11[1].5__几何证明举例(3)

几何证明的基本方法几何证明是数学中一种重要的推理方法，通过运用几何知识和定理，以及逻辑推理，来说明几何问题的正确性。

在进行几何证明时，我们可以运用一些基本的方法和技巧，帮助我们更好地展示证明过程，并确保结论的准确性。

本文将介绍一些常用的几何证明的基本方法。

一、直接证明法直接证明法是最常用的几何证明方法之一。

它的基本思路是利用已知条件和几何定理，通过一系列逻辑推理，直接得出结论。

例如，现有一个三角形ABC，已知AB=AC，需要证明∠B=∠C。

我们可以通过以下步骤进行直接证明：1. 根据已知条件，得到AB=AC；2. 利用等边三角形的性质，得到∠B=∠C，并给出证明过程。

二、间接证明法间接证明法与直接证明法相反，它是通过排除一切其他可能性，间接证明出所要证明的结论。

这种方法常用于复杂且难以直接证明的几何问题。

例如，现有一个平行四边形ABCD，需要证明对角线AC与BD相等。

我们可以通过以下步骤进行间接证明：1. 假设对角线AC与BD不相等；2. 利用平行四边形的性质和已知条件，进行逻辑推理，得出AC与BD相等的结论；3. 排除了AC与BD不相等的可能性，证明结论成立。

三、反证法反证法是一种常用的几何证明方法，它通过假设所要证明的结论不成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明原命题的真实性。

例如，现有一个直角三角形ABC，需要证明∠B=90度。

我们可以通过以下步骤进行反证法证明：1. 假设∠B不等于90度；2. 利用直角三角形的性质，通过逻辑推理得出∠B=90度；3. 得到矛盾的结论，推翻了假设，证明∠B=90度成立。

四、构造法构造法是利用几何工具，在已知条件下构造出满足某种要求的几何图形，从而推导出所要证明的结论。

例如，现有一个等边三角形ABC，需要证明三条边相等。

我们可以通过以下步骤进行构造法证明：1. 在AB、BC、CA之间分别用直尺和圆规作等边三角形ABC的三条边；2. 利用等边三角形的构造，得到三条边相等的结论。

几何证明举例(3)教学设计几何证明举例——等腰三角形教学设计教学目标1、初步掌握等腰三角形的性质及简单应用。

2、理解等腰三角形和等边三角形的性质定理之间的关系。

3、培养分类讨论、方程的思想和添加辅助线解决问题的能力。

教学重点和难点重点是等腰三角形性质的应用；难点是等腰三角形的“三线合一”性质的灵活运用。

教学过程设计一、探索并证明等腰三角形的三条性质复习引入新课：动手操作你还记得八(上)用折叠的方法探索命题“等腰三角形的两个底角相等”的过程吗？（学生事先准备好纸剪的等腰三角形操作）。

展示等腰三角形折叠动画。

二、新课探索新课探索一：等腰三角形的性质定理和判定定理1、回答下面的问题，并与同学交流：(1)“等腰三角形的两个底角相等”是真命题吗?怎样证明?(2)说出命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题；(3)这个逆命题是真命题吗?怎样证明它的正确性?2、知识点1：等腰三角形的性质定理1等腰三角形的两个底角相等。

(等边对等角)（1）文字语言：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）（2）符号语言：如图，在△ABC中，因为AB=AC，所以∠B=∠C温馨提示一：回顾八(上)用折叠的方法探索命题“等腰三角形的两个底角相等”的过程。

由当时的操作，如何添加辅助线，然后给出证明。

注意作辅助线的方法可有多种，如作底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线，相应地，在判定两个三角形全等时的依据也不同。

