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第五章线性系统的频域分析法

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长安大学：自动控制原理第五章 线性系统的频域分析

长安大学：自动控制原理第五章 线性系统的频域分析
A() 1
A () 1 0 T
() 0
() 90
V() A() sin ()
长安大学信息工程学院
自动控制理论
第五章
二、研究频率特性的意义 1、频率特性是控制系统在频域中的一种数学模型，是研究自 动控制系统的另一种工程方法。 2、根据系统的频率性能间接地揭示系统的动态特性和稳态特 性，可以简单迅速地判断某些环节或参数对系统性能的影响， 指出系统改进的方向。 3、频率特性可以由实验确定，这对于难以建立动态模型的系 统来说，很有用处。 三、频率特性的求取方法 1、已知系统的系统方程，输入正弦函数求其稳态解，取输 出稳态分量和输入正弦的复数比； 2、根椐传递函数来求取； 3、通过实验测得。
设
x c (t) ae jt ae jt b1es1t b2es2t ... b1esn t
A AG( j) ( s j ) | s j s 2 2 2j
( t 0)
对于稳定的系统, -s1,s2,…,sn 其有负实部
x c (t) ae jt ae jt
a G(s)
a G (s)
CHANG’AN UNIVERSITY
A AG( j) ( s j ) | s j s 2 2 2j
长安大学信息工程学院
自动控制理论
第五章
a
AG( j) 2j
AG( j) a 2j
G( j) | G( j) | e jG( j) | G( j) | e jG( j)
幅频特性 相频特性 实频特性 虚频特性
CHANG’AN UNIVERSITY
A() | G ( j) | U 2 () V 2 () 1 V() () G( j) tg U () U() A() cos()

四、线性系统的频域分析法

四、线性系统的频域分析法

其中： A()Ac (j) 幅频特性
A
() (j) 相频特性
RC网络频率特性的物理意义：
1 A()
0.707
频带宽度
b

01 2 3 4 5
TTTT T
() 0
相角迟后
90

01 2 3 4 5
TTTT T
对稳定的线性系统，其频率特性如下：
设： (s)C R ((s s))b a 0 0 ssm n b a 1 1 s sm n 1 1 .... a .b .m n 1 1 s s a b n m
微分环节： s 惯性环节： 1/(Ts1) 一阶微分环节： Ts1
振荡环节： 1 /s (2/ n 2 2s/ n 1 )0 , 1
二阶微分环节： s2/n22 s/n 1 ,01
例如：G(s)s(0.5s K 1()ss( 21 )2s5) 由上述的5个环节组成。
A()1/ ()900
db 60 40 20 0 900
[20]
0.1
1
j
0

幅相曲线
对数频率特性曲线
L()2l0g A()
20lg () 900

10
3）微分环节： s 由 G(s)s
A() ()900
db 60 40 20 0 90 0 00
uc
ur
ur Asi nt c u c
设初值为0， 对上式拉氏变换，设A=1，得：
Uc(s)RC 1s1Ur(s) s1/1T/Ts2 2
RC网络
TRC
s1x/Tsy2sz2 (xy)s2( s (z1 /T y)/T s(2) s x 2 )2z/T

