奥数中的数图形个数

四年级奥数第⼆讲图形的计数问题含答案第⼆讲图形的计数问题⼀、知识点：⼏何图形计数问题往往没有显⽽易见的顺序，⽽且要数的对象通常是重叠交错的，要准确计数就需要⼀些智慧了．实际上，图形计数问题，通常采⽤⼀种简单原始的计数⽅法－⼀枚举法．具体⽽⾔，它是指把所要计数的对象⼀⼀列举出来，以保证枚举时⽆⼀重复、．⽆⼀遗漏，然后计算其总和．正确地解答较复杂的图形个数问题，有助于培养同学们思维的有序性和良好的学习习惯．⼆、典例剖析：例（1）数出右图中总共有多少个⾓分析：在∠AOB内有三条⾓分线OC1、OC2、OC3，∠AOB被这三条⾓分线分成4个基本⾓，那么∠AOB内总共有多少个⾓呢？⾸先有这4个基本⾓，其次是包含有2个基本⾓组成的⾓有3个（即∠AOC2、∠C1OC3、∠C2OB），然后是包含有3个基本⾓组成的⾓有2个（即∠AOC3、∠C1OB），最后是包含有4个基本⾓组成的⾓有1个（即∠AOB），所以∠AOB内总共有⾓：4＋3＋2＋1＝10（个）解：4＋3＋2＋1＝10（个）答：图中总共有10个⾓。

练⼀练：数⼀数右图中总共有多少个⾓？答案: 总共有⾓：10+9+8+…+4+3+2+1=55（个）例（2 ）数⼀数共有多少条线段？共有多少个三⾓形？分析：①要数多少条线段：先看线段AB、AD、AE、AF、AC、上各有2个分点，各分成3条基本线段，再看BC、MN、GH这3条线段上各有3个分点，各分成4条基本线段.所以图中总共有线段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）.②要数有多少个三⾓形，先看在△AGH中，在GH上有3个分点，分成基本⼩三⾓形有4个.所以在△AGH中共有三⾓形4+3+2+1=10（个）.在△AMN与△ABC中，三⾓形有同样的个数，所以在△ABC中三⾓形个数总共：（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）解：：①在△ABC中共有线段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）②在△ABC中共有三⾓形是：（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）答：在△ABC中共有线段60条，共有三⾓形30个。

四年级奥数思维训练专题-数数图形专题简析：当线段、角、三角形、长方形等图形重重叠叠地交错在一起时就构成了复杂的几何图形.要想准确地计数这类图形中所包含的某一种基本图形的个数，必须注意以下几点：1，弄清被数图形的特征和变化规律.2，要按一定的顺序数，做到不重复，不遗漏.例1：数一数下图中共有多少个三角形.分析：以AD上的线段为底边的三角形也是1+2+3=6个；以EF上的线段为底边的三角形也是1+2+3=6个.所以图中共有6×2=12个三角形.试一试1：数一数下面各图中各有多少个三角形.（）个三角形（）个三角形例2：数一数下图中有多少个长方形.·分析：数长方形与数线段的方法类似.可以这样思考，图中的长方形的个数取决于AB或CD边上的线段，AB边上的线段条数是1+2+3=6条，所以图中有6个长方形.试一试2：数一数下面各图中分别有多少个长方形.（）个长方形数数图形（二）专题简析：“数图形”时，既可以逐个计数，也可以把图形分成若干个部分，先对每部分按照各自构成的规律数出图形的个数，再把他们的个数合起来.例1：数一数下图中有多少个长方形？分析：AB边上有线段1+2+3=6条，把AB边上的每一条线段作为长，AD边上的每一条线段作为宽，每一个长配一个宽，就组成一个长方形，所以，图中共有6×3=18个长方形.即：长边线段数×宽边线段数=长方形的个数试一试1：数一数，下图中有( )个长方形.例2：数一数，下图中有多少个正方形？（每个小方格是边长为1的正方形）分析：图中边长为1个长度单位的正方形有3×3=9个，边长为2个长度单位的正方形有2×2=4个，边长为3个长度单位的正方形有1×1=1个.所以图中的正方形总数为：1+4+9=14个.经进一步分析可以发现，由相同的n×n个小方格组成的几行几列的正方形其中所含的正方形总数为：1×1＋2×2＋…＋n×n.试一试2：数一数下图中有（）个正方形.（每个小方格为边长是1的小正方形）例3：数一数右图中有多少个正方形？(其中每个小方格都是边长为1个长度单位的正方形)分析：边长是1个长度单位的正方形有6×4=24个；边长是2个长度单位的正方形有（6－1）×（4－1）=15个；边长是3个长度单位的正方形有（6－2）×（4－2）=8个；边长是4个长度单位的正方形有（6－3）×（4－3）=3个；共有：24＋15＋8＋3=50个.如果一个长方形的长被分成m等份，宽被分成n等份（长和宽的每一份都是相等的）那么正方形的总数为：mn+(m－1)(n－1)＋(m －2)(n－2)＋…＋(m－n＋1)·1试一试3：数一数下图中有( )个正方形.。

