2019-2020年高中学业水平数学模拟测试卷(二)

2019-2020年九年级学业水平考试暨高中招生模拟测试数学试题全卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页.满分120分，考试时间共120分钟.注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、报名号（考号）写在答题卡上，并将条形码贴在答题卡上对应的虚线框内.同时在答题卡背面第3页顶端用2B铅笔涂好自己的座位号.2．第Ⅰ卷每小题选出的答案不能答在试卷上，必须用2B铅笔在答题卡上把对应题目．．．．的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦净后，再选涂其它答案.第Ⅱ卷必须用0.5mm黑色墨水签字笔书写在答题卡上的指定位置.不在指定区域作答的将无效.3．考试结束，监考人员只将答题卡收回.第Ⅰ卷（选择题共30分）一、选择题：（每题3分，共30分）1、9的算术平方根是（）A．±3B．-3 C．3 D．±812、下列各式计算正确的是（）A．B．C．D．3、右图是由四个相同的小长方体组成的立体图形，这个立体图形的正视图是（）4、下列说法正确的是（）A．为了了解我市今年夏季冷饮市场冰淇淋的质量，可采用普查的调查方式B．打开电视机，正在播广告是必然事件C．销售某种鞋，销售商最感兴趣的是所销售的鞋的尺码的平均数D．当我市考查人口年龄结构时，符合这一条件的所有资阳市的公民的年龄就是一个样本5、如图1，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=32°，则∠2的度数是（）；A．32°B．58°C．68°D．60°6、一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率都是，根据题意，下面列出的方程正确的是（）图A ．B ．C ．D ．7、如图2，A 、B 两点在数轴上表示的数分别为a 、b ，下列式子成立的是（ ）A ．ab ＞0B ．a +b ＜0C ．（b ﹣1）（a +1）＞0D ．（b ﹣1）（a ﹣1）＞08、如图3，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠BAC =60°，若⊙O 的半径0C 为2，则弦BC 的长为（ ）A ．1B ．C ．2D ．9、如图4，△ABD 是等边三角形，以AD 为边向外作△ADE ，使∠AED=30°，且AE =3,DE =2，连接BE ，则BE 的长为（ ）A ．4B ．C ．5D ．10、如图5，二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C点，且对称轴为直线x =1，点B 坐标为(－1，0)．则下面的四个结论：①2a +b =0；②8a +c＜0；③abc ＞0；④当y ＜0时，x ＜－1或x ＞2，⑤对任意实数m ，.其中正确的结论有（ ）个A ．2B ．3C ．4D ．5第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：1．请用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡相应区域作答，超出答案区域的答案无效.2．试卷中标“▲”及方框处是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答的内容或问题.请注意准确理解题意、明确题目要求，规范地表达、工整地书写解题过程或结果二、填空题：（每题3分，共18分）11、PM2.5是指大气中直径小于或等于0.0000025米的颗粒物，0.0000025米用科学记图 2 图3 x =1-1xy O 图5 D B A 图4数法表示应为▲ 米； 12、有一组数据：5、2、6、5、4，它们的中位数是 ▲ ；13、已知：PA 、PB 与⊙O 相切于A 点、B 点，OA ＝1，PA ＝，则图6中阴影部分的面积是▲ （结果保留）；14、若关于x 的一元二次方程总有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是▲ ；15、如图7所示，在三角形ABC 中，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，DF 过EC 的中点G 并与BC 的延长线交于点F ，BE 与DE 交于点O ．若△ADE 的面积为2，则四边形BOGC的面积为 ▲ ；16、如图8，，，……在函数的图象上，△、△、△、……△都是等腰直角三角形，斜边、、、，……都在轴上（n 是大于或等于2的正整数），则点的坐标是 ▲ .（用含n 的式子表示）．三、解答题：（共72分）18、（8分）某校开展了以“人生观、价值观”为主题的班队活动，活动结束后，初三（2）班数学兴趣小组提出了5个主要观点并在本班50名学生中进行了调查（要求每位同学只选自己最认可的一项观点），并制成了如图9所示的扇形统计图.（1）该班学生选择“和谐”观点的有 人，在扇形统计图中，“和谐”观点所在扇形区域的圆心角是 度.（2）如果该校有1500名初三学生，利用样本估计选择“感恩”观点的初三学生约有 人.（3）如果数学兴趣小组在这5个主要观点中任选两项观点在全校学生中进行调查，求恰好选到“和谐”和“感恩”观点的概率（用树状图或列表法分析解答）图6 图7 图8 图919.（8分）关于的不等式组（1）若.求这个不等式组的解集.（2）若这个不等式组的整数解有3个，求的取值范围. 20、（8分）如图10，在⊙O 中，AB =AC ，BD 为直径，弦AD 与BC 相交于点E ，延长DA 到F ，使∠ABF =∠ABC .（1）求证：BF 是⊙O 的切线；（2）若AD=8，tan∠ABF =，求DE 的长．21、（9分）如图11，在平面直角坐标系中，直线l 与轴相交于点M （3,0），与y 轴相交于点N （0，-4），反比例函数（x ＞0）的图象经过线段MN 的中点A ，（1）求直线l 和反比例函数的解析式；（2）在函数（x ＞0）的图象上取异于点A 的一点B ，作BC ⊥x 轴于点C ，连接OB 交直线l 于点P ．若△ONP 的面积是△OBC 面积的3倍，求点P 的坐标．22、（9分）如图12，一艘船以每小时60海里的速度自A 向正北方向航行，船在A 处时，灯塔S 在船的北偏东30°，航行1小时后到B 处，此时灯塔S 在船的北偏东75°，（运算结果保留根号）（1）求船在B 处时与灯塔S 的距离；（2）若船从B 处继续向正北方向航行，问经过多长时间船与灯塔S的距离最近．图10图11图1223、（11分）如图13所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．（1）求证：∠APB=∠BPH；（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；图13（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．24、（12分）如图14-1，在直角坐标系中，是坐标原点，点在轴正半轴上，二次函数y=ax2+x+c的图象F交x轴于B、C两点，交y轴于M点，其中B（﹣3，0），M（0，﹣1）．已知AM=BC．（1）求二次函数的解析式；（2）证明：在抛物线F上存在点D，使A、B、C、D四点连接而成的四边形恰好是平行四边形，并请求出直线BD的解析式；（3）在（2）的条件下，设直线l过D且分别交直线BA、BC于不同的P、Q两点，AC、BD相交于N①若直线l⊥BD，如图1，试求的值；②若l为满足条件的任意直线，如图14-2．①中的结论还成立吗？若成立，证明你的猜想；若不成立，请举出反例。

仿真模拟(二)一、选择题(本大题共18小题，每小题3分，共54分)1．若集合A ＝{x |－2＜x ＜1}，B ＝{x |0＜x ＜2}，则A ∩B 等于( ) A ．{x |－1＜x ＜1} B ．{x |－2＜x ＜1} C ．{x |－2＜x ＜2} D ．{x |0＜x ＜1}答案 D解析 利用数轴可求得A ∩B ＝{x |0＜x ＜1}，故选D. 2．函数y ＝2－x ＋ln(x －1)的定义域为( ) A ．(1,2] B ．[1,2] C ．(－∞，1) D ．[2，＋∞) 答案 A解析 由⎩⎪⎨⎪⎧2－x ≥0，x －1＞0，得1＜x ≤2，即函数的定义域为(1,2]．故选A.3．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，y ≥x 表示的平面区域是( )答案 C解析 由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，y ≥x 可知不等式组表示的平面区域为x ＋y ＝2的下方，直线y ＝x 的上方，故选C.4．设向量a ＝(1，－1)，b ＝(0,1)，则下列结论中正确的是( ) A ．|a |＝|b | B ．a ·b ＝1 C ．(a ＋b )⊥b D ．a ∥b答案 C解析 因为|a |＝2，|b |＝1，故A 错误； a ·b ＝－1，故B 错误；(a ＋b )·b ＝(1,0)·(0,1)＝0，故C 正确； a ，b 不平行，故D 错误．故选C.5．已知m ，n 为两条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，下列结论正确的是( ) A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若α∥γ，β∥γ，则α∥β C ．若α⊥β，m ∥α，则m ⊥β D ．若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ⊥n 答案 B解析 对于选项A ，若m ，n ⊂β，m ∩n ＝P ，α∥β，则m ∥α，n ∥α，此时m 与n 不平行，故A 错； 对于选项B ，由平面平行的传递性可知B 正确；对于选项C ，当α⊥β，α∩β＝l ，m ∥l ，m ⊄α时，有m ∥α， 此时m ∥β或m ⊂β，故C 错；对于选项D ，位于两个互相垂直的平面内的两条直线位置关系不确定，故D 错．故选B. 6．不等式x ＋3>|2x －1|的解集为( ) A.⎝⎛⎭⎫－4，23 B.⎝⎛⎭⎫－23，4C ．(－∞，4) D.⎝⎛⎭⎫－23，＋∞ 答案 B解析 不等式x ＋3>|2x －1|等价于－(x ＋3)<2x －1<x ＋3， 由此解得－23<x <4，故选B.7．命题p ：x ∈R 且满足sin 2x ＝1.命题q ：x ∈R 且满足tan x ＝1，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 由sin 2x ＝1，得2x ＝π2＋2k π，k ∈Z ，即x ＝π4＋k π，k ∈Z ；由tan x ＝1，得x ＝π4＋k π，k ∈Z ，所以p 是q 的充要条件，故选C.8．在△ABC 中，cos A ＝35，cos B ＝45，则sin(A －B )等于( )A ．－725 B.725 C ．－925 D.925答案 B解析 ∵A ，B ∈(0，π)，∴sin A ＝45，sin B ＝35，∴sin(A －B )＝sin A cos B －cos A sin B ＝725.9．已知圆C 经过A (5,2)，B (－1,4)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的方程是( ) A ．(x －2)2＋y 2＝13 B ．(x ＋2)2＋y 2＝17 C ．(x ＋1)2＋y 2＝40 D ．(x －1)2＋y 2＝20答案 D解析 设圆C 的圆心坐标为(m,0)，则由|CA |＝|CB |，得(m －5)2＋4＝(m ＋1)2＋16，解得m ＝1，圆的半径为25，所以其方程为(x －1)2＋y 2＝20，故选D. 10．已知a <0，－1<b <0，则下列结论正确的是( ) A ．a >ab >ab 2 B ．ab >a >ab 2 C ．ab >ab 2>a D ．ab 2>ab >a 答案 C解析 由题意得ab －ab 2＝ab (1－b )>0， 所以ab >ab 2，ab 2－a ＝a (b ＋1)(b －1)>0， 所以ab 2>a ，故选C.11．已知一个几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则这个几何体的侧面积是( )A ．(1＋2)cm 2B ．(3＋2)cm 2C ．(4＋2)cm 2D ．(5＋2)cm 2答案 C解析 由三视图可知该几何体的直观图如图所示，所以侧面积为(4＋2)cm 2.故选C.12．已知关于x 的不等式x 2－4ax ＋3a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，则x 1＋x 2＋ax 1x 2的最小值是( )A.63 B.233 C.433 D.263答案 C解析 由题意得x 1＋x 2＝4a ，x 1x 2＝3a 2， 则x 1＋x 2＋a x 1x 2＝4a ＋13a ，因为a >0，所以4a ＋13a ≥433，当且仅当a ＝36时等号成立． 所以x 1＋x 2＋a x 1x 2的最小值是433，故选C.13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x －4，x ＞0，若函数y ＝f ()f (x )＋a 有四个零点，则实数a 的取值范围为( )A ．[－2,2)B ．[1,5)C ．[1,2)D ．[－2,5)答案 C解析 函数y ＝f ()f (x )＋a 有四个零点， 则f ()f (x )＋a ＝0有四个解，则方程f (x )＋a ＝－1与f (x )＋a ＝2各有两个解，作出函数f (x )的图象(图略)可得⎩⎪⎨⎪⎧－3＜－a －1≤1，－3＜2－a ≤1，解得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤a ＜2，1≤a ＜5，所以1≤a ＜2.故选C.14．已知等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，若S 3＝72，则S 6等于( )A.312B.632 C ．63 D.1272答案 B解析 由题意得S 6＝S 3(1＋q 3)＝72×(1＋23)＝632，故选B.15．已知数列{a n }为等比数列，若a 4＋a 6＝10，则a 7(a 1＋2a 3)＋a 3a 9的值为( ) A ．10 B ．20 C ．100 D ．200 答案 C解析 a 7(a 1＋2a 3)＋a 3a 9＝a 7a 1＋2a 7a 3＋a 3a 9＝a 24＋2a 4a 6＋a 26＝(a 4＋a 6)2＝102＝100，故选C.16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x >a ，x 2＋5x ＋2，x ≤a ，函数g (x )＝f (x )－2x 恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－1,1) B ．[0,2] C ．[－2,2) D ．[－1,2)答案 D解析 由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x >a ，x 2＋3x ＋2，x ≤a ，因为g (x )有三个不同的零点，所以2－x ＝0在x >a 时有一个解，由x ＝2得a <2. 由x 2＋3x ＋2＝0，得x ＝－1或x ＝－2， 则由x ≤a 得a ≥－1.综上，a 的取值范围为[－1,2)，故选D.17．已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 为双曲线上的一点且满足PF 1—→·PF 2—→＝－12c 2，则此双曲线的离心率的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．[3，＋∞)C ．[2，＋∞) D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5＋12，＋∞答案 C解析 设P (x 0，y 0)，则PF 1—→·PF 2—→＝(－c －x 0)(c －x 0)＋y 20＝x 20＋y 20－c 2， 所以x 20＋y 20－c 2＝－12c 2. 又x 20a 2－y 20b2＝1，所以x 20＝a 2⎝⎛⎭⎫1＋y 20b 2， 所以a 2⎝⎛⎭⎫1＋y 20b 2＋y 20－c 2＝－12c 2， 整理得c 2y 20b 2＝c 22－a 2，所以c 22－a 2≥0，所以c ≥2a ，e ≥2，故选C.18．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BC ＝AA 1＝1，点P 为对角线AC 1上的动点，点Q 为底面ABCD 上的动点(点P ，Q 可以重合)，则B 1P ＋PQ 的最小值为( ) A.32 B. 2 C.3 D ．2 答案 A解析 P 在对角线AC 1上，Q 在底面ABCD 上，PQ 取最小值时P 在平面ABCD 上的射影落在AC 上，将△AB 1C 1沿AC 1翻折到△AB 1′C 1，使平面AB 1′C 1与平面ACC 1在同一平面内，B 1P ＝B 1′P ， 所以(B 1′P ＋PQ )min 为B 1′到AC 的距离B 1′Q .由题意知，△ACC 1和△AB 1′C 1为有一个角为30°的直角三角形，∠B 1′AC ＝60°，AB 1′＝3， 所以B 1′Q ＝3·sin 60°＝32.二、填空题(本大题共4小题，每空3分，共15分)19．若坐标原点到抛物线x ＝－m 2y 2的准线的距离为2，则m ＝________；焦点坐标为________． 答案 ±24(－2,0)解析 由y 2＝－1m 2x ，得准线方程为x ＝14m 2，∴14m 2＝2，∴m 2＝18， 即m ＝±24，∴y 2＝－8x ，∴焦点坐标为(－2,0)．20．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝(－1)n (a n ＋1)，记S n 为{a n }的前n 项和，则S 2 017＝________. 答案 －1 007解析 由a 1＝1，a n ＋1＝(－1)n (a n ＋1)， 可得a 2＝－2，a 3＝－1，a 4＝0，a 5＝1，该数列是周期为4的循环数列，所以S 2 017＝504(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋a 1＝504×(－2)＋1＝－1 007.21．已知向量a ＝(－5,5)，b ＝(－3,4)，则a －b 在b 方向上的投影为________． 答案 2解析 由a ＝(－5,5)，b ＝(－3,4)，则a －b ＝(－2,1)，(a －b )·b ＝(－2)×(－3)＋1×4＝10，|b |＝9＋16＝5，则a －b 在b 方向上的投影为(a －b ) ·b |b |＝105＝2.22．已知函数f (x )＝x 2＋px －q (p ，q ∈R )的值域为[－1，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )＜s 的解集为(t ，t ＋4)，则实数s ＝________. 答案 3解析 因为函数f (x )＝x 2＋px －q ＝⎝⎛⎭⎫x ＋p 22－p 24－q 的值域为[－1，＋∞)，所以－p24－q ＝－1，即p 2＋4q ＝4.因为不等式f (x )＜s 的解集为(t ，t ＋4)，所以方程x 2＋px －q －s ＝0的两根为x 1＝t ，x 2＝t ＋4，则x 2－x 1＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(－p )2－4(－q －s ) ＝p 2＋4q ＋4s ＝4＋4s ＝4，解得s ＝3. 三、解答题(本大题共3小题，共31分)23．(10分)等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 4＝16. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a 3，a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n . 解 (1)设{a n }的公比为q ，由已知得16＝2q 3，解得q ＝2. 所以a n ＝2·2n －1＝2n (n ∈N *)． (2)由(1)得a 3＝8，a 5＝32， 则b 3＝8，b 5＝32.设{b n }的公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋2d ＝8，b 1＋4d ＝32.解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝－16，d ＝12.所以b n ＝－16＋12(n －1)＝12n －28. 所以数列{b n }的前n 项和S n ＝n (－16＋12n －28)2＝6n 2－22n (n ∈N *)．24．(10分)如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2＝1(a >1)，过直线l ：x ＝2上一点P 作椭圆的切线，切点为A ，当P 点在x轴上时，切线P A 的斜率为±22.(1)求椭圆的方程；(2)设O 为坐标原点，求△POA 面积的最小值． 解 (1)当P 点在x 轴上时， P (2,0)，P A ：y ＝±22(x －2)．联立⎩⎨⎧y ＝±22(x －2)，x2a 2＋y 2＝1，化简得⎝⎛⎭⎫1a 2＋12x 2－2x ＋1＝0， 由Δ＝0，解得a 2＝2， 所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)设切线方程为y ＝kx ＋m ，P (2，y 0)，A (x 1，y 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋2y 2－2＝0， 化简得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0， 由Δ＝0，解得m 2＝2k 2＋1，且x 1＝－2km 1＋2k 2，y 1＝m 1＋2k 2，y 0＝2k ＋m ， 则|PO |＝y 20＋4，直线PO 的方程为y ＝y 02x ，则点A 到直线PO 的距离d ＝|y 0x 1－2y 1|y 20＋4， 设△POA 的面积为S ， 则S ＝12|PO |·d ＝12|y 0x 1－2y 1|＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪(2k ＋m )－2km 1＋2k 2－2m 1＋2k 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2k 2＋km1＋2k 2m ＝|k ＋m |. 当m ＝2k 2＋1时，S ＝|k ＋1＋2k 2|.(S －k )2＝1＋2k 2，则k 2＋2Sk －S 2＋1＝0，Δ＝8S 2－4≥0，解得S ≥22，当S ＝22时k ＝－22. 同理当m ＝－2k 2＋1时，可得S ≥22， 当S ＝22时k ＝22. 所以△POA 面积的最小值为22. 25．(11分)设a 为实数，函数f (x )＝(x －a )2＋|x －a |－a (a －1)．(1)若f (0)≤1，求a 的取值范围；(2)讨论f (x )的单调性；(3)当a ≥2时，讨论f (x )＋4x在区间(0，＋∞)内的零点个数． 解 (1)f (0)＝a 2＋|a |－a 2＋a ＝|a |＋a ，因为f (0)≤1，所以|a |＋a ≤1，当a ≤0时，0≤1，显然成立； 当a >0时，则有|a |＋a ＝2a ≤1，所以a ≤12，所以0<a ≤12. 综上所述，a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，12. (2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－(2a －1)x ，x ≥a ，x 2－(2a ＋1)x ＋2a ，x <a . 对于u 1＝x 2－(2a －1)x ，其对称轴为x ＝2a －12＝a －12<a ，开口向上，所以f (x )在(a ，＋∞)上单调递增； 对于u 2＝x 2－(2a ＋1)x ＋2a ，其对称轴为x ＝2a ＋12＝a ＋12>a ，开口向上， 所以f (x )在(－∞，a )上单调递减．综上所述，f (x )在(a ，＋∞)上单调递增，在(－∞，a )上单调递减．(3)由(2)得f (x )在(a ，＋∞)上单调递增，在(0，a )上单调递减，所以f (x )min ＝f (a )＝a －a 2.①当a ＝2时，f (x )min ＝f (2)＝－2，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ，x ≥2，x 2－5x ＋4，x <2， 令f (x )＋4x ＝0，即f (x )＝－4x(x >0)， 因为f (x )在(0,2)上单调递减，所以f (x )>f (2)＝－2，而g (x )＝－4x在(0,2)上单调递增，所以g (x )<g (2)＝－2，所以y ＝f (x )与g (x )＝－4x在(0,2)上无交点； 当x ≥2时，f (x )＝x 2－3x ＝－4x，即x 3－3x 2＋4＝0， 所以x 3－2x 2－x 2＋4＝0，所以(x －2)2(x ＋1)＝0，因为x ≥2，所以x ＝2，综上当a ＝2时，f (x )＋4x有一个零点x ＝2. ②当a >2时，f (x )min ＝f (a )＝a －a 2，当x ∈(0，a )时，f (0)＝2a >4，f (a )＝a －a 2，而g (x )＝－4x在(0，a )上单调递增， 当x ＝a 时，g (x )＝－4a ，下面比较f (a )＝a －a 2与－4a的大小， 因为a －a 2－⎝⎛⎭⎫－4a ＝－(a 3－a 2－4)a ＝－(a －2)(a 2＋a ＋2)a<0， 所以f (a )＝a －a 2<－4a. 结合图象不难得到当a >2时，y ＝f (x )与g (x )＝－4x有两个交点．综上所述，当a ＝2时，f (x )＋4x在区间(0，＋∞)内有一个零点x ＝2； 当a >2时，f (x )＋4x在区间(0，＋∞)内有两个零点．。

