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油气渗流的数学模型

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多相多组分渗流数学模型——by 赵文齐

多相多组分渗流数学模型——by 赵文齐

多相多组分渗流数学模型一、 模型的假设条件1. 油藏中的渗流为等温渗流；2. 油藏中的流体为油、气、水三相；3. 油藏内流体的流动为线性流动，即符合Darcy 定律；4. 油藏流体共分为Nc+1个组分，其中i=1、2、3、…、Nc 为烃、非烃组分，i=Nc+1为水组分；5. 油藏中油、气两相瞬时达到相平衡状态；6. 忽略重力的影响；7. 油水以及气水之间互不相容。

二、 渗流数学模型1、由连续性方程的一般形式()()0div q tρφρν∂++=∂ ，结合多相多组分渗流的特点，得到其连续性方程为：水组分的守衡方程：()()0w w w w w S div q tρφρν∂++=∂ (1) 对于任意烃非烃组分i 的守衡方程：()()0o g i o o i g g i o i g i o i g x S y S div x y x q y q t ρρφρνρν∂⎡⎤+++++=⎣⎦∂ （1,2,3,,i Nc = ） (2)2、系统中i 组分的摩尔总量方程：i i i Lx Vy z += (3)其中， 1L V += (4)3、相平衡方程： o g i i f f = （1,2,3,,i Nc = ） (5)4、组分约束方程：11Ncii x==∑ (6)11Ncii y==∑ (7)11Ncii z==∑ (8)5、毛管力约束方程：cow o w p p p =- (9) cgo g op p p =- (10)6、饱和度约束方程：1o g w S S S ++= (11)注：以上各式中，独立方程个数24Nc +，求解未知量为i x ，i y (1,2,3,,i Nc = )，o p ，o S ，w S ，L ，共24Nc +个，可以封闭求解。

g S 可由（11）求得， w p 和g p 可分别由（9）和（10）求得，i z 可由（3）求得，V 可由（4）求得。

第二章油气渗流的数学模型

第二章油气渗流的数学模型
油气层渗流力学
第二章 油气渗流的数学模型
主要内容
§2.1 概述 §2.2 渗流基本微分方程的建立 §2.3 典型数学模型 §2.4 定解条件
§2.1 概
一、建立数学模型的基础
述
油气渗流数学模型的研究方法是把一定地质条件下油气渗 流的力学问题转换为数学问题，然后求解， 流的力学问题转换为数学问题，然后求解，再联系油气田开发 的实际条件应用到生产当中去。 的实际条件应用到生产当中去。 渗流形态和类型不同，所遵循的力学规律有差异， 渗流形态和类型不同，所遵循的力学规律有差异，伴随渗 流过程出现的物理化学现象也不同， 流过程出现的物理化学现象也不同，故有很多类型的渗流数学 模型。 模型。
§2.1 概
三、建立数学模型的步骤
述
3、确定未知数（因变量）和其他物理量之间的关系 确定未知数（因变量） 确定选用的运动方程 确定所需的状态方程 确定连续性方程 确定伴随渗流过程发生的其他物理化学作用的函 数关系
§2.1 概
三、建立数学模型的步骤
述
4、推导数学模型所需的综合微分方程 用连续性方程作为综合方程，把其他方程代入连续 性方程中，得到描述渗流过程全部物理现象的统一微分 方程或微分方程组。
§2.1 概
述
二、油气渗流数学模型的一般结构
油气渗流基本微分方程体现了在渗流过程中需要研究的流 体力学、物理学和化学问题的总和， 体力学、物理学和化学问题的总和，并且还要描述这些现象的 内在联系。因此，建立基本渗流微分方程要考虑包括以下几方 内在联系。因此， 面的因素： 面的因素： 渗流过程是流体运动的过程，必然受运动方程支配； 渗流过程是流体运动的过程，必然受运动方程支配； 渗流过程又是流体和岩石的状态不断改变的过程， 渗流过程又是流体和岩石的状态不断改变的过程，所以 需要建立流体和岩石的状态方程； 需要建立流体和岩石的状态方程；

油气层渗流力学第二版第二章(张建国版中国石油大学出版社).

油气层渗流力学第二版第二章(张建国版中国石油大学出版社).