三年级奥数数三角形的个数
在三年级奥数中，数三角形的个数一般是通过数学方法进行分析和计算的，而不是直接统计。

下面是一种常见的数三角形的方法：
1. 给定一个三角形，可以用顶点或边长来表示。

假设三角形的三个顶点分别为A、B、C。

2. 遍历三年级数学教材中相关知识点，并找到关于三角形的特征、性质和分类等概念，例如等边三角形、等腰三角形、直角三角形等。

3. 根据不同分类的三角形特征，进行计算。

例如，如果要计算所有的等边三角形个数，可以遍历所有的三个顶点，以其中任意两个不同顶点作为等边三角形的两个顶点，然后找到剩下的一个顶点，从而确定一个等边三角形。

4. 统计不同分类的三角形个数，最终得到所有三角形的总个数。

需要注意的是，3年级奥数通常不会涉及过于复杂的三角形计算，而是从简单的几何图形开始，让学生对几何图形的特征有一个初步的了解和认识。

第2讲 巧数图形知识要点同学们，我们经常会遇到数图形的问题，对于较复杂的图形，经常会出现数重复或数漏掉的错误。

怎样才能不重复也不遗漏地数出图形的个数呢？这节课，我们将一起来寻找好的方法。

要正确数出图形的个数，关键是要从基本图形入手。

首先要弄清图形中包含的基本图形是什么，有多少个，然后再数出由基本图形组成的新的图形，并求出它们的和。

精典例题例1:数出下图中有多少条线段？模仿练习数一数，每种图形有多少个？有（ ）条线段 有（ ）个三角形有（ ）个角 有（ ）个长方形 有（ ）个正方形例2:数出图中共有多少个三角形？从短的线段入手，再两条两条拼接起来数，你发现规律了吗？EABCDODC B A FEDC B A模仿练习数一数，每幅图里有多少个三角形？ （1） （2）有（ ）个三角形有（ ）个三角形例3:下面的图形中有多少个三角形？（第九届中国青少年数学论坛趣味数学解题技能展示大赛试题）模仿练习数一数，图中共有几个正方形？（2010武汉明心数学资优生水平测试题）精典例题例4:数出下图中有多少个长方形？多少个正方形？还能用刚才的方法来数吗？三角形很多，可以尝试按三角形的方向和大小尝试分类数。

KG I H G FEDC B A模仿练习1.数一数，图中有多少个长方形？2.数一数图中有多少个正方形？家庭作业1.数一数每幅图里面图形的个数（能计算的写出算式）。

（1） （2）前面学习的数长方形的方法还有用吗？怎么能用上呢？DCBA D CBA有（ ）条线段 有（ ）个角2.右图中有多少个三角形？3.图中有多少个长方形？（把你的想法分享给你的爸爸妈妈听，你能教会他们吗？分享后让爸爸妈妈给你打星，最多5颗星）4.数一数，右图中有多少个正方形？5.（20XX 年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛试题）。

几何计数知识结构一、公式计算法几何计数内容很广，包括数线段的条数，角的个数，长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等图形的个数，也包括数立体图形的个数。

图形的计数一般有两种思考方法：公式计算法和分类计数法。

三年级学习的线段、长方形和正方形的计数就属于公式计算法。

（1）一条线段有两个端点，若这条线段上有n个点，那么线段总数是（n－1）＋（n＋2）＋…＋3＋2＋1（2）如果一个长方形的长边上有n个小格，宽边上有m个小格，那么长方形的总数是（1＋2＋3＋…＋n）×（1＋2＋…＋m）（3）如果把正方形各边都n等分，那么正方形的总数是n2＋（n－1）2＋（n－2）2＋…＋32＋22＋12上面计算线数的方法也可用于计算角的个数，而且，根据这些计数方法在以后还可以类推出立体图形的计算方法。

