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正弦定理第一课时 优质课件

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正弦定理优秀课件lizhx

正弦定理优秀课件lizhx
第一章:解三角形
1.问题的引入:
在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事.明月 . 高悬,我们仰望夜空,会有无限遐想,不禁会问, 月亮离我们地球有多远呢?科学家们是怎样 测出来的呢？
思考：在直角三角形中，“边”与“角”的关
Rt ABC
a 2 b2 c 2 中
a c sin A, b c sin B
剖析定理、加深理解
a b c 正弦定理： sin A sin B sin C
3、正弦定理可以解决三角形中的问题： ① 已知两边和其中一边的对角，求另一边 的对角，进而可求其他的边和角 ② 已知两角和一边，求其他角和边
剖析定理、加深理解
a b c 正弦定理： sin A sin B sin C
i AB BC i AC


i BC i AC
a cos B b cos A 或a cos B b cos A 2 2 2 2
13 13 3 又 sin A , sin A sin B 5 a b 由正弦定理 可知a b sin A sin B 4 A B, A只能为锐角， cos A . 5 63 sin C sin( A B) . 65
4 12 变式：在ABC中，已知 cos A ,sin B , 求 sin C. 5 13 4 3 解： cos A , A (0, ) sin A 5 5 12 又 sin B , sin A sin B, a b A B 13 5 B可以为锐角也可以为钝 cos B . 角， 13 5 63 (1) cos B 时， C sin( A B ) . sin 13 65 5 33 (2) cos B 时， C sin( A B ) . sin 13 65 63 33 sin C 或 . 65 65

正弦定理-优质课件

正弦定理-优质课件
《正弦定理》第一课时
《正弦定理》第一课学习目标
➢通过观察、实验、验证、猜想、证明，从特殊到一般得 到正弦定理； ➢能证明正弦定理，了解正弦定理的一些推导方法； ➢初步熟知正弦定理的两个重要应用。
情景引入
如图，设A、B两点在河的两岸，测量者只有皮尺和测角仪两种工具， 没法跨河测量，利用现有工具，你能利用所学的解三角形知识设计一 个测量A、B两点距离的方案吗？
实验3 多媒体演示
探究2 斜三角形边角数量关系
猜想
对于任意的斜三角形也存在以下边角数量关系：
abc sin A sin B sin C
探究2 斜三角形边角数量关系
证明1 如图，在锐角三角形中，设 BC a,CA b, AB c 。
证明：在ΔABC中作高线CD，
C
则在直角ΔADC和直角ΔBDC中
2 在 ABC 中，已知 A 45 ,a 1 ，b 3 ，求 B ;
2
谢谢观看
B
D
C
任意三角形中，有大角对大边，小角对小边的边角关系。
探究1 直角三角形边角数量关系
在直角三角形ABC中，设BC a, AC b, AB c, 探究边角数量关系
解：在根据Rt正A弦B函C数中定，义设可B得C： a, AC b, AB c A，
sin A a ;sin B b
c
c
a b c
a b sin A sin B
已知三角形的任意两个角与一边，解三角形.
学以致用
2：在ΔABC中，已知a 2 2,b 2 3, A 45o, 求B、C、c.
解：由正弦定理 a b 得： sin A sin B
sin B bsin A 2 3 sin 45 3
a
22

高中数学：11《正弦定理1》课件必修

高中数学：11《正弦定理1》课件必修
详细描述
利用正弦定理，我们可以判断给定边 长和角的三角形是否存在，以及解的 个数，从而避免出现无解或多解的情 况。
边长和角度的互换
总结词
正弦定理可以用于将三角形的边长转换为对应角的正弦值，反之亦然。
详细描述
通过正弦定理，我们可以将三角形的边长与对应角的正弦值相互转换，从而方便 地求解三角形中的未知量。
引入方式三：通过三角函数定义引入
总结词
从三角函数的定义出发，通过分析函数的性质，引出正弦定理的概念。
详细描述
三角函数是描述三角形中角度和边长之间关系的函数。在锐角三角形ABC中，设角A、B、C的正弦函数分别为 sinA、sinB、sinC，根据三角函数的定义，我们有sinA = a/c、sinB = b/c、sinC = c/c。通过分析这些函数的 性质，我们可以推导出正弦定理的表达式。
pi$，求出 $B = pi - A - C$。最后代入 $sin A = sin(B + C)$，利用两角和的正弦 公式展开，得到 $sin A = frac{3sqrt{3}}{4} times frac{sqrt{3}}{2} + frac{1}{2} times
基础题
题目
在△ABC中，已知 a = 2, b = 3, B = 60°，则角 C 的 大小为 _______．
钝角三角形证明方法
通过作高线，将钝角三角形转化为两个锐角三角形 ，再利用勾股定理和三角函数性质证明正弦定理。
等边三角形证明方法
利用等边三角形的性质，通过比较边和角的正弦值之比，证明正 弦定理。
余弦定理证明方法
利用余弦定理推导正弦定理，通过比较边和角的正弦值之比，证明正弦定理。
04
习题与解析