例4如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。

3、方法点拨（3）证明一：取BC的中点D，连接AD在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD（SSS）∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等)证明二：作顶角的平分线AD在△BAD和△CAD中AB=AC(已知)∠BAD=∠CAD(辅助线做法)AD=AD(公共边)∴△BAD≌△CAD(SAS)∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等)证明三：过点A作AD⊥BC于点D在Rt△ABD和Rt△ACD中AB=AC（已知）AD=AD（公共边）∴△ABD≌△ACD（HL）∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等)4、知识点2、等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。

几何定理证明范文要证明几何定理，通常需要使用几何性质和已知条件，以及运用几何推理和数学推断等方法。

本文选取了三个较为经典的几何定理进行证明，分别是直角三角形的勾股定理、垂线定理和相交弦定理。

下面分别对这三个定理进行证明。

一、直角三角形的勾股定理直角三角形的勾股定理是指在一个直角三角形中，直角边的平方等于两个直角边分别平方之和。

即若有一个直角三角形ABC，其中∠C=90°，则有AB²=AC²+BC²。

证明过程如下：设直角三角形ABC，其中∠C=90°。

连接AC和BC，延长AC到点D，使得CD=BC。

由于∠C=90°，则四边形ABCD是一个矩形。

根据矩形的性质，对角线互相平分。

即AC=BD，BC=AD。

根据勾股定理的推广形式，有AC²=AB²+BC²，以及BD²=AB²+AD²。

由于AC=BD，所以AB²+BC²=AB²+AD²。

消去AB²，得BC²=AD²。

因此，直角三角形的勾股定理得证。

二、垂线定理垂线定理是指在平面上，如果一直线段垂直于另一直线段，那么这两条直线段互相垂直。

即若有一直线段AB垂直于另一直线段CD，则有∠ABC=90°。

证明过程如下：设直线段AB垂直于CD，交于点M。

连接AM和BM。

根据垂线的性质，AM和BM分别垂直于CD，即∠CAM=90°和∠CBM=90°。

根据平行线的性质，互相平行的直线切割同一条直线时，所得的对应角相等。

因此，∠CAB=∠ACM=90°，即∠ABC=90°。

这样，垂线定理得证。

三、相交弦定理相交弦定理是指在一个圆内，两条相交弦的互补弦乘积相等。

即若有一圆内的两条弦AB和CD相交于点E，则有AE×EB=CE×ED。

高中数学几何证明方法总结几何证明是高中数学中重要的一部分，它要求学生能够运用几何知识和推理能力，以严密的逻辑和准确的推导，验证或证明几何性质和定理。

本文将总结高中数学几何证明的常用方法，并介绍一些实例说明。

一、直接证明法直接证明法是最常见的证明方法，它通过依次列举已知条件，逐步推导出要证明的结论。

例：已知△ABC中，∠ABC = ∠ACB，证明AB = AC。

证明过程：1. 根据已知条件，得到∠ABC = ∠ACB。

2. 再由等角的性质可得△ABC为等腰三角形，即AB = AC。

二、反证法反证法是通过假设要证明的结论不成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明原命题成立。

