§1.4 命题的四种形式及等价关系

1.4 命题的形式及等价关系考点诠释1.命题：可以判断真假的语句叫做命题。

2.四种命题（1）四种命题：原命题：如果p ，那么q （或若p 则q ）；逆命题：若q 则p ； 否命题：若p 则q ；逆否命题：若q 则p 。

（2）四种命题之间的相互关系若 则否命题原命题若 则若 则逆否命题互 逆互 逆互 为互为逆 否逆否互 否互 否q p 若 则逆命题q p q p q p这里，原命题与逆否命题，逆命题与否命题是等价命题。

3.原命题与它的逆否命题同为真假，原命题的逆命题与否命题同为真假，所以对一些命题的真假判断（或推证），我们可通过对与它同真假的（具有逆否关系的）命题来判断（或推证）。

例题精析例1 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假。

（1）若1≤q ，则方程022=++q x x 有实根； （2）若y x ,都是奇数，则y x +是偶数； （3）若0=xy ，则00==y x 或思维引领本题考查四种命题及其真假判断。

.精辟分析（1）原命题是真命题；逆命题：若方程022=++q x x 有实根，则1≤q 是真命题； 否命题：若1>q ，则方程022=++q x x 无实根，是真命题； 逆否命题：若方程022=++q x x 无实根，则1>q 是真命题； （2）原命题是真命题；逆命题：若y x +是偶数，则y x ,都是奇数，是假命题； 否命题：若y x ,不都是奇数，则y x +不是偶数，是假命题； 逆否命题：若y x +不是偶数，则y x ,不都是奇数，是真命题； （3）原命题为真命题；逆命题：若00==y x 或，则0=xy ，是真命题； 否命题：若0≠xy ，则00≠≠y x 且，是真命题； 逆否命题：若00≠≠y x 且，则0≠xy ，是真命题；方法规律总结（1）“原命题”与“逆否命题”同真同假．．．．，“逆命题”与“否命题”同真同假．．．．，但“互逆”或“互否”的命题真假性未必相同。

高考数学四种命题及其相互关系学问点汇总数学课本中毁灭的四种命题的内容经常在高考选择题中考察，下面是学习啦我给大家带来的高考数学四种命题及其相互关系学问点汇总，期望对你有关怀。

高考数学四种命题及其相互关系学问点(一)1、四种命题：一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用或分别表示p和q的否认，四种命题的形式是：(1)原命题：若p则q;(2)逆命题：若q则p;(3)否命题：若则;(4)逆否命题：若则。

2、四种命题的真假关系：一个命题与它的逆否命题是等价的，其逆命题与它的否命题也是等价的;3、四种命题的相互关系：留意：1、区分"否命题'与"命题的否认'，若原命题是"若p则q'，则这个命题的否认是"若p则非q'，而它的否命题是"若非p则非q'。

2、互为逆否命题同真假，即"等价'高考数学四种命题及其相互关系学问点(二)【若则命题】命题的常见形式为"若p则q'，其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论.【逆命题】对于两个命题，假如一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题(originalproposition)，另一个称为原命题的逆命题(inverseproposition).也就是说，假如原命题为"若p，则q'，那么它的逆命题为"若q，则p'.【否命题】对于两个命题，假如一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否认和结论的否认，那么这两个命题称为互否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题(negativeproposition).也就是说，假如原命题为"若p，则q'，那么它的否命题为"若，则'.【逆否命题】对于两个命题，假如一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否认和条件的否认，那么这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题(inverseandnegativeproposition).也就是说，假如原命题为"若p，则q'，那么它的逆否命题为"若，则'.。

