线性相关线性相关等价命题

线性代数第一章行列式一、相关概念1.行列式——n阶行列式是所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和，这里 是1，2，·n的一个排列。

当 是偶排列时，该项的前面带正号；当 是奇排列时，该项的前面带负号，即(1.1)这里表示对所有n阶排列求和。

式(1.1)称为n阶行列式的完全展开式。

2.逆序与逆序数——一个排列中，如果一个大的数排列在小的数之前，就称这两个数构成一个逆序。

一个排列的逆序总是称为这个排列的逆序数。

用 表示排列 的逆序数。

3.偶排列与奇排列——如果一个排列的逆序数是偶数，则称这个排列为偶排列，否则称为奇排列。

4.2阶与3阶行列式的展开—— ，5.余子式与代数余子式——在n阶行列式中划去 所在的第i行，第j列的元素，剩下的元素按原来的位置排法构成的一个n-1阶的行列式称为 的余子式，记为 ；称为 的代数余子式，记为 ，即 。

6.伴随矩阵——由矩阵A的行列式|A|所有的代数余子式所构成的形如，称为A的伴随矩阵，记作 。

二、行列式的性质1.经过转置行列式的值不变，即→行列式行的性质与列的性质是对等的。

2.两行互换位置，行列式的值变号。

特别地，两行相同(或两行成比例)，行列式的值为0.3.某行如有公因子k，则可把k提出行列式记号外。

4.如果行列式某行(或列)是两个元素之和，则可把行列式拆成两个行列式之和：5.把某行的k倍加到另一行，行列式的值不变：6.代数余子式的性质——行列式任一行元素与另一行元素的代数余子式乘积之和为0三、行列式展开公式n阶行列式的值等于它的任何一行(列)元素，与其对应的代数余子式乘积之和，即|A|按i行展开的展开式|A|按j列展开的展开式四、行列式的公式1.上(下)三角形行列式的值等于主对角线元素的乘积；2.关于副对角线的n阶行列式的值3.两个特殊的拉普拉斯展开式：如果A和B分别是m阶和n阶矩阵，则4.范德蒙行列式5.抽象n阶方阵行列式公式 (矩阵)若A、B都是n阶矩阵，是A的伴随矩阵，若A可逆，是A的特征值：；； |AB|=|A||B|；；；；若 ，则，且特征值相同。

向量组的线性相关与线性无关1、线性组合设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈,12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈,称1122t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+为12,,,t a a a ⋅⋅⋅的一个线性组合。

【备注1】按分块矩阵的运算规则,12112212(,,,)t t t t k kk a k a k a a a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭。

这样的表示就是有好处的。

２.线性表示设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈,n b R ∈,如果存在12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈,使得1122t t b k a k a k a =++⋅⋅⋅+则称b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示。

1122t t b k a k a k a =++⋅⋅⋅+,写成矩阵形式,即1212(,,,)t t k kb a a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭。

因此,b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示即线性方程组1212(,,,)t t k ka a ab k ⎛⎫ ⎪ ⎪⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭有解,而该方程组有解当且仅当1212(,,,)(,,,,)t t r a a a r a a a b ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅。

3、向量组等价设1212,,,,,,,n t s a a a b b b R ⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈,如果12,,,t a a a ⋅⋅⋅中每一个向量都可以由12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示,则称向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅可以由向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示。

如果向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅与向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅可以相互线性表示,则称这两个向量组就是等价的。

向量组等价的性质:(1) 自反性 任何一个向量组都与自身等价。

(2) 对称性 若向量组I 与ＩI 等价,则向量组II 也与I 等价。

向量组的线性相关性1、n 维向量由n 个数组成的有序数组()12,,,n a a a 称作一个n 维向量，记作()12,,,n a a a α= ，其中i a 称作α的第i 个坐标。

设()12,,,n a a a α= ，()12,,,n b b b β= ，当()1,2,,i i a i n b == 时，称α与β相等，记作αβ=。

称()12,,,n a a a α= 为n 维列向量，αT 为n 维行向量。

分量全为0的向量称为零向量。

向量()12,,,n a a a α= 的各分量的相反数所组成的向量，称为α的负向量，记作α-，即()12,,n a a a α=---- 。

向量加法定义：()1122,,,n n a b a b a b αβ+=+++ ；向量减法定义：()()1122,,,n n a b a b a b αβαβ-=+-=--- 。

