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几何概型(优秀课件)

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人教课标版《几何概型》PPT精美版1

人教课标版《几何概型》PPT精美版1

（5）豆子落在黄色或绿色区域． 5
9
例3 一海豚在水池中自由游弋，水池为长30米，宽20米
的长方形。求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2米的概率。
解：区域Ω是长30米，宽20米的
长方形。图中阴影部分表示事件 A:“海豚嘴尖离岸边不超过20m”.
于是 3 0 2 060 (m 20 ),
A 3 2 0 0 2 1 6 6 1(m 8 2 )4 .
泰 山
3.3.1 几何概型
复习
古典概型的两个基本特点是什么？ （1）所有的基本事件只有有限个; （2）每个基本事件发生都是等可能的.
公式：P(A)A包基 含本 的事 基件 本的 事总 件数 数 的个
• 问题1: 图中有一 个转盘.甲乙两人玩转盘游戏,规定
当指针指向黄颜色区域时,甲获胜,否则乙获胜.问甲获 胜的概率是多少?
P(A) A1 68 04 07 25 30.3.1
所以，海豚嘴尖离岸边不超过2 m的概率约为 0.31 .
例4 平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一
枚半径的硬币பைடு நூலகம்意掷在这平面上，求硬币不与任一
条平行线相碰的概率。
A
C
解:设事件 A : “硬币不与任 •
一平行线相碰”.当圆心在两
D
条虚线之间时,事件A发生.线
(1)
(2)
(3)
1
1
3
2
2
5
问题2
有一杯1升的水,其中含有1 个细菌,用一个小杯从这杯水 中取出0.1升,求小杯水中含 有这个细菌的概率.
P(A) 0.10.1 1
(1)
(2)
(3)
事实上,甲获胜的概率与黄颜色扇形区域的面积或圆 弧的长度有关,而与区域的位置无关.因为转转盘时,指 针指向圆弧上哪一点都是等可能的.不管这些区域是相 邻,还是不相邻,甲获胜的概率是不变的.

《几何概型》课件

《几何概型》课件
古典概型的特点及其概率公式：
(1)试验中所有可能出现的基本事
古 1.特点 件只有有限个。
典
(2)每个基本事件出现的可能性相等.
概
型 2.事件A的概率公式:
A包含基本事件的个数 P(A)=
基本事件的总数
(赌博游戏)：甲、乙两赌徒掷骰子， 规定掷一次谁掷出6点朝上则谁胜，请问 甲、乙赌徒获胜的概率谁大？
1 35
(转盘游戏)：图中有两个转盘.甲乙两 人玩转盘游戏, 规定当指针指向B区域时, 甲获胜, 否则乙获胜.在两种情况下分别求 甲获胜的概率是多少?
①
②
普通高中课程标准实验教科书
（第一课时)
①两个问题概率的求法一样吗？若不一样, 请问可能是什么原因导致的？
② 你是如何解决这些问题的？ ③有什么方法确保你所求的概率是正确的？
3.几何概型中事件A的概率公式：
4.古典概型与几何概型的区别：
古典概型
几何概型
基本事件 的个数
基本事件 的可能性
有限个 相等
A包含基本事件的个数
概率公式
P(A)=
基本事件的总数
无限多个
相等
构成事件A的区域长度 (面积或体积) 试验的全部结果所构成的 区域长度(面积或体积)
下列概率问题中哪些属于几何概型？ ⑴从一批产品中抽取30件进行检查, 有5件次品，求正品的概率。
⑵箭靶的直径为1m，靶心的直径为12cm， 任意向靶射箭，射中靶心的概率为多少？
⑶随机地投掷硬币50次，统计硬币正面朝 上的概率。
⑷甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处 会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过 时才可离去，求两人能会面的概率
运用1：如图，在边长 为2的正方形中随机撒一 粒豆子，则豆子落在圆内 的概率是____________。

几何概型(优秀课件)

几何概型(优秀课件)

