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第五章_线性系统的频域分析法1剖析

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长安大学：自动控制原理第五章 线性系统的频域分析

长安大学：自动控制原理第五章 线性系统的频域分析
A() 1
A () 1 0 T
() 0
() 90
V() A() sin ()
长安大学信息工程学院
自动控制理论
第五章
二、研究频率特性的意义 1、频率特性是控制系统在频域中的一种数学模型，是研究自 动控制系统的另一种工程方法。 2、根据系统的频率性能间接地揭示系统的动态特性和稳态特 性，可以简单迅速地判断某些环节或参数对系统性能的影响， 指出系统改进的方向。 3、频率特性可以由实验确定，这对于难以建立动态模型的系 统来说，很有用处。 三、频率特性的求取方法 1、已知系统的系统方程，输入正弦函数求其稳态解，取输 出稳态分量和输入正弦的复数比； 2、根椐传递函数来求取； 3、通过实验测得。
设
x c (t) ae jt ae jt b1es1t b2es2t ... b1esn t
A AG( j) ( s j ) | s j s 2 2 2j
( t 0)
对于稳定的系统, -s1,s2,…,sn 其有负实部
x c (t) ae jt ae jt
a G(s)
a G (s)
CHANG’AN UNIVERSITY
A AG( j) ( s j ) | s j s 2 2 2j
长安大学信息工程学院
自动控制理论
第五章
a
AG( j) 2j
AG( j) a 2j
G( j) | G( j) | e jG( j) | G( j) | e jG( j)
幅频特性 相频特性 实频特性 虚频特性
CHANG’AN UNIVERSITY
A() | G ( j) | U 2 () V 2 () 1 V() () G( j) tg U () U() A() cos()

线性系统的频域分析

线性系统的频域分析

第五章 线性系统的频域分析频域分析法是应用频率特性研究线性系统的一种经典方法。

它以控制系统的频率特性作为数学模型，以伯德图或其他图表作为分析工具，来研究、分析控制系统的动态性能与稳态性能。

频域分析法由于使用方便，对问题的分析明确，便于掌握，因此和时域分析法一样，在自动控制系统的分析与综合中，获得了广泛的应用。

本章研究频率特性的基本概念、典型环节和控制系统的频率特性曲线、奈奎斯特稳定判据以及开环频域性能分析等内容。

§5-1 频率特性的基本概念一、频率特性的基本概念频率特性又称频率响应，它是系统（或元件）对不同频率正弦输入信号的响应特性，对于线性系统，若其输入信号为正弦量，则其稳态输出信号也将是同频率的正弦量，但其幅值和相位都不同与输入量。

下面以RC 电路为例，说明频率特性的基本概念。

图5-1所示的RC 电路，)(t u i 和)(0t u 分别为电路的输入电压和输出电压，电路的微分方程为：)()()(00t u t u dtt du Ti =+ 式中T=RC 为电路的时间常数。

RC 电路的传递函数为11)()(0+=Ts s U s U i （5-1） Rui )t图 5-1 RC 电路当输入电压为正弦函数t U t u i i ωsin )(=，则由式（5-1）可得22011)(11)(ωω+⋅+=+=s U Ts s U Ts s U i i 经拉氏反变换得电容两端的输出电压)sin(11)(122/220T tg t T U e T T U t u iT t i ωωωωω---+++=式中，第一项为输出电压的暂态分量，第二项为稳态分量，当∞→t 时，第一项趋于零，于是)sin(1|)(1220T tg t T U t u i t ωωω-∞→-+=)](sin[)(ωϕωω+=t A U i （5-2）式中：2211)(TA ωω+=，T tgωωϕ1)(--=，分别反映RC 网络在正弦信号作用下，输出稳态分量的幅值和相位的变化，二者皆是输入正弦信号频率ω的函数。

