全国百强校教师原创上海交大附中学高一上学期数学精品教学案 ： 命题的形式及等价关系二

一、概念课【教案样例】教学目标：１．知道命题、真命题、假命题，理解命题的推出关系、等价关系，推出关系的传递性；２．在探究命题推出关系的过程中，体会举反例判断假命题的要领，初步会用推出关系的传递性证明一个命题是真命题的方法；３．在认识一些基本的逻辑关系及其运用活动中，体会逻辑语言在数学表达和论证中的作用， 确立真命题必须作出证明的数学意识.教学重点：理解命题的推出关系.教学难点：运用逻辑语言表述和判断假命题、论证真命题.教学过程：２．概念形成：（教学提示：这一环节可采用教师引领下的学生阅读教材或学生阅读教师呈现的PPT 素材，教师引导学生举反例判断假命题用逻辑语言论证真命题，激发学生积极思考、参与教学的热情） （１）命题的构成：在数学中常见的命题由条件与结论两部分组成.如命题“如果2x >，那么24x >”，其中2x >是条件，24x >则是结论.2x y +=，但不满足命题结论11x y ≥≥且.如命题“末两位数是１２的正整数能被４整除”是一个真命题.理由：因为末两位数是１２的正整数可以写成10012k +的形式（*k N ∈），而100124(253)k k +=+，所以10012k +能被４整除.即命题“末两位数是１２的正整数能被４整除”是一个真命题.（４）推出关系：一般地说，如果命题α成立可以推出命题β成立，那么就说由α可以推出β，并用记号“βα⇒”，读作“α推出β”.也就是说，βα⇒表示以α为条件、β为结论的命题是真命题.如果α成立不能推出β成立，记为“βα⇒/”，读作“α推不出β”.换言之，βα⇒/表示以α为条件、β为结论的命题是假命题.（５）等价关系：如果αβ⇒，并且βα⇒，那么记作αβ⇔，叫做α与β等价.数学交流：（１） 阅读教材16P 第１行至第１１行，说一说利用推出关系的传递性证明一个命题是真命题的基本方法.（教学提示：教师概括）（２）推出关系“⇒”是一种关系符号，具有传递性，试举出具有传递性的其他关系符号……３．概念应用（教学提示：采用师生共同完成，或让学生独立完成，再选代表交流，提问是否有不同答案，进一步明晰概念，达成正确理解概念的目的）【属性】高一（上），集合与命题，命题与推出关系，解答题，中，分析问题解决问题【题目】下列语句哪些不是命题，哪些是命题？如果是命题，那么他们是真命题或是假命题？为什么？（１）个位数是５的自然数能被５整除；（２）凡直角三角形都相似；（３）上课请不要讲话；（４）互为补角的两个角不相等；（５）如果两个三角形的三条边对应相等，那么两个三角形全等；（6）你是高一学生吗？【解答】（略，解答祥见教材）．解题反思：举反例是判断假命题的重要方法；我们必须通过论证来说明一个命题是真命题.【属性】高一（上），集合与命题，命题与推出关系，填空题，中，分析问题解决问题【题目】判断下列各组中命题,αβ的推出关系：（１）:αk 是能被４整除的自然数， :βk 是偶数；（２）:α实数x 满足方程2870x x -+=，:β17x x ==或；（３）:α实数x 满足方程||5x =，:β5x =；【解答】（１） :αk 是能被４整除的自然数，即42(2)()k m m m N ==∈，所以，k 是偶数.即αβ⇒.但β⇒α/.反例：因为6k =是偶数，而不能被４整除.（２） 实数x 满足方程2870x x -+=，可得17x x ==或，即⇒αβ.同样，如果17x x ==或，则有2870x x -+=，即⇒βα.因此，⇔αβ.（３） 若5x =，必有||5x =，即⇒βα.但5x =-满足||5x =，而不满足5x =，即α⇒β/.４．课堂反馈（学生独立完成，教师巡视，提供指导和发现闪光点，获取第一手反馈材料,强化概念的理解和重视概念的应用）（１）教材练习P１．４（１）：１，２．16（２）练习册P习题１．４A组１,２．5５．课堂小结：（让学生用自己的语言归纳小结，并通过补充和订正提高参与度）（１）命题、真命题、假命题；（２）命题的推出关系、等价关系，推出关系的传递性；（３）会用举反例方法判断假命题；确定一个命题是真命题则需要证明.6．作业布置：（基础型）必做题：（１）练习册P１．４A ３；5（２）练习册P１．４B １,２．6（拓展型）选做题：（３）请举出一个或两个具有传递性的关系符号或运算.【情景资源】情景１（新课导入）在初中，我们已经知道，可以判断真假的语句叫做命题.命题通常用陈述句表述.正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．今天，我们将进一步学习运用基本的逻辑关系判断命题的真假，或用初步的逻辑语言论证真命题，我们先学习的“命题与推出关系”（引入新课）……情景２（过渡衔接）我们说一个命题是假命题，只要列举一个反例即可（尽管有千百种理由说明是假命题，但只要一个反例即可，举两个则多余）；那么如果我们说明一个命题是真命题，那我们又应该做什么呢？……情景３（过渡衔接）我们都知道符号“＝、>、<”具有传递性，那么“ ”也是一种符号，它也具有传递性吗？说一说你的想法……【题目资源】【属性】高一（上），集合与命题，命题与推出关系，填空题，易，分析问题解决问题【题目】【解答】真命题．【属性】高一（上），集合与命题，命题与推出关系，填空题，易，分析问题解决问题【题目】【解答】真命题．【属性】高一（上），集合与命题，命题与推出关系，填空题，易，分析问题解决问题【题目】【解答】假命题．【属性】高一（上），集合与命题，命题与推出关系，填空题，易，分析问题解决问题【题目】【解答】真命题.【属性】高一（上），集合与命题，命题与推出关系，填空题，易，分析问题解决问题【题目】【解答】假命题.【属性】高一（上），集合与命题，命题与推出关系，填空题，易，分析问题解决问题【题目】命题．【解答】假命题.【属性】高一（上），集合与命题，命题与推出关系，填空题，易，分析问题解决问题【题目】【解答】假命题.【属性】高一（上），集合与命题，命题与推出关系，填空题，易，分析问题解决问题【题目】【解答】假命题.【属性】高一（上），集合与命题，命题与推出关系，填空题，易，分析问题解决问题【题目】【解答】真命题.【属性】高一（上），集合与命题，命题与推出关系，填空题，易，分析问题解决问题【题目】已知:αABC ∆是等边三角形；:βABC ∆是轴对称图形.命题,αβ的推出关系是 ．【解答】αβ⇒，但βα⇒/．【属性】高一（上），集合与命题，命题与推出关系，填空题，中，分析问题解决问题【题目】已知:α一次函数(0)y kx b k =+≠的图像经过第一、二、三象限；:β一次函数(0)y kx b k =+≠中0,0k b >>.命题,αβ的推出关系是 ．【解答】αβ⇔.【属性】高一（上），集合与命题，命题与推出关系，填空题，易，分析问题解决问题【题目】已知:α实数x 满足方程2x x =；:β1x =.命题,αβ的推出关系是【解答】βα⇒，但αβ⇒/．【属性】高一（上），集合与命题，命题与推出关系，填空题，易，分析问题解决问题【题目】已知x y N ∈、，α：x y +是偶数，β：x 和y 都是偶数. 命题,αβ的推出关系是 ．【解答】βα⇒，但αβ⇒/．【属性】高一（上），集合与命题，命题与推出关系，解答题，较难，分析问题解决问题【题目】已知α：1a >，β：a >. 命题,αβ的推出关系是 ．【解答】若1a >，则2a a >（两边同乘以a ），即a >.因此，αβ⇒.若a >0a >）两边平方，得2a a >，两边同除以a ，得1a >.于是，有βα⇒. 所以，,αβ的推出关系是αβ⇔.【属性】高一（上），集合与命题，命题与推出关系，填空题，易，分析问题解决问题【题目】已知m n Z ∈、，α：m n 、均为偶数，β：m n +是偶数. ,αβ的推出关系是 .【解答】αβ⇒，但βα⇒/．【属性】高一（上），集合与命题，命题与推出关系，填空题，易，分析问题解决问题【题目】【解答】βα⇒，但αβ⇒/.【属性】高一（上），集合与命题，命题与推出关系，填空题，易，分析问题解决问题【题目】已知a b c R ∈、、且0a ≠，p ：240b ac ->，q :关于x 的方程20ax bx c ++=有实数根. ,p q 的推出关系是 .【解答】p q ⇒，但q p ⇒/.【属性】高一（上），集合与命题，命题与推出关系，填空题，易，分析问题解决问题【题目】【解答】αβ⇒，但βα⇒/.【属性】高一（上），集合与命题，命题与推出关系，填空题，易，分析问题解决问题【题目】已知p ：0a ≠，q :0ab ≠. ,p q 的推出关系是 .【解答】q p ⇒，但p q ⇒/.【属性】高一（上），集合与命题，命题与推出关系，填空题，较难，数学探究与创新【题目】对于直角坐标平面上任意两点1122(,)(,)A x y B x y 、，定义他们之间的一种新距离为： 1212||||||AB x x y y =-+-.现给出下列三个命题（点A 、B 、C 均在坐标平面上）中，真命题的是 .（１）若点C 在线段AB 上，则||||||AC CB AB +=；（２）在ABC ∆中，若90C ∠=，则222||||||AC CB AB +=； （３） 在ABC ∆中，||||||AC CB AB +>【解答】（１）是真命题．（２）、（３）都是假命题.。