例2.甲、乙二人约定在下午12点到17点之间在某地会面， 先到者等一个小时后即离去,设二人在这段时间内的各时刻 到达是等可能的，且二人互不影响。求二人能会面的概率。
解： 以 X , Y 分别表示甲、乙二人到达的时刻，
于是 0 X 5, 0 Y 5.
y
即 点 M 落在图中的阴影部
分.所有的点构成一个正 方形，即有无穷多个结果. 由于每人在任一时刻到达 都是等可能的，所以落在正 方形内各点是等可能的.
3.3.1几何概型
问创题设情情境境3：
下图是卧室和书房地板的示意图，图中 每一块方砖除颜色外完全相同，小猫分别在 卧室和书房中自由地走来走去，并随意停留 在某块方砖上。在哪个房间里，小猫停留在 黑砖上的概率大？
卧室
书房
几何图形
思考：上述问题的概率与什么有关？ 这是古典概型问题吗？
古典概型的两个基本特点: （1）所有的基本事件只有有限个; （2）每个基本事件发生都是等可能的.
那么对于有无限多个试验结果的情况 相应的概率应如果求呢?
问题
1.取一根长度为30cm的绳子，拉直后在任意位 置剪断，那么剪得两段的长度都不小于10cm的 概率有多大？
基本事件: 从30cm的绳子上的任意一点剪断.
解：记“剪得两段绳长都不小于10cm”为事件A. 把绳子三等分,于是当剪断位置处在中间一段上时, 事件A发生.由于中间一段的长度等于绳长的1/3.
练一练:
4.有一杯1升的水,其中含有1个大肠杆 菌,用一个小杯从这杯水中取出10毫升, 求小杯水中含有这个细菌的概率.
思 考:
国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话， 发现30min的磁带上，从开始30s处起，有10s长的一段 内容包含间谍犯罪的 信息．后来发现,这段谈话的部分被 某工作人员擦掉了，该工作人员声称他完全是无意中按 错了键，使从此后起往后的所有内容都被擦掉了．那么 由于按错了键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉 的概率有多大？

几何概型课件(公开课)(28张PPT)

几何概型课件(公开课)(28张PPT)
1比赛靶面直径为122cm,靶心直径为12.2cm，随机射箭，
假设每箭都能中靶，射中黄心的概率
P( A)
A对应区域的面积 试验全部结果构成区域的面积
1 100
2 500ml水样中有一只草履虫，从中随机取出2ml水样放
在显微镜下观察，发现草履虫的概率
P(
A)
A对应区域的体积 试验全部结果构成区域的体积
= A C '= A C = 2 AB AB 2
则AM小于AC的概率为2
2
解：如图，当P所在的区域为正方形ABCD的内部(含边界)， 满足x2+y2≥4的点的区域为以原点为圆心，2为半径的圆的外 部(含边界)． 故所求概率
练习 5.在半径为1的圆上随机地取两点，连成一条线，则
其长超过圆内等边三角形的边长的概率是多少？
2 500
1 250
某人在7：00-8：00任一时刻随机到达单位， 问此人在7：00-7：10到达单位的概率？
设“某人在7:10-7:20到达单位”为事件A
P( A)
A对应区域的长度 试验全部结果构成区域的长度
1 6
不是古典概 型！
问此人在7：50-8：00到达单位的概率？
类比古典概型，这些实验有什么特点？ 概率如何计算？
2a
解: 记“豆子落在圆内”为事件A,
P(A)
圆的面积 πa2 正方形面积 4a2
π 4
答 豆子落入圆内的概率为π4 .
应用巩固：
(1)在区间（0，10）内的所有实数中随机.
(2) 在1万平方千米的海域中有40平方千米的与大面陆积架成储比藏例 着石油,如果在海域中任意点钻探,钻到油层面的概率 .
F
E B
P=2/9