例：已知直线l与平面P不平行，证明直线l与平面P只有一个公共点。

证明过程：1. 假设直线l与平面P有两个不同的公共点A和B。

2. 因为直线l经过A和B，所以直线l同时位于平面P中。

3. 根据平面的定义，平面上的任意两个不同点可以确定一条直线，矛盾于直线l与平面P只有一个公共点的假设。

4. 反证法证明了直线l与平面P只有一个公共点。

三、等腰三角形的证明对于等腰三角形的证明，常用的方法包括使用等腰三角形的定义、等角的性质以及构造辅助线等。

例：证明等腰三角形的腰上的角相等。

证明过程：1. 根据等腰三角形的定义，等腰三角形的两边相等，所以∆ABC为等腰三角形，AB = AC。

2. 假设∠B = ∠C，再根据等角的性质，∠BAC = ∠B，∠CAB = ∠C。

3. 说明∠A和∠BAC相等，即∠A = ∠BAC。

4. 根据等腰三角形的定义，∆ABC的腰上的角相等。

四、相似三角形的证明相似三角形的证明方法主要有AA相似法和AAA相似法。

例：证明两条平行线所形成的锐角和其它任意两条交线所形成的锐角相等。

证明过程：1. 假设两条平行线为l和m，两条交线为k和n，且k与l的交点为A，k与m的交点为B，n与l的交点为C，n与m的交点为D。

2. ∆ABC和∆ABD中，∠CAB = ∠DAB，因为是同旁内角，且自行画图观察，可以发现这两个三角形相似。

几何证明的基本方法几何证明是数学中重要的一部分，它通过逻辑推理和几何知识来证明几何形状、性质和关系。

在几何证明中，我们可以运用一些基本的方法和策略来完成证明过程。

下面将介绍几种常见的几何证明方法。

一、反证法反证法是一种常用的证明方法，它通过假设某个命题不成立，然后通过逻辑推理的过程得出矛盾的结论，从而证明原命题成立。

在几何证明中，可以通过构造辅助线、运用已知条件等方法进行反证。

例如，假设有一个三角形ABC，如图所示：A/ \/ \/ \/ \/_________\B C现在要证明∠BAC = ∠ABC。

可以通过反证法来证明。

首先，我们假设∠BAC ≠ ∠ABC，即两个角不相等。

然后，可以构造一个辅助线AD，使得∠BAD = ∠ABC。

根据角的外角定理，得知∠CAD =∠ACB。

由于∠BAD = ∠ABC，所以三角形ABD与三角形ACB的两个角分别相等，根据AAA相似性质可以得知三角形ADB与三角形ACB相似。

进一步，可以得出三角形ADB与三角形ACB的边比例相等，即AB/AC = AD/AB。

接下来，我们来考虑三角形ACD。

根据余角定理可知∠ACD +∠BAD = 180°，代入∠BAD = ∠ABC的条件，得到∠ACD + ∠ABC = 180°。

然而根据三角形内角和定理，三角形ACB的内角之和也等于180°，所以∠ACB + ∠ABC + ∠CBA = 180°。

将前面得到的AB/AC = AD/AB的比例代入其中，可以得到AB/AC = AD/AB + 1。

由于AD ≠ AB，所以左边的比例小于右边，这与前提条件矛盾。

因此，假设不成立，即∠BAC = ∠ABC，得证。

二、直接证明法直接证明法是通过已知条件和几何公理直接推导出结论的证明方法。

在几何证明中，可以利用几何定理和性质，运用公理进行推理，最终得到所要证明的结论。

例如，要证明某个角是直角，可以利用直角的定义以及垂直线段的性质进行直接证明。

几何证明的基本方法与技巧几何证明是数学中的重要部分，它通过运用几何图形的基本性质和推理来证明某些几何命题的正确性。

本文将介绍几何证明的基本方法与技巧，以帮助读者掌握几何证明的要领。

一、寻找共同属性与特征在进行几何证明时，我们可以通过寻找几何图形之间的共同属性与特征，来发现隐藏在问题中的规律。

比如，当我们需要证明两个三角形全等时，可以先寻找它们的相等边、相等角等特征，然后根据相等性质来进行证明。

二、应用等腰三角形的性质等腰三角形是几何证明中经常出现的重要概念，它的两边边长相等，两个底角相等。

在证明中，我们可以应用等腰三角形的性质，逐步推导出所需的结论。

三、利用正方形和矩形的性质正方形和矩形是几何证明中常用的图形，它们的性质往往能够帮助我们得到一些有用的结论。

例如，当我们需要证明两条线段相等时，可以构建一个正方形或者矩形，并利用其性质来进行证明。

四、利用勾股定理和中线定理勾股定理是几何证明中的重要定理，它用于描述直角三角形中的关系。