2019年广东省普通高中学业水平测试数学模拟测试卷(二)(时间:90分钟 满分:100分)一、选择题(共15小题,每小题4分,共60分) 1.已知集合M={-1,0,1},N={x|x 2=x },则M ∩N=( )A .{1}B .{0,1}C .{-1,0}D .{-1,0,1}2.已知等比数列{a n }的公比为2,则a 4a 2值为( ) A.14 B.12C.2D.4 3.命题“存在x 0∈R ,x 02-1=0”的否定是( )A .不存在x 0∈R ,x 02-1=0B .存在x 0∈R ,x 02-1≠0C .存在x 0∈R ,x 02-1=0D .对任意的x 0∈R ,x 02-1≠0 4.直线l 过点(1,-2),且与直线2x+3y-1=0垂直,则l 的方程是 ( ) A .2x+3y+4=0 B .2x+3y-8=0 C .3x-2y-7=0 D .3x-2y-1=05.已知a 、b 是两条异面直线,c ∥a ,那么c 与b 的位置关系 ( ) A.一定是异面 B.一定是相交 C.不可能平行 D.不可能垂直6.已知|a |=sin π24,|b |=cos π24,且a 、b 的夹角为π12,则a ·b = ( )A.116B.18C.√38D.147.圆(x-1)2+y 2=1与直线y=√33x 的位置关系是( )A.相交B.相切C.相离D.直线过圆心8.若AD 为△ABC 的中线,现有质地均匀的粒子散落在△ABC 内,则粒子落在△ABD 内的概率等于 ( ) A.45B.34C.12D.239.一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示,则其俯视图不可能为①长方形;②直角三角形;③圆;④椭圆.其中正确的是 ( )A.①B.②C.③D.④10.从一箱产品中随机地抽取一件,设事件A={抽到一等品},事件B={抽到二等品},事件C={抽到三等品},且已知P (A )=0.65,P (B )=0.2,P (C )=0.1.则事件“抽到的不是一等品”的概率为( ) A.0.7 B.0.65 C.0.35 D.0.311.函数f (x )=x 3-2的零点所在的区间是 ( ) A.(-2,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)12.已知实数x 、y 满足{x ≥0,y ≥0,x +4y ≥4,则z=x+y 的最小值等于 ( )A.0B.1C.4D.513.将函数y=cos x 的图象向左平移π2个单位长度,得到函数y=f (x )的图象,则下列说法正确的是( )A .y=f (x )的最小正周期为πB .y=f (x )是偶函数C .y=f (x )的图象关于点(π2,0)对称D .y=f (x )在区间[0,π2]上是减函数 14.cos π5cos 3π10-sin π5sin 3π10=( )A .1B .0C .-1D .115.已知函数f (x )是奇函数,且在区间[1,2]单调递减,则f (x )在区间[-2,-1]上是 ( ) A .单调递减函数,且有最小值-f (2) B .单调递减函数,且有最大值-f (2) C .单调递增函数,且有最小值f (2) D .单调递增函数,且有最大值f (2) 二、填空题(共4小题,每小题4分,共16分)16.若A (1,-2,1),B (2,2,2),点P 在z 轴上,且|PA|=|PB|,则点P 的坐标为 . 17.若函数f (x )=log a (x+m )+1(a>0且a ≠1)恒过定点(2,n ),则m+n 的值为 .18.已知角θ的顶点与原点重合,始边与x 轴的正半轴重合,终边为射线l :y=-√2x (x ≤0),则cos θ的值是 .19.已知椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,离心率为√55,且过点P (-5,4),则椭圆的方程为 .三、解答题(共2小题,每小题12分,共24分)20.如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是菱形,∠DAB=60°,PD ⊥平面ABCD ,PD=AD=1,点E ,F 分别为AB 和PD 的中点. (1)求证:直线AF ∥平面PEC ; (2)求三棱锥P-BEF 的体积.21.甲,乙两组各4名同学参加学校组织的“抗日战争历史知识知多少”抢答比赛,他们答对的题目个数用茎叶图表示,如图,中间一列的数字表示答对题目个数的十位数,两边的数字表示答对题目个数的个位数.(1)求甲组同学答对题目个数的平均数和方差;(2)分别从甲,乙两组中各抽取一名同学,求这两名同学答对题目个数之和为20的概率.答案：1.B 【解析】x 2-x=0⇒x (x-1)=0⇒N={0,1},∴M ∩N={0,1}.2.D 【解析】a4a 2=q 2=4.3.D4.C 【解析】设直线l :3x-2y+c=0,因为(1,-2)在直线上,代点的坐标到直线方程得c=-7.故选C .5.C 【解析】a 、b 是两条异面直线,c ∥a ,那么c 与b 异面和相交均有可能,但不会平行.因为若c ∥b ,又c ∥a ,由平行公理得a ∥b ,与a 、b 是两条异面直线矛盾.故选C .6.B 【解析】因为|a |=sin π24,|b |=cos π24,且a 、b 的夹角为π12,所以a ·b=|a||b|cos π12=sin π24·cos π24·cos π12=12sin π24·cos π12=14sin π6=18. 7.A 【解析】由圆的方程得到圆心坐标为(1,0),半径r=1, 所以(1,0)到直线y=√33x 的距离d=|√33|√1+(√33)=12<1=r ,则圆与直线的位置关系为相交.故选A .8.C 【解析】P=S △ABD S △ABC=12.故选C .9.C 【解析】其俯视图若为圆,则正视图中的长度与侧视图中的宽度应一样,由图中可知其正视图与侧视图的宽度不一样,因此其俯视图不可能是圆.故选C . 10.C 【解析】∵事件A={抽到一等品},且P (A )=0.65, ∴事件“抽到的不是一等品”的概率为 P=1-P (A )=1-0.65=0.35.故选C .11.C 【解析】∵f (1)=(1)3-2=-1<0,f (2)=(2)3-2=6>0.故选C .12.B 【解析】作出已知不等式组所表示的可行域,如图,可知目标z=x+y 经过点(0,1)时,z 取最小值,∴z=0+1=1.故选B .13.D 【解析】将函数y=cos x 的图象向左平移π2个单位长度,得到函数y=f (x )=cos (x +π2)=-sin x 的图象,再结合正弦函数的图象特征.故选D . 14.B15.B 【解析】因为函数f (x )是奇函数,所以f (-2)=-f (2),f (-1)=-f (1),又f (x )在区间[1,2]单调递减,所以f (1)>f (2)⇒-f (1)<-f (2)⇒f (-1)<f (-2)f (x )在区间[-2,-1]上是单调递减函数,且有最大值-f (2).故选B .16.(0,0,3) 【解析】设P (0,0,z ),由|PA|=|PB|,得1+4+(z-1)2=4+4+(z-2)2, 解得z=3,故点P 的坐标为(0,0,3).17.0 【解析】f (x )=log a (x+m )+1过定点(2,n ),则log a (2+m )+1=n 恒成立,∴{2+m =1,1=n ⇒{m =-1,n =1,∴m+n=0.18.-√33 【解析】终边在y=-√2x (x ≤0)上,∴cos θ<0.{tanθ=-√2,sin 2θ+cos 2θ=1⇒cos θ=-√33.19.x 245+y 236=1 【解析】设椭圆的方程为x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0), 将点(-5,4)代入得25a 2+16b 2=1,又离心率e=ca =√55,即e 2=c2a 2=a 2-b 2a 2=15, 所以a 2=45,b 2=36,故椭圆的方程为x 245+y 236=1.20.【解】(1)证明:如图,作FM ∥CD 交PC 于M ,连接ME. ∵点F 为PD 的中点,∴FM 12CD ,又AE 12CD ,∴AE FM ,∴四边形AEMF 为平行四边形,∴AF ∥EM , ∵AF ⊄平面PEC ,EM ⊂平面PEC , ∴直线AF ∥平面PEC.(2)连接ED ,在△ADE 中,AD=1,AE=12, ∠DAE=60°,∴ED 2=AD 2+AE 2-2AD ·AE×cos 60°=12+(12)2-2×1×12×12=34,∴ED=√32,∴AE 2+ED 2=AD 2,∴ED ⊥AB.PD ⊥平面ABCD ,AB ⊂平面ABCD ,∴PD ⊥AB , 又∵PD ∩ED=D , ∴AB ⊥平面PEF. S △PEF =12PF ·ED=12×12×√32=√38, ∴三棱锥P-BEF 的体积V P-BEF =V B-PEF=13S △PEF ·BE=13×√38×12=√348.21.【解】(1)由题图可得,甲组答对题目的个数:8,9,11,12,∴x 甲=8+9+11+124=10,S 甲2=14×[(8-10)2+(9-10)2+(11-10)2+(12-10)2]=52.(2)由题图可得,乙组答对题目的个数:8,8,9,11,设事件“两名同学答对题目个数之和为20”为事件A ,以(x ,y )记录甲,乙两组同学答对题目的个数,满足“从甲、乙两组中各抽取一名同学”的事件有(8,8),(8,8),(8,9),(8,11),(9,8),(9,8),(9,9),(9,11),(11,8),(11,8),(11,9),(11,11),(12,8),(12,8),(12,9),(12,11),共16种.满足事件A 的基本事件为(9,11),(11,9),(12,8),(12,8),共4种,∴P (A )=416=14. 所以两名同学答对题目个数之和为20的概率为14.。

