11.5(2)几何证明举例

数学认识几何证明几何证明是数学中的重要部分，它要求我们通过逻辑推理和严密推导来证明或解释几何定理。

在进行几何证明时，我们需要正确运用已知的几何定理、公理和性质，以及运用数学推理方法，如演绎推理和归纳推理等。

本文将介绍几何证明的基本概念和常见的证明方法，并结合实例进行说明。

一、几何证明的基本概念几何证明是指通过推理和演绎，用严格的逻辑方法陈述和证明几何命题。

在几何证明中，我们需要合理组织思路，运用相关几何性质和已知定理来推导结论，以达到严密合理的证明目的。

几何证明的基本要素包括：1.已知条件：即已知的几何信息或性质，作为推导的起点。

2.目标结论：即需要证明的几何命题或结论。

3.推导步骤：通过逻辑推理和演绎，运用已知条件和几何性质，推导出目标结论的过程。

4.证明过程：将推导步骤用文字和符号进行详细陈述，使得逻辑关系清晰、推理合理。

在进行几何证明时，我们需要注意以下几点：1.从已知条件出发，逐步推导，每一步都要经过严密的推理。

2.不要跳过关键的步骤，任何一步都不能省略。

3.使用几何术语和符号，确保表述准确清晰。

4.用图示辅助，以便更好地理解和展示证明过程。

5.对于不同的几何证明，可以选择合适的证明方法，如直接证明法、间接证明法和反证法等。

二、几何证明的常见方法1.直接证明法直接证明法是最常用的证明方法，它通过从已知条件出发，一步步推导出目标结论。

这种证明方法严谨明确，逻辑性强。

在进行直接证明时，我们需要根据已知条件和几何性质，运用相关的推理方法，逐步推导出目标结论。

例如，下面是一个直接证明的例子：已知：AB ⊥ BC，∠ABC = 90°证明：AB² + BC² = AC²证明过程：1.连接AC，并延长AB到D；2.∵ AB ⊥ BC，∠ABC = 90°∴△ABC 和△ACD 相似（正弦定理）；3.设 AB = a，BC = b，AC = c；∴ AD = a + b；4.∵△ABC 和△ACD 相似∴ AB/AC = BC/AC = BC/AD = a/c = b/(a + b)；5.∴ a/c = b/(a + b)；∴ a（a + b）= bc；6.∴ a² + ab = bc；7.∴ a² + 2ab + b² = bc + 2ab + b²；∴ (a + b)² = AC²；8.∴ AB² + BC² = AC²；∴命题得证。

