沪教版(上海) 高一第一学期 新高考辅导与训练 第1章 集合和命题 1.5 命题的形式及等价关系(1

上海高一数学知识点归纳第一章 集合与命题1.1集合与元素 （1）集合的概念常把能够确切指定的一些对象看作一个整体，这个整体就叫做集合. （2）集合中的元素集合中的各个对象叫做这个集合的元素,集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （3）集合与元素间的关系 对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集. ②含有无限个元素的集合叫做无限集. ③不含有任何元素的集合叫做空集(∅). （6）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.重要结论：已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它21n-个非空子集，它有22n-非空真子集.1.3集合的基本运算 名称 记号意义性质示意图交集A B{|,x x A ∈且}x B ∈（1）A A A = （2）A∅=∅ （3）A B A ⊆ A B B ⊆ BA并集A B{|,x x A ∈或}x B ∈（1）A A A = （2）AA ∅= （3）AB A ⊇ AB B ⊇BA补集A C U{|,}x x U x A ∈∉且()()()B C A C B A C U U U ⋃=⋂ ()()()B C A C B A C U U U ⋂=⋃1.4命题的形式及等价关系（1）命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.（2）逆命题对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题。

第一章集合拓展复习一．元素与集合关系的判断1．若集合A={0，1，2}，则集合B={x-y|x∈A，y∈A}中元素的个数为（）A．9 B．5 C．3 D．12．已知集合M={M={x|（x-a）（x2-ax+a-1）=0}各元素之和等于3．则实数a=____ 3．已知M是满足下列条件的集合：0∈M，1∈M；②若x、y∈M，则x-y∈M；③若x∈M且x≠0，则1x∈M．（1）判断12∈M是否正确，说明理由；（2）证明：“若x∈Z，则x∈M”是真命题；（3）证明：若y∈M，则xy∈M．二．集合的表示法4．方程组{2x+y＝5x−y−4＝0的解集是（）A．{（3，-1）} B．{3，-1} C．{x=3．y=-l} D．{x=-l,y=3} 5．用描述法表示被5除余3的整数的集合为 ____6．已知集合M={x|x2-2x+m=0，m∈R，x∈R}非空，则集合M中所有元素的和为________三．集合的包含关系判断及应用7．若A，B是全集U的真子集，则下列四个命题：①A∩B=A；②A∪B=A；③A∩B̅=∅；④A∩B=U；⑤B̅⊆A中与命题A⊆B等价的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个A．M=S⊆P B．M⊆S=P C．M⊆S⊆P D．S⊆P⊆MA．S⊂P⊂Q B．S⊂P=Q C．S=P⊂Q D．P⊂Q⊂S10．设A={x|x2-8x+15=0}，B={x|ax-1=0}，若B⊆A，则实数a的值构成集合是_____11．已知集合A={x|x2-5x-6=0}，B={x|mx+1=0}，若B⊆A，则实数m组成的集合为_______12．设集合A={x|x2+4x=0，x∈R}，B={x|x2+2（a+1）x+a2-1=0，x∈R}．（1）若A=B，求a的值．（2）若A∩B=B，求实数a的取值范围．13．集合A={x|-2＜x＜4}，集合B={x|m-1＜x＜2m+1}．若B⊆A∩B，求实数m 的取值范围．_______14．已知集合A={x|-2≤x≤5}．（1）若B⊆A，B={x|m+1≤x≤2m-1}，求实数m的取值范围；（2）若A⊆B，B={x|m-6≤x≤2m-1}，求实数m的取值范围；（3）若A=B，B={x|m-6≤x≤2m-1}，求实数m的取值范围．15．设集合A={x|x2+2x=0}，B={x|x2+4（a+1）x+4a2-1=0}．（1）若A∪B=B，求a的值；（2）若A∩B=B，求a的取值范围．四．子集与真子集16．已知集合A={0，2，3}，B={x|x=a•b,a,b∈A}，则集合B的子集个数为_____17．已知{1，2}⊆M⊆{1，2，3，4，5}，则满足要求的集合M共有____个18．若集合{x|kx2+3x+2=0，x∈R}至多有两个子集，则实数k的取值范围为__________五．集合关系中的参数取值问题19．已知集合A={x|x＜a}，B={x|1＜x＜2}，A∪（∁R B）=R，则实数a的取值范围是_______20．设A={x|x2-ax+a2-19=0}，B={x|x2-5x+6=0}，C={x|x2+2x-8=0}（1）A∩B=A∪B，求a的值；（2）若∅⫋（A∩B）且A∩C=∅，求a的值；（3）A∩B=A∩C≠∅，求a的值．六．并集及其运算21．满足M∪{a,b}={a,b,c,d}的集合M有_____个．七．交集及其运算22．已知全集U=A∪B中有m个元素，A∪B̅中有n个元素，若A∩B非空，则A∩B的元素个数为（）A．mn B．n-m C．m+n D．m-n23．集合A，B，C是全集U的子集，且满足A∪B=A∪C，则（）A．A∩B=A∩C B．B=C C．A∩B＝A∩C D．A∩B̅＝A∩C24．设全集U=R，A={x|x＞2a-1}，B={x|x＞a}，若A∩B̅≠∅，则实数a的取值范围是 __________25．已知A={y|y=2x,x∈R}，B={y|y=x2，x∈R}，则A∩B=_____26．设集合A={x|x2-[x]=2}和B={x|-2＜x＜2}，其中符号[x]表示不大于x的最大整数，如[0.5]=0，[-0.5]=-1，[2]=2，则A∩B=_______27．设集合A＝{x|y＝2√x−1+1}，B＝{y|y＝−x 2+2x+3}，则A∩B=_________28．已知集合A={x|-2＜x＜4}，B={x|x2-3ax+2a2=0，a≠0}．（1）当实数a在什么范围内取值时，A∩B=∅？（2）当实数a在什么范围内取值时，A∩B中只有一个元素？八．交、并、补集的混合运算29．设全集U为自然数集N，记E={x|x=2n,n∈N}，F={x|x=4n,n∈N}，那么N 可以表示为（）A．E∪F B．E̅∪F C．E∪F̅D．E̅∩F̅30．已知集合A，B均为R的子集，若A∩B=∅，则（）A．A⊆∁R B B．∁R A⊆BC．A∪B=R D．（∁R A）∪（∁R B）=R 31．已知全集U={x|0＜x＜10，x∈N}，若A∩B̅={1}，A∩B̅={2，4，9}，A∪B̅={1，2，4，6，7，9}，则B=________32．定义集合A与B的差：A-B={x|x∈A且x∉B}，对称差：A▽B=（A-B）∪（B-A），已知集合A={（x,y）|y=x+1}，B={（x,y）|y−5=1}，则A▽x−4B=_________九．Venn图表达集合的关系及运算33．已知全集U=R，集合A={1，2，3，4，5}，集合B={x|x≥2}，下图中阴影部分所表示的集合为（）A．{0，1，2} B．{1，2} C．{1} D．{0，1}34．50名学生中，会讲英语的有36人，会讲日语的有20人，既不会讲英语也不会讲日语有8人，则既会讲英语又会讲日语的人数为__________。

上海高一数学知识点归纳第一章 集合与命题1.1集合与元素 （1）集合的概念常把能够确切指定的一些对象看作一个整体，这个整体就叫做集合. （2）集合中的元素集合中的各个对象叫做这个集合的元素,集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集. ②含有无限个元素的集合叫做无限集. ③不含有任何元素的集合叫做空集(∅). （6）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.重要结论：已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n个子集，它有21n -个真子集，它21n -个非空子集，它有22n -非空真子集.1.3集合的基本运算1.4命题的形式及等价关系（1）命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.（2）逆命题对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题。

若原命题为“若p ，则q ”，它的逆命题为“若q ，则p ”. （3）否命题对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题.若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若p ⌝，则q ⌝”. （4）逆否命题对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题。

精心整理上海市高中数学教材目录高一上第一章集合和命题一集合1.11.21.31.41.51.62.12.22.32.4*2.5不等式的证明第三章函数的基本性质3.1函数的概念3.2函数关系的建立3.3函数的运算3.4函数的基本性质第四章幂函数、指数函数和对数函数（上）一幂函数4.1幂函数的性质与图像4.24.44.54.64.74.8简单的对数方程第五章三角比一任意角的三角比5.1任意角及其度量5.2任意角的是那叫比三三角恒等式5.3同角三角比的关系和诱导公式5.4两角和与差的余弦、正弦和正切5.5二倍角与半角的正弦、余弦和正切5.66.16.26.36.46.57.1数列7.2等差数列7.3等比数列二数学归纳法7.4数学归纳法7.5数学归纳法的应用7.6归纳——猜想——证明三数列的极限7.7数列的极限7.88.18.28.38.49.19.29.39.4第十章算法初步10.1算法的概念10.2程序框图*10.3计算机语句和算法程序第十一章坐标平面上的直线11.1直线的方程11.2直线的倾斜角和斜率11.3两条直线的位置关系13.3复数的加法与减法13.4复数的乘法与除法13.5复数的平方根与立方根13.6实习数的一元二次方程第一学期第十四章空间直线与平面14.1平面及其基本性质14.2空间直线与直线的位置关系16.1计数原理I——乘法原理16.2排列16.3计数原理II——加法原理16.4组合16.5二项式定理第二学期第十七章概率论初步17.1古典模型17.2频率与概率。

（1）实数a在什么取值范围内时， ；
（2）实数a在什么取值范围内时，BA．
4．已知 ，a， ， ， ．
（1）写出集合A与B之间的关系，并证明；
（2）当 时，用列举法表示B．
5．设命题甲：函数 在R上单调递减；命题乙：不等式 的解集为R．如果命题甲与命题乙至少有一个命题为真命题，求c的取值范围．
6．已知 且 ， ．求
沪教版（上海）高三年级新高考辅导与训练第一章集合与函数一、集合与命题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、解答题
1．（1）已知集合 ， ，求 ；
（2）已知集合 ， ，求 ．
2．已知集合 ， ，若 ．求a的值．
3．已知集合 ， ．
32．若全集 ， ， 均为二次函数， ， ，则不等式组 的解集可用P，Q表示为__________．
33．设集合 ， ，则 的元素个数为__________个．
34．已知集合 ，集合 ，若 ，则实数 _____________.
35．已知 ， ， ，则 的值是________．
36．已知命题p：不等式 的解集为R，命题q： 是减函数，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则实数m的取值范围是_________________．
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
23．集合A，B，C满足 ，则成立的等式是（）．
A． B．
C． D．
24．设全集为实数集 ， ， ，集合 ， ，那么集合 等于（）．
A． B． C． D．
25．与命题“若 ，则 ”等价的命题是（）．
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
三、填空题

