线性相关线性相关等价命题

线性代数第一章行列式一、相关概念1.行列式——n阶行列式是所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和，这里 是1，2，·n的一个排列。

当 是偶排列时，该项的前面带正号；当 是奇排列时，该项的前面带负号，即(1.1)这里表示对所有n阶排列求和。

式(1.1)称为n阶行列式的完全展开式。

2.逆序与逆序数——一个排列中，如果一个大的数排列在小的数之前，就称这两个数构成一个逆序。

一个排列的逆序总是称为这个排列的逆序数。

用 表示排列 的逆序数。

3.偶排列与奇排列——如果一个排列的逆序数是偶数，则称这个排列为偶排列，否则称为奇排列。

4.2阶与3阶行列式的展开—— ，5.余子式与代数余子式——在n阶行列式中划去 所在的第i行，第j列的元素，剩下的元素按原来的位置排法构成的一个n-1阶的行列式称为 的余子式，记为 ；称为 的代数余子式，记为 ，即 。

6.伴随矩阵——由矩阵A的行列式|A|所有的代数余子式所构成的形如，称为A的伴随矩阵，记作 。

二、行列式的性质1.经过转置行列式的值不变，即→行列式行的性质与列的性质是对等的。

2.两行互换位置，行列式的值变号。

特别地，两行相同(或两行成比例)，行列式的值为0.3.某行如有公因子k，则可把k提出行列式记号外。

4.如果行列式某行(或列)是两个元素之和，则可把行列式拆成两个行列式之和：5.把某行的k倍加到另一行，行列式的值不变：6.代数余子式的性质——行列式任一行元素与另一行元素的代数余子式乘积之和为0三、行列式展开公式n阶行列式的值等于它的任何一行(列)元素，与其对应的代数余子式乘积之和，即|A|按i行展开的展开式|A|按j列展开的展开式四、行列式的公式1.上(下)三角形行列式的值等于主对角线元素的乘积；2.关于副对角线的n阶行列式的值3.两个特殊的拉普拉斯展开式：如果A和B分别是m阶和n阶矩阵，则4.范德蒙行列式5.抽象n阶方阵行列式公式 (矩阵)若A、B都是n阶矩阵，是A的伴随矩阵，若A可逆，是A的特征值：；； |AB|=|A||B|；；；；若 ，则，且特征值相同。

向量组的线性相关与线性无关1、线性组合设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈,12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈,称1122t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+为12,,,t a a a ⋅⋅⋅的一个线性组合。

【备注1】按分块矩阵的运算规则,12112212(,,,)t t t t k kk a k a k a a a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭。

这样的表示就是有好处的。

２.线性表示设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈,n b R ∈,如果存在12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈,使得1122t t b k a k a k a =++⋅⋅⋅+则称b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示。

1122t t b k a k a k a =++⋅⋅⋅+,写成矩阵形式,即1212(,,,)t t k kb a a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭。

因此,b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示即线性方程组1212(,,,)t t k ka a ab k ⎛⎫ ⎪ ⎪⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭有解,而该方程组有解当且仅当1212(,,,)(,,,,)t t r a a a r a a a b ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅。

3、向量组等价设1212,,,,,,,n t s a a a b b b R ⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈,如果12,,,t a a a ⋅⋅⋅中每一个向量都可以由12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示,则称向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅可以由向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示。

如果向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅与向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅可以相互线性表示,则称这两个向量组就是等价的。

向量组等价的性质:(1) 自反性 任何一个向量组都与自身等价。

(2) 对称性 若向量组I 与ＩI 等价,则向量组II 也与I 等价。

向量组的线性相关性1、n 维向量由n 个数组成的有序数组()12,,,n a a a 称作一个n 维向量，记作()12,,,n a a a α= ，其中i a 称作α的第i 个坐标。