运动方程 v K p
连续性方程
(v) 0
( K p) 0
K/μ是常数
( K p) 0
x
p x
y
p y
z
p z
0
2 p 2 p 2 p 0 x 2 y 2 z 2
单相不可压缩液体在均质地层中稳定渗流的数学模型
2 p 2 p 2 p 0
x 2 y 2 z 2
描述运动要素（速度、密度、饱和度、浓度）随时间和坐 标的变化关系，在稳定渗流时则是描述这些要素和坐标之间的 变化。
常见连续性方程 单相流体连续性方程 两相流体连续性方程 带传质扩散过程的连续性方程
连续性方程建立方法 微分法建立连续性方程 积分法建立连续性方程
➢ 微分法建立连续性方程 渗流环境 渗流系统
➢ 积分法建立连续性方程
dt
( )
t
dV
dt
s
vndS
根据奥高定律
s vndS (v)dv
Ώ的任意性假定被积函数在Ώ连续，单相渗流的连续性方程为
( ) (v)
t
( ) (v) 0
t
第五节 典型油气渗流微分 方程的推导
一、单相不可压缩性液体稳定渗流微分方程
假设单相液体在均质介质中的渗流为满足线性渗流规律 的等温稳定渗流过程，不考虑多孔介质及流体的压缩性。
利用渗流物理基础实验认识力学现象和规律，是建 立数学模型的关键。
➢ 科学的数学方法
无穷小微元体上：分析力学现象，物理量之间内在联 系，建立微分方程（数学模型）。数学模型建立后，用数 学理论论证是否有解？连续？唯一？
二、渗流数学模型的结构
渗流数学模型要综合反映渗流过程中，各种现象（力 学、物理学、化学及相互作用）的内在联系，其内容包括：

油气渗流的数学模型

油气渗流的数学模型

第二章油气渗流的数学模型内容概要：油气渗流力学是以实验为基础、以数学为手段解决油气在地下流动问题的学科，因此，应用渗流力学理论解决实际问题首先应在实验的基础上建立数学模型，然后求解，最后对解赋予一定的物理意义，从而得到实际问题的解。

本章将介绍渗流问题数学模型的建立过程，包括数学模型的基础、组成、建立的步骤；以达西定律、质量守恒原理为基础，推导油气渗流的运动方程、状态方程、连续性方程，给出几种典型渗流问题的综合微分方程，并介绍油气渗流的初边值条件。

第三节质量守恒方程内容概要：渗流过程必须遵循质量守恒定律(又称连续性原理），即：在地层中任取一微小单元体,在单元体内若没有源和汇存在,那么包含在单元体封闭表面之内的液体质量变化应等于同一时间间隔内液体流入质量与流出质量之差。

本节应重点掌握质量守恒原理和单相渗流连续性方程的推导，了解两相渗流的连续性方程。

课程讲解：讲解ppt教材自学：质量守恒方程本节导学渗流过程必须遵循质量守恒定律(又称连续性原理），即：在地层中任取一微小单元体,在单元体内若没有源和汇存在,那么包含在单元体封闭表面之内的液体质量变化应等于同一时间间隔内液体流入质量与流出质量之差。

用质量守恒原理建立起来的方程叫连续性方程，在稳定渗流时,单元体内质量应为常数。

本节将介绍单相、两相渗流的连续性方程。

本节重点1、质量守恒定律★★★★★2、单相渗流连续性方程的推导★★★★★3、两相渗流的连续性方程★★★一、单相渗流的连续性方程在地层中取微小六面体单元，单元体中M 点质量速度在各坐标上分量为v x ρ、v y ρ、v zρ单元立方体图1.流入流出质量差d t 时间经a'b'面流入的质量应为：d t 时间经a"b"面流出的质量为：六面体在d t 时间x 方向流入流出的质量差为：同理，可求得沿y 方向、z 方向流入流出的质量差分别为：dt 时间内六面体内流入与流出的总的质量差为：2.单元体内质量变化经过六面体流入与流出的质量之所以会不一样，是因为在六面体内岩石和液体弹性能量的作用下，释放或储存一部分质量的结果(岩石的弹性表现为孔隙度的变化，液体的弹性表现为液体密度的变化)六面体内的孔隙体积： ()2x x v dx v x ρρ∂-∂()2y y v dyv y ρρ∂-∂()2z z v dzv z ρρ∂-∂()2x x v dx v dydzdt x ρρ∂⎡⎤-⎢⎥∂⎣⎦()2x x v dx v dydzdt x ρρ∂⎡⎤+⎢⎥∂⎣⎦()x v dxdydzdt xρ∂-∂dxdydzdt y v y ∂∂-)(ρdxdydzdt z v z ∂∂-)(ρ()()()y x z v v v dxdydzdt xy z ρρρ∂⎡⎤∂∂-++⎢⎥∂∂∂⎣⎦dxdydz φ流体质量： 单位时间内流体质量变化率：d t 时间流体质量总的变化为：显然d t 时间内六面体总的质量变化应等于六面体在d t 时间内流入与流出的质量差，即： 或 上式可写成上式即为单相均质可压缩流体在弹性孔隙介质中的质量守恒方程（连续性方程）。