上海市高中数学教材目录之宇文皓月创作高一上第一章集合和命题一集合1.1集合及其暗示法1.2集合之间的关系1.3集合的运算二四种命题的形式1.4命题的形式及等价关系三充分条件与需要条件1.5充分条件、需要条件1.6子集与推出关系第二章不等式2.1不等式的基赋性质2.2一元二次不等式的解法2.3其他不等式的解法2.4基本不等式及其应用*2.5不等式的证明第三章函数的基赋性质3.1函数的概念3.2函数关系的建立3.3函数的运算3.4函数的基赋性质第四章幂函数、指数函数和对数函数（上）一幂函数4.1幂函数的性质与图像二指数函数4.2指数函数的图像与性质*4.3借助计算器观察函数递增的快慢高一下第四章幂函数、指数函数和对数函数（下）三对数4.4对数概念及其运算四反函数4.5反函数的概念五对数函数4.6对数函数的图像与性质六指数方程和对数方程4.7简单的指数方程4.8简单的对数方程第五章三角比一任意角的三角比5.1任意角及其度量5.2任意角的是那叫比三三角恒等式5.3同角三角比的关系和诱导公式5.4两角和与差的余弦、正弦和正切5.5二倍角与半角的正弦、余弦和正切三解斜三角形5.6正弦定理、余弦定理和解斜三角形第六章三角函数一三角函数的图像与性质6.1正弦函数的和余弦函数的图像与性质6.2正切函数的图像与性质6.3函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质二反三角函数与最简三角方程6.4反三角函数6.5最简三角方程高二上第七章数列与数学归纳法一数列7.1数列7.2等差数列7.3等比数列二数学归纳法7.4数学归纳法7.5数学归纳法的应用7.6归纳——猜测——证明三数列的极限7.7数列的极限7.8无穷等比数列各项的和第八章平面向量的坐标暗示8.1向量的坐标暗示及其运算8.2向量的数量积8.3平面向量的分解定理8.4向量的应用第九章矩阵和行列式初步一矩阵9.1矩阵的概念9.2矩阵的运算二行列式9.3二阶行列式9.4三阶行列式第十章算法初步10.1算法的概念10.2程序框图*10.3计算机语句和算法程序高二下第十一章坐标平面上的直线11.1直线的方程11.2直线的倾斜角和斜率11.3两条直线的位置关系11.4点到直线的距离第十二章圆锥曲线12.1曲线和方程12.2圆的方程12.3椭圆的尺度方程12.4椭圆的性质12.5双曲线的尺度方程12.6双曲线的性质12.7抛物线的尺度方程12.8抛物线的性质第十三章复数13.1复数的概念13.2复数的坐标暗示13.3复数的加法与减法13.4复数的乘法与除法13.5复数的平方根与立方根13.6实习数的一元二次方程高三第十四章空间直线与平面14.1平面及其基赋性质14.2空间直线与直线的位置关系14.3空间直线与平面的位置关系14.4空间平面与平面的位置关系第十五章简单几何体一多面体15.1多面体的概念15.2多面体的直观图二旋转体15.3旋转体的概念三几何体的概况积、体积和球面距离15.4几何体的概况积15.5几何体的体积15.6球面距离第十六章排列组合与二项式定理16.1计数原理I——乘法原理16.2排列16.3计数原理II——加法原理16.4组合16.5二项式定理第十七章概率论初步17.1古典模型17.2频率与概率第十八章基本统计方法18.1总体和样本18.2抽样技术18.3统计估计18.4实例分析*18.5概率统计实验。

高一上数学第一章集合与命题1.5充分条件、必要条件练习卷一和参考答案高一（上）数学第一章集合和命题1.5 充分条件、必要条件（1）一、填空题1. 四边形的对角线相等是四边形为矩形的________；（填“充分非必要条件”或“必要非充分条件”）2. 5a >是a 为正数的______________．（填“充分非必要条件”或“必要非充分条件”）3. “0ab =”的一个充分非必要条件是；4. “3x <”的一个必要非充分条件是．5. 函数21y x mx =-+-与3y x =-+交于两点的横坐标均为负值的充要条件是。

6. 命题“M x ∈且P x ∈”是命题“P M x ?∈”的条件。

7. 关于x 的实系数一元二次方程20ax bx c ++=有一个正根和一个零根的充要条件是_________________。

8. “3x ≠”是“()()130x x +-≠”的条件。

9. “整数,x y 满足225x y +<”是“整数,x y 满足2x y +≤”的。

10. 若“x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命题,则x 的取值范围是____________________________.11.设p ?r 都是q 的充分条件,s 是q 的充要条件,t 是s 的必要条件,t 是r 的充分条件,那么p 是t 的________条件,r 是t 的________条件.(用“充分”?“必要”或“充要”填空)12. 令P(x):ax 2+3x+2>0,若对任意x∈R,P(x)是真命题,则实数a 的取值范围是__________.二、选择题13. 设集合{}{}2,3M x x P x x =>=<，那么“x M ∈或x P ∈”是“x M P ∈ ”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．既充分又必要条件D ．既非充分又非必要条件14. “22a -≤≤”是“实系数一元二次方程210x ax ++=没有实根”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．既充分又必要条件D ．既非充分又非必要条件15. 设A 、B 均为非空集合，那么“A B =”是“A B A = ”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．既充分又必要条件D ．既非充分又非必要条件16. 已知0a >，则0x 满足关于x 的方程ax b =的充要条件是（）A . 存在x R ∈,使22001122ax bx ax bx -≥-成立； B . 存在x R ∈,使22001122ax bx ax bx -≤-成立； C . 对任意x R ∈,22001122ax bx ax bx -≥-成立； D . 对任意x R ∈,22001122ax bx ax bx -≤-成立.三、解答题 17.解答下列问题（1）写出“3=+b a ”的一个必要非充分条件，并说明理由；（2）如果,x y 是实数，试判断“0xy >”是“||||||x y x y +=+”的什么条件，并说明理由。

沪教版(上海) 高一第一学期新高考辅导与训练第1章集合和命题本章复习题一、填空题(★★) 1. 已知集合，，若，则________.(★) 2. 集合，集合，满足Ü ，则实数的范围是________. (★) 3. 记全集为，“ ”的充要条件是“ ________”.(★★) 4. “ ”是“ ”的________条件.(★★) 5. “ ，”是“ ，”的________条件.(★★★) 6. 设集合，，则满足的实数的一切值为________.(★★) 7. 已知，集合，集合，而且，则的值等于________.(★★) 8. 已知集合，，且，都是集合子集，如果把叫做集合的“长度”，那么的“长度”的最小值是________.二、双空题(★★★) 9. 设全集为不大于20的素数}，，，，则________，________.三、单选题(★) 10. 已知集合，，则下列关系中正确的是（）．A．B．C．D．(★★) 11. 与命题“能被10整除的数，一定能被5整除”的等价命题是( )A．能被5整除的整数一定能被10整除B．不能被10整除的数，一定不能被5整除C．不能被10整除的数，不一定能被5整除D．不能被5整除的数一定不能被10整除(★★) 12. 已知集合，，，则有( )A．ÜÜB．ÜÜC．D．(★★) 13. 已知全集，有下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则；⑥若，则.其中正确的命题是( )A．没有B．①②③⑤C．仅有②和⑤D．仅有①和③(★★) 14. 已知全集中有 m个元素，中有 n个元素．若非空，则的元素个数为A．B．C．D．(★★) 15. 已知非空集合满足：（1）；（2）若，则，符合上述要求的集合的个数是( )A．4B．5C．7D．31四、解答题(★★★) 16. 已知集合，或，全集为实数集.（1）求，；（2）若，，求实数的取值范围.(★★) 17. 已知，，若是的充分非必要条件，求实数的取值范围.(★★★) 18. 已知，，且，求所有的值所构成的集合.(★★★★) 19. 设集合，集合．（1）求使的实数的取值范围；（2）是否存在实数，使成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．(★★★) 20. 定义一个集合，间的新运算：.若已知，，，求：.(★) 21. 已知，求实数p的取值范围.(★★★) 22. 已知两个整数集合，，满足：①且；② 的所有元素之和为124，其中，试求，，，的值.。

沪教版(上海) 高一第一学期新高考辅导与训练第1章集合和命题阶段训练1一、填空题(★) 1. 已知集合，，则________．(★) 2. 设集合，，若，则的取值范围是________．(★) 3. 若集合，，用列举法表示 ________ ．(★★) 4. 若且，，，满足上述条件的集合有________个．(★★) 5. 若，，且，则实数的值为________．(★★) 6. 若集合中至多有一个元素，则实数的取值范围是________．(★★) 7. 设为全集，，则 ________ ．(★★) 8. 设，是两个非空集合，定义：且．若，，则________．(★★) 9. 若集合，满足，则称为集合的一种分拆，并规定：当且仅当时，（，）与（，）为集合的同一种分拆，则集合有________种不同的分拆．二、双空题(★) 10. 已知集合，，若，则________，________．三、单选题(★★) 11. 已知全集 U={1,3,5,7,9},集合 A={1, |a-5 |,9},∁U A={5,7},则 a的值是( )A．2B．8C．-2或8D．2或8(★★) 12. 当集合，，满足，时，则与之间的关系是（）A．B．C．D．以上都不对(★★) 13. 已知全集，集合，，则集合中元素的个数为（）A．1B．2C．3D．4(★) 14. 设集合，，则（）A．B．MÜN C．D．四、解答题(★★) 15. 设集合，，，求，的值．(★★) 16. （1）若，，求；（2）若，，求．(★★)17. 已知全集，，，且，，，求集合，．(★) 18. 设集合，，若，求实数的值．(★★) 19. 已知集合，集合，试判断与之间的关系，并说明理由．(★★) 20. 已知集合与集合，其中是一个二次项系数为1的二次函数．（1）判断与的关系；（2）若是单元素集合，求证：．。