《正弦定理》第1课时示范公开课教学课件【高中数学】

《正弦定理》第1课时示范公开课教学课件【高中数学】

解答：（1）由题意得，△ABC有两解时需要bsin A＜a＜b，
则bsin 60°＜12＜b，
∵b＝10，c＝15，
（2）在△ABC中，若b＝10，c＝15，C＝ ，则此三角形有_______解．
Байду номын сангаас
∴c＞b，只有1解．
归纳小结
（2）正弦定理的证明方法是什么？
（3）利用正弦定理如何实现三角形中边角关系的相互转化？
④a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C（△ABC的外接圆的半径为R）
新知探究
一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．
新知探究
两种类型：
初步应用
例1 △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsin A＋acos B＝0，则B＝______．
解答：由正弦定理可得sin Bsin A＋sin Acos B＝0，
因为A∈（0，π），所以sin A＞0，
初步应用
例2 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a＝2，A＝ ，则 ＝_______．
4
初步应用
例3 （1）在△ABC中，a＝12，A＝60°，三角形有两解，则边b的取值范围为________．
问题4 （1）正弦定理及其推论有哪些？
（1）正弦定理及其推论：
2．正弦定理的证明方法：
其中2R为外接圆直径．
①三角函数的定义，②外接圆法．
归纳小结
（2）正弦定理的证明方法是什么？
（3）利用正弦定理如何实现三角形中边角关系的相互转化？
问题4 （1）正弦定理及其推论有哪些？
3．利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化：

正弦定理 优秀课件

正弦定理 优秀课件

7
例1:(林场失火问题)在△ABC中，已知 A=130°,B=30°,AB=10千米，求AC与BC的 长．
解：根据三角形内角和定理,
C 180 ( A B) 180 (130 30 ) 20 AC AB 由正弦定理： 得 sin B sin C C AB AC sin B 14.42千米 sin C BC AB 130° 30° 又由 得 A 10km B sin A sin C
AB BC sin A 22.39千米 sin C
8
例2:在 ABC中，已知a 3 ， 2， 45 B b
求角 A .
解：依题意得,由正弦定理
C
a b sin A sin B
3
452o2 Nhomakorabea60
o
120
B
A
o
A
sin B sin 45 3 得 sin A a 3 2 b 2
§1.1.1正弦定理
（第一课时）
教材：人教A版
1
北 东
C
·
· A
130°
30°
10km
2
· B
问题情境
在 △ ABC 中 ， 已 知 A=130°,B=30° ， AB=10千米，求AC与BC的长．
C
130° 30° A 10km
B
3
三角形的边角之间的关系
三角形的内角和是180

两边之和大于第三边，两 边之差小于第三边
A 60 或A=120
o
o
9
归纳提升
a b c ★正弦定理： sin A sin B sin C
★主要应用： 1. 已知两角及一边，可以求出另外两边 和另一角 2. 已知两边一对角 ，可以求出另外两角 和另一边

正弦定理课件(优秀)

正弦定理课件(优秀)
解：由正弦定理 得
a b sin A sin B
16
C
16 3
b sin A 16sin120 1 sin B a 2 16 3
A
300
B
∵a > b
∴A>B,
三角形中大边对大角
Ｂ＝300, C=300,
a sin C c 16 sin A
变式：在例 3中，将已知条件改为 以下几种情况，角B的结果有几种？ （1） b＝20，A＝60°，a＝20√3 （2） b＝20，A＝60°，a＝10√3 （3） b＝20，A＝60°，a＝15.
a b sin A sin B

b sin A 16 3 sin 30 3 得 sin B a 16 2 16
C
3 16
16
所以Ｂ＝60°或Ｂ＝120° A
300
B
B
当Ｂ＝60°时 C=90° c 32
a sin C 16 当Ｂ＝120°时 C=30° c sin A
变式: a= 16 3 , b= 16 , A=120°解三角形
解：由正弦定理 得
a b sin A sin B
16
C
16 3
b sin A 16sin120 1 sin B a 2 16 3
A
300
B
所以Ｂ＝300,
或Ｂ=1500
故B只有一解 （如图）
由于1200 +1500>1800 C=300,
a sin C c 16 sin A
变式: a= 16 3 , b= 16 , A=120°解三角形
已知两边与其中一边的对角，求其它 边和角.
例2 在 ABC 中，已知 B 45，求 A

9.1.1正弦定理(第一课时)课件(人教B版)