2022-2023学年上海交通大学附属中学高一上学期分考试数学试题一、填空题1．关于x 的不等式的解集是___________.23020x x -≤-【答案】(20,23]【分析】把给定不等式化成一元二次不等式求解即可.【详解】不等式化为：，解得，2320x x -≤-200(23)(20)0x x x -≠⎧⎨--≤⎩2023x <≤所以不等式的解集是.23020x x -≤-(20,23]故答案为：.(20,23]2．已知a 、，且，则ab 的最大值是____________.R b ∈2241a b +=【答案】##0.2514【分析】利用基本不等式得，即可得到最大值.22144a b ab =+≥ab 【详解】因为实数满足，,a b 2241a b +=所以由基本不等式可得：221422a b a b=+≥⨯所以，当且仅当，即时等号成立，14ab ≤22142a b ==a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即的最大值为.ab 14故答案为：.143．若点P (3，y )是角终边上一点，且，则y 的值是____________.α2sin 3=-a 【答案】【分析】利用三角函数值的定义，即可求解.【详解】，解得s 32in α==-y =故答案为：4．已知.若是奇函数，则实数a 的值是____________.()11f x x x a =+-(1)=-y f x 【答案】2-【分析】利用已知函数的定义域，结合奇函数的定义计算作答即可.【详解】函数的定义域为且，11()f x x x a =+-{R |0x x ∈≠}x a ≠因为函数是奇函数，则当且时，恒成立，(1)=-y f x 1x ≠1x a ≠+(1)(1)0f x f x --+-=因此，整理得，111101111x x a x x a +++=--------2221101(1)a x a x ++=-+-即，于是得，解得，22222(1)(1)(2)0(1)[(1)]a a a x x a x ++++--=-+-2(1)(1)020a a a ⎧+++=⎨--=⎩2a =-所以实数a 的值是.2-故答案为：2-5．若函数的值域是，则函数的值域是____________.()y f x =1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦()()()12121F x f x f x =+++【答案】172,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】由给定条件求出的值域，换元借助对勾函数性质即可得解.(21)f x +【详解】因函数的值域是，从而得函数值域为，()y f x =1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦(21)t f x =+1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦函数变为，，()F x 1y t t =+1,42t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦由对勾函数的性质知在上递减，在上递增，1y t t =+1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦[1,4]时，，而时，，时，，即，1t =min 2y =12t =52y =4t =17y 4=max 174y =所以原函数值域是.172,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦故答案为：.172,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦6．已知里氏震级R 与地震释放的能量E 的关系为.那么里氏8.4级的地震释放的()2lg 11.43R E =-能量大约是里氏6.8级地震释放的能量的_____________倍.(精确到0.1)【答案】251.2【分析】根据给定条件，作差并结合对数运算求解作答.【详解】令里氏8.4级的地震释放的能量为，里氏6.8级的地震释放的能量为，1E 2E 则，，两式相减并整理得，()12lg 11.48.43E -=()22lg 11.4 6.83E -=12lg lg 2.4E E -=即，因此.12lg 2.4E E = 2.41210251.2E E =≈故答案为：251.27．若一个等腰三角形顶角的正弦值为，则其底角的余弦值为____________.2425【答案】或.3545【分析】设顶角，则其底角的余弦值为，由半角公式求值即可.()0,πα∈πcos sin 222ααæöç÷-=ç÷èø【详解】设顶角，则，∴或()0,πα∈247sin ,cos 2525αα==±3sin 25α=45则其底角的余弦值为或.π3cos sin 2225ααæöç÷-==ç÷èø45故答案为：或.35458．已知点A 的坐标为，将OA 绕坐标原点顺时针旋转至，则点的横坐标是(4,3)-3πOA 'A '____________.【分析】根据给定条件，利用三角函数定义，结合差角的余弦公式求解作答.【详解】以x 轴非负半轴为角的始边，令射线OA 为终边的角为，则射线为终边的角为，αOA 'π3α-显然，，5OA OA =='=34sin ,cos 55αα=-=因此，πππ413cos cos cos sin sin 333525ααα⎛⎫-=+=⨯- ⎪⎝⎭所以点A '5=9．方程的实数解为____________.9135x x +-=【答案】3log 2x =【分析】分、两种情况化简方程，求出的值，解之即可.0x ≤0x >9135x x +-=3x【详解】当时，则，由可得，可得；0x ≤31x ≤9135xx+-=()23340x x--=3x =当时，则，由可得，可得，解得.0x >31x>9135x x +-=()23360x x+-=32x =3log 2x =故答案为：.3log 2x =10．设，当时，恒成立，则实数m 的取值范围是()222x xf x --=R x ∈()()210f x mx f ++>____________.【答案】()1,1-【分析】根据题意把不等式转化为即，结合函数的单调性2(2)(1)0f x mx f ++>2(2)(1)f x mx f +>-和奇偶性，得到在上恒成立，根据二次函数的性质，列出不等式，即可求解.2210x mx ++>R x ∈【详解】由函数，111(22)[2()]22222()2x x x x x x f x --=--=⋅-=均为在上的增函数，故函数是在上的单调递增函数，1212,2xxy y ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ R ()f x R 且满足，所以函数为奇函数，1111()22()22()x x x x f x f x --------=-=-=-()f x 因为，即，2(2)(1)0f x mx f ++>2(2)(1)(1)f x mx f f +>-=-可得恒成立，即在上恒成立，221x mx +>-2210x mx ++>R x ∈则满足，即，解得，2(2)40m -<244m <11m -<<所以实数的取值范围是.m (1,1)-故答案为：.(1,1)-11．已知，（是自然对数的底数），若对任意的，都存在唯一的，()ln f x x =1,e D t ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e a D ∈b D ∈使得，则实数的取值范围是_____________.()()4f a f b +=t 【答案】{}5e【分析】分析出函数在上单调递增，可得出，即可求得实数的值.()f x D ()14e 1e f t f t ⎧⎛⎫+= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪>⎪⎩t 【详解】因为函数在上单调递增，()f x D 对任意的，都存在唯一的，使得，a D ∈b D ∈()()4f a f b +=则，解得.()1ln 14e 1e f t f t t ⎧⎛⎫+=-= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪>⎪⎩5e t =故答案为：.{}5e 12．对任意集合M ，定义，X 是全集，集合，则对任意的，下列命1.()0,M x Mf x x M ∈⎧=⎨∉⎩,S T X ⊆x X ∈题中真命题的序号是_____________.（1）若，则；S T ⊆()()S T f x f x ≤（2）；()()1S S f x f x =-（3）；()()()S S T T f x f x f x =⋅ （4）(其中符号[a ]表示不大于a 的最大整数).()()()12S T S T f x f x f x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦ 【答案】（1）（2）（3）（4）【分析】根据给定条件对4个命题逐一分析并判断作答.【详解】对于(1)，因，时，，，时，，而S T ⊆x S ∈x T ∈()()1S T f x f x ==x S ∉()0S f x =或，则，(1)正确；()0T f x =()1T f x =()()S T f x f x ≤对于(2)，时，，则，时，，x S ∈x S ∉()1,()0S S f x f x ==x S ∉x S ∈即，，从而有，(2)正确；()0,()1S S f x f x ==()()1S S f x f x +=()1()S S f x f x =-对于(3)，，则，，x S T ∈ ,x S x T ∈∈()1,()1,()1S T S T f x f x f x === 即，()()()S T S T f x f x f x =⋅ ，则，此时与至少有一个成立，即与中至少一个x S T ∉⋂()0S T f x = x S ∉x T ∉()0S f x =()0T f x =成立，从而成立，()()()S T S T f x f x f x =⋅综上知(3)正确；对于(4)，时，，若，则，x S T ∈⋃()1S T f x = ,x S x T ∈∈()1,()1S T f x f x ==，()()13[[]122S T f x f x ++==若，则，，,x S x T ∈∉()1,()0S T f x f x ==()()1[]12S T f x f x ++=若，同理可得，,x S x T ∉∈()()1[12S T f x f x ++=若，则，，，x S T ∉⋃,x S x T ∉∉()()()0S T S T f x f x f x === ()()11[[]022S T f x f x ++==综上得，(4)正确.()()1()[]2S S T T f x f x f x ++= 故答案为：（1）（2）（3）（4）.【点睛】方法点睛：本题关键是理解函数的新定义，题目的来源是数学中著名的狄利克雷函数，需要对函数的新定义充分理解，进行合理的分类讨论，做到不重复不遗漏，可以利用维恩图进行辅助.二、单选题13．若a ，b 为实数，则“”是“”的（ ）1ab >1b a >A ．充分但非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件【答案】D【分析】通过举反例和反例即可判断.2,3a b =-=-2,3a b =-=【详解】当时，满足，但此时，故正向无法推出，2,3a b =-=-1ab >1b a <同样时，满足，但此时，故反向也无法推出，2,3a b =-=1b a >1ab <故“”是“”的既不充分也不必要条件.1ab >1b a >故选：D.14．已知是钝角，那么下列各值中能取到的值是（ ）θsin cos θθ-A ．B ．C ．D ．43345312【答案】A【分析】利用辅助角公式可得出，求出的取值范围，结合正弦函πsin cos 4θθθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭π4θ-数的值域可得出的取值范围，即可得出合适的选项.sin cos θθ-【详解】因为，则，所以，，ππ2θ<<ππ3π444θ<-<(πsin cos 4θθθ⎛⎫-=-∈ ⎪⎝⎭所以，可取的值为.sin cos θθ-43故选：A.15．已知.对于正实数，下列关系式中不可能成立的是（ ）()22x f x =-()a b a b ≠、A ．B ．22a b ab f ff a b +⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭22ab a b f f f a b +⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭C ．D ．22ab a b f f f a b +⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭22ab a b ff f a b +⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭【答案】D【分析】根据给定条件，结合均值不等式可得，再探讨函数的单调性，确22a b aba b +>>+()f x定中不可能最大的作答.2(),(2ab a bf f f a b ++【详解】正实数，则，有，()a b a b ≠、02a b +>>02a bab +>>2ab a b >+因此，函数，202a b ab a b +>>>+22,1()2222,1xxx x f x x ⎧-≥=-=⎨-<⎩即有函数在上单调递减，在上单调递增，()f x (0,1][1,)+∞若，则有，C 正确；012a b+<≤2()()2ab a b f f f a b +>>+若，则有，A 正确；21aba b ≥+2()()2a b ab f f f a b +>>+若且时，，12a b +>201aba b <<+1≥2a b f f +⎛⎫> ⎪⎝⎭时，，实数最大数记为，1≤2ab f f a b ⎛⎫> ⎪+⎝⎭,,c d e max{,,}c d e于是，22max{(),(max{(),(22a b ab a b abf f f f f f a b a b ++=>++因此选项B 可能，选项D 一定不可能.故选：D16．若，，下列判断错误的是ππtan 22b a θθ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭()()sin cos 02πa x b x x ϕϕ+=+≤<（ ）A ．当时，B ．当时，0,0a b >>ϕθ=0,0a b ><2πϕθ=+C ．当时，D ．当时，0,0a b <>πϕθ=+0,0a b <<2πϕθ=+【答案】D【分析】根据给定条件，结合辅助角公式的变形，确定辅助角的取值作答.