第一节 正弦定理

第一课时 正弦定理一、教材预知：１．正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等， 即Aa sin =Bb sin =Cc sin =2R （R 为△ABC 外接圆半径）证明方法：1）．直角三角形中：sinA=c a ，sinB=cb ， sinC=1即 c=A a sin ， c=Bb sin ， c=Cc sin ．∴Aa sin =Bb sin =Cc sin2）．斜三角形中证明一：（等高法）sin sin A D c B b C ==sin sin b c BC=，同理可得sin sin a bAB=证明二：（等积法）在任意斜△ABC 当中111sin sin sin 222A B C S ab C ac B bc A ∆===两边同除以abc21即得：Aa sin =Bbsin =Ccsin证明三：（外接圆法） 如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ ∴R CD Da Aa 2sin sin ===，同理Bb sin =2R ，Cc sin ＝2R证明四：（向量法）过A 作单位向量j垂直于A C 由 A C +C B =AB两边同乘以单位向量j 得 j •(A C +C B )=j •AB则j •AC +j •CB =j •AB∴|j |•|A C |cos90︒+|j |•|C B |cos(90︒-C)=| j|•|AB |cos(90︒-A)∴Ac C a sin sin= ∴sin a A=Cc sin ，同理，若过C 作j垂直于C B 得：Cc sin =Bb sin ∴Aa sin =Bb sin =Cc sina bcOB CADABCD２．正弦定理的常见变形变形：灵活运用1）2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =；2）sin sin a B b A =，sin sin c C c B =，sin sin a C c A =； 3）::sin :sin :sin a b c A B C =． ３．解三角形1）把三角形的三边和它的对角叫做三角形的元素．2）已知三角形的几个元素（通常是3个）求其他元素的过程叫做解三角形． ４．正弦定理解斜三角形的类型 1）已知两角与一边（AAS ），有一解或无解 2）已知两边和其一边对角（ASS ），存在多解情形：两解、一解或无解 若A 为锐角时：babab a baa 已知边a,b 和∠A仅有一个解有两个解仅有一个解无解a ≥b CH=bsinA<a<b a=CH=bsinA a<CH=bsinAAC B ACB1ABACB2CHHH若A 为直角或钝角时:⎩⎨⎧>≤)( b a 锐角一解无解b a二、典型例题：例1 已知在B b a C A c ABC 和求中，,,30,45,100===∆． 解：030,45,10===C A c ∴0105)(180=+-=C A B由C c A a sin sin =得 21030sin 45sin 10sin sin 0=⨯==CA c a由Cc Bb sin sin =得25654262075sin 2030sin 105sin 10sin sin 0+=+⨯==⨯==CB c b例2 在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中，===∆解：∵21360sin 1sin sin ,sin sin 0=⨯==∴=bB cC Cc Bb0090,30,,60,==∴<∴=>B C C B C B c b 为锐角，∴222=+=cb a例3 C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===∆解：23245sin 6sin sin ,sin sin 0=⨯==∴=aA c C Cc Aa12060,sin 或=∴<<C c a A c1360sin 75sin 6sin sin ,756000+=====∴C B c b B C 时，当，1360sin 15sin 6sin sin ,1512000-=====∴CB c b BC 时，当或0060,75,13==+=∴C B b 00120,15,13==-=C B b例4 在A B C ∆中，根据下列条件指出解的个数． (1)2a =，2b =，30A =︒；(2)2a =，2b =，45A =︒；(3)5a =，2b =，120B =︒． 解:2;1;0例5 A B C ∆中，如果lg lg lg sin lg2a c B -==-，并且B 为锐角，试判断三角形形状．解：由2lg lg lg sin lg 2lg 2a c B -==-=，得2sin 2B =．因为B 为锐角，所以45B =︒，135A C +=︒．2sin 2sin a A c C==，将135A C =︒-代入得()2sin 2sin 135C C =︒-，化简得cos 0C =0180,90C C ︒<<︒∴=︒ ，所以A B C ∆为等腰直角三角形．三、及时突破：1．已知在045,30,10ABC A B c b ∆===中，已知求．2．在A B C ∆中，根据下列条件指出解的个数． (1)4a =，5b =，30A =︒； (2)5a =，4b =，60A =︒； (3)3a =，2b =，120B =︒；(4)3a =，6b =，60A =︒．3．在A B C ∆中，若222sin 2sin cos ,sin sin sin A B C A B C ==+，试判断三角形的形状． 4．在A B C ∆中，若::1:2:5a b c =，求代数式在2sin sin sin A BC -的值．5．在A B C ∆中，求证：2222112cos 2cos babB aA -=-．四、课后作业：1．在A B C ∆中，若sin sin A B ab=，则B ∠的值为 （ ）A.30︒B.45︒C.60︒D.90︒2．在A B C ∆中，若32sin a b A =，则B 的值为 （ ）A.3π B.6π C.3π或23π D.6π或56π3．在A B C ∆中，若::4:1:1A B C =，则::a b c 的值为 （ ） A.3:1:1 B.2:1:1C.2:1:1D.3:1:14．以下关于正弦定理的叙述或变形中错误的是 （ ） A.在A B C ∆中，::sin :sin :sin a b c A B C = B.在A B C ∆中，sin 2sin 2a b A B =⇔=C.在A B C ∆中，sin sin sin a b c AB C+=+D.在A B C ∆中，正弦值较大的角所对的边也较大5．三角形的两边长为3cm 、5cm ，其夹角的余弦值是方程25760x x --=的根，则此三角形的面积是（ ）A.26 cm B.215 cm 2C.28 cmD.210 cm6．在A B C ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，则()()sin sin sin sin a C B b A C -+-()s i n s i n c B A +-=．7．在A B C ∆中，()()lg sin sin 2lg sin lg sin sin A C B C A +=--，则三角形的形状是 ． 8．在A B C ∆中，45A ∠=︒，2a =，6c =，解此三角形．9．在A B C ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且满足cos cos 2B b Ca c=-+，求B ∠的值．10．在A B C ∆中，已知内角3A π=，边23BC =．设内角B x =，周长为y ．（1）求函数()y f x =的解析式和定义域；（2）求y 的最大值．。

