浦东新王牌暑假班高一数学暑假班晋s老师命题的形式及等价关系

沪教版高一数学命题的形式及等价关系教学计划范
文：上册
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下文为您准备了沪教版高一数学命题的形式及等价关系教学计划范文。

教学目标：
1.知道命题的四种形式及其相互关系，理解否命题、逆否命题;
2.在探究命题的四种形式及其相互关系的过程中，领会分类、判断、推理的思想方法;
3.在进一步认识基本的逻辑关系及其运用活动中，体会逻辑语言在数学表达和论证中的重要作用，树立分析问题条理清楚、理由充分、符合逻辑的数学意识.
教学重点：理解否命题、逆否命题.
教学难点：正确写出命题的否命题和逆否命题;运用逻辑语言表述和论证真命题.
教学过程：。

沪教版(上海) 高一第一学期新高考辅导与训练第1章集合和命题 1.5 命题的形式及等价关系（1）一、解答题(★) 1. 下列语句是否为命题？如果是，判断它的真假．（1）这道数学题有趣吗？（2）0不可能不是自然数；（3）；（4）；（5）91不是素数；（6）上海的空气质量越来越好．(★★) 2. 判断下列命题是真命题还是假命题，并说明理由．（1）任何一个集合必有两个子集；（2），，都是自然数，如果是的倍数，那么，中至少有一个是的倍数；（3）如果，BÜ C，那么．(★) 3. 在下列各题中，用符号“ ”把，连起来．（1）实数满足，或；（2），且；（3），；（4）是偶数，是偶数（其中，都是整数）．(★★) 4. 已知与均为正有理数，且与均为无理数．证明：也是无理数．(★) 5. 判断下列命题的真假并说明理由．（1）某个整数不是偶数，则这个数不能被4整除；（2）若，且，则，且；（3）合数一定是偶数；（4）若，则；（5）两个三角形两边一对角对应相等，则这两个三角形全等；（6）若实系数一元二次方程满足，那么这个方程有两个不相等的实根；（7）若集合，，满足，则；（8）已知集合，，，如果，那么．(★) 6. 已知下列几个命题的推出关系为：，，，，．现有下列命题：① ；② 且；③ 且；④ 且．试判断哪些命题是正确的．(★) 7. 设是方程的根，求证：不是实数．二、单选题(★) 8. 下列语句中不是命题的是（）A．B．是无限循环小数C．D．12是4的倍数(★) 9. 已知下列语句：①对角互补的四边形外接于一个圆；②今天会下雨吗；③你会讲日语吗；④ 是有理数，则，都是有理数；⑤ 或．其中不是命题的是（）A．①②B．②③C．②④D．③⑤(★★★) 10. 下面命题中，真命题的个数是（）① ，若，则；② ，若，则，都为0；③两个有理数的和是有理数；④ 或，则．A．1B．2C．3D．4(★) 11. 命题与命题，它们的推出关系是（）A．B．C．D．以上都不正确(★★) 12. 下列命题是真命题的为（）A．若,则B．若,则C．若,则D．若,则三、填空题(★★) 13. 用符号“ ”“ ”“ ”表示下列事件的推出关系：（1），，________ ；（2），，________ ；（3）设抛物线方程为，抛物线的图象与轴有两个交点，，________ ；（4），，________ ．(★) 14. 下列命题中，真命题是________．①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②对角线相等的四边形是矩形；③对角线互相平分且垂直的四边形是菱形；④对角线互相垂直且相等的四边形是正方形。

命题课前准备1、“凡直角均相等“的否命题是（ ）（A ）凡不是直角均不相等。

（B ）凡相等的两角均为直角。

（C ）不都是直角的角不相等。

（D ）不相等的角不是直角。

2、已知P ：|2x －3|>1；q :0612>-+x x ；则﹁p 是﹁q 的（ ）条件 (A ) 充分不必要条件(B ) 必要不充分条件(C ) 充分必要条件 (D ) 既非充分条件又非必要条件3、“0232>+-x x ”是“1<x 或4>x ”的（ ）(A ) 充分不必要条件 (B ) 必要不充分条件 (C ) 充要条件 (D ) 既不充分也不必要条件4、命题甲：x +y ≠3，命题乙：x ≠1且y ≠2.则甲是乙的 条件.5、有下列四个命题：① 命题“若1=xy ，则x ，y 互为倒数”的逆命题；② 命题“面积相等的三角形全等”的否命题；③ 命题“若m ≤1，则022=+-m x x 有实根”的逆否命题；④ 命题“若A ∩B =B ，则A ⊆B ”的逆否命题。

