任何两个基本事件是互斥的.（2）任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.2．回忆古典概型有两个特征：有限性和等可能性。

3．提出问题：在现实生活中,常常遇到试验结果是无穷多的情况，那又怎样计算呢?二、讲授新课：1. 教学：几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型（geometric models of probability ）简称为几何概型。

在几何概型中，事件A 概率计算公式为：()()()A P A =构成事件的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积几何概型的特点：在一个区域内均匀分布，只与该区域的大小有关。

几何概型与古典概型的区别:试验的结果不是有限个。

例1 某路公共汽车5分钟一班准时到达某车站，求任一人在该车站等车时间少于3分钟的概率（假定车到来后每人都能上）．可以认为人在任一时刻到站是等可能的． 设上一班车离站时刻为a ，则某人到站的一切可能时刻为 Ω= (a ， a+5）,记A={等车时间少于3分钟},则他到站的时刻只能为g = （a+2, a+5)中的任一时刻，故3()5g P A ==Ω的长度的长度 例2.某个人午觉醒来，他打开收音机。

想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率。

分析：在0到60分钟任一时刻打开收音机是等可能的，但0到60分钟之间有无穷个时刻，不能用古典概型的公式计算,,因为是等可能的，所以他在哪一时段打开收音机的概率只与该时段的长度有关而与位置无关，这符合几何概型的要求.）3. 小结: 如何利用几何概型事件和随机模拟方法来求一些求知量?三、巩固练习:1.（会面问题)两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时离去．求两人会面的概率.答案：592。