设()12,,,n a a a α= ，()12,,,n b b b β= ，当()1,2,,i i a i n b == 时，称α与β相等，记作αβ=。

称()12,,,n a a a α= 为n 维列向量，αT 为n 维行向量。

分量全为0的向量称为零向量。

向量()12,,,n a a a α= 的各分量的相反数所组成的向量，称为α的负向量，记作α-，即()12,,n a a a α=---- 。

向量加法定义：()1122,,,n n a b a b a b αβ+=+++ ；向量减法定义：()()1122,,,n n a b a b a b αβαβ-=+-=--- 。

向量α与数乘积定义；k 为任意实数，则()12,,,n k k k k αααα= n 维向量的加法和数乘运算满足下面性质（设α、β、γ表示n 维向量，k 、l 表示数量）。

（1）αββα+=+；（2）()()αβγαβγ++=++；（3）0αα+=；（4）()0αα+-=；（5）()k k k αβαβ+=+；（6）()k l k l ααα+=+。

2、向量的线性表示设12,,,s ααα ，β均为n 维向量，若存在一组数12,,,s k k k ，使得1122k k αβα=+++ s s k α，则称向量β是向量组12,,,s ααα 的一个线性组合，也称向量β可由向量组12,,,s ααα 线性表示。

3、向量组的线性相关性对于m 个n 维向量12,,,m ααα ，若存在不全为零的数12,,,m k k k ，使得11220m m k k k ααα+++= ，则称这m 个向量线性相关；否则，称它们线性无关。

通过线性相关和线性无关的定义可推出：（1）单独一个0向量，线性相关；高 数向量组的线性相关性知识点速记（2）含有0向量的向量组，线性相关；（3）单独一个非0向量，线性无关；（4）由n 个标准单位向量()11,0,0,,0=ε ，()20,1,0,,0=ε ，…，()0,,0,1n =ε 组成的向量组，线性无关。

第一章1、矩阵乘法矩阵乘法通常满足分配律而一般不满足交换律即AB!=BAf(x),g(x)为多项式，有：f(A)g(A)=g(A)f(A)f(A)g(B)!=g(B)f(A)2、矩阵的转置（A+B)^T=A^T+B^T （AB)^T=B^TA^T（kA)^T=kA^T（A^T)^T=A若A^t=-A 称A为反对称矩阵（斜对称矩阵）任意n阶方阵都可以写成对称矩阵和反对称矩阵之和。

3、矩阵的初等变换4、逆矩阵B唯一，B的逆为A。

(AB)^(-1）=B^(-1)A^(-1）(kA)^(-1）=（1/k)A^(-1）①A可逆②AX=0只有零解③Ab=0有唯一解〔①、③即为克拉默法则〕④A≌Ⅰ（等价）最简判断方法：det!=0逆矩阵求法：（A , I）—→（I , A^(-1））5、分块矩阵（注意使用即可）第二章1、性质（①、②为矩阵的某两行）某一行全为零，det=0某两行对应元成比例，则det=0 ①→k·①，则det→k·det①→k·②+①，则det不变①←→②，则det→（-det）detA=det（A^T）detA^-1=1/detAdetAB…N=detAdetB……detN det（kA）=k^n（detA）#伴随矩阵的性质y推导基础：AA*=A*A=（detA）Ⅰ若A可逆，则A^(-1) = (1/detA)A* det(A*）=（detA)^(n-1）(kA)*=k^(n-1）A*(A*)^(-1）= A^(-1)*(A^T)* =（A*)^T(AB)* = B*A*(A*)*=(detA)^(n-2) Ar(A*)={n(rA=n),1(rA=n-1),0(rA<n-1)} 2、矩阵的秩定义：矩阵A的非零子式的最高阶数称为A的秩，零矩阵的秩为0。

性质：A可逆←→R（A）=nR（A）=0←→A=0R（A）=R（A^T）k≠0时，R（kA）=R（A）若P,Q为可逆矩阵，则R（A）=R（PA）=R（AQ）=R（PAQ）A≌B←→R（A）=R（B）（1) 有：初等变换不改变矩阵的秩经过行初等变化把矩阵换为行最简，即可得到秩。