其中是真命题的是 （填上你认为正确的命题的序号）.6、写出命题“若 xy= 0 则 x = 0或 y = 0”的逆命题、否命题、逆否命题课后作业一、选择：1、a b a 是>≥成立的b （ ）A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充分必要条件D 即不充分也不必要条件2、给出如下的命题：①对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；②00=1；③如果x +y 是整数，那么x ,y 都是整数；④10<3或10>3.其中真命题的个数是……( )(A )3 (B )2 (C )1 (D )0 .3、已知p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件．那么p 是q 成立的：（ ）条件（A ）充分不必要 （B ）必要不充分 （C ）充要 （D ）既不充分也不必要4、设集合}30|{≤<=x x M ，}20|{≤<=x x N ，那么“M a ∈”是“N a ∈”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空：5、写出“a,b 均不为零”的（1）充分非必要条件是 （2）必要非充分条件是：＿ ＿（3）充要条件是 （4）非充分非必要条件是6、在以下空格内填入“充分非必要”，“必要非充分”，“充要”，“非充分非必要”（1）“a＞0且b ＞0”是“a+b＞0且ab ＞0”的 条件（2）“a＞2且b ＞2”是“a+b＞4且ab ＞4”的 条件(3) ⎩⎨⎧<<<<⎩⎨⎧<<<+<21102031y x xy y x 是的______________条件 7、1>yx 的一个充分不必要条件是 _______________ 8、指出下列各题中甲是乙的什么条件？（1）甲：a 、b 、c 成等比数列；乙：b 2=ac________________.（2）甲：3tan :,3≠≠a a 乙π______________________ （3）甲：直线l 1∥l 2，乙：直线l 1与l 2的斜率相等_______________________三、解答9、已知命题P ：方程x 2＋mx ＋1=0有两个不相等的负根；Q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1=0无实根.若P 或Q 为真，P 且Q 为假，求m 的取值范围.10、试写出一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，①有两个正根②两个小于2-的根③一个正根一个负根的一个充要条件。

高一数学暑假第一讲 集合概念与表示一、集合中的相关概念：1、元素与集合的概念：由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的.我们说，每一组对象的全体 形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个_____，也简称____。

集合中的每个 对象叫做这个集合的_______。

. 2、集合与元素的表示方法（1）集合通常用大写的英文字母表示，如A 、B 、C 、P 、Q …… （2）元素通常用小写的英文字母表示，如a 、b 、c 、p 、q …… 3、元素与集合的关系（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A（2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作A a ∉注意: 一些元素构成的集合必须具有以下两个特点：一是整体性，二是确定性，其中“整体”一语， 说明集合是指某些对象的整体而不是指其中的个别对象，这就是集合的整体性．一个对象要么是 集合的元素，要么不是集合的元素，二者必居其一，这是集合的确定性． 4、空集一般地，我们把不含任何元素的集合叫做__________，记作________。

5、集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可 （2）互异性：集合中的元素没有重复（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出） 6、集合的分类（1）按元素的属性分类：数集（元素是数）、点集（元素是点）、序数对（元素是有序数对）等。

（2）按元素中元素的个数分类：有限集（元素的个数是有限个）；无限集（元素的个数是无数个）； 空集（不含任何元素），记做φ 7、常用数集及表示符号（1）N ，{} ,2,1,0=N （2）N *或N + {} ,3,2,1*=N （3）Z , {} ，，，210±±=Z （4）Q , {}整数与分数=Q （5）R {}数数轴上所有点所对应的=R （6） 奇数集 {}21,x x n n N =+∈ （7） 偶数集 {}2,x x n n N =∈二、集合的表示方法1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合注意： ① 元素间用分隔号“，”； ② 元素不重复； ③ 不考虑元素顺序； ④ 对于含有较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但必须 把元素间的规律显示清楚后方能用省略号. ⑤ 无限集有时也可用列举法表示。