线性系统的频域分析法教学课件

线性系统的频域分析法教学课件
频域分析法具有直观、易于理解和计算的优势，因此在工程领域得到了广泛应用。
频域分析法的未来发展方向
随着科技的不断发展，频域分析 法将与计算机技术、人工智能等 相结合，实现更加高效、智能的
分析。
未来，频域分析法将进一步拓展 其在复杂系统、非线性系统等领 域的应用，为系统设计提供更加
全面的支持。
未来，频域分析法的研究将更加 注重实际应用，加强与工程实践 的结合，提高分析结果的实用性
和可靠性。
频域分析法的实际应用前景
在通信领域，频域分析法可用于分析 信号的传输质量、信道容量等，提高 通信系统的性能。
在图像处理、音频处理等领域，频域 分析法可用于信号的滤波、降噪、特 征提取等处理，提高信号的质量和识 别精度。
在控制工程领域，频域分析法可用于 分析控制系统的稳定性、优化控制策 略，提高控制效果。
线性性质
系统的输出量与输入量成正比，比例 系数为常数。
线性系统的分类
01
时不变系统
02
时变系统
03
连续时间系统
04
离散时间系统
线性系统的应用
01
02
控制系统
信号处理
03 通信系统
02
频域分析法简介
频域分析法的定义与意义
定义 意义
频域分析法的优势与局限性
频域分析法的应用场景
控制工程
用于分析和设计控制系 统的稳定性、频率响应
等特性。
通信工程
音频处理
振动分析
用于分析和优化通信系 统的信号传输、调制解
调等性能。
用于分析和处理音频信 号，如降噪、音效增强等。
用于分析和预测机械结 构的振动行为和动态特性。
03
线性系统的频域分析方法

自动控制原理的MATLAB仿真与实践第5章 线性系统的频域分析

自动控制原理的MATLAB仿真与实践第5章 线性系统的频域分析
MATLAB提供了许多用于线性系统频率分析 的函数命令，可用于系统频域的响应曲线、参数分析 和系统设计等。常用的频率特性函数命令格式及其功 能见表5-1。 bode (G)：绘制传递函数的伯德图。其中：G为传递
函数模型，如：tf(), zpk(), ss()。 bode(num,den)：num,den分别为传递函数的分子与
margin(G)；[Gm,Pm,Wcg,Wcp]= margin(G)： 直接求出系统G的幅值裕度和相角裕度。 其中：Gm幅值裕度；Pm相位裕度；Wcg幅值裕度 处对应的频率ωc；Wcp相位裕度处对应的频率ωg。
nichols(G);nichols(G,w)：绘制单位反馈系统开环传 递尼科尔斯曲线。
20
>>clear; num=[2, 3];den=[1, 2, 5, 7]; %G(s)的分子分母 多项式系数向量
p=roots(den) 求根结果：
%求系统的极点
p=
-0.1981 + 2.0797i
-0.1981 - 2.0797i
-1.6038 可见全为负根，则s右半平面极点数P=0。 绘制Nyquist曲线： >> nyquist(num,den) %绘制Nyquist曲线
本节分别介绍利用MATLAB进行频域绘图和频 率分析的基本方法。
6
5.2.1 Nyquist曲线和Bode图
MATLAB频率特性包括幅频特性和相频特性。 当用极坐标图描述系统的幅相频特性时，通常称为 奈奎斯特（Nyquist）曲线；用半对数坐标描述系 统的幅频特性和相频特性时，称为伯德（Bode） 图；在对数幅值-相角坐标系上绘制等闭环参数（ M和N）轨迹图，称为尼克尔斯（Nichols）图。