1.1.1正弦定理正弦定理是中学数学中比较重要的一个定理，它可以用来求解任意三角形的边长和角度大小。

正弦定理是三角形学中最基本、最通用的定理之一，它的应用范围很广，并且在其他分支学科中也有很多实际应用。

在三角形ABC中，假设BC=a，AC=b，AB=c，∠A的对边为a，∠B的对边为b，∠C的对边为c。

则正弦定理的表述是：$$\frac{a}{\sin\angle A} = \frac{b}{\sin\angle B} = \frac{c}{\sin\angle C}$$其中，a、b、c分别为三角形ABC中BC、AC、AB的边长，∠A、∠B、∠C分别为三角形ABC的内角大小，sin指的是这些角的正弦值。

正弦定理解题的基本步骤有以下几步：（1）确定三角形ABC的已知数据，包括三边和三角度数中的已知数据；（2）应用正弦定理，根据已知数据求解未知数据；（3）特别注意角度的选择，有时需要用到角的补角或余角。

以下是一些正弦定理的应用实例：例1：已知三角形的两条边及夹角，求第三边的长度。

则：由正弦定理，有：即：因为$\sin\angle C\leq 1$，所以：同理，可以求得BC的另一角度∠C。

解：设三角形ABC的第一边为AB=a，角度A为∠A，角度B为∠B，已知数据为a和∠A、∠B，要求的为第二边的长度BC=b。

所以：其中，角B的大小为：其中角C可以用第二个角度公式求得，即：（注：第二个角度公式指的是正弦公式的逆变形式，即给定三角形的两条边和夹角，则可以根据正弦公式求得未知角度。