第一章集合与命题Sets and Propositions我们知道，事物既有个性，也有共性．我们研究一个具体问题时，常把讨论对象限制在一定的整体范围内，便于讨论其共同性质；而对整体来说，每个对象又有着其各自的特点．这就是集合与其元素之间的基本关系．集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的基本语言和重要基础．一方面，许多重要的数学分支都建立在集合理论的基础上；另一方面，集合论及其思想，在越来越广泛的领域中得到应用．数学中的命题比比皆是，而连接相关命题之间的链条就是逻辑推理．逻辑是研究思维形式及其规律的一门基础学科．学习数学，需要全面地理解概念，正确地进行表述、推理和判断，这就离不开对逻辑知识的掌握和运用．更广泛地说，在日常生活、学习、工作中，基本的逻辑知识也是认识问题、研究问题不可缺少的工具，是人们文化素质的组成部分．在高中数学里，集合的初步知识与命题等相关知识，与其他内容有着密切联系，它是学习、掌握和使用数学语言的基础，基于上述原因，我们把“集合与命题”安排在高中数学的起始章．一、集合（Sets）1.1集合及其表示法（Sets and Their Expressions）在现实生活和数学中，我们经常要把一些确定的对象作为一个整体来考察研究．例如：(1)某校高一（1）班的全体学生；(2)中国运动员在历届夏、冬季奥运会上取得的所有金牌；(3)1~100之间的所有质数；(4)不等式2x－3>0的解的全体；(5)所有的平行四边形；(6)平面上到两个定点的距离相等的点的全体．我们把能够确切指定的不同对象组成的整体叫做集合(set)，简称集．集合中的各个对象叫做这个集合的元素(element)．对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，也是各不相同的，而且各元素地位相等，与顺序无关．我们把含有有限个元素的集合称为有限集(finite set)，含有无限个元素的集合称为无限集(infinite set)．为了研究的需要，我们把不含任何元素的集合叫做空集(empty set)，记作∅．例如，方程x2+1=0的实数解组成的集合就是空集．集合通常用大写的英文字母表示，如A、B、C、……，元素通常用小写的英文字母表示，如a、b、c、……．如果a是集合A的元素，就记作a∈A，读作“a属于(belong to)A”；如果a不是集合A的元素，就记作a∉A，读作“a不属于(not belong to)A”．数的集合简称数集，常用的数集我们一般用特定的字母表示：全体自然数组成的集合，即自然数集(natural numbers set)，记作N；不包括零的自然数组成的集合，即正整数集，记作N*；全体整数组成的集合，即整数集（set of integer），记作Z；全体有理数组成的集合，即有理数集（rational numbers set），记作Q；全体实数组成的集合，即实数集（set of real numbers ），记作R ．我们还把正整数集、负整数集、正有理数集、负有理数集、正实数集、负实数集分别表示为Z +、Z －、Q +、Q －、R +、R －．集合的表示方法通常有两种，即列举法和描述法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法称为列举法．如：{1，3，5，7，9}，{x 2，3x －2，x +7y 3，x 2－4y 2}．在大括号内，先写出此集合中元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中的元素的公共属性，即A ={x | x 满足性质P }，这种表示集合的方法称为描述法．如：不等式2x －3>0的解集可表示为{x | x －3>2}，函数y =x +1图像上的点组成的集合可表示为{(x , y ) | y =x +1}．例1. 用适当的方法表示下列集合：(1)30的所有正因数组成的集合A ；(2)被5除余3的自然数全体组成的集合B ；(3) 二次函数y =x 2+2x －3图像上的所有点组成的集合C ．解：(1)用列举法表示：A ={1,2,3,5,6,10,15,30}；(2)用描述法表示：B ={x | x=5n +3, n ∈N}；(3)用描述法表示：C ={(x , y ) | y =x 2+2x －3}．例2. A 是由一切能表示成两个整数的平方之差的全体整数组成的集合，试证明：(1)任意奇数都是A 的元素；(2)偶数4k －2(k ∈Z)不属于A ．证明：设A ={x | x =a 2－b 2，a 、b ∈Z}，(1) 设任意奇数x=2k+1,k ∈Z ，则x =k 2+2k+1－k 2=(k +1)2－k 2∈A ；(2) 反证：假设任意偶数x=4k －2,k ∈Z 属于A ，则设x =a 2－b 2，a 、b ∈Z ，于是有2(2k －1)=(a +b )(a －b )，…①在上述①式中，等号右边的a +b 与a －b 同奇同偶，则x 或为奇数，或为4的整数倍；而等号左边是2与一个奇数的积，则x 不能被4整除，由此产生矛盾．所以，原假设不成立，即“偶数4k －2(k ∈Z)不属于A ”得证．例3. 若集合{}2210,R A x ax x x =--=∈中至多有一个元素，求实数a 的取值范围． 解：当0a =时，方程只有一个根12-，则0a =符合题意； 当0a ≠时，则关于x 的方程2210ax x --=是一元二次方程，由于集合A 中至多有一个元素，则一元二次方程2210ax x --=有两个相等的实数根或没有实数根，所以∆＝440a +≤，解得1a ≤-．综上所得，实数a 的取值范围是{}01a a a =≤-或． 课堂活动·大家谈1、 集合中的元素有什么特性？集合的表示法中是如何体现这些性质的？2、 用列举法和描述法表示集合有什么区别？各有什么优势与不足？3、 通过实例分别选择自然语言、集合语言（列举法或描述法）表述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用，体验用集合思想去观察和思考问题的乐趣．课堂活动·自己想1、 区分∅，{∅}，{0}，0等符号的含义；2、集合{1，2}与集合{(1，2)}有什么区别？3、能否将“身材高大的人”组成一个集合？课外活动·自己学集合论简介集合论是德国著名数学家康托尔(George Cantor，1845－1918)于19世纪末创立的．十七世纪数学中出现了一门新的分支——微积分．在之后的一至二百年中，这一崭新学科获得了飞速发展并结出了丰硕的成果．其推进速度之快使人来不及检查和巩固它的理论基础．十九世纪初，许多迫切问题得到解决后，出现了一场重建数学基础的运动．正是在这场运动中，康托尔开始探讨了前人从未碰过的实数点集，这是集合论研究的开端．到1874年康托尔开始一般地提出“集合”的概念，他对集合所下的定义是：把若干确定的有区别的（不论是具体的或抽象的）事物合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，其中各事物称为该集合的元素．人们把康托尔于1873年12月7日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日．集合论提出伊始，曾遭到许多数学家的激烈反对，康托尔本人一度成为这一激烈论争的牺牲品.在猛烈的攻击下与过度的用脑思考中，他得了精神分裂症，几次陷于精神崩溃．然而集合论前后经历二十余年，最终获得了世界公认.到二十世纪初集合论已得到数学家们的赞同.数学家们为一切数学成果都可建立在集合论基础上的前景而陶醉了.他们乐观地认为从算术公理系统出发，借助集合论的概念，便可以建造起整个数学的大厦．在1900年第二次国际数学大会上，著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣布“……数学已被算术化了．今天，我们可以说绝对的严格已经达到了．”然而这种自得的情绪并没能持续多久．不久，集合论是有漏洞的消息迅速传遍了数学界，这就是1902年罗素得出的罗素悖论．罗素构造了一个所有不属于自身（即不包含自身作为元素）的集合R.现在问R是否属于R？如果R属于R，则R满足R的定义，因此R不应属于自身，即R不属于R；另一方面，如果R不属于R，则R不满足R的定义，因此R应属于自身，即R属于R.这样，不论何种情况都存在着矛盾.这一仅涉及集合与属于两个最基本概念的悖论如此简单明了以致根本留不下为集合论漏洞辩解的余地.绝对严密的数学陷入了自相矛盾之中，这就是数学史上的第三次数学危机．危机产生后，众多数学家投入到解决危机的工作中去．1908年，策梅罗提出公理化集合论，后经改进形成无矛盾的集合论公理系统，简称ZF公理系统．原本直观的集合概念被建立在严格的公理基础之上，从而避免了悖论的出现，这就是集合论发展的第二个阶段：公理化集合论．与此相对应，在1908年以前由康托尔创立的集合论被称为朴素集合论，公理化集合论是对朴素集合论的严格处理，它保留了朴素集合论的有价值的成果并消除了其可能存在的悖论，因而较圆满地解决了第三次数学危机．公理化集合论的建立，标志着著名数学家希耳伯特所表述的一种激情的胜利，他大声疾呼：没有人能把我们从康托尔为我们创造的乐园中赶出去．从康托尔提出集合论至今，时间已经过去了一百多年，在这一段时间里，数学又发生了极其巨大的变化，包括对上述经典集合论作出进一步发展的模糊集合论的出现等等，而这一切都是与康托尔的开拓性工作分不开的．当现在回头去看康托尔的贡献时，我们仍然可以引用当时一些著名数学家对他的集合论的评价作为我们的总结．德国伟大的数学家希尔伯特（David Hilbert，1862－1943）称康托尔的集合论是“数学精神最令人惊羡的花朵，人类理智活动最漂亮的成果”．英国数学家和哲学家罗素（Bertrand Russell，1872－1970）把康托尔的工作描述为“可能是这个时代所能夸耀的最伟大的工作”．前苏联著名的数学家科尔莫戈洛夫(Andrey Nikolaevich Kolmogorov，1903－1987)说，“康托尔的不朽功绩，在于他敢向无穷大冒险迈进．”还有如：它是对无限最深刻的洞察，它是数学天才的最优秀作品，是人类纯智力活动的最高成就之一．康托尔的无穷集合论是过去两千五百年中对数学的最令人不安的独创性贡献之一等等．课外活动·自己找借助图书馆或电脑网络系统查阅有关集合论创始人康托尔的生平简介等资料，了解其创立集合论的艰辛历程，进一步体验和学习数学家追求真理的不懈精神．习题练习·自己练1. 用描述法表示下列集合：(1){1，4，7，10，13}； (2){－2，－4，－6，－8，－10}；(3) { 1，5，25，125，625 }； (4) { 0，±21，±52，±103，±174，……}． 2. 用列举法表示下列集合：(1){x | x 是15的正约数}； (2){(x ，y ) | x ∈{1，2}，y ∈{1，2}}； (3)⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧=+-=+22),(22y x y x y x ； (4) {(x ，y ) | y =x 2－1，|x |≤2，x ∈Z}． 3. 关于x 的方程ax ＋b =0，当a ，b 满足条件_______时，解集是有限集；当a ，b 满足条件_________时，解集是无限集．4. 已知集合{2a ，a 2－2a }为数集，求a 的取值范围．5. 把可以表示成两个整数的平方之和的全体整数记作集合M ，试证明集合M 的任意两个元素的乘积仍属于M ．6. 已知全集M ={}，求集合M ． 7. 已知集合(){}0121|2=+--=x x m x A 中至多含有一个元素，求实数m 的取值范围． 8. 设A ={x | x 2+(b +2)x +b +1=0，b ∈R}，求A 中所有元素之和．9. 设A={x | x=m 2 –n 2，m 、n ∈ Z}，问8、9、10与集合A 有什么关系？并证明你的结论．10. 设集合S ={a 0，a 1，a 2，a 3}，在S 上定义运算为：a i ⊕a j = a k ,其中k 为i+j 被4除的余数，i 、j=0,1,2,3，则求满足关系式（x ⊕x ）⊕a 2= a 0的x ( x ∈S )的个数．11. 设集合A ={－3，－1，2，7}，集合B ={x | f (x ) >0}，在下列条件下，是否存在函数f (x )，使得集合A 中恰有一个元素不是B 的元素？(1) f (x )为一次函数；(2) f (x )为二次函数．12. 已知实数集A 满足：若x ∈A ，则A xx ∈-+11． (1) 求证：当2∈A 时，A 中还有3个元素；(2) 试找寻一个实数a ，使得a ∈A ，并由此求出相应的集合A ；(3) 由上述研究过程，你能得出什么结论？1.2集合之间的关系 （Relations of Sets ）考察下列集合：A={1,2}，B={1,2,3,4}，C={ x ︱x 2-3x+2=0}，D={ x ︱x 是四边形}，E={ x ︱x 是多边形}．容易发现，集合A 中的任何一个元素都是集合B 的元素，集合D 中的任何一个元素都是集合E 的元素，而集合B 中的元素3和4不是集合A 的元素，集合C 中的元素与集合A 的元素完全相同．一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 中任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 是集合B 的子集（subset ），记作B A ⊆或A B ⊇，读作“A 包含于（be contained in ）B ”或“B 包含(contain)A ”．我们规定，空集包含于任何一个集合，即空集是任何集合的子集．对于两个集合A 与B ，如果有B A ⊆，且A B ⊇，我们集合A 与集合B 相等，记作A=B ，读作“集合A 等于集合B ”．如对于集合A=｛x ︱x=2k+1，k ∈Z ｝与B=｛x ︱x=2k －1，k ∈Z ｝，则有A=B ．对于两个集合A 与B ，如果B A ⊆，并且B 中至少有一个元素不属于A ，那么称集合A 是集合B 的真子集（proper subset ），记作A B 或B A 读作“A 真包含于B ”或“B 真包含A ”．用平面区域来表示集合之间关系的方法叫做集合的图示法，如右图所示，表示B A ⊆（A B ）所用的图叫做文氏图（Venn diagram ）．例1. 写出集合{a ，b ，c }的所有子集和真子集．解：集合的所有子集为∅，{a }，{b }，{c }，{a ，b }，{b ，c }，{a ，c }，{a ，b ，c }，除了{a ，b ，c }，其余七个子集均为集合{a ，b ，c }的真子集．例2. 设集合A ={a ，a 2，ab }，B={1，a ，b }，A=B ，求实数a ，b 的值．解：由于A=B ，则(1)若a 2=b ，ab=1，则a 3=1，即a=b=1，与集合中元素的互异性矛盾；(2)若a 2=1，ab=b ，则由集合中元素的互异性可得a=－1，b=0．例3. 已知{}Z n Z m n m x x S ∈∈+==,,3614，{}Z k k x x T ∈==,2，求证S=T ．解：(1)任意x ∈S ，则存在m ,n ∈Z ，使得x=14m+36n=2(7m+18n )，令7m+18n=k ，由于m ,n ∈Z ，所以k=7m+18n ∈Z ，则x=2k ，k ∈Z ，即x ∈T ，因此S ⊆T ；(2)反之，任意x ∈T ，则存在k ∈Z ，使得x=2k ，要使得x=2k=14m+36n ，m ,n ∈Z ，则k=7m+18n=7×(－5k )+18×(2k )，可见当m=－5k ，n=2k (k ∈Z)时，x=14m+36n ，m ,n ∈Z ，即x ∈S ，因此T ⊆S ． 所以，综合(1)和(2)知，S=T 得证． 课堂活动·大家谈1、 讨论符号“∈”与“⊆”的意义、区别及作用；2、 集合之间的关系与实数中的大小关系、相等关系有相似之处吗？类比实数中有关不等式的性质，研究集合的有关包含和真包含关系的性质．3、 考察数集N ，Z ，Q ，R 之间的包含关系，了解和感受数域的扩张过程．课堂活动·自己想1、 如果B A ⊆，那么集合A 与B 的关系有几种可能？2、 如何理解空集是任何集合的子集？进一步体会∅与{∅}、{0}之间的关系．3、 判断下列写法是否正确？为什么？①∅A ；②A A ．课外活动·自己做试探究含n 个元素的有限集合的子集的个数．课外活动·自己学悖论悖论(paradox)来自希腊语“para+dokein”，意思是“多想一想”．这个词的意义比较丰富，它包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的数学结论，那些结论会使我们惊异无比．悖论是自相矛盾的命题．即如果承认这个命题成立，就可推出它的否定命题成立；反之，如果承认这个命题的否定命题成立，又可推出这个命题成立 如果承认它是真的，经过一系列正确的推理，却又得出它是假的；如果承认它是假的，经过一系列正确的推理，却又得出它是真的．古今中外有不少著名的悖论，它们震撼了逻辑和数学的基础，激发了人们求知和精密的思考，吸引了古往今来许多思想家和爱好者的注意力．解决悖论难题需要创造性的思考，悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念．悖论有三种主要形式：1．一种论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的（佯谬）．2．一种论断看起来 好像肯定是对的，但实际上却错了（似是而非的理论）．3．一系列推理看起来好像无懈可击，可是却导致逻辑上自相矛盾．事实上，悖论古已有之．一般认为，最早的悖论是古希腊的“说谎者悖论”，见于《新约全书·提多书》，属于语义学悖论．另一类悖论涉及数学中的集合论，被称为“数学悖论”或“集合论悖论”．在康托尔创立集合论不久，他自己就发现了问题，这就是1899年的“康托尔悖论”，亦称“最大基数悖论”．与此同时，还发现了其他集合论悖论，其中最著名的当属“罗素悖论”．1902年，英国数学家罗素提出了这样一个理论：以M 表示是其自身成员的集合的集合，N 表示不是其自身成员的集合的集合．然后问N 是否为它自身的成员？如果N 是它自身的成员，则N 属于M 而不属于N ，也就是说N 不是它自身的成员；另一方面，如果N 不是它自身的成员，则N 属于N 而不属于M ，也就是说N 是它自身的成员．无论出现哪一种情况都将导出矛盾的结论．1919年罗素给出了上述悖论的通俗形式，即“理发师悖论”：一天，萨维尔村理发师挂出一块招牌：“村里所有不自己理发的男人都由我给他们理发，我也只给这些人理发．”于是有人问他：“您的头发由谁理呢?”理发师顿时哑口无言．因为，如果他给自己理发，那么他就属于自己给自己理发的那类人．但是，招牌上说明他不给这类人理发，因此他不能自己理．如果由另外一个人给他理发，他就是不给自己理发的人，而招牌上明明说他要给所有不自己理发的男人理发，因此，他应该自己理．由此可见，不管怎样的推论，理发师所说的话总是自相矛盾的．课外活动·自己找借助图书馆或电脑网络系统查阅资料，了解集合论的有关著名悖论和英国哲学家、数学家罗素．习题练习·自己练1. 设集合{}{}31,,32,M x x m m Z N y y n n Z ==+∈==+∈,若,,x M y N ∈∈则x y 与集合M 、N 的关系是( )A ．x y M ∈B ．x y M ∉C ．x y N ∈D ．x y N ∉2. 设集合,,,22k M x x k Z N t t n t n n Z ππππ⎧⎫⎧⎫==∈===+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭或，则集合M 、N 的有怎样的关系？为什么？3. 已知{}{}A C B C A B A 求,8,4,2,0,5,3,2,1,,==⊆⊆．4. 已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧=1,,m n m M ，{}0,,2n m m N +=，若M=N ，求m 2008+n 2009． 5. 已知集合A={0，1}，B={x | x ∈A ，x ∈N ﹡} ，C={x | x ⊆ A } 则A 、B 、C 之间有怎样的关系？6. 已知集合A=},,53|{Z b a b a x x ∈+=，B=},,107|{Z n m n m y y ∈+=，判断A 与B 的关系并说明理由．7. 已知集合A={}Z b a b a x x ∈+=,,812|，B={}Z d c d c x x ∈+=,,1620|，求证A=B ．8. 已知集合A={x |－2k+6< x <k 2－3}，B={x |－k < x < k }，若AB ，求实数k 的取值范围． 9. 设含有10个元素的集合的全部子集数为S ，其中有3个元素组成的子集数为T ，则求ST的值．10. 已知集合A={ m | m=n 2+1，n ∈N *}，B={y |y=x 2－2x +2，x ∈N *}，研究A 与B 的关系，并给予证明．11. 已知A={ x | 22≤≤-x }，①若集合B={ x | a x ≤ }，满足A ⊆B ，求a 范围；②若集合C={x | 152+≤≤-a x a }，满足A ⊆C ，求a 的取值范围；③若把②中条件“A ⊆C ”改为“C ⊆A ”，求a 的取值范围．12. 设集合{123456}M =，，，，，， 12k S S S ，，，都是M 的含两个元素的子集，且满足：对任意的{}i i i S a b =，，{}j j j S a b =，（i j ≠，{123}i j k ∈、，，，，），都有min min j j i i i i j j a b a b b a b a ⎧⎫⎧⎫⎪⎪≠⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭，，（min{}x y ，表示两个数x y ，中的较小者），求k 的最大值．1.3集合之间的运算 （Operation of Sets ）1. 交集考察集合A={ x | x 是我校在校女生}，B={ x | x 我校高一学生}与C={ x | x 是我校高一女生}之间的关系，易知集合C 是由所有既属于集合A 又属于集合B 的元素组成的．一般地，由集合A 和集合B 的所有公共元素组成的集合，叫做A 与B 的交集(intersection)．记作A ∩B ，读作“A 交B ”，即A ∩B=｛x |x ∈A 且x ∈B 用文氏图可以直观地表示A ∩B 的一般情况．由交集运算的定义，容易得到以下一些基本性质：(1)A ∩B= B ∩A ； (2)A ∩A=A ； (3)A ∩∅=∅；(4)A ∩B ⊆A ，A ∩B ⊆B ；(5)若A ∩B=A ，则有A ⊆B ；反之若A ⊆B ，则A ∩B=A ．例1. 设集合A={(x ，y )|3x －y=7}，集合B={(x ，y )|2x+y=3}，求A ∩B ．解：A ∩B =⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧=+=-32,73),(y x y x y x =⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧-==1,2),(y x y x ={(2,－1)}．2. 并集一般地，由所有属于集合A 或者属于集合B 的元素组成的集合,叫做A 与B 的并集(union)．记作A ∪B ，读作“A 并B ”，即A ∪B=｛x |x ∈A 或x ∈B ｝．用文氏图可以直观地表示A ∪B 的一般情况．由并集运算的定义，容易得到以下一些基本性质：(1)A ∪B= B ∪A ； (2)A ∪A=A ； (3)A ∪∅= A ；(4)A ⊆A ∪B ，B ⊆A ∪B ；(5)若A ∪B=B ，则有A ⊆B ；反之若A ⊆B ，则A ∪B=B ．例2．设A=｛x |－1<x <2｝，B=｛x |1<x <3｝，求A ∩B ，A ∪B ．解：A ∩B=｛x |1<x <2｝，A ∪B=｛x |－1<x <3｝．例3．已知关于x 的方程3x 2+px －7=0的解集为A ，方程3x 2－7x +q =0的解集为B ， 若A ∩B =⎭⎬⎫⎩⎨⎧-31，求A ∪B ． 解： ∵A ∩B =⎭⎬⎫⎩⎨⎧-31，∴－31∈A 且－31∈B ． ∴3(－31)2+p (－31)－7=0且3(－31)2－7(－31)+q =0， ∴p =－20,q =－38． 由3x 2－20x －7=0得A ={－31，7}，由3x 2－7x －38=0得B ={－31，38}． ∴A ∪B ={－31，38，7}．3. 补集在给定的问题中，若研究的所有集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集(universe)．若A 是全集U 的子集，由U 中不属于A 的元素组成的集合，叫做集合A 在全集U 中的补集(complementary set)，记作A C U ，读作“A 补”，即{}A x U x x A C U ∉∈=,． 用文氏图可以直观地表示A C U 的一般情况．由并集运算的定义，容易得到以下一些基本性质：(1)=A C A U ∅； (2)U A C A U = ； (3)A A C C U U =)(．例4. 已知全集I={－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4}，A={－3，a 2，a +1}， B={a －3，2a －1，a 2+1}，其中a ∈R ，若A ∩B ={－3}，求C I （A ∪B ）．解：由a －3=－3或2a －1=－3，可求得A={－3，0，1}，B={－4，－3，2}，则A ∪B={－4，－3，0，1，2}，C I （A ∪B ）={－2，－1，3，4}．例5. 设U ={x | x <10，x ∈N *}，A ∩B={3}，(C u A )∩B={4，6，8}，A ∩(C u B )={1，5}， 求C u(A ∪B )，A ，B ．解： A ∪B 中的元素可分为三类：一类属于A 不属于B ；一类属于B 不属于A ；一类既属于A 又属于B ．由(C u A )∩B ={4,6,8}，即4,6,8属于B 不属于A ；由(C u B )∩A ={1,5}，即1,5属于A 不属于B ；由A ∩B ={3}，即3既属于A 又属于B ；又U ={x | x <10，x ∈N *}={1,2,3,4,5,6,7,8,9}， 若2属于A 不属于B ，则与(C u B )∩A ={1,5}矛盾，若2属于B 不属于A ，则与(C u A )∩B ={4,6,8}矛盾，而2∉ A ∩B ，∴2既不属于A 也不属于B ，同理7，9既不属于A 也不属于B ．综上，C u （A ∪B ）={2，7，9}，A={1,3,5}，B={3,4,6,8}．课堂活动·大家谈1. 关于集合的交、并、补的三种运算的性质是如何证明的？2. 设全集U={a ,b ,c ,d ,e }，A={a ,c ,d }，B={b ,d ,e }，通过计算A C U ，B C U ，)(B A C U ，)(B A C U ，B C A C U U 和B C A C U U ，在发现这些集合之间的关系后给予证明，并将结论推广到一般情形．课堂活动·自己想1. 思考性质“=A C A U ∅”的意义及作用，并进一步深刻理解引入空集概念的意义和作用．2. 思考集合A ，B ，A ∩B 和A ∪B 中元素的个数有何关系？课外活动·自己学容斥原理及其应用在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理．对于有限集合P ，我们用n (P )表示P 中的元素个数．容斥原理（1）如果被计数的事物有A 、B 两类，那么，A 类或B 类元素个数= A 类元素个数+B 类元素个数－既是A 类又是B 类的元素个数．即 )()()()(B A n B n A n B A n ⋂-+=⋃． 容斥原理（2）如果被计数的事物有A 、B 、C 三类，那么，A 类或B 类或C 类元素个数= A 类元素个数+ B 类元素个数+C 类元素个数－既是A 类又是B 类的元素个数－既是A 类又是C 类的元素个数－既是B 类又是C 类的元素个数+既是A 类又是B 类而且是C 类的元素个数．即 )()()()()()()()(C B A n A C n C B n B A n C n B n A n C B A n +---++=．例6 对某学校的100名学生进行调查，了解他们喜欢看球赛、看电影和听音乐的情况．其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看电影，52人喜欢听音乐，既喜欢看球赛又喜欢看电影的有18人，既喜欢听音乐又喜欢看电影的有16人，三种都喜欢的有12人，问有多少人只喜欢听音乐？解：设A ＝｛x | x 为喜欢看球赛的人｝，B ＝｛x | x 为喜欢看电影的人｝，C ＝｛x | x 为喜欢听音乐的人｝，则A ∩B ＝｛x | x 为既喜欢看球赛的人又喜欢看电影的人｝，B ∩C ＝｛x | x 为既喜欢听音乐又喜欢看电影的人｝，A ∩B ∩C ＝｛x | x 为三种都喜欢的人｝，A ∪B ∪C ＝｛x | x 为看球赛和电影、听音乐至少喜欢一种｝．则)(A n =58，)(B n =38，)(C n =52，)(B A n =18，)(C B n =16，)(C B A n =12，)(C B A n =100，由)()()()()()()()(C B A n A C n C B n B A n C n B n A n C B A n +---++=得)()()()()()()()(C B A n C B n B A n C B A n C n B n A n A C n +---++= ＝148－（100＋18＋16－12）＝26，所以，只喜欢听音乐的人共有n (C )－n (B ∩C )－n (C ∩A )＋n (A ∩B ∩C )＝52－16－26＋12＝22． 课外活动·自己找借助图书馆或电脑网络系统查阅英国数学家德·摩根的简介及德·摩根定理．习题练习·自己练1. 分别用集合符号表示下图的阴影部分：(1) (2)(3) (4)2. 设A={x | x ＞－2}, B={x |x ＜3}, 求A ∩B , A ∪B ．3. 已知A={2，－1，x 2－x +1}，B={2y ，－4，x +4}，C={－1，7}， 且A ∩B=C ，求A ∪B ．4. 若A 、B 、C 为三个集合，C B B A =，则一定有（ ）(A)C A ⊆ (B)A C ⊆ (C)C A ≠ (D)=A ∅5. 已知集合A={x ︱x ≤ 2}，B ={x ︱x > a }，在下列条件下分别求实数a 的取值范围：(1) A ∩B ＝∅；(2) A ∪B ＝R ；(3) 1∈A ∩B ．6. 设(){}N a a a A x x x f ∈≤≤=+-=,101|,36122，B A C =，{}A a a f b b B ∈==),(|，求：(1)集合C ；(2)C 的所有子集中的各个元素和的总和．7. 全集I={ x | x 为三角形}，A={ x | x 为锐角三角形}，B={ x | x 为钝角三角形}，C={ x | x为直角三角形}，D={ x | x 为斜角三角形}，求()()D C C B A C I I ．8. 设全集为U=Z ，{}Z k k x x M ∈==,2|，{}Z k k x x P ∈==,3|，求()P C M U ．9. 已知全集I=}32,3,2{2-+a a ，若}2,{b A =，}5{=A C I ，求实数b a ,．10. 已知全集U={}20|≤X x x 是质数且，A ，B 是U 的子集，且同时满足(){}5,3=B C A U ，(){}197，=B A C U ，()(){}17 2，=B C A C U U ，求A 和B ．11. 设全集(){}R y x y x U ∈=,|,，集合()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=--=R x x y y x A ,123|,， ①若(){}R y x x y y x B ∈+=,,1|,＝，B A U 求Ｃ；②若(){}R y x x y y x B ∈+≠=,,1|,，求()B A C U ．12. 某公司有120人，其中乘轨道交通上班的84人，乘汽车上班的32人，两种都乘的18人，求：（1）只乘轨道交通上班的人数；（2）不乘轨道交通上班的人数；（3）乘坐交通工具的人数；（4）不乘交通工具而步行的人数；（5）只乘一种交通工具的人数．二、四种命题的形式（Four Forms of Propositions ）1.4命题的形式及等价关系（The Forms of Propositions and Equivalent Relationship ）1. 命题与推出关系在初中，我们已经知道，判断真假的语句叫做命题(proposition)．命题通常用陈述句表述．正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题．一般地，命题是由题设（条件）和结论两部分组成的．题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项．命题常写成“如果…，那么…”的形式．具有这种形式的命题中，用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论．有些命题，没有写成“如果…，那么…”的形式，题设和结论不明显．对于这样的命题，要经过分折才能找出题设和结论，也可以将它们改写成“如果…，那么…”的形式． 命题的题设(条件)部分，有时也可用“已知……”或者“若……”等形式表述；命题的结论部分，有时也可用“求证……”或“则……”等形式表述．例1. 判断下列语句是否为命题？如果是命题，判断它们是真命题还是假命题？为什么？(1) 你是高一学生吗？(2) 过直线AB 外一点作该直线的平行线．(3) 个位数是5的自然数能被5整除．(4) 互为余角的两个角不相等．(5)竟然得到5＞9的结果!(6)如果两个三角形的三个角分别对应相等，那么这两个三角形相似．解：(1)、(2)、(5)不是命题，(3)、(4)、(6)是命题，其中(4)是假命题．(1)语句“你是高一学生吗？”是疑问句，不是判断语句，所以它不是命题．(2)语句“过直线AB外一点作该直线的平行线．”是祈使句，不是判断语句，所以它也不是命题．(3)此命题为真命题．这是因为个位数是0的自然数总可以表示为10k(k∈N)的形式，而10k=5·2k，所以10k能被5整除．(4)取一个角为45°，另一个角也为45°，它们互为余角，但是它们是相等的．所以“互为余角的两个角不相等．”是假命题．(5)语句“竟然推出6＞8的结果！”是感叹句，不是判断语句，所以它不是命题．(6)此命题为真命题．它是三角形相似的判定定理，在初中数学中已经给出证明．由例1的(4)可以看到，要确定一个命题是假命题，只要举出一个满足命题的条件，而不满足其结论的例子即可，这在数学中称为“举反例”．要确定一个命题是真命题，就必须作出证明，证明若满足命题的条件就一定能推出命题的结论．一般地，如果事件α成立可以推出事件β也成立，那么就说由α可以推出β，并用记号α⇒β表示，读作“α推出β”．换言之，α⇒β表示以α为条件，β为结论的命题是真命题．如果事件α成立，而事件β不能成立，那么就说事件α不能推出事件β成立，可记作αβ．换言之，α表示以α为条件，β为结论的命题是一个假命题．如果α⇒β，并且β⇒α，那么记作α⇔β，叫做α与β等价．显然，推出关系满足传递性：α⇒β，β⇒γ，那么α⇒γ．2.四种命题形式一个命题由条件和结论两部分组成，如果把原命题的条件和结论互换，所得的命题是原命题的逆命题( inverse proposition)，显然它们互为逆命题．例如，命题(1)“对顶角相等”和命题(2)“相等的角是对顶角”互为逆命题．如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定与结论的否定，则称这两个命题为互否命题，其中一个命题是另一个命题的否命题( negative proposition)．像命题(3)“不是对顶角的角不相等”与命题(1)是互否命题．如果将一个命题的结论的否定作为条件，而将此命题的条件的否定作为结论所得到的命题叫做原命题的逆否命题( inverse negative proposition)．如命题(4)“不相等的角不是对顶角”与命题(1)是互为逆否命题．若α为原命题条件，β为原命题结论，则其四种命题的形式及关系为：原命题：若α，则β；逆命题：若β，则α；否命题：若α，则β；逆否命题：若β，则α．例2. 写出命题：“若x + y = 5，则x = 3且y = 2”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．解：原命题：若x + y = 5，则x = 3且y = 2．。