第2章 油气渗流的数学模型

第2章 油气渗流的数学模型

散度为一标量，直角坐标系中： 散度为一标量，直角坐标系中：
v v ∂vx ∂v y ∂vz divv = ∇ • v = + + ∂x ∂y ∂z
v divv = 0 v divv ≠ 0
表明该点无源 表明该点有源
第一节 建立数学模型的原则
建立数学模型的基础 油气渗流数学模型的一般结构 建立数学模型的步骤
地质模型
剩余油饱和度
压力分布
温度分布
2.研究各物理量的条件和情况 2.研究各物理量的条件和情况
过程状况：是等温过程还是非等温过程； 过程状况：是等温过程还是非等温过程； 系统状况：是单组分系统还是多组分系统， 系统状况：是单组分系统还是多组分系统，甚至是凝析系 统； 相态状况：是单相还是多相甚至是混相； 相态状况：是单相还是多相甚至是混相； 流态状况：是服从线性渗流规律还是服从非线性渗流规律， 流态状况：是服从线性渗流规律还是服从非线性渗流规律， 是否物理化学渗流或非牛顿液体渗流。 是否物理化学渗流或非牛顿液体渗流。
梯度为一向量，其方向垂直于P(x,y,z)的等值面，并指向P 的等值面， 梯度为一向量，其方向垂直于P(x,y,z)的等值面 并指向P 增加的方向 符号▽称哈米尔顿(Hamilton)算子 符号▽称哈米尔顿(Hamilton)算子,在直角坐标系中 算子,
∂ v ∂ v ∂ v ∇= i + j+ k ∂x ∂y ∂x
第2章 油气渗流的数学模型
建立数学模型的原则 运动方程 状态方程 质量守恒方程 典型油气渗流数学模型建立 数学模型的初边值条件
第2章 油气渗流的数学模型
用数学语言综合表达油气渗流过程中全部力学现 象和物理化学现象的内在联系和运动规律的方程 或方程组），称为“油气渗流的数学模型” ），称为 式（或方程组），称为“油气渗流的数学模型”。 一个完整的数学模型包括两部分： 一个完整的数学模型包括两部分：渗流综合微分 方程的建立以及边界条件和初始条件的提出。 方程的建立以及边界条件和初始条件的提出。

油气层渗流力学第二版第三章(张建国版中国石油大学出版社)

油气层渗流力学第二版第三章(张建国版中国石油大学出版社)
2 p 1 dp y 2 dp y 2 d 2 p 3 2 2 2 y r dr r dr r dr
代入
r x2 y2
2 p 2 p 2 0 2 x y
平面径向渗流微分方程 （极坐标）
或
d 2 p 1 dp 0 2 dr r dr
1 d dp (r ) 0 r dr dr
第三章
单相液体稳定渗流理论
单相渗流：地层中只有一种流体在流动 多相渗流：两种或两种以上的流体同时流动 均质液体：液体中任意点的密度、粘度等物理参数都是常数，不随坐标变化。 非均质液体： 稳定渗流：渗流过程中，各运动要素（压力、流速）不随时间变化。
单相液体稳定渗流存在情况
水压驱动方式
边水强大，水区与油 区联通性好，因而采出多 少原油，边水就供给油区 多少水量，地层能量的耗
求导
p pw
dp pe pw 1 re dr r ln rw
平面径向渗流压力梯度公式
dp dr
rw
压力梯度与距离r成双曲反比关系 随着距离r的减少，能量损耗速度
愈来愈快，在井壁处能量损耗最快
r
达西定律
K dp dx
dp pe pw 1 re dr r ln rw
rw
re p pe pw ln re 2rdr rw e re r ln rw p

re
rw
2rdr

re
rw
2 2rdr (re2 rw )
rw相对于re很小，
平面径向渗 流时的平均 地层压力
积分
可忽略
pe pw p pe re 2ln rw
10 0.6 100 0.4 1000 0.2 10000 0