高一数学暑假班（教师版）1 / 42不等式单元复习（教师版）3 / 42不等式单元复习（教师版）4 / 42不等式单元复习（教师版）1．函数()2121>++-=x x x y 的图象上的最低点的坐标是 ． 【难度】★【答案】()53，2．已知0>a ，0>b ，且1222=+b a ，则21b a +的最大值为 ． 【难度】★★【答案】2433．函数()111072->+++=x x x x y 的最小值为 ． 【难度】★★ 【答案】94．若不等式042≥+-x a x 对R x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是 ．【难度】★★ 【答案】4≤a5 / 42不等式单元复习（教师版）5．设a 为正实数，()792-+=xa x x f ，若()1+≥a x f 对一切0>x 成立，则a 的取值范围为 ． 【难度】★★ 【答案】58≥a一、不等式的性质1．不等式的性质(1)对称性：a >b ⇔________； (2)传递性：a >b ，b >c ⇒________；(3)加法性质：a >b ⇔________；推论：a >b ，c >d ⇒________；(4)乘法性质：a >b ，c >0⇒________；推论：a >b >0，c >d >0⇒________； (5)乘方性质：a >b >0⇒________________________； (6)开方性质：a >b >0⇒________________________； (7)倒数性质：a >b ，ab >0⇒________________.【答案】(1)b <a (2)a>c (3)a ＋c>b ＋c a ＋c >b ＋d (4)ac>bc ac>bd(5)a n >b n (n ∈N 且n ≥2) (6)n a >nb (n ∈N 且n ≥2) (7)1a <1b【例1】下面的推理过程⎭⎪⎬⎪⎫a >b ⇒ac >bc c >d ⇒bc >bd ⇒ac >bd ⇒a d >bc ，其中错误之处的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 【难度】★★6 / 42不等式单元复习（教师版）【答案】D【解析】由a >b ⇒ac >bc ，c >d ⇒bc >bd 都是对不等式两边同乘一实数，只有当该实数为正数时，不等号才不改变方向，故这两步都错误；由于不等式具有传递性，所以得出ac >bd 是正确的，由ac >bd ⇒a d >bc 是对不等式ac >bd 两边同除cd ，由于不知cd 的正、负，故这一步也是错误的．【例2】若a >0>b >－a ，c <d <0，则下列结论：①ad >bc ；②a d ＋bc <0；③a －c >b －d ；④a (d －c )>b (d －c )中成立的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【难度】★★ 【答案】 C【解析】 方法一 ∵a >0>b ，c <d <0，∴ad <0，bc >0，∴ad <bc ，故①错误．∵a >0>b >－a ，∴a >－b >0，∵c <d <0，∴－c >－d >0，∴a (－c )>(－b )(－d )，∴ac ＋bd <0， ∴a d ＋b c ＝ac ＋bd cd<0，故②正确． ∵c <d ，∴－c >－d ，∵a >b ，∴a ＋(－c )>b ＋(－d )，a －c >b －d ，故③正确． ∵a >b ，d －c >0，∴a (d －c )>b (d －c )，故④正确，故选C. 方法二 取特殊值．【例3】已知－1<x ＋y <4且2<x －y <3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________(答案用区间表示)． 【难度】★★ 【答案】(3,8)7 / 42不等式单元复习（教师版）【解析】方法一(配凑法)：设2x －3y ＝m (x ＋y )＋n (x －y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝2，m －n ＝－3.解得⎩⎨⎧m ＝－12，n ＝52.∴2x －3y ＝－12(x ＋y )＋52(x －y )，∵－1<x ＋y <4,2<x －y <3，[∴－2<－12(x ＋y )<12，5<52(x －y )<152，∴3<－12(x ＋y )＋52(x －y )<8，即3<2x －3y <8，所以z ＝2x －3y 的取值范围为(3,8)．方法二(运用线性规划解决)：如图，图中的交点分别为A (3，1)，B (1，－2)．当目标函数z ＝2x －3y 经过点A 时，z ＝3，经过点B 时，z ＝8，故z ∈(3，8)．2．两个实数大小的比较(1)作差法：设a ，b ∈R ，则a >b ⇔a －b >0，a <b ⇔a －b <0，这是比较两个实数大小和运用比较法的依据． (2)作商法：依据：设a >0，b >0，则a >b ⇔)a b >1，a <b ⇔ab <1.(3)函数法：构造函数，根据函数的单调性作出判断．(4)特殊值法：若是选择题可以用特殊值法比较大小，若是填空题或解答题，也可以用特殊值法探路．【例4】若0<a <b ，且a ＋b ＝1，则将a ，b ，12，2ab ，a 2＋b 2从小到大排列为________．【难度】★【答案】 a <2ab <12<a 2＋b 2<b【解析】 ∵0<a <b 且a ＋b ＝1，∴a <12<b <1，∴2b >1且2a <1，8 / 42不等式单元复习（教师版）∴a <2b ·a ＝2a (1－a )＝－2a 2＋2a ＝－2(a －12)2＋12<12.即a <2ab <12，又a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab >1－12＝12，即a 2＋b 2>12，a 2＋b 2－b ＝(1－b )2＋b 2－b ＝(2b －1)(b －1)，又2b －1>0，b －1<0，∴a 2＋b 2－b <0，∴a 2＋b 2<b ，综上，a <2ab <12<a 2＋b 2<b .【例5】已知a ≠1且a ∈R ，试比较11－a 与1＋a 的大小．【难度】★★ 【答案】详见解析【解析】∵11－a －(1＋a )＝a 21－a ，①当a ＝0时，a 21－a ＝0，∴11－a＝1＋a .