1.4(1)命题的形式及等价关系

第一章：集合与命题第四节：命题的形式及等价关系【知识梳理：】复习巩固：在初中，我们已学过命题，真命题，假命题。

命题：表示判断的语句。

真命题：正确的命题。

假命题：错误的命题。

命题 “全等三角形的面积相等”的条件与结论各是什么？本节将进一步研究命题与其有关的命题的概念。

例题讲解：1.1命题例1：下列语句哪些不是命题，哪些是命题？如果是命题，那么它们是真命题还是假命题？为什么？1.个位数是5的自然数能被5整除；2.凡直角三角形都相似；3.上课请不要讲话；4.互为补角的两个角不相等；5.你是高一学生吗？结论：①命题必定由条件与结论两部分组成。

②假命题的确定：举反例（举出一个满足条件，不满足结论的例子，一个即可）[说明]：构造反例有时候很不容易，要充分注意命题的条件和结论，还要注意极端情况，或运用类比手段。

③真命题的确定：作出证明，方法⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧同一法反证法间接证明直接证明 [说明]:反证法既是一种重要的数学思想,也是命题证明的一种方法.1.2：推出关系：一般地，如果α这件事成立可以推出β这件事也成立，那么就说由α可以推出β，并用记号α⇒β表示，读作“α推出β”。

换言之，α⇒β表示以α为条件，β为结论的命题是真命题。

例2：设α表示“两个角是对顶角”，β表示为“两个角相等”，问能用“⇒”表示α、β之间关系吗？解：α⇒β关系成立，但反过来不行。

例3：在下列各题中，用符号“⇒”或“⇔”把α、β这两件事联系起来。

1. α：实数x 满足92=x ，β：3=x 或3-=x 。

（“α⇔β”）2. α：U B A = ，β：U B U A ==或（U 为全集）。

（“α⇒β”）3. α：B A ⊆，β：A B A = 。

（“α⇔β”）4. α：0=ab ，β：0=a 。

（“β⇒α”）课堂巩固：1.判断下列命题的真假（1）不含任何元素的集合是空集（2）0是{0,1,2}的真子集（3）A,B 为两个集合，如果A ∩B=A ，那么B A ≠⊂ 2.用符”号⇔⇐⇒、、”表示下列事件的推出关系：（1）：αAB C ∆是等边三角形；：βAB C ∆是轴对称图形，α β；（2）：α实数x 适合12=x ；：β1=x ，α β课堂练习：在下列各题中，用符号“⇒”或“⇒”或“⇔”把α、β这两件事联系起来：（1） α：x 适合方程0652=+-x x ，β：3x 2==或x ；（2） α：3x -=，β：3=x ；（3） α：B A ⊆，β：B B A = ；（4） α：集合N M =，β：A N N M =。

1.4命题的形式及等价关系 教学目的：：1.理解四种命题之间的互相关系，能由原命题写出其他三种形式；2.知道推出关系的概念，理解一个命题的真假与其他三个命题真假间的关系；3.掌握等价关系的概念，初步掌握反证法。

4.理解充分、必要条件的概念；5.掌握充分、必要条件的判断方法。

6.掌握集合的包含关系和推出关系、充分必要条件之间的联络。

教学内容：1、命题：可以判断对错的语句。

真命题：判断为正确的命题。

假命题：判断为错误的命题。

通常可以化简为：,αβ若则的形式。

2、推出关系：一般地，假设α这件事成立可以推出β这件事也成立，那么就说由α可以推出β，并用记号α⇒β表示，读作“α推出β〞。

换言之，α⇒β表示以α为条件，β为结论的命题是真命题。

3、传递性：α⇒β，β⇒γ，那么α⇒γ4、命题的四种形式：假设把命题：,αβ若则称为原命题；那么我们把命题：,βα若则，称为原命题的逆命题，简称逆命题。

命题：,αβ若则称为原命题的否命题，简称否命题。

命题：,βα若则成为原命题的逆否命题，简称逆否命题。

其中αβ和分别是αβ和的否认形式。

5、充分条件：一般地，用α、β分别表示两件事，假设α成立，可以推出β也成立，即α⇒β，那么α叫做β的充分条件。

[说明]：①可以解释为：为了使β成立，具备条件α就足够了；②可进一步解释为：有它即行，无它也未必不行；③结合实例解释为：x = 0 是xy = 0 的充分条件，xy = 0不一定要 x = 0.6、必要条件：假设β⇒α，那么α叫做β的必要条件。