）正弦定理不仅仅在数学中有重要的应用，它也被广泛应用于实际生活中的许多领域。

例如，它在建筑学中可以用来计算建筑物的高度和角度；在航空和航海中可以用来计算航线的长度和方向；在地理和地质学中可以用来计算地球上两个点之间的距离等等。

因此，熟练掌握正弦定理的公式和应用方法是十分必要的。

《正弦定理》教案（精选12篇）《正弦定理》教案篇1一、教学内容分析本节课是高一数学第五章《三角比》第三单元中正弦定理的第一课时，它既是学校“解直角三角形”内容的直接延拓，也是坐标法等学问在三角形中的详细运用，是生产、生活实际问题的重要工具，正弦定理揭示了任意三角形的边角之间的一种等量关系，它与后面的余弦定理都是解三角形的重要工具。

本节课其主要任务是引入证明正弦定理及正弦定理的基本应用，在课型上属于“定理教学课”。

因此，做好“正弦定理”的教学，不仅能复习巩固旧学问，使同学把握新的有用的学问，体会联系、进展等辩证观点，同学通过对定理证明的探究和争论，体验到数学发觉和制造的历程，进而培育同学提出问题、解决问题等讨论性学习的力量。

二、学情分析对高一的同学来说，一方面已经学习了平面几何，解直角三角形，任意角的三角比等学问，具有肯定观看分析、解决问题的力量；但另一方面对新旧学问间的联系、理解、应用往往会消失思维障碍，思维敏捷性、深刻性受到制约。

依据以上特点，老师恰当引导，提高同学学习主动性，留意前后学问间的联系，引导同学直接参加分析问题、解决问题。

三、设计思想：培育同学学会学习、学会探究是全面进展同学力量的重要方面，也是高中新课程改革的主要任务。

如何培育同学学会学习、学会探究呢?建构主义认为：“学问不是被动汲取的，而是由认知主体主动建构的。

”这个观点从教学的角度来理解就是：学问不仅是通过老师传授得到的，更重要的是同学在肯定的情境中，运用已有的学习阅历，并通过与他人(在老师指导和学习伙伴的关心下)协作，主动建构而获得的，建构主义教学模式强调以同学为中心，视同学为认知的主体，老师只对同学的意义建构起关心和促进作用。

本节“正弦定理”的教学，将遵循这个原则而进行设计。

四、教学目标：1、在创设的问题情境中，让同学从已有的几何学问和处理几何图形的常用方法动身，探究和证明正弦定理，体验坐标法将几何问题转化为代数问题的优越性，感受数学论证的严谨性。