沪教版(上海)高一第一学期新高考辅导与训练第1章集合和命题1.2集合之间的关系学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．设{1,2,3,4}A =，{1,2}B =，试求集合C ，使得C A ，且B C ⊆．2．含有3个实数的集合可表示为,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，也可表示为{}2,,0a a b +，求20092010a b +的值．3．已知集合{}2|560A x x x =+-=，集合{|20}B x mx =-=，若B A ⊆，求实数m 的值．4．设集合222{|40},{|2(1)10}A x x x B x x a x a =+==+++-=，若A ∩B=B ，求a 的取值范围．5．已知集合{1,3,}A m =-，集合{}23,B m=，若B A ⊆，则实数m =________． 6．已知集合{}1,A x =，{}21,B x =且A B =，则x =_____________.7．集合{|1}A x ax ==，{}2|10B x x =-=，若A B ，则实数a 的值为________． 8．集合{(,)|2A x y xy ==且3,,}x y x R y R +=∈∈的所有子集为________． 9．集合{|24},{|2}A x x B x x a =<<=<<，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是________．10．若非空集合M 满足：（1）{1,2,3,4,5}M ⊆；（2）当a M ∈时，总有6a M -∈，则符合上述要求的集合M 有________个．11．下列写法正确的是（ ）A ．∅{}0 B ．0∅C ．{}0∅∈D ．0∈∅12．已知集合{}2*|1,P x x n n N==+∈，{}2*|45,M x x m m m N ==-+∈，则集合P 与M 的关系是（ ）A ．P MB ．P M =C ．P M ⊆D ．M P ⊆13．设集合1|,24k M x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，1|,42k N x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则（ ） A ．M N =B ．M NC ．M N ⊃≠D ．M N ⋂=∅14．设a ,b R ∈，集合{1,,}0,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，求b a -． 15．若集合{}2|0A x x px q =++=，{}2|320B x x x =-+=，且A B ⊆，求p ，q 应满足的条件．16．已知集合{}|25A x x =-≤≤，{}|121B x m x m =+≤≤-，若B A ⊆，求实数m 的取值范围.17．已知a ∈R ，x ∈R ，集合22,4{,59}A x x =-+，2{}3,B x ax a =++，2(1)3},1{C x a x =++-.（1）求使集合{2,3,4}A =的x 的值；（2）求使2B ∈，B A ⊆的a ，x 的值；（3）求使集合B C =的a ，x 的值.参考答案1．{1,2}C =，或{1,2,3}，或{1,2,4}．【解析】【分析】突破口在于理解C A ，且B C ⊆．由B C ⊆，可得C 中至少有元素1,2，再由C A 即可得解.【详解】解：∵{1,2,3,4}A =，{1,2}B =，B C ⊆，∴C 中至少有元素1,2．又∵C A ，∴{1,2}C =，或{1,2,3}，或{1,2,4}．【点睛】本题主要考查子集、真子集的概念及运算，本题解题的关键是看清题目中出现的三个集合之间的关系，属于基础题．2．200920101a b +=- 【解析】【分析】分析由集合相等的概念及集合中元素的互异性进行求解可得答案．【详解】∵{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，∴0,,1b a a ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭．而0a ≠，∴0b =． 此时{}2{,0,1},,0a a a =，∴21a =．解方程，1a =±．当1a =时，与集合中元素互异性不符，∴1a =-，0b =．∴200920101a b +=-．【点睛】本题考查集合相等的概念，对于有限集相等，可知元素对应相等，在求解注意满足集合的元素的互异性，属于基础题．3．0，2，13-．【解析】【分析】先解方程求出{1,6}A =-，再分别讨论B =∅，{1}B =，{6}B =-三种情况，即可得出结果.【详解】由题意，解方程2560x x +-=，得{1,6}A =-．∵B A ⊆，∴①当B =∅时，0m =；②当{1}B =时，2m =；③当{6}B =-时，13m =-． 综上所述，m 的值为0，2，13-． 【点睛】本题主要考查由集合的包含关系求参数的问题，属于基础题型.4．a=1或a≤﹣1【解析】试题分析：先由题设条件求出集合A ，再由A∩B=B ，导出集合B 的可能结果，然后结合根的判别式确定实数a 的取值范围．试题解析：根据题意，集合A={x|x 2+4x=0}={0，﹣4}，若A∩B=B，则B 是A 的子集，且B={x|x 2+2（a+1）x+a 2﹣1=0}，为方程x 2+2（a+1）x+a 2﹣1=0的解集，分4种情况讨论：①B=∅，△=[2（a+1）]2﹣4（a 2﹣1）=8a+8＜0，即a ＜﹣1时，方程无解，满足题意； ②B={0}，即x 2+2（a+1）x+a 2﹣1=0有两个相等的实根0，则有a+1=0且a 2﹣1=0，解可得a=﹣1，③B={﹣4}，即x 2+2（a+1）x+a 2﹣1=0有两个相等的实根﹣4，则有a+1=4且a 2﹣1=16，此时无解，④B={0、﹣4}，即x 2+2（a+1）x+a 2﹣1=0有两个的实根0或﹣4，则有a+1=2且a 2﹣1=0，解可得a=1，综合可得：a=1或a≤﹣1．点睛：A ∩B=B 则B 是A={0，﹣4}的子集，而B={x|x 2+2（a+1）x+a 2﹣1=0}为方程x 2+2（a+1）x+a 2﹣1=0的解集，所以分四种情况进行讨论①B=∅，②B={0}，③B={﹣4}，④B={0、﹣4}，其中①B=∅不要忘记.5．0或1【解析】【分析】根据题意，由B ⊆A ，m 2≠﹣1，得m 2＝m ，解方程，再进行集合元素互异性的验证．【详解】由B ⊆A ，m 2≠﹣1，∴m 2＝m ．解得m ＝1或0．m ＝1，集合A ＝{﹣1，3，1}，集合B ＝{3，1}，符合集合元素的互异性，B ⊆A ；m ＝0，集合A ＝{﹣1，3，0}，集合B ＝{3，0}，符合集合元素的互异性，B ⊆A ；故答案为：0或1．【点睛】本题考查集合间的关系，注意解题时要验证互异性，属于基础题．6．1-【解析】【分析】利用A B =得2x x =，解出x 并避免集合中的元素相同即可．【详解】解：由已知得2x x =，解得0x =或1x =，当1x =时，{}1,1A B ==，与集合中的元素的互异性矛盾，故舍去，故答案为：0．【点睛】本题考查集合相同，注意集合中元素的互异性，是基础题．7．0，1，1-【解析】【分析】根据题意，先求得集合{}1,1B =-，再对集合A 分A =∅与A ≠∅讨论即可.【详解】由题意，{}{}2|101,1B x x =-==-，因A B ， 所以，当集合A =∅时，此时0a =，符合题意；当集合{}1A =-时，此时1a =-，符合题意；当集合{}1A =时，此时1a =，符合题意.综上，实数a 的值为0,1,1-.故答案为：0,1,1-.【点睛】本题考查了描述法的定义，一元二次方程的解法，集合与集合之间的关系，考查了计算能力，属于基础题.8．∅，{(1,2)}，{(2,1)}，{(1,2),(2,1)}【解析】【分析】先解方程组23xy x y =⎧⎨+=⎩求出集合A ，再用列举法写出子集即可.【详解】由23xy x y =⎧⎨+=⎩得：12x y =⎧⎨=⎩或21x y =⎧⎨=⎩， 所以()(){}1,2,2,1A =，因此其所有的子集为：∅，{(1,2)}，{(2,1)}，{(1,2),(2,1)}.故答案为：∅，{(1,2)}，{(2,1)}，{(1,2),(2,1)}.【点睛】本题主要考查求集合的子集，属于基础题型.9．[)4,+∞【解析】【分析】根据子集的概念，得到a 与4的相对关系，即可求解.因为{|24},{|2}A x x B x x a =<<=<<，若A B ⊆，所以4a ≥，故a 的取值范围是[)4,+∞.故答案为：[)4,+∞.【点睛】本题主要考查了集合子集的概念，属于基础题.10．7【解析】【分析】若元素a M ∈，则6a M -∈，将集合{1,2,3,4,5}的元素分成三组：1，5和2，4和3再对集合M 中的元素个数进行分类讨论：当M 中一个元素、二个、三个、四个、五个元素时，分别求出M ，最后综上所述得集合M 个数即可，【详解】解：根据条件：若元素a M ∈，则6a M -∈，将集合{1,2,3,4,5}的元素分成三组；1和5；2和4；3．{1,2,3,4,5}M ⊆Q ， 当M 中元素只有一个时，{}3M =；当M 中元素只有二个时，{}1,5M =或{}2,4；当M 中元素只有三个时，{}1,3,5M =或{}2,3,4； 当M 中元素只有四个时，{}1,2,4,5A =；当M 中元素有五个时，{}1,2,3,4,5M =；综上所述得：则集合M 个数是：7故答案为：7．【点睛】本题主要考查集合关系中的参数取值问题、集合的元素性质等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论思想【解析】【分析】根据空集定义、空集为任意非空集合真子集、元素与集合关系、集合与集合之间的关系的表示方法依次判断各个选项即可得到结果.【详解】空集是任意非空集合的真子集，故∅{}0，A 正确；元素与集合关系不能用“包含”符号，B 错误；集合与集合关系不能用“属于”符号，C 错误；空集中不含有任何元素，故0∉∅，D 错误.故选：A【点睛】本题考查集合中元素与集合、集合与集合之间的关系的辨析，属于基础题.12．A【解析】【分析】根据{}(){}22**|45,2,1|M x x m m m N x x m m N ==-+∈=+=-∈，由题中条件，即可得出结果.【详解】因为{}{}2*222|1,11,21,31,......P x x n n N ==+∈=+++，{}(){}{}22**222|45,|2,1,11,21,31,...1...M x x m m m N x x m m N ==-+∈==-∈=++++即集合M 比集合P 多一个元素1，因此P M .故选：A.【点睛】本题主要考查集合间的关系，熟记集合间的包含关系即可，属于基础题型.13．B【解析】对集合M 和N 中的代数式化为统一的形式，再进行比较．【详解】对于集合M ：121244k k x +=+=，k ∈Z ， 对于集合N ：12424k k x +=+=，k ∈Z ， ∵2k +1是奇数集，k +2是整数集，∴M N故选：B ．【点睛】本题考查了集合间的关系，以及转化思想，是基础题．14．2b a -=【解析】【分析】根据题意，集合{1,,}{0,,}b a b a b a+=，注意到后面集合中有元素0，由集合相等的意义，结合集合中元素的特征，可得0a b +=，进而分析可得a 、b 的值，计算可得答案． 【详解】解：根据题意，集合{1,,}{0,,}b a b a b a+=， 又0a ≠Q ， 0a b ∴+=，即=-a b ，∴1b a=-， 1b =；故1a =-，1b =，则2b a -=，故答案为：2【点睛】本题考查集合元素的特征与集合相等的含义，注意从特殊元素下手，有利于找到解题切入点．15．见解析【解析】求出集合B 中方程的解为1和2，确定出集合B ，根据A 为B 的子集，将1x =或2代入集合A 中的方程，即可得出p 与q 的关系式．【详解】解：由{}2|320B x x x =-+=解得{1,2}B =．∵A B ⊆，所以分以下几种情况讨论：（1）A =∅，则2040p q ∆<⇒-<； （2）{1}A =，则2401111p q p q ⎧∆=-=⎪+=-⎨⎪⨯=⎩解得21p q =-⎧⎨=⎩； （3）{2}A =，则2402222p q p q ⎧∆=-=⎪+=-⎨⎪⨯=⎩解得44p q =-⎧⎨=⎩； （4）{1,2}A =，则2401212p q p q ⎧∆=->⎪+=-⎨⎪⨯=⎩解得32p q =-⎧⎨=⎩； 综上，p ，q 满足的关系是240p q -<或4p =-，4q =或2p =-，1q =或3p =-，2q =．【点睛】本题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．16．(,3]m ∈-∞【解析】【分析】分类讨论：当B =∅时，121m m +>-；当B ≠∅时，结合数轴列不等关系 12,215m m +≥--≤即可求解.【详解】由题：B A ⊆当121m m +>-，即2m <时，B =∅，符合题意；本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