二、对应法将难以计数的数量与某种可计量的事物联系起来，只要能建立一一对应的关系，那么这两种事物在数量上是相同的．事实上插入法和插板法都是对应法的一种表现形式．重难点（1）分类数图形。

（2）对应法数图形。

例题精讲一、分类数图形【例 1】下图的两个图形（实线）是分别用10根和16根单位长的小棍围成的．如果按此规律（每一层比上面一层多摆出两个小正方形）围成的图形共用了60多根小棍，那么围成的图形有几层，共用了多少根小棍？【巩固】如图所示，用长短相同的火柴棍摆成3×1996的方格网，其中每个小方格的边都由一根火柴棍组成，那么一共需用多少根火柴棍?【例 2】图中有______个正方形．【巩固】数一数：图中共有________ 个正方形。

【例 3】 右图中三角形共有 个．【巩固】 数一数图中有_______个三角形．【例 4】 图中共有多少个三角形？CB A【巩固】 下图是由边长为1的小三角形拼成，其中边长为4的三角形有_____个。

【例 5】 如图，每个小正方形的面积都是l 平方厘米。

则在此图中最多可以画出__________个面积是4平方厘米的格点正方形(顶点都在图中交叉点上的正方形)。

小学奥林匹克数学第一集：第五讲：图形的计数一、数一数小朋友，你知道中有多少个三角形吗？我们可以这样想，图中的小三角形一共有4个，大三角形有1个，所以一共有5个三角形。

在数数时，要做到有次序，有条理，不遗漏也不重复，这样才能正确地数数。

例1：数一数下图各有几条线段？分析：我们可以照下面的方法数：解：共有线段4+3+2+1=10（条）例2：图中有多少个小正方体？分析：这个图形是由小正方体组成的。

可以采用数数的方法，按顺序数。

也可以根据图形的组成规律进行计算，如果每2个一摞，一共有4摞。

解：方法一：一个一个地数出8个正方体。

方法二：2×4=8（个）答：共有8个小正方体。

例3：将9个小正方体组成如图所示的“十”字形，再将表面涂成红色，然后将小正方体分开。

问（1）2面涂成红色的有几个？（2）4面涂成红色的有几个？（3）5面涂成红色的有几个？分析：整个图形表面涂成红色。

只有“粘在一起的”面没有涂色。

中间的一个小正方体2面涂色，四端的4个小正方体都是5面涂色，剩下的四个小正方体都是4面涂色。

解：（1）2面涂成红色的小正方体只有1个。

（2）4面涂成红色的小正方体有4个。

（3）5面涂成红色的小正方体有4个。

例4：亮亮从1写到100，他一共写了多少数字“1”？分析：在1到100这100个数中，“1”可能出现在个位、十位或百位上。

应分三种情况计数：“1”在个位上的数有：1、11、21、31、41、51、61、71、81、91共10个；“1”在十位上的数有：10、11、12、13、14、15、16、17、18、19共10个；“1”在百位上的数有：100 只有1个。

解：10+10+1=21（个）答：共写21个。

例5：27个小方块堆成一个正方体。

如果将表面涂成黄色，求：（1）3面涂成黄色的小方块有几块？（2）1面涂成黄色的小方块有几块？（3）2面涂成黄色的小方块有几块？分析：涂色的有26个小方块。

3面涂色的只有顶点上的8个小方块；1面涂色的只有六个面上中间的小方块；其余的必然是2面涂色的小方块。

数数图形
1 .数一数下图中有多少个长方形？
2 .数一数，下面各图中分别有几个长方形？
3 .数一数，下图中有多少个正方形？（每个小方格是边长为1的正方形）
4 .数一数下列各图中分别有多少个正方形？（每个小方格为边长是1的小正方形）
5 .数一数下图中有多少个正方形？（其中每个小方格都是边长为1个长度单位的正方形）
6.数一数下列各图中分别有多少个正方形。

7 .下图中有多少个长方形，其中有多少个是正方形？
8 .从广州到北京的某次快车中途要停靠8个大站，铁路局
要为这次快车准备多少种不同车的车票？这些车票中有多少种不同的票价？
9 .从上海到武汉的航运线上，有9个停靠码头，航运公司要为这段航运线准备多少种不同的船票？
10 .从上海至青岛的某次直快列车，中途要停靠6个大站，这次列车有几种不同票价？
11 .从成都到南京的快车，中途要停靠9个站，有几种不
同的票价？
12 .求下列图中线段长度的总和。