在几何证明中，我们可以利用勾股定理来证明两条线段之间的关系。

同时，中线定理也是一个常用的引理，在证明中有时会用到。

五、利用相似三角形的性质相似三角形是几何证明中常用的概念，它们的形状相似，但是大小可能不同。

在进行几何证明时，我们可以利用相似三角形的性质来进行推理，找到隐藏在问题中的联系和规律。

六、应用角平分线的性质角平分线是几何证明中的一个重要概念，它将一个角分成两个相等的角。

在几何证明中，我们可以利用角平分线的性质来推导出所需的结果，从而完成证明。

七、利用直线平行与三角形中的角度关系利用直线平行与三角形中的角度关系也是一个常用的几何证明技巧。

我们可以根据平行线之间的相交角度关系，结合三角形内角之和等于180度的性质，来进行几何证明。

八、通过反证法进行证明有时候，我们可以通过反证法来进行几何证明。

反证法是一种常用的证明方法，即假设所要证明的结论不成立，推导出矛盾的结果，从而证明原命题的正确性。

数学几何证明方法引言：数学几何是一门研究空间形状、结构和性质的学科，几何证明是数学家们用以验证几何性质和推理的重要工具。

在学习数学几何的过程中，我们需要掌握一些常用的数学几何证明方法。

本教案将介绍一些常见的几何证明方法，帮助学生更好地掌握几何证明技巧。

一、直线证明方法直线是几何中最基本的概念之一，对于直线的证明，我们可以采用以下方法：1. 垂直证明法：通过证明两条直线之间的垂直关系，可以得出一些结论。

例如，证明两条直线相互垂直可以采用垂直角的性质来进行推理。

2. 平行证明法：平行是几何中一个重要的关系，对于两条直线是否平行的证明，可以采用平行线的性质进行推理。

例如，证明两条直线平行可以通过等角、内错角等方法进行推理。

3. 共点证明法：通过证明几条直线的交点是同一个点，可以得出一些结论。

例如，证明几条直线的交点共线可以利用共线点延长线相交于该点的证明方法。

二、角证明方法角是几何中的重要概念，对于角的证明，我们可以采用以下方法：1. 等角证明法：通过证明两个角的度数相等，可以得出一些结论。

例如，证明两个角相等可以采用同位角、对顶角等方法进行推理。

2. 内错角证明法：通过证明两个角是内错角，可以得出一些结论。

例如，证明两个角是内错角可以利用平行线、等角、对称等方法进行推理。

3. 垂直证明法：通过证明两个角是互为垂直角，可以得出一些结论。

例如，证明两个角互为垂直角可以利用垂直线的性质进行推理。

三、三角形证明方法三角形是几何中常见的图形，对于三角形的证明，我们可以采用以下方法：1. 全等证明法：通过证明两个三角形的所有对应边、对应角相等，可以得出两个三角形全等的结论。

例如，证明两个三角形全等可以利用SSS、SAS、ASA等全等三角形的准则进行推理。

2. 相似证明法：通过证明两个三角形的所有对应角相等，可以得出两个三角形相似的结论。

例如，证明两个三角形相似可以利用AAA、AA相似的准则进行推理。

3. 中位线证明法：通过证明三角形的一个顶点与中位线的交点重合，可以得出一些结论。

青岛-泰山版八年级数学11.5 几何证明举例（第一课时）导学提纲【知识链接】1. 回顾全等三角形的四种判定方法2. 复习几何证明的过程的三个步骤【学习目标】1. 证明并掌握定理：两角及其中一组等角的对边分别相等的两个三角形全等2. 知道证明要合乎逻辑，学会综合法证明的格式3. 经历比较、证明等探究过程，提高分析、归纳、表达、逻辑推理等能力；并通过对知识方法的总结，培养反思的习惯，培养理性思维4. 在探究几何证明的过程中,教师引导学生,以观察思考、动手画图、小组讨论、合作交流等多种形式让学生共同探讨，培养学生的团结协作精神【学习重点】理解、掌握证明的方法及三角形全等的条件，培养学生探索问题的能力【学习难点】探究出几何证明的条件以及它们的应用，掌握探索问题的方法【教学过程】一、创设情境，导入新课(千里之行，始于足下，相信自己，你能行！)1.出示图片,回忆前面学过的全等三角形如图，已知△ABC ≌△A，3. 教师展示三角形纸片,提出问题: 你能画一个三角形与它全等吗?怎样画?二、交流提升例1. 已知：如图，AB 和CD 相交于点O,OA=OD,OC=OB.求证：△OAC ≌△ODB跟踪练习：课本P 131页练习1 三、探索发现（海阔凭鱼跃，天高任鸟飞）求证：如果一个三角形的两角及其中一角的对边与另一个三角形的两角及其中一角的对边对应相等，那么这两个三角形全等。