ϕ【详解】由选项知，，，0ab≠sin cos )a xb x x x +=令，有，，cos ϕϕ==)sin t n ππ2an ta (c 2os b a ϕϕθθϕ==-<=<02πϕ≤<则，sin cos cos cos sin ))a x b x x x x ϕϕϕ+=+=+对于A ，当时，为第一象限角，且，，，则，A0,0a b >>ϕπ02ϕ<<π02θ<<tan tan ϕθ=ϕθ=正确；对于B ，当时，为第四象限角，且，，，则0,0a b ><ϕ3π2π2ϕ<<π2θ-<<tan tan(2π)ϕθ=+，B 正确；2πϕθ=+对于C ，当时，为第二象限角，且，，，则0,0a b <>ϕππ2ϕ<<π2θ-<<tan tan(π)ϕθ=+，C 正确；πϕθ=+对于D ，当时，为第三象限角，且，，，则0,0a b <<ϕ3ππ2ϕ<<π02θ<<tan tan(π)ϕθ=+，D错误.πϕθ=+故选：D三、解答题17．已知.tan 2θ=-π2θ<<(1)求；tan θ(2)【答案】(2)3+【分析】(1)利用二倍角的正切公式求解；(2)利用弦化切的方法求解.【详解】（1）因为22tan tan 21tan θθθ==--解得，2tan 0θθ-=t an θ=tan θ=因为，所以.π02θ<<tan θ=（2.sin cos tan 13sin cos tan 1θθθθθθ++====+--18．用水清洗一堆蔬菜上残留的农药.对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定:用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的，用水越多洗掉的农药量也越多，设用x 单位量的水清洗一次以后，13蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为.()f x (1)假定函数的定义域是，写出，的值，并判断的单调性；()y f x =[0,)+∞(0)f (1)f ()y f x =(2)设，求实数t 的值，现有单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分()211f x t x =+⋅(0)a a >成2份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由.【答案】(1)；；严格单调递减；(0)1f =2(1)3f =(2)；答案见解析.12t =【分析】（1）根据给定信息，直接求出，的值，再根据题意判断的单调性即可；(0)f (1)f ()f x （2）分别计算两种方式的农药残留量，再作差比较大小即可.【详解】（1）表示没有用水清洗时，蔬菜上残留的农药量将保持原样，则，(0)f (0)1f =因为用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的，则蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的13农药量之比为，因此，232(1)3f =因为用水越多洗掉的农药量也越多，则蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比越小，因此函数严格单调递减.()f x （2）由（1）知，，而函数，于是，解得，，2(1)3f =()211f x t x =+⋅1213t =+12t =22()2f x x =+清洗一次，残留在蔬菜上的农药量为，122()2y f a a ==+把水平均分成2份后清洗两次，残留在蔬菜上的农药量为，222222264[([]2(8)2()2a y f a a ===++，2122222222642(4)(4)2(8)(2)(8)a a a y y a a a a +--=-=++++当时，，当时，，当时，，4a >12y y >4a =12y y =04a <<12y y <所以当时，分成2份后清洗两次，清洗后蔬菜上残留的农药量少；4a >当时，两种清洗方案效果相同；4a =当时，清洗一次，清洗后蔬菜上残留的农药量少.04a <<19．已知是定义在上的奇函数，当时，.()y f x =R 0x >()1x f x x =-+(1)求的值，并写出的解析式；(0),(1)f f -()f x (2)若，求实数a ，b 的值.()[]{}|,,,22a b y y f x x a b ⎡⎤=∈=⎢⎥⎣⎦【答案】(1),.()()100,12f f =-=()1xf x x =-+(2)1,1a b =-=【分析】(1)根据函数奇偶性的概念求函数值和解析式；(2)根据函数的单调性结合值域列出方程即可求解.【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，()y f x =R 所以，1(0)0,(1)(1)2f f f =-=-=当时，，0x <()()1x f x f x x =--=--所以，即.,01()0,0,01xx x f x x x x x ⎧-<⎪-⎪==⎨⎪⎪->+⎩()1xf x x =-+（2）因为当时，单调递减，0x >()1111x f x x x =-=-+++且函数为奇函数，所以在上单调递减，()f x R 所以当时，，当时，，0x <()0f x >0x >()0f x <因为，所以，()[]{}|,,,22a b y y f x x a b ⎡⎤=∈=⎢⎥⎣⎦0a b <<所以，即解得.()2()2b f a a f b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩1212a b a b a b ⎧-=⎪⎪-⎨⎪-=⎪+⎩1,1a b =-=20．在平面直角坐标系中，两点、的“直角距离”定义为，记为11(,)P x y ()22,Q x y 1212x x y y -+-.如，点、的“直角距离”为9，记为.PQ (1,2)P --(2,4)Q 9PQ =(1)已知点，Γ是满足的动点Q 的集合，求点集Γ所占区域的面积；(0,0)P 1PQ ≤(2)已知点，点，求的取值范围；(0,0)P [(cos ,sin )(0,2))Q αααπ∈PQ (3)已知动点P 在函数的图像上，定点，若的最小值为1，1y x =-)[(),sin 0,2π)Q ααα∈PQ 求的值.α【答案】(1)2(2)⎡⎣(3)或或π3α=4π311π6【分析】（1）分类讨论区绝对值，得到其图形为正方形，求出其边长，则得到面积；（2）分，，，四类讨论即可；0,2απ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦,2παπ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦3,2παπ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦3,22παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（3）利用绝对值不等式有，再根据范围即可得到答案.||12sin 13PQ πα⎛⎫≥+-= ⎪⎝⎭α【详解】（1）设，则，(),Q x y 1x y +≤当，则，0,0x y ≥≥1x y +≤当，则，0,0x y ≥<1x y -≤当，则，0,0x y <≥1x y -+≤当，则，0,0x y <<1xy --≤顺次连接四点,()()()()0,1,1,0,0,1,1,0A B C D --则得到点集所占区域面积.2S ==（2），|||0cos ||0sin ||cos ||sin |PQ αααα=-+-=+当，此时，π0,2α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦sin ,cos 0αα≥则，||cos sin 4PQ πααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，，π0,2α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ππ3π,444α⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦，即，则，πππsin sin ,sin 442α⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦πsin 4α⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎦||PQ ∈当，此时，π,π2α⎛⎤∈ ⎥⎝⎦sin 0,cos 0αα≥<则，πcos sin 4PQ ααα⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，，π,π2α⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦ππ3π,444α⎛⎤∴-∈ ⎥⎝⎦，即，则，π3ππsin sin ,sin 442α⎛⎫⎡⎤∴-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦πsin 4α⎤⎛⎫-∈⎥ ⎪⎝⎭⎦||PQ ∈当，此时，3π,2απ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦sin 0,cos 0αα<≤则，πcos sin 4PQ ααα⎛⎫=--=+ ⎪⎝⎭，，3,2παπ⎛⎤∈ ⎝⎦ 57,444πππα⎛⎤∴+∈ ⎥⎝⎦则，则，sin 1,4πα⎡⎛⎫+∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣[1,PQ ∈当，此时，，3π,2π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin 0α<cos 0α>则，||cos sin 4PQ πααα⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，，3,22παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ π5π7π,444α⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭则，，πsin 1,4α⎡⎛⎫+∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣(||PQ ∴∈综上，.[1,PQ ∈（3）设，根据绝对值不等式有(),1P x x-|||||(1sin )|PQ x x αα=+-+，π1sin 12sin 13ααα⎛⎫≥+=+-= ⎪⎝⎭若，即，，，π12sin 13α⎛⎫+-= ⎪⎝⎭πsin 03α⎛⎫-= ⎪⎝⎭[)0,2πα∈ ππ5π,333α⎡⎫∴-∈-⎪⎢⎣⎭或，或.π03α∴-=ππ3α∴=4π3若，即，，π12sin 13α⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭sin 13πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭π3π32α∴-=11π6α∴=综上或或.π3α=4π311π621．设函数的反函数存在，记为.设，.()y f x =()1y f x -=(){}A x f x x ==()(){}1B x f x f x -==(1)若，判断是否是、中的元素；()116x f x ⎛⎫=⎪⎝⎭12A B (2)若在其定义域上为严格增函数，求证：；()y f x =A B =(3)若的方程有两个不等的实数解，求实数的取值范()f x =x ()()1f x a f x a --=+a 围.【答案】(1)，12A ∉12B ∈(2)证明见解析(3)7,24⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】（1）求出函数的解析式，利用元素与集合的关系判断与集合、的关系，可得()1f x -12A B 出结论；（2）分析可知，利用集合的包含关系以及函数的单调性证得，()(){}B x f f x x ==A B ⊆，即可证得结论成立；B A ⊆（3）令，分析可得，由已知方程可得，可得()()y g x f x a ==+()()11g x f x a --=-()()1g x g x -=，可得出，分析可得方程有两个不等的非负实根，根据二次方()()g g x x =()g x x =220x x a -+-=程根的分布可得出关于实数的不等式组，解之即可.a 【详解】（1）解：因为，则，()116xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭()1116log f x x -=所以，，则，所以，，116x A x x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭121111642⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭12A ∉，则，所以，.1161log 16x B x x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭41211216111log log 22416--⎛⎫=== ⎪⎝⎭12B ∈（2）解：由题意可得，()(){}()(){}1B x f x f x x f f x x -====任取，则，所以，，，故；1x A ∈()11f x x =()()()111f f x f x x ==1x B ∴∈A B ⊆任取，则，下面证明出.2x B ∈()()22f f x x =()22f x x =因为函数在其定义域内为严格增函数，()f x 若，则，与题设矛盾；()22f x x <()()()222f f x f x x <<若，则，与题设矛盾.()22f x x >()()()222f f x f x x >>故，即，故.()22f x x =2x A ∈B A ⊆综上所述，.A B =（3）解：令，则，则，即()()y g x f x a ==+()()11x a f y x g y --⎧+=⎪⎨=⎪⎩()()11g y f y a --=-，()()11g x f x a--=-由可得，所以，，()()1f x a f x a --=+()()1g x g x -=()()g g x x=因为在其定义域内单调递增，所以，有两个不等的非负()g x =()g x x =x =实根，整理可得，220x x a -+-=所以，，解得.()Δ14247010220a a a ⎧=--=->⎪⎪>⎨⎪-≥⎪⎩724a <≤因此，实数的取值范围是.a 7,24⎛⎤ ⎥⎝⎦。