向量组的线性相关与线性无关1.线性组合设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈，12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈，称1122t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+为12,,,t a a a ⋅⋅⋅的一个线性组合。

【备注1】按分块矩阵的运算规则，12112212(,,,)t t t t k k k a k a k a a a a k ⎛⎫⎪ ⎪++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭。

这样的表示是有好处的。

2.线性表示设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈，n b R ∈，如果存在12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈，使得1122t t b k a k a k a =++⋅⋅⋅+则称b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示。

1122t t b k a k a k a =++⋅⋅⋅+，写成矩阵形式，即1212(,,,)t t k k b a a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭。

因此，b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示即线性方程组1212(,,,)t t k k a a a b k ⎛⎫ ⎪ ⎪⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭有解，而该方程组有解当且仅当1212(,,,)(,,,,)t t r a a a r a a a b ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅。

3.向量组等价设1212,,,,,,,n t s a a a b b b R ⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈，如果12,,,t a a a ⋅⋅⋅中每一个向量都可以由12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示，则称向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅可以由向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示。

如果向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅和向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅可以相互线性表示，则称这两个向量组是等价的。

向量组等价的性质：(1) 自反性 任何一个向量组都与自身等价。

(2) 对称性 若向量组I 与II 等价，则向量组II 也与I 等价。

◆定理1 向量组α1, α2,…, αn线性相关(⽆关)的充要条件是向量组中⾄少有⼀个(任⼀)向量可由(均不能)其余s-1个向量线性表出.◆定理2 向量组αj=(α1j, α2j,…, αnj)(j=1,2,…,s)线性相关(⽆关)的充要条件是齐次线性⽅程组有⾮零解(唯⼀零解).◆定理3 向量组α1, α2,…, αn线性⽆关，向量组α1, α2,…, αn，β线性相关，则β可由α1,α2,…,αn线性表出,且表法唯⼀.◆定理4 向量组(I)β1,β2,…,βn中的每⼀个向量均可由向量组(II)α1, α2,…, αm线性表出，且n>m，则向量组(I)β1,β2,…,βn线性相关(以少表多，则多相关)；反之，若(I)中每⼀个向量均可由(II)表出，且(I)线性⽆关，则s≤t.◆向量组等价两向量组等价，且记作(I)≅ (II).如果(I) α1, α2,…, αn和(II)β1,β2,…,βn可以互相线性表出，则成两向量组等价◆三秩相等r(A)=A的⾏秩(A的⾏向量组的值)=A的列秩(A的列向量组的值)◆初等变换不改变矩阵的秩设P1，Q1为初等矩阵，P，Q为可逆矩阵，则(1) r(A)=r(P1A)=r(AQ1)=r(P1AQ1)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)；(2) PAQ=B⇔A≅B⇔r(A)= r(B)；(3) 若A经过初等⾏变换得到B，则A的⾏向量组与B的⾏向量组是等价向量组；(4) 若A经过初等⾏变换得到B，则A和B的任何相应的部分列向量组具有相同的线性相关性.◆有关等式与不等式设A是m×n矩阵，B是满⾜有关矩阵运算要求的矩阵，则◆施密特正交化公式如果向量αTβ=0，则称向量α，β为正交向量.设α1,α2,…,αn为线性⽆关组，则其对应的正交向量组可按如下公式求：得到β1,β2,…,βn为正交向量组，将该向量组单位化，则得到⼀组标准正交向量组.◆过渡矩阵设α=(α1,α2,…,αn)与β=(β1,β2,…,βn)是R n的两组基，如果有β=AαT，则A称为过渡矩阵. 过渡矩阵是可逆矩阵.◆正交矩阵设A是n阶⽅阵，满⾜AA T=E或A T A=E，则称A为正交矩阵. A是正交矩阵，A T=A-1⇔A的⾏(列)向量组是标准正交向量组.◆正交变换设A是正交矩阵，则称y=Ax为正交变换，正交变换保持向量的内积不变，即保持向量的长度和两向量的夹⾓不变.(1) 有关向量的概念及其性质的命题解题⽅法：解题⽅法●向量的线性组合，向量组的线性相关与线性⽆关，极⼤线性⽆关组，向量空间的基，⼀定记熟.●重要定理，如增加向量不改变相关，增加分量不改变⽆关，等价向量组等秩，被表出的⽆关组的秩不超过表出组向量个数。