几何概型课件

几何概型课件
几何概型
填要点、记疑点
1．几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与 构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例 ，则 称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．
2．几何概型的特点 (1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有 无限多个 ． (2)每个基本事件出现的可能性 相等 ．
3．几何概型的概率公式
探要点、究所然
探究点一：几何概型的概念
思考6 古典概型和几何概型有什么相同点和不同点？ 答 相同点：两者基本事件发生的可能性都是相等的； 不同点：古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个.
探要点、究所然
探究点一：几何概型的概念
例1 判断下列试验中事件A发生的概型是古典概型，还是几何概型． (1)抛掷两颗骰子，求出现两个“4点”的概率；(2)思考3中，求甲获胜的概率． 解 (1)抛掷两颗骰子，出现的可能结果有6×6＝36种，且它们都是等可能的，因 此属于古典概型； (2)游戏中指针指向B区域时有无限多个结果，而且不难发现“指针落在阴影部 分”，概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量，即与区域面积有关，因 此属于几何概型．
探要点、究所然
探究点二：几何概型的概率公式
答 从每一个位置剪断都是一个基本事件，剪断位置可以是长度为3 m的绳子上的 任意一点．
如上图，记“剪得两段的长都不小于1 m”为事件A.把绳子三等分，于是当剪断位置 处在中间一段上时，事件A发生．由于中间一段的长度等于绳长的13， 于是事件A发生的概率P(A)＝13.
钟”为事件A，则事件A发生即当点t落在线段TT2上，即D＝T1T2＝10，d＝TT2＝6. 所以P(A)＝Dd ＝160＝35. 故乘客候车时间不超过6分钟的概率为35.
探要点、究所然

几何概型 课件

几何概型 课件

2.射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环,如图,比赛靶 面直径为122 cm,靶心直径为12.2 cm,运动员在70 m外 射箭.假设射箭都能中靶.
问:(1) 试验中的基本事件是什么?有多少个? 提示:射中靶面上每一点都是一个基本事件,这一点可 以是靶面直径为122 cm的大圆内的任意一点.基本事件 的个数为无限个.
【解题指南】(1)基本事件空间中有有限个元素,是古 典概型,应用古典概型概率公式求解. (2)基本事件中有无数多个元素是几何概型.
【解析】设事件A为“方程x2+2ax+b2=0有实根”. 当a≥0,b≥0时,方程x2+2ax+b2=0有实根的充要条件 为a≥b. (1)基本事件共有12个:(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1, 1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2).其
中第一个数表示a的取值,第二个数表示b的取值. 事件A包含9个基本事件,故事件A发生的概率为P(A)= 9 ＝3 .
12 4
(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a,b)|0≤a≤3,
0≤b≤2}.
构成事件A的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b}.
所以所求的概率为P(A)=
3
2－1 2
C. 1
D. 1
2
3
6
12
【解题指南】(1)先由f(x)=-x2+mx+m的图象与x轴有公 共点,求出x的范围,再由几何概型的概率计算公式求解. (2)从角度方面考虑,注意和射线的区别.
【解析】(1)选D.因为函数f(x)=-x2+mx+m的图象与x轴
有公共点,
所以Δ=m2+4m≥0,

人教版高中数学必修三3.几何概型PPT课件(共22)

人教版高中数学必修三3.几何概型PPT课件(共22)

小结：
⑴甲获胜的概率与所在扇形区域的圆弧的长度有 关，而与区域的位置无关。
(2)转转盘时，指针指向圆弧上哪一点都是等可能的。 不管这些区域是相邻，还是不相邻，甲获胜的概 率是不变的。
(3)甲获胜的概率与扇形区域所占比例大小有关，与 图形的大小无关。
人教版高中数学必修三3.几何概型PPT 课件( 共22)
练习3
• 射箭比赛的箭靶是涂有五个彩色的分环.从外向内为 白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色,金色靶心叫 “黄心”。奥运会的比赛靶面直径为122cm,靶心直 径为12.2cm.运动员在70m外射箭,假设每箭都能中 靶,那么射中黄心的概率是多少?
分析：随机射箭，射落在箭靶 内任何一点是等可能的，且箭 所在的位置有无限多个，符合 几何概型。
探究规律：
几何概型公式（3）：
公式（3）： P(A)= 构成事件 A 的区域体积 全结果所构成的区域体积
练习4
1．在500ml的水中有一个草履虫， 现从中随机取出2ml水样放到显微镜 下观察，则发现草履虫的概率是（ ） A．0.5 B．0.4 C．0.004 D．不能确定
探究规律：
公式（1）： P(A)=
课堂小结
• 1.几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发 生的概率类型。
• 2.几何概型主要用于解决长度、面积、体积有关的题目。
构成事件 A 的区域长度（面积或体积）
P(A)= 全结果所构成的区域长度（面积或体积）
• 3.注意理解几何概型与古典概型的区别。 • 4.理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几
人教版高中数学必修三3.几何概型PPT 课件( 共22)
练习2.取一根长为3米的绳子,拉直后在 人教版高中数学必修三3.几何概型PPT课件(共22) 任意位置剪断,那么剪得两段的长都不少 于1米的概率有多大?