②当a <1，且a ≠0时，a 21－a >0，∴11－a >1＋a .③当a >1时，a 21－a <0，∴11－a<1＋a .3．不等式的一些常用性质 (1)倒数的性质 ①a >b ，ab >0⇒1a <1b .②a <0<b ⇒1a <1b.③a >b >0,0<c <d ⇒a c >bd .④0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b <1x <1a.(2)有关分数的性质若a >b >0，m >0，则①b a <b ＋m a ＋m ；b a >b －m a －m (b －m >0)．②a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －mb －m (b －m >0)．【例6】设x ，y 为实数，满足3≤xy 2≤8,4≤x 2y ≤9，则x 3y4的最大值是________．【难度】★★9 / 42不等式单元复习（教师版）【答案】27【解析】由4≤x 2y ≤9，得16≤x 4y 2≤81.又3≤xy 2≤8，∴18≤1xy 2≤13，∴2≤x 3y 4≤27.又x ＝3，y ＝1满足条件，这时x 3y 4＝27.∴x 3y4的最大值是27.【巩固训练】1． 若a >b >0，则下列不等式中一定成立的是( )A ．a ＋1b >b ＋1aB.b a >b ＋1a ＋1 C ．a －1b >b －1aD.2a ＋b a ＋2b >a b【难度】★ 【答案】A【解析】取a ＝2，b ＝1，排除B 与D ；另外，函数f (x )＝x －1x是(0，＋∞)上的增函数，但函数g (x )＝x ＋1x在(0,1]上递减，在[1，＋∞)上递增，所以，当a >b >0时，f (a )>f (b )必定成立，但g (a )>g (b )未必成立，这样，a －1a >b －1b ⇔a ＋1b >b ＋1a .2． 设a >b >c >0，x ＝a 2＋(b ＋c )2，y ＝b 2＋(c ＋a )2，z ＝c 2＋(a ＋b )2，则x ，y ，z 的大小关系是_________． 【难度】★★ 【答案】 z >y >x【解析】 方法一 y 2－x 2＝2c (a －b )>0，∴y >x .同理，z >y ，∴z >y >x .方法二 令a ＝3，b ＝2，c ＝1，则x ＝18，y ＝20，z ＝26，故z >y >x .10 / 42不等式单元复习（教师版）3． 已知a ，b ，c ∈R ，那么下列命题中正确的是( )A ．若a >b ，则ac 2>bc 2B ．若a c >bc，则a >bC ．若a 3>b 3且ab <0，则1a >1bD ．若a 2>b 2且ab >0，则1a <1b【难度】★★ 【答案】C【解析】当c ＝0时，可知A 不正确； 当c <0时，可知B 不正确；对于C ，由a 3>b 3且ab <0知a >0且b <0，所以1a >1b 成立，C 正确；当a <0且b <0时，可知D 不正确．4． 已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题①若ab >0，bc －ad >0，则c a －d b >0； ②若ab >0，c a －db >0，则bc －ad >0；③若bc －ad >0，c a －db >0，则ab >0.其中正确的命题是________． 【难度】★★ 【答案】①②③【解析】∵ab >0，bc －ad >0，∴c a －d b ＝bc －adab >0，∴①正确；∵ab >0，又c a －db >0，即bc －ad ab>0，∴bc －ad >0，∴②正确；∵bc －ad >0，又c a －db >0，即bc －ad ab >0，∴ab >0，∴③正确．故①②③都正确．11 / 42不等式单元复习（教师版）5． (1)设x <y <0，试比较(x 2＋y 2)(x －y )与(x 2－y 2)·(x ＋y )的大小；(2)已知a ，b ，x ，y ∈(0，＋∞)且1a >1b ，x >y ，求证：x x ＋a >yy ＋b .【难度】★★ 【答案】详见解析【解析】方法一 (x 2＋y 2)(x －y )－(x 2－y 2)(x ＋y )＝(x －y )[x 2＋y 2－(x ＋y )2]＝－2xy (x －y )，∵x <y <0，∴xy >0，x －y <0，∴－2xy (x －y )>0， ∴(x 2＋y 2)(x －y )>(x 2－y 2)(x ＋y )．方法二 ∵x <y <0，∴x －y <0，x 2>y 2，x ＋y <0.∴(x 2＋y 2)(x －y )<0，(x 2－y 2)(x ＋y )<0， ∴0<x 2＋y 2x －y x 2－y2x ＋y ＝x 2＋y 2x 2＋y 2＋2xy<1，∴(x 2＋y 2)(x －y )>(x 2－y 2)(x ＋y )． (2)证明x x ＋a －yy ＋b＝bx －ayx ＋a y ＋b.∵1a >1b 且a ，b ∈(0，＋∞)，∴b >a >0，又∵x >y >0，∴bx >ay >0，∴bx －ay x ＋a y ＋b >0，∴x x ＋a >yy ＋b .7． 某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠． 【难度】★★ 【答案】详见解析【解析】设该单位职工有n 人(n ∈N *)，全票价为x 元/人，坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y 2元， 则y 1＝x ＋34x ·(n －1)＝14x ＋34nx ，y 2＝45nx .所以y 1－y 2＝14x ＋34nx －45nx ＝14x －120nx ＝14x (1－n 5)．12 / 42不等式单元复习（教师版）当n ＝5时，y 1＝y 2；当n >5时，y 1<y 2；当n <5时，y 1>y 2. 因此当单位去的人数为5人时，两车队收费同等优惠； 当单位去的人数多于5人时，甲车队收费更优惠； 当单位去的人数少于5人时，乙车队收费更优惠．二、不等式的证明（一）利用比较法证明不等式1．定义：对于任意两个实数,a b ，有0;0;a b a b a b a b >⇒->=⇒-=a b <⇒0a b -<。