二、四种命题的形式§1.4.1命题的形式及等价关系（1） —命题与推出关系、四种命题形式1．了解命题、推出关系及命题证明的意义；2．知道常见数学命题的结构，掌握证明一些简单命题的真假的方法； 3．理解四种命题的形式及互相关系；4．能写出一些简单命题的逆命题、否命题及逆否命题.问1 什么是命题？如何判断命题的真假？[练习]（P14例1）下列语句哪些是命题，哪些不是命题？如果是命题，那么它们是真命题还是假命题？为什么？（1）个位数是5的自然数能被5整除； （2）凡直角三角形都相似； （3）上课请不要讲话；（4）互为补角的两个角不相等；（5）如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等； （6）你是高一学生吗？ （7）210x x ++>； （8）210x +>.问2 通常一个命题由哪两个部分组成？[例如]（1）对顶角相等. .（2）等腰梯形的两条对角线相等. 如果一个梯形的两腰相等，那么它的两条对角线相等.[练习] 将下列命题改写为“如果p ，那么q ”的形式.（1）个位是5的整数能被5整除；_________________________________________________.（2）空集是任何集合的真子集； _________________________________________________. （3）凡直角三角形都相似. _________________________________________________.问3 什么是推出关系（αβ⇒）？ 什么是等价关系？什么是推出关系的传递性？问4 写出四种命题形式，指出四种命题的真假关系？ 1、四种命题的构成形式[例][练习] 写出下列命题的逆命题、否命题、和逆否命题，并判断其真假.（1）如果0a =，那么0ab =；（2）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.2、四种命题的相互关系图及真假性问5 写出下列常用词语的否定词语：例1 判断下列命题的真假，并给出证明（1）对顶角相等；（2）两个无理数的和一定是无理数；（3）如果集合A 、B 、C 满足A B A C =，那么B C =；（4）如果一元二次方程20ax bx c ++=满足0ac <，那么这个方程有两个不相等的实数根.例2 写出下列语句的否定形式（1）a 、b 都是正数；（2）a 、b 、c 中至少有两个是负数； （3）a 、b 、c 中至多有两个是负数； （4）0a >或0b <；（5）对任意实数x ，都有2220x x -+>.[举一反三] 写出“存在实数x ，使得210x x -+=”的否定形式.例3 （1）写出命题“已知a 、b 、c 、d 是实数，若a b =，c d =，则ac bd =”的逆命题、否命题、逆否命题；（2）判断上述四个命题的真假并说明理由.例4 在下列命题中，用符号“⇒”、“⇐”，或“⇔”把α、β这两件事联系起来（1）α：实数x 满足92=x ，__________β：3=x 或3-=x ；（2）α：A B =∅，__________β：A =∅或B =∅； （3）α：B A ⊆，__________β：A B A = ； （4）α：0=ab ，__________β：0=a ； （5）α：a b +是偶数，β：33a b +是偶数.1. 用推出符号“⇒”、“⇐”，或“⇔”把α、β这两件事联系起来： （1）α：x N ∈__________β：2x N ∈； （2）α：0ab =__________β：0a =或0b =；（3）α：四边形ABCD 是平行四边形__________β：四边形ABCD 是矩形； （4）α：4a <-__________β：方程240x ax ++=有实数解. 2. 判断下列命题的真假：（1）互为子集的两个集合相等；（ ） （2）曲线231y kx x =+-与x 轴至少有一个交点； （ ） （3）若0a b +>且0ab >，则0a >或0b >；（ ） （4）无理数不都是无限小数.（ ）3. 写出下列语句的否定：（1）a b >____________________；（2）a 、b 、c 不都是无理数_____________________.4. 命题：如果0c =，那么抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的图像过原点的逆否命题是_________________________________________________________________________________. 5. 命题：“两个有理数的和是有理数”的否命题是_________________________________________. 6. 命题“设a 、b 、c ∈*N ，如果ab 是c 的倍数，那么a 、b 中至少有一个是c 的倍数”是___________ 命题（填“真”或“假”），理由是_____________________________________________________. 7. 与命题“x 、y 、z 不全是负数”等价的命题（ ） A ．x 、y 、z 中至少有一个是正数； B ．x 、y 、z 全不是负数；C ．x 、y 、z 中只有一个负数；D ．x 、y 、z 中至少有一个是非负数. 8. 有下列命题：① 210x +=不是方程；② 若a R ∈，则01a =，；③ 若2xa a =，则2x =； ④ 关于x 的不等式20ax a ->的解集是2()x a R >∈，其中假命题的个数是 （ ）A ．1；B ．2；C ．3；D ．4.9. 命题：“如果1x ≥，那么1x >”的逆否命题是 （ ） A ．如果1x >，那么1x ≥； B ．如果1x ≤，那么1x <； C ．如果1x <，那么1x ≤；D ．如果1x ≤，那么1x <.10. 命题:()M ax b cx d a b c d R +=+∈、、、，命题:d bN x a c-=-，则命题M 与N 的推出关系是（ ）A ．M N ⇐；B ．M N ⇒；C ．M N ⇔；D ．以上都不对. 11. 判断命题“两个奇数的平方差是8的倍数”的真假，并给出证明.12. 写出命题“非空集合A 、B 是全集U 的子集，若A B Ü，则U AB =∅ð”的逆命题、否命题、逆否命题，并指出是真命题还是假命题.13. 写出命题：“如果一元二次方程20ax bx c ++=有一正根和一负根，那么0ca<”的逆命题，判断真假并给出证明.。

1.4 命题的形式及等价关系基础热身：(1)命题“若21x <，则11x -<<”的逆否命题是（ ） .A 若2x ≥1，则x ≥1或x ≤1-.B 若11x -<<，则21x < .C 若1x >或1x <-，则21x > .D 若x ≥1或x ≤1-，则2x ≥1(2)命题“若函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在定义域内是减函数,则log 20a <”的逆否命题是（ ）A 、若log 20a ≥，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内不是减函数B 、若log 20a <，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内不是减函数C 、若log 20a ≥，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内是减函数D 、若log 20a <，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内是减函数知识梳理：1.命题：可以判断真假的语句叫做命题。