高中学业水平考试模拟测试卷(一)(时间：90分钟满分100分)一、选择题(共15小题，每小题4分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知集合M＝{1，2，3，4}，集合N＝{1，3，5}，则M∩N 等于()A．{2}B．{2，3}C．{1，3} D．{1，2，3，4，5}解析：M∩N＝{1，2，3，4}∩{1，3，5}＝{1，3}，故选C.答案：C2．函数f(x)＝ln(x－3)的定义域为()A．{x|x>－3} B．{x|x>0} C．{x|x>3} D．{x|x≥3}解析：由x－3>0得x>3，则定义域为{x|x>3}．故选C.答案：C3．下列命题中的假命题是()A．∀x∈R，2x－1>0 B．∀x∈N*，(x－1)2>0C．∃x∈R，lg x<1 D．∃x∈R，tan x＝2解析：当x＝1∈N*时，x－1＝0，不满足(x－1)2>0，所以B为假命题．故选B.答案：B4．设i是虚数单位，若复数z＝5(1＋i)i，则z的共轭复数为() A．－5＋5i B．－5－5i C．5－5i D．5＋5i解析：由复数z ＝5(1＋i)i ＝－5＋5i, 得z 的共轭复数为－5－5i.故选B.答案：B5．已知平面向量a ＝(0，－1)，b ＝(2，2)，|λa ＋b |＝2，则λ的值为( )A ．1＋ 2 B.2－1 C ．2 D ．1解析：λa ＋b ＝(2，2－λ)，那么4＋(2－λ)2＝4，解得，λ＝2.故选C.答案：C6．已知点A (1，2)，B (3，1)，则线段AB 的垂直平分线的方程是( )A ．4x ＋2y ＝5B ．4x －2y ＝5C ．x ＋2y ＝5D ．x －2y ＝5解析：线段AB 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，k AB ＝1－23－1＝－12， 所以垂直平分线的斜率k ＝－1k AB ＝2，所以线段AB 的垂直平分线的方程是y －32＝2(x －2) ⇒ 4x －2y －5＝0.故选B.答案：B7．如图(1)、(2)、(3)、(4)为四个几何体的三视图，根据三视图可以判断这四个几何体依次分别为( )A ．三棱台、三棱柱、圆锥、圆台B ．三棱台、三棱锥、圆锥、圆台C ．三棱柱、正四棱锥、圆锥、圆台D ．三棱柱、三棱台、圆锥、圆台 解析：(1)三视图复原的几何体是放倒的三棱柱．(2)三视图复原的几何体是四棱锥．(3)三视图复原的几何体是圆锥．(4)三视图复原的几何体是圆台．所以(1)(2)(3)(4)的顺序为：三棱柱、正四棱锥、圆锥、圆台．故选C.答案：C8．已知f (x )＝x ＋1x－2(x >0)，则f (x )有( ) A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－4解析：由x >0，可得1x >0, 即有f (x )＝x ＋1x－2≥2 x ·1x －2＝2－2＝0, 当且仅当x ＝1x，即x ＝1时，取得最小值0. 答案：B9．要完成下列两项调查：(1)某社区有100户高收入家庭，210户中等收入家庭，90户低收入家庭，从中抽取100户调查消费购买力的某项指标；(2)从某中学高二年级的10名体育特长生中抽取3人调查学习负担情况，应采取的抽样方法是( )A ．(1)用系统抽样法，(2)用简单随机抽样法B ．(1)用分层抽样法，(2)用系统抽样法C ．(1)用分层抽样法，(2)用简单随机抽样法D ．(1)(2)都用分层抽样法解析：根据简单随机抽样及分层抽样的特点，可知(1)应用分层抽样法，(2)应用简单随机抽样法．故选C.答案：C10．在△ABC 中，A ∶B ＝1∶2，sin C ＝1，则a ∶b ∶c ＝( )A ．1∶2∶3B ．3∶2∶1C ．2∶3∶1D ．1∶3∶2 解析：在△ABC 中，A ∶B ＝1∶2，sin C ＝1, 可得A ＝30°，B ＝60°，C ＝90°.a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝12∶32∶1＝1∶3∶2.故选D. 答案：D11．等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么{a n }的前7项和S 7＝( )A ．22B ．24C ．26D ．28解析：因为等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12, 所以3a 4＝a 3＋a 4＋a 5＝12，解得a 4＝4，所以S 7＝7（a 1＋a 7）2＝7×2a 42＝7a 4＝28.故选D.答案：D12．抛物线y ＝14x 2的焦点到准线的距离是( ) A.14 B.12 C ．2 D ．4解析：方程化为标准方程为x 2＝4y .所以2p ＝4，p ＝2.所以焦点到准线的距离为2.故选C.答案：C13.⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12－sin π12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12＋sin π12＝( ) A ．－32 B ．－12 C.12 D.32解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12－sin π12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12＋sin π12＝cos 2 π12－sin 2 π12＝cos π6＝32.故选D. 答案：D14．已知某几何体的三视图都是边长为2的正方形，若将该几何体削成球，则球的最大表面积是( )A ．16πB ．8πC ．4πD ．2π解析：因为三视图均为边长为2的正方形，所以几何体是边长为2的正方体，将该几何体削成球，则球的最大半径为1，表面积是4π×12＝4π.故选C.答案：C15．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝－10，a n ＋1＝a n ＋3(n ∈N *)，则S n 取最小值时，n 的值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：在数列{a n }中，由a n ＋1＝a n ＋3，得a n ＋1－a n ＝3(n ∈N *), 所以数列{a n }是公差为3的等差数列．又a 1＝－10，所以数列{a n }是公差为3的递增等差数列．由a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－10＋3(n －1)＝3n －13≥0，解得n ≥133. 因为n ∈N *，所以数列{a n }中从第五项开始为正值．所以当n ＝4时，S n 取最小值．故选B.答案：B二、填空题(共4小题，每小题4分，共16分．)16．若点(2，1)在y ＝a x (a >0，且a ≠1)关于y ＝x 对称的图象上，则a ＝________．解析：因为点(2，1)在y ＝a x (a >0，且a ≠1)关于y ＝x 对称的图象上， 所以点(1，2)在y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象上，所以2＝a 1，解得a ＝2.答案：217．已知f (x )＝x 2＋(m ＋1)x ＋(m ＋1)的图象与x 轴没有公共点，则m 的取值范围是________(用区间表示)．解析：依题意Δ＝(m ＋1)2－4(m ＋1)＝(m ＋1)(m －3)<0⇒－1<m <3, 故m 的取值范围用区间表示为(－1，3)．答案：(－1，3)18．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，10x ，x ≤0，则f (f (－2))＝________．解析：因为x ＝－2<0，所以f (－2)＝10－2＝1100>0, 所以f (10－2)＝lg10－2＝－2，即f (f (－2))＝－2.答案：－2 19．已知4x ＋9y＝1，且x >0，y >0，则x ＋y 的最小值是________． 解析：因为4x ＋9y ＝1，且x >0，y >0, 所以x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋9y (x ＋y )＝13＋4y x ＋9x y ≥13＋2 4y x ·9x y ＝25， 当且仅当4y x ＝9x y，即x ＝10且y ＝15时取等号． 答案：25三、解答题(共2小题，每小题12分，共24分．解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤．)20．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2c ·cos B －b ＝2a .(1)求角C 的大小；(2)设角A 的平分线交BC 于D ，且AD ＝3，若b ＝2，求△ABC 的面积．解：(1)由已知及余弦定理得2c ×a 2＋c 2－b 22ac＝2a ＋b, 整理得a 2＋b 2－c 2＝－ab, 所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－ab 2ab ＝－12， 又0<C <π， 所以C ＝2π3，即角C 的大小为2π3. (2)由(1)知C ＝2π3，依题意画出图形．在△ADC 中，AC ＝b ＝2，AD ＝3，由正弦定理得sin ∠CDA ＝AC ×sin C AD ＝23×32＝22， 又△ADC 中，C ＝2π3， 所以∠CDA ＝π4， 故∠CAD ＝π－2π3－π4＝π12. 因为AD 是角∠CAB 的平分线， 所以∠CAB ＝π6， 所以△ABC 为等腰三角形，且BC ＝AC ＝ 2.所以△ABC 的面积S ＝12BC ·AC ·sin 2π3＝12×2×2×32＝32. 21．已知圆C 经过A (3，2)、B (1，6)两点，且圆心在直线y ＝2x 上．(1)求圆C 的方程；(2)若直线l 经过点P (－1，3)且与圆C 相切，求直线l 的方程． 解：(1)方法1：设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0), 依题意得，⎩⎪⎨⎪⎧（3－a ）2＋（2－b ）2＝r 2，（1－a ）2＋（6－b ）2＝r 2，b ＝2a ，解得a ＝2，b ＝4，r 2＝5.所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y －4)2＝5. 方法2：因为A (3，2)、B (1，6)，所以线段AB 中点D 的坐标为(2，4), 直线AB 的斜率k AB ＝6－21－3＝－2，因此直线AB 的垂直平分线l '的方程是y －4＝12(x －2)，即x －2y ＋6＝0. 圆心C 的坐标是方程组⎩⎨⎧x －2y ＋6＝0，y ＝2x ，的解．解此方程组，得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝4，即圆心C 的坐标为(2，4)． 圆C 的半径长r ＝|AC |＝（3－2）2＋（2－4）2＝ 5.所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y －4)2＝5.(2) 由于直线l 经过点P (－1，3),当直线l 的斜率不存在时，x ＝－1与圆C ：(x －2)2＋(y －4)2＝5相离，不合题意．当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为y －3＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋3＝0.因为直线l 与圆C 相切，且圆C 的圆心为(2，4)，半径为5，所以有|2k －4＋k ＋3|k 2＋1＝ 5.解得k ＝2或k ＝－12. 所以直线l 的方程为y －3＝2(x ＋1)或y －3＝－12(x ＋1), 即2x －y ＋5＝0或x ＋2y －5＝0.高中学业水平考试模拟测试卷(二)(时间：90分钟 满分100分)一、选择题(共15小题，每小题4分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知集合M ＝{－1，0，1}，N ＝{0，1，2}，则M ∪N ＝( )A ．{－1，0，1，2}B ．{－1，0，1}C ．{－1，0，2}D ．{0，1}解析：因为集合M ＝{－1，0，1}，N ＝{0，1，2}, 所以M ∪N ＝{－1，0，1，2}．答案：A2．“sin A ＝12”是“A ＝30°”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为sin 30°＝12，所以“sin A ＝12”是“A ＝30°”的必要条件；150°，390°等角的正弦值也是12，故“sin A ＝12”不是“A ＝30°”的充分条件．故选B. 答案：B3．已知a ＝(4，2)，b ＝(6，y )，且a ⊥b ，则y 的值为( )A ．－12B ．－3C ．3D ．12 解析：因为a ＝(4，2)，b ＝(6，y )，且a ⊥b,所以a ·b ＝0，即4×6＋2y ＝0， 解得y ＝－12.故选A. 答案：A4．若a <b <0，则下列不等式：①|a |>|b |；②1a >1b ；③a b ＋b a >2；④a 2<b 2中，正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：对于①，根据不等式的性质，可知若a <b <0，则|a |>|b |，故正确；对于②，若a <b <0，两边同除以ab ，则a ab <bab ，即1b <1a ，故正确；对于③，若a <b <0，则a b >0，b a >0，根据基本不等式即可得到a b ＋ba >2，故正确； 对于④，若a <b <0，则a 2>b 2，故不正确．故选C.答案：C5．已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α＝( )A ．－513B ．－1213C.513D.1213解析：因为α是第二象限角，sin α＝513，所以cos α＝－ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫5132＝－1213.故选B. 答案：B6．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( )A ．y ＝x －2B ．y ＝x －1C ．y ＝x 2－2D ．y ＝log 12x解析：因为y ＝x －1是奇函数，y ＝log 12x 不具有奇偶性，故排除B ，D ；又函数y ＝x 2－2在区间(0，＋∞)上是单调递增函数，故排除C.故选A.答案：A7．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6≥0，x －y ＋2<0，表示的平面区域是( )解析：由题意可知，(0，0)在x －3y ＋6＝0的下方，满足x －3y ＋6≥0；(0，0)在直线x －y ＋2＝0的下方，不满足x －y ＋2<0. 故选B.答案：B8．一个容量为20的样本数据，分组后，组距与频数如下，A.120B.14C.12D.710解析：根据题意，样本在(10，50]上的频数为2＋3＋4＋5＝14, 所求的频率为P ＝1420＝710.故选D.答案：D9．cos 40°sin 80°＋sin 40°sin 10°＝( ) A.12B ．－32C ．cos 50° D.32解析：cos 40°sin 80°＋sin 40°sin 10°＝cos 40°cos 10°＋sin 40°sin 10°＝cos(40°－10°)＝32.答案：D10．函数y ＝log 2(x 2－3x ＋2)的递减区间是( )A ．(－∞，1)B ．(2，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ 解析：由x 2－3x ＋2>0，得x <1或x >2，又y ＝log 2(x 2－3x ＋2)的底数是2，所以在(－∞，1)上递减．故选A.答案：A11．为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校购进了《三国演义》《水浒传》《红楼梦》和《西游记》若干套，如果每班每学期可以随机领取两套不同的书籍，那么该校高一(1)班本学期领到《三国演义》和《水浒传》的概率为( )A.23B.12C.14D.16解析：记《三国演义》《水浒传》《红楼梦》和《西游记》为a 、b 、c 、d ，则该校高一(1)班本学期领到两套书的所有情况有ab 、ac 、ad 、bc 、bd 、 cd 共6种，符合条件的情况为ab 共1种，故概率为16，选D.答案：D12．将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π8的图象沿x 轴向左平移m (m ＞0)个单位后，得到一个奇函数的图象，则m 的最小值为( )A.7π16B.15π16C.7π8D.π16解析：y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π8的图象向左平移m 个单位长度后得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（x ＋m ）＋π8， 因为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（x ＋m ）＋π8为奇函数， 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2m ＋π8＝0. 所以2m ＋π8＝k π，k ∈Z ，即有m ＝k π2－π16，k ∈Z ，所以正数m 的最小值为7π16.答案：A13．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±22xC ．y ＝±12x D ．y ＝±2x解析：由双曲线的离心率为3， 则e ＝ca ＝3，即c ＝3a,b ＝c 2－a 2＝3a 2－a 2＝2a ，由双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x, 得其渐近线方程为y ＝±2x .故选D.答案：D14．函数f (x )＝log 2x ＋x －2的零点所在的区间是( ) A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)解析：函数f (x )＝log 2x ＋x －2的图象在(0，＋∞)上连续不断，f (1)＝0＋1－2<0，f (2)＝1＋2－2>0，故函数f (x )＝log 2x ＋x －2的零点所在的区间是(1，2)．故选B. 答案：B15．已知向量AC →，AD →和AB →在正方形网格中的位置如图所示，若AC →＝λAB→＋μAD →，则λ＋μ＝( )A ．2B ．－2C ．3D ．－3解析：以A 为原点，AD 所在直线为x 轴，与AD 垂直的直线为y 轴建立直角坐标系，那么AD →＝(1，0)，AB →＝(1，2)，AC →＝(2，－2)，那么⎩⎨⎧λ＋μ＝2，2λ＝－2，解得λ＝－1，μ＝3，所以λ＋μ＝2.故选A.答案：A二、填空题(共4小题，每小题4分，共16分．)16．函数y ＝a x －1＋1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点________． 解析：当x －1＝0，即x ＝1时，y ＝2.所以函数y ＝a x －1＋1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点(1，2)．答案：(1，2)17．等差数列{a n }中，a 2＝3，a 3＋a 4＝9，则a 1a 6＝________． 解析：由等差数列的通项公式可得，a 3＋a 4＝2a 1＋5d ＝9，a 1＋d ＝3，所以a 1＝2，d ＝1，所以a 1a 6＝2×7＝14.答案：1418．某学院A ，B ，C 三个专业共有1 200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知该学院A 专业有380名学生，B 专业有420名学生，则该学院C 专业应抽取________名学生．解析：抽样比为1∶10，而C 学院的学生有 1 200－380－420＝400(名)，所以按抽样比抽取40名．答案：4019．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则∠A 的度数为________．解析：根据正弦定理可得，sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ⇔sin(B ＋C )＝sin 2A ，而sin(B ＋C )＝sin A ，所以sin A ＝sin 2A ，所以sin A ＝1，所以∠A ＝90°.答案：90°三、解答题(共2小题，每小题12分，共24分．解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤．)20．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋a ，a 为常数．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的最小值为－2，求a 的值．解：(1)f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋a . 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，所以x ＝0时，f (x )取得最小值，即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋a ＝－2，故a ＝－1.21．已知函数f (x )＝1＋1x －x α(α∈R)，且f (3)＝－53.(1)求α的值； (2)求函数f (x )的零点；(3)判断f (x )在(－∞，0)上的单调性，并给予证明． 解：(1)由f (3)＝－53，得1＋13－3α＝－53，解得α＝1.(2)由(1)，得f (x )＝1＋1x －x .令f (x )＝0，即1＋1x －x ＝0，也就是x 2－x －1x ＝0，解得x ＝1±52.经检验，x ＝1±52是1＋1x －x ＝0的根， 所以函数f (x )的零点为1±52.(3)函数f (x )＝1＋1x －x 在(－∞，0)上是减函数．证明如下：设x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 1－x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－x 2＝(x 2－x 1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1x 2＋1. 因为x 1<x 2<0，所以x 2－x 1>0，x 1x 2>0，所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，所以f (x )＝1＋1x －x 在(－∞，0)上是减函数．高中学业水平考试模拟测试卷(三)(时间：90分钟 满分100分)一、选择题(共15小题，每小题4分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知集合M ＝{－1，0，1}，N ＝{x |x 2＝x }，则M ∩N ＝( ) A ．{1}B ．{0，1}C ．{－1，0}D ．{－1，0，1}解析：x 2－x ＝0⇒x (x －1)＝0⇒N ＝{0，1}，所以M ∩N ＝{0，1}． 答案：B2．已知等比数列{a n }的公比为2，则a 4a 2值为( )A.14B.12C ．2D ．4解析：a 4a 2＝q 2＝4.答案：D3．已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3且向量3a ＋2b 与ka －b 互相垂直，则k 的值为( )A ．－32B.32C ．±32D ．1解析：命题“存在x 0∈R ，x 20－1＝0”的否定为“对任意的x ∈R ，x 2－1≠0”．答案：D4．直线l 过点(1，－2)，且与直线2x ＋3y －1＝0垂直，则l 的方程是( )A ．2x ＋3y ＋4＝0B ．2x ＋3y －8＝0C ．3x －2y －7＝0D ．3x －2y －1＝0解析：设直线l ：3x －2y ＋c ＝0，因为(1，－2)在直线上，所以3－2×(－2)＋c ＝0，解得c ＝－7，即直线l 的方程为3x －2y －7＝0.答案：C5．已知直线的点斜式方程是y －2＝－3(x －1)，那么此直线的倾斜角为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：因为k ＝tan α＝－3， 所以α＝π－π3＝2π3，故选C.答案：C6．已知复数z 满足z i ＝2＋i ，i 是虚数单位，则|z |＝( ) A.2B. 3C ．2D. 5解析：由题意得z ＝2＋ii ＝1－2i ，所以|z |＝ 5. 答案：D7．要得到函数y ＝cos(2x ＋1)的图象，只要将函数y ＝cos 2x 的图象( )A ．向左平移1个单位B ．向右平移1个单位C ．向左平移12个单位D ．向右平移12个单位解析：y ＝cos 2x →y ＝cos(2x ＋1)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12.故选C.答案：C8．下列说法不正确的是( )A ．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B ．同一平面的两条垂线一定共面C ．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内D ．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直解析：A ．一组对边平行且相等就决定了是平行四边形，故A 正确； B ．由线面垂直的性质定理知，同一平面的两条垂线互相平行，因而共面，故B 正确； C ．由线面垂直的定义知，这些直线都在同一个平面内即直线的垂面，故C 正确；D ．由实际例子，如把书本打开，且把书脊垂直放在桌上，则由无数个平面满足题意，故D 不正确．故选D.9．函数f (x )＝x 3－2的零点所在的区间是( ) A ．(－2，0) B ．(0，1)C ．(1，2)D ．(2，3)解析：因为f (1)＝13－2＝－1<0，f (2)＝23－2＝6>0.所以零点所在的区间为(1，2)．答案：C10．已知等差数列{a n }中，a 2＝2，a 4＝6，则前4项的和S 4等于( ) A ．8B ．10C ．12D ．14解析：设等差数列{a n }的公差为d ，则a 4＝a 2＋(4－2)d ⇒d ＝6－22＝2，a 1＝a 2－d ＝2－2＝0，所以S 4＝4（a 1＋a 4）2＝2(0＋6)＝12.故选C.答案：C11．某几何体的三视图及其尺寸如图所示，则这个几何体的体积是( )A ．6B ．9C ．18D ．36解析：由题意可知，几何体是以正视图为底面的三棱柱， 其底面面积S ＝12×4×52－42＝6，高是3，所以它的体积为V ＝Sh ＝18.故选C.12．双曲线x 2m －y 23＋m ＝1的一个焦点为(2，0)，则m 的值为( )A.12B ．1或3C.1＋22D.2－12解析：因为双曲线的焦点为(2，0)，在x 轴上且c ＝2，所以m ＋3＋m ＝c 2＝4，所以m ＝12.答案：A13．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －6≤0，x －3y ＋2≤0，3x －y －2≥0，则z ＝x －2y 的最小值为( )A ．－10B ．－6C ．－1D ．0解析：由z ＝x －2y 得y ＝12x －z2，作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分)，平移直线y ＝12x －z2，由图象可知，当直线y ＝12x －z 2过点B 时，直线y ＝12x －z2的截距最大，此时z 最小，由⎩⎨⎧x ＋y －6＝0，3x －y －2＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝4，即B (2，4)．代入目标函数z ＝x －2y ，得z ＝2－8＝－6，所以目标函数z ＝x －2y 的最小值是－6.故选B. 答案：B14.sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝( )A ．－32B ．－12C.12D.32解析：sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin （30°＋17°）－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°＋cos 30°sin 17°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°cos 17°＝sin 30°＝12.故选C.答案：C15．小李从甲地到乙地的平均速度为a ，从乙地到甲地的平均速度为b (a >b >0)，他往返甲、乙两地的平均速度为v ，则( )A ．v ＝a ＋b 2B ．v ＝ab C.ab <v <a ＋b 2 D ．b <v <ab解析：设甲地到乙地的距离为s .则他往返甲、乙两地的平均速度为v ＝2ss a ＋s b ＝2aba ＋b ，因为a >b >0，所以2aa ＋b>1，所以v ＝2aba ＋b >b .v ＝2aba ＋b <2ab2ab ＝ab .所以b <v <ab .故选D. 答案：D二、填空题(共4小题，每小题4分，共16分．)16．首项为1，公比为2的等比数列的前4项和S 4＝________． 解析：S 4＝1－241－2＝15.答案：1517．若函数f (x )＝log a (x ＋m )＋1(a >0且a ≠1)恒过定点(2，n )，则m ＋n 的值为________．解析：f (x )＝log a (x ＋m )＋1过定点(2，n )，则log a (2＋m )＋1＝n 恒成立，所以⎩⎨⎧2＋m ＝1，1＝n ，⇒⎩⎨⎧m ＝－1，n ＝1，所以m ＋n ＝0.答案：018．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14的值是________．解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝log 214＝－2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝f (－2)＝3－2＝19.答案：1919．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为55，且过点P (－5，4)，则椭圆的方程为______________．解析：设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，将点(－5，4)代入得25a 2＋16b 2＝1， 又离心率e ＝c a ＝55，即e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝15，所以a 2＝45，b 2＝36，故椭圆的方程为x 245＋y 236＝1.