第5章-线性系统的频域分析法

第5章-线性系统的频域分析法

0.1 0.2
0.5
1
2
5
10
20
50
（） -96.3 -102.5 -116.6 -140.7 -164.7 -195.3 -219.3 -240.6 -257.5
5-4 频率域稳定判据
一、奈氏判据的数学基础 1、幅角原理
设F(s)为复变函数，F(s)
在s平面上任一点 K*(s z1)(s z2) (s zm)
G( j) j L() 20lg () 90
L(dB) 40 20
0 0.01 0.1
1
20
20dB / dec
10
-40
( ) 90
0 0.01 0.1
1
90
10
4、一阶惯性环节
G(
j)
1
Tj
1
1
e arctgT
1 T 22
L() 20 lg 1 T 22
() arg tgT
5-1 引言
频率特性是研究自动控制系统的一种工程方法，它 反映正弦信号作用下系统性能。应用频率特性可以 间接地分析系统的动态性能与稳态性能。频率特性 法的突出优点是组成系统的元件及被控对象的数学 模型若不能直接从理论上推出和计算时，可以通过 实验直接求得频率特性来分析系统的品质。其次， 应用频率特性法分析系统可以得出定性和定量的结 论，并且有明显的物理意义。在应用频率特性法分 析系统时，可以利用曲线，图表及经验公式，因此， 用频率特性法分析系统是很方便的。
1
T
() 45
L(dB) 0
20
40
60 ( )
0
1 T
精确特性
45
90
渐进特性
20dB/ dec

自动控制原理第5章频域分析法

自动控制原理第5章频域分析法
确定方法
通过分析频率响应函数的极点和零点分布，以及系统的相位和幅值 特性，利用稳定性判据判断系统在不同频率下的稳定性。
注意事项
稳定性判据的选择应根据具体系统的特性和要求而定，同时应注意 不同判据之间的适用范围和限制条件。
04
频域分析法的应用实例
04
频域分析法的应用实例
控制系统性能分析
稳定性分析
极坐标或对数坐标表示。
绘制方法
通过频率响应函数的数值计算，将 结果绘制成曲线图，以便直观地了 解系统在不同频率下的性能表现。
注意事项
绘制曲线时应选择合适的坐标轴比 例和范围，以便更好地展示系统的 性能特点。
频率特性曲线的绘制
定义
频率特性曲线是频率响应函数在 不同频率下的表现形式，通常以
极坐标或对数坐标表示。
稳定裕度。
动态性能分析
02
研究系统在不同频率下的响应，分析系统的动态性能，如超调
和调节时间等。
静态误差分析
03
分析系统在稳态下的误差，确定系统的静态误差系数，评估系
统的静态性能。
系统优化设计
参数优化
通过调整系统参数，优化 系统的频率响应，提高系 统的性能指标。
结构优化
根据系统频率响应的特点， 对系统结构进行优化，改 善系统的整体性能。
05
总结与展望
05
总结与展望
频域分析法的优缺点
02
01
03
优点
频域分析法能够直观地揭示系统的频率特性，帮助理 解系统的稳定性和性能。
通过频率响应曲线，可以方便地比较不同系统或同一 系统不同参数下的性能。
频域分析法的优缺点
02
01
03
优点
频域分析法能够直观地揭示系统的频率特性，帮助理 解系统的稳定性和性能。

线性系统的频域分析法

线性系统的频域分析法

转折频率：
n 1 T
+20dB/dec
2 2
L( ) 20 lg 1 T
20 0 -20
1 T
• 低频段：T 1时，
G ( j ) j T 1 1 2T 2 e j arctanT
0
幅相曲线：
Im
∞
ω=0
1 Re
A( ) 1 T 幅频特性：
2
2
( ) arctanT 相频特性：
伯德图：
1）对数幅频图
A( ) 1 2T 2
L(ω)/dB
L( ) 20 lg
20dB/dec
ω
( )
90 0 0.1 1 10
2）对数相频图
( ) G( j ) 90
ω
微分环节的对数坐标图
（4）惯性环节
1 传递函数： G ( s ) Ts 1
频率特性： G ( j )
1 1 j T j T 1 1 2 T 2 1 e j arctanT 1 2T 2 1 幅频特性： A( ) 1 2T 2
1 G( s ) Ts 1
解: 将s=jω代入，求得频率特性为：
1 G( j ) G( s ) s j jT 1 1 T j 2 2 2 2 1 T 1 T
1 1 2T 2
11
e j arctanT
2 2T 22 1 1 T ( ) G( j ) arctan T 相频特性： T 虚频特性： Q( ) Im[ G ( j )] 1 2T 2
R(s) C(s)
G(s)
结论： 稳定的系统，在正弦信号作用下其稳态 输出也是同频率的正弦信号，但振幅和相 位不同。