渗流力学 第二章 数学模型

5.根据量纲分析原则检查所建立的数学模型量纲是否一致 6.确定数学模型的适定性:解的存在、唯一、稳定性问题 7.给出问题的边界条件和初始条件
第二节 运动方程
渗流服从线性规律时，渗流速度为: v K P
L
其微分形式为： v K dP
dL
将上式从均质地层的稳定渗流 推广到非均质地层的不稳定渗流
性压缩系数C、导压系数æ等)和流体的物理参数（如 粘度μ、密度ρ、体积系数B等)
第一节 建立数学模型的原则
2.研究各物理量的条件和状况
过程状况：是等温过程还是非等温过程； 系统状况：是单组分系统还是多组分系统，甚至是凝
析系统； 相态状况：是单相还是多相甚至是混相； 流态状况：是服从线性渗流规律还是服从非线性渗流
液体的状态方程 气体的状态方程 岩石的状态方程
第三节 状态方程
一、液体的状态方程
液体具有压缩性，随着压力降低，体 积膨胀，其特性可用压缩系数来描述：
CL
1 VL
dVL dP
(1)
根据质量守恒原理，在压缩或膨胀时
液体质量M不变,即
M VL (2)
微分上式得：
dVL
M
2
d
(3)
将VL、dVL代入(1)式得：
v K gradP
或写成：
K P
vx
x
vy
K
P y
vz
K
P z
第三节 状态方程
渗流是一个运动过程，而且也是一个状态不断变化的过程， 由于和渗流有关的物质（岩石、液体、气体）都有弹性。因 此，随着状态变化，物质的力学性质会发生变化。所以，描 述由于弹性而引起力学性质随状态而变化的方程式称为“状 态方程”。
发生变化，故孔隙度是随压力而变化的状态函数； ②由于

油气层渗流力学

是否物理化学渗流或非牛顿液体渗流
三、建立数学模型的步骤
3、确定未知量和其它物理量之间的关系
运动方程：速度和压力梯度的关系
dp
vi

f ( A, B, ) dx
状态方程：物理参数和压力关系 Ai fi ( p), Bi fi ( p)
连续性方程：渗流速度V和坐标及时间 或饱和度与坐标和时间的关系
[ vx

(vx )
x
dx ]dydzdt 2
dt 时间内，从右侧面流出微元体的质量流量为：
[ vx

(vx )
x
dx ]dydzdt 2
则微元体在dt 时间内，沿 x 方向流入流出的质量流量差为：
同理：
y方向
z 方向
(vx ) dxdydzdt
x
(vy ) dxdydzdt
流体力学、物理学和化学问题的总和，并且还要描述这些现象 的内在联系。因此，建立基本渗流微分方程要考虑包括以下几 方面的因素：
﹡ 渗流过程是流体运动的过程，必然受运动方程支配； ﹡ 渗流过程又是流体和岩石的状态不断改变的过程，所 以需要建立流体和岩石的状态方程； ﹡ 质量守恒定律是自然界的一般规律，因此基本渗流微 分方程的建立必须以表示物质守恒的连续性方程为基础；
单相微可压缩流体在微可压缩地层中按达西定律渗流的 渗流基本微分方程。
式中 2 为拉普拉斯算子（算符）。
2 2 2 2
x2 y2 z 2
为哈密尔顿算子（算符）。