第五章线性系统的频域分析法

第五章线性系统的频域分析法

对 A(ω ) 求导并令等于零，可解得 A(ω ) 的极值对应的频率 ω r 。
ω r = ω n 1 2ζ 2
该频率称为谐振峰值频率。可见，当 ζ = 当ζ
> 1 2
s = jω
G( jω) =| G( jω) | e
j∠G( jω)
= A(ω)e
j (ω)
G( jω) = G(s) |s= jω
G( jω) = G(s)|s= jω =| G( jω)| e j∠G( jω) = A(ω)e j(ω)
A A j (ω ) k1 = G( jω ) e k2 = G( jω ) e j (ω ) 2j 2j
可以作为系统模型
G( jω) = G(s) |s= jω = G( jω) e j(ω)
定义 幅频特性
A(ω ) =| G( jω ) |
(ω ) = ∠G ( jω )
它描述系统对不同频率输入信号在稳态时的放大特性； 它描述系统对不同频率输入信号在稳态时的放大特性； 相频特性
它描述系统的稳态响应对不同频率输入信号的相位移特性； 它描述系统的稳态响应对不同频率输入信号的相位移特性； 幅频特性和相频特性可在复平面上构成一个完整的向量 G ( jω ), 频率特性。 频率特性 G ( jω ) = A(ω )e j (ω ) ，它也是 ω 的函数。G( jω) 称为频率特性 还可将 G ( jω ) 写成复数形式，即
A(ω ) = 1 1 + T 2ω 2 ,
G (s) =
1 Ts + 1
G ( jω ) =
1 jT ω + 1
(ω ) = tg 1T ω
幅频特性 L(ω) = 20log A(ω) = 20log K 20log 1+ T 2ω2 低频段：当Tω << 1时，ω 高频段：当 Tω >> 1时， ω

线性系统的频域分析法

线性系统的频域分析法

5.1 频率特性

lg
1 0
2
0.301
3
0.477
4
0.602
5
0.699
6
0.778
7
0.845
8
0.903
9
0.954
10
1
※※
( )
40
20 0dB -20 -40
2、对数频率特性曲线 [ 伯德（Bode）图 ]
L ( ) 20 lg A( ) 20 lg G ( j ) ( dB )
L ( ) 20 lg (T ) 1 20 lg T
2
当 T 即 T 1 时
L(ω)dB 40 20 0dB -20 - 40
1
T
1 T
当

1 T
时 时
20 lg T 0
20 lg T 20
dB
dB
10 T
频 率 特 性 ： G ( j ) 1 j T 1
( ) tg T
1
A ( )
1 T 1
2 2
ω 1/10T φ (ω )(度) -5.7 L(ω )（dB）
从到值 取 代入计算,得
对数幅频特性曲线 Bode图如右
1/5T -11.3
1/2T -26.6
2.频域法的基本思想：利用系统的开环频率特 性来分析闭环响应。对系统进行定性分析和定量 计算。
3.频率特性的性质 考察一个系统的好坏，通常用阶跃输入下系统的阶跃响应 来分析系统的动态性能和稳态性能。
有时也用正弦波输入时系统的响应来分析，但这种响应并 不是单看某一个频率正弦波输入时的瞬态响应，而是考察频率 由低到高无数个正弦波输入下所对应的每个输出的稳态响应。 因此，这种响应也叫频率响应。

自动控制原理第5章_线性控制系统的频率特性分析法


5. 2控制系统开环传递函数的对数频率特性
5.2.2 系统伯德图的绘制
开环对数幅频渐近特性曲线的绘制步骤： （1）把系统开环传递函数化为标准形式，即化为典型环节的传递函
数乘积，分析它的组成环节； （2）确定一阶环节、二阶环节的转折频率，由小到大将各转折频率
标注在半对数坐标图的频率轴上； （3）绘制低频段渐近特性线； （4）以低频段为起始段，从它开始每到一个转折频率，折线发生转
开环极点的个数。
5. 4 频域稳定判据与系统稳定性
5.4.4 控制系统的相对稳定性
开环频率特性 G( j)H( j)在剪切频率 c处所对应的相角与 180 之差称为相角裕度，记为 ，按下式计算
(c ) (180 ) 180 (c )
开环频率特性 G( j)H的( 相j)角等于 时所1对80应的角频率称为相
闭环系统稳定的充要条件是，当 由 0 时0，开 环奈奎斯 特曲线逆时针方向包围( )点 周1, j。0 是具P有2 正实部P 的开 环极点的个数。 需注意，若开环传递函数含有 v 个积分环节，所谓 由 0 0 ，指的 是由 0 0 0 ，此时奈 奎斯特曲线需顺时针增补 v 角度的无穷大半径的圆弧。
5. 4 频域稳定判据与系统稳定性
5.4.1 奈奎斯特稳定判据
若闭环系统在[ s]右半平面上有 个P开环极点，当 从 变化到
时，奈奎斯特曲线 G( j对)H点( j) 的包围1周, j数0 为 （ 为逆时N针，
为顺N 时 0针），则系统N<在0[ ]右半平面上的闭环极点s的个数为 。
折，斜率变化规律取决于该转折频率对应的典型环节的种类； （5）如有必要，可对上述折线渐近线加以修正，一般在转折频率处