答案：x 245＋y 236＝1三、解答题(共2小题，每小题12分，共24分．解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤．)20．已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝9内有一点P (2，2)，过点P 作直线l 交圆C 于A 、B 两点．(1)当l 经过圆心C 时，求直线l 的方程； (2)当弦AB 被点P 平分时，求直线l 的方程； (3)当直线l 的倾斜角为45°时，求弦AB 的长．解：(1)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝9的圆心为C (1，0)，因为直线过点P 、C ，所以直线l 的斜率为2，直线l 的方程为y ＝2(x －1)，即2x －y －2＝0.(2)当弦AB 被点P 平分时，l ⊥PC ，直线l 的方程为y －2＝－12(x －2)，即x ＋2y －6＝0.(3)当直线l 的倾斜角为45°时，斜率为1，直线l 的方程为y －2＝x －2，即x －y ＝0.圆心到直线l 的距离为12，圆的半径为3，所以弦AB 的长为232－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝34.21．已知等差数列{a n }满足a 2＋a 5＝8，a 6－a 3＝3. (1)求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)若b n ＝1S n＋3·2n －2，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)由a 6－a 3＝3得数列{a n }的公差d ＝a 6－a 33＝1，由a 2＋a 5＝8，得2a 1＋5d ＝8，解得a 1＝32，所以S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n （n ＋2）2.(2)由(1)可得1S n ＝2n （n ＋2）＝1n －1n ＋2，所以b n ＝1S n ＋3·2n －2＝1n －1n ＋2＋3·2n －2.所以T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －1n ＋2＋32(1＋2＋…＋2n －1)＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋1n －(13＋14＋…＋1n ＋1n ＋1＋1n ＋2)＋32×2n－12－1＝32－1n ＋1－1n ＋2＋32×(2n －1)＝3·2n －1－1n ＋1－1n ＋2.高中学业水平考试模拟测试卷(四)(时间：90分钟 满分100分)一、选择题(共15小题，每小题4分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知集合P ＝{1，2}，Q ＝{2，3}，全集U ＝{1，2，3}，则∁U (P ∩Q )等于( )A ．{3}B ．{2，3}C ．{2}D ．{1，3}解析：因为全集U ＝{1，2，3}，集合P ＝{1，2}，Q ＝{2，3}，所以P ∩Q ＝{2}，所以∁U (P ∩Q )＝{1，3}，故选D. 答案：D2．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＋11＝0的圆心和半径分别是( ) A ．(2，－3)； 2 B ．(2，－3)；2 C ．(－2，3)；1D ．(－2，3)； 2解析：圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＋11＝0的标准方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝2，据此可知圆心坐标为(2，－3)，圆的半径为2，故选A.答案：A3．已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3且向量3a ＋2b 与ka －b 互相垂直，则k 的值为( )A ．－32B.32C ．±32D ．1解析：因为3a ＋2b 与ka －b 互相垂直， 所以(3a ＋2b )·(ka －b )＝0， 所以3ka 2＋(2k －3)a ·b －2b 2＝0， 因为a ⊥b ，所以a ·b ＝0， 所以12k －18＝0，k ＝32.答案：B4．若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－θ＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋θ＝( )A.13 B.223C ．－13D ．－223解析：因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－θ＝13， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝⎛⎭⎪⎫π12－θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－θ＝13，故选A.答案：A5．已知函数f (x )＝x ＋1＋1x －2，则f (x )的定义域是( )A ．[－1，2)B ．[－1，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．[－1，2)∪(2，＋∞)解析：根据题意得⎩⎨⎧x ＋1≥0，x －2≠0，解得x ≥－1且x ≠2，故f (x )的定义域为[－1，2)∪(2，＋∞)，故选D.答案：D6．若双曲线x 2a －y 2＝1的一条渐近线方程为y ＝3x ，则正实数a 的值为( )A ．9B ．3C.13D.19解析：双曲线x 2a －y 2＝1的渐近线方程为y ＝±xa ，由题意可得1a ＝3，解得a ＝19，故选D.答案：D7．若直线l 过点(－1，2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程为( )A ．3x ＋2y －1＝0B ．2x ＋3y －1＝0C ．3x ＋2y ＋1＝0D ．2x －3y －1＝0解析：因为2x －3y ＋4＝0的斜率k ＝23，所以直线l 的斜率k ′＝－32，由点斜式可得l 的方程为y －2＝－32(x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0，故选A.答案：A8．已知AB →＝(1，－1，0)，C (0，1，－2)，若CD →＝2AB →，则点D 的坐标为( )A ．(－2，3，－2)B ．(2，－3，2)C ．(－2，1，2)D ．(2，－1，－2)解析：设点D 的坐标为(x ，y ，z )，又C (0，1，－2)，所以CD→＝(x ，y －1，z ＋2)，因为AB→＝(1，－1，0)，CD →＝2AB →，所以(x ，y －1，z ＋2)＝(2，－2，0)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，z ＝－2，则点D 的坐标为(2，－1，－2)．故选D.答案：D9．已知平面α，β和直线m ，直线m 不在平面α，β内，若α⊥β，则“m ∥β”是“m ⊥α”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由α⊥β，m ∥β，可得m ⊥α或m ∥α或m 与α既不垂直也不平行，故充分性不成立；由α⊥β，m ⊥α可得m ∥β，故必要性成立，故选B.答案：B10．将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象经怎样平移后，所得的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0成中心对称( ) A ．向左平移π12个单位 B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π6个单位 D ．向右平移π6个单位解析：将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向左平移φ个单位，得y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2φ＋π3的图象，因为该图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫－π12，0成中心对称，所以2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＋2φ＋π3＝k π(k ∈Z)，则φ＝k π2－π12(k ∈Z)，当k ＝0时，φ＝－π12，故应将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π12个单位，选B. 答案：B11．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若C ＝π3，c＝7，b ＝3a ，则△ABC 的面积为( )A.2－34B.334C. 2D.2＋34解析：已知C ＝π3，c ＝7，b ＝3a ，所以由余弦定理可得7＝a 2＋b 2－ab ＝a 2＋9a 2－3a 2＝7a 2，解得a ＝1，则b ＝3，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×1×3×32＝334.故选B.答案：B12．函数y ＝x 33x －1的图象大致是( )解析：因为y ＝x 33x－1的定义域为{x |x ≠0}，所以排除选项A ；当x ＝－1时，y ＝32>0，故排除选项B ；当x →＋∞时，y →0，故排除选项D ，故选C.答案：C13．若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则z ＝x 2＋y 2的最大值是( )A.10B ．4C ．9D ．10解析：作出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，的可行域，如图中阴影部分所示，因为A (0，－3)，C (0，2)，所以|OA |>|OC |.联立⎩⎨⎧x ＋y ＝2，2x －3y ＝9，解得B (3，－1)．因为x 2＋y 2的几何意义为可行域内的动点与原点距离的平方，且|OB |2＝9＋1＝10，所以z ＝x 2＋y 2的最大值是10.故选D.答案：D14．已知等差数列{a n }的前n 项和是S n ，公差d 不等于零，若a 2，a 3，a 6成等比数列，则( )A ．a 1d >0，dS 3>0B ．a 1d >0，dS 3<0C ．a 1d <0，dS 3>0D ．a 1d <0，dS 3<0解析：由a 2，a 3，a 6成等比数列，可得a 23＝a 2a 6，则(a 1＋2d )2＝(a 1＋d)(a1＋5d)，即2a1d＋d2＝0，因为公差d不等于零，所以a1d<0，2a1＋d＝0，所以dS3＝d(3a1＋3d)＝32d2>0.故选C.答案：C15．如图所示，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点．将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，HG与IJ所成角的度数为()A．90°B．60°C．45°D．0°解析：将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，点A，B，C 重合为点M，得到三棱锥M-DEF，如图．因为I、J分别为BE、DE 的中点，所以IJ∥侧棱MD，故GH与IJ所成的角等于侧棱MD与GH 所成的角．因为∠AHG＝60°，即∠MHG＝60°，所以GH与IJ所成的角的度数为60°，故选B.答案：B二、填空题(共4小题，每小题4分，共16分．)16．设公比不为1的等比数列{a n }满足a 1a 2a 3＝－18，且a 2，a 4，a 3成等差数列，则公比q ＝______，数列{a n }的前4项的和为_______．解析：公比不为1的等比数列{a n }满足a 1a 2a 3＝－18，所以a 32＝－18，解得a 2＝－12，a 3＝－12q ，a 4＝－12q 2，又a 2，a 4，a 3成等差数列，故2a 4＝a 2＋a 3，解得q ＝－12，a 1＝1，由S n ＝a 1（1－q n ）1－q可得S 4＝58.答案：－12 5817．设函数f (x )(x ∈R)满足|f (x )－x 2|≤14，|f (x )＋1－x 2|≤34，则f (1)＝________．解析：由|f (x )－x 2|≤14，得－14≤f (x )－x 2≤14.由|f (x )＋1－x 2|≤34，得－34≤f (x )－x 2＋1≤34，即－74≤f (x )－x 2≤－14， 所以f (x )－x 2＝－14，则f (1)－1＝－14，故f (1)＝34.答案：3418．若半径为10的球面上有A 、B 、C 三点，且AB ＝83，∠ACB ＝60°，则球心O 到平面ABC 的距离为________．解析：在△ABC 中，AB ＝83，∠ACB ＝60°，由正弦定理可求得其外接圆的直径为83sin 60°＝16，即半径为8，又球心在平面ABC 上的射影是△ABC 的外心，故球心到平面ABC 的距离、球的半径及三角形外接圆的半径构成了一个直角三角形，设球面距为d ，则有d 2＝102－82＝36，解得d ＝6.故球心O 到平面ABC 的距离为6.答案：619．已知动点P 是边长为2的正方形ABCD 的边上任意一点，MN 是正方形ABCD 的外接圆O 的一条动弦，且MN ＝2，则PM →·PN →的取值范围是________．解析：如图，取MN 的中点H ，连接PH ，则PM →＝PH →＋12NM →＝PH →－12MN →，PN →＝PH →＋12MN →.因为MN ＝2，所以PM →·PN →＝PH →2－14MN →2＝PH →2－12≥－12，当且仅当点P ，H 重合时取到最小值．当P ，H 不重合时，连接PO ，OH ，易得OH ＝22， 则PH →2＝(PO →＋OH →)2＝PO →2＋2PO →·OH→＋OH →2＝PO →2＋12－2|PO →||OH →|·cos ∠POH ＝PO →2＋12－2|PO →|·cos ∠POH ≤PO →2＋12＋2|PO →|≤32＋2，当且仅当P ，O ，H 三点共线，且P 在A ，B ，C ，D 其中某一点处时取到等号，所以PM →·PN→＝PH →2－12≤2＋1， 故PM →·PN →的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，2＋1. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，2＋1三、解答题(共2小题，每小题12分，共24分．解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤．)20．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝sin A sin B .(1)求角C 的大小；(2)若△ABC 的面积为23，c ＝23，求△ABC 的周长． 解：(1)由sin 2 A ＋sin 2 B －sin 2 C ＝sin A sin B 及正弦定理，得a 2＋b 2－c 2＝ab ，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，因为C ∈(0，π)，所以C ＝π3.(2)由(1)知C ＝π3.由△ABC 的面积为23得12ab ·32＝23，解得ab ＝8，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab ×12＝(a ＋b )2－3ab ＝12，所以(a ＋b )2＝36，a ＋b ＝6， 故△ABC 的周长为6＋2 3.21．如图，直线l 与椭圆C ：x 24＋y 22＝1交于M ，N 两点，且|MN |＝2，点N 关于原点O 的对称点为P .(1)若直线MP 的斜率为－12，求此时直线MN 的斜率k 的值；(2)求点P 到直线MN 的距离的最大值．解：(1)设直线MP 的斜率为k ′，点M (x ，y )，N (s ，t )， 则P (－s ，－t )，k ′＝－12，且x 24＋y 22＝1，s 24＋t 22＝1，所以y 2＝2－x 22，t 2＝2－s22.又k ′·k ＝y ＋t x ＋s ·y －t x －s ＝y 2－t 2x 2－s 2＝⎝⎛⎭⎪⎫2－x 22－⎝ ⎛⎭⎪⎫2－s 22x 2－s 2＝－12.且k ′＝－12，所以k ＝1.(2)当直线MN 的斜率k 存在时，设其方程为y ＝kx ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝kx ＋m ，消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－4＝0，则Δ＝8(4k 2－m 2＋2)>0， x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2，x 1·x 2＝2m 2－41＋2k2， 由|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·8（4k 2－m 2＋2）1＋2k2＝2， 化简得m 2＝（2k 2＋1）（2k 2＋3）2k 2＋2. 设点O 到直线MN 的距离为d ，则P 到MN 的距离为2d ， 又d ＝|m |1＋k2，则4d 2＝4（2k 2＋1）（2k 2＋3）（2k 2＋2）（k 2＋1）＝ 2（4k 4＋8k 2＋3）k 4＋2k 2＋1＝8－2（k 2＋1）2<8，所以0<2d <2 2.当直线MN 的斜率不存在时， 则M (－2，1)，N (－2，－1)，则P (2，1)，此时点P 到直线MN 的距离为2 2. 综上，点P 到直线MN 的距离的最大值为2 2.高中学业水平考试模拟测试卷(五)(时间：90分钟 满分100分)一、选择题(共15小题，每小题4分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．集合A ＝{1，2，3}，B ＝{2，4，5}，则A ∪B ＝( ) A ．{2}B ．{6}C ．{1，3，4，5，6}D ．{1，2，3，4，5}解析：A ∪B ＝{1，2，3}∪{2，4，5}＝{1，2，3，4，5}，故选D. 答案：D2．设p ：log 2x 2>2，q ：x >2，则p 是q 成立的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由log 2x 2>2得，x 2>4，解得x <－2或x >2，所以p 是q 成立的必要不充分条件．故选A.答案：A3．角θ的终边经过点P (4，y )，且sin θ＝－35，则tan θ＝( )A ．－43B.43C ．－34D.34解析：因为角θ的终边经过点P (4，y )， 且sin θ＝－35＝y16＋y 2，所以y ＝－3，则tan θ＝y4＝－34，故选C.答案：C4．某超市货架上摆放着某品牌红烧牛肉方便面，如图是它们的三视图，则货架上的红烧牛肉方便面至少有( )A ．8桶B ．9桶C ．10桶D ．11桶解析：易得第一层有4桶，第二层最少有3桶，第三层最少有2桶，所以至少共有9桶，故选B.答案：B5．在等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8等于( )A ．45B ．75C ．180D ．360解析：由a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝(a 3＋a 7)＋(a 4＋a 6)＋a 5＝5a 5＝450，得到a 5＝90，则a 2＋a 8＝2a 5＝180.故选C.答案：C6．已知过点A (－2，m )和B (m ，4)的直线与直线2x ＋y ＋1＝0平行，则m 的值为( )A ．－8B ．0C ．2D ．10解析：因为直线2x ＋y ＋1＝0的斜率等于－2，且过点A (－2，m )和B (m ，4)的直线与直线2x ＋y ＋1＝0平行，所以k AB ＝－2，所以4－mm ＋2＝－2，解得m ＝－8，故选A.答案：A7．已知向量a ＝(3，0)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)，若(a －2b )⊥c ，则k ＝( )A ．2B ．－2C.32D ．－32解析：由a ＝(3，0)，b ＝(0，－1)，得a －2b ＝(3，2)，若(a －2b )⊥c ，则(a －2b )·c ＝0，所以3k ＋23＝0，所以k ＝－2，故选B.答案：B8．设α，β是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是( )A ．若l ⊥α，α⊥β，则l ⊂βB ．若l ∥α，α∥β，则l ⊂βC ．若l ⊥α，α∥β，则l ⊥βD ．若l ∥α，α⊥β，则l ⊥β 解析：由α，β是两个不同的平面，l 是一条直线，知： 在A 中，若l ⊥α，α⊥β，则l ∥β或l ⊂β，故A 错误； 在B 中，若l ∥α，α∥β，则l ∥β或l ⊂β，故B 错误；在C 中，若l ⊥α，α∥β，则由线面垂直的判定定理得l ⊥β，故C 正确；在D 中，若l ∥α，α⊥β，则l 与β相交、平行或l ⊂β，故D 错误，故选C.答案：C9．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝0，a 2＋c 2－b 2－ac ＝0，c ＝2，则a ＝( )A. 3 B ．1C.12D.32解析：因为sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝0， 所以a 2＋b 2－c 2＝0，即C 为直角， 因为a 2＋c 2－b 2－ac ＝0，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，B ＝π3，因此a ＝c cos π3＝1.故选B.答案：B10．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足2S n ＝2n ＋1＋λ，则λ的值为( )A ．4B ．2C ．－2D ．－4解析：根据题意，当n ＝1时，2S 1＝2a 1＝4＋λ，当n ≥2时，a n＝S n －S n －1＝2n －1.因为数列{a n }是等比数列，所以a 1＝1，故4＋λ2＝1，解得λ＝－2.故选C.答案：C11．若以双曲线x 22－y 2b 2＝1(b >0)的左、右焦点和点(1，2)为顶点的三角形为直角三角形，则b 等于( )A.12B ．1C. 2D ．2解析：由题意，双曲线x 22－y 2b2＝1(b >0)的左、右焦点分别为(－c ，0)、(c ，0)，因为两焦点和点(1，2)为顶点的三角形为直角三角形，所以(1－c ，2)·(1＋c ，2)＝0，所以1－c 2＋2＝0，所以c ＝3，因为a ＝2，所以b ＝1.故选B. 答案：B12．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，若将它的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，则函数g (x )图象的一条对称轴方程为( )A ．x ＝π12B ．x ＝π4C ．x ＝π3D ．x ＝2π3解析：由题意得g (x )＝2sin[2(x －π6)＋π6]＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，令2x －π6＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π2＋π3，k ∈Z ，当k ＝0时，得x ＝π3，所以函数g (x )图象的一条对称轴方程为x ＝π3.故选C.答案：C13．已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点E 是线段BC 的中点，点M 是直线BD 1上异于B ，D 1的点，则平面DEM 可能经过下列点中的( )A ．AB ．C 1C ．A 1D ．C解析：连接A 1D ，A 1E ，因为A 1D 1∥BE ，所以A 1，D 1，B ，E 四点共面．设A 1E ∩BD 1＝M ，显然平面DEM 与平面A 1DE 重合，从而平面DEM 经过点A 1.故答案为C.答案：C14．已知x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －4≥0，x ≤4，则3x －y 的最小值为()A ．4B ．6C ．12D ．16解析：由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －4≥0，x ≤4，作出可行域如图，联立⎩⎨⎧x ＋y －4＝0，x －y ＝0，解得A (2，2)，令z ＝3x －y ，化为y ＝3x －z ，由图可知，当直线y ＝3x －z 过点A 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最小值为4.故选A.答案：A15．若正数x ，y 满足x ＋4y －xy ＝0，则3x ＋y 的最大值为( )A.13B.38C.37D ．1解析：由x ＋4y －xy ＝0可得x ＋4y ＝xy ，左右两边同时除以xy 得1y ＋4x ＝1，求3x ＋y的最大值，即求x ＋y 3＝x 3＋y 3的最小值， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋y 3×1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋y 3×⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋4x ＝x 3y ＋4y 3x ＋13＋43≥2x 3y ×4y 3x ＋13＋43＝3，当且仅当x 3y ＝4y3x 时取等号，所以3x ＋y的最大值为13.所以选A. 答案：A二、填空题(共4小题，每小题4分，共16分．) 16．函数f (x )＝1－x ＋x ＋3－1的定义域是________． 解析：要使函数f (x )有意义，则⎩⎨⎧1－x ≥0，x ＋3≥0，即⎩⎨⎧x ≤1，x ≥－3，解得－3≤x ≤1，故函数的定义域为[－3，1]．答案：[－3，1]17．已知一个长方体的同一顶点处的三条棱长分别为1，3，2，则其外接球的半径为________，表面积为________．解析：设长方体的外接球的半径为R ，则长方体的体对角线长就等于外接球的直径，即2R ＝12＋（3）2＋22，解得R ＝2，所以外接球的表面积为S ＝4πR 2＝8π.答案：2 8π18．在平面直角坐标系xOy 中，已知过点A (2，－1)的圆C 和直线x ＋y ＝1相切，且圆心在直线y ＝－2x 上，则圆C 的标准方程为________．解析：因为圆心在y ＝－2x 上，所以可设圆心坐标为(a ，－2a )，又因为圆过A (2，－1)，且圆C 和直线x ＋y ＝1相切，所以（a －2）2＋（－2a ＋1）2＝|a －2a －1|2，解得a ＝1，所以圆半径r ＝|1－2－1|2＝2，圆心坐标为(1，－2)，所以圆方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2.答案：(x －1)2＋(y ＋2)2＝219．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|＋m ，若函数f (x )有5个零点，则实数m 的取值范围是________．解析：由题意，函数f (x )是奇函数，f (x )有5个零点，其中x ＝0是1个，只需x >0时有2个零点即可，当x >0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|＋m ，转化为函数y ＝－m 和f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|的图象交点个数即可，画出函数的图象，如图所示．结合图象可知只需12<－m <1，即－1<m <－12.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12 三、解答题(共2小题，每小题12分，共24分．解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤．)20．在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且满足(2c －a )cos B －b cos A ＝0.(1)求角B 的大小；(2)已知c ＝2，AC 边上的高BD ＝3217，求△ABC 的面积S 的值． 解：(1)因为(2c －a )cos B －b cos A ＝0，所以由正弦定理得(2sin C －sin A )cos B －sin B cos A ＝0， 所以2sin C cos B －sin(A ＋B )＝0， 因为A ＋B ＝π－C 且sin C ≠0，所以2sin C cos B －sin C ＝0，即cos B ＝12.因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.(2)因为S ＝12ac sin ∠ABC ＝12BD ·b ，代入c ，BD ＝3217，sin ∠ABC ＝32，得b ＝73a ，由余弦定理得：b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos ∠ABC ＝a 2＋4－2a .代入b ＝73a ，得a 2－9a ＋18＝0，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝7，或⎩⎨⎧a ＝6，b ＝27，又因为△ABC 是锐角三角形，所以a 2<c 2＋b 2，所以a ＝3，所以S △ABC ＝12ac sin ∠ABC ＝12×2×3×32＝332.21．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，其右顶点是A (2，0)，离心率为12. (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 与椭圆C 交于两点M ，N (M ，N 不同于点A )，若AM →·AN →＝0，求证：直线l 过定点，并求出定点坐标．(1)解：因为椭圆C 的右顶点是A (2，0)，离心率为12，所以a ＝2，c a ＝12，所以c ＝1，则b ＝3，所以椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：当直线MN 斜率不存在时，设MN ：x ＝m ， 与椭圆方程x 24＋y 23＝1联立得：|y |＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－m 24，|MN |＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－m 24. 设直线MN 与x 轴交于点B ，则|MB |＝|AB |，即3⎝⎛⎭⎪⎫1－m 24＝2－m ，所以m ＝27或m ＝2(舍)，。

