第5章频域分析法习题解答

第5章频率特性法频域分析法是一种图解分析法，可以根据系统的开环频率特性去判断闭环系统的性能，并能较方便地分析系统参量对系统性能的影响，从而指出改善系统性能的途径，已经发展成为一种实用的工程方法，其主要内容是：1）频率特性是线性定常系统在正弦函数作用下，稳态输出与输入的复数之比对频率的函数关系。

频率特性是传递函数的一种特殊形式，也是频域中的数学模型。

频率特性既可以根据系统的工作原理，应用机理分析法建立起来，也可以由系统的其它数学模型（传递函数、微分方程等）转换得到，或用实验法来确定。

2）在工程分析和设计中，通常把频率特性画成一些曲线。

频率特性图形因其采用的坐标不同而分为幅相特性(Nyquist图)、对数频率特性(Bode图)和对数幅相特性(Nichols图)等形式。

各种形式之间是互通的，每种形式有其特定的适用场合。

开环幅相特性在分析闭环系统的稳定性时比较直观，理论分析时经常采用；波德图可用渐近线近似地绘制，计算简单，绘图容易，在分析典型环节参数变化对系统性能的影响时最方便；由开环频率特性获取闭环频率指标时，则用对数幅相特性最直接。

3）开环对数频率特性曲线(波德图)是控制系统分析和设计的主要工具。

开环对数幅频特性L(ω)低频段的斜率表征了系统的型别(v)，其高度则表征了开环传递系数的大小，因而低频段表征系统稳态性能；L(ω)中频段的斜率、宽度以及幅值穿越频率，表征着系统的动态性能；高频段则表征了系统抗高频干扰的能力。

对于最小相位系统，幅频特性和相频特性之间存在着唯一的对应关系，根据对数幅频特性，可以唯一地确定相应的相频特性和传递函数。

4）奈奎斯特稳定性判据是利用系统的开环幅相频率特性G(jω)H(jω)曲线，又称奈氏曲线，是否包围GH平面中的(－l，j0)点来判断闭环系统的稳定性。

利用奈奎斯特稳定判据，可根据系统的开环频率特性来判断闭环系统的稳定性，并可定量地反映系统的相对稳定性，即稳定裕度。

稳定裕度通常用相角裕量和幅值裕量来表示。

501第五章 线性系统的频域分析法5-1 设闭环系统稳定，闭环传递函数为)(s Φ，试根据频率特性的定义证明：系统输入信号为余弦函数)cos()(φω+=t A t r 时，系统的稳态输出为)](cos[|)(|)(ωφωωj t j A t c ss Φ∠++Φ=。

证明：根据三角定理，输入信号可表示为 )90sin()( ++=φωt A t r ，根据频率特性的定义，有 ]90)(sin[|)(|)( +Φ∠++Φ=ωφωωj t j A t c ss ， 根据三角定理，得证： )](cos[|)(|)(ωφωωj t j A t c ss Φ∠++Φ=。

5-2 若系统的单位阶跃响应t t e e t c 948.08.11)(--+-=，试确定系统的频率特性。

解：s s s s C 1361336)(2++=，361336)(2++=s s s G ，)9)(4(36)(ωωωj j j G ++=；2/122/12)81()16(36|)(|ωωω++=j G ，9arctan 4arctan )(ωωω--=∠j G 。

或：)(2.7)()(94t t e e t ct g ---== ；361336)]([)(2++==s s t g L s G ； 5-3 设系统如下图所示，试确定输入信号)452cos()30sin()(--+=t t t r作用下，系统的稳态误差)(t e ss 。

解：21)(++=Φs s s e ； )452sin()30sin()(+-+=t t t r6325.0|)(|=Φj e ， 4.186.2645)(=-=Φ∠j ；7906.0|)2(|=Φj e ， 4.18454.63)2(=-=Φ∠j ； 答案：)4.632sin(7906.0)4.48sin(6325.0)( +-+=t t t e ss 。

5-4 典型二阶系统的开环传递函数)2()(2n ns s s G ωζω+=， 当取t t r sin 2)(=时，系统的稳态输出为)45sin(2)( -=t t c ss ，试确定系统参数n ω和ζ。