自动控制原理课件：线性系统的频域分析

自动控制原理课件：线性系统的频域分析
曲线顺时针方向移动一周时，在 平面上的映射曲线按逆时针方向
包围坐标原点 − 周。
m
F (s)
K1 ( s z j )
j 1
n

i 1
( s pi )
24
• 02
基本概念
m
1 G ( s) H ( s) F ( s)
K1 ( s z j )
j 1
在 平面上的映射曲线 F 1 G ( j ) H ( j )将按逆时针方向
围绕坐标原点旋转 = − 周。
如果在s平面上，s沿着奈奎斯特回线顺时针方向移动一周时，
在 平面上的映射曲线围绕坐标原点按逆时针方向旋转 =
周，则系统为稳定的。
26
根据
( 1, j 0)
L( ) 20 lg K 20 lg 1 12 2 20 lg 1 22 2
( ) arctg 1 arctg 2
τ2
20dB / dec 1
2

L3 ( )
L2 ( )
40dB / dec
( )
0
L( )

90
A( ) 1, ( )
L ( ) 20 lg A( ) 0
L( )
jQ( )
L( ) 0
0
( )
1
0
1
P( )
1

0


30

60
16
5.3
系统开环频率特性图
设开环系统由n个典型环节串联组成
G(s ) G 1(s )G 2(s ) G n(s )
这意味着 的映射曲线 F 围绕原点运动的情况，相当于

自动控制原理-胡寿松-第五章-线性系统的频域分析法


第四象限
第三象限
Mr
注意： （特殊点与趋势） 1. A(0) 1, (0) 0; A() 0, () 180 2. 与虚轴的交点 （转折点，是阻尼比的减函数） 2 (0 ) 3.有谐振时， 2 r , M r 为 的减函数 。当 2 0.707 时，谐振峰值 M r 1 。 2
7.延迟环节和延迟系统
1.典型环节
2.最小相位环节的频率特性
（考试、考研重点，nyquist图与bode图必须会画，概率图）
考试的标准画法
L(dB)
20
10
20 lg k
0
10
1
10
100
1000

o
( )
10
0
1
10
100
1000

10
比例环节的nyquist图与bode图
本节目录 1.典型环节 2.最小相位环节的频率特性（Nyquist图与bode图） 3.非最小相位环节的频率特性（Nyquist图与bode图） 4.系统的开环幅相曲线（Nyquist图） 5.系统的开环对数频率特性曲线（bode图）
重点掌握最小相位情况的各个知识点，非最小相位情况的考试不考，考研可能考。 6.传递函数的频域实验确定
考试的标准画法
o
注意考察几个特殊点： A(0), (0);
积分环节的nyquist图与bode 图
A(), ()
与横轴的交点。 注意横竖坐标交点处的的横坐标值（如果交点处没标横坐标值，则斜线不到头）
比较交点不标记的情况
0
0
纯微分环节的Bode图
半对数坐标系中的直线方程（重要，bode图解计算时经常用到）