自动控制理论第五章频率分析法1.详解


5.从低频段第一个转折频率开始做斜直线，该直线
的斜率等于过A点直线的斜率加这个环节的斜率（惯
性环节加-20，振荡环节加-40，一阶微分环节加+20 的斜率），这样过每一个转折频率都要进行斜率的 加减。 6.高频段最后的斜线的斜率应等于-20(n-m) dB/ 十倍频程。 7.若系统中有振荡环节，当<0.4时，需对L()进 行修正。
④
G(j)曲线与负实轴交点坐标，是一个关键点，
高频段，即ωT>>1时
L( ) 20lg( 2T 2 ) 40lg(T )
当ω增加10倍
L( ) 40lg10Tω 40 40lgTω
即高频渐近线是一条斜率为-40dB/dec的直线。当 1 ω ωn T
L( ) 40lg T 40lg1 0(dB)
1 2
振荡环节再分析
L(ω)dB
20lg
1 2 1 2
2 k n G (s ) 2 S 2 S 2 n n (0＜ ＜0.707) 0＜ ＜0.5
20 lg 1 2
= 0.5
0.5＜ ＜1 ω
20lgk
0dB
ωr ωn
[-40]
2 1 2 ωr= n
1. 将开环传递函数化为各典型环节传递函数相乘的形 式，并将分子分母中各因式常数项系数化为1。转化为 开环对数幅频特性；
2.确定出系统开环增益K，并计算 20lg K 。
3.确定各有关环节的转折频率，并把有关的转折频率 标注在半对数坐标的横轴上。 4.在半对数坐标上确定=1(1/s)且纵坐标等于20lgK dB的 点A。过A点做一直线，使其斜率等于-20νdB/dec。当ν=0, ν=1, ν=2时，斜率分别是(0，-20，-40)dB/dec。

自动控制原理 第五章(第一次课)


autocumt@
18
中国矿业大学信电学院 常俊林
ω =1
1 12 + 2 2 e
(− tg
−1 1 2
)j
= 0 . 45 e
− 26 .6 o
c ss (t ) = 2 ⋅ 0 .45 sin t + 30 o − 26 .6 o = 0 .9 sin t + 3 .4 o
autocumt@ 13
(
)
(
)
中国矿业大学信电学院 常俊林
c(t ) = b1e
− s1t
+ ... + bn e
− sn t
+c1e
− jωt
+ c2e
jωt
css (t ) = c1e
− jωt
+ c2 e
jωt
其中: 其中
c1 = C ( s)( s + jω ) s = − jω
Aω = G ( s) ⋅ ( s + j ω ) s = − jω ( s + jω )( s − jω )
[ a (ω ) c (ω ) + b (ω ) d (ω )] + j[ b (ω ) c (ω ) − a (ω ) d (ω )] = c 2 (ω ) + d 2 (ω )
autocumt@ 9 中国矿业大学信电学院 常俊林
5-1 频率特性
b(ω )c(ω ) − a(ω )d (ω ) ϕ (ω ) = arctg a(ω )c(ω ) + b(ω )d (ω )
自ห้องสมุดไป่ตู้控制原理
r (t ) = 2 sin(t + 30 )