∴ M∩N=M={y|y≥1}
说明：实际上，从函数角度看，本题中的M，N分别是二次函数和一次函数的值域。一般地，集合{y|y=f(x)，x∈A}应看成是函数y=f(x)的值域，通过求函数值域化简集合。此集合与集合{（x，y）|y=x2+1，x∈R}是有本质差异的，后者是点集，表示抛物线y=x2+1上的所有点，属于图形范畴。集合中元素特征与代表元素的字母无关，例{y|y≥1}={x|x≥1}。
（2）集合与集合的关系，用 ， ，=表示，当A B时，称A是B的子集；当A B时，称A是B的真子集。
3、集合运算
（1）交，并，补，定义：A∩B={x|x∈A且x∈B}，A∪B={x|x∈A，或x∈B}，CUA=｛x|x∈U，且x A｝，集合U表示全集；
（2）运算律，如A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C），CU（A∩B）=（CUA）∪（CUB），
（1）定义：对命题“若p则q”而言，当它是真命题时，p是q的充分条件，q是p的必要条件，当它的逆命题为真时，q是p的充分条件，p是q的必要条件，两种命题均为真时，称p是q的充要条件；
（2）在判断充分条件及必要条件时，首先要分清哪个命题是条件，哪个命题是结论，其次，结论要分四种情况说明：充分不必要条件，必要不充分条件，充分且必要条件，既不充分又不必要条件。从集合角度看，若记满足条件p的所有对象组成集合A，满足条件q的所有对象组成集合q，则当A B时，p是q的充分条件。B A时，p是q的充分条件。A=B时，p是q的充要条件；
例5、已知集合 , ,如果 ，那么 .
(1)证明它是真命题；（2）写出他的逆命题，并证明它的真假。
解析：（1） 有解，整理得， ，由 ，得 ，所以命题是真命题。
（2）已知集合 ， ，如果 ，那么 。命题是真命题。证明： , .