㊀㊀㊀㊀㊀１４４㊀关于线性子空间直和几个等价命题的证明关于线性子空间直和几个等价命题的证明Һ赵云平㊀（滇西科技师范学院数理学院，云南㊀临沧㊀６７７０９９）㊀㊀ʌ摘要ɔ线性子空间直和理论是数学专业高等代数课程的重要内容之一，也是难点之一，其中蕴含着线性空间分解思想，其在理论上和实际上有着重要的价值．许多教材对线性子空间直和问题进行了探讨，并给出了一些重要结论，但对于子空间直和等价命题的证明却不太详细．本文以线性子空间直和的相关概念为基础，叙述了子空间直和的５个等价命题，并证明了这５个命题彼此等价．ʌ关键词ɔ线性空间；子空间直和；等价命题；证明引㊀言子空间的直和是子空间和运算的一种特殊情形，是高等代数课程的重要概念之一，直和的概念强调首先是和，然后要求满足每个向量分解是唯一的．对于这种特殊的子空间和运算，用定义证明或检验直和问题有时很困难㊁很抽象，需要更深入地研究它的性质．本文叙述了线性子空间直和的５个等价命题，先分析各等价命题的含义及相互关系，再通过循环论证的方法加以证明．这些命题以不同形式刻画了子空间直和，为进一步认识和理解子空间直和提供了具体的模式，为高等代数中一系列重要定理提供了有力依据．学好子空间直和对研究整个子空间及研究整个线性空间的结构起到了非常重要的作用．一㊁预备概念定义１㊀数域Ｋ上线性空间Ｖ的一个非空子集Ｕ若对于Ｖ的加法与数量乘法也构成Ｋ上的线性空间，则称Ｕ是Ｖ的一个线性子空间，简称为子空间．定义２㊀设Ｖ１与Ｖ２都是数域Ｋ上线性空间Ｖ的子空间，则Ｖ的子集｛α１ң＋α２ңα１ңɪＶ１，α２ңɪＶ２｝是Ｖ的一个子空间，称它是Ｖ１与Ｖ２的和，记作Ｖ１＋Ｖ２，即Ｖ１＋Ｖ２＝｛α１ң＋α２ңα１ңɪＶ１，α２ңɪＶ２｝．定义３㊀设Ｖ１与Ｖ２都是线性空间Ｖ的子空间，若Ｖ１＋Ｖ２中每个向量αң能唯一表示成αң＝α１ң＋α２ң，α１ңɪＶ１，α２ңɪＶ２，则称Ｖ１＋Ｖ２是直和．定义４㊀设Ｓ是Ｖ的任一无限子集，若Ｓ有一个有限子集是线性相关的，则称Ｓ是线性相关的；若Ｓ的任何有限子集都是线性无关的，则称Ｓ是线性无关的．定义５㊀若从ｋ１α１ң＋ｋ２α２ң＋ ＋ｋｓαｓң＝０ң可以推出ｋ１＝ｋ２＝ ＝ｋｓ＝０，则称向量组α１ң，α２ң， ，αｓң是线性无关的．定义６㊀设Ｖ是数域Ｋ上的线性空间，Ｖ中的向量组α１ң，α２ң， ，αｒң若满足下述两个条件：①α１ң，α２ң， ，αｒң线性无关；②Ｖ中的每一个向量都可由α１ң，α２ң， ，αｒң线性表出，则称α１ң，α２ң， ，αｒң是Ｖ的一个基．定义７㊀在数域Ｋ上ｎ维线性空间Ｖ中，向量组α１ң，α２ң，，αｒң的所有线性组合组成的集合是Ｖ的一个子空间，称它为α１ң，α２ң， ，αｒң生成的子空间，记作 α１ң，α２ң， ，αｒң⓪．定理１㊀如果一个集合线性无关，那么它的任何一个有限子集也线性无关．定理２㊀设Ｖ１与Ｖ２都是数域Ｋ上ｎ维线性空间Ｖ的有限维子空间，则Ｖ１＋Ｖ２，Ｖ１ɘＶ２也是有限维的，ｄｉｍＶ１＋ｄｉｍＶ２＝ｄｉｍ（Ｖ１＋Ｖ２）＋ｄｉｍ（Ｖ１ɘＶ２）．定理３㊀设Ｖ１与Ｖ２都是数域Ｋ上ｎ维线性空间Ｖ的有限维子空间，则ｄｉｍ（Ｖ１＋Ｖ２）＝ｄｉｍＶ１＋ｄｉｍＶ２⇔Ｖ１ɘＶ２＝｛０ң｝．