第五章(1,2) 线性系统的频域分析法解析


用频率特性求取正弦输入稳态误差的方法：
正弦输入稳态误差求法总结： 1.定义法，求拉式反变换（不能 用终值定理） 2.动态误差系数法 3.频率响应法
2.频率特性的几何表示法（图示法）（重点）
仅从G( j)的表达式中看出的信息不直观，在工程分析和 设计中，通常把线性系统的频率特性画成曲线，观察其在不 同频率段上的变换，再运用图解法进行研究（包括稳态性能、 暂态性能等）。常用的频率特性曲线有三种：
第五章 线性系统的频域分析法
时域分析法是分析控制系统的直接方法，比较直 观、精确。但往往需要求解复杂的微分方程。
复域分析法(根轨迹法)是一种在S平面上由开环零 极点绘制闭环系统特征根的图形分析法。
频域分析法也是一种图解分析法。依据系统的频 率特性，间接地揭示系统正弦输入信号下的暂态特 性和稳态特性。也是一种工程上常用的方法。
1
Re[G(jω)]
0
不足：计算繁琐。不直观，无法看出每个零极 点的影响。增添新的零极点时，只能重新计算。 看不出ω的变化速度。
单位：弧度/秒
半对数坐标系的优点：
对数频率特性采用 的对数分度实现了横坐标的非线性压缩，便于在较大频
率范围内反映频率特性的变化情况。对数幅频特性采用 20lg A()则将幅值的乘 法运算转化为加减运算，可以简化曲线的绘制过程。
对数幅相图实质上将伯德图的两张图合成一张图。
5-2 典型环节与开环系统的频率特性
设典型的线性系统结构如图所示，闭环系统的很多 性能可通过研究开环系统的频率特性来得到。
该线性系统的开环传递函数为 G(s，)H (为s) 了研究开 环系统频率特性曲线，本节先研究开环系统典型环节 的频率特性，进一步研究开环系统的频率特性。
1.频域特性的基本概念 （这种数学模型是怎样的？）
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频率特性表示了稳定系统在正弦信号输入下，其稳态输 出与输入之间的关系。利用频率特性可以很容易求得
稳定系统在正弦信号输入下的稳态输出，即
A2 A() A1, 2 () 1
6
频率特性的物理意义及求解方法
R
ur
C
uc
RC网络微分方程：RC
duC dt
uc
ur
RC网络传递函数:
Gs
uC s ur s
当输入正弦信号频率从0变到+∞,矢量 A 的e j终
端便在复平面上描绘出一条轨迹,这条轨迹就是G(jw)
的极坐标图,通常又称为幅相频率特性曲线，也称
Nyquist曲线。
15
正负的定义
用箭头表示w增加的方向,角度以实轴正方向作为相 角的零度线,反时针旋转的角度定义为正。
『例』如RC网络的传递函数:
第五章 线性系统的频域分析法
5-1 频率特性 5-2 典型环节与开环系统频率特性 5-3 频率稳定判据 5-4 频率稳定裕度 5-5 闭环系统的频率性能指标
1
概述
频率法是在频域里对系统进行分析和设计的一种方 法，主要采用图解法。
➢可以根据系统的开环频率特性判断闭环系统的 稳定性，而不必求解特征方程。
幅频特性 A() A2 ()
A1
相频特性 () 2 () 1
频率特性 G( j) A()e j() G j A()()
A() | G( j) |
() G( j)
5
如何求系统的频率特性？
在系统的传递函数G(s)中，用jw代替s即得系统频率特性 G( jw)，其模值为幅频特性A(，) 其幅角为相频特 。()
幅相频率特性: 幅频特性: 相频特性:
Gs 1
RCs 1
G j 1
jRC 1
A G j 1
T 2 2 1
arctan RC
16
『注』幅频特性t 3cos 2t 30
(2) rt 3sin 8t 20
r(t)
6
c(t)
－ s4
『解』设
输出
ct A2 cost 2
闭环传递函数
(s) C(s) G(s) 6 R(s) 1 G(s) s 10
频率特性
j 6
12
j 10