自动控制原理的MATLAB仿真与实践第5章 线性系统的频域分析

MATLAB提供了许多用于线性系统频率分析 的函数命令，可用于系统频域的响应曲线、参数分析 和系统设计等。常用的频率特性函数命令格式及其功 能见表5-1。 bode (G)：绘制传递函数的伯德图。其中：G为传递
函数模型，如：tf(), zpk(), ss()。 bode(num,den)：num,den分别为传递函数的分子与
margin(G)；[Gm,Pm,Wcg,Wcp]= margin(G)： 直接求出系统G的幅值裕度和相角裕度。 其中：Gm幅值裕度；Pm相位裕度；Wcg幅值裕度 处对应的频率ωc；Wcp相位裕度处对应的频率ωg。
nichols(G);nichols(G,w)：绘制单位反馈系统开环传 递尼科尔斯曲线。
20
>>clear; num=[2, 3];den=[1, 2, 5, 7]; %G(s)的分子分母 多项式系数向量
p=roots(den) 求根结果：
%求系统的极点
p=
-0.1981 + 2.0797i
-0.1981 - 2.0797i
-1.6038 可见全为负根，则s右半平面极点数P=0。 绘制Nyquist曲线： >> nyquist(num,den) %绘制Nyquist曲线
本节分别介绍利用MATLAB进行频域绘图和频 率分析的基本方法。
6
5.2.1 Nyquist曲线和Bode图
MATLAB频率特性包括幅频特性和相频特性。 当用极坐标图描述系统的幅相频特性时，通常称为 奈奎斯特（Nyquist）曲线；用半对数坐标描述系 统的幅频特性和相频特性时，称为伯德（Bode） 图；在对数幅值-相角坐标系上绘制等闭环参数（ M和N）轨迹图，称为尼克尔斯（Nichols）图。

第五章 线性系统的频域分析法-5-2——【南航 自动控制原理】


)2
A(0) 1 (0) 0
G(jn )
A() 0 () 180
j
G(j0)
●
0
G(jn )
共振点
G( jn ) (n ) 0 G( jn ) (n ) 180
变化趋势 0 n () 0 , A() :1
n () 180 , A() : 0
零阻尼振荡环节在自然振荡频率处，相角突变180°。
A()
谐振现象是振荡系统的 特性，谐振频率 r 与系 统固有频率 n 和阻尼比
有关。当谐振频率等于
频率响应峰值
Mr 1/ (2 1 2 )
阶跃响应超调
p exp( / 1 2 )
固有频率时，则发生共振。
共振的危害巨大。
当阻尼比较小，且系统谐振频率处于输入信号的
频率范围时，系统输出会出现很大的振荡，影响系
5.2 典型环节与开环系统的频率特性
环节是系统的基本组成单元。將环节进行分类形成 典型环节。典型环节的频率特性是开环系统频率特性 的分解，而开环系统频率特性是闭环系统分析与设计 的基础。
一、典型环节的频率特性
1.典型环节的分类
环节：系统增益、零点或极点对应的因式
分类：按照增益的正负性、零点或极点的位置（实数 或复数、位于左半平面或右半平面）进行划分，共分 为最小相位、非最小相位两大类、12种典型环节。
设互为倒数的典型环节频率特性为
G1(j)=A1()e j1() G2 (j) =A2 ()e j2 ()
则由 G1(s) 1/ G2 (s) 得
A1()e j1 ( ) =A21()e j2 ( )
L1() L2 ()
互为倒数典型环节的对数相频曲线关于0°线对称， 对数幅频曲线关于0dB线对称。

线性系统的频域分析法

第五章线性系统的频域分析法5-1 什么是系统的频率响应？什么是幅频特性？什么是相频特性？什么是频率特性？答对于稳定的线性系统，当输入信号为正弦信号时，系统的稳态输出仍为同频率的正弦信号，只是幅值和相位发生了改变，如图5-1所示，称这种过程为系统的频率响应。