线性系统的频域分析法【课后自测】5-1 频率特性有哪几种分类方法？解：幅频特性，相频特性，实频特性和虚频特性。

5-2 采用半对数坐标纸有哪些优点？解：可以简化频率特性的绘制过程，利用对数运算可以将幅值的乘除运算化为加减运算，并可以用简单的方法绘制近似的对数幅频特性曲线。

5-3 从伯德图上看，一个比例加微分的环节与一个比例加积分的环节串联，两者是否有可能相抵消。

若系统中有一个惯性环节使系统性能变差，那再添加一个怎样的环节（串联）可以完全消除这种影响，它的条件是什么？解：一个比例加微分的环节与一个比例加积分的环节串联，两者是有可能相抵消；。

若系统中有一个惯性环节使系统性能变差，那再添加一个一阶微分环节（串联）可以完全消除这种影响，两个环节的时间常数相同即可。

5-5 为什么要求在ωc 附近L (ω)的斜率为-20dB/dec ？解：目的是保证系统稳定性，若为-40 dB/dec ，则所占频率区间不能过宽，否则系统平稳性将难以满足；若该频率更负，闭环系统将难以稳定，因而通常取-20dB/dec 。

5-6 已知放大器的传递函数为()1K G s Ts =+ 并测得ω=1 rad/s、幅频A =φ=-π/4。

试问放大系数K 及时间常数T 各为多少？解：频率特性为：G (jω)=KjωT +1幅频和相频分别为：{|G （j1）|=√1+T2=12√2⁄φ(1)=−arctanT =−π4⁄ 得到：K =12，T =15-7 当频率ω1=2 rad/s 、ω2=20 rad/s 时， 试确定下列传递函数的幅值和相角： 1210(1)1(2)(0.11)G s G s s ==+解：（1）G 1(jω)=10jω=-j 10ω|G 1(jω)|=10ωφ1(ω)=−90°ω1=2 rad/s 时，|G 1(jω)|=102=5 ，φ1(ω)=−90° ω1=20 rad/s 时，|G 1(jω)|=1020=0.5 ，φ1(ω)=−90° （2）G 2(jω)=1jω(0.1jω+1)=1jω-0.1ω2|G 2(jω)|=ω√1+0.01ω2φ2(ω)=arctan 10ωω1=2 rad/s 时，|G 2(jω)|=12√1+0.01×22=0.49φ2(ω)=arctan 102=78.7°ω1=20 rad/s 时，|G 2(jω)|=120√1+0.01×202=0.02φ2(ω)=arctan 1020=26.6°5-8 设单位反馈系统的传递函数为10()1G s s =+ 当把下列信号作用在系统输入端时，求系统的稳态输出。

第五章 线性系统的频域分析法单元测试题（A ）一、填空题：1、用频域法分析控制系统时，最常用的典型输入信号是_ __。

2、控制系统中的频率特性反映了 信号作用下系统响应的性能。

3、已知传递函数ss G 10)(=，其对应的幅频特性A(ω)=_ _，相频特性φ(ω)=___ ___。

4、常用的频率特性图示方法有极坐标图示法和_ _图示法。

5、对数频率特性曲线由对数 曲线和对数 曲线组成，是工程中广泛使用的一组曲线。

6、0型系统Bode 图幅频特性的低频段是一条斜率为 的直线。

7、I 型系统Bode 图幅频特性的低频段是一条斜率为 的直线。

8、Ⅱ型系统Bode 图幅频特性的低频段是一条斜率为 的直线。

9、除了比例环节外，非最小相位环节和与之相对应的最小相位环节的区别在于 。

10、传递函数互为倒数的典型环节，对数幅频曲线关于 0dB 线对称，对数相频曲线关于 线对称。

11、惯性环节的对数幅频渐进特性曲线在交接频率处误差最大，约为 。

12、开环幅相曲线的起点，取决于 和系统积分或微分环节的个数。

13、开环幅相曲线的终点，取决于开环传递函数分子、分母多项式中 和 的阶次和。

14、当系统的多个环节具有相同交接频率时，该交接频率点处斜率的变化应为各个环节对应的斜率变化值的 。

15、复变函数F(s)的零点为闭环传递函数的 ，F(s)的极点为开环传递函数的 。

16、系统开环频率特性上幅值为1时所对应的角频率称为 。

17、系统开环频率特性上相位等于-1800时所对应的角频率称为 。

18、延时环节的奈氏曲线为一个 。

19、ω从0变化到＋∞时，惯性环节的频率特性极坐标图在__ _象限，形状为___ ___。

20、比例环节的对数幅频特性L(ω)＝ dB二、单项选择题 （在下列每小题的四个备选答案中选出一个正确的答案，并将其字母标号填入题干的括号内。

）1、用频域法分析控制系统时，最常用的典型输入信号是( )。

A.脉冲函数B.斜坡函数C.阶跃函数D.正弦函数2、比例环节的频率特性相位移θ(ω)=( )。

第五章 线性系统的频域分析与校正练习题及答案—-25—12 已知)(1s G 、)(2s G 和)(3s G 均为最小相角传递函数,其近似对数幅频特性曲线如图5—79所示。