高中（一）数学教材（沪教版）目录高一上第一章集合与命题一集合1.1集合及其表示法1.2集合之间的关系1.3集合的运算二四种命题的形式1.4命题的形式及等价关系三充分条件与必要条件1.5充分条件、必要条件1.6子集与推出关系第二章不等式2.1不等式的基本性质2.2一元二次不等式的解法2.3其他不等式的解法2.4基本不等式及其应用*2.5不等式的证明第三章函数的基本性质3.1函数的概念3.2函数关系的建立3.3函数的运算3.4函数的基本性质第四章幂函数、指数函数和对数函数（上）一幂函数4.1幂函数的性质与图像二指数函数4.2指数函数的性质与图像*4.3借助计算器观察函数递增的快慢高一下第四章幂函数、指数函数和对数函数（下）三对数4.4对数的概念及其运算四反函数4.5反函数的概念五对数函数4.6对数函数的性质与图像六指数方程和对数方程4.7简单的指数方程4.8简单的对数方程第五章三角比一任意角的三角比5.1任意角及其度量5.2任意角的三角比二三角恒等式5.3同角三角比的关系和诱导公式5.4两角和与差的正弦、余弦和正切1/35.5二倍角与半角的正弦、余弦和正切三解斜三角形5.6正弦定理、余弦定理和解斜三角形第六章三角函数一三角函数的图像及性质6.1正弦函数和余弦函数的图像与性质6.2正切函数的图像与性质6.3函数()siny A xωφ=+的图像与性质二反三角函数与最简三角方程6.4反三角函数6.5最简三角方程高二上第七章数列与数学归纳法一数列7.1数列7.2等差数列7.3等比数列二数学归纳法7.4数学归纳法7.5数学归纳法的应用7.6归纳—猜想—证明三数列的极限7.7数列的极限7.8无穷等比数列各项的和第八章平面向量的坐标表示8.1向量的坐标表示及其运算8.2向量的数量积8.3平面向量的分解定理8.4向量的应用第九章矩阵和行列式初步一矩阵9.1矩阵的概念9.2矩阵的运算二行列式9.3二阶行列式9.4三阶行列式第十章算法初步10.1算法的概念10.2程序框图*10.3计算机语句和算法程序高二下第十一章坐标平面上的直线11.1直线的方程11.2直线的倾斜角和斜率11.3两条直线的位置关系11.4点到直线的距离第十二章圆锥曲线12.1曲线和方程12.2圆的方程2/312.3椭圆的方程12.4椭圆的性质12.5双曲线的方程12.6双曲线的性质12.7抛物线的方程12.8抛物线的性质第十三章复数13.1复试的概念13.2复数的坐标表示13.3复数的加法和减法13.4复数的乘法和除法13.5复数的平方根和立方根13.6实系数的一元二次方程高三上第十四章空间直线与平面14.1平面及其基本性质14.2空间直线与直线的位置关系14.3空间直线与平面的位置关系14.4空间平面与平面的位置关系第十五章简单集合体一多面体15.1多面体的概念15.2多面体的直观图二旋转体15.3旋转体的概念三几何体的表面积、体积和球面距离15.4几何体的表面积15.5几何体的体积15.6球面距离第十六章排列组合与二项式定理16.1计数原理Ⅰ——乘法原理16.2排列16.3计数原理Ⅱ——加法原理16.4组合16.5二项式定理高三下第十七章概率论初步17.1古典概型17.2频率与概率第十八章基本统计方法18.1总体和样本18.2抽样技术18.3统计估计18.4实例分析*18.5概率统计实验3/3。