图5-1 问5-1图称为系统的幅频特性，它是频率的函数；称为系统的相频特性，它是频率的函数：称为系统的频率特性。

稳定系统的频率特性可通过实验的方法确定。

5-2 频率特性与传递函数的关系是什么？试证明之。

证若系统的传递函数为，则相应系统的频率特性为，即将传递函数中的s用代替。

证明如下。

假设系统传递函数为：输入时，经拉氏反变换，有：稳态后，则有：其中：将与写成指数形式：则：与输入比较得：幅频特性相频特性所以是频率特性函数。

5-3 频率特性的几何表示有几种方法？简述每种表示方法的基本含义。

答频率特性的几何表示一般有3种方法。

⑴幅相频率特性曲线（奈奎斯特曲线或极坐标图）。

它以频率为参变量，以复平面上的矢量来表示的一种方法。

由于与对称于实轴，所以一般仅画出的频率特性即可。

⑵对数频率特性曲线（伯德图）。

此方法以幅频特性和相频特性两条曲线来表示系统的频率特性。

横坐标为，但常用对数分度。

对数幅频特性的纵坐标为，单位为dB。

对数相频特性的纵坐标为，单位为“。

”（度）。

和都是线性分度。

横坐标按分度可以扩大频率的表示范围，幅频特性采用可给作图带来很大方便。

⑶对数幅相频率特性曲线（尼柯尔斯曲线）。

这种方法以为参变量，为横坐标，为纵坐标。

5-4 什么是典型环节？答将系统的开环传递函数基于根的形式进行因式分解，可划分为以下几种类型，称为典型环节。

①比例环节k(k>0) ；②积分环节；③微分环节s；④惯性环节；⑤一阶微分环节；⑥延迟环节；⑦振荡环节；⑧二阶微分环节 ；⑨不稳定环节。

典型环节频率特性曲线的绘制是系统开环频率特性绘制的基础，为了使作图简单并考虑到工程分析设计的需要，典型环节对数幅频特性曲线常用渐近线法近似求取。

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() arctgT
(o)
动画续看
90
0 0.1
1
-90
10 ω
图5.9 1+jT和1/(1+j T)的对数坐标图
• G(s)=Ts+1， 频率特性G( j) 1 jT 1 2T 2 e jarctgT
j
ω
ω=0
0
1
图5.10 一阶微分环节幅相曲线
➢振荡环节 G(s)=1/[(s/ωn)2+2ζs/ωn+1]
ω<<1/T, L(ω)≈-20lg1=0
ω>>1/T, L(ω)≈-20lgωT
() -arctgT
➢一阶微分环节 G(s)=Ts+1
(dB)
20
0 0.1
-20
1/T 1
20dB/dec
10 ω -20dB/dec
L( ) 20lg 1 2T 2 ω<<1/T, L(ω)≈20lg1=0 ω>>1/T, L(ω)≈20lgωT
个幅频特性的幅值和一个相频特性的相角与之ω对=∞应，幅值与ω=0相角在复 平面上代表一个向量。当频率ω从零变化到无穷时0，相-45应o 向量1 的矢端
就描绘出一条曲线。这条曲线就是幅相频率特性曲线，简称幅相曲线
(即极坐标图)。 动画演示
ω=1/T
幅频特性曲线：对数幅频特性曲线又称为伯德图(Bode diagram)，其横 坐标(为频率ω)采用对数分度。对数幅频曲线的纵坐标的单位是分贝， 记作dB；对数相频曲线的单位是度。
0
j ω=∞
ω=0
G( j )
1
1
2 n2
j2
n
ζ=0.2—0.8 -0.5
-1
0,G( j0) 10o
动画续看
n ,G(
jn )
1
2
90o
,G( j) 0 180o
-1.5 -0.5 0 0.5 1 1.5
图5.11 振荡环节的幅相曲线
L( ) 20lg (1 2 / n2 )2 4 2 ( / n )2
传 递 函 数 由 典 型 环 节 构成, 如 :
•积分环节：1/s •微分环节：s
G(s) K (2s 1) s(0.1s 1)
•惯性环节：1/(Ts+1)，式中T>0
K (2s 1) 1 1 s 0.1s 1
•一阶微分环节：(Ts+1)，式中T>0