高中数学人教版必修3课件：3.3几何概型(共20张PPT)

高中数学人教版必修3课件：3.3几何概型(共20张PPT)
• 每个基本事件出现的可能性相等 • 我们称这种试验模型为几何概率模型，简
称几何概型。
自我总结：古典概型与几何概型的区别
第三章 概 率
3.3 几何概型
• 甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向黄色区域时,甲 获胜,否则乙获胜.用下列哪种转盘时甲获胜的可能性 比较大？
(1)
(2)
• 很明显地可以几何概型中每个事件发生的概率 只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例.
P(
A)
构成事件A的区域长度(面积或体积) 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)
1. 在[0，3]上任取一个整数 n=4 2. 在[0，3]上任取两个整数 n=6 3. 在[0，3]上可重复的取两个整数 n=16 4. 在[0，3]上任取一个数 l=3 5. 在[0，3]上任取两个数 S=9
y
• 解：甲、乙两人到公园的时间分 60
别为x，y，以7点为原点，建立
S
坐标系
A
• 因为-----所以基本事件构成的区20
域面积为：60*60
x
• 因为-----所以A=“两人能见面” 0
20
60
构成的区域面积为 60*60-
40*40
• 所以P（A）=5/9
练习3
在（0，1）区间里随机的取两个数，求较小的 数小于1/2的概率。
某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听
电台报时（电台会在整点报时），求他等待的时间
不多于10分钟的概率。
• 解：醒来的时间可能是整点后的0-60分 钟，所以基本事件构成的区域长度为60
• A={等待的时间不多于10分钟}意味着醒 来的时间点只能为50-60，区域长度为 10
• 所以P（A）=（60-50）/60=1/6

课件_人教版高中数学必修三几何概型PPT课件_优秀版

课件_人教版高中数学必修三几何概型PPT课件_优秀版
圆心角 结合古典概型知识和对本节的预习，小组合作，
解：图中阴影部分表示事件A，“海豚嘴尖离岸边不超过2 m”，
某同学午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.
利用长度、面积和体积等几何度量解决概率问题； 半径r<a的硬币任意投在这平面上，求硬币不与任一
面积
归纳定义
情境一：现在假设，一根长为3米的彩带，拉直后在任意位置剪 长度、面积、体积等几何度量的比值 人人参与，一名同学记录研讨成果。
几何概型的定义： 人人参与，一名同学记录研讨成果。
（2）你能根据刚才的研究成果，得出几何概型计算公式吗？ 在几何概型中,事件A的概率的计算公式: 解：图中阴影部分表示事件A，“海豚嘴尖离岸边不超过2 m”，
30×20－26×16=184(m2).
（1）你能根据刚才的研究成果，得出几何概型的定义吗？
某同学午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.
某同学午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.
例1 济南泉城海洋极地世界的一只小海豚在水池中自由游弋，水池为长30m,宽20m的长方形，求此小海豚离岸边不超过2m的概率．
结合古典概型知识和对三个事件的研讨，小组合作，
无关。满足以上条件的试验称公式:
PA
构成事 A的件 区长 域度、面 体积 积、 全部结果所构 长成 度的 、区 面 体 域 积 积、
记 表示区域Ω的几何度量， A 表示
子区域A的几何度量．则
定义辨析 呈现本质
几何概型定义，几何概型公式，几何概型的应用；
30×20－26×16=184(m ). 1升,求小烧杯水中含有这条金鱼的概率.