初中数学几何证明步骤整理几何证明是数学几何的基础，它不仅帮助我们理解几何概念和定理，还培养了我们的逻辑思维和推理能力。

在初中数学几何学习中，我们需要学会整理和掌握几何证明的步骤。

在本文中，我将为大家整理几个常见的初中数学几何证明步骤，希望可以帮助到大家。

首先，我将介绍如何证明两条直线平行。

在几何证明中，证明两条直线平行是非常常见的问题。

证明两条直线平行的基本思路是通过已知条件和几何定理来推导出两条直线平行的结论。

下面是一个常见的证明步骤：步骤一：写出已知条件和待证明的结论。

例如，已知AB与CD是两条直线，且它们之间的夹角为90度；我们需要证明AB和CD是平行的。

步骤二：根据已知条件使用几何定理进行推导。

根据已知条件，我们可以得到两个垂直的直线AB和CD，可以使用垂直定理来推导出结论。

垂直定理指出，如果两条直线相交，且相交的角度为90度，则这两条直线是垂直的。

由于AB与CD 之间的夹角为90度，所以根据垂直定理，我们可以得出AB和CD是垂直的。

步骤三：说明平行关系的推导过程。

根据步骤二的推导，我们已经得出AB和CD是垂直的。

根据几何定理，如果两条直线互相垂直，则它们之间的夹角为90度，则这两条直线是平行的。

因此，根据垂直定理，我们可以得出AB和CD是平行的。

以上就是证明两条直线平行的常见步骤。

通过这个例子，我们可以看出，几何证明的步骤大致包括确定已知条件和待证结论，利用已知条件和几何定理进行推导，以及说明推导过程达到结论。

只要按照这个步骤进行几何证明，我们就能够清晰地展示证明的逻辑和推理过程。

接下来，我将介绍如何证明两个三角形全等。

证明两个三角形全等也是初中数学几何中的重要内容。

全等是指两个三角形的对应的角度相等，对应的边长相等。

下面是一个常见的证明步骤：步骤一：写出已知条件和待证明的结论。

例如，已知AB与CD是两个三角形，要证明三角形ABC全等于三角形DEF。

步骤二：根据已知条件使用几何定理进行推导。

几何证明定理(精选多篇)第一篇：高中几何证明定理第二篇：几何证明定理第三篇：初一常用几何证明的定理第四篇：初一常用几何证明的定理总结第五篇：立体几何证明的向量公式和定理证明更多相关范文高中几何证明定理一.直线与平面平行的(判定)1.判定定理.平面外一条直线如果平行于平面内的一条直线,那么这条直线与这个平面平行.2.应用:反证法(证明直线不平行于平面)二.平面与平面平行的(判定)1.判定定理:一个平面上两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行2.关键：判定两个平面是否有公共点三.直线与平面平行的(性质)1.性质：一条直线与一个平面平行，那么过该直线的任一与此平面的交线与该直线平行2.应用：过这条直线做一个平面与平面相交，那么交线平行于这条直线四.平面与平面平行的(性质)1.性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行2.应用：通过做与两个平行平面都相交的平面得到交线，实现线线平行五：直线与平面垂直的(定理)1.判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直2.应用：如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线垂直于这个平面内所有的直线(线面垂直→线线垂直)六.平面与平面的垂直(定理)1.一个平面过另一个平面的垂线,那么这两个平面垂直(或者做二面角判定)2.应用:在其中一个平面内找到或做出另一个平面的垂线,即实现线面垂直证面面垂直的转换七.平面与平面垂直的(性质)1.性质一:垂直于同一个平面的两条垂线平行2.性质二:如果两个平面垂直,那么一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直3.性质三:如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面内的直线,在第一个平面内(性质三没什么用,可以不用记)以上,是立体几何的定理和性质.是一定要记住的基本!。

想要变-态的这里多的是--欧拉定理&欧拉线&欧拉公式(不一样)九点圆定理葛尔刚点费马定理(费马点(也叫做费尔马点))海伦-公式共角比例定理张角定理帕斯卡定理曼海姆定理卡诺定理芬斯勒-哈德维格不等式(几何的)外森匹克不等式(同上)琴生不等式(同上)塞瓦定理梅涅劳斯定理斯坦纳定理托勒密定理分角线定理(与角分线定理不同)斯特瓦尔特定理切点弦定理西姆松定理。

高中数学几何证明选讲1.证明两条相交直线的垂直平分线相交于直线的交点处。

证明：设存在直线l1和l2相交于点A，l3是l1和l2的垂直平分线，交于点O。

需要证明AO=AO。

首先，连接点A和O，以及连接点B和O。

由于l3是垂直平分线，所以AO=BO，又由于l1和l2是相交直线，所以∠A=∠B。

根据等腰三角形的性质可得∠OAB=∠OBA。

又因为∠OAB+∠OBA=180°，所以∠OAB和∠OBA是两个互补角，所以∠OAB和∠OBA都是90°，所以AO和BO是直角。

因此，垂直平分线l3与相交直线l1和l2的交点处于直线l1和l2的交点上，即O是直线l1和l2的交点。

2.证明三角形的三条中线交于一个点，并且这个交点离三角形的每条边的距离都是这条边的中点到对边的距离的2倍。

证明：设∆ABC是一个三角形，M、N、P分别是AB、BC、CA的中点，需要证明MN和AP的交点恰好是∆ABC的三条中线的交点，并且这个交点离三角形的每条边的距离都是这条边的中点到对边的距离的2倍。

连接点M与点P，连接点N与点A。

首先，根据线段的中点定理可得MP=NP。

又因为M和N分别是AB和BC的中点，所以MN∥AC。

因此，根据平行线的性质可得∠NMP=∠NAP。

又因为梯形MNPA是一个等腰梯形，所以∠PAN=∠MNP。

因此，∠PAN和∠MNP是两个互补角，所以∠PAN和∠MNP都是90°，所以MN和AP是直角。

又根据线段的中点定理可得MN=2NP。

因此，MN和AP的交点恰好是∆ABC的三条中线的交点，且这个交点离三角形的每条边的距离都是这条边的中点到对边的距离的2倍。

3.证明三角形的内心、外心和垂心共线。

证明：设∆ABC是一个三角形，O为∆ABC的外心，I为∆ABC的内心，H 为∆ABC的垂心，需要证明O、I和H共线。

首先，连接OA、OB、OC。

根据圆的性质可知，OA=OB=OC，所以O到∆ABC的三个顶点的距离相等，也就是说，O到三角形三边的距离相等。

立体几何的证明方法总结文字语言表述部分：一、线线平行的证明方法1、利用平行四边形；2、利用三角形或梯形的中位线；3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面与这个相交，那么这条直线和交线平行。