命题１㊀设α１ң，α２ң， ，αｒң与β１ң，β２ң， ，βｓң是数域Ｋ上线性空间Ｖ的两个向量组，则α１ң， ，αｒң⓪＋ β１ң， ，βｓң⓪＝ α１ң， ，αｒң，β１ң， ，βｓң⓪命题２㊀在数域Ｋ上ｎ维线性空间Ｖ中，若每一个向量都可以由α１ң，α２ң， ，αｎң线性表出，则α１ң，α２ң， ，αｎң是Ｖ的一个基．二㊁命题描述及等价性证明定理４㊀设Ｖ１与Ｖ２都是线性空间Ｖ的有限维子空间，则下列命题等价：（１）Ｖ１＋Ｖ２是直和；（２）Ｖ１＋Ｖ２中０ң的表示方法唯一；（即若０ң＝α１ң＋α２ң，α１ңɪＶ１，α２ңɪＶ２，又０ң总是可以表示成０ң＝０ң＋０ң，则意味着α１ң＝０ң且α２ң＝０ң）（３）Ｖ１ɘＶ２＝｛０ң｝；（即交集是一个零子空间，只含有零㊀㊀㊀１４５㊀㊀向量）（４）Ｖ１的一个基ｓ１与Ｖ２的一个基ｓ２的并集ｓ１ɣｓ２是Ｖ１＋Ｖ２的一个基；（５）ｄｉｍ（Ｖ１＋Ｖ２）＝ｄｉｍＶ１＋ｄｉｍＶ２．证明：（１）⇒（２），由定义３，因为Ｖ１＋Ｖ２是直和，所以Ｖ１＋Ｖ２中任何一个向量αң都能唯一表示成αң＝α１ң＋α２ң，α１ңɪＶ１，α２ңɪＶ２，所以（２）显然成立；或用反证法，设零向量有两种不同的表示方法，０ң＝０ң＋０ң，０ң＝ｂ１ң＋ｂ２ң，ｂ１ңɪＶ１，ｂ２ңɪＶ２，即０ң＋０ң＝ｂ１ң＋ｂ２ң，则直和Ｖ１＋Ｖ２中任一向量αң就有两种不同的表示方法，αң＝α１ң＋α２ң，αң＝（α１ң＋ｂ１ң）＋（α２ң＋ｂ２ң），这与直和的定义矛盾，因此（２）成立．（２）⇒（３），任取αңɪＶ１ɘＶ２，则αңɪＶ１且αңɪＶ２，因为Ｖ２是子空间对数乘封闭有负元，所以（－１）αң＝－αңɪＶ２，又０ң＝αң＋（－αң），由（２）得αң＝０ң，从而Ｖ１ɘＶ２＝｛０ң｝．（３）⇒（１），任取αңɪＶ１＋Ｖ２，假设αң有两种表示方法：αң＝α１ң＋α２ң，α１ңɪＶ１，α２ңɪＶ２，αң＝β１ң＋β２ң，β１ңɪＶ１，β２ңɪＶ２，则α１ң＋α２ң＝β１ң＋β２ң（只需证明α１ң＝β１ң，α２ң＝β２ң，则表法唯一），有α１ң－β１ң＝β２ң－α２ңɪＶ１ɘＶ２（因为Ｖ１与Ｖ２都是子空间对加法和数乘封闭，有α１ң－β１ңɪＶ１，β２ң－α２ңɪＶ２），由（３）得α１ң－β１ң＝０ң，β２ң－α２ң＝０ң，从而α１ң＝β１ң，α２ң＝β２ң，因此Ｖ１＋Ｖ２是直和．综上，（１）⇒（３），（３）⇒（２），（２）⇒（１）显然成立．下面证（２）⇒（４），要证并集ｓ１ɣｓ２是Ｖ１＋Ｖ２的一个基的第一条件是证明ｓ１ɣｓ２线性无关．由定义４，任取ｓ１ɣｓ２的一个有限子集｛γ１， ，γｔ，δ１， ，δｓ｝，其中γ１ң， ，γｔңɪｓ１，δ１ң， ，δｓңɪｓ２，按定义５，设（ｋ１γ１ң＋ ＋ｋｔγｔң）＋（ｌ１δ１ң＋ ＋ｌｓδｓң）＝０ң，其中ｋ１γ１ң＋ ＋ｋｔγｔңɪＶ１，ｌ１δ１ң＋ ＋ｌｓδｓңɪＶ２，由（２）得ｋ１γ１ң＋ ＋ｋｔγｔң＝０ң，ｌ１δ１ң＋ ＋ｌｓδｓң＝０ң，因为ｓ１，ｓ２是基，基是线性无关的，由定理１，ｋ１＝ ＝ｋｔ＝０，且ｌ１＝ ＝ｌｓ＝０，因此｛γ１， ，γｔ，δ１， ，δｓ｝线性无关，ｓ１ɣｓ２的任何一个有限子集线性无关，从而ｓ１ɣｓ２线性无关．