正弦定理
（第一课时）
学习目标
•1.学生通过对任意三角形中边与角的关系的探
索，能发现并证明正弦定理；
•2.学生会运用正弦定理解斜三角形的两类基本
问题.
德育目标
•1.通过设立问题情境，激发学生的学习动机和好奇
心理，使其主动参与双边交流活动；
•2.通过对问题的提出、思考、解决培养学生自信、
自立的良好心理品质；
3 :1
课堂小结
a
b
c
一个 定理 ——正弦定理


sin A sinB sinC
二种 方法 ——作高法（化斜为直）
面积法
二个 应用 —— 已知两角和一边（只有一解）
已知两边和其中一边的对角
（有一解，两解，无解）
课后探究:
（1）你还可以用其它方法证明
正弦定理吗？
a
b
c


k
（2） sin A sin B sin C
那么这个k值是什么呢?你能用一个和三角形有
关的量来表示吗?
作业：
P5 练习A，练习B
谢谢

C
c
sinC
定理探究
问题2：能否推广到斜三角形呢？
当∆ABC是锐角三角形时，设BC=a，AC=b，AB=c
C
E
a
b
B
A
c D
请同学们完成到钝角三角形的推导
B
c
a
A
b
C
正弦定理



•
=
=

（1）文字叙述
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角
的正弦的比相等.
（2）方程的观点
求B和c。

《正弦定理》人教版高二数学下册PPT课件

[解] ∵b ＝a co s C ，
由正弦定理，得
sin B ＝sin A co sC ．
(*)
∵B ＝π－(A ＋C )，
∴sin B ＝sin (A ＋C )，从而(*)式变为
sin (A ＋C )＝sin A co s C .
∴co s A sin C ＝0.
又∵A ，C ∈(0，π)，
π
∴co s A ＝0，A ＝ ，即△A B C 是直角三角形．
∴A 是直角，B ＋C ＝9 0 °
，
∴2 sin B co s C ＝2 sin B co s(9 0 °
－B )＝2 sin 2 B ＝sin A ＝1 ，
2
∴sin B ＝
2
.
∵0 °
< B < 9 0°
，∴B ＝4 5 °
，C ＝4 5 °
，
∴△A B C 是等腰直角三角形．
02
跟踪训练
法二：(利用角的互补关系)根据正弦定理，
c
，sin C ＝ 把
2R
2R
sin 2 A ＝sin 2 B ＋sin 2 C 转化为三角形三边的关系，从而判定出角 A ，然后再利
用 sin A ＝2sin B co s C 求解．
02
跟踪训练
a
[解]
b
c
法一：
(利用角的互余关系)根据正弦定理，
得
＝
＝
，
sin A sin B sin C
∵sin 2 A ＝sin 2 B ＋sin 2 C ，∴a 2 ＝b 2 ＋c2 ，
02
基础自测
1．思考辨析
(1)正弦定理只适用于锐角三角形．(
)
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C
b
a
是否成立？ 是否成立？ 是否成立？
A
B
D
C
a
b
D
A
B
思考5：在任意三角形中，同理可得， , 因此有
该连等式称为正弦定理.如何用文字语言 描述正弦定理？
在一个三角形中，各边和它所对角的正 弦之比相等.
知识探究（二）：正弦定理的向量证明
思考1：在△ABC中，向量 ， ， 之间有什么关系？
C
b
a
A
B
思考2：若∠A为锐角，过点A作单位向量 i，使i⊥ ,则向量i与 , , 的 夹角分别是什么？
C
b i A
a B
思考3：由 可得什么结论？
i A
C
b
a
B
思考4：若∠A为钝角，上述推理过程有 什么变化？所得结论如何？
C
Hale Waihona Puke a biA
B
思考5：若证明 单位向量i？
，应如何作
C
b
A c
B
i
理论迁移 例1 在△ABC中，已知A=32.0°， B=81.8°，a=42.9cm，解三角形.
1.问题的引入:
在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事.明月 高. 悬,我们仰望夜空,会有无限遐想,不禁会问, 月亮离我们地球有多远呢?科学家们是怎样 测出来的呢？
问题提出
在直角三角形中，三边a，b，c，及锐角 A，B之间有怎样的数量关系？
B
a
c
C
b
A
知识探究（一）：正弦定理的形成
思考1：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝
a，AC＝b，AB＝c，则sinA，sinB，sinC
分别等于什么？
C
b
a
A
c
B
思考2：将上述关系变式，边长c 有哪几 种表示形式？由此可得什么结论？
C
b
a
A
c
B
思考3：
可变形为
, 在锐角△ABC中，该 等式是否成立？为什么？
C
b
a
A
B D
思考4： 若∠C为钝角， 若∠A为钝角， 若∠B为钝角，
sinB≈0.5131，B≈31°，C=111°， c≈91 cm
小结作业
作业： P4 练习 ：1, 2.
C=66.2°，b≈80.1cm，c≈74.1 cm.
例2 在△ABC中，已知a=20cm， b=28cm，A=40°，解三角形.
sinB≈0.8999，B≈64°，C=76°， c≈30 cm；或B≈116°，C=24°，c≈13 cm.
例3 在△ABC中，已知a=60cm， b=50cm，A=38°，解三角形.