第一节正弦定理和余弦定理一、正弦定理正弦定理内容: a = b = c =2R（R为△ ABC外接圆半径）. sinA sinB sinC 变形形式: ①a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C.②sin A= a ,sin B= b ,sin C= c .2R 2R 2R③a∶b∶c=sin A ∶sin B ∶sin C.④a=a b=a b c.sinA sin A sinB sin A sin B sinC1. 概念理解(1) 正弦定理主要解决两类三角形问题: ①知两角和一边; ②知两边和其中一边所对应的角. 在第②类中要注意会出现两组解的特殊情况.(2) 正弦定理中边角互化公式:a=2Rsin A和sin A= a是表达式变形中2R常用公式, 在统一角度或统一长度上发挥作用.2. 与正弦定理有关的结论(1) 三角形中:A+B+C=π,sin(A+B)=sin C, cos(A+B)=-cos C.(2) 在△ABC中, 已知a,b 和A时, 解的情况如下:、余弦定理222余弦定理内容:a 2=b2+c2-2bc ·cos A,222b =a +c -2ac · cos B,222c =a +b -2ab · cos C.2 2 2 cos C=a b c 2ab 1. 概念理解(1) 余弦定理解决两类三角形问题 : 一是知两边及其夹角的三角形 是知三边的三角形 .(2) 利用余弦定理来解决三角形问题时 , 要注意角的取值范围 . 通常求 解三角形的内角度数时 ,不是解该角的正弦 , 而是解该角的余弦 .2. 与余弦定理有关的结论2 2 2由 cos A= b 2 2c b 2c a 2( 设 A 为最大内角 ) 若 b 2+c 2>a 2, 则该三角形为锐角三角形 .b 2+c 2=a 2, 则该三角形为直角三角形 .b 2+c 2<a 2, 则该三角形为钝角三角形 .即 sin B= 1 ,2 所以 B=π或5π.66 又因为 a>b,所以 A>B, 所以 B=π. 故选 A.62. 在△ABC 中, 已知 b=40,c=20,C=60°, 则此三角形的解的情况是 ( C )(A) 有一解(B) 有两解变形形式 :cos A=2 2 2 bca 2bc ,cos B= 222 acb 2ac(C) 无解(D) 有解但解的个数不确定解析: 由正弦定理得b = c ,sinB sinC340所以sin B= bsinC = 2 = 3 >1.c 20所以角B不存在, 即满足条件的三角形不存在. 故选 C. 3. 在△ ABC中,A=60°,AC=4,BC=2 3, 则△ ABC的面积等于. 解析: 因为si2n630o =sin4B ,sin60 sin B所以sin B=1,所以B=90°,所以AB=2,所以 S △ ABC = 1 ×2×2 3 =2 3 .2答案 :2 34. (2019 ·临海高三检测 ) 设△ ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c. 若 b+c=2a,3sin A=5sin B, 则角 C= .解析: 由 3sin A=5sin B, 得 3a=5b.又因为 b+c=2a,所以 a=53 b,c= 37 b,33因为 C ∈(0, π ),所以 C=2π.3 答案 : 2π3考点一利用正弦定理解三角形[ 例 1] (1) 在△ ABC 中,a= 3 ,b= 2 ,B=45°, 求角 A,C 和边 c;(2) 已 知 a,b,c 分 别是 △ ABC 的 三个 内 角 A,B,C 所 对的边, 若a=1,b= 3 ,A+C=2B,求角 A 的大小 .解 :(1) 由正弦定理 a = bsinA sinB得 sin A= asinB = 3 ,b2所以 A=60°或 120°.①当 A=60°时 ,C=75°,= 6 2 . 2②当 A=120°时,C=15° ,c=2·sin 15 °= 6 2 2 解 :(2) 由 A+C=2B,A+C+B=18°0得 B=60° 所以 cos C= 22 bc 2ab (53b)2 2 7 2 b 2(73b)2 5b b3由 a= c , 得 c=a sinC =2·sin 75 sinA sinC sinA所以由正弦定理得3 = 1sin60 sinA所以sin A= 1 .2所以A=30°或150°.又因为b>a, 所以B>A.所以A=30°.利用正弦定理解三角形(1) 注重条件和图形的结合;(2) 知两边及一边对应的角时, 要区分三角形解的情况,通常情况下先利用正弦定理求角, 再利用“大边对大角”的条件排除;(3) 正弦定理的变形公式.1.(2019 ·浙江卷) 在△ ABC中, ∠ABC=90°,AB=4,BC=3,点D在线段AC 上.若∠ BDC=4°5 , 则BD= ,cos ∠ABD= .解析:如图, 易知sin C= 4,5cos C= 3 .5在△ BDC中, 由正弦定理可得BD=BC,sinC sin BDC所以BD=BC sinC=35 =12 2.sin BDC 2 52由∠ ABC=∠ABD+∠CBD=9°0 ,可得cos∠ABD=cos(90°- ∠CBD)=sin∠CBD=sin[ π-( ∠ C+∠BDC)] =sin( ∠C+∠ BDC) =sin C ·cos ∠BDC+cos C · sin ∠BDC=4 × 2 +3×25 2 5 2 72 = 10. 2. 在△ ABC 中,B=60°,AC= 3, 则 AB+2BC 的最大值为解析: 在△ ABC 中, 由正弦定理得 AB = BC = 3 =2,sinC sin A sin 60所以 AB+2BC=2sin C+4sin A =2sin(120 ° -A)+4sin A=2 7 sin(A+ ),又因为 A ∈(0°,120 °), 所以最大值为 2 7 .答案 :2 7 考点二利用余弦定理解三角形 [ 例 2] 若△ ABC 的内角 A,B,C 所对的边 a,b,c 满足(a+b) 2-c 2=4,且 C=60°, 则 ab 的值为()(A) 34 (B)8-4 3(C)1 (D) 23 解析: 由已知得 a 2+b 2-c 2+2ab=4, 222 由于 C=60°, 所以 cos C= a b c =1 , 2ab 2 即 a+b-c =ab, 因此 ab+2ab=4,ab= 4 , 故选 A.3 利用余弦定理解三角形 : 一般地, 如果式子中含有角的余弦 或边的二次关系时 , 考虑使用余弦定理 .