1.4 (2)命题的形式及等价关系一、教学内容分析教材介绍了四种命题的构成及等价命题的概念，这给我们今后证明一个命题为真（假）命题可转化该命题的等价命题（通常是逆否命题）为真（假）命题提供了理论依据。

本小节由命题条件的改变、结论的改变，构成四种命题形式：原命题、逆命题、否命题、逆否命题。

接着，通过具体的例题练习讲述四种命题的关系，最后，给出等价命题的定义，提供了一种证明的方法，并通过具体的例题给出反证法。

二、教学目标设计（1）理解四种命题的概念；（2）理解四种命题之间的相互关系，能由原命题写出其他三种形式；（3）理解一个命题的真假与其他三个命题真假间的关系；（4）初步掌握反证法的概念，进一步领会分类、判断、推理的思想方法。

三、教学重点及难点理解四种命题的关系；体会反证法的理论依据。

四、教学用具准备多媒体教室五、教学流程设计六、教学过程设计一．复习提问：（1）什么是命题？什么是真命题 ？什么是假命题？（2）语句“内接于圆的四边形对角互补”是否是命题？（3）命题 “内接于圆的四边形对角互补”的条件与结论各是什么？二．讲授新课：关于四种命题1、概念引入在命题“内接于圆的四边形对角互补”中，条件是“内接于圆的四边形”，结论是“四边形的对角互补”。