i



j


k
x y z
v () (v) 0 t v K P

第二章 油藏流体的渗流规律


定渗流称为非定常渗流。
一、单向渗流
模型如图2－12，是一个水平、均质、等 厚的带状地层模型，长度为L、宽度为B、厚 度为h，除两端敞露外，其余几个面均为不渗 透边界。敞露的一端是供给边缘（压力为 Pe），另一端相当于排液坑道（压力为 Pw）。 渗流条件为：服从达西定律、稳定渗流、 流体不可压缩。
下面用积分方法来确定单向渗流时流量公式、压力分布规律。
程中，由于泥浆浸泡或在生产过程中为了增产，采用压裂、酸
化等措施，使井底附近油层性质发生变化。这些井底结构和井 底附近地区油层性质发生变化的井称为水动力学不完善井。实 际油井绝大多数都是不完善井。
不完善井的井底结构类型很多，但可归纳为以下三种类型： （l）打开程度不完善 油井没有钻开油层的全部厚度，但是裸眼完成的。这种井底结构多 见于有底水而岩石坚硬的地层中。 （2）打开性质不完善 油层全部被钻穿，但油井是射孔或贯眼完成的，这种井是我国油田 上最常见的。 （3）双重不完善 油井既没有钻穿油层的全部厚度，而且又是射孔或贯眼完成的。
力系数s来表示： rwr＝rwe－s 当s值是正值，即渗流阻力增加时， rwr ＜ rw ；反之，当s值是负值时， 渗流阻力减小， rwr > rw .
第二章
油藏流体的渗流规律
第一节 油藏流体渗流的基本规律 第二节 单相不可压缩液体的稳定渗流
第三节 油气渗流的数学模型
第四节 井间干扰和边界影响 第五节 微可压缩液体的平面径向不稳定渗流 第六节 油水两相渗流理论
流体在具有不同孔隙结构的多孔介质中的流动特性是不同的，本章
只讨论流体在单重孔隙介质中的渗流规律。
第二章
油藏流体的渗流规律
第一节 油藏流体渗流的基本规律 第二节 单相不可压缩液体的稳定渗流