B归纳总结（及时总结才能收获更多）:证明一个几何命题的基本步骤是跟踪练习：求证：线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等.四、课堂小结:（学会反思才会提高）通过这节课的学习,你有哪些收获?说出来与大家分享，你还有什么困惑?检测站:1．如图所示，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，给出下列结论：①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN．其中正确的结论是_________．2．已知：如图，点C、D在线段AB上，PC=PD．请你添加一个．．条件，•使图中存在全等三角形，所添条件为________．你得到的一对全等三角形是△_______≌△________．3．如图，AB∥CD，AB=CD，点B、E、F、D在一条直线上，∠A=∠C，求证：AE=CF．（说明：证明过程中要写出每步的证明依据）．4．如图，在△ABD和△ACE中，有下列四个等式：①AB=AC ②AD=AE ③∠1=∠2 ④BD=CE．请你以其中三个等式作为题设，余下的作为结论，写出一个真命题（•要求写出已知，求证及证明过程）解题感想：。

11.5《几何证明举例》导学案（2）课本内容：P131—132 例3 课前准备：直尺 学习目标：1. 会证明下列定理：SSS HL2. 能根据上述定理证明有关的命题3、养成善于思考，善于探究，善于推理，言必有据的好习惯 一. 自主预习课本P131——132的内容，独立完成课后练习1、2后， 与小组同学交流（课前完成） 二. 回顾课本P28-31 P120—121思考下列问题： 1、S.S.S 定理的内容2、几何证明的过程的步骤三、课堂探究 例3四、巩固练习1、判定两个三角形全等方法， ， ， ，2、如图，Rt ABC 中，直角边 、 ，斜边3、如图，AB BE 于B ，DE BE 于E ， 1）若 C A= E D ，AB=DE ，则 Δ ABC 与 Δ DEF （填“全等”或“不全等”） 根据 （用简写法）4：已知AC=FE,BC=DE,点A,D,B,F 在一条直线上，AD=BF, 求证：∠E=∠CABCA BCDEF5：如图，AB=AD,CB=CD. 求证: AC 平分∠BAD四、学习小结 五、达标检测1．下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是 （ ） A ．两条直角边对应相等 B ．两个锐角对应相等 C ．一条直角边和它所对的锐角对应相等 D ．一个锐角和锐角所对的直角边对应相等2．△ABC 中,AB ＝AC,BD 、CE 是AC 、AB 边上的高,则BE 与CD 的大小关系为（ ）A ．BE ＞CDB ．BE ＝CDC ．BE ＜CD D ．不确定 3．如图,是一个三角形测平架,已知AB ＝AC,在BC 的中点D 挂一个重锤,自然下垂．调整架身,使点A 恰好在重锤线上,AD 和BC 的关系为＿＿＿＿＿＿．4．正方形ABCD 中,AC 、BD 交于O,∠EOF ＝90o ,已知AE ＝3,CF ＝4,则EF 的长为＿＿＿.5．“三月三,放风筝”,如图1—24—4是小明制作的风筝,他根据DE ＝DF,EH ＝FH,不用度量,就知道∠DEH ＝∠DFH,小明是通过全等三角形的识别得到的结论,请问小明用的识别方法是＿＿＿＿＿（用字母表示）．6. 如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由。