1. rt 3cos2t 30
css 1.41 cos 8t 18.7。
14
二. 频率特性的几何表示方法
常用的频率特性图有极坐标图与伯德图。 1. 幅相频率特性曲线(极坐标图)
G(jw)为复数, 在坐标图中，它是一个矢量, 既可用模值和 幅角表示,也可在直角坐标中用实部和虚部表示。即:
G j A e j Re G j jI mG j
➢容易研究系统的结构和参数变化对系统性能的 影响，并可指出改善系统性能的途径,便于对系 统进行校正。
➢提供了一种通过实验建立元件或系统数学模型 的方法。
2
系统模型间的关系
3
5-1 频率特性
一. 频率特性的基本概念
r(t)
系统
C(t)
A1 sin(t 1) 数学模型 A2 sin(t 2 )
一个稳定的线性定常系统或环节,当系统输入为正弦信号
1 RCs
1
频率特性：
G j 1 1
jRC 1 jT 1
幅频特性：
A G j 1 T 2 1
相频特性：
G j arctanRC 7
系统的输出为
Uc
(s)
(s)Ur
(s)
1 Ts
1
Ar s2
2
查拉氏变换表，得Uc(s)的原函数uc(t)
uc (t)
ArT 1 2T 2
t
13
2. rt 3sin8t 20。
j8 6 6 tan1 8 0.47 38.7
j8 10 82 102 10
A 0.47 38.7
A2
A1
A2 3
0.47
2 1 2 20 38.7
A22
1.41 18.7
ct 1.41sin 8t 18.7。
微分方程
G(s) s＝jw
G(jw)
A2 A()A1, 2 () 1 A(),()
物理意义: 表示系统或环节
对不同频率正弦信号的跟踪能力或复现能力； G(jw)只与系统或环节本身的结构参数有关,是 系统或环节本身的属性； 与输入信号和初始条件无关。
11
『例1』某系统结构图如图，求 rt作 用下的稳态输出 c;t
rt A1 sin(t 时1)
系统稳态输出为同频率的正弦信号 ct A2 sin(t 2 ) 。
振幅与相角不一定相同，即 A2 A1, 2 1 ，并且 A2,2 均
为频率w的函数，即 A2,2。
4
两个信号的振幅之比定义为系统的幅频特性，两个信号的 相位之差定义为系统的相频特性。两者合称为系统的频率 特性。
26.6 45 63.5 71.5 76 78.7 90
A(w) 1
-0.707
A G j 1 T 2 1
G j arctanRC
w
0
1/T 2/T 3/T 4/T
（w）
450
w
900
当频率较低时,输出电压和输 入电压的幅值几乎相等,相角 差不大,随着频率增高,输出 电压的幅值减小,相角滞后增 大,当w=1/T时,输出幅值为 输入幅值的0.707倍,相角落 后45度。
eT
Ar sin(t arctanT ) 1 2T 2
式中第一项为动态分量，第二项为稳态分量。
lim
t
uc
(t
)
Ar sin(t arctanT ) 1 2T 2
8
w0
A(w) 1
(w) 0
1/ 2T 1/ T 2 / T 3/ T 4 / T 5 /T
0.89 0.707 0.45 0.32 0.24 0.20 0
当w→∞时,网络输出电压趋 向于0,相角落后90度。所以 RC网络只允许低频信号通过, 具有低通滤波器的性质。9
r(t)的幅值为1保持不变，而频率w由小到大变化，其输出c(t) 为以下波形：
ω=0.5
ω=1
ω=2.5
ω=4
【附】：不稳定系统频率响应
不稳定系统
1 (s 1)
暂态 稳态
10
【小结】线性定常系统频率特性的求法
( j2) 6 6 (tg1 2 ) 0.59 11.3
j2 10 22 102
10
A 0.59 11.3
A2 A1
A2 3
0.59
2 1 2 30 11.3
ct 1.77 cos 2t 18.7。
A2 1.77
2 18.7
css 1.77 cos 2t 18.7。