高中数学几何概型 (1)优秀课件

高中数学几何概型 (1)优秀课件

达车站的时刻落在线段T1T上时，事件发生，区域D
的测度为15，区域d的测度为5。
所以
P(A)D d的 的测 测 15 度 度 51 3
答：侯车时间大于10 分钟的概率是1/3.
变式：假设题设条件不变，求候车时间不 超过10分钟的概率.
分析：
T1
T
T2
P(A)D d的 的测 测11度 度 0532
练一练
与长度成比例
(1)在区间〔0，10〕内的所有实数中随机取一个实数a，
那么这个实数a>7的概率为
.
假设满足2≤a≤5呢？
(2) 在1万平方千米的海域中有40平方千米的与大面陆积架成储比藏例 着石油,如果在海域中任意点钻探,钻到油层面的概率 .
与体积成比例
(3) 在1000mL的水中有一个草履虫，现从中任取出 2mL水样放到显微镜下观察，发现草履虫的概率.
y
时刻分别为 x 及 y〔分钟〕, 那 30
么0 x 30 0 y 30
二人会面 x y 10 10
2
30
(30 10)2
5
p
2
30
9
10
x
30
2.甲乙两船都要在某个泊位停靠6小时，假定他 们在一昼夜的时间段中随机到达，试求这两艘
中至少有一艘在停泊时必须等待的概率。
解：设甲到达的时间为x，乙为y，那么
几何概型
问题:图中有两个转盘.甲乙两人玩转盘游戏,规定当指 针指向B区域时,甲获胜,否那么乙获胜.在两种情况下 分别求甲获胜的概率是多少?
3
1

2
5
事实上,甲获胜的概率与字母B所在扇形区域的 圆弧的长度有关,而与字母B所在区域的位置无关. 因为转转盘时,指针指向圆弧上哪一点都是等可能 的.不管这些区域是相邻,还是不相邻,甲获胜的概 率是不变的.

几何概型ppt

几何概型ppt
2
变式设有一个正方形的网格，其中每个最小的正方形
的边长都等于 6cm ，现用直径等于 2cm 的硬币投
掷到此网格内，求硬币落下后与网格线有公共点的概 率.
例4、甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊 两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻 到达是等可能的。如果甲船的停泊时间是1h， 乙船是2h，求它们中的任何一艘都不需要等 待码头空出的概率。
一般地，在几何区域
D
中随机取一点，
记事件“该点落在其内部的一个区域 d 的事件
为
A
则
这里的测度可以是长度，角度，面积，体积等. 几何概型的特点:
d的测度 P ( A) D的测度
。
(1)基本事件有无限多个;
(2)基本事件发生是等可能的.
诊断练习
1、如图，某人向圆内投镖，如果他每次都 投入圆内，那么他投中正方形区域的概率 为 2/π 。 2、如图，有一圆盘其中的阴影部分的圆心 角为45°，若向圆内投镖，如果某人每次 都投入圆内，那么他投中阴影部分的概率 为 1/8 。
A
DE 3 (2) P( B) OB 5
E C B
O
C
D
OD EB 2 (1) P( A) OB 5
例3、有一个半径为5的圆，现在将一枚半径 为1的硬币想圆投去，如果不考虑硬币完全 落在圆外的情况，试求硬币完全落入圆内的 概率。
4 4 P( A) 2 6 9
引入
1.在集合 A 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 中任取一个
元素
a ， 则 a 3 的概率为
.
A
1 2 3 4 5 6 7 8 9
.
2.如图在线段OA上任取一点 B(a,0) ，则 a 的概率为