如果我们把以上命题作以下变化：（1）如果把命题中的结论“四边形的对角互补”作为条件，把命题中的条件“内接于圆的四边形” 作为结论，则得到了新命题“对角互补的四边形内接于圆”。

我们把原来命题中的结论作为条件，原来命题中的条件作为结论所组成的新命题叫做原来命题的逆命题。

并且它们互为逆命题。

（2）如果将命题的条件和结论都换成它们的否定形式，即条件是“四边形不内接于圆”，结论是“四边形对角不互补”，那么就可得到一个新命题：“不内接于圆四边形对角不互补”。

像这种将命题的条件与结论同时否定而得到的新命题叫做原来命题的否命题。

并且新命题与原来的命题互为否命题。

（3）如果将命题的条件和结论互换并取原来的否定形式，即条件是“四边形对角不互补”，结论是“四边形不内接于圆”，那么就可得到一个新命题：“对角不互补的四边形不内接于圆”。

1.4命题的形式及等价关系 教学目的：：1.理解四种命题之间的互相关系，能由原命题写出其他三种形式；2.知道推出关系的概念，理解一个命题的真假与其他三个命题真假间的关系；3.掌握等价关系的概念，初步掌握反证法。

4.理解充分、必要条件的概念；5.掌握充分、必要条件的判断方法。

6.掌握集合的包含关系和推出关系、充分必要条件之间的联络。

教学内容：1、命题：可以判断对错的语句。

真命题：判断为正确的命题。

假命题：判断为错误的命题。

通常可以化简为：,αβ若则的形式。

2、推出关系：一般地，假设α这件事成立可以推出β这件事也成立，那么就说由α可以推出β，并用记号α⇒β表示，读作“α推出β〞。

换言之，α⇒β表示以α为条件，β为结论的命题是真命题。

3、传递性：α⇒β，β⇒γ，那么α⇒γ4、命题的四种形式：假设把命题：,αβ若则称为原命题；那么我们把命题：,βα若则，称为原命题的逆命题，简称逆命题。

命题：,αβ若则称为原命题的否命题，简称否命题。

命题：,βα若则成为原命题的逆否命题，简称逆否命题。

其中αβ和分别是αβ和的否认形式。

5、充分条件：一般地，用α、β分别表示两件事，假设α成立，可以推出β也成立，即α⇒β，那么α叫做β的充分条件。

[说明]：①可以解释为：为了使β成立，具备条件α就足够了；②可进一步解释为：有它即行，无它也未必不行；③结合实例解释为：x = 0 是xy = 0 的充分条件，xy = 0不一定要 x = 0.6、必要条件：假设β⇒α，那么α叫做β的必要条件。

[说明]：①可以解释为假设β⇒α，那么α叫做β的必要条件，β是α的充分条件；②无它不行，有它也不一定行；③结合实例解释为：如 xy = 0是x = 0的必要条件，假设xy ≠0，那么一定有 x ≠0；假设xy = 0也不一定有 x = 0。

注：根据子集的定义，我们可以发现，将符合具有性质α的元素的集合记为A ，将符合具有性质β元素的集合记为B ，假设A B ⊆，那么αβ⇒,即αβ是的充分条件；反之，假设αβ⇒，那么A B ⊆，也即αβ若是的充分条件，那么由满足条件α的元素组成的集合是由满足条件β的元素组成的集合的子集。

命题教材：四种命题的关系目的：要求学生理解四种命题的关系，并能利用这个关系判断命题的真假。

过程：一、复习：四种命题提问：说出命题“若两个三角形全等，则这两个三角形相似”的逆命题、否命题、逆否命题。

（解答略）二、1．接复习提问：原命题与逆否命题互逆否，否命题与逆命题互逆否，逆命题与逆否命题互逆。

小结：得表：2．如果原命题为真，则逆命题、否命题、逆否命题真假如何？ 例：原命题：“若 a = 0 则 ab = 0”是真命题 逆命题：“若 ab = 0 则 a = 0”是假命题否命题：“若 a ≠ 0 则 ab ≠ 0”是假命题 逆否命题：“若 ab ≠ 0 则 a ≠ 0”是真命题小结：原命题为真，逆命题不一定为真，否命题也不一定为真，逆否命题为真。

3．又例：若四边形 ABCD 为平行四边形，则对角线互相平分。

它的逆命题、否命题、逆否命题均为真。

三、例题： P32 例二 （略）又例：命题“若 x = y 则 x 2 = y 2”写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它的真假。