说明:(1)命题通常用陈述句表述。

数学中的定义、公理、定理等, 都是数学命题。

在数学中，一般只研究数学命题。

(2)命题一般地由条件、结论两部分组成。

命题常写成“如果α，那么β”的形式。

对于这样的命题，用“如果”开始的部分是条件，用“那么”开始的部分是结论。

注意:α、β也都是命题，可能是简单命题，也可能是复合命题。

简单命题：不含逻辑联结词的命题。

复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题。

逻辑联结词：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词。

如：(1)3是12的约数.(2)3是12的约数且3是15的约数.2．判断命题的真假：正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题。

（1） 确定一个命题是真命题必须作出证明；①直接证明；②间接证明（同一法、反证法）直接法：即从已知条件出发，依据所学过的公理，定理，公式进行逐步推理，从而得出结论。

1.4 命题的形式及等价关系1.命题与推出关系在初中，我们已经知道，可以判断真假的语句叫做命题，命题常用陈述句表述.正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题.【例题】判断下列语句哪些不是命题，哪些是命题？如果是命题，那么它们是真命题还是假命题？为什么？（1）个位数是5的自然数都能被5整除；（2）凡直角三角形都相似；（3）上课请不要讲话；（4）互为补角的两个角不相等；（5）如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等；（6）你是高一学生吗？在数学中常见的命题由条件与结论两部分组成.要确定一个命题是假命题，只要举出一个满足命题条件，而不满足命题结论的例子就可以了，这在数学中称为举反例.如果命题α成立可以退出命题β也成立，那么就说由α可以退出β，并用记号α⟹β表示，读作“α推出β”.换言之，α⟹β表示以α为条件、β为结论的命题是真命题.如果α成立不能推出β成立，可记作α⇏β.换言之，α⇏β表示以α为条件，β为结论的命题是一个假命题.如果α⟹β，并且β⟹α，那么记作α⟺β，叫做α与β等价.推出关系具有传递性【例题】用符号⇒、⇐、⟺表示下列事件的推出关系；（1）α：△ABC是等边三角形，β：△ABC是轴对称图形，αβ；（2）α：一次函数y=kx+b的图像经过第一、二、三象限，β：一次函数y=kx+b中，k>0，b>0,αβ；（3）α：实数x适合x2=1，β：x=1，αβ.2. 四种命题形式逆命题：“如果α，那么β”把结论与条件互换，就得到一个新命题“如果β，那么α”，我们把这个命题叫做原命题的逆命题.例如：平行四边形的对角线互相平分→对角线互相平分的四边形是平行四边形否命题：把原命题的条件和结论都换成它们的否定形式，那么另一个命题就叫做原命题的否命题.例如：平行四边形的对角线互相平分→如果四边形不是平行四边形，那么它的对角线不互相平分【例题】请写出下列命题的逆命题和否命题，并判断其真假.命题A：如果两个三角形全等，那么它们的面积相等；命题B：如果一个三角形两边相等，那么这两边所对的角也相等.逆否命题：如果把原命题“如果α，那么β”结论的否定作条件，把条件的否定作结论，那么就可得到原命题的逆否命题.例如：平行四边形的对角线互相平分→如果一个四边形的对角线不互相平分，那么这个四边形不是平行四边形.3.等价命题逆命题与否命题互为逆否命题互为逆否命题的两个命题是同真同假的【例题】原命题、逆命题、否命题、逆否命题，这四种命题中真命题的个数可能是【例题】证明：若a2−4b2−2a+1≠0，则a≠2b+1..【例题】已知a，b，c∈R，证明：若a+b+c<1，则a，b，c中至少有一个小于13当我们证明某个命题有困难时，就可尝试用证明它的逆否命题来代替证明原命题.1.5 充分条件，必要条件“三角形有两个内角相等”“三角形是等腰三角形”“某个整数能够被4整除”“某个整数是偶数”一般地，用α、β分别表示两个命题，如果命题α成立，可以推出命题β也成立，即α⟹β，那么α叫做β的充分条件，β叫做α的必要条件.对于α、β两件事而言，α与β之间不一定有充分条件或者必要条件的关系，例如a+b>0与ab>0，是非充分非必要条件【例题】已知四边形ABCD是凸四边形，那么“AC=BD”是“四边形ABCD是矩形”的什么条件？为什么？如果α⟹β，那么α是β的充分条件；如果β⟹α，那么α是β的必要条件.如果既有α⟹β，又有β⟹α，即α⟺β，那么α既是β的充分条件，又是β的必要条件.这时我们就说α是β的充分必要条件，简称充要条件.“三角形两个内角相等”“三角形是等腰三角形”思考：x,y不都为0x,y都不为0的充分条件1.6 子集与推出关系设A、B是非空集合，A={a|a具有性质α}，B={b|b具有性质β}，则A⊆B与α⟹β等价。