油气渗流的数学模型

几类不同石油泄漏问题的数学模型 无限空间中的瞬时源扩散（油轮失事）无限空间中的连续源扩散（钻井平台泄露——墨西哥湾） 有限空间中的扩散问题（海岸受到的污染总是最严重的） （菲克定理的一些解释）无限空间中的瞬时源扩散（油轮失事） 一维情况 二维、三维情况 随流扩散（不做讨论）一维情况考虑一根长水管，水管中的水流静止不动，在O 点处泄露了总质量为M 的石油。

则C=ƒ（M,D,x,t ） D 为分子扩散系数 C 为扩散物质浓度由22xC D t C ∂∂=∂∂，通过量纲分析，可得==DtM t x C π4),()4(Dtx f令Dtx 4=η 则)(4ηπf DtM C ==∂∂tC -t DtM 1412π（f +ηηd df）22x C ∂∂=2244ηπd fd Dt Dt M而=∂∂tC22x C D ∂∂代入化简可得 02222=++f d dfd f d ηηη即0)2(=+f d dfd d ηηη 即const f d df=+ηη2，不妨取const =0故2)(ηη-=Ae f ，A 为一实数，现在来确定A 的值 由题知 C=DtM π42η-Ae 而M=⎰⎰∞+∞--∞+∞-==MA dx AeDtM Cdx Dtx 424π故A=1 即C （x,t ）=DtM π4Dtx e42-从而可以发现，一维情况下的无限空间瞬时源石油泄漏问题呈正态分布。

二维情况 三维情况二维情况下，C （x,y,t ）=),(),(21t y C t x C ⋅ 故)44(21224tD y t D x yx y x eD D Dt M C C C --=⋅=π⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dxdy t y x C M ),,(同理，三维情况下，)444(23222)(8),,,(tD Z t D y t D x zy x z y x eD D D t Mt z y x C ---=π⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+∞∞-=dxdydz t z y x C M ),,,(一般情况下，z y x D D D ==于是)4(23222)(8),,,(Dtz y x etD M t z y x C ++-==π随流扩散情况（即考虑海风、洋流等情况）可假设液体流速为μ，且沿力的方向，从液体中某一点为坐标原点建立新坐标系，则原坐标系坐标为力的点在新坐标系中为x-μt 。

1、黑油模型（Black Oil ）：黑油模型是指非挥发性原油的数学模型，是相对于油质极轻的挥发性油而言，因油质重而色泽较深，故称之为黑油 其基本假设为：<1> 油藏中的渗流为等温渗流； <2> 油藏中最多只有油气水三相，每一相的渗流均遵守达西定律；<3> 油藏烃类只含有油气两个组分，油组分是指将地层原油在地面标准状况下经历分离后所残存的液体，而其组分是指全部分离出来的天然气。

油藏状况下油气两种组分可能形成油气两相，油组分完全存在于油相中，而气组分则可以以自由气的形式存在于气相内，也可以以溶解气的方式存在于油相中，所以地层中油相应为油组分和气组分的某种组合。

常规黑油模型一般不考虑油组分向气组分的挥发过程；<4> 油藏中气体的溶解和逸出是瞬间完成的，即认为油藏中油气两相瞬时地达到相平衡状态；<5> 油水之间不互溶；<6> 由于天然气在水中溶解度很小，可以认为它不溶于水。

油气水三相渗流基本微分方程：g ()()()()[()]()()ro o o o o o o o ro gd rg g gd o g g o og g g s o go g rw w w w w ww w kk S P D q t kk kk S S P D P D R q q t kk S P D q t ρφργμρρφρφργγμμρφργμ⎧⎡⎤∂∇⋅∇-∇+=⎪⎢⎥∂⎣⎦⎪⎪∂+⎡⎤⎪∇⋅∇-∇+∇∇-∇++=⎨⎢⎥∂⎣⎦⎪⎪⎡⎤∂⎪∇⋅∇-∇+=⎢⎥⎪∂⎣⎦⎩油相：气相：水相：油水两相渗流基本微分方程：g()()()()ro og og o o o o o rw w w w w w w w kk S P D q t kk S P D q t ρφργμρφργμ⎧∂⎡⎤∇⋅∇-∇+=⎪⎢⎥∂⎪⎣⎦⎨⎡⎤∂⎪∇⋅∇-∇+=⎢⎥⎪∂⎣⎦⎩油相：水相： 注意：1、式中的产量项是以质量计的单位时间内单位地层体积的产出（注入）量；2、og o gd ρρρ=+，地面油的相对密度为地面油与溶解气相对密度之和。

