正弦定理第一课时 PPT

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第一章 1.1 1.1.1
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典例导悟
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变式训练1
(1)一个三角形的两内角分别为45° 与60° ，
如果45° 角所对的边长是6，那么60° 角所对的边的边长为 ( ) A．3 6 C．3 3 B．3 2 D．2 6
1 (2)在△ABC中，若tanA＝ 3 ，C＝150° ，BC＝1，则AB ＝________.
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第一章 1.1 1.1.1
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(3)a＝2 3，b＝6，a<b，A＝30° <90° 又∵bsinA＝6sin30° ＝3，a>bsinA ∴本题有两解． 由正弦定理得： bsinA 6sin30° 3 sinB＝ a ＝ ＝ 2 ，B＝60° 或120° ， 2 3 asinC 2 3sin90° 当B＝60° 时，C＝90° ，c＝ sinA ＝ sin30° ＝4 3； 当B＝120° 时，C＝30° ，
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第一章 1.1 1.1.1
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[点评]
依据条件中的边角关系判断三角形的形状
时，主要有以下两种途径： (1)利用正弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因 式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形 状；
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2
小结:已知两边和其中一边的对角，可以求出
三角形的其他的边和角。
1.1 正弦定理
4.基础练习题
(1)在ABC
中，已知A=60
a 4,b 10 3 ,求B. 3
无解 ,
(2)在ABC 中，根据条件解三角形，有两解的是 （D
）
A.a=7,b=14,A=30° B. a=30,b=25,A=150°
B a=bsinA
一解
C a
b
A
B1
B2
bsinA< a < b 两解
C
b
a
A
B
a b 一解
C
a
b
C
a
b
A
B
a<b 无解
C
b
A
B
a=b 无解
a
A
B
a>b 一解
A为锐角
A为钝角或直角
图 形
关 系 式
①a＝bsin
A ②a≥b
bsin A <a<b
a<bsinA
解
的 个
一解
两解
数
无解
a>b 一解
a≤b 无解
2、在同一个三角形中，大角对大边， 大边对大角
剖析定理、加深理解
正弦定理：
a sin
A
b sin
B
c sin C
3、一般地，把三角形的三个角A，B，C 和它们的对边a，b，c叫做三角形的元 素。已知三角形的几个元素求其他元素 的过程叫解三角形
剖析定理、加深理解
正弦定理可以解决三角形中哪类问题：
abc sin A sin B sin C
用正弦定理可以求出三角形中的其它元素。

正弦定理课件：PPT)
• •一、创设情境
•1、题的给出：
• 如图，要测量小河两岸A，B两个码头的距离。可在小
河一侧如在B所在一侧，选择C，为了算出AB的长，可先测
出BC的长a，再用经纬仪分别测出B，C的值，那么，根据a,
B，C的值，能否算出AB的长。
•A
.
•2、实际问题转化为数学问题：
•B .
•.C •a
•
•a ＝ •b •sinA •sinB
＝ •c •sinC
•＝2R.
•
•正弦定理:
•（1）文字叙述 •正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角 的正弦的比相等. •（2）结构特点 •和谐美、对称美. •（3）方程的观 点•正弦定理实际上是已知其中三个,求另一个.
•能否运用向量的方法来证明正弦定理呢?
•
•在锐角三角形中 •B
•A •C
•由向量加法的三角形法 则
•
•在钝角三角形中
•B •A
•具体证明过程
•C
•马上完成!
• • 学以致用 •如图：若测得a＝48.1m，B＝43 ° ，
• C＝69 °，求AB。
•A .
•B
•.C
.
•a
•解：•A＝180 °－（43 °＋69 °）＝68 °
•在 ABC中，由正弦定理得：
•
•
• •自我提高！
•练习1、在 ABC中，若A：B：C=1：2：3，则
a:b:c＝( •C )
•
A、1:2:3
B、3:2:1
•
C、1: :2
D、2: :1
•练习2、在 ABC中，若 a=2bsinA，则B＝(•C )
• A、