向量α与数乘积定义；k 为任意实数，则()12,,,n k k k k αααα= n 维向量的加法和数乘运算满足下面性质（设α、β、γ表示n 维向量，k 、l 表示数量）。

（1）αββα+=+；（2）()()αβγαβγ++=++；（3）0αα+=；（4）()0αα+-=；（5）()k k k αβαβ+=+；（6）()k l k l ααα+=+。

2、向量的线性表示设12,,,s ααα ，β均为n 维向量，若存在一组数12,,,s k k k ，使得1122k k αβα=+++ s s k α，则称向量β是向量组12,,,s ααα 的一个线性组合，也称向量β可由向量组12,,,s ααα 线性表示。

3、向量组的线性相关性对于m 个n 维向量12,,,m ααα ，若存在不全为零的数12,,,m k k k ，使得11220m m k k k ααα+++= ，则称这m 个向量线性相关；否则，称它们线性无关。

通过线性相关和线性无关的定义可推出：（1）单独一个0向量，线性相关；高 数向量组的线性相关性知识点速记（2）含有0向量的向量组，线性相关；（3）单独一个非0向量，线性无关；（4）由n 个标准单位向量()11,0,0,,0=ε ，()20,1,0,,0=ε ，…，()0,,0,1n =ε 组成的向量组，线性无关。

第一章1、矩阵乘法矩阵乘法通常满足分配律而一般不满足交换律即AB!=BAf(x),g(x)为多项式，有：f(A)g(A)=g(A)f(A)f(A)g(B)!=g(B)f(A)2、矩阵的转置（A+B)^T=A^T+B^T （AB)^T=B^TA^T（kA)^T=kA^T（A^T)^T=A若A^t=-A 称A为反对称矩阵（斜对称矩阵）任意n阶方阵都可以写成对称矩阵和反对称矩阵之和。

3、矩阵的初等变换4、逆矩阵B唯一，B的逆为A。

(AB)^(-1）=B^(-1)A^(-1）(kA)^(-1）=（1/k)A^(-1）①A可逆②AX=0只有零解③Ab=0有唯一解〔①、③即为克拉默法则〕④A≌Ⅰ（等价）最简判断方法：det!=0逆矩阵求法：（A , I）—→（I , A^(-1））5、分块矩阵（注意使用即可）第二章1、性质（①、②为矩阵的某两行）某一行全为零，det=0某两行对应元成比例，则det=0 ①→k·①，则det→k·det①→k·②+①，则det不变①←→②，则det→（-det）detA=det（A^T）detA^-1=1/detAdetAB…N=detAdetB……detN det（kA）=k^n（detA）#伴随矩阵的性质y推导基础：AA*=A*A=（detA）Ⅰ若A可逆，则A^(-1) = (1/detA)A* det(A*）=（detA)^(n-1）(kA)*=k^(n-1）A*(A*)^(-1）= A^(-1)*(A^T)* =（A*)^T(AB)* = B*A*(A*)*=(detA)^(n-2) Ar(A*)={n(rA=n),1(rA=n-1),0(rA<n-1)} 2、矩阵的秩定义：矩阵A的非零子式的最高阶数称为A的秩，零矩阵的秩为0。

性质：A可逆←→R（A）=nR（A）=0←→A=0R（A）=R（A^T）k≠0时，R（kA）=R（A）若P,Q为可逆矩阵，则R（A）=R（PA）=R（AQ）=R（PAQ）A≌B←→R（A）=R（B）（1) 有：初等变换不改变矩阵的秩经过行初等变化把矩阵换为行最简，即可得到秩。

向量组的线性相关与线性无关1.线性组合设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈，12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈，称1122t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+为12,,,t a a a ⋅⋅⋅的一个线性组合。

【备注1】按分块矩阵的运算规则，12112212(,,,)t t t t k k k a k a k a a a a k ⎛⎫⎪ ⎪++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭。