2019-2020年高二学业水平考试数学试题含答案一．选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

)1．已知集合A ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈N }，B ＝{6，8，10，12，14}，则集合A ∩B 中元素的个数为()A.5B.4C.3D.22．在x 轴上的截距为2且倾斜角为135°的直线方程为.A ．2xyB ．2yx C.2yx D ．2yx 3．如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为A ．2πB ．3π2C ．3πD ．4π4．已知角的终边经过点P(-3,4)，则下列计算结论中正确的是（）A ．4tan3B ．4sin5C ．3cos5D．3sin55．某电视台在娱乐频道节目播放中，每小时播放广告20分钟，那么随机打开电视机观看这个频道看到广告的概率为（）A ．12 B．13C ．14D．166．三个数21log ,)21(,33321c ba 的大小顺序为（） A ．a cbB ．c abC．a bcD．bac7．在等比数列n a 中，)(0*N na n且,16,464a a 则数列n a 的公比q 是（）A ．1B ．2 C．3 D ．48．设R ba,且3ba，则ba22的最小值是( ) A. 6B. 24 C. 22 D. 629．已知直线n m l 、、及平面，下列命题中的假命题是（） A.若//l m ，//m n ，则//l n . B.若l，//n ，则ln .主视图左视图俯视图C.若//l ，//n ，则//l n .D.若l m ，//m n ，则l n .10．把正弦函数R)(xsinx y 图象上所有的点向左平移6个长度单位，再把所得函数图象上所有的点的横坐标缩短到原来的21倍，得到的函数是（）A ．y=sin 1()26xB.y=sin 1()26xC.y=sin(2)6xD.y=sin (2)3x11．不等式组131y x yx的区域面积是( )A ．12B ．52C ．32D ．112．已知圆4)1(22yx 内一点P （2，1），则过P 点最短弦所在的直线方程是（） A ．01y xB ．03y xC ．03y xD ．2x二．填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分。

四川省成都市2019-2020学年普通高中学生学业水平测试数学试题-含答案2019年四川省成都市普通高中生学业水平考试数学试题注意事项：1.考生在答题前需使用0.5毫米黑色签字笔填写姓名、座号、考生号、县区和科类到答题卡和试卷规定的位置上。

2.选择题需使用2B铅笔将答案标号涂黑，如需改动，需使用橡皮擦干净后再涂其他答案标号。

在试卷上作答无效。

3.答案必须使用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，如需改动，需先划掉原来的答案，再写上新的答案。

不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按要求作答的答案无效。

一、选择题1.把复数z的共轭复数记为-z，i为虚数单位，若z=1+i，则(1+z)·-z=()A.3-i。

B.3+1.C.1+3i。

D.3- 解析：(1+z)·z=(2+i)(1-i)=3-i。

答案：A2.设U=R，M={x|x^2-2x>0}，则∁U M=()A.[0,2]。

B.(0,2)。

C.(-∞,0)∪(2,+∞)。

D.(-∞,0]∪[2,+∞)解析：因为M={x|x^2-2x>0}={x|x>2或x<0}，所以∁UM={x|0≤x≤2}．答案：A3.若函数f(x)=(2x+1)(x-a)/(x+1)(x+2)，为奇函数，则a=()A.1.B.2.C.-1.D.-2解析：因为f(x)为奇函数，所以f(-1)=-f(1)，即(-1-a)/(1-a)=-1，解得a=1.答案：A4.命题“∀x>0，x^2+x>0”的否定是()A.∃x>0，x^2+x≤0.B.∃x>0，x+x≤0C.∀x>0，x^2+x≤0.D.∀x≤0，x^2+x>0解析：根据全称命题的否定是特称命题，可知该命题的否定是：∃x>0，x^2+x≤0.答案：B5.若等比数列{an}满足an·an+1=16n，则公比为()A.2.B.4.C.8.D.16解析：由an·an+1=an^2·q=16n，得q>0，又an+1/an=q，所以q^2=an+1/an=16，所以q=4.答案：B6.根据图中的三视图，可以确定多面体的形状。