[解] ∵b ＝a co s C ，
由正弦定理，得
sin B ＝sin A co sC ．
(*)
∵B ＝π－(A ＋C )，
∴sin B ＝sin (A ＋C )，从而(*)式变为
sin (A ＋C )＝sin A co s C .
∴co s A sin C ＝0.
又∵A ，C ∈(0，π)，
π
∴co s A ＝0，A ＝ ，即△A B C 是直角三角形．
∴A 是直角，B ＋C ＝9 0 °
，
∴2 sin B co s C ＝2 sin B co s(9 0 °
－B )＝2 sin 2 B ＝sin A ＝1 ，
2
∴sin B ＝
2
.
∵0 °
< B < 9 0°
，∴B ＝4 5 °
，C ＝4 5 °
，
∴△A B C 是等腰直角三角形．
02
跟踪训练
法二：(利用角的互补关系)根据正弦定理，
c
，sin C ＝ 把
2R
2R
sin 2 A ＝sin 2 B ＋sin 2 C 转化为三角形三边的关系，从而判定出角 A ，然后再利
用 sin A ＝2sin B co s C 求解．
02
跟踪训练
a
[解]
b
c
法一：
(利用角的互余关系)根据正弦定理，
得
＝
＝
，
sin A sin B sin C
∵sin 2 A ＝sin 2 B ＋sin 2 C ，∴a 2 ＝b 2 ＋c2 ，
02
基础自测
1．思考辨析
(1)正弦定理只适用于锐角三角形．(
)

2
3
2（三角形中大边对大角）
a b, A B,且00 A 1800 A 600 或A 1200
(1)当A 600,C 1800 ( A B) 750
c bsin C 2 6 2 6 2
sin B 2 4
2
2 (2)当A 1200,C 1800 ( A B) 150
变式: 1 a b ; b c ; c a
sin A sin B sin B sin C sin C sin A
2sin A : sin B : sin C a : b : c
定理的应用举例
例1
在ABC中，已知A 32.00 , B 81.80 , a 42.9cm, 解三角形
从表达式的结构看，正弦定理所表达的边与对角 正弦的比是严格的对边与对角的正弦比。
正 弦 定
abc sin A sin B sin C
理
bsin C csin B b sin B c sin C
正弦定理可以解什么类型的三角形问题？
1、已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形 的其他的边和角。
2.已知三角形 ABC 中，a=50,B=450,C=1050,求 S ABC.
62（5 3 1）
3.在ABC中, a 3,b 1, B 30, 则其面积等于 __3_或___3____
24
1.在△ABC中，A 750, B 300, AC 10, 求AB, BC。

2 1
2
a
10
C
2
sin B sin C
∴ b c sin B 10sin 105
sin C sin 30

求其他两边和一角
例 1：在△ABC 中，已知c = 10,A = 45。, C = 30。，
解三角形.（即求出其它边和角）
C
解：根据三角形内角和定理，B 180 (A C) 105 b
由正弦定理 a c
a
sin A sin C
Ac
B
得a
c sin A sin C
10 sin 45
= sin30
证明：作外接圆O,
过B作直径BC/,连AC/,
BAC 90,C C '
c
sinC sinC' c
2R A
c 2R
sin C
同理 a 2R, b 2R
sin A
sin B
a b c 2R sin A sin B sin C
B
a
O
C
b
C/
公式的应用 正弦定理： a b c ＝ 2R sin A sin B sin C
应用正弦定理化边为角：
a 2Rsin A,b 2R sin B,c 2R sin C
或化角为边：sin A a ,sin B b ,sin C c
2R
2R
2R
课堂练习：
1.已知ABC的三个内角之比为A: B : C 3: 2 :1,
那么对应的三边之比a : b : c等于_2_：___3_：_1_____
即 abc sin A sin B sin C
即正弦定理寻找的是各边和它的对角的关系！
剖析定理、加深理解
正弦定理可以解决三角形中哪类问题：
abc sin A sin B sin C
① 已知两边和其中一边的对角，求另一边 的对角，进而可求其他的边和角.
② 已知两角和一边，求其他角和边.

a b c 2R sin A sin B sin C (R为三角形外接圆的半径 )
a,b, A, B 四个量中知三求一
注正意弦定：理定在理解斜适三合角任形意中的三两角类形应用。: 正(1)弦已定知两理角的和应任用一边: ,求一角和其他两条边.
(一2)、已解知两斜边三和角其形中；一边的对角,求另一边的对角 (二进、而在求其三他角的形角中和实边现) 边角互化.
80.1( cm )
由正弦定理可得
a sinC 42.9 sin 66.2o
c
sin A
sin 32.0o
74.1( cm )
1.1.1 正弦定理
小结:
• •
正弦定理 主要应用
a sin A
b sin B
c sin C
(1) 已知两角及任意一边，可以求出其他两边
和另一角；
(2)已知两边和其中一边的对角，可以求出三
如图:作AB上的高是CD,根椐
C
三角形的定义,得到
aE
b
CD asin B,CD bsin A
所以 a sin B bsin A
得到 a b sin A sin B
B
D
A
c
同理,作AE BC.有 b c sin B sin C
a b c sin A sin B sin C
1.1.1 正弦定理
剖析定理、加深理解
正弦定理：
a sin
A
b sin B
c sin C
1、A+B+C=π 2、大角对大边，大边对大角
剖析定理、加深理解
正弦定理：
a sin
A
b sin
B
c sin
C