答案 : 12 2572 10其中,tan5△ABC中, 角A,B,C 的对边分别是a,b,c, 已知b=c,a 2=2b2(1-sin A), 则 A 等于( C )(A) 34π(B) 3π(C) 4π(D) 6π 解析: 在△ ABC中, 由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A, 因为b=c, 所以a2=2b2(1-cos A), 又因为a2=2b2(1-sin A), 所以cos A=sin A, 所以tan A=1, 因为A∈(0, π ), 所以A=4π, 故选 C. 考点三正、余弦定理的综合应用[ 例3] 设△ ABC的内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c, 已知 a b = a c .sin A B sinA sinB(1) 求角B;(2) 若b=3,cos A= 6 , 求△ ABC的面积.3解:(1) 因为 a b = a c ,sin A B sinA sinB所以 a b =a c , c a b所以 a 2-b 2=ac-c 2,222 所以 cos B= a c b= ac =1 ,2ac 2ac 2 又因为 0<B<π, 所以 B=π.3解 :(2) 由 cos A= 6 可得 sin A= 3 , 33由 a = b 可得 a=2, sinA sinB而 sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B= 3 3 2 , =6,所以△ ABC 的面积 S=1 absin C= 3 3 2 . 22(1) 利用正、余弦定理解三角形的关键是根据已知条件及所 求结论确定三角形及所需应用的定理 .(2) 对于面积公式 S=1 absin C= 1 acsin B= 1 bcsin A, 一般是已知哪一 222个角就选用哪一个公式 .（2017·全国Ⅰ卷 ） △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 已知△2ABC 的面积为 a 2 .3sin A故 sin Bsin C= 2 .3解 :(2) 由题设及 (1) 得 cos Bcos C-sin Bsin C=- 即 cos(B+C)=- 1 . 所以 B+C=2π, 故 A=π.1 求 sin Bsin C; (2) 若 6cos Bcos C=1,a=3, 求△ABC 的周长.解 :(1) 由题设得 1 acsinB= 2 即 1 csin B= a .2 3sinA由正弦定理得 1 sin Csin 2 a 3sin Asin A 3sin A332由题设得1 bcsin A= a , 即bc=8,2 3sin A 由余弦定理得b2+c2-bc=9, 即(b+c) 2-3bc=9, 得b+c= 33 . 故△ ABC的周长为3+ 33 .类型一利用正弦定理解三角形1. 在△ABC中, 角A,B,C 所对的边分别是已知8b=5c,C=2B,则a,b,c. cos C 等于( A )(A) 275 (B)- 275 (C) ± 275 (D) 2245解析: 因为8b=5c, 所以由正弦定理, 得8sin B=5sin C.又因为C=2B,所以8sin B=5sin 2B,所以8sin B=10sin Bcos B.因为sin B ≠0, 所以cos B= 4 ,5所以cos C=cos 2B=2cos 2B-1= 7 . 故选 A.252. 在△ABC中,a,b,c 分别是内角A,B,C 的对边, 向量p=(1,-3 ),q=(cos B,sin B),p ∥ q, 且bcos C+ccos B=2asin A, 则C等于( A )(A)30 ° (B)60 ° (C)120 ° (D)150 °解析: 因为p∥q,所以- 3 cos B=sin B,即得tan B=- 3 , 所以B=120°.又因为bcos C+ccos B=2asin A,2所以由正弦定理得sin Bcos C+sin Ccos B=2sin 2A, 即sinA=sin(B+C)=2sin 2A, 又由sin A ≠0, 得sin A= 1 ,2所以A=30°,C=180°-A-B=30 °. 故选 A.类型二利用余弦定理解三角形3. 已知锐角△ ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,23cos 2A+ cos 2A=0,a=7,c=6, 则 b 等于( D )(A)10 (B)9 (C)8 (D)5解析: 由23cos2A+cos 2A=0, 得25cos2A=1, 因为A为锐角, 所以cos A= 1.5又由a2=b2+c2-2bccos A, 得49=b2+36- 12 b,5整理得5b2-12b-65=0,解得b=- 13(舍) 或b=5.5即b=5. 故选 D.4. 若锐角△ ABC的面积为10 3 , 且AB=5,AC=8,则BC等于.解析: 设内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.由已知及1 bcsin A=10 3 得sin A= 3 ,22 因为A为锐角,所以A=60°,cos A= 12 . 由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A =64+25-2×40× 12=49,故a=7,即BC=7.答案:7类型三正弦定理和余弦定理的综合应用5. 在△ ABC中, ∠B=120°,AB= 2, ∠BAC的平分线AD= 3, 则AC等于( D )(A) 2 (B) 3 (C)2 (D) 623 解析: 如图, 在△ ABD中, 由正弦定理, 得sin ∠ADB=ABsin B = 2 2 = 2 . AD 3 2 由题意知0°<∠ADB<60° ,所以∠ ADB=45°,则∠ BAD=180°- ∠B-∠ADB=15°,所以∠ BAC=2∠BAD=30°,所以∠ C=180°- ∠BAC-∠B=30°, 所以BC=AB=2 , 于是由余弦定理,得AC= AB 2 3 BC2 2AB BC cos1201. 在△ ABC中, 内角A,B,C 的对边分别为a,b,c. 若asin Bcos C+csinBcos A= 1 b, 且a>b, 则∠B等于( A )(A) 6π(B) 3π(C) 23π(D) 56π6 3 3 6解析: 由正弦定理得sin Asin Bcos C+sin Csin Bcos A= 1 sin B,2所以sin Bsin(A+C)= 1 sin B.因为sin B ≠0,所以sin(A+C)= 12 ,2 213 2 2 2 2 = 6. 故选 D.。