要证并集ｓ１ɣｓ２是Ｖ１＋Ｖ２的一个基的第二条件是证明Ｖ１＋Ｖ２中的每一个向量可由它线性表出．任取Ｖ１＋Ｖ２中的一个向量αң＝α１ң＋α２ң，α１ңɪＶ１，α２ңɪＶ２，由于ｓ１是Ｖ１的一个基，因此α１ң可由ｓ１中有限多个向量线性表出，同理，α２ң可由ｓ２中有限多个向量线性表出．于是αң＝α１ң＋α２ң可以由ｓ１ɣｓ２中有限多个向量线性表出．因此，ｓ１ɣｓ２是Ｖ１＋Ｖ２的一个基．（４）⇒（２），设０ң＝α１ң＋α２ң，α１ңɪＶ１，α２ңɪＶ２，由于ｓ１是Ｖ１的一个基，γ１ң， ，γｔңɪｓ１，因此α１ң＝ａ１γ１ң＋ ＋ａｔγｔң（Ｖ１中的每一个向量可由基ｓ１中的有限个向量线性表出），同理α２ң＝ｂ１δ１ң＋ ＋ｂｓδｓң，从而０ң＝（ａ１γ１ң＋ ＋ａｔγｔң）＋（ｂ１δ１ң＋ ＋ｂｓδｓң），由于γ１， ，γｔ，δ１， ，δｓɪｓ１ɣｓ２，因此根据（４），ｓ１ɣｓ２是Ｖ１＋Ｖ２的一个基，可得ｓ１ɣｓ２是线性无关的，由定理１，γ１， ，γｔ，δ１， ，δｓ线性无关，所以ａ１＝ ＝ａｔ＝ｂ１＝ ＝ｂｓ＝０，于是α１ң＝０ң，α２ң＝０ң，因此Ｖ１＋Ｖ２中０ң的表法唯一．（３）⇔（５）由定理２可证．（５）⇒（４），设ｓ１＝｛γ１ң， ，γｓң｝是Ｖ１的一个基，ｓ２＝｛δ１ң，，δｒң｝是Ｖ２的一个基，则Ｖ１＋Ｖ２＝ γ１ң， ，γｓң⓪＋ δ１ң， ，δｒң⓪＝γ１ң， ，γｓң，δ１ң， ，δｒң⓪，因为ｄｉｍ（Ｖ１＋Ｖ２）＝ｄｉｍＶ１＋ｄｉｍＶ２＝ｓ＋ｒ，且Ｖ１＋Ｖ２的每一个向量可由γ１ң， ，γｓң，δ１ң， ，δｒң线性表出，所以γ１ң， ，γｓң，δ１ң， ，δｒң是Ｖ１＋Ｖ２的一个基．（４）⇒（５），设ｓ１＝｛γ１ң， ，γｓң｝是Ｖ１的一个基，ｓ２＝｛δ１ң，，δｒң｝是Ｖ２的一个基，并集ｓ１ɣｓ２＝｛γ１ң， ，γｓң，δ１ң， ，δｒң｝是Ｖ１＋Ｖ２的一个基，则ｄｉｍ（Ｖ１＋Ｖ２）＝ｓ＋ｒ＝ｄｉｍＶ１＋ｄｉｍＶ２，（５）成立．结㊀语至此，子空间直和的５个等价命题得到了证明．这５个命题的描述形式虽然不同，但都刻画了子空间的直和．这样我们在解决有关子空间直和问题时，表述的方式就更加多样化了，可用等价命题互相代替．事实上，线性子空间的直和可被推广到有限多个子空间的直和，也可以推广到无限多个子空间的直和．ʌ参考文献ɔ［１］北京大学数学系前代数小组．高等代数（第四版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１５．［２］张禾瑞．高等代数［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００７．［３］丘维声．高等代数（第三版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１６．［４］邱森，朱林生．高等代数探究性课题集［Ｍ］．武汉：武汉大学出版社，２０１２．［５］姚慕生，吴泉水．高等代数学［Ｍ］．上海：复旦大学出版社，２０１４．。