高一数学集合及其表示测试一．填空题：（每小题5分，共25分）1．写出满足关系式A ⊂≠{1，2}的所有集合A ．2．用描述法表示被5除余1的整数的集合 ．3．集合A ＝{z |z ＝qp ，其中p ＋q ＝5，且p 、q ∈N *}的所有真子集的个数 ．4．已知集合A ＝{2，4，6}，若a ∈A ，6－a ∈A ，则a ＝ ．5．若集合A ＝{(m ，n )|1+m n ＝1，m ，n ∈R }，B ＝{(m ，n )|n ＝1＋m ，m ，n ∈R }，则A 与B 的关系是 ．6．集合M ＝{a ，b ，c ，d ，e }，则包含{a ，b }的M 的子集共有 个．二．选择题：（每小题5分，共25分）7．下列关于空集Φ的叙述：①0∈Φ；②Φ∈{Φ}；③Φ＝{0}．正确的个数是（ ）（A ）0； （B ）1； （C ）2； （D ）3．8．下列各组集合M 与N 中，表示相等的集合是（ ）（A ）M ＝{(0，1)}，N ＝{0，1}； （B ）M ＝{(0，1)}，N ＝{(1，0)}；（C ）M ＝{(0，1)}，N ＝{(x ，y )|x ＝0且y ＝1}； （D ）M ＝{π}，N ＝{3.14}．9．下列命题：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若Φ真包含于集合A ，则A ≠Φ．其中正确的有（ ）（A ）0个； （B ）1个； （C ）2个； （D ）3个．10．设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝{0，b ，ab }，则b －a 等于（ ）（A ）1； （B ）－1； （C ）2； （D ）－2．三．解答题：（12＋12＋12＋14＝50分）11．当a ，b 满足什么条件时，集合A ＝{x |ax ＋b ＝0}是有限集、无限集、空集？解：12．已知集合A ＝{x |2ax ＋3x ＋1＝0，x ∈R }，（1）若A 中只有一个元素，求实数a 的值；（2）若A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围．解：13．若集合A ＝{x |2x ＋ax ＋b ＝0}，B ＝{x |2x ＋cx ＋6＝0}，问是否存在实数a ，b ，c ，使A ∪B ＝B 且A ∩B ＝{2}，如果存在，求出a ，b ，c 的值；如果不存在，说明理由．解：14．已知集合A ＝{x |－1≤x ＜4}，B ＝{x |2x －4ax ＋32a ＝0}．（1）若B ⊂≠A ，求实数a 的取值范围； （2）若A ∩B ＝Φ，求实数a 的取值范围．解：高一数学集合及其表示测试 2009．9．8一．填空题：（每小题5分，共25分）1．写出满足关系式A ⊂≠{1，2}的所有集合A Φ、{1}、{2} ． 2．用描述法表示被5除余1的整数的集合 A ＝{x |x ＝5k ＋1，k ∈Z } ．3．集合A ＝{z |z ＝qp ，其中p ＋q ＝5，且p 、q ∈N *}的所有真子集的个数 15 ．4．已知集合A ＝{2，4，6}，若a ∈A ，6－a ∈A ，则a ＝ 2或4 ．5．若集合A ＝{(m ，n )|1+m n ＝1，m ，n ∈R }，B ＝{(m ，n )|n ＝1＋m ，m ，n ∈R }，则A 与B 的关系是 A ⊂≠B ． 6．集合M ＝{a ，b ，c ，d ，e }，则包含{a ，b }的M 的子集共有 8个．二．选择题：（每小题5分，共25分）7．下列关于空集Φ的叙述：①0∈Φ；②Φ∈{Φ}；③Φ＝{0}．正确的个数是（ B ）（A ）0； （B ）1； （C ）2； （D ）3．8．下列各组集合M 与N 中，表示相等的集合是（ C ）（A ）M ＝{(0，1)}，N ＝{0，1}； （B ）M ＝{(0，1)}，N ＝{(1，0)}；（C ）M ＝{(0，1)}，N ＝{(x ，y )|x ＝0且y ＝1}； （D ）M ＝{π}，N ＝{3.14}．9．下列命题：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若Φ真包含于集合A ，则A ≠Φ．其中正确的有（ B ）（A ）0个； （B ）1个； （C ）2个； （D ）3个．10．设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝{0，b ，a b }，则b －a 等于（ C ）（A ）1； （B ）－1； （C ）2； （D ）－2．三．解答题：（12＋12＋12＋14＝50分）11．当a ，b 满足什么条件时，集合A ＝{x |ax ＋b ＝0}是有限集、无限集、空集？解：当a ≠0，b ∈R 时，ax ＋b ＝0有唯一解x ＝－ab ，集合A 为有限集；当a ＝0，b ＝0时，ax ＋b ＝0有无穷多个解，集合A 为无限集； 当a ＝0，b ≠0时，ax ＋b ＝0有无解，集合A 为空集．12．已知集合A ＝{x |2ax ＋3x ＋1＝0，x ∈R }，（1）若A 中只有一个元素，求实数a 的值；（2）若A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围．解：（1）当a ＝0时，3x ＋1＝0，满足条件；当a ≠0时，△＝9－4a ＝0，a ＝49；∴满足条件的实数a 的值为：0或49． （2）若A 中只有一个元素，则实数a 的值为：0或49；若A ＝Φ，则△＝9－4a ＜0，得：a ＞49． ∴满足条件的实数a 的取值范围为：a ＝0或a ≥49．13．若集合A ＝{x |2x ＋ax ＋b ＝0}，B ＝{x |2x ＋cx ＋6＝0}，是否存在实数a ，b ，c ，使A ∪B ＝B 且A ∩B ＝{2}，若存在，求出a ，b ，c 的值；若不存在，说明理由． 解：∵A ∩B ＝{2}，∴2∈B ，得：4＋2c ＋6＝0，c ＝－5，即：B ＝{2，3}．∵A ∪B ＝B ，∴A ⊂≠B 且2∈A ，得：A ＝{2}． 当A ＝{2}时，⎩⎨⎧=⨯-=+ba 2222，得：a ＝－4，b ＝4；∴存在实数a ＝－4，b ＝4，c ＝－5，使A ∪B ＝B 且A ∩B ＝{2}． 14．已知集合A ＝{x |－1≤x ＜4}，B ＝{x |2x －4ax ＋32a ＝0}．（1）若B ⊂≠A ，求实数a 的取值范围； （2）若A ∩B ＝Φ，求实数a 的取值范围． 解：∵2x －4ax ＋32a ＝0，∴x ＝a 或x ＝3a ．当a ＝0时，B ＝{0}；当a ≠0时，B ＝{a ，3a }．（1）若B ⊂≠A 时，a ＝0或⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<≤-≠431410a a a ，∴－31≤a ＜34． （2）若A ∩B ＝Φ时，⎩⎨⎧≥>40a a 或⎩⎨⎧-<<10a a ，∴a ≥4或a ＜－1．。