[说明]：①可以解释为假设β⇒α，那么α叫做β的必要条件，β是α的充分条件；②无它不行，有它也不一定行；③结合实例解释为：如 xy = 0是x = 0的必要条件，假设xy ≠0，那么一定有 x ≠0；假设xy = 0也不一定有 x = 0。

注：根据子集的定义，我们可以发现，将符合具有性质α的元素的集合记为A ，将符合具有性质β元素的集合记为B ，假设A B ⊆，那么αβ⇒,即αβ是的充分条件；反之，假设αβ⇒，那么A B ⊆，也即αβ若是的充分条件，那么由满足条件α的元素组成的集合是由满足条件β的元素组成的集合的子集。

高一数学知识点归纳第一章 集合与命题1.1集合与元素 （1）集合的概念常把能够确切指定的一些对象看作一个整体，这个整体就叫做集合. （2）集合中的元素集合中的各个对象叫做这个集合的元素,集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （3）集合与元素间的关系 对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集. ②含有无限个元素的集合叫做无限集. ③不含有任何元素的集合叫做空集(∅). （6）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.重要结论：已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它21n-个非空子集，它有22n-非空真子集.1.3集合的基本运算 名称 记号意义性质示意图交集A B{|,x x A ∈且}x B ∈（1）A A A = （2）A∅=∅ （3）A B A ⊆ A B B ⊆ BA并集A B{|,x x A ∈或}x B ∈（1）A A A = （2）AA ∅= （3）AB A ⊇ AB B ⊇BA补集A C U{|,}x x U x A ∈∉且()()()B C A C B A C U U U ⋃=⋂ ()()()B C A C B A C U U U ⋂=⋃1.4命题的形式及等价关系（1）命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的述句.“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.（2）逆命题对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题。

§1.4命题的形式及等价关系（1）A 组1．判断下列语句是否为命题：(1)3>π； （ ）(2)5a =, 则5a ≥； （ ）(3)小可是医生； （ ） (4)3是无理数吗？ （ ）(5)9是65的约数； （ ）(6)连接A 、B 两点； （ ）是；是；是；否；是；否2．判断下列命题的真假：(1)0132=++x mx 是一元二次方程 。

（ ）(2)空集是任何集合的真子集。

（ ）(3))(0)1(2R x x ∈<-。

（ ）(4)若B B A A B A =⋃=⋂则,。

（ ）(5)三角形既有外接圆，也有内切圆。

（ ）假；假；假；真；真3．用符号⇔⇐⇒,,表示事件的推出关系：（1）:αABC ∆是等边三角形；:βABC ∆是轴对称图形。

αβ（2）:α一次函数b kx y +=的图像经过第一、二、三象限；:β:α一次函数bkx y +=中，0,0>>b k 。

α β（3）:α实数x 适合12=x ；:β1=x 。

α β⇐⇔⇒,,4．若C B B A ⇒⇒,，则A C 。

⇒5．若A B B A ⇒⇒,，则A B 。

⇔B 组填空题6． 已知命题0:>x P ，命题012:2=--x x Q 。

则“P 且Q ”的运算结果为_________；“P 或Q ”的运算结果为________________。

21+=x ；0>x 或21-=x7．“x 不大于y ”是指_______________。

y x y x =<或8．已知的推出关系是则命题βαβα,.:);,,,(:ca b d x R d c b a d cx b ax --=∈+=+_____。

),(⇔⇐⇒或填βα⇐。

9．d c b a >>且 d b c a +>+. ),(⇔⇐⇒或填⇒10．022=+y x 0=xy .),(⇔⇐⇒或填⇒11．如果c b a ,,为实数，设0:===c b a A ，c b a B ,,:至少有一个为0；0||:2=++c b a C ；则A B ；A C ；B C 。