（单位：厘米）
13 .一条线段上有21个点（包括两个端点），相邻两点的距离都是4厘米，所有线段长度的总和是多少？
14 .求下图中所有线段的总和。

（单位：米）
15 .求下图中所有线段的总和。

（单位：厘米）。

姓名：巧数图形个数“数图形的个数”是趣味图形问题的一种，由于几何图形千变万化，错综复杂，要想准确地数出图形中所包含的某一个几何图形的个数，关键是要掌握有条理有次序地数图形的方法。

数图形的个数时，既不能同一图形数两次，又不能把有的图形漏掉不数，常用的计算方法有按顺序和分类数两种。

下面举例介绍两种方法的运用规律：例：数一数下面图中有多少条线段。

第一：按含基本线段的顺序去数。

上图一共有5条小线段，这每条小线段就是基本线段，有5条基本线段，包含有两条基本线段的有4条……第二：按端点进行分类去数。

以线段最左边的点为第一个端点，第二个点为第二个端点……为了方便同学们计数，向大家介绍数线段、三角形、角数量的公式：1+2+…+（n－2）+（n－1）＝2)1(nn一、试一试，看谁数得又对又快。

一共有（）个三角形。

一共有（）个角。

二、填空。

1. 算式中有乘法和加、减法，应先算（）；算式中有除法和加、减法，应先算（）；算式中有括号的，应先算（）。

2. 在计算25＋13×2时,先算( )法,再算( )法。

3. 在计算78÷16×3时，先算（）法，再算（）法。

4. 在算式50－20÷5里，如果要先算减法，那么算式应该是：（）。

里填上“＜”“＞”或“＝”。

20×5＋×（5＋3）48÷6÷÷（6×8）280－37－280－（37＋163）60－24÷60－24）÷12小故事明明和沉沉都十分喜欢数学。

一天明明问沉沉：“你最喜欢几？”“我最喜欢9。

”“那你说说从1数到100，要说几次‘9’？”“啊！……这”沉沉被难住了，“这要数一数才能知道，一分钟时间。

”同学们，请你在一分钟内说出从1到100有多少个9？。

五年级奥数第5讲数数图形知识要点在解决数图形的问题时，首先要认真分析图形的组成规律，根据图形特点选择适当的方法，既可以逐个计数，也可以把图形分成若干个部分，先对每部分按照各自构成的规律数出图形的个数，再把他们的个数合起来。

例1、数一数下图中有多少个长方形？练习：数一数，下面各图中分别有几个长方形？例2、数一数，下图中有多少个正方形？（每个小方格为边长是1个长度单位的正方形）练习2、数一数下列各图中分别有多少个正方形？（每个小方格为边长是1的小正方形）例3、数一数下图中有多少个正方形？（其中每个小方格都是边长为1个长度单位的正方形）练习：1、数一数下列各图中分别有多少个正方形。

（每个小方格为边长是1的正方形）2、下图中有多少个长方形，其中有多少个是正方形？例4、从广州到北京的某次快车中途要停靠8个大站，铁路局要为这次快车准备多少种不同的车票？这些车票中有多少种不同的票价？练习4:1、从上海到武汉的航运线上，有9个停靠码头，航运公司要为这段航运线准备多少种不同的船票？2、从上海至青岛的某次直快列车，中途停靠6个大站，这次列车有几种不同票价？3、从成都到南京的快车，中途要停靠9个站，有几种不同的票价？例5、求下图中线段长度的总和。

（单位：厘米）练习5:1、求下图中所有线段长度的总和。

（单位：米）2、求下图中所有线段长度的总和。

（单位：分米）3、一条线段上有11个点（包括两个端点），相邻两点的距离都是4厘米，所有线段长度的总和是多少厘米？自我检测得分1、下图中共有（）个直角三角形。

2、下图中共有（）个三角形。

3、下图中共有（）个正方形。

4、在下图中共有（）个三角形。

5、下图中共有（）个长方形。

6、下图中共有（）个梯形。

课后作业1、下图中共有（）个正方形2、三角形中从一个顶点到底边画一条线段可以得到3个三角形，画两条线段可以得到6个三角形，画十条线段呢？3、平面上八条线段可以将平面最多分成多少部分？4、三个同样大小的正方形，摆在适当的位置，最多可数出多少个正方形？5、平面上有16个点，每个点上都钉上钉子，形成一个4×4的钉阵，现有许多皮筋，问能套出多少个正方形？6、一个3×3的正方形钉阵，拔掉一个钉子后（如下图），连接任意三点围成一个三角形，共能围成多少个三角形？。