•振荡环节：1/[(s/ωn)2+2ζs/ωn+1]; 式中ωn>0，0<ζ<1 •二阶微分环节：(s/ωn)2+2ζs/ωn+1; 式中ωn>0，0<ζ<1 •延迟环节：e-τs
第五章 频率响应法
5.1 频 率 特 性 5.2 典型环节和开环频率特性 5.3 奈奎斯特判据 5.4 稳 定 裕 度 5.5 闭环频率特性 本章作业
End
5.1 频率特性
动画演示
动画演示
基本概念（物理意义）
5.2 5.3 5.4 5.5
➢ A(ω) 称为幅频特性，φ(ω)称为相频特性。 二者统称为频率特性 (frequency response characteristics) 。
对数分度优点：扩大频带、化幅值乘除为加减、易作近似幅频特性 曲线图。 动画演示
5.2 典型环节和开环频率特性
5.1 5.3 5.4 5.5
5.2.1 幅相曲线和对数幅频特性、相频特性的绘制 5.2.2 5.2.3
❖ 典型环节
•比例环节：K
G(S)H(s) b0 s m b1s m1 bm1s bm a0 s n a1s n1 an1s an
(dB)
20 1/jω 20dB/dec
0
0.1 1
10 ω
-20 jω
-20dB/dec
(o)
90 0 0.1
-90
∠jω
1 ∠1/jω
10 ω
图5.6 1/jω和jω的对数坐标图
✓ 积分环节的对数幅频特性是 L(ω)=-20lgω,
✓ 而相频特性是 φ(ω)=-90o。
➢微分环节 G(s)=s 和 G(jω)= jω=ω∠π/2
稳 态 分 量 A Sin(t arctgT ) 1 2T 2
根据定义 A() 1 / 1 2T 2 , () arctgT
频率特性写成一个式子 1
e jarctgT
1
1
1 2T 2
1 jT 1 Ts s j
❖常用于描述频率特性的两种曲线
▪ 幅相曲线(magnitude and phase diagram) ：对于一个确j 定的频率，必有一
由前推导得: A(ω)= | G(jω)|，φ=arctg[Im G(jω)/Re G(jω)];
绘对数幅频曲线，用L(ω)=20lg A(ω)
➢比例环节 动画演示
✓ 比例环节的频率特性是G(jω)=K， 幅相曲线如下图。
j
(dB) 20lgK
0 (o)
1 10 ω
0
k·
图5.3 比例环节K的幅相曲线
• ω<<ωn 时 L(ω)≈0
• ω>>ωn 时 L(ω)≈-40lgω/ωn=-40(lg ω-lgωn)来自( )arctg
1
2 (
/ /
n n )2
(dB)
40 20
40dB/dec
0 0.1 1 -20
10 ω/ωn -40dB/dec
(o) 180
0 0.1 1
10 ω/ωn
-180
图5.12 振荡与二阶微分环节 的对数坐标图
j ω
0 ω=0
L(ω)=20lgω, 而相频特性是φ(ω)=90o。 图5.7 微分环节幅相曲线
➢惯性环节
j
G(s)=1/(Ts+1)
G( j) 1
1
e jarctgT
1 jT 1 2T 2
ω=∞
ω=0
0 -45o 1
ω=1/T
L() 20lg 1 2T 2
图5.8 惯性环节幅相曲线
❖数学本质 动画演示
G(s) Uo(s) 1 1
i1(t) R1
Ui (s) R1C1s 1 Ts 1
C1
设ui
ASint
,
则Ui (s)
Aω s2 ω2
1 A Uo(s) Ts 1 s2 2
u0 (t)
At 1 2T 2
et /T
A Sin(t arctgT ) 1 2T 2
20 lg Mr
谐振频率ωr与谐振峰值Mr：
当阻尼比比较小时，在ω= ωn附近将出现谐振峰值。
令 d A() 0 有：
0
1 10 ω
图5.4 比例环节的 对数频率特性曲线
✓比例环节的对数幅频特性和对数相频特性分别是： • L(ω)=20lg| G(jω)|=20lgK 和φ(ω)=0 • 相应曲线如上右图。
➢积分环节
动画续看
G(s) 1 , G( j) 1 1
s
j 2
j
0 ω
图5.5 积分环节的幅相曲线