2019-2020学年北京市高三（上）第二次学业水平合格性数学试卷一、选择题（每小题3分，共81分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的．1．（3分）已知集合M ＝{1，2}，N ＝{2，3}，那么M ∩N 等于（ ） A ．∅B ．{1}C ．{2}D ．{3}2．（3分）已知向量a →=（2，1），b →=（0，﹣2），那么a →+b →等于（ ） A ．（2，3）B ．（2，1）C ．（2，0）D ．（2，﹣1）3．（3分）2019年中国北京世界园艺博览会于4月29日至10月7日在北京市延庆区举办．如果小明从中国馆、国际馆、植物馆、生活体验馆四个展馆中随机选择一个进行参观，那么他选择的展馆恰为中国馆的概率为（ ） A ．12B ．14C ．18D ．1164．（3分）圆心为A （2，﹣3），半径等于5的圆的方程是（ ） A ．（x ﹣2）2+（y +3）2＝5 B ．（x +2）2+（y ﹣3）2＝5C ．（x ﹣2）2+（y +3）2＝25D ．（x +2）2+（y ﹣3）2＝255．（3分）已知向量a →=（﹣2，1），b →=（1，m ），且a →⊥b →，那么m 等于（ ） A ．0B ．1C ．2D ．36．（3分）直线x +y ﹣3＝0与直线x ﹣y +1＝0的交点坐标是（ ） A ．（2，2）B ．（﹣2，2）C ．（﹣1，3）D ．（1，2）7．（3分）已知平面向量a →，b →满足|a →|＝|b →|＝1，且a →与b →夹角为60°，那么a →•b →等于（ ） A ．14B ．13C ．12D ．18．（3分）函数f （x ）＝lg （x ﹣1）的定义域为（ ） A ．（0，+∞）B ．（﹣∞，0）C ．（1，+∞）D ．（﹣∞，1）9．（3分）已知点A （﹣1，1），B （2，4），那么直线AB 的斜率为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．（3分）为庆祝中华人民共和国成立70周年，某学院欲从A ，B 两个专业共600名学生中，采用分层抽样的方法抽取120人组成国庆宣传团队，已知A 专业有200名学生，那么在该专业抽取的学生人数为（ ） A ．20B ．30C ．40D ．5011．（3分）cos （α﹣β）等于（ ） A ．cos αcos β+sin αsin β B ．cos αcos β﹣sin αsin β C ．sin αcos β+cos αsin βD ．sin αcos β﹣cos αsin β12．（3分）已知函数f （x ）是定义域为R 的奇函数，且f （﹣1）＝﹣2，那么f （1）的值为（ ） A ．0B ．12C ．1D ．213．（3分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，如果AB ＝3，AC ＝1，AA 1＝2，那么直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．614．（3分）sin 13π6的值为（ ） A ．12B ．√33C ．√32D ．√315．（3分）函数f （x ）＝x 3﹣x 的零点的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．316．（3分）要得到函数y =2sin(x +π3)的图象，只需要将函数y ＝2sin x 的图象（ ） A ．向左平移π3个单位B ．向右平移π3个单位C ．向左平移π6个单位D ．向右平移π6个单位17．（3分）直线l 经过点A （1，1），且与直线2x ﹣y ﹣3＝0平行，则l 的方程为（ ） A ．y ＝2x +1B ．y =12x +1C ．y =−12x −1D ．y ＝2x ﹣118．（3分）如果函数f （x ）＝log a x （a ＞0且a ≠1）的图象经过点（4，2），那么a 的值为（ ）A ．14B ．12C ．2D ．419．（3分）已知a ＝20.3，b ＝23，c ＝2﹣1，那么a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞a ＞bD ．c ＞b ＞a20．（3分）函数f （x ）＝sin x cos x 的最小正周期为（ ） A ．1B ．2C ．πD ．2π21．（3分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，如果A ＝30°，B ＝45°，b ＝2，那么a 等于（ ） A ．√2B ．√3C ．√6D ．322．（3分）已知sinα=45，α∈(0，π2)，那么cos （π﹣α）等于（ ） A ．−45B ．−35C ．35D ．4523．（3分）已知圆C ：x 2+y 2﹣6x ＝0与直线l ：x ﹣y +1＝0，那么圆心C 到直线l 的距离为（ ） A ．3√2B ．2√2C ．√2D ．124．（3分）已知幂函数f （x ）＝x n ，它的图象过点（2，8），那么f(12)的值为（ ） A ．18B ．14C ．12D ．125．（3分）生态环境部环境规划院研究表明，京津冀区域PM 2.5主要来自工业和民用污染，其中冬季民用污染占比超过50%，最主要的源头是散煤燃烧．因此，推进煤改清洁能源成为三地协同治理大气污染的重要举措．2018年是北京市压减燃煤收官年，450个平原村完成了煤改清洁能源，全市集中供热清洁化比例达到99%以上，平原地区基本实现“无煤化”，为了解“煤改气”后居民在采暖季里每月用气量的情况，现从某村随机抽取100户居民进行调查，发现每户的用气量都在150立方米到450立方米之间，得到如图所示的频率分布直方图．在这些用户中，用气量在区间[300，350）的户数为（ ）A．5B．15C．20D．2526．（3分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，如果A＝60°，b＝3，△ABC的面积S=32√3，那么a等于（）A．√7B．7C．√17D．1727．（3分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题：①如果m∥α，n⊂α，那么m∥n；②如果m⊥α，n⊥α，那么m∥n；③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β；④如果α⊥β，m⊂α，那么m⊥β．其中正确的命题是（）A．①②B．②③C．③④D．①④二、解答题（共19分）28．（5分）某同学解答一道三角函数题：“已知函数f(x)=2sin(x+φ)(−π2＜φ＜π2)，且f(0)=√3．（Ⅰ）求φ的值；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[−5π6，π3]上的最大值及相应x的值．”该同学解答过程如下：解答：（Ⅰ）因为f(0)=2sinφ=√3，所以sinφ=√3 2．因为−π2＜φ＜π2，所以φ=π3．（Ⅱ）因为−5π6≤x≤π3，所以−π2≤x+π3≤2π3．令t=x+π3，则−π2≤t≤2π3．画出函数y＝2sin t在[−π2，2π3]上的图象，由图象可知，当t=π2，即x=π6时，函数f（x）的最大值为f（x）max＝2．下表列出了某些数学知识：任意角的概念任意角的正弦、余弦、正切的定义弧度制的概念π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式弧度与角度的互化函数y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象三角函数的周期性正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质同角三角函数的基本关系式正切函数在区间(−π2，π2)上的性质两角差的余弦公式函数y＝A sin（ωx+φ）的实际意义两角差的正弦、正切公式参数A，ω，φ对函数y＝A sin（ωx+φ）图象变化的影响两角和的正弦、余弦、正切公式二倍角的正弦、余弦、正切公式请写出该同学在解答过程中用到了此表中的哪些数学知识．29．（5分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，P A⊥平面ABC，点D，E，F分别为PC，AB，AC 的中点．（Ⅰ）求证：BC∥平面DEF；（Ⅱ）求证：DF⊥BC．阅读下面给出的解答过程及思路分析．解答：（Ⅰ）证明：在△ABC中，因为E，F分别为AB，AC的中点，所以①．因为BC⊄平面DEF，EF⊂平面DEF，所以BC∥平面DEF．（Ⅱ）证明：因为P A⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以②．因为D，F分别为PC，AC的中点，所以DF∥P A．所以DF⊥BC．思路分析：第（Ⅰ）问是先证③，再证“线面平行”；第（Ⅱ）问是先证④，再证⑤，最后证“线线垂直”．以上证明过程及思路分析中，设置了①～⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了三个选项，其中只有一个正确，请选出你认为正确的选项，并填写在答题卡的指定位置．空格选项①A．EF∥BC B．BE∥FC C．BC ∥DE②A．PB⊥EF B．P A⊥BC C．PC ⊥EF③A．线线垂直B．线面垂直C．线线平行④A．线线垂直B．线面垂直C．线线平行⑤A．线面平行B．线线平行C．线面垂直30．（5分）某同学解答一道解析几何题：“已知直线l：y＝2x+4与x轴的交点为A，圆O：x2+y2＝r2（r＞0）经过点A．（Ⅰ）求r的值；（Ⅱ）若点B为圆O上一点，且直线AB垂直于直线l，求|AB|．”该同学解答过程如下：解答：（Ⅰ）令y＝0，即2x+4＝0，解得x＝﹣2，所以点A的坐标为（﹣2，0）．因为圆O：x2+y2＝r2（r＞0）经过点A，所以r＝2．（Ⅱ）因为AB⊥l．所以直线AB的斜率为﹣2．所以直线AB的方程为y﹣0＝﹣2（x+2），即y＝﹣2x﹣4．代入x2+y2＝4消去y整理得5x2+16x+12＝0，解得x1＝﹣2，x2=−6 5．当x2=−65时，y2=−85．所以点B的坐标为(−65，−85)．所以|AB|=√(−65+2)2+(−85−0)2=45√5．指出上述解答过程中的错误之处，并写出正确的解答过程．31．（4分）土壤重金属污染已经成为快速工业化和经济高速增长地区的一个严重问题，污染土壤中的某些重金属易被农作物吸收，并转入食物链影响大众健康．A，B两种重金属作为潜在的致癌物质，应引起特别关注．某中学科技小组对由A，B两种重金属组成的1000克混合物进行研究，测得其体积为100立方厘米（不考虑物理及化学变化），已知重金属A的密度大于11g/cm3，小于12g/cm3，重金属B的密度为8.65g/cm3．试计算此混合物中重金属A的克数的范围．2019-2020学年北京市高三（上）第二次学业水平合格性数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共81分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的．1．【解答】解：M ＝{1，2}，N ＝{2，3}， ∴M ∩N ＝{2}． 故选：C ．2．【解答】解：向量a →=（2，1），b →=（0，﹣2）， 则a →+b →=（2+0，1﹣2）＝（2，﹣1）． 故选：D ．3．【解答】解：设事件A 表示“四个展馆中随机选择一个进行参观，那么他选择的展馆恰为中国馆”，则基本事件的总数为C 41=4个， 事件A 包含1个基本事件， 所以P （A ）=14， 故选：B ．4．【解答】解：圆心为A （2，﹣3），半径等于5的圆的方程：（x ﹣2）2+（y +3）2＝25． 故选：C ．5．【解答】解：向量a →=（﹣2，1），b →=（1，m ）， 当a →⊥b →时，a →•b →=0， 即﹣2×1+1×m ＝0， 解得m ＝2． 故选：C ．6．【解答】解：联立两直线有：{x +y −3=0x −y +1=0，解得：x ＝1，y ＝2，直线x +y ﹣3＝0与直线x ﹣y +1＝0的交点坐标是（1，2）．故选：D ．7．【解答】解：平面向量a →，b →满足|a →|＝|b →|＝1，且a →与b →夹角为60°， 那么a →•b →=|a →||b →|cos ＜a →，b →＞=1×1×12=12． 故选：C ．8．【解答】解：由函数f （x ）＝lg （x ﹣1）可得 x ﹣1＞0， 解得x ＞1，故函数f （x ）＝lg （x ﹣1）的定义域为 （1，+∞）， 故选：C ．9．【解答】解：∵已知点A （﹣1，1），B （2，4），那么直线AB 的斜率为4−12−(−1)=1，故选：A ．10．【解答】解：由题意知，从A 专业抽取的学生人数为120×200600=40（人）． 故选：C ．11．【解答】解：cos （α﹣β）＝cos αcos β+sin αsin β． 故选：A ．12．【解答】解：根据题意，函数f （x ）是定义域为R 的奇函数，则f （﹣x ）＝﹣f （x ）， 又由f （﹣1）＝﹣2，则f （1）＝﹣f （﹣1）＝2； 故选：D ．13．【解答】解：在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∵AB ⊥AC ，AB ＝3，AC ＝1，∴S △ABC =12×3×1=32， 又AA 1⊥平面ABC ，且AA 1＝2， ∴V ABC−A 1B 1C 1=32×2=3． 故选：B ．14．【解答】解：sin 13π6=sin π6=12．故选：A ．15．【解答】解：函数f （x ）＝x 3﹣x ＝x （x +1）（x ﹣1）＝0，解得x ＝0或x ＝1，或x ＝﹣1； 函数f （x ）＝x 3﹣x 的零点的个数是3个， 故选：D ．16．【解答】解：将函数y ＝2sin x 的图象向左平移π3个单位，可得函数y =2sin(x +π3)的图象， 故选：A ．17．【解答】解：∵直线l 经过点A （1，1），且与直线2x ﹣y ﹣3＝0平行，则l 的方程为2x ﹣y +c ＝0，把点A （1，1）代入，可得2﹣1+c ＝0，求得c ＝﹣1， 故l 的方程为2x ﹣y ﹣1＝0， 故选：D ．18．【解答】解：∵f （x ）的图象经过点（4，2）， ∴log a 4＝2， ∴a 2＝4，且a ＞0， ∴a ＝2． 故选：C ．19．【解答】解：∵函数y ＝2x 在R 上单调递增，3＞0.3＞﹣1，a ＝20.3 ，b ＝23 ，c ＝2﹣1，∴b ＞a ＞c ， 故选：B ．20．【解答】解：由题意得，f （x ）＝sin x cos x =12×2sin x cos x =12sin2x ， 所以函数的最小正周期为2π2=π，故选：C ．21．【解答】解：在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，如果A ＝30°，B ＝45°，b ＝2，由正弦定理可得：a =bsinAsinB =2×12√22=√2．故选：A ．22．【解答】解：sinα=45，α∈(0，π2)，那么cos （π﹣α）＝﹣cos α=−√1−sin 2α=−35． 故选：B ．23．【解答】解：圆C ：x 2+y 2﹣6x ＝0化为：（x ﹣3）2+y 2＝9的圆心（3，0）， 圆心C 到直线l ：x ﹣y +1＝0的距离为：d =2=2√2．故选：B．24．【解答】解：幂函数f（x）＝x n的图象过点（2，8），则2n＝8，n＝3，∴f（x）＝x3，∴f(12)=(12)3=18．故选：A．25．【解答】解：依题意，由频率分布直方图可知，用气量在[300，350）的频率为：0.005×50＝0.25，所以100户居民中用气量在区间[300，350）的户数为：100×0.25＝25．故选：D．26．【解答】解：∵A＝60°，b＝3，△ABC的面积S=32√3=12bc sin A=12×3×c×√32，∴c＝2，∴由余弦定理可得a=√b2+c2−2bccosA=√9+4−2×3×2×12=√7．故选：A．27．【解答】解：①如果m∥α，n⊂α，那么m∥n或为异面直线，因此不正确；②如果m⊥α，n⊥α，那么m∥n，正确；③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β，正确；④如果α⊥β，m⊂α，那么m不一定垂直β．其中正确的命题是②③．故选：B．二、解答题（共19分）28．【解答】解：该同学在解答过程中用到了此表中的数学知识有；①任意角的概念，弧度制的概念，任意角的正弦的定义；②函数y＝sin x的图象，三角函数的周期性；③正弦函数在区间[0，2π]上的性质；④参数A，ω，φ对函数y＝A sin（ωx+φ）图象变化的影响．29．【解答】解：（Ⅰ）证明：在△ABC中，因为E，F分别为AB，AC的中点，所以EF∥BC．因为BC⊄平面DEF，EF⊂平面DEF，所以BC∥平面DEF．（Ⅱ）证明：因为P A⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以P A⊥BC．因为D，F分别为PC，AC的中点，所以DF∥P A．所以DF⊥BC．思路分析：第（Ⅰ）问是先证线线平行，再证“线面平行”；第（Ⅱ）问是先证线线垂直，再证线线平行，最后证“线线垂直”．故答案为：①A；②B；③C；④A；⑤B．（每空（1分），共5分）30．【解答】解：（Ⅱ）中，直线AB的斜率为﹣2不对．因为AB⊥l，所以直线AB的解率为−1 2．所以直线AB的方程为y−0=−12(x+2)，即x＝﹣2y﹣2．代入x2+y2＝4消去x整理得5y2+8y＝0，解得y1＝0，y2=−8 5．当y2=−85时，x2=65．所以B 的坐标为(65，−85)．所以|AB|=√(65+2)2+(−85−0)2=85√5．31．【解答】解：设重金属A 的密度为xg /cm 3，此混合物中含重金属A 为y 克． 由题意可知，重金属B 为（1000﹣y ）克，且y x +1000−y 8.65=100．解得y =135x x−8.65(11＜x ＜12)． 因为y =135x x−8.65=135(1+8.65x−8.65)，所以当x ＞8.65时，y 随x 的增大而减小，因为11＜x ＜12，所以135×(1+8.6512−8.65)＜y =135(1+8.65x−8.65)＜135×(1+8.6511−8.65)． 解得4833967＜y ＜6314347． 故此混合物中重金属A 的克数的范围是大于4833967克，小于6314347克．。