几何概型 课件

几何概型 课件

• 我们在解决几何概率问题时和古典概型的 基本思路、步骤是一致的，计算方法上主 要搞清：
• (1)与长度有关的几何概型．
• (2)与面积有关的几何概型．
• (3)与体积有关的几何概型．
• 3．计算几何概率就要先计算基本事件空间与事 件A所包含的基本事件对应区域的几何度量(长度、 面积或体积)，而这往往遇到计算困难，这是本 节难点之一．实际上本节的重点不在于计算， 而在于如何利用几何概型，把问题转化为各种 几何概率问题，为此可考虑应用如下方法：
• 如图事件A理解为区域Ω的某一子区域A， 事件A的概率只与子区域A的几何度量(长度、 面积与体积)成正比，满足上述条件的试验 称为几何概型．
• 2．几何概型作为一种概率模型有两个特点：无限性和 等可能性．几何概型求解的概率问题和古典概型的思路 是相同的，都属于“比例算法”，即随机事件A的概率 可以用“事件A所包含的基本事件所占的图形的长度(面 积或体积)”与“试验的所有基本事件组成的集合所占的 总长度(面积或体积)”的比来表示．它的特征是在一区 域内均匀分布，其概率只与区域的大小有关，而与区域 的位置与形状无关，如果随机事件所在区域是一个点， 由于单点的长度、面积、体积都是0，则它发生的概率 为0，但它不是不可能事件；如果随机事件所在区域是 全部区域扣除一个单点，则它发生的概率为1，但它不 是必然事件，这是几何概型与古典概型的重要区别．
• 1．在古典概型中利用等可能性的概念， 成功地解决了某一类问题的概率．不过， 古典概型要求可能结果的总数必须有 限．我们希望能把这种做法推广到无限多 结果而又有某种等可能性的场合，得到随 机事件的概率，这便是几何概型所能解决 的问题．
• 对于一个随机试验，如果我们将每个基本 事件理解为从某特定的几何区域内随机地 取一点，则这个区域就是所有基本事件构 成的集合对应的区域，如果该区域内的每 一个点被取到的机会都一样，而事件A的 发生则可以理解为恰好取上述区域内的某 个指定区域内的点，这里的区域可以是线 段，也可以是平面图形、立体图形，这样 我们就把随机事件与量为μA，则事件A的概率

几何概型何概型 课件

几何概型何概型 课件
几何概型
自主学习：
古典概型的本质特征： 1、基本事件的个数有限， 2、每一个基本事件都是等可能发生的． 将古典概型中的有限性推广到无限性，而保留等可能性，就得到
几何概型． 几何概型的本质特征：
1、有一个可度量的几何图形S；
2、试验E看成在S中随机地投掷一点；
3、事件A就是所投掷的点落在S中的可度量图形A中．
如何求几何概型的概率？
一般地,在几何区域D中随机地取一点,记事件“该点 落在其内部一个区域d内”为事件A,则事件A发生的概 率为:
d的 测 度 P(A)= D的 测 度
注意：D的测度不能为0,其中“测度”的意义 依D确定.当D分别为线段,平面图形,立体图形 时,相应的“测度”分别为长度,面积,体积等.
0.004
与体积成比例
(3) 在1000mL的水中有一个草履虫，现从中任取出 2mL水样放到显微镜下观察，发现草履虫的概率.
阿
0.002
合作探究：
例1：某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机, 想听电台报时,求他等待的时间不多于10分钟的 概率.
解：设A={等待的时间不多于10分钟}.我们所关心的事 件A恰好是打开收音机的时刻位于[50,60]时间段内,因此 由几何概型的求概率的公式得
几何概型要求基本事件有无限多个.
3.几何概型的概率公式.
P ( A )
构成事件 A的区域长度（面积或体 积） 试验的全部结果所构成 的区域长度（面积或体
. 积）
4.几何概型问题的概率的求解.
பைடு நூலகம்
1 12.22
P(A)=
4 1
1222
0.01
4
1m
1m
3m
P(B)= 1