油气渗流的数学模型引言油气渗流是指石油、天然气等油气在岩石中的渗透、扩散和运移过程。

掌握油气渗流的规律对于石油开采和储层评价具有重要意义。

油气渗流的数学模型就是用数学语言对岩石孔隙中油气运移的规律进行描述，它是石油地质学、地球物理学等科学领域中重要的研究内容。

数学模型在石油开采过程中，地层中的油气从高压区域向低压区域运动，其运动过程中受到许多因素的影响，如孔隙度、渗透率、岩石成分、温度等。

为了描述这些影响因素对油气运动的影响，需要建立数学模型。

Darcy’s LawDarcy’s Law是描述渗流过程的基础方程之一，它表述了渗流速度与压力梯度成正比的关系。

在考虑流体分布的情况下，Darcy’s Law的表达式为：q = -K * ∇P其中，q为单位时间内流体通过单位面积的体积，K是渗透率，∇P表示压力梯度的梯度算子。

宏观模型在石油开采过程中，由于储层的尺度较大，往往需要采用宏观模型对渗流过程进行描述。

宏观模型分为多相流模型和单相流模型，其中多相流模型更符合实际。

多相流模型多相流模型用于描述储层中油气和水等多种流体同时存在的情况。

这种情况下，需要考虑流体间的相互作用和相互作用对于岩石颗粒和孔隙的影响。

其中，多相流动的数学模型通常采用Navier-Stokes方程组进行描述。

单相流模型单相流模型用于描述只有一种流体或只有一种相存在的情况。

这种情况下，通常采用Darcy’s Law描述渗流过程。

微观模型在油气渗流研究中，微观模型通常采用孔喉模型或者离散模型。

在孔喉模型中，通过建立孔隙和喉道的几何模型来描述渗流过程。

而在离散模型中，则用粒子模型或者格子模型进行描述。

数值模拟油气渗流数学模型的研究离不开数值计算的支持。

计算机模拟可以加快研究过程，减少试验成本，并且得到更为精确的数值结果。

在油气渗流数值模拟中，通常采用有限元法、有限差分法、蒙特卡罗模拟法等数值分析方法。

根据模拟结果，可以对储层产能进行预测，指导石油开采过程。

第二章油气渗流数学模型科学的数学化是当代科学发展的一个主要趋向，当代高科技的本质正是数学技术。

利用数学科学既能够定量描述科学研究的对象，又可以对实际问题进行理论分析和科学预测，从而把科学研究推向更高的阶段。

诚如马克思所说：“一种科学只有成功地应用数学时，才算达到了真正完善的地步”。

在现今的油气田开发过程中，应用渗流力学理论建立数学模型，并由此进行定量分析和预测是解决实际问题的关键课题。

2-1 数学模型渗流系统是客观存在的，在数学建模中，称这种客观存在的渗流系统为原型（Prototype）。

在油气田开发过程中，原型总是处于运动变化的过程之中，如何把握它们的规律性，是研究渗流系统的根本问题。

所谓模型（Model）是指为了某个特定目的将原型所具有本质属性的某一部分信息经过简化、提炼而构造的原型替代物。

模型所反映的内容将因其使用的目的不同而不同。

模型一般分为具体模型和抽象模型两大类，具体模型有直观模型、物理模型等，抽象模型有思维模型、符号模型、数学模型等。

2-1-1 物理模型和数学模型直观的物理模型是抽象的数学模型之基础。

渗流物理模型目标在于归纳渗流系统的主要特征并作相应简化，形成比较合理的物理描述。

描述一个渗流系统，就要根据已有的静态资料描述它所包含的岩石和流体的物理性质，确定渗流系统的区域及其宏观性质，如系统几何特征如何、何种岩石、渗透性、储容性等是否均匀、何种流体、发生何种渗流方式等，还要选择描述渗流问题的自变量（压力P），确定基本假设等。

渗流物理模型实际上是对渗流系统静态的描述，即建立地质模型。

渗流数学模型是为一定目的而对渗流系统做出的抽象、简化的数学符号系统，它反映部分现实世界的特征和数量关系。

数学模型不是原型的复制品，而是为一定目的对原型所作的一种抽象模拟，它用数学式子、数学符号、程序、图表等刻画原型的本质属性与内在了解，是对现实世界的抽象、简化而又本质的描述。

数学模型源于现实且高于现实，它可以解释渗流系统状态的变化，可以预测渗流系统将来的行为，或者能为控制渗流系统的发展提供最优化策略。