高中学业水平考试模拟测试卷（二）（时间：90分钟满分100分）一、选择题（共15小题，每小题4分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 已知集合M = {- 1, 0, 1}, N = {0, 1, 2}，贝S M U N =（）A. {-1, 0, 1, 2}B. {- 1, 0, 1}C. {-1, 0, 2}D. {0, 1}解析：因为集合M = {-1, 0, 1}, N = {0, 1, 2},所以M U N = {—1, 0, 1, 2}.答案：A12. “sin A=孑是“ A = 30° 的（）A .充分不必要条件B.必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件1 1解析：因为sin 30°= *所以“sin A=,是“A= 30°的必要1条件；150° 390等角的正弦值也是Q,1故“sin A=1”不是“A= 30°的充分条件.故选B.答案：B3. 已知a= （4, 2）, b= （6, y）,且a丄b,则y的值为（）A. - 12B.- 3C. 3D. 12解析：因为a= (4, 2), b= (6, y)，且alb,所以 a b = 0, 即卩 4X 6 + 2y = 0, 解得y =— 12•故选A. 答案：A4.若a<b<0,则下列不等式：①|a|>|b|;②右舟③春+1>2；④ a 2vb 2中，正确的有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个解析：对于①，根据不等式的性质，可知若avb<0,则|a|>|b|,故正确；对于②，若a<b<0,两边同除以ab,则話<［即：<：，故 正确；对于③，若avb<0,则b>0, b >0,根据基本不等式即可得到b + b >2,故正确； 对于④，若avb<0,则a 2>b 2，故不正确.故选C. a答案：C5.已知a 是第二象限角，sin a=需 则cos a=（故选B. 答案：B6.下列函数中，既是偶函数，又在区间（0,+乂）上单调递减的 函数是（）5 13B .12 1312 .13解析：因为a 是第二象限角, sin a= 513,所以cos[5 2 1243 丿=—13.14 7求的频率为P = 20= 10•故选D.A . y =x 2B . y = x —1 C . y = x2 — 2 D .y = log1x 2解析：因为y = x -1是奇函数，y = Iog1x 不具有奇偶性，故排除B ,2D ;又函数y = x 2-2在区间（0,+旳上是单调递增函数, 故排除 C.故选A.答案：A［x — 3y + 6》0, _7.不等式组x — y + 2<0,表示的平面区域是（n解析：由题意可知，（0, 0）在x -3y + 6= 0的下方, 满足x — + 6>0; (0, 0)在直线x — y + 2 = 0的下方，不满足 x — y + 2<0.故选 B.答案：B8.—个容量为20的样本数据，分组后，组距与频数如下, 组距 (10, 20] (20, 30] (30, 40] (40, 50] (50, 60] (60, 70] 频数2 3 4 5 4 21 A ・20 1 C ・7D・解析：根据题意，样本在（10,50］上的频数为2+3+4+ 5= 14,所 ［）则样本在（10, 50］上的频率为（答案：D9. cos 40sin 80 亠sin 40 sin 10 =（）A.*B.—中C. cos 50 i解析：cos 40sin 80 牛sin 40 sin 10 = cos 40Cos 10 牛sin 40 sin310 = cos（40 —10 ）= * ・答案：D10. 函数y= log2（x2—3x+2）的递减区间是（）A. （—1）B. （2，+乂）C.「X, 2/D.运,J解析：由x2—3x+ 2>0,得x<1 或x>2，又y= Iog2（x2—3x+ 2）的底数是2,所以在（―乂，1）上递减.故选A.答案：A11. 为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校购进了《三国演义》《水浒传》《红楼梦》和《西游记》若干套，如果每班每学期可以随机领取两套不同的书籍，那么该校高一（1）班本学期领到《三国演义》和《水浒传》的概率为（）2 1 J 1AA.3B.2C.4D.6解析：记《三国演义》《水浒传》《红楼梦》和《西游记》为a、b、c、d,则该校高一（1）班本学期领到两套书的所有情况有ab、ac、1 ad、bc、bd、cd共6种，符合条件的情况为ab共1种，故概率为6,选D.答案：D12.将函数y = sin 2乂+£的图象沿x 轴向左平移m(m >0)个单 i8丿 位后，得到一个奇函数的图象，则 m 的最小值为()解析：y = sin?x +才的图象向左平移 m 个单位长度后得到y =因为y = sin* (x +m )+n 为奇函数，( n所以 sin 2m + 8j= 0.n所以 2m + 8= k n, k® ,即有m =丁― ；n ，k®，所以正数m 的最小值为寻 答案：A13.已知双曲线 孑一存=1(a>0, b>0)的离心率为 3，则双曲线的渐近线方程为( )解析：由双曲线的离心率为 3,则e = C = 3,即c = 3a, b =a c 2— a 2= 3a 2 — a 2= 2a ,由双曲线的渐近线方程为 y = ±x,得其渐近线方程为y = ± 2x.7n.16c.7n A . y = ±2x C . y = D . y = + 2x冗sin 2 (x + m )B . y =故选D.答案：D14. 函数f(x)= logx + x—2的零点所在的区间是()A. (0, 1)B. (1, 2)C. (2, 3)D. (3, 4)解析：函数f(x)= logx + x—2的图象在(0, +旳上连续不断，f(1)=0+1—2<0, f(2)= 1 + 2—2>0,故函数f(x) = log z X + x —2的零点所在的区间是(1, 2).故选B.答案：B15. 已知向量AC, AD和AB在正方形网格中的位置如图所示，若A C= ^AB+ ^J AD，贝y + 尸( )A. 2B.—2C. 3D. —3解析：以A为原点，AD所在直线为x轴，与AD垂直的直线为y轴建立直角坐标系，+ J= 2, 那么AD = (1, 0), A B= (1, 2), A C= (2,—2),那么12 = —2, 解得=—1, J= 3,所以入+ J=2•故选A.答案：A二、填空题(共4小题，每小题4分，共16分.)16.函数y= a x—1+ 1(a>0,且1)的图象恒过定点 _____________ .解析：当x— 1 = 0,即x= 1 时，y= 2•所以函数y= a x-1+ 1(a>0, 且a#1)的图象恒过定点(1, 2).答案：(1，2)17. _______________________________________________ 等差数列｛a n｝中，a2= 3, a3+ a4= 9,贝S a q a6 = _________________ .解析：由等差数列的通项公式可得, a3+a4=2a1+ 5d= 9, a1+ d=3,所以a1= 2, d= 1,所以a1 a6= 2X 7 = 14.答案：1418. 某学院A, B, C 三个专业共有1 200 名学生,为了调查这些学生勤工俭学的情况,拟用分层抽样的方法抽取一个容量为120 的样本.已知该学院A 专业有380 名学生, B 专业有420 名学生, 贝该学院C 专业应抽取 ____________________ 名学生.解析：抽样比为1 10,而C学院的学生有1 200—380—420=400(名),所以按抽样比抽取40名.答案：4019.设厶ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c,若bcosC+ ccosB=asin A,则/ A 的度数为__________ .解析：根据正弦定理可得, sin BcosC+ sin CcosB= sin2A? sin(B + C)= sin 2A, 而sin(B + C) = sin A,所以sin A=sin 2A,所以sin A=1,所以/A= 90°答案：90°三、解答题(共2小题,每小题12分,共24分.解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤. )x(1)求函数f(x)的最小正周期;-n⑵若x € 0, £时，f(x)的最小值为一2,求a 的值.所以f(x)的最小正周期T = 2 =n. ⑵当x G 0,扌时,n li n 5 n 2x —6d —6, T?所以x = 0时，f(x)取得最小值, 即 2sin :— n+ a = — 2, 故 a = — 1.1 521.已知函数 f(x)= 1+ - — x a (a€ R)，且 f(3)=— 3.x 3 (1) 求a 的值； (2) 求函数f(x)的零点；⑶判断f(x)在(一=,0)上的单调性，并给予证明. 5 15解: (1)由 f(3)= — 3,得 1+ 3 — 3a= — 3,解得 a= 1.1 1⑵由(1),得f(x)= 1 + x — X ・令f(x) = 0,即卩1+ x —x = 0,也就是 X ? — — — 1 1 ± 5 1 ± 5 1=0,解得 x = ±± •经检验,x = ±± 是 1 + X — x = 0 的根,20.已知函数 f(x)= 2sin2x —解:(1)f(x) = 2sin2x —审+ a. a , a 为常数.所以函数f(x)的零点为1±詐・1(3)函数f(x) = 1 + x—x在(一x, 0)上是减函数.证明如下：设x i，X2q —x,0),且X i<X2 ,r 1 、「1 、(1 、则f(X1)—f(X2)= J+ x；一X1—J + x2 一X2 卜(X2—X1)敲+因为X1<X2<0,所以X2 —X1>0, X1X2>0，所以f(X1) —f(X2)>0，即1f(X1)>f(X2)，所以f(x)= 1 + x—x在(—乂，0)上是减函数.。

2021年7月重庆市普通高中学业水平合格性模拟考试数学试卷考前须知：1.本试卷共36题，共100分，共4页。

考试时间90分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

2.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

3.答题时请按要求用笔。

4.请按照题号顺序在答题卡各题目的区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、挂纸刀。

一、单项选择题〔共28小题，每题3分，共84分〕从每个小题的三个备选项中，选出一个最符合题目要求的答案。

1.全集U={0，1，2，3，4，5}，集合A={0，1，2}，B={5}，那么〔∁UA〕∪B=A.{0，1，2}B.{3，4，5}C.{1，4，5}2.对于实数a，b，c，“ac2＞bc2〞是“a＞b〞的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件3.实数x，y满足xy-2=x+y，且x＞1，那么y〔x+11〕的最小值为A.21B.24C.274.不等式-x2+2x-4＞0的解集为A.RB.∅C.{x|x＞0，x∈R〕5.实数a满足：a2-1≤0．命题P：函数y=x2-4ax-1在[-1，1]上单调递减．那么命题P为真命题的概率为A. B. C.6.三个函数y=x3，y=3x，y=log3x，那么A.定义域都为RB.值域都为RC.在其定义域上都是增函数7.函数是偶函数，那么函数f〔x〕的最大值为〕A.1B.2C.8.函数f〔x〕=cos-sin，假设要得到奇函数的图象，可以将函数f〔x〕的图象A.向左平移个单位B.向左平移个单位C.向右平移个单位9.，β∈〔0，2π〕，那么tanβ=A.1B.-1C.±110.化简++等于A. B. C.11.数列{an}的前n项和Sn=n2，那么数列的前2021项和为A. B. C.12.将一个球的半径变为原来的2倍，那么外表积变为原来的A.2倍B.4倍C.8倍13.正方体的体积是8，那么这个正方体的外接球的体积是A. B. C.14.直线l1：3x+〔a-2〕y+a=0与直线l2：ax+y+3=0平行，那么实数a=A.-1或3B.3C.-115.如果A〔1，3〕关于直线l的对称点为B〔-5，1〕，那么直线l的方程是A. x-3y+8=0B.3x+y+4=0C.x+3y-4=016.两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R如下，其中拟合效果最好的模型是A.模型1的相关指数R=0.2B.模型2的相关指数R=0.8C.模型3的相关指数R=0.917.某平台为一次活动设计了“a〞、“b〞、“c〞三种红包，活动规定：每人可以获得4个红包，假设集齐至少三个相同的红包〔如：“aaab〞〕，或者集齐两组两个相同的红包〔如：“aabb〞〕，即可获奖．小赵收集了4个红包，那么他能够获奖的不同情形数为A.9B.10C.1218.国际顶峰论坛，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问，要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，那么不同的提问方式的种数为A.378B.306C.19819.集合A={x|x2-x-2＜0}，B={x|a＜x＜a+3}．假设A∩B={x|0＜x＜2〕，那么A∪B=A.{x|-2＜x＜3}B.{x|-1＜x＜3}C.{x|0＜x＜3}20.以下选项中，说法正确的选项是A.“∃x0∈R，x02-x0≤0〞的否认是“∃x0∈R，x02-x＞0〞B.假设向量满足，那么与的夹角为钝角C.“x∈A∪B〞是“x∈A∩B〞的必要条件21.函数f〔x〕=，a=f〔20.3〕，b=f〔0.20.3〕，c=f〔log0.32〕，那么a，b，c的大小关系为A.b＜a＜cB.c＜b＜aC.b＜c＜a22.设f〔x〕=〔其中e为自然对数的底数〕，g〔x〕=f2〔x〕-〔2m-1〕f〔x〕-2，假设函数g〔x〕恰有4个不同的零点，那么实数m的取值范围为A.m＜0B.m＜1C.m＞223.以下函数中，在区间〔-1，1〕上为减函数的是A.y=cosxB.y=ln〔x+1〕C.y=24.向量=〔-2，3〕，=〔3，m〕，且⊥，那么m=A. B.-2 C.225.数列{an}中，假设，那么a7=A. B. C.26.等比数列{an}的前n项和为Sn，a1=a2+2a3，S2是S1与mS3的等比中项，那么m的值为A.1B.C.27.在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，那么三棱锥P-ABC 的三视图的面积之和最大值为A.6B.7C.828.假设a和b是异面直线，b和c是异面直线，那么a和c的位置关系是A.异面或平行B.异面或相交C.相交、平行或异面二、判断题〔本大题共 8小题，每题 2 分，共 16分〕判断以下各小题的正误，正确的填涂“√〞，错误的填涂“×〞。