必修五第一讲 正弦定理一、知识回忆新知1：正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即 sin sin a b A B =sin c C =． 新知2：〔1〕正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =， ，sin c k C =； 〔2〕sin sin a b A B =sin c C =等价于 ，sin sin c b C B =，sin a A =sin c C． 〔3〕正弦定理的根本作用为：①三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A a B=；b = ． ②三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a A B b=；sin C = ． 〔4〕一般地，三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形．二、典型例题例1. 在ABC ∆中，45A =，60B =，42a =cm ，解三角形．变式：在ABC ∆中，45B =，60C =，12a =cm ，解三角形．例2. 在6,45,2,,ABC c A a b B C ∆===中，求和．变式：在3,60,1,,ABC b B c a A C ∆==中，求和三、课堂练习 1. 在ABC ∆中，假设cos cos A b B a=，那么ABC ∆是〔 〕. A ．等腰三角形 B ．等腰三角形或直角三角形C ．直角三角形D ．等边三角形2. △ABC 中，A ∶B ∶C ＝1∶1∶4，那么a ∶b ∶c 等于〔 〕.A ．1∶1∶4B ．1∶1∶2C ．1∶1∶3D ．2∶2∶33. 在△ABC 中，假设sin sin A B >，那么A 与B 的大小关系为〔 〕.A. A B >B. A B <C. A ≥BD. A 、B 的大小关系不能确定4. ∆ABC 中，sin :sin :sin 1:2:3A B C =，那么::a b c = ．5. ∆ABC 中，∠A 60=︒，3a =，那么sin sin sin a b c A B C++++= ．四、总结提升1. 正弦定理：sin sin a b A B =sin c C= 2. 正弦定理的证明方法：①三角函数的定义，还有 ②等积法，③外接圆法，④向量法.3．应用正弦定理解三角形：①两角和一边；②两边和其中一边的对角．※ 知识拓展sin sin a b A B =2sin c R C==，其中2R 为外接圆直径.五、课后作业1. △ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120︒，解此三角形．2. △ABC 中，si n A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k (k ≠0)，求实数k 的取值范围为．。