这样的表示是有好处的。

2.线性表示设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈，n b R ∈，如果存在12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈，使得1122t t b k a k a k a =++⋅⋅⋅+则称b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示。

1122t t b k a k a k a =++⋅⋅⋅+，写成矩阵形式，即1212(,,,)t t k k b a a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭。

因此，b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示即线性方程组1212(,,,)t t k k a a a b k ⎛⎫ ⎪ ⎪⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭有解，而该方程组有解当且仅当1212(,,,)(,,,,)t t r a a a r a a a b ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅。

3.向量组等价设1212,,,,,,,n t s a a a b b b R ⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈，如果12,,,t a a a ⋅⋅⋅中每一个向量都可以由12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示，则称向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅可以由向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示。

如果向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅和向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅可以相互线性表示，则称这两个向量组是等价的。

向量组等价的性质：(1) 自反性 任何一个向量组都与自身等价。

(2) 对称性 若向量组I 与II 等价，则向量组II 也与I 等价。

◆定理1 向量组α1, α2,…, αn线性相关(⽆关)的充要条件是向量组中⾄少有⼀个(任⼀)向量可由(均不能)其余s-1个向量线性表出.◆定理2 向量组αj=(α1j, α2j,…, αnj)(j=1,2,…,s)线性相关(⽆关)的充要条件是齐次线性⽅程组有⾮零解(唯⼀零解).◆定理3 向量组α1, α2,…, αn线性⽆关，向量组α1, α2,…, αn，β线性相关，则β可由α1,α2,…,αn线性表出,且表法唯⼀.◆定理4 向量组(I)β1,β2,…,βn中的每⼀个向量均可由向量组(II)α1, α2,…, αm线性表出，且n>m，则向量组(I)β1,β2,…,βn线性相关(以少表多，则多相关)；反之，若(I)中每⼀个向量均可由(II)表出，且(I)线性⽆关，则s≤t.◆向量组等价两向量组等价，且记作(I)≅ (II).如果(I) α1, α2,…, αn和(II)β1,β2,…,βn可以互相线性表出，则成两向量组等价◆三秩相等r(A)=A的⾏秩(A的⾏向量组的值)=A的列秩(A的列向量组的值)◆初等变换不改变矩阵的秩设P1，Q1为初等矩阵，P，Q为可逆矩阵，则(1) r(A)=r(P1A)=r(AQ1)=r(P1AQ1)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)；(2) PAQ=B⇔A≅B⇔r(A)= r(B)；(3) 若A经过初等⾏变换得到B，则A的⾏向量组与B的⾏向量组是等价向量组；(4) 若A经过初等⾏变换得到B，则A和B的任何相应的部分列向量组具有相同的线性相关性.◆有关等式与不等式设A是m×n矩阵，B是满⾜有关矩阵运算要求的矩阵，则◆施密特正交化公式如果向量αTβ=0，则称向量α，β为正交向量.设α1,α2,…,αn为线性⽆关组，则其对应的正交向量组可按如下公式求：得到β1,β2,…,βn为正交向量组，将该向量组单位化，则得到⼀组标准正交向量组.◆过渡矩阵设α=(α1,α2,…,αn)与β=(β1,β2,…,βn)是R n的两组基，如果有β=AαT，则A称为过渡矩阵. 过渡矩阵是可逆矩阵.◆正交矩阵设A是n阶⽅阵，满⾜AA T=E或A T A=E，则称A为正交矩阵. A是正交矩阵，A T=A-1⇔A的⾏(列)向量组是标准正交向量组.◆正交变换设A是正交矩阵，则称y=Ax为正交变换，正交变换保持向量的内积不变，即保持向量的长度和两向量的夹⾓不变.(1) 有关向量的概念及其性质的命题解题⽅法：解题⽅法●向量的线性组合，向量组的线性相关与线性⽆关，极⼤线性⽆关组，向量空间的基，⼀定记熟.●重要定理，如增加向量不改变相关，增加分量不改变⽆关，等价向量组等秩，被表出的⽆关组的秩不超过表出组向量个数。