2019-2020学年高中数学学业水平考试仿真模拟考试题二（含解析）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分.时量：120分钟，满分：100分一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A. 10B. 12C. 14D. 16【答案】B【解析】由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，如下图，则该几何体各面内只有两个相同的梯形，则这些梯形的面积之和为，故选B.点睛:三视图往往与几何体的体积、表面积以及空间线面关系、角、距离等问题相结合，解决此类问题的关键是由三视图准确确定空间几何体的形状及其结构特征并且熟悉常见几何体的三视图.2.若集合，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据集合的交集运算法则即可求解.【详解】由题：集合，，则.故选：C【点睛】此题考查集合的运算，求两个集合的交集，关键在于根据题意准确求解，易错点在于端点没有考虑清楚.3.设函数f(x)=cos(x+)，则下列结论错误的是A. f(x)的一个周期为−2πB. y=f(x)的图像关于直线x=对称C. f(x+π)的一个零点为x=D. f(x)在(,π)单调递减【答案】D【解析】f(x)的最小正周期为2π，易知A正确；f＝cos＝cos3π＝－1，为f(x)的最小值，故B正确；∵f(x＋π)＝cos＝－cos，∴f＝－cos＝－cos＝0，故C正确；由于f＝cos＝cosπ＝－1，为f(x)的最小值，故f(x)在上不单调，故D错误．故选D.4.如图所示的程序框图运行后输出结果为，则输入的值为（）A. -1B.C. D. -1或【答案】D【解析】【分析】根据程序框图的所表达的意思，将框图改写成分段函数即可得解.【详解】由题：框图的作用即函数：，当时，，不可能为，当时，得，当时，得，所以输入值为-1或.故选：D【点睛】此题考查根据程序框图的输出值求输入值，关键在于准确读懂程序框图，转化成分段函数根据函数值求自变量的取值.5.已知，且，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，又，即，解得，故选C.6.已知，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵，∴，∴，故选D.点睛：本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题；由已知利用同角三角函数基本关系式可求的值，利用两角差的余弦函数公式即可计算求值得解.7.已知等差数列的通项公式为，则它的公差为（）A. 2B. 3C.D.【答案】C【解析】试题分析：由可得，所以公差．故C正确．考点：等差数列的定义．8.直线倾斜角为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据直线方程得出直线的斜率，根据斜率与倾斜角的关系即可得到倾斜角.【详解】由题：直线的斜率为-1，即倾斜角的正切值，所以其倾斜角为.故选：D【点睛】此题考查根据直线方程求直线的倾斜角，关键在于准确识别斜率，根据斜率与倾斜角的关系求出倾斜角.9.函数的图象大致是A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】函数的图象是由函数的图象向左平移了一个单位得到的，由此可得结论．【详解】函数的图象是由函数的的图象向左平移了一个单位得到的，定义域为，过定点，在上增函数，故选C【点睛】本题主要考查对数函数的图象与性质，函数图象的平移变换，属于基础题10.已知，，则的值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由已知，sinα＝－，又，故cosα＝∴sin2α＝2sinαcosα＝2×（－）×＝－考点：三角函数恒等变形，诱导公式，同角关系式，二倍角公式二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11.过点（1，2）且与直线2x﹣y﹣1=0平行的直线方程为．【答案】2x﹣y=0【解析】解：设过点（1，2）且与直线2x﹣y﹣1=0平行的直线方程为2x﹣y+c=0，把点（1，2）代入，得2﹣2+c=0，解得c=0．∴所求直线方程为：2x﹣y=0．故答案为2x﹣y=0．【点评】本题考查直线的一般式方程与直线的平行关系的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．12.已知，，，则的最大值是______.【答案】【解析】【分析】根据基本不等式即可求得最大值.【详解】由题：，，，由基本不等式：，当时，等号成立.所以的最大值是.故答案为：【点睛】此题考查根据基本不等式求最值，关键在于熟练掌握基本不等式的应用，求最值需要考虑等号成立的条件.13.求满足的的取值集合是______.【答案】【解析】【分析】将不等式化为，解即可得解.【详解】由题：即，所以，，所以解得：.故答案为：【点睛】此题考查求解指数型不等式，关键在于根据指数函数单调性求解，转化为解一元二次不等式.14.圆上的点到直线的距离最大值是 .【答案】【解析】试题分析：由题可知圆的标准方程为,即圆心为,半径为.那么圆心到直线的距离,直线与圆相交,则圆上的点到直线的距离最大值是.故本题应填.考点：1.直线与圆的位置关系；2.点到直线的距离；3.数形结合.【思路解析】本题主要考查直线与圆位置关系,点到直线的距离及数形结合的数学思想方法.本题的关键在于判断直线与圆的位置关系,判断直线与圆的位置关系一般有两种方法（1）几何法:利用圆心到到直线的距离以及圆的半径的大小关系来判定,相离,相切,相交；（2）代数法,将直线与圆的方程联立,利用得到的一元二次方程的判断.由于代数法运算较烦琐,一般使用几何法,如本题解析.15.函数的图象为，以下结论中正确的是______（写出所有正确结论的编号）.①图象关于直线对称；②图象关于点对称；③函数在区间内是增函数；④由的图象向右平移个单位长度可以得到图象.【答案】①②③【解析】【分析】利用整体代入的方式求出对称中心和对称轴，分析单调区间，利用函数的平移方式检验平移后的图象.【详解】由题：，令，，当时，即函数的一条对称轴，所以①正确；令，，当时，，所以是函数的一个对称中心，所以②正确；当，，在区间内是增函数，所以③正确；的图象向右平移个单位长度得到，与函数不相等，所以④错误.故答案为：①②③【点睛】此题考查三角函数的图象和性质，利用整体代入的方式求解对称轴对称中心，求解单调区间，根据函数的平移变换求解平移后的函数解析式.三、解答题（本大题共5小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.已知数列，.（1）判断数列是否为等差数列；（2）求数列的前项和为.【答案】（1）数列不是等差数列.（2）见解析【解析】【分析】（1）检验，，根据定义即可判定其不为等差数列；（2）分段讨论求数列的前项和为.【详解】解：（1）因为，，所以数列不是等差数列.（2）①当时，.②当时，.所以当时，，当时，.【点睛】此题考查等差数列概念的辨析和数列求和，涉及分组求和，分段讨论，需要熟练掌握等差数列的求和公式.17.如图，在直三棱柱中，已知，.设的中点，.求证：（1）平面；（2）.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）要证线面平行，只需找线线平行，因为D,E 为中点，利用中位线即可证明；（2）只需证明平面即可，显然可证，因此原命题得证.试题解析：⑴在直三棱柱中，平面，且矩形是正方形，为的中点，又为的中点，，又平面，平面，平面⑵在直三棱柱中，平面, 平面,又，平面，平面，，平面，平面，矩形是正方形，，平面，，平面又平面，.点睛：两条直线的垂直，一般需要用到线面垂直，先证明其中一条直线是另外一条直线所在平面的垂线，在此证明过程中，一般还要再次用到线面垂直的判定或性质，从而得到线线垂直.18.某城市的甲区、乙区分别对6个企业进行评估，综合得分情况如茎叶图所示.（1）根据茎叶图，分别求甲、乙两区引进企业得分的平均值；（2）规定85分以上（含85分）为优秀企业，若从甲、乙两个区准备引进的优秀企业中各随机选取一个，求这两个企业得分的差的绝对值不超过5分的概率.【答案】（1）88，87（2）【解析】【分析】（1）根据平均数公式求解平均数；（2）列举出所有基本事件，得出基本事件总数和两个企业得分的差的绝对值不超过5分包含的基本事件个数即可得解.【详解】解：（1）甲，乙.（2）甲区优秀企业得分88，89，93，95，乙区优秀企业得分为86，95，96.从两个区选一个优秀企业，所有基本事件为，，，，，，，，，，，，共12个.其中得分的绝对值的差不超过5分的有，，，，，，共6个.故这两个企业得分差的绝对值不超过5分的概率.【点睛】此题考查求平均数和古典概型，关键在于准确计算，准确写出基本事件，求出基本事件总数和某一事件包含的基本事件个数.19.设函数，.（1）如果，求的解析式；（2）若为偶函数，且有零点，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据，代入可得即可写出的解析式；（2）根据函数的奇偶性求出，有零点即方程有实数根即可得解.【详解】解：（1）因为，所以，即.所以.（2）因为为偶函数，所以，即.因为有零点，所以方程有实数根.所以，所以.【点睛】此题考查根据函数取值求参数的取值，根据函数的奇偶性求参数的取值，根据函数的零点求解参数的取值范围. 20.某小组共有五位同学，他们的身高（单位:米）以及体重指标（单位:千克/米2）如下表所示：(Ⅰ)从该小组身高低于的同学中任选人，求选到的人身高都在以下的概率(Ⅱ)从该小组同学中任选人，求选到的人的身高都在以上且体重指标都在中的概率.【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】试题分析：列举法求试验的基本事件个数．（1）从身高低于1．80的同学中任选2人，共有6种不同的结果，而两人身高在1．78以下的有3种不同的结果，然后由古典概型的概率计算求解即可；（2）从该小组同学中任选2人共有10种不同的结果，选到的2人的身高都在1．70以上且体重指标都在[18．5，23．9）中的事件有有3种结果，由古典概型的概率计算得其概率为．试题解析：（1）从身高低于1．80的同学中任选2人，其一切可能的结果的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（B，C），（B，D），（C，D），共6个．由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．选到的2人身高都在1．78以下的事件有：（A，B），（A，C），（B，C），共3个，因此选到的2人身高都在1．78以下的概率为；从该小组同学中任选2人其一切可能的结果的基本事件：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E）共10个．由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的选到的2人的身高都在1．70以上且体重指标都在[18．5，23．9）中的事件有：（C，D），（C，E），（D，E）共3个．因此选到的2人的身高都在1．70以上且体重指标都在[18．5，23．9）中的概率为．考点：古典概型的概率计算．2019-2020学年高中数学学业水平考试仿真模拟考试题二（含解析）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分.时量：120分钟，满分：100分一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A. 10B. 12C. 14D. 16【答案】B【解析】由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，如下图，则该几何体各面内只有两个相同的梯形，则这些梯形的面积之和为，故选B.点睛:三视图往往与几何体的体积、表面积以及空间线面关系、角、距离等问题相结合，解决此类问题的关键是由三视图准确确定空间几何体的形状及其结构特征并且熟悉常见几何体的三视图.2.若集合，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据集合的交集运算法则即可求解.【详解】由题：集合，，则.故选：C【点睛】此题考查集合的运算，求两个集合的交集，关键在于根据题意准确求解，易错点在于端点没有考虑清楚.3.设函数f(x)=cos(x+)，则下列结论错误的是A. f(x)的一个周期为−2πB. y=f(x)的图像关于直线x=对称C. f(x+π)的一个零点为x=D. f(x)在(,π)单调递减【答案】D【解析】f(x)的最小正周期为2π，易知A正确；f＝cos＝cos3π＝－1，为f(x)的最小值，故B正确；∵f(x＋π)＝cos＝－cos，∴f＝－cos＝－cos＝0，故C 正确；由于f＝cos＝cosπ＝－1，为f(x)的最小值，故f(x)在上不单调，故D 错误．故选D.4.如图所示的程序框图运行后输出结果为，则输入的值为（）A. -1B.C. D. -1或【答案】D【解析】【分析】根据程序框图的所表达的意思，将框图改写成分段函数即可得解.【详解】由题：框图的作用即函数：，当时，，不可能为，当时，得，当时，得，所以输入值为-1或.故选：D【点睛】此题考查根据程序框图的输出值求输入值，关键在于准确读懂程序框图，转化成分段函数根据函数值求自变量的取值.5.已知，且，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，又，即，解得，故选C.6.已知，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵，∴，∴，故选D.点睛：本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题；由已知利用同角三角函数基本关系式可求的值，利用两角差的余弦函数公式即可计算求值得解.7.已知等差数列的通项公式为，则它的公差为（）A. 2B. 3C.D.【答案】C【解析】试题分析：由可得，所以公差．故C正确．考点：等差数列的定义．8.直线倾斜角为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据直线方程得出直线的斜率，根据斜率与倾斜角的关系即可得到倾斜角.【详解】由题：直线的斜率为-1，即倾斜角的正切值，所以其倾斜角为.故选：D【点睛】此题考查根据直线方程求直线的倾斜角，关键在于准确识别斜率，根据斜率与倾斜角的关系求出倾斜角.9.函数的图象大致是A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】函数的图象是由函数的图象向左平移了一个单位得到的，由此可得结论．【详解】函数的图象是由函数的的图象向左平移了一个单位得到的，定义域为，过定点，在上增函数，故选C【点睛】本题主要考查对数函数的图象与性质，函数图象的平移变换，属于基础题10.已知，，则的值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由已知，sinα＝－，又，故cosα＝∴sin2α＝2sinαcosα＝2×（－）×＝－考点：三角函数恒等变形，诱导公式，同角关系式，二倍角公式二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11.过点（1，2）且与直线2x﹣y﹣1=0平行的直线方程为．【答案】2x﹣y=0【解析】解：设过点（1，2）且与直线2x﹣y﹣1=0平行的直线方程为2x﹣y+c=0，把点（1，2）代入，得2﹣2+c=0，解得c=0．∴所求直线方程为：2x﹣y=0．故答案为2x﹣y=0．【点评】本题考查直线的一般式方程与直线的平行关系的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．12.已知，，，则的最大值是______.【答案】【解析】【分析】根据基本不等式即可求得最大值.【详解】由题：，，，由基本不等式：，当时，等号成立.所以的最大值是.故答案为：【点睛】此题考查根据基本不等式求最值，关键在于熟练掌握基本不等式的应用，求最值需要考虑等号成立的条件.13.求满足的的取值集合是______.【答案】【解析】【分析】将不等式化为，解即可得解.【详解】由题：即，所以，，所以解得：.故答案为：【点睛】此题考查求解指数型不等式，关键在于根据指数函数单调性求解，转化为解一元二次不等式.14.圆上的点到直线的距离最大值是 .【答案】【解析】试题分析：由题可知圆的标准方程为,即圆心为,半径为.那么圆心到直线的距离,直线与圆相交,则圆上的点到直线的距离最大值是.故本题应填.考点：1.直线与圆的位置关系；2.点到直线的距离；3.数形结合.【思路解析】本题主要考查直线与圆位置关系,点到直线的距离及数形结合的数学思想方法.本题的关键在于判断直线与圆的位置关系,判断直线与圆的位置关系一般有两种方法（1）几何法:利用圆心到到直线的距离以及圆的半径的大小关系来判定,相离,相切,相交；（2）代数法,将直线与圆的方程联立,利用得到的一元二次方程的判断.由于代数法运算较烦琐,一般使用几何法,如本题解析.15.函数的图象为，以下结论中正确的是______（写出所有正确结论的编号）.①图象关于直线对称；②图象关于点对称；③函数在区间内是增函数；④由的图象向右平移个单位长度可以得到图象.【答案】①②③【解析】【分析】利用整体代入的方式求出对称中心和对称轴，分析单调区间，利用函数的平移方式检验平移后的图象.【详解】由题：，令，，当时，即函数的一条对称轴，所以①正确；令，，当时，，所以是函数的一个对称中心，所以②正确；当，，在区间内是增函数，所以③正确；的图象向右平移个单位长度得到，与函数不相等，所以④错误.故答案为：①②③【点睛】此题考查三角函数的图象和性质，利用整体代入的方式求解对称轴对称中心，求解单调区间，根据函数的平移变换求解平移后的函数解析式.三、解答题（本大题共5小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.已知数列，.（1）判断数列是否为等差数列；（2）求数列的前项和为.【答案】（1）数列不是等差数列.（2）见解析【解析】【分析】（1）检验，，根据定义即可判定其不为等差数列；（2）分段讨论求数列的前项和为.【详解】解：（1）因为，，所以数列不是等差数列.（2）①当时，.②当时，.所以当时，，当时，.【点睛】此题考查等差数列概念的辨析和数列求和，涉及分组求和，分段讨论，需要熟练掌握等差数列的求和公式.17.如图，在直三棱柱中，已知，.设的中点，.求证：（1）平面；（2）.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）要证线面平行，只需找线线平行，因为D,E为中点，利用中位线即可证明；（2）只需证明平面即可，显然可证，因此原命题得证.试题解析：⑴在直三棱柱中，平面，且矩形是正方形，为的中点，又为的中点，，又平面，平面，平面⑵在直三棱柱中，平面, 平面,又，平面，平面，，平面，平面，矩形是正方形，，平面，，平面又平面，.点睛：两条直线的垂直，一般需要用到线面垂直，先证明其中一条直线是另外一条直线所在平面的垂线，在此证明过程中，一般还要再次用到线面垂直的判定或性质，从而得到线线垂直.18.某城市的甲区、乙区分别对6个企业进行评估，综合得分情况如茎叶图所示.（1）根据茎叶图，分别求甲、乙两区引进企业得分的平均值；（2）规定85分以上（含85分）为优秀企业，若从甲、乙两个区准备引进的优秀企业中各随机选取一个，求这两个企业得分的差的绝对值不超过5分的概率.【答案】（1）88，87（2）【解析】【分析】（1）根据平均数公式求解平均数；（2）列举出所有基本事件，得出基本事件总数和两个企业得分的差的绝对值不超过5分包含的基本事件个数即可得解.【详解】解：（1）甲，乙.（2）甲区优秀企业得分88，89，93，95，乙区优秀企业得分为86，95，96.从两个区选一个优秀企业，所有基本事件为，，，，，，，，，，，，共12个.其中得分的绝对值的差不超过5分的有，，，，，，共6个.故这两个企业得分差的绝对值不超过5分的概率.【点睛】此题考查求平均数和古典概型，关键在于准确计算，准确写出基本事件，求出基本事件总数和某一事件包含的基本事件个数.19.设函数，.（1）如果，求的解析式；（2）若为偶函数，且有零点，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据，代入可得即可写出的解析式；（2）根据函数的奇偶性求出，有零点即方程有实数根即可得解.【详解】解：（1）因为，所以，即.所以.（2）因为为偶函数，所以，即.因为有零点，所以方程有实数根.所以，所以.【点睛】此题考查根据函数取值求参数的取值，根据函数的奇偶性求参数的取值，根据函数的零点求解参数的取值范围.20.某小组共有五位同学，他们的身高（单位:米）以及体重指标（单位:千克/米2）如下表所示：(Ⅰ)从该小组身高低于的同学中任选人，求选到的人身高都在以下的概率(Ⅱ)从该小组同学中任选人，求选到的人的身高都在以上且体重指标都在中的概率.【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】试题分析：列举法求试验的基本事件个数．（1）从身高低于1．80的同学中任选2人，共有6种不同的结果，而两人身高在1．78以下的有3种不同的结果，然后由古典概型的概率计算求解即可；（2）从该小组同学中任选2人共有10种不同的结果，选到的2人的身高都在1．70以上且体重指标都在[18．5，23．9）中的事件有有3种结果，由古典概型的概率计算得其概率为．试题解析：（1）从身高低于1．80的同学中任选2人，其一切可能的结果的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（B，C），（B，D），（C，D），共6个．由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．选到的2人身高都在1．78以下的事件有：（A，B），（A，C），（B，C），共3个，因此选到的2人身高都在1．78以下的概率为；从该小组同学中任选2人其一切可能的结果的基本事件：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B ，C ），（B ，D ），（B ，E ），（C，D），（C，E），（D，E）共10个．由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的选到的2人的身高都在1．70以上且体重指标都在[18．5，23．9）中的事件有：（C，D），（C，E），（D，E）共3个．因此选到的2人的身高都在1．70以上且体重指标都在[18．5，23．9）中的概率为．考点：古典概型的概率计算．。