第一课时正弦定理教学目标：掌握正弦定理推导过程，会利用正弦定理证明简单三角形问题，会利用正弦定理求解简单斜三角形边角问题，能利用计算器进行运算；通过三角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一.教学重点：正弦定理证明及应用.教学难点：正弦定理的证明，正弦定理在解三角形时应用思路.教学过程：Ⅰ.课题导入在初中，我们已经会解直角三角形.就是说，已会根据直角三角形中已知的边与角求出未知的边与角，而在直角三角形中，有如下的边角关系.asin A＝bsin B＝c sin C那么，在任意三角形中，这一关系式是否成立呢?这也是我们这一节课将要研究的问题. Ⅱ.讲授新课对于asin A＝bsin B＝csin C这一关系的证明，我们一起来看下面的证法.如图，在△ABC中，已知BC＝a，AC＝b，AB＝c，作△ABC 的外接圆，O为圆心，连接BO并延长交圆于B′，设BB′＝2R. 则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到：∠BAB′＝90°，∠C＝∠B′∴sin C＝sin B′＝c2R∴csin C＝2R同理可得asin A＝2R，bsin B＝2R∴asin A＝bsin B＝csin C＝2R这就是说，对于任意的三角形，上述关系式均成立.因此，我们得到下面的定理. 正弦定理在一个三角形中，各边和它所对的正弦的比相等，即asin A＝bsin B＝c sin C说明：上述证法采用了初中所学的平面几何知识，将任意三角形通过外接圆性质转化为直角三角形进而求证，此证法在巩固平面几何知识的同时，易于被学生理解和接受，并且消除了学生所持的“向量方法证明正弦定理是唯一途径”这一误解.既拓宽了学生的解题思路，又为下一步用向量方法证明正弦定理作了铺垫.接下来，我们可以考虑用前面所学的向量知识来证明正弦定理.从定理内容可以看出，定理反映的是三角形的边角关系，而在向量知识中，哪一处知识点体现边角关系呢?向量的数量积的定义式：a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos θ，其中θ为两向量的夹角.但是向量数量积涉及的是余弦关系而非正弦关系，这两者之间能否转化呢?可以通过三角函数的诱导公式sin θ＝cos(90°－θ)进行转化.这一转化产生了新角90°－θ，这就为辅助向量j 的添加提供了线索，为方便进一步的运算，辅助向量选取了单位向量j ，而j 垂直于三角形一边，且与一边夹角出现了90°－θ这一形式，这是作辅助向量j 垂直于三角形一边的原因.在向量方法证明过程中，构造向量是基础，并由向量的加法原则可得AC →＋CB →＝AB →.而添加垂直于AC →的单位向量j 是关键，为了产生j 与AB →、AC →、CB →的数量积，而在上面向量等式的两边同取与向量j 的数量积运算，也就在情理之中了.下面，大家再结合课本进一步体会向量法证明正弦定理的过程，并注意总结在证明过程中所用到的向量知识点.说明：(1)在给予学生适当自学时间后，应强调学生注意两向量的夹角是以同起点为前提，以及两向量垂直的充要条件的运用.(2)要求学生在巩固向量知识的同时，进一步体会向量知识的工具性作用.向量法证明过程：(1)△ABC 为锐角三角形，过点A 作单位向量j 垂直于AC →，则j 与AB →的夹角为90°－A ，j 与CB →的夹角为90°－C.由向量的加法原则可得：AC →＋CB →＝AB →为了与图中有关角的三角函数建立联系，我们在上面向量等式的两边同取与向量j 的数量积运算，得到：j ·(AC →＋CB →)＝j ·AB →由分配律可得：j ·AC →＋j ·CB →＝j ·AB →∴｜j ｜｜AC →｜cos90°＋｜j ｜｜CB →｜cos(90°－C )＝｜j ｜｜AB →｜cos(90°－A )∴a sin C ＝c sin A∴a sin A ＝c sin C另外，过点C 作与CB →垂直的单位向量j ，则j 与AC →的夹角为90°＋C ，j 与AB →的夹角为90°＋B ，可得c sin C ＝b sin B.(此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提，防止误解为j 与AC →的夹角为90°－C ，j 与AB →的夹角为90°－B )∴a sin A ＝b sin B ＝c sin C. (2)△ABC 为钝角三角形，不妨设A ＞90°过点A 作与AC →垂直的单位向量j ，则j 与AB →的夹角为A －90°，j 与CB →的夹角为90°－C.由AC →＋CB →＝AB →得：j ·AC →＋j ·CB →＝j ·AB →即a ·cos(90°－C )＝c ·cos(A －90°)∴a sin C ＝c sin A∴a sin A ＝c sin C另外，过点C 作与CB →垂直的单位向量j ，则j 与AC →夹角为90°＋C ，j 与AB →夹角为90°＋B ，同理可得b sin B ＝c sin C∴a sin A ＝b sin B ＝c sin C综上所述，正弦定理对于锐角三角形、直角三角形、钝角三角形均成立.在证明了正弦定理之后，我们来进一步学习正弦定理的应用.利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形问题.(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角.这类问题由于两角已知，故第三角确定，三角形唯一，解唯一，相对容易.(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.此类问题变化较多。