上海交通大学附属中学2021-2021学年度第一学期高一数学期终考试卷本试卷共有22道试题，总分值100分，考试时间90分钟。

请考生用钢笔或圆珠笔将答案写在答题卷上命题：杨逸峰杨逸峰〔本试卷允许使用计算器，凡属用计算器所得之值，如无特别说明，请准确到小数点后3位〕一、填空题〔本大题总分值42分〕本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否那么一律得零分。

1、 集合A ={x ∣|x -1|>1}，那么A =R____________。

2、 不等式lg(1)1x -<的解集是_________。

〔用区间表示〕3、 过点P (4，2)的幂函数是________函数。

〔填“奇函数〞、“偶函数〞、“非奇非偶函数〞、“既奇又偶函数〞〕4、 假设函数y =A ，值域为B ，那么A ∩B =____________。

5、 函数3()2x f x +=，1()f x -是()f x 的反函数，假设16mn =〔m ，n ∈R +〕，那么11()()f m f n --+的值为______________。

6、 函数2lg(82)y x x =+-的单调递增区间是__________。

7、 给出函数1()x x f x e e -=+，假设0()()f x f x ≥对一切x ∈R 成立，那么0x =________。

8、 设2()lg2x f x x +=-，那么2()()2x f f x+的定义域为_________。

9、 假设函数()f x 〔x ∈R 〕的图像关于点M (1，2)中心对称，且()f x 存在反函数1()f x -，假设(4)0f =，那么1(4)f -=___________。

10、用二分法求得函数f (x )=x 3+2x 2+3x +4在(-2，-1)内的零点是_______。

〔准确到0.1〕11、函数223y x x =-+在区间[0，m ]上的最大值为3，最小值为2，那么实数m 的取值范围是______________。

教学目标：（１）正确理解充要条件的概念，能在简单的情景中判断结论成立的充分性与必要性，基本掌握判断充要条件的方法；（２）通过充要条件的学习与理解，体会命题等价转化的思想方法；（３）进一步培养简单逻辑推理的思维能力，逐步养成严谨的学习态度。

教学重点：正确理解充要条件的意义以及充要条件判断的方法。

教学难点：正确区分充要条件以及两个命题等价关系的判断。

教学过程： 1、 情景引入１．什么是充分条件？什么是必要条件？（通过概念的复习，为新知学习作必要的认知准备）２．指出下列各组命题中，“α⇒β”及“β⇒α”是否成立。

（１）α：(3)(4)0x y --= β：（22(3)(4)0x y -+-=（２）α：实数0m > β：方程20x x m +-=有两个不相等的实根（３）α：三角形三边相等 β：三角形三个角相等（（１）α≠>β，β⇒α；（２）α⇒β， β≠>α ；（３）“α⇒β”且“β⇒α”）说明：通过问题学习，一方面复习充分条件与必要条件的有关概念，同时引出在命题关系中，有一类关系既是充分的又是必要的，就是本节课一起研究的充分必要条件。

充要条件定义：一般地，如果既有α⇒β，又有β⇒α，即有α⇔β；这时，α既是β的充分条件，又是β的必要条件，我们说α是β的充分必要条件，简称充要条件。

说明：判断α是β的什么条件时，不仅要考察α⇒β是否成立，即“若α则β”形式命题是否正确，还得考察β⇒α是否成立，即“若β则α”形式命题是否正确。

【题目】：指出下列各命题中，α是β的什么条件：（１）α：1x > β：2x > （２）α：5x > β：1x >- （３）α：()()230x x --= β：20x -= （４）α：3x = β：29x =（５）α：1x =± β：210x -=【解答】：（１）必要非充分条件；（２）充分非必要条件；（３）必要非充分条件；（４）充分非必要条件；（５）充要条件【属性】：高一（上），集合与命题，充要条件，解答题，中，逻辑思维能力【题目】：请举例说明：（１）α是β的充分而不必要条件； （２）α是β的必要而不充分条件；（３）α是β的既不充分也不必要条件； （４）α是β的充要条件。

上海交⼤附中09-10学年⾼⼀上学期期终试卷（数学）上海交⼤附中09-10学年⾼⼀上学期期终试卷⾼⼀数学（满分100分，90分钟完成。

答案⼀律写在答题纸上）命题：李喆审核：杨逸峰校对：王思亮⼀．填空题：（本⼤题共12题，每题3分，满分36分）1、设p ：|x-1|<1，q ：0122<--x x ，则p 是q 的_________条件(充分必要性)。

2、若⼀个数集中任何⼀个元素的倒数仍在该集合中，则称该集合是“可倒”的数集，请你写出⼀个“可倒”的数集_____________。

3、在与2010 ⾓终边相同的⾓中，绝对值最⼩的⾓的弧度数是__________。

4、若⽅程x 2-5x+m=0与x 2-nx+15=0的解集分别为A 、B ，且A ?B={3}，则m+n=_________。

5、设函数f(x)=>≤--0012x xx x，若f(x 0)>1，则x 0的取值范围是___________。

6、若函数y=f(x)为奇函数，且当x<0时，f(x)=x+lg|x|，则f(10)=___________。

7、函数y=ln(4+3x-x 2)的单调减区间为____________。

8、已知函数f(x)=12+++bx xa x 在[-1，c]上为奇函数，则f(21)?c 的值为_________。

9、不等式0的解集为___________。

10、已知函数f(x)=1---a x x a 的反函数f -1(x)的图像的对称中⼼是(b ，3)，则实数a+b 为____。

域为[0，2]，则区间[a ，b]的长度的最⼤值为_________。

12、设函数f(x)的定义域为D ，若对于任意的x 1∈D ，存在唯⼀x 2∈D 的使2)()(21x f x f +=C(C为常数)，则称函数f(x)在D 上的均值为C 。

给出下列四个函数：①y=x 2；②y=x ；③y=2x ；④y=lgx ；则满⾜其在定义域上均值为2的所有函数是______________(填写序号)。

教学目标: １、理解集合的包含关系与命题推出关系的等价性，初步掌握用集合间的包含关系进行推理的方法以及通过推出关系解决集合的包含关系的相关问题；２、初步形成逻辑思维能力及等价转化思想，进一步树立辩证唯物主义的观点。

教学重点：集合间的包含关系与命题的推出关系之间的联系。

教学难点：灵活运用集合间的包含关系进行推理，解决具体问题。

教学过程： 1、 情景引入如果α⇔β，α叫做β的充要条件） ２．引例：用“⊆”，“⊇”，“⇒”，“⇐”填空：（１）｛x x 是上海人｝________｛x x 是中国人｝； 我是上海人 ________ 我是中国人 (2) {x|x>５} ________ {x|x>３} ； x>５ ________ x>３ (3) {x|x ２=１}_______ {x|x=１} ； x ２=１ _______ x=１ （ （１） ⊆；⇒（２）⊆；⇒（３）⊇；⇐ ） ３．讨论从上述引例中，子集与推出关系有怎样的联系？（我们可以发现，将符合具有性质α的元素的集合记为A ，将符合具有性质β元素的 集合记为B ，若A B ⊆，则αβ⇒；反之，若αβ⇒，则A B ⊆。

） 2、 概念形成１．定义：子集与推出关系是指集合的包含关系与集合性质的推出关系。

２．设{}α具有性质a a A =，{}β具有性质b b B =，则“B A ⊆”与“βα⇒”等价。

（证明略）集合 元素的性质（命题）{}α具有性质a a A =α{}β具有性质b b B =βB A ⊆ βα⇒B A ⊇βα⇐B A =βα⇔【题目】：试用子集与推出关系来说明α是β的什么条件。

（１）1:=x α，1:2=x β（２） :α正整数n 被５整除 , :β正整数n 的个位数是５ 【解答】：（１）充分非必要条件；（２）必要非充分条件说明:体会运用集合之间的包含关系来研究推出关系。