（线面平行的性质定理）4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

（面面平行的性质定理）5、如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。

（线面垂直的性质定理）6、平行于同一条直线的两个直线平行。

7、夹在两个平行平面之间的平行线段相等。

二、线面平行的证明方法1、定义法：直线和平面没有公共点。

2、如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线就和这个平面平行。

（线面平行的判定定理）3、两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线必平行于另一个平面。

4、反证法。

三、面面平行的证明方法1、定义法：两个平面没有公共点。

2、如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

（面面平行的判定定理）3、平行于同一个平面的两个平面平行。

4、经过平面外一点，有且只有一个平面与已知平面平行。

5、垂直于同一条直线的两个平面平行。

四、线线垂直的证明方法1、勾股定理；2、等腰三角形；3、菱形对角线;4、圆所对的圆周角是直角；5、点在线上的射影；6、如果一条直线和这个平面垂直，那么这条直线和这个平面内的任意直线都垂直。

7、在平面内的一条直线，如果和这个平面一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。

（三垂线定理）8、在平面内的一条直线，如果和这个平面一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

9、如果两条平行线中的一条垂直于一条直线，那么另一条也垂直于这条直线。

五、线面垂直的证明方法：1、定义法：直线与平面内的任意直线都垂直；2、点在面内的射影；3、 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线就和这个平面垂直。