有关向量组的线性相关性命题的思考作者：兰华龙来源：《赤峰学院学报·自然科学版》 2014年第22期兰华龙（成都信息工程学院银杏酒店管理学院，四川成都600007）摘要：向量组的线性相关性概念内容丰富，加上与其等价的命题，它们将线性代数中的部分重要知识点有机地联系在一起，这对于解决相关问题往往能起到行之有效的作用，本文结合题目，从不同的角度出发给出多种解答方法，力求更深入理解向量组的线性相关性概念。

关键词：向量组；线性相关性；秩；等价中图分类号：O151文献标识码：A文章编号：1673-260X（2014）11-0001-02向量组的线性相关性概念及应用是学习线性代数知识的一个重点，也是一个难点，正确理解向量组的线性相关性概念和与其等价命题的关系，是学好此部分知识内容的关键(1)齐次线性方程组AX=0只有零解；(2)向量组的(m≥1)秩等于m，即R(A)=m下面利用向量组的线性相关性概念及其等价命题，选择不同的切入点，,串联相关知识点，采用不同的方法给出题目的多种解答题目1已知:向量组a1,a2,a3线性无关，若b1=a1+a2,b2=a2+a3,b3=a3+a1证明向量组b1,b2,b3线性无关。

证法1用向量组线性无关定义证明故此方程组只有零解x1=x2=x3=0。

所以向量组b1,b2,b3线性无关。

证法2利用矩阵的秩证明因为又由a1,a2,a3线性无关可得R(a1,a2,a3)，且秩也等于3，所以R(b1,b2,b3)=3，故向量组b1,b2,b3线性无关。