沪教版⾼⼀（上）数学⼀课⼀练及单元测试卷和参考答案⾼⼀（上）数学⼀课⼀练及单元测试卷和参考答案⽬录第⼀章集合与命题1.1 集合的概念与表⽰法（1） 3 1.2 集合与集合的关系（1）9 1.3 集合的运算（1）14 1.4 命题的形式及等价关系（1）19 1.5充分条件、必要条件（1）24 1.6 ⼦集与推出关系（1）29 第⼀章集合与命题单元测试卷⼀33第⼆章不等式2.1 不等式的基本性质（1）38 2.2 ⼀元⼆次不等式的解法（1）42 2.3 其他不等式的解法（1）46 2.4 基本不等式及其应⽤（1）50 *2.5 不等式的证明（1）54 第⼆章不等式单元测试卷⼀58第三章函数的基本性质3.1 函数的概念（1） 62 3.2 函数关系的建⽴（1） 66 3.3 函数的运算（1） 72 3.4函数的基本性质（1） 76 3.4函数的基本性质（2） 80 3.4函数的基本性质（3） 85 第三章函数的基本性质单元测试卷⼀ 90 第四章幂函数、指数函数和对数函数（上）4.1 幂函数的性质与图像（1）94 4.2 指数函数的图像与性质（1）99*4.3借助计算器观察函数递增的快慢（1）105 第四章幂函数、指数函数和对数函数（上）单元测试卷⼀109参考答案114⾼⼀（上）数学第⼀章集合与命题1.1 集合的概念与表⽰法（1）⼀、选择题1.下⾯四个命题：(1)集合N 中的最⼩元素是1：（2）若a N -?，则a N ∈（3）244x x +=的解集为{2，2}；（4）0.7Q ∈，其中不正确命题的个数为（） A. 0 B. 1 C.2 D.32.下列各组集合中，表⽰同⼀集合的是（） A.)}3,2{()},2,3{(==N M B.{}{}3,2,2,3M N == C.(){},1M x y x y =+=，{}1N y x y =+= D. {}(){}1,2, 1.2M N ==3.下列⽅程的实数解的集合为12,23??-的个数为（）（1）224941250x y x y +-++=; (2)2620x x +-=;(3) ()()221320x x -+=; (4) 2620x x --=A.1B.2C.3D.44.集合{}(){}2210,6100A x x x B x N x x x =++==∈++=，{}450C x Q x =∈+<，{}2D x x =为⼩于的质数，其中时空集的有（）A. 1个B.2个C.3个D.4个5. 下列关系中表述正确的是（） A.{}200x ∈= B.(){}00,0∈ C. 0∈? D.0N ∈ 6. 下列表述正确的是（） A.{}0=? B.{}{}1,22,1= C.{}?=? D.0N ? 7. 下⾯四个命题：(1)集合N 中的最⼩元素是1：（2）⽅程()()()31250x x x -+-=的解集含有3个元素；（3）0∈?（4）满⾜1x x +>的实数的全体形成的集合。

沪教版(上海) 高三年级新高考辅导与训练第一章集合与函数本章测试一、单选题(★★) 1. 已知集合，则等于（）A．B．C．D．(★★) 2. 对任意实数给出下列命题:①“ ”是“ ”的充要条件;②“ 是无理数”是“ 是无理数”的充要条件;③“ ”是“ ”的充分条件;④“ ”是“ ”的必要条件.其中真命题的个数是( )A．1B．2C．3D．4(★★) 3. 函数的定义域是（）A．B．C．D．(★★★) 4. 函数 f（ x）是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数且 f（2）=0，则使 f （ x）<0的 x的取值范围（）A．（－∞，2）B．（2，+∞）C．（－∞，-2）∪（2，+∞）D．（－2，2）(★★) 5. 函数的反函数的表达式为（）．A．B．C．D．(★) 6. 函数 f( x)＝ a x－b的图象如图，其中 a， b为常数，则下列结论正确的是（）A．a＞1，b＜0B．a＞1，b＞0C．0＜a＜1，b＞0D．0＜a＜1，b＜0(★★★) 7. 函数在其定义域内有（）．A．最大值2，最小值B．最大值3，最小值C．最大值4，最小值0D．最大值1，最小值(★★★) 8. 已知，，，，且，，，则的值为（）．A．一定大于零B．一定小于零C．等于零D．正负均有可能(★★★) 9. 设全集，（为常数），且，则下列成立的是（）A．B．C．D．(★★) 10. 若，则函数的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(★★★) 11. 设函数在内有定义，对于给定的正数 K，定义函数取函数．当= 时，函数的单调递增区间为A．B．C．D．(★★) 12. 设函数的反函数为，且的图像过点，则的图象必过点（）A．B．C．D．(★★★) 13. 已知是上的减函数，那么的取值范围是（）A．B．C．D．(★★) 14. 函数，不论 x取何实数，函数的值恒为正数，则实数 k 的取值范围是（）A．或B．C．或D．或(★★★) 15. 已知函数，若，，则A．B．C．D．与的大小不能确定(★★★) 16. 定义在R上的函数既是奇函数，又是周期函数，是它的一个正周期.若将方程在闭区间上的根的个数记为，则可能为A．0B．1C．3D．5二、填空题(★) 17. 若集合，则．(★★★) 18. 设为两个非空集合，定义集合．若，则中元素的个数是_______．(★★) 19. _________________. (★★) 20. 函数的定义域为．(★★★) 21. 若函数为奇函数，则= ____________．(★★)22. 下列四个函数：（1）；（2）；（3）；（4）．既是奇函数，又在区间上单调递减的是_________．(★★★) 23. 对于函数定义域中的任意，，有如下结论：（1）；（2）；（3）；（4）．当时，上述结论中正确结论的序号是________．(★★) 24. 二次方程的两个根与，当，时，实数 k的取值范围是_________．(★★) 25. 若函数的图像与函数的图像关于直线对称，则___________．(★★★) 26. 设函数，若，则实数的取值范围是__________ ．(★★) 27. 用表示a，b两数中的最小值．若函数的图像关于直线x= 对称，则t的值为(★★★) 28. 函数且的图象恒过定点 A，若点 A在直线上（其中 m， n＞0），则的最小值等于__________.(★★★★) 29. 若曲线|y|＝2 x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围为________．(★★★) 30. 若是定义在上的以3为周期的奇函数，且，则方程在区间内的解的个数的最小值是__________ .(★★★) 31. 对，记，函数的最小值是 __________(★★★★) 32. 已知t为常数，函数在区间[0，3]上的最大值为2，则(★★★) 33. 设 P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意 a、b∈R，都有 a+ b、 a- b，ab、∈ P（除数b≠0），则称 P是一个数域.例如有理数集 Q是数域；数集也是数域.有下列命题：①整数集是数域；②若有理数集，则数集 M必为数域；③数域必为无限集；④存在无穷多个数域．其中正确的命题的序号是．（把你认为正确的命题的序号填填上）三、解答题(★★★) 34. ，当时，函数的最小值是，最大值是1，求使函数取得最大值和最小值时相应的 x的值．(★★★) 35. 函数是定义在上的奇函数，当时，．（1）求时，的解析式；（2）问是否存在这样的正数 a， b：当时，的值域为？若存在，求出所有的 a， b的值；若不存在，说明理由．(★★★) 36. 设函数为奇函数，又，，且在上递减．（1）求 a， b， c的值；（2）当时，讨论的单调性．(★★★) 37. 已知函数（且），（1）讨论的奇偶性与单调性；（2）求的反函数；（3）若，解关于 x的不等式．(★★) 38. 设集合A={x||x－a|<2}，B={x| <1}，若A B，求实数a的取值范围．(★★★) 39. 已知为等边三角形，， P， Q依次为 AC， AB上的点，且线段 PQ 将分为面积相等的两部分，设，，．（1）用解析式将 t表示成 x的函数；（2）用解析式将 y表示成 x的函数；（3）求 y的最大值与最小值．(★★★) 40. 二次函数满足，且，（1）求的解析式；（2）在区间上的图象恒在图象的上方，试确定实数的范围．(★★★) 41. 已知三次函数．（1）求证：是的零点；（2）如果是的零点，求证：也是的零点．四、双空题(★★★) 42. 已知函数，若它的定义域为，则 a_________，若它的值域为，则 a__________．。

沪教版(上海) 高一第一学期新高考辅导与训练第1章集合和命题 1.4 集合的运算——补集一、解答题(★★) 1. 设全集｛的素数｝，，，，求集合，．(★★★) 2. 对任意两个集合和．是指所有属于，但不属于的元素的集合；和对称差规定为．设集合，．求．(★) 3. 已知全集，，，，求．(★★) 4. 已知，或．设，若，求实数的取值范围．(★★) 5. 已知集合，．全集，求和．(★) 6. 设全集，的子集．如果，求实数的值．(★★) 7. 已知全集，集合，．若，，求，的值及此时的集合，．(★★★) 8. 已知全集，，，试判断是否存在集合，同时满足下列三个条件：（1）；（2）；（3）有2个元素．二、双空题(★) 9. 设全集，，，则________，________．(★★) 10. 已知全集，若，，，则集合________，________．三、填空题(★★) 11. 已知全集，集合，，则________．(★★) 12. 已知，，则________．(★★) 13. 设是全集，非空集合，满足PÜ QÜ U．若含，的一个集合运算表达式使运算结果为空集，则这个表达式可以是________（只要写出一个表达式）．(★★) 14. 如图，是全集，、是的子集，图中阴影部分可用集合的运算表示为________．四、单选题(★★) 15. 设集合，，，则（）A．B．C．D．(★★) 16. 设集合，是全集的两个子集，且，则以下成立的是（）A．B．C．D．(★★★) 17. 设全集为定义集合与的运算：且，则（）A．B．C．D．。