试概略绘制传递函数 G s G s G s G s G s 412231()()()()()=+的对数幅频、对数相频和幅相特性曲线.解:（1) L K 11204511()lg .ω== ∴=K 1180则： G s K 11()=(2） G s K s s 22081()(.)=+20201022lg /lg K K ω== ， K 21= （3)L K K 333202001110()lg lg .ωω===s s K s G K 9)(,9111.01333====∴（4） G s G G G G 412231()=+ 将G G G 123,,代入得:G s s s 41801251()(.)=+对数频率特性曲线如图解5—12（a ）所示，幅相特性曲线如图解5—12（b)所示:图解5—12 (a） Bode图 (b） Nyquist图5-13试根据奈氏判据，判断题5—80图(1）～（10）所示曲线对应闭环系统的稳定性。

已知曲线（1）~(10）对应的开环传递函数如下（按自左至右顺序）。

题号开环传递函数P N NPZ2-=闭环稳定性备注1 G sKT s T s T s()()()()=+++1231110 -1 2 不稳定2 G sKs T s T s()()()=++12110 0 0 稳定3 G sKs Ts()()=+210 —1 2 不稳定4 G s K T s s T s T T ()()()()=++>12212110 0 0 稳定 5 G s K s ()=30 -1 2 不稳定 6 G s K T s T s s ()()()=++123110 0 0 稳定 7 G s K T s T s s T s T s T s T s ()()()()()()()=++++++5612341111110 0 0 稳定 8 G s KT s K ()()=->1111 1/2 0 稳定 9 G s KT s K ()()=-<1111 0 1 不稳定 10G s Ks Ts ()()=-11—1/22不稳定5-14 已知系统开环传递函数，试根据奈氏判据,确定其闭环稳定的条件：)1)(1()(++=s Ts s Ks G ； )0,(>T K（1）2=T 时，K 值的范围； (2）10=K 时，T 值的范围； (3）T K ,值的范围.解 [])()()1)(1()1()1()1)(1()(2222ωωωωωωωωωωωY X T T j T K jT j j K j G +=++-++-=++=令 0)(=ωY ,解出T1=ω,代入)(ωX 表达式并令其绝对值小于111)1(<+=T KTT X得出： T T K +<<10 或 110-<<K T（1)2=T 时,230<<K ;（2）10=K 时，910<<T ；（3）T K ,值的范围如图解5—14中阴影部分所示。

第5章频域分析法5.1 学习要点1 频率特性的概念，常用数学描述与图形表示方法；2 典型环节的幅相频率特性与对数频率特性表示及特点；3 系统开环幅相频率特性与对数频率特性的图示要点；4 应用乃奎斯特判据判断控制系统的稳定性方法；5 对数频率特性三频段与系统性能的关系；6 计算频域参数与性能指标；5.2 思考与习题祥解题5.1 判断下列概念的正确性ω的正弦信号加入线性系统，这个系统的稳态输出也将是同一(1) 将频率为频率的。