（线面垂直的判定定理）4、 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一个平面。

高中数学几何证明方法数学几何是高中数学中的一门重要学科，它要求学生通过推理和证明来解决几何问题。

在高考中，几何证明题是必考题型之一，因此掌握几何证明方法对于学生来说至关重要。

本文将介绍一些常见的高中数学几何证明方法，并通过具体题目进行说明，帮助学生提高解题技巧。

一、直线的平行与垂直关系证明方法在几何证明中，直线的平行与垂直关系是常见的题型。

对于平行关系的证明，我们可以运用平行线的性质，如同位角相等、内错外等等。

例如，已知AB∥CD，AC与BD相交于点O，要证明AO与BO相等。

我们可以通过同位角相等来证明：∠AOB=∠COD（同位角），再利用平行线的性质，可得AO=BO。

对于垂直关系的证明，我们可以运用垂直线的性质，如互余角相等、垂直线的斜率之积为-1等等。

例如，已知AB⊥CD，要证明∠1=∠2。

我们可以通过互余角相等来证明：∠1+∠2=90°（垂直线的性质），再利用等式性质，可得∠1=∠2。

二、三角形的全等证明方法三角形的全等是几何证明中的重点内容，常见的全等证明方法有SAS、ASA、SSS等。

例如，已知∠A=∠B，AB=BC，AC=DE，要证明△ABC≌△ADE。

我们可以利用ASA全等条件来证明：∠A=∠D（已知），AB=AD（已知），AC=AE （已知），满足ASA全等条件，可得△ABC≌△ADE。

三、圆的性质证明方法圆的性质在几何证明中也经常出现，例如切线与半径的关系、弦的性质等。

对于切线与半径的关系，我们可以运用切线定理：切线与半径垂直。

例如，已知O为圆心，AB为切线，要证明∠AOB=90°。

我们可以利用切线定理来证明：OA⊥AB（切线与半径垂直），可得∠AOB=90°。

对于弦的性质，我们可以利用弦切角定理、弦的垂直性质等进行证明。

例如，已知AB为弦，CD为弦上一点，要证明∠ACB=∠ADB。

我们可以利用弦切角定理来证明：∠ACB=∠ACD（弦切角定理），再利用等式性质，可得∠ACB=∠ADB。

初中数学几何证明知识点梳理几何证明是数学中的重要内容，它旨在通过逻辑推理和数学知识的应用来证明几何命题。

初中阶段，学生开始接触到一些基本的几何证明知识点，这些知识点是理解和掌握高中几何学的基础。

本文将梳理初中数学中常见的几何证明知识点，帮助学生更好地理解和运用这些知识。

一、基本概念的证明1. 线段、角的等分证明：证明线段或角被等分可以采用割线构造法、平分线构造法等方法。

例如，证明一个线段被等分，可以通过构造平行线、相似三角形等方法来进行证明。

2. 三角形的全等条件证明：全等三角形是几何证明中常见的内容。

例如，证明两个三角形全等可以使用SSS（边-边-边）、SAS（边-角-边）等全等条件进行证明。

3. 角的垂直、平行关系证明：通过垂线、平行线的构造方法可以证明两条线段垂直或平行。

例如，证明两条直线平行可以通过构造平行线证明、证明两条线段垂直可以通过构造垂线来证明。

二、三角形的性质的证明1. 直角三角形的性质证明：证明一个三角形是直角三角形可以采用勾股定理、相似三角形等方法。

例如，证明三角形的三边满足勾股定理可以通过构造正弦、余弦等三角函数来进行证明。

2. 等腰三角形的性质证明：等腰三角形是有两边长度相等的三角形。

证明一个三角形是等腰三角形可以使用边长相等、角度相等等方法。

例如，证明一个三角形的两边相等可以通过构造等边三角形来进行证明。

3. 等边三角形的性质证明：等边三角形是三条边长度均相等的三角形。

证明一个三角形是等边三角形可以使用边长相等等方法。

例如，证明一个三角形的三边相等可以通过构造等边三角形来进行证明。

三、四边形性质的证明1. 平行四边形的性质证明：平行四边形的对边平行且对角线互相平分。

证明一个四边形是平行四边形可以通过对边平行、对角线互相平分等方法。

例如，证明一个四边形的对角线平分可以通过构造等腰三角形来进行证明。

2. 矩形的性质证明：矩形的对边相等且对角线相等。

证明一个四边形是矩形可以使用对边相等、对角线相等等方法。

几何证明举例一学习目标：1能够熟练应用全等 三角形与直角三角形的性质解决问题。

2了解证明的思路、方法及步骤，能够灵活地运用分析法、综合法进行证明。

二知识回顾：1等腰三角形 的性质（1)2等腰三角形的性质（2） 3等腰三角形 的判定三自主预习：1在直角三角形中，如果有一个锐角等于300，那么这个锐角所对的直角边等于斜边 的 2两个全等三角形对应边上的高 、对边上的中线 、对应角平分线 。

四 导学探究：例6 求证两个全等三角形的对应高相等。

已知：如图，△ABC ≌△A'B'C'，AD ，A'D'分别是边BC ，B'C'上的高。

求证：AD ＝A'D'全等三角形对应边上的中线、对应角的平分线分别相等吗？证明你的结论？与同学交流。

例7 求证：直角三角形中，如果有个锐角等于300，那么这个锐角所对的直角边等于斜边的一半。

已知：在Rt △ABC 中，∠ABC ＝900，∠BCA ＝300求证：AB ＝21AC练一练： 1在△ABC 中，已知∠B ＝300，∠A ＝450，AC ＝2，求BC 的长A C DB A' D' B' C' DC B A2已知：如图，在△ABC 中，∠ABC ＝900，D 是BC 延长线上一点，并且CD ＝CA ，∠ADC ＝150，求证：AB ＝21CD3已知：如图，AB ＝BD ＝DC ，∠A ＝∠C ，DE ⊥AB ，BF ⊥DC ，垂足分别是E ，F 求证：DE ＝BF五 当堂达标：1 在⊿ABC 中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，最小边BC=4cm,则最长边的长为（ ）A 6 cmB 8cmC 7 cmD 5cm2 已知，如图，在⊿ABC 中，AQ=PQ,PR=PS,PR ⊥AB 于点R,PS ⊥AC 于点S ，则三个结论：①AS=AR,②PQ ∥AR,③⊿BRP ≌⊿QSP 中，（ ）A 全都正确B 仅①和②正确C 仅①正确D 仅①和③正确3 某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图，的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a 元，则购买这种草皮至少需要（ ）A 450a 元B 225a 元C 150a 元D 300a 元4 如图，在Rt ⊿ABC 中，∠ACB=900，∠A=300，CD ⊥AB 于点D ，则⊿BCD 与⊿ABC 的周长之比为（ ）A 1:2B 1:3C 1:4D 1:5 AC B DA B D F C E(2题) (3题) (4题)5 在Rt⊿ABC中，∠A=300，∠C=900，AB=10cm,则BC的长为（）A 4cmB 5cmC 6cmD 8cm6 如图，在⊿ABC中，AD平分∠BAC,AB=AC－BD,则∠B:∠C的值是7 如图，∠AOB=300，OC平分∠AOB，P为OC 上任意一点，PD∥OA交OB于点D,PE ⊥OA于点E,若OD=4cm ，求PE的长？8如图所示，在△ABC 中，∠ACB ＝900，CD 是AB 边上 的高，∠A ＝300，求证：BD ＝21AB六 能力提升9 如图，在等边⊿ABC 中，D 、E 分别是BC 、AC 边上的点，且AE=CD,连接AD 、BE 交于点P,过B 作BQ ⊥AD,垂足为Q,求证：BP=2PQC A BD C D BE A P Q。