证法3利用反证法证明假设向量组b1,b2,b3线性相关，即线性方程组x1b1+x2b2+x3b3=0有非零解，此时实数x1,x2,x3不全为零由x1b1+x2b2+x3b3=0得x1(a1+a2)+x2(a2+a3)+x3(a3+a1)=0所以(x1+x3)a1+(x1+x2)a2+(x2+x3)a3=0因为实数x1,x2,x3不全为零，所以实数(x1+x2),(x2+x3),(x3+x1)不全为零,故向量组a1,a2,a3线性相关，这与已知a1,a2,a3线性无关矛盾，所以假设不能成立，只能是向量组b1,b2,b3线ci表示性i无关。

线性函数相关命题的证明张盈【摘要】线性函数是高等数学中最常见的一类函数,证明了一些常见的使所求函数为线性函数的等价的条件.类似的证明方法可以推广到二次函数的证明.【期刊名称】《高师理科学刊》【年(卷),期】2018(038)008【总页数】3页(P19-21)【关键词】线性函数;一次函数;二次函数【作者】张盈【作者单位】延安大学西安创新学院,陕西西安 710100【正文语种】中文【中图分类】O171线性函数[1]是高等数学中最常见的一类函数，本文证明了常见的一些等价条件，使得所求函数为线性函数．类似的证明方法可以推广到二次函数的证明[2-5]和一些非线性函数[6-8]的证明.命题1 设在上连续，若对于任意，，有，那么为线性函数.证明运用定积分的区间可加性得，而，，由，的对称性，可得，特别地，取，则有，即为线性函数. 证毕．推论1 设是上映射到自身的连续函数，对于任意，，都满足，则为指数函数，即，其中：是一个常数.命题2 设在上连续，若对于任意，，有，那么为线性函数.证法1 因为，又，故有，同命题1利用积分的方法，可得，即为线性函数.证法2 由已知条件，取常数，，用归纳法可以证明，对于任意，有成立，其中：满足. 记，那么在上稠密．由连续性可知，，因此为线性函数．命题3 设在上连续，对给定，，若对于任意，，有，那么为线性函数.证明令，由已知条件可知，，再令，则，于是，这样就把问题转化成命题1的情况，于是命题成立.证毕．命题4 设在区间上连续，若对于任意，有，那么为线性函数．证明选取，可得．取，得到，再取，得到．利用，可得，解之得，因此为线性函数．证毕．推论2 设在区间上可微，对给定，，若对于任意，，有，那么为线性函数或二次函数．证明当时，由，交换，得．与相减，得，从而为常数，因此为线性函数．当时，对于，取，使得．令，，则由条件可知，．式两边对求导，得，于是对于任意，，有，从而为一常数，因此为线性函数或二次函数. 证毕．命题5 设在内二次可微，若对于任意，有，那么为一次函数或二次函数.证明式两边对求导，得．任意给定，令，代入式，得，．式两边对求导，得，，于是在上为常数．再由的任意性可知，在内是一个常值函数，从而为一次函数或二次函数.证毕．命题6 设在内二次可微，对给定，，若对于任意，，有，那么为二次函数.证明取，代入式，得，利用与命题5相同的方法可知命题成立.证毕．【相关文献】[1] 陈纪修．数学分析（上）[M]．北京：高等教育出版社，2004[2] 舒阳春．高等数学中的若干问题解析[M]．北京：科学出版社，2005[3] 裘兆泰．数学分析学习指导[M]．北京：科学出版社，2004[4] 钱吉林．数学分析解题精粹[M]．武汉：崇文书局，2003[5] 裴礼文．数学分析中的典型问题与方法[M]．北京：高等教育出版社，2004[6] 林渠源．数学分析解题指南[M]．北京：北京大学出版社，2003[7] 张健. 关于几类不变线性函数的概念、判定和应用[J]. 重庆师范大学学报，2007，24（1）：15-18[8] 张宏. 利用线性函数证明不等式[J]. 数学通讯，2013，61（1）：62-64。