【属性】：高一（上），集合与命题，子集与推出关系，解答题，易，逻辑思维能力【题目】：试用子集与推出关系来说明集合A 与B 的关系。

高一数学期中试卷（满分150分，120分钟完成．答案请写在答题纸上）一、填空题（本大题满分54分，前6题每题4分，后6题每题5分）1.已知集合{}{1},1,0,2A x x B =<=-，则⋂=A B ___________．2.函数y =__________.3.“x 、y 中至少有一个大于0”是“0x y +>”的_____________条件．（用“充分非必要”“必要非充分”“充要”或“既非充分也非必要”填空）4.已知12x x +=，则331x x -的值为_____________．5.已知0.63a=，则 5.4log 3=____________（结果用含a 的式子表示）．6.不等式211x x-≤的解集为___________.7.不等式41320x x--<的解集为_____________．8.如果当78x ≤≤时，|||2|()x k x k k -+-∈R 都能取到最小值，则实数k 的取值范围是___________．9.若存在x 满足不等式2211133x axx a +--⎛⎫⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则实数a 的取值范图是______________．10.如图，正方形OABC 的边长为(1)a a >，函数22y x =与AB 交于点Q ，函数12y x -=与BC 交于点P ，当||||AQ CP +最小时，实数a 的值为____________．11.已知集合{1,2,3}S =，若||||a b c -+的平均数为最简分数nm ，其中a b c S ∈、、，则m n +的值为___________．12.已知2()2()21,x f x b x a x a b x =⋅+⋅++⋅-∈R ，其中a 、b 正实数．若{}{}()0(())0x f x x f f x ===≠∅，则222a ba b b a +++的最大值为___________．二、选择题（本大题满分20分，共有4题，每题5分）13.化简29log 3x的结果为（）A.xB.1xC.xD.1||x 14.函数()b x f x a -=的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是（）A.1a >，0b <B.1a >，0b >C .01a <<，0b < D.01a <<，0b >15.已知a 、b 、c 为互不相等的正数，且222a c bc +=，则下列关系中可能成立的是（）A.a b c>> B.a c b>> C.b c a>> D.c b a>>16.已知2()(0)f x ax bx c a =++≠，且方程()f x x =无实根，现有四个命题：①若0a >，则不等式()f f x x >⎡⎤⎣⎦对一切x R ∈成立；②若a<0，则必存在实数0x 使不等式()00f f x x >⎡⎤⎣⎦成立；③方程()f f x x ⎡⎤=⎣⎦一定没有实数根；④若0a b c ++=，则不等式()f f x x <⎡⎤⎣⎦对一切x R ∈成立，其中真命题的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个三．解答题（本大题满分T 6分）解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要步骤．17.已知{}{}2230,1,A x x x B x x a a R =--≤=-≤∈．（1）若A B A ⋃=，求出实数a 的取值范围；（2）若a A ∈，求A B ⋂．18.已知()2()x f x x =∈R ．（1）解不等式：(2)()12f x f x +≤；（2）记()()()g x f x f x =+-，求函数(2)2()y g x g x =-的最小值．19.某公司经过测算，计划投资A 、B 两个项目．若投入A 项目资金x （万元），则一年创造的利润为2x（万元）；若投入B 项目资金x （万元），则一年创造的利润为10,020()3020,20xx f x x x ⎧≤≤⎪=-⎨⎪>⎩（万元）．（1）当投入A 、B 两个项目的资金相同且B 项目比A 项目创造的利润高，求投入A 项目的资金x （万元）的取值范围；（2）若该公司共有资金30万元，全部用于投资A 、B 两个项目，且要求投资B 项目的资金不超过10万元，则该公司一年至少能创造多少利润？（结果精确到0.1万元）．20.已知22(),kk f x x k -++=∈Z ．（1）若函数()y f x =的定义域为R ，求k 的值；（2）若(4)(3)f f ->-，且()21()(20a f x a -+-+>恒成立，求实数a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若存在实数m ，使得关于x 的方程22(1)20f x mx --+=．恰有4个不同的正根，求实数m 的取值范围．21.已知，集合(){}12,,,,01,1,2,,n n i S X X x x x x i n ==== 或(2)n ≥，对于()()1212,,,,,,,n n n n A a a a S B b b b S =∈=∈ ，定义A 与B 之间的距离为：1122(,)n n d A B a b a b a b =-+-++- ．（1）对任意的22,A S B S ∈∈，请写出(,)d A B 可能的值（不必证明）；（2）设4P S ⊆，且P 中有4个元素，记P 中所有元素间的距离的平均值为()d P ，求)d P 的最大值；（3）对()()1212,,,,,,,n n n n A a a a S B b b b S =∈=∈ ，定义：()1122,,,n n A B a b a b a b -=--- ．求证：对任意的,,n A B C S ∈，有以下结论成立：①(,)(,)d A C B C d A B --=．②(,)(,)(,)d A B d B C d A C 、、三个数中至少有一个是偶数．高一数学期中试卷（满分150分，120分钟完成．答案请写在答题纸上）一、填空题（本大题满分54分，前6题每题4分，后6题每题5分）1.已知集合{}{1},1,0,2A x x B =<=-，则⋂=A B ___________．【答案】{}2【分析】利用集合的补集和交集运算求解.【详解】解：因为集合{}1,A x x =<所以{}|1A x x =≥又{}1,0,2B =-，所以{}2A B ⋂=，故答案为：{}22.函数y =__________.【答案】(,1)-∞【分析】由给定函数有意义列出不等式，解之即得.【详解】在函数y =10x -≥，而分式分母不能为0≠，所以101010x x x -≥⎧⎪⇒->⇒<≠，所以原函数定义域为(,1)-∞,答案为：(,1)-∞3.“x 、y 中至少有一个大于0”是“0x y +>”的_____________条件．（用“充分非必要”“必要非充分”“充要”或“既非充分也非必要”填空）【答案】必要非充分【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】先证明0x y +>时，x 、y 中至少有一个大于0假设x ,y 均不大于0，即x ≤0且y ≤0，则x ＋y ≤0，这与x ＋y ＞0矛盾，即当x ＋y ＞0时，x ,y 中至少有一个大于0，即必要性成立，若x ＝1，y ＝−2，满足x ,y 中至少有一个数大于0，但x ＋y ＞0不成立，即充分性不成立，故“x ,y 中至少有一个数大于0”是“x ＋y ＞0”成立的必要不充分条件，故答案为：必要非充分．4.已知12x x +=，则331x x-的值为_____________．【答案】0【分析】解方程求出x ，再代入计算即可.【详解】12x x+= 2210x x ∴-+=，解得1x =333311101x x ∴-=-=故答案为：0.5.已知0.63a =，则 5.4log 3=____________（结果用含a 的式子表示）．【答案】12a a+【分析】先通过换底公式得到31log 0.6a=，再将 5.4log 3转化为以3为底的形式，利用对数的运算性质计算即可.【详解】由0.63a=得0.631log 3log 0.6a ==，即31log 0.6a=，()5.433331111log 31log 5.4log 0.69log 0.6log 9122aaa∴=====⨯+++故答案为：12a a+6.不等式211x x-≤的解集为___________.【答案】{}01x x <≤【分析】移项将分式不等式化为标准形式，再化为一元二次不等式可解得结果.【详解】211x x -≤等价于210x x x --≤等价于10x x -≤，等价于(1)0x x -≤且0x ≠，即01x <≤，故不等式211x x-≤的解集为{}01x x <≤.故答案为：{}01x x <≤.【点睛】本题考查了分式不等式的解法，考查了一元二次不等式的解法，考查了转化化归思想，属于基础题.7.不等式41320x x --<的解集为_____________．【答案】()0,1【分析】根据式子结构可得0x >，再通过不等式的性质及指数的运算性质变形，最后利用幂函数的性质解不等式即可.【详解】由41320x x--<中的结构12x -可得0x >，41320x x ->>∴，14231x-->∴，即1161x -∴>，即61161111x =<116y x = 在()0,∞+上单调递增，01x ∴<<故答案为：()0,18.如果当78x ≤≤时，|||2|()x k x k k -+-∈R 都能取到最小值，则实数k 的取值范围是___________．【答案】[]4,7【分析】根据绝对值三角不等式的取等条件，结合已知自变量的范围，列出不等关系，即可求得结果.【详解】因为|||2|x k x k -+-()()2x k x k k ≥---=，当且仅当()()20x k x k --≤时取得最小值；当0k ≤时，因为[]7,8x ∈,所以不满足题意；当0k >时，要取得最小值，则[],2x k k ∈；根据题意，当[]7,8x ∈，都要取得最小值，则[]7,8是[],2k k 的子集，则7,28k k ≤≥，解得[]4,7k ∈.故答案为：[]4,7.9.若存在x 满足不等式2211133x axx a +--⎛⎫⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则实数a 的取值范图是______________．【答案】()()8,,0+∞-∞U 【分析】根据指数函数的单调性化简，令()()()221f x x a x a =+-++，然后结合二次函数的图像列出不等式，即可得到结果.【详解】根据题意可得存在x 满足221x ax x a +<--，即()()2210x a x a +-++<令()()()221f x x a x a =+-++，即存在x 满足()0f x <所以()()22410a a ∆=--+>，解得8a >或a<0即a 的取值范图是()()8,,0+∞-∞U 故答案为:()()8,,0+∞-∞U 10.如图，正方形OABC 的边长为(1)a a >，函数22y x =与AB 交于点Q ，函数12y x -=与BC 交于点P ，当||||AQ CP +最小时，实数a 的值为____________．【答案】2【分析】由题意，可用a 表示出线段AQ 及CP 的长度，再由基本不等式求最值，即可求得||||AQ CP +取最小时的a 值．【详解】解：点P 在函数12y x -=上，则12CP aa-=，点Q 在函数22y x =上，则22Q x a =，的||2Q a AQ x ==12||||22222a a AQ CP a a ∴+≥⋅=当且仅当2a a=，即2a =时取等号，21>知，当||||AQ CP +最小时，a 的2．2．11.已知集合{1,2,3}S =，若||||a b c -+的平均数为最简分数nm，其中a b c S ∈、、，则m n +的值为___________．【答案】27【分析】根据题意，分类讨论a b =或a b ¹两种情况即可求解.【详解】设k a b c =-+，①：a b =，c 取1,2,3，则1,2,3k =，②：a b ¹，则1a b -=或2a b -=，c 取1,2,3，则2,3,4,5k =，故12323452077n m ++++++==，则27m n +=故答案为：2712.已知2()2()21,x f x b x a x a b x =⋅+⋅++⋅-∈R ，其中a 、b 正实数．若{}{}()0(())0x f x x f f x ===≠∅，则222a ba b b a+++的最大值为___________．【答案】2333【分析】设{}{}1()0(())0x x f x x f f x ∈===，即可得到()00f =，从而求出1a b +=，令1b a =-，代入目标式子化简得到()13131a a ++-+，再利用基本不等式计算可得.【详解】解：设{}{}1()0(())0x x f x x f f x ∈===，()()()110f x f f x ∴==，()00f ∴=，即()010f a b =+-=，故1a b +=，所以1b a =-，又a 、b 为正实数，所以01a <<，则112a <+<所以()222221221111a b a a a b b a a a a a a a a ++=+=-+++-+--+()()211331a a a +=++-+()123333131a a =≤++-+当且仅当131a a+=+，即1a =时取等号，即222a b a b b a +++的最大值为2333.故答案为：2333+二、选择题（本大题满分20分，共有4题，每题5分）13.化简29log 3x 的结果为（）A.x B.1xC.xD.1||x 【答案】C【分析】利用对数的运算性质求解即可.【详解】223329loglog log 333x x xx ===，故选：C14.函数()b x f xa -=的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是（）A.1a >，0b <B.1a >，0b >C.01a <<，0b <D.01a <<，0b >【答案】A【分析】由()b xf x a-=，可得1()x bf x a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，由图像可知函数是减函数，则101a<<，从而可求出a 的范围，由0(0)1f <<可求出b 的取值范围【详解】由()b x f x a -=，可得1()x bf x a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为由图像可知函数是减函数，所以101a<<，所以1a >，因为0(0)1f <<，所以001b a a <<=，所以0b <，故选：A15.