几何证明定理几何证明定理第一篇：高中几何证明定理高中几何证明定理一.直线与平面平行的1.判定定理.平面外一条直线如果平行于平面内的一条直线,那么这条直线与这个平面平行.应用:反证法二.平面与平面平行的1.判定定理:一个平面上两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行关键：判定两个平面是否有公共点三.直线与平面平行的1.性质：一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一与此平面的交线与该直线平行应用：过这条直线做一个平面与已知平面相交，那么交线平行于这条直线四.平面与平面平行的1.性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行应用：通过做与两个平行平面都相交的平面得到交线，实现线线平行五：直线与平面垂直的1.判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直应用：如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线垂直于这个平面内所有的直线六.平面与平面的垂直1.一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直应用:在其中一个平面内找到或做出另一个平面的垂线,即实现线面垂直证面面垂直的转换七.平面与平面垂直的1.性质一:垂直于同一个平面的两条垂线平行性质二:如果两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直3.性质三:如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面内的直线,在第一个平面内以上,是立体几何的定理和性质整理.是一定要记住的基本!。

想要变-态的这里多的是--欧拉定理欧拉线欧拉公式九点圆定理葛尔刚点费马定理)海伦-公式共角比例定理张角定理帕斯卡定理曼海姆定理卡诺定理芬斯勒-哈德维格不等式外森匹克不等式琴生不等式塞瓦定理梅涅劳斯定理斯坦纳定理托勒密定理分角线定理斯特瓦尔特定理切点弦定理西姆松定理。

第二篇：几何证明定理几何证明定理一.直线与平面平行的1.判定定理.平面外一条直线如果平行于平面内的一条直线,那么这条直线与这个平面平行.应用:反证法二.平面与平面平行的1.判定定理:一个平面上两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行关键：判定两个平面是否有公共点三.直线与平面平行的1.性质：一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一与此平面的交线与该直线平行应用：过这条直线做一个平面与已知平面相交，那么交线平行于这条直线四.平面与平面平行的1.性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行应用：通过做与两个平行平面都相交的平面得到交线，实现线线平行五：直线与平面垂直的1.判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直应用：如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线垂直于这个平面内所有的直线六.平面与平面的垂直1.一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直应用:在其中一个平面内找到或做出另一个平面的垂线,即实现线面垂直证面面垂直的转换七.平面与平面垂直的1.性质一:垂直于同一个平面的两条垂线平行性质二:如果两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直3.性质三:如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面内的直线,在第一个平面内以上,是立体几何的定理和性质整理.是一定要记住的基本!!31推论1等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合33推论3等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°34等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等35推论1三个角都相等的三角形是等边三角形36推论2有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形37在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半38直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上41线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42定理1关于某条直线对称的两个图形是全等形43定理2如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44定理3两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边的平方，即a+b=47勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、有关系a+b=，那么这个三角形是直角三角形48定理四边形的内角和等于360°49四边形的外角和等于360°50多边形内角和定理n边形的内角的和等于×180°51推论任意多边的外角和等于360°52平行四边形性质定理1平行四边形的对角相等53平行四边形性质定理2平行四边形的对边相等54推论夹在两条平行线间的平行线段相等55平行四边形性质定理3平行四边形的对角线互相平分56平行四边形判定定理1两组对角分别相等的四边形是平行四边形57平行四边形判定定理2两组对边分别相等的四边形是平行四边形58平行四边形判定定理3对角线互相平分的四边形是平行四边形59平行四边形判定定理4一组对边平行相等的四边形是平行四边形60矩形性质定理1矩形的四个角都是直角61矩形性质定理2矩形的对角线相等62矩形判定定理1有三个角是直角的四边形是矩形。