§ 1.1.1 正弦定理一、教材分析《正弦定理》是人教版教材必修五第一章《解三角形》的第一节内容，也是三角形理论中的一个重要内容，与初中学习的三角形的边和角的基本关系有密切的联系。

在此之前，学生已经学习过了正弦函数和余弦函数，知识储备已足够。

它是后续课程中解三角形的理论依据，也是解决实际生活中许多测量问题的工具。

因此熟练掌握正弦定理能为接下来学习解三角形打下坚实基础，并能在实际应用中灵活变通。

二、教学目标1．通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。

2. 让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。

3．培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。

三、教学重难点教学重点：正弦定理的内容，正弦定理的证明及基本应用。

教学难点：正弦定理的探索及证明，已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

四、教法分析依据本节课内容的特点，学生的认识规律，本节知识遵循以教师为主导，以学生为主体的指导思想，采用与学生共同探索的教学方法，命题教学的发生型模式，以问题实际为参照对象，激发学生学习数学的好奇心和求知欲，让学生的思维由问题开始，到猜想的得出，猜想的探究，定理的推导，并逐步得到深化，并且运用例题和习题来强化内容的掌握，突破重难点。

即指导学生掌握“观察——猜想——证明——应用”这一思维方法。

学生采用自主式、合作式、探讨式的学习方法，这样能使学生积极参与数学学习活动，培养学生的合作意识和探究精神。

五、教学过程一、问题情境有一个旅游景点，为了吸引更多的游客，想在风景区两座相邻的山之间搭建一条观光索道。