已知a 、b 、c 为互不相等的正数，且222a c bc +=，则下列关系中可能成立的是（）A.a b c >>B.a c b>> C.b c a>> D.c b a>>【答案】CD【分析】根据基本不等式，结合题意，即可判断和选择.【详解】对AB ：2222a c bc ac +=>，又0c >，故b a >，则AB 错误；对C ：若b c >，则22222a c bc c +=>，即22a c >，又0,0a c >>，故a c >，则b a c >>满足题意，C 正确；对D ：若c b >，则c b a >>，D 正确.故选：CD.16.已知2()(0)f x ax bx c a =++≠，且方程()f x x =无实根，现有四个命题：①若0a >，则不等式()f f x x>⎡⎤⎣⎦对一切x R ∈成立；②若a<0，则必存在实数0x 使不等式()00f f x x >⎡⎤⎣⎦成立；③方程()f f x x ⎡⎤=⎣⎦一定没有实数根；④若0a b c ++=，则不等式()f f x x <⎡⎤⎣⎦对一切x R ∈成立，其中真命题的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【分析】利用二次函数的图象和性质分别判断()f f x ⎡⎤⎣⎦与x 的关系.【详解】解：方程()f x x =无实根.()0f x x ∴->或()0f x x -<.0,()0a f x x >∴->对一切R 成立,()f x x ∴>,用()f x 代入,[()]()f f x f x x ∴>>,命题①正确；同理若a<0,则有[()]f f x x <.命题②错误,命题③正确；0a b c ++= ,(1)10f -<必然归为a<0,有[()]f f x x <.命题④正确.①③④正确.故选C【点睛】本题主要考查了二次函数的性质以及二次不等式的应用综合性较强,难度较大.三．解答题（本大题满分T 6分）解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要步骤．17.已知{}{}2230,1,A x x x B x x a a R =--≤=-≤∈．（1）若A B A ⋃=，求出实数a 的取值范围；（2）若a A ∈，求A B ⋂．【答案】（1）02a ≤≤（2）答案见解析【分析】（1）求出集合AB ，然后根据并集结果列不等式求解即可；（2）分111a a -<-<+，1113a a -≤-<+≤，131a a -<<+讨论，确定A B ⋂【小问1详解】由已知{}[]22301,3A x x x =--≤=-，{}[]1,1,1B x x a a R a a =-≤∈=-++A B A =Q U ，B A ∴⊆1113a a -+≥-⎧∴⎨+≤⎩解得02a ≤≤【小问2详解】由（1）[]1,3A =-，[]1,1B a a =-++，[]1,3a ∈-，当111a a -<-<+，即10a -≤<时，[]1,1A B a ⋂=-+当1113a a -≤-<+≤，即02a ≤≤时，[]1,1A B a a =-+ 当131a a -<<+，即23a <≤时，[]1,3A B a =- 18.已知()2()x f x x =∈R ．（1）解不等式：(2)()12f x f x +≤；（2）记()()()g x f x f x =+-，求函数(2)2()y g x g x =-的最小值．【答案】（1）(]2,log 3-∞（2）2-【分析】（1）首先求出()2f x ，则不等式即为22212x x +≤，解得423x -≤≤，再根据指数函数的性质计算可得；（2）首先表示出()g x ，从而得到(2)2()y g x g x =-的解析式，令22x x t -=+，利用基本不等式求出t 的取值范围，则问题转化为求函数()222h t t t =--，[)2,t ∈+∞的最小值，根据二次函数的性质计算可得.【小问1详解】解：因为()2()x f x x =∈R ，所以2(2)2x f x =，则不等式(2)()12f x f x +≤，即22212x x +≤，即()222120x x +-≤，即()()24230x x+-≤，解得423x -≤≤，显然24x ≥-恒成立，则只需满足23x ≤，解得2log 3x ≤，即不等式的解集为(]2,log 3-∞.【小问2详解】解：()()()22x x g x f x f x -=+-=+，则()()22(2)2()22222xx x x y g x g x --=-=+-+，令22x x t -=+，则222x x t -=+≥=当且仅当22-=x x ，即0x =时取等号，则()2222222222x x x xt --+=+-=-，所以问题转化为求函数()222h t t t =--，[)2,t ∈+∞的最小值，因为()()213h t t =--对称轴为1t =，开口向上，所以()h t 在[)2,+∞上单调递增，所以()()min 22h t h ==-，所以函数(2)2()y g x g x =-的最小值为2-.19.某公司经过测算，计划投资A 、B 两个项目．若投入A 项目资金x （万元），则一年创造的利润为2x（万元）；若投入B 项目资金x （万元），则一年创造的利润为10,020()3020,20xx f x x x ⎧≤≤⎪=-⎨⎪>⎩（万元）．（1）当投入A 、B 两个项目的资金相同且B 项目比A 项目创造的利润高，求投入A 项目的资金x （万元）的取值范围；（2）若该公司共有资金30万元，全部用于投资A 、B 两个项目，且要求投资B 项目的资金不超过10万元，则该公司一年至少能创造多少利润？（结果精确到0.1万元）．【答案】（1）()10,40；（2）14.5万元.【分析】（1）根据已知函数模型，列出不等式，求解即可；（2）根据题意，求得利润关于投资B 项目资金x 的函数关系，结合基本不等式求其最小值即可.【小问1详解】根据题意，当020x ≤≤时，10302x xx >-，即()100x x ->，解得0x <或10x >，故满足题意的(]10,20x ∈；当20x >时，202x>，解得40x <，则此时()20,40x ∈；综上所述，()10,40x ∈，故当B 项目比A 项目创造的利润高时，投入A 项目的资金x （万元）的取值范围()10,40.【小问2详解】根据题意，设投资A 项目x （万元），则投资B 项目30x -（万元），则03010x ≤-≤，解得[]20,30x ∈；则公司一年的利润()10301600110101014.5222x x y x x x -⎛⎫=+=+-≥⨯=≈ ⎪⎝⎭（万元），当且仅当600x x=，即x =（万元）时取得最小值.即该公司一年至少能创造14.5万元的利润.20.已知22(),kk f x x k -++=∈Z ．（1）若函数()y f x =的定义域为R ，求k 的值；（2）若(4)(3)f f ->-，且()21()(20a f x a -+-+>恒成立，求实数a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若存在实数m ，使得关于x 的方程22(1)20f x mx --+=．恰有4个不同的正根，求实数m 的取值范围．【答案】（1）0k =或1k =（2）97a <-或1a ≥（3）10,16⎛⎫⎪⎝⎭【分析】（1）根据幂函数的性质得到220k k -++>，求出不等式的解析，再结合k ∈Z ，求出k 的值；（2）首先分析22k k -++的取值情况，依题意及幂函数的性质可得()f x 在(),0∞-上单调递减，即可确定()f x 的解析式，则问题即()221(1)20a x a x -+-+>恒成立，根据函数的奇偶性，只需研究0x ≥的情况即可，结合二次函数的性质计算可得；（3）由（2）可得方程222(1)120x x x mx ---+=在()0,∞+上有4个不同的根，令()1x m x x-=()0,x ∈+∞，分析()m x 的取值情况，则问题转化为2211220x x m x x---+=，即22()()20m x m x m -+=，再令()s m x =，关于s 的方程2220s s m -+=在()0,1上有两个不等的根，结合一元二次方程根的分布问题得到不等式组，解得即可.【小问1详解】解：函数22(),kk f x x k -++=∈Z 的定义域为R ，则220k k -++>，所以()()210k k -+<，解得12k -<<，又k ∈Z ，所以0k =或1k =；【小问2详解】解：因为()2212k k k k -++=--+且Z k ∈，若k 为奇数，则1k -为偶数，则()12k k --+为偶数，若k 为偶数，则1k -为奇数，则()12k k --+为偶数，且221992244k k k ⎛⎫-++=--+≤ ⎪⎝⎭，因为(4)(3)f f ->-，所以()f x 在(),0∞-上单调递减，若222k k -++=，即0k =或1k =时()2f x x =符合题意，若220k k -++=，即1k =-或2k =时()0f x x =，不符合题意，若220k k -++<，则22()k k f x x -++=为偶函数且在()0,∞+上单调递减，则()f x 在(),0∞-上单调递增，不符合题意；所以()2f x x =，则不等式()21()(20a f x a -+-+>恒成立，即()221(1)20a x a x -+-+>恒成立，因为()()221(1)2h x a x a x =-+-+为偶函数，由()0h x >恒成立，只需研究0x ≥的情况即可，①当0x =时显然成立，②当0x >时()221(1)20a x a x -+-+>恒成立，若210a -=解得1a =或1a =-，当1a =时显然成立，当1a =-时不等式即220x -+>，解得1x <，不符合题意；若210a -<，即11a -<<时，显然不成立，若210a ->，即1a >或1a <-时，函数()()221(1)2g x a x a x =-+-+的对称轴为()121x a -=+，开口向上，当1a >时()1021x a -=<+，又()020g =>，所以()()221(1)20g x a x a x =-+-+>()0,x ∈+∞恒成立，符合题意，当1a <-时()1021x a -=>+，则()()221810a a ∆=---<，解得1a >（舍去）或97a <-，综上可得：97a <-或1a ≥；【小问3详解】解：由（2）可得22(1)20f x mx --+=，即()222(1)120x x x mx ---+=，因为方程22(1)20f x mx --+=在()0,∞+上有4个不同的根，即222(1)120x x x mx ---+=在()0,∞+上有4个不同的根，令()1x m x x-=，()0,x ∈+∞，当1x >时，()111x m x x x-==-，所以()m x 在(1,)+∞上单调递增，则()()0,1m x ∈；当01x <<时，()111x m x x x-==-，所以()m x 在(0,1)上单调递减，则()(0,)m x ∈+∞．方程222(1)120x x x mx ---+=可变形为2211220x x m xx---+=，即22()()20m x m x m -+=，令()s m x =，则方程为2220s s m -+=，要使得原方程有4个不同的正根，则关于s 的方程2220s s m -+=在()0,1上有两个不等的根1s ，2s ，所以211602021120m m m ->⎧⎪>⎨⎪⨯-+>⎩，解得1016m <<，故实数m 的取值范围为10,16⎛⎫⎪⎝⎭．21.已知，集合(){}12,,,,01,1,2,,n n i S X X x x x x i n ==== 或(2)n ≥，对于()()1212,,,,,,,n n n n A a a a S B b b b S =∈=∈ ，定义A 与B 之间的距离为：1122(,)n n d A B a b a b a b =-+-++- ．（1）对任意的22,A S B S ∈∈，请写出(,)d A B 可能的值（不必证明）；（2）设4P S ⊆，且P 中有4个元素，记P 中所有元素间的距离的平均值为()d P ，求)d P 的最大值；（3）对()()1212,,,,,,,n n n n A a a a S B b b b S =∈=∈ ，定义：()1122,,,n n A B a b a b a b -=--- ．求证：对任意的,,n A B C S ∈，有以下结论成立：①(,)(,)d A C B C d A B --=．②(,)(,)(,)d A B d B C d A C 、、三个数中至少有一个是偶数．【答案】（1）证明见解析（2）83，（3）证明见解析【分析】（1）（2）由新定义计算，（3）由新定义与反证法证明，【小问1详解】由题意得2{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}S =，22,A S B S ∈∈，则(,)d A B 可能的值为0,1,2，【小问2详解】设{,,,}P A B C D =，4个元素中第1个位置共t 个1，4t -个0，当0=t 时，1111111111111=||||||||||||0s a b a c a d b c b d c d -+-+-+-+-+-=，当1t =时，1111111111111=||||||||||||3s a b a c a d b c b d c d -+-+-+-+-+-=，当2t =时，1111111111111=||||||||||||4s a b a c a d b c b d c d -+-+-+-+-+-=，当3t =时，1111111111111=||||||||||||3s a b a c a d b c b d c d -+-+-+-+-+-=，当4t =时，1111111111111=||||||||||||0s a b a c a d b c b d c d -+-+-+-+-+-=，若要使()d P 最大，则2t =，同理得第2，3，4个位置各有2个1，2个0，()d P 的最大值为44863⨯=，【小问3详解】①由题意得,,{0,1}i i i a b c ∈，1,2,,i n = ，若0i c =，则||i i i a c a -=，||i i i b c b -=，||||||||i i i i i i a c b c a b ---=-，若1i c =，则||1i i i a c a -=-，||1i i i b c b -=-，||||||||||i i i i i i i i a c b c b a a b ---=-=-，故(,)(,)d A C B C d A B --=，②由①可设(,)(,0)d A B d A B k =-=，(,)(,0)d B C d B C m =-=，(,)(,)d A C d A B C B n =--=，则||A B -中有k 个1，||C B -中有m 个1，设t 是使得||||1i i i i a b c b -=-=成立的i 的个数，则2n k m t =+-，假设,,k m n 均为奇数，则2k m t +-为偶数，矛盾，故假设不成立，故(,)(,)(,)d A B d B C d A C 、、三个数中至少有一个是偶数．。