M仅与阻尼比ξ有关。

(2) 对于典型二阶系统，谐振峰值p(3) 在开环传递函数中增加零点总是增加闭环系统的带宽。

(4) 在开环传递函数中增加极点通常将减少闭环系统的带宽并同时降低稳定性。

(5) 对于最小相位系统，如果相位裕量是负值，闭环系统总是不稳定的。

(6) 对于最小相位系统，如果幅值裕量大于1，闭环系统总是稳定的。

(7) 对于最小相位系统，如果幅值裕量是负分贝值，闭环系统总是不稳定的。

(8) 对于非最小相位系统，如果幅值裕量大于1，闭环系统总是稳定的。

(9) 对于非最小相位系统，须幅值裕量大于1且相位裕量大于0，闭环系统才是稳定的。

(10) 相位穿越频率是在这一频率处的相位为0。

(11) 幅值穿越频率是在这一频率处的幅值为0dB。

(12) 幅值裕量在相位穿越频率处测量。

(13) 相位裕量在幅值穿越频率处测量。

(14) 某系统稳定的开环放大系数25K<，这是一个条件稳定系统。

(15) 对于（-2/ -1/ -2)特性的对称最佳系统，具有最大相位裕量。

(16) 对于（-2/ -1/ -3)特性的系统，存在一个对应最大相位裕量的开环放大系数值。

(17) 开环中具有纯时滞的闭环系统通常比没有时滞的系统稳定性低些。

(18) 开环对数幅频特性过0分贝线的渐近线斜率通常表明了闭环系统的相对稳定性。

M和频带宽BW的(19) Nichols图可以用于找到一个闭环系统的谐振峰值p信息。

(20) Bode 图能够用于最小相位以及非最小相位系统的稳定性分析。

1 已知最小相位系统的开环渐近对数幅频特性如图所示， （1） 试求该系统的开环传递函数；（2） 试绘制其相应的对数相频特性曲线；)L解：（1） 由于对数幅频特性的低频段传递函数为()vs Ks G =1，对数幅频特性为一直线，其斜率为－20v dB/dec ，可知该开环系统有一个微分环节，故低频段传递函数为()Ks s G =1，低频段曲线过点（0.01，－10），由对数幅值的定义有：()()()7.311000,1001.0lg 2001.0,lg 20lg 20111==-====K K j L j K j G L ωωω对数幅频特性有二个转折频率，斜率都变化了－20v dB/dec ，故开环系统还有二个惯性环节，即开环系统的传递函数为：()()()1121++=s T s T Kss G其中：101.011,110001.011,122221111========ωωωωT T T T所以开环系统的传递函数为：()()()11011007.31++=s s ss G（2）相应的对数相频特性曲线()∞→==→⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=ωωωωωωπωϕ1.001.00903.393.399010arctan 100arctan 200其相应的对数相频特性曲线如下图所示：)2 设某最小相位系统的开环渐近对数幅频特性如图所示，试求系统的开环传递函数。

解：低频段曲线的斜率为-40dB/dec ，则开环系统应该有二个积分环节，所以低频段曲线的传递函数为：()21s ks G =，在频率ω=0.5处曲线发生了一次转折，斜率变化为+20dB/dec ，所以在该处引入了一一阶微分环节，在频率ω=2处曲线发生了一次转折，斜率变化为-20dB/dec ，所以在该处引入了一惯性环节，所以开环系统的传递函数的形式为：()()()11221++=s T s s T k s G ，其中501212211.,====ωT ωT 又()01='L ，在频率ω=1处惯性环节的对数幅值为零，所以此时对应的传递函数为：()()212s s k s G +='，()()()212ωj ωj k ωj G +='，()()()()5505201122012012===+==k k j j k j G L ,lg lglg '' 所以开环系统的传递函数为()()()15051252++=s s s s G .。

第五章 频域分析法5-1 设单位反馈控制系统开环传递函数14)(+=s s G ，当将)45cos(2)602sin()(︒--︒+=t t t r 作用于闭环系统时，求其稳态输出。

[解] 44)(+=s s G ∴ 12.08.054)(1)()(+=+=+=s S s G s G s φ 令 ωj s =则)()(12.08.0)(ωϕωωωφj e A j j =+=104.08.0)(2+=ωωA )2.0()(1ωωϕ--=tg当)()()45cos(2)602sin()(21t r t r t t t r +=︒--︒+=作用于系统时，由叠加原理可得系统的稳态输出21ss ss ss C C C +=。

当)602sin()(1︒+=t t r 时，1=Ar 2=ω ︒=60r ϕ 则 74.0077.18.0116.08.01)2.0(8.0)(222==+=+⨯===ωωωωA ︒-=-=⨯-=--=8.214.022.0112)(tg tg ωωϕ∴12sin()()sin(26021.8)0.743sin(238.2)ss c r C A t Ar A t t ωωϕϕω==++=⋅+-=+︒当 )45cos(2)(2︒-=t t r 时，2=r A 1=ω ︒-=45r ϕ 784.002.18.004.18.01)2.0(8.0)(121===+===ωωωωA ︒-=-=-=3.112.0)(11tg ωωϕ)]7.33sin(57.1[)3.56cos(57.1)3.1145cos(784.02))(45cos()()45cos(2112︒+=︒-=︒-︒-⨯+︒-⋅=+︒-===t C t t t A A t A C ss r c ss 或ωωωϕωϕ∴ )3.56cos(57.1)2.382sin(743.021︒--︒+=+=t t C C C ss ss ss5-2 试求(1) 410)(+=s s G (2) 4()(21)G s s s =+ (3) 1)1()(++=Ts s K s G τ(K >1, τ>T )的实频特性)(ωX 、虚频特性)(ωY 、幅频特性)(ωA 、相频特性)(ωϕ。