几何概型PPT

几何概型PPT

是可能的，则他们会面的概率是（ D）
（A） 1 （B）1 （C）1 （D）1
6
2
4
3
4.在圆心角为90°的扇形中，以圆心O为起点作射
线OC，使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率为
1 ____3_.
5.设有一个正方形网格，其边长为
6 cm，现用直径等于2 cm的硬币
掷到此网格上，则硬币落下后与格 线有交点的概率是___59_____.
几何概型特点：无限性，等可能性。
【例2】在区间[-1，1]上任取两个数，则： （1）求这两个数的平方和不大于1的概率； （2）求这两个数的差的绝对值不大于1的概率。
1.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，在
正方体内随机取点M，则四棱锥M-ABCD的体
积小于
1
1 的概率为﹏2﹏
6
2.某人午觉醒来发现自己的表停了，他打
开收音机想听电台的整点报时，则他等待
的时间不超过10分钟的概率是（ A ）
(A) 1 (B) 1
6
12
(C) 1 60
(D) 1 72
3. 小强和小华两位同学约定下午在钟楼公园喷水
池旁见面，约定谁先到后必须等10分钟后才可以
离开.如果小强是1:40分到达的，假设小华在1点
到2点内到达，且小华在1点到2点任一时刻到都
6.在等腰直角△ABC中，在斜边AB上任取 一点M，求AM的长小于AC的长的概率.
2 2
7.在面积为S的△ABC的边AB上任取一点
E，则△EBC的面积大于 S 的概率是（
1 （A）4
（B）12
（C）3 4
4
（D）2 3
C
）
几何概型
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练习
1.射箭比赛的箭靶是涂有五个彩色的分环.从外向 内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色,金色 靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为122cm, 靶心直径为12.2cm.运动员在70m外射箭,假设每 箭都能中靶,且射中靶面内任一点都是等可能的,那 么射中黄心的概率是多少?
解.记 “ 射 中 黄 心 ” 为 事 件 B,由 于 中 靶 点 随 机 落 在 1 面 积 为 π 1 2 22 cm 2的 大 圆 内而 , 当中靶点落在面 4 1 积 为 π 12.22 cm 2的 黄 心 内 时事 , 件 B发 生 . 4
1.国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话， 发现30min的磁带上，从开始30s处起，有10s长的一段 内容包含间谍犯罪的 信息．后来发现,这段谈话的部分被 某工作人员擦掉了，该工作人员声称他完全是无意中按 错了键，使从此后起往后的所有内容都被擦掉了．那么 由于按错了键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉 的概率有多大？
课堂小结

1.古典概型与几何概型的区别. 相同：两者基本事件的发生都是等可能的； 不同：古典概型要求基本事件有有限个， 几何概型要求基本事件有无限多个.

2.几何概型的概率公式.
d的测度(长度、面积 、体积) P(A) . D的测度(长度、面积 、体积)