教学目标：１．认识集合运算是一种符号运算，理解交集的运算性质，掌握交集的运算；２．在探究集合的交集运算过程中，通过类比数的运算，体会符号运算除特有性质外还可以用文氏图直观描述运算特性.３．在运用交集运算解决问题活动中，感受符号运算可用文氏图描述的独特魅力，树立学好数学用好数学的理想.教学重点：交集的运算.教学难点：运用集合交集的运算解决问题. 教学过程： １．情景引入：考察下面的三个集合：{}A X =医院的员工，{}B X =医院的女性员工，{}C X =医院的女性护士. 我们可以得到，集合C 的元素恰是集合A 与B 的所有公共元素. 上述集合C 与A 、B 的运算特性，就是我们需要进一步学习“交集”.２．概念形成：（教学提示：这一环节可采用教师引领下的学生阅读教材或学生阅读教师呈现的PPT 素材，教师启发学生给集合的上述关系取名，即定义概念，激发学生积极思考、参与教学的热情）交集定义 一般地，由集合A 与集合B 的所有公共元素组成的集合叫做A 与B 的交集，记作“B A ”，读作“A 交B ”，即{|}A B x x A x B =∈∈且.用文氏图直观表示A B ⋂的三种情况，如图１—３,图１—４,图１—５所示，其中图１—３、图１—４的阴影部分表示集合A 与B 的交集；图１—５表示集合A 与B 的交集为空集. 数学交流：依据集合交集的运算定义，分小组完成下列填空，选派代表交流： １A B ⋂ B A ⋂；２A φ⋂ φ；３A A ⋂ A ，AB B ，A B A ；４若A B A = ，则A B ；５若B A ⊆，则A B ⋂ A . （归纳）交集运算的性质：A A A A AB B A =∅=∅= ,,，A B ⊆B ，A B ⊆A ，若A B A = ，则B A ⊆；反之也成立.３．概念应用（教学提示：采用师生共同完成，或让学生独立完成，再选代表交流，提问是否有不同答案，进一步明晰概念，达成正确理解概念的目的）例１ 已知集合{}(,)|210A x y x y =+=，{}(,)|35B x y x y =-=，求B A ，并说明它的意义.解 210(,)|35x y A B x y x y ⎧+=⎫⎧=⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭{}(3,4)=. B A 表示方程组21035x y x y +=⎧⎨-=⎩的解的集合，也可以理解为两个一次函数图像的交点坐标的集合.解题反思：B A 的元素是有序数对，而B A 仍是集合，因此，不能写成B A (3,4)=.变式练习１：已知集合{}(,)|20A x y x y =+-=，{}(,)|40B x y x y =--=，求B A ，并说明它的意义.变式练习２：已知集合{}(,)|3A x y y x ==-，{}22(,)|17B x y x y =+=，求B A .例２ 已知集合{}|A x x =是三角形，{}|B x x =是等腰三角形，{}|C x x =是直角三角形， 求A B ⋂，()A B C ⋂⋂.解 ∵B A ≠⊂，∴A B B ⋂=，{}()|A B C B C x x ⋂⋂=⋂=是等腰直角三角形. 解题反思：与数的运算一样，集合的运算也是先算括号内，即先求A B ⋂.变式练习３：已知集合{}|3A x x =≤，{}|2B x x =<，{}|3C x x =>求B A ,A C ⋂,()A B C ⋂⋂. 例３ 已知集合{}{}|23,|121A x x B x m x m =≤≤=+≤≤-，当A B =∅时，求实数m 的取值范围.解：把集合A 在数轴上表示出来，又AB =∅，结合图１—６知，有212121m m m -<⎧⎨+<-⎩（Ⅰ）或13121m m m +>⎧⎨+<-⎩（Ⅱ）图１—６ 解（Ⅰ）得m ∈∅，解（Ⅱ）得2m >． 因此，所求实数m 的取值范围是2m >．解题反思：解决有关集合中的参数问题，通常画数轴加以讨论，直观简洁４．课堂反馈（学生独立完成，教师巡视，提供指导和发现闪光点，获取第一手反馈材料,强化概念的理解和重视概念的应用）（１）教材11P 练习１．３（１）：３，４． （２）练习册 3P 习题１．３ A 组１．1m + 21m - 2 ３ 1m + 21m - x５．课堂小结：（让学生用自己的语言归纳小结，并通过补充和订正提高参与度） （１）集合的交集运算，用文氏图直观表示交集运算； （２）交集运算的性质；（３）画文氏图、或画数轴讨论是解决集合运算问题的常用方法.6．作业布置： （基础型）必做题：（１） 练习册3P １．３A ２, ３；（２） 已知集合{}2|150A x x px =++=，{}2|50B x x x q =-+=，且{}3A B ⋂=，求实数p q 、的值． （拓展型）选做题：（３） 已知集合{}{}|34,|231A x x B x a x a =<≤=≤≤+，且A B A ⋂=，求实数a 的取值范围．【情景资源】 情景１（新课导入）我们已经学习了数的运算，如“＋、—、×、÷、乘方、开方、指数等”，但我们常常会遇到下面的现象：{}|A x x H =是高级中学高一年级的共青团员，{}|B x x H =是高级中学高一年级的女生，{}|C x x H =是高级中学高一年级的女共青团员．这里集合C 的元素恰是集合A 与集合B 的所有公共元素．C 与A B 、的运算关系，它不同于数的运算，是一种崭新的运算，这就是我们将要继续研究集合的运算—交集……（引入新课：交集） 情景２（过渡衔接）我们已经知道了用文氏图表示集合之间的子集关系，那么我们还能用文氏图来直观表示集合的交集运算吗，请用图说明你的想法…… 情景３（过渡衔接）交集也是一种运算，是一种新的符号运算，通过类比数的乘法运算，你可以得出交集运算的性质有…… 【题目资源】【属性】高一（上），集合与命题，集合的运算—子集，填空题，易，分析问题解决问题【题目】已知集合{}|M x x =是锐角三角形，{}|N x x =是钝角三角形，则M N ⋂= ．【解答】φ.【属性】高一（上），集合与命题，集合的运算—子集，填空题，中，分析问题解决问题 【题目】已知集合{}{}{}22,1,3,3,21,1,3M m m N m m m M N =+-=--+=-，则m = ．【解答】1m =-.【属性】高一（上），集合与命题，集合的运算—子集，填空题，中，分析问题解决问题 【题目】已知集合}012|{>-=x x A ，}1|{≥=t t B ，则A B ⋂= .【解答】B .【属性】高一（上），集合与命题，集合的运算—子集，填空题，中，分析问题解决问题 【题目】已知集合{}{}|1,|P x x Q x x a =≤=>，若P Q =∅，则实数a 的取值范围是 ．【解答】1a ≥.【属性】高一（上），集合与命题，集合的运算—子集，解答题，较难，分析问题解决问题 【题目】已知集合{}*|A x x k N ==∈，{}|6,B x x x Q =≤∈，求A B ⋂．【解答】对任意x A B ∈⋂，则x 是有理数，同时满足：6x x ≤=且又集合A 中元素小于6的仅．因此，{}4,6A B ⋂=．【属性】高一（上），集合与命题，集合的运算—子集，填空题，易，分析问题解决问题【题目】已知集合{}5,21A a =+，{},B a b =，且{}3A B ⋂=，则baa b +＝ .【解答】4.【属性】高一（上），集合与命题，集合的运算—子集，填空题，易，分析问题解决问题【题目】已知集合{}|A x x =是菱形，{}|B x x =是矩形，则A B ⋂= ．【解答】{}|A B x x ⋂=是正方形.【属性】高一（上），集合与命题，集合的运算—子集，解答题，中，分析问题解决问题 【题目】集合{}{}(,)|23,(,)|10P x y x y Q x y x y =+==--=，求P Q ⋂，并说明意义．【解答】 23(,)|1x y A B x y x y ⎧+=⎫⎧=⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭52(,)33⎧⎫=⎨⎬⎩⎭.B A 表示方程组231x y x y +=⎧⎨-=⎩的解的集合，也可以理解为两个一次函数图像的交点坐标的集合.【属性】高一（上），集合与命题，集合的运算—子集，解答题，较难，分析问题解决问题 【题目】已知集合{}(,)|21A x y y x ==-，{}22(,)|9110B x y x y x =++-=，求B A ．【解答】2221(,)|9110y x A B x y x y x ⎧⎫=-⎧⎪⎪=⎨⎨⎬++-=⎪⎪⎩⎩⎭ 221(,)|20y x x y x x ⎧⎫=-⎧⎪⎪=⎨⎨⎬+-=⎪⎪⎩⎩⎭{}(1,1),(2,5)=--.【属性】高一（上），集合与命题，集合的运算—子集，解答题，中，分析问题解决问题【题目】已知集合{}{}|20,,|1,A x x x R B x x x R =-≤∈=<-∈，{}|2C x x =>-， 求,,()A B A C A B C ⋂⋂⋂⋂.【解答】A B B ⋂=，{}|12A C x x ⋂=<≤，()A B C φ⋂⋂=.【属性】高一（上），集合与命题，集合的运算—子集，填空题，中，分析问题解决问题 【题目】已知集合{}{}|10,|15A x x B x x ==是的正约数是的正约数，求A ⋂B ，并说明它的意义．【解答】{}1,5A B =，且A ⋂B 表示的是５的正约数组成的集合.【属性】高一（上），集合与命题，集合的运算—子集，填空题，中，分析问题解决问题【题目】已知集合{}{}{}|260,,|,,|5A x x x R B x x a x R C x x =->∈=≥∈=≤， 若{}()|45A B C x x ⋂⋂=≤≤，则实数a 的值是 ．【解答】4a =.【属性】高一（上），集合与命题，集合的运算—子集，填空题，中，分析问题解决问题【题目】已知集合},2|{N k k x x A ∈==, },3|{N k k x x B ∈==,则B A ＝ ．【解答】B A },6|{N k k x x ∈==．【属性】高一（上），集合与命题，集合的运算—子集，填空题，易，分析问题解决问题【题目】已知集合{},,,A a b c d =，{},,,B b c d e ={},,C a d f =，则()A B C ⋂⋂与()A B C ⋂⋂的关系是 ．【解答】()A B C ⋂⋂＝()A B C ⋂⋂.【属性】高一（上），集合与命题，集合的运算—子集，解答题，较难，分析问题解决问题 【题目】已知集合{}{}2230,A x x x B x x a =--==>，且{}3AB =，求实数a 的取值范围.【解答】∵{}{}22301,3A x x x =--==-，{}3AB =，∴13a -<≤．（在数轴上表示出来，再判断）【属性】高一（上），集合与命题，集合的运算—子集，填空题，中，数学探究与创新 【题目】定义{}|A B x x A x B -=∈∉且，若{}1,2,3,4A =，{}2,3,6B =，则A B -= ．【解答】{}1,4A B -=.【属性】高一（上），集合与命题，集合的运算—子集，填空题，中，分析问题解决问题【题目】已知集合3|,1A x x x n Z n ⎧⎫==∈⎨⎬-⎩⎭、，{}2,1,1,2,3B =--，则A B ⋂= ．【解答】{}1,1,3A B ⋂=-.【属性】高一（上），集合与命题，集合的运算—子集，解答题，较难，分析问题解决问题 【题目】已知集合{}10A x ax a a R =++=∈，，{}2320B x x x x R =-+=∈，，且A B A ⋂=，求实数a 的值组成的集合C ．【解答】 ∵{}2320B x x x x R =-+=∈，＝{}1,2，A B A ⋂=，∴A B ⊆，且满足要求的集合A 可能是A φ=、{}1A =或{}2A =．∴对应于集合A 的每一种可能情况，可得0a =、12a =-或13a =-. ∴110,,23C ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭．【属性】高一（上），集合与命题，集合的运算—子集，解答题，较难，分析问题解决问题 【题目】已知集合{}2|320A x x x =-+=，{}22|2(1)(5)0B x x a x a =-++-=． （１）若{}2A B ⋂=，求实数a 的值； （２） 若A B B ⋂=，求实数a 的取值范围．【解答】（１）∵{}2A B ⋂=，∴2B ∈，即2222(1)250a a -+⋅+-=，解得15a a =-=或.经检验15a a =-=或都符合题意， ∴所求实数a 的值是15a a =-=或． （２）∵A B B ⋂=，∴B A ⊆，即{}{}{}121,2B B B B φ===，或，或，或=，对此逐一验证，当且仅当B φ=时符合题意． ∴224(1)4(5)0a a ∆=+--<，解得3a <-． ∴所求实数a 的取值范围是3a <-．【属性】高一（上），集合与命题，集合的运算—子集，填空题，中，数学探究与创新 【题目】定义{}|A B x x A x B +=∈∈或，若{}1,2,3,4A =，{}2,3,6B =，则A B += ．【解答】{}1,2,3,4,6A B +=．。