1.4 命题的形式及等价关系考点诠释1.命题：可以判断真假的语句叫做命题。

2.四种命题（1）四种命题：原命题：如果p ，那么q （或若p 则q ）；逆命题：若q 则p ； 否命题：若p 则q ；逆否命题：若q 则p 。

（2）四种命题之间的相互关系若 则否命题原命题若 则若 则逆否命题互 逆互 逆互 为互为逆 否逆否互 否互 否q p 若 则逆命题q p q p q p这里，原命题与逆否命题，逆命题与否命题是等价命题。

3.原命题与它的逆否命题同为真假，原命题的逆命题与否命题同为真假，所以对一些命题的真假判断（或推证），我们可通过对与它同真假的（具有逆否关系的）命题来判断（或推证）。

例题精析例1 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假。

（1）若1≤q ，则方程022=++q x x 有实根； （2）若y x ,都是奇数，则y x +是偶数； （3）若0=xy ，则00==y x 或思维引领本题考查四种命题及其真假判断。

.精辟分析（1）原命题是真命题；逆命题：若方程022=++q x x 有实根，则1≤q 是真命题； 否命题：若1>q ，则方程022=++q x x 无实根，是真命题； 逆否命题：若方程022=++q x x 无实根，则1>q 是真命题； （2）原命题是真命题；逆命题：若y x +是偶数，则y x ,都是奇数，是假命题； 否命题：若y x ,不都是奇数，则y x +不是偶数，是假命题； 逆否命题：若y x +不是偶数，则y x ,不都是奇数，是真命题； （3）原命题为真命题；逆命题：若00==y x 或，则0=xy ，是真命题； 否命题：若0≠xy ，则00≠≠y x 且，是真命题； 逆否命题：若00≠≠y x 且，则0≠xy ，是真命题；方法规律总结（1）“原命题”与“逆否命题”同真同假．．．．，“逆命题”与“否命题”同真同假．．．．，但“互逆”或“互否”的命题真假性未必相同。

教学资源信息表命题的形式及等价关系上市高桥中学一、教学内容分析：根据命题的形式及等价关系的内容，教科书上分为三个课时.第一课时学习的内容是命题与推出关系；第二课时学习的内容是命题的四种形式；第三课时学习的内容是等价命题。

根据师训时黄老师提出的要求及考虑到本校学生的实际情况，我将这节课的内容分为了两课时，第一课时学习的内容是命题与推出关系及命题的四种形式，理解推出关系及命题证明的意义，会写出命题的四种形式.第二课时学习的内容先着重强调否命题的否定形式（既是新课，又是复习，同时也作为第二课时的引入部分），让学生发现命题的四种形式之间的相互关系，掌握等价命题的概念，能利用互为逆否命题的等价性来解决一些简单命题的证明。

命题的概念在初中已经出现，所以命题概念的教学不应是第一节课的重点，只须强调命题是一个可以判断真假的陈述句。

本节的教学重点是真命题与假命题证明的思想方法。

真命题的证明方法：可以从已知条件出发，根据已学的公理、定理、公式等应用推出关系，得出所要证明的结论。

也可应用间接证法，如反证法等证明方法。

假命题的证明方法：只需举反例，即举出一个满足命题的条件而不满足命题结论的例子。

在写命题的四种形式时。

学生有很难分清一个命题的条件与结论，此时可将给定的命题写成“如果…，那么…”的形式。

一个命题的否命题是将原命题的条件和结论都写成否定形式，这在教学中是一个难点，可多举一些例子进行说明。

“是”与“不是”是互相排斥的，用集合的观点看，两者的“并”是全集，两者的“交”是空集。

在第二课时中，注重学生通过实例发现互为逆否命题的两个命题是同真同假的。

学会在证明原命题困难的情况下，转而证明它的逆否命题。

如遇到“如果不…，那么不…”常可转化为证明它的逆否命题。

等价命题在数学上应用广泛，要知道两个互为逆否命题必等价，但等价命题不一定是互为逆否命题。

二、教学目标设计：能判断什么样的语句是命题，理解推出关系及命题证明的意义，掌握真命题与假命题证明的思想方法,理解命题的四种形式及其相互关系，能写出一个简单命题的逆命题、否命题与逆否命题，掌握等价命题的概念,通过利用互为逆否命题的等价性来解决一些简单命题的的证明。