3.几何概型问题的概率的求解.
古典概型
例2.甲、乙二人约定在下午12点到17点之间在某地会面， 先到者等一个小时后即离去,设二人在这段时间内的各时刻 到达是等可能的，且二人互不影响。求二人能会面的概率。
解： 以 X , Y 分别表示甲、乙二人到达的时刻， 于是 0 X 5, 0 Y 5. y 即 点 M 落在图中的阴影部 分.所有的点构成一个正 方形，即有无穷多个结果. 由于每人在任一时刻到达 都是等可能的，所以落在正 方形内各点是等可能的.
1 π 12.22 事件B发生的概率为P (B) 4 0.01 1 π 1222 4
例1.某人午休醒来，发觉表停了，他打开收音机 想听电台整点报时，求他等待的时间短于10分钟 的概率.
解：记“等待的时间小于10分钟”为事件A， 打开收音机的时刻位于[50，60]时间段内 则事件A发生. 由几何概型的求概率公式得 P（A）=（60-50）/60=1/6 即“等待报时的时间不超过10分钟”的概率为1/6.
思
考:
国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话， 发现30min的磁带上，从开始30s处起，有10s长的一段 内容包含间谍犯罪的 信息．后来发现,这段谈话的部分被 某工作人员擦掉了，该工作人员声称他完全是无意中按 错了键，使从此后起往后的所有内容都被擦掉了．那么 由于按错了键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉 的概率有多大？
如果每个事件发生的概率只与构 成该事件区域的长度（面积或体 积）成比例，则称这样的概率模 型为几何概型（Geometric models of probability） 几何概型的特点:
(1)基本事件有无限多个; （2)基本事件发生是等可能的.
一般地,在几何区域D中随机地取一点,记“该点落 在其内部一个区域d内”为事件A,则事件A发生的概率:
2 1 事件A发生的概率P( A) 8 4
练一练:
2.在1万平方公里的海域中有40平方公里的大陆贮
藏着石油.假如在海域中任意一点钻探,钻到油层面
的概率是多少? 3.如右下图,假设你在每个图形上随机撒一粒黄 豆,分别计算它落到阴影部分的概率.
练一练:
4.有一杯1升的水,其中含有1个大肠杆 菌,用一个小杯从这杯水中取出10毫升, 求小杯水中含有这个细菌的概率.
d的测度 P(A) . D的测度
注: （1）古典概型与几何概型的区别在于： 几何概型是无限多个等可能事件的情况， 而古典概型中的等可能事件只有有限多个； (2)D的测度不为0,当D分别是线段、平面图形、立体图形 时,相应的“测度”分别是长度、面积和体积. （3）区域应指“开区域” ，不包含边界点；在区域 D 内随机取点是指：该点落在 D 内任何一处都是等可能的， 落在任何部分的可能性只与该部分的测度成正比而与其性 状位置无关．
5 4 3 2 1
.M(X,Y)
0
1
2 3 4
5 x
记“两人会面”为事件A 二人会面的充要条件是：| X Y | 1,
y=x+1 y=x -1
阴影部分的面积 P(A) 正方形的面积 1 2 25 2 4 9 2 25 25.
y
5 4 3 2 1
0
1
2 3 4
5
x
思
考:
3.3.1几何概型
问题情境 创设情境3：
下图是卧室和书房地板的示意图，图中 每一块方砖除颜色外完全相同，小猫分别在 卧室和书房中自由地走来走去，并随意停留 在某块方砖上。在哪个房间里，小猫停留在 黑砖上的概率大？
卧 室
书 房
几何图形
思考：上述问题的概率与什么有关？ 这是古典概型问题吗？
古典概型的两个基本特点: （1）所有的基本事件只有有限个; （2）每个基本事件发生都是等可能的.
解:记事件A:按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或 全部擦掉．则事件A发生就是在０--２／３min时间 段内按错键．故 2 1 3 = 45 P(A)=
30
用几何概型解简单试验问题的方法
1、适当选择观察角度，把问题转化为几何概 型求解； 2、把基本事件转化为与之对应的区域D； 3、把随机事件A转化为与之对应的区域d； 4、利用几何概型概率公式计算。 注意：要注意基本事件是等可能的。
思考：能用圆盘等设计一种方法模拟试验吗？
设打开收音机的时刻X是随机的，则X为[0，60] 上的均匀随机数
练习
1.两根相距8m的木杆上系一根拉直绳子,并在 绳子上挂一盏灯,求灯与两端距离都大于3m的 概率.
解：记“灯与两端距离都大于3m”为事件A， 由于绳长8m，当挂灯位置介于中间2m
时，事ห้องสมุดไป่ตู้A发生，于是

那么对于有无限多个试验结果的情况 相应的概率应如果求呢?
问题
1.取一根长度为30cm的绳子，拉直后在任意位 置剪断，那么剪得两段的长度都不小于10cm的 概率有多大？
基本事件: 从30cm的绳子上的任意一点剪断.
解：记“剪得两段绳长都不小于10cm”为事件A.
把绳子三等分,于是当剪断位置处在中间一段上时, 事件A发生.由于中间一段的长度等于绳长的1/3.
几何概型
基本事件发生 的等可能性 基本事件个数 的无限性
联系
区别 求解方法
基本事件发生 的等可能性 基本事件个数 的有限性
1 事件A发生的概率P( A) 3
问题
2.上图中有两个转盘,甲乙两人玩转盘游戏规 定当指针指向B区域时,甲获胜,否则乙获胜. 在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少?
分析：甲获胜的概率只与B所在扇形区 域的圆弧长度有关，而与B所在区域的 位置无关，不管这些区域是否相邻
1 2
3 5
形成概念
对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某 个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中的每一个点 被取到的机会都一样,而一个随机事件的发生则理解为恰 好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可 以是线段、平面图形、立体图形等.