基本不等式一、教学内容分析基本不等式及其应用是高中教材中的一个重要内容.尽管基本不等式本身的证明并不困难，但它却是今后学习诸如不等式证明、求函数最值等时的有力工具，因此牢固掌握这两个基本不等式的形成、关系和变式等都是十分重要的.二、教学目标设计1、知识与技能：掌握两个基本不等式：ab b a 222≥+（a 、R b ∈）、ab b a ≥+2（a 、b 为任意正数），并能用于解决一些简单问题.2、过程与方法：在公式的探求过程中，理解两个基本不等式相应的几何解释，领悟数形结合的数学思想，初步理解代换的数学方法。

3、情感态度与价值观：通过掌握公式的结构特点，运用公式的适当变形，提高学生分析问题的能力，培养学生的创新精神，进一步加强学生的实践能力，进一步体会事物之间互相联系及一定条件下互相转化的辩证唯物主义观点。

三、教学重点及难点重点 两个基本不等式的知识发生过程和证明；难点 基本不等式的应用.四、教学用具准备电脑、投影仪五、教学流程设计（一）讲授基本不等式1．引例：如右图，已知正方形ABCD ，在边AD 上任取一点E ，在边DC 上取点F ，使得DE DF =.分别过点E 、F 作EG BC ⊥、FH AB ⊥，垂足为G 、H ，EG 和HF 交于点M 。

设DF=a ，MG=b ，试比较红色部分面积之和与白色部分面积之和的大小，并说明理由。

2．基本不等式1的证明证明：因为()22220a b ab a b +-=-≥，所以ab b a 222≥+.当a b =时，()20a b -=.当a b ≠时，()20a b ->.所以，当且仅当a b =时，ab b a 222≥+的等号成立.充要条件通常用“当且仅当”来表达．“当”表示条件是充分的，“仅当”表示条件是必要的．所以②式可表述为：如果a 、b∈R，那么a 2＋b 2≥2ab(当且仅当a=b 时取“=”号)．3．基本不等式的几何解释，讲解赵爽《勾股方圆图注》（二）讲授基本不等式21.引例：已知半圆O ，D 是半圆上任一点，AB是直径.过D 作DC AB ⊥，垂足为C .设AB b a +=，AC a =，CB b =，试用a 、b 来表示OD 、CD 的长度，你能发现什么结论吗？2．基本不等式2的证明（略）3．基本不等式2的扩充对于任意非负数a 、b ，有ab b a ≥+2，当且仅当a b =时等号成立. （三）基本不等式的简单应用 例1：已知0>ab ，求证：2≥+ba ab ，并指出等号成立的条件. 证明：因为0>ab ，所以 a 、b 同号，并有0>a b ，0>b a . 所以，22=⋅≥+b a a b b a a b .当且仅当 b a a b =，即0a b =≠时等号成立. [说明]1、体会代换的方法.2、用语言表述上述结论.3、思考：若0<ab ，则代数式ba ab +的取值范围是什么？ 例2 在周长相等的矩形中，正方形的面积最大六、课堂小结 b a C O D七、作业布置1、练习册P19～20，习题2.4A组2、思考题(1)在面积保持不变的条件下，正方形的周长与矩形的周长之间有什么大小关系？(2)整理一些不等式的常用变式并给出证明八、教学设计说明本堂课是《基本不等式及其应用》的第一节课，在学生熟练掌握不等式性质的前提下，介绍了两个基本不等式及其初步应用.尽管对于基本不等式而言证明不困难，但它却是今后学习诸如不等式证明、求函数最值等时的有力工具，因此牢固掌握这两个基本不等式是十分重要的.为了避免单纯地讲授基本不等式，本堂课借助计算机软件，采用以几何图形辅助代数知识讲授，由形到数，再由数到形的设计思路，将两个基本不等式的证明、解释及其在应用时的注意点穿插其中，并通过几何解释加强对基本不等式的感性认识。