油藏数值模拟的基本数学模型


Re
v k 1750u 3/2
v
k
(P
g )
u
Reynolds数，反映了流体惯性力与粘性力的比值。考虑 多孔介质的特点， 临界Reynolds数范围0.2-0.3。当Re< 0.2-0.3，渗流符合达西定律。
Log(f )阻力系数
Bakhmeteff & Feodorff Burke & Plummer Mavis & Wisley Rose Sunders & Ford
dx 2
M
dz
dx
dyx x 2
dxx
x
沿x方向流入与流出的流体质量差：
x
dx 2
v
x
vx x
dx dydzdt 2
x
dx 2
v
x
vx x
dx dydzdt 2
v
t
x
dydzdt
v
x
x
v y y
vz
z
dxdydzdt
控制体内流体存储量变化量：
dxdydzdt
模型的选择一般能用二维模型解决问题不用三维模型，能用二相模型解决问 题不用三相模型，模型要尽量简化，但要表征油藏特征。
x
一维平面模型
1、简单的物质平衡计算 2、模拟试验室的实验 3、模拟油藏剖面 4、水域特点 5、专项研究，如线状水驱特点
z
一维垂直模型
1、垂向平衡 2、模拟重力驱油系统 3、模拟垂向水流效率 4、礁块构造 5、单井开采
t
源汇项：
qdxdydzdt
注入：q——”+” 采出：q——”_”
x、y、z三个方向连续性方程直角坐标形式 ：
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div[( ogs gs )vo ]dxdydzdt
由于气体分离出来，在单元体内油被气相替代，因此，油相饱 和度也将发生变化，在单元体孔隙内油相质量随时间变化为：
( ogs gs ) So dxdydzdt t
根据质量守恒定律，上面两式应该相等，得到油、气两 相渗流时，油相的连续性方程：
或
( v x ) ( v y ) ( v z ) y z x
散度，M点单位体积 单位时间向包围曲面 ( ) 外流出的流体体积
t
上式可写成： ( ) div ( v ) 0 t 上式即为单相均质可压缩流体在弹性孔隙介质中的质量守 恒方程（连续性方程）
单相渗流的连续性方程 两相渗流的连续性方程
一、单相渗流的连续性方程
在地层中取微小六面体单元，单元体中M点质量速度在各 坐标上分量为ρvx、ρvy、和ρvz。
vx
vy
( vx ) dx x 2 ( vy ) dy
y 2
vz
( vz ) dz z 2
vox voy voz So y z t x
可以写为
So div(vo ) 0 t
对水相来讲，同样可以得出：
S w div(vw ) 0 t
2．油、气两相渗流的连续性方程
在油、气两相渗流时，溶有气体的石油经过单元地层，由于 地下单位体积原油 在压力P下溶有气体 压力降低而分出气体，因此，油的质量发生变化，在 dt时间 中溶解气质量 的地下原油密度 内流入流出的质量差为：
第2章 油气渗流的数学模型
建立数学模型的原则
运动方程 状态方程 质量守恒方程 典型油气渗流数学模型建立 数学模型的初边值条件
第四节 质量守恒方程
渗流过程必须遵循质量守恒定律(又称连续性原理）。即： 在地层中任取一微小单元体,在单元体内若没有源和汇存在, 那么包含在单元体封闭表面之内的液体质量变化应等于同 一时间间隔内液体流入质量与流出质量之差。用质量守恒 原理建立起来的方程叫连续性方程。在稳定渗流时,单元体 内质量应为常数。
(1)
油相经过六面体之所以会发生质量变化，是因为六面体内 油被水驱替所引起的结果。若在t时刻六面单元体内油的饱 和度为So，t+dt时刻油的饱和度为
So So dt t
dt时间内饱和度变化为
S o dt t
饱和度变化引起的油相质量变化为
So o dxdydzdt t
(2)
根据质量守恒定律，(1)、(2)式应该相等
2.单元体内质量变化
经过六面体流入与流出的质量之所以会不一样，是因为在 六面体内岩石和液体弹性能量的作用下，释放或储存一部 分质量的结果(岩石的弹性表现为孔隙度的变化，液体的 弹性表现为液体密度的变化)
六面体内的孔隙体积：
流体质量：
dxdydz
( ) dxdydz t ( ) dxdydzdt t
二、两相渗流的连续性方程
1．油水两相渗流的连续性方程
假设：两相都是不可压缩的液体，且彼此不互相溶解和发 生化学作用。 取一个单元六面体dxdydz可对油水两相分别写出质量守恒 的连续性方程。 对油相来说，在dt时间内单元六面体流出流入的质量差为
( o vox ) ( o voy ) ( o voz ) dxdydzdt y z x
div ( ogs gs )vo t ( ogs gs ) So 0
对于气相应包括溶解气及已分离出的自由气，在dt时间内 这两部分气体流入流出单元体的质量差为：
自由气： 溶解气：
div( g vg )dxdydzdt
div( gs vo )dxdydzdt
如果是不可压缩流体(即ρ=常数)在刚性孔隙介质中流动 (φ=常数)，则
( ) 0 t
连续性方程为：
div( v ) 0
物理意义是：六面体流出流入质量差为零，即流入六面体的 质量与流出的质量相等。它仍然是一个质量守恒方程式。 这是不考虑弹性力作用的连续性方程，由于和时间无关，所 以又称稳定渗流的连续性方程。
[div( g vg ) div( gs vo )]dxdydzdt [ gs So (1 So ) g ]dxdydzdt t
气相通过单元地层，质量发生了变化必然使单位地层内的气 相饱和度发生变化，因而单元地层六面体内经dt时间的质量 变化为：
[( gs So g S g )] dxdydzdt [ gs So (1 So ) g ]dxdydzdt t t
根据质量守恒定律，得dFra bibliotekdydz单位时间内流体质量变化率：
dt时间流体质量总的变化为：
显然dt时间内六面体总的质量变化应等于六面体在dt时间内 流入与流出的质量差，即：
( v x ) ( v y ) ( v z ) ( ) dxdydzdt dxdydzdt y z t x
1.流入流出质量差
dt时间经a'b'面流入的质量应为：
( vx ) dx vx x 2 dydzdt
dt时间经a"b"面流出的质量为：
( vx ) dx vx x 2 dydzdt
六面体在dt时间x方向流入流出的质量差为：
( vx ) dxdydzdt x
同理，可求得沿y方向、z方向流入流出的质量差分别为：

( v y ) y
dxdydzdt
( v z ) dxdydzdt z
dt时间内六面体内流入与流出的总的质量差为：
( vx ) ( v y ) ( vz ) dxdydzdt y z x