解：逆命题：若x2 = y2则x = y （假，如x = 1, y = -1）否命题：若x≠ y 则x2≠ y2（假，如x = 1, y = -1）逆否命题：若x2 ≠ y2则x ≠ y （真）又例：写出命题：“若x + y = 5则x = 3且y = 2”的逆命题否命题逆否命题，并判断它们的真假。

解：逆命题：若x = 3 且y = 2 则x + y = 5 （真）否命题：若x+ y ≠ 5 则x ≠ 3且y≠2 （真）逆否命题：若x≠ 3 或y≠2 则x + y ≠5 （假）四、作业。

主课题：教学内容热身训练1. 一个球自12米高的地方白由下落，触地面后的回弹高度是下落高度的忆，到停止在地面上为止，则球运动的路程总和是 __________ 米。

2. 已知a 、b 、c 、d 是四条互不重合的直线，且c 、d 分别为a 、b 在平面Q 上的射影，给出下面两组四个论 断：第一组：①a 丄b,②a 〃b; 第二组：③c 丄d@c 〃d 。

分别从两组中各选一个论断，使一个作条件，另一个作结论，写出一个正确的命题： _________________O3. 函数y=f(x)的图像与y=2x 的图像关于直线y=x 对称，则函数y=f(4x-x 2)的递增区间是 _________________ .3a4. 已知 a =arcsin(- 5 ),则 sin 2 的值是 ________________ °3龙5. 过抛物线y 2=4x 的焦点，且倾斜角为4的直线交抛物线于P 、Q 两点，O 是坐标原点，则△()»()的面积等于 _______________ o6. 一个三棱锥的三个侧面中有两个是等腰直角三角形，另一个是边长为1的正三角形，这样的三棱锥体积为 _____________ (写出一个可能值)。

7. 从5名礼仪小姐、4名翻译中任选5名参加一次经贸洽谈活动，其中礼仪小姐、翻译均不少于2人的概率是 _____________ 08. 定义在(・8, +8)上的偶函数f(x)满足：f(x+l)=・f(x),且在卜1, 0］上是增函数，下面是关于f(x)的判断: ① f(x)是周期函数；② f(x)的图像关于直线X=1对称； ③ f(x)在［0, 1］上是增函数； ④ f(x)在［1, 2］上是减函数； ⑤ f(2)=f(0)o其屮正确的判断是 ____________ (把你认为正确的判断都填上)。

9. 已知函数/(对=竺乜在区|'可(-2,+oo)上为增函数，则实数Q 的取值范围是 ___________ o兀+ 210. 现吋盛行的足球彩票，其规则如下：全部13场足球比赛，每场比赛有3种结果：胜、平、负，13长比赛全部猜中的为特等奖，仅猜中12场为一等奖，其它不设奖，则某人获得特等奖的概率为 ____________ o11. 不等式Vx > OX + —的解集为(4, b),贝二 ,b 二 o高中数学备课组HU教师 上课时间班级高三12.不论k为何实数，直线y = la +1与曲线x2 +y2-2ax-^a2 -2a-4 = 0恒有交点，则实数a的取值范围是o精选例题1.在实数范围内，不等式|2x-l| + |2x+l|<6的解集为▲°2.若函数f(x) = a x(a>O,a^l)在［―1, 2］上的最大值为4,最小值为m,且函数g(x) = (1-4m)Vx在［0,+8)上是增函数，则a= ▲.3.已知于⑴二」一，各项均为正数的数列｛%｝满足G］=l, eg = f(a),若^2010=。

专题05一元二次不等式的解法1.掌握一元二次不等式的解法；2.知道一元二次不等式可以转化为一元一次不等式组；3.厘清一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系；4.学会用区间的形式表示不等式的解集.一、应知应会（一）知识回顾1.作差法比较两个实数的大小；2.不等式的基本性质.（二）典例测试1.设1n >-，且1n ≠则31n +与2n n +的大小关系是.【答案】321n n n+>+2.01x <<21,,x x x从小到大的排列是.3.已知23,20a b c -<<<-<<，则()c a b -的取值范围是.【答案】(0,10)4.a 是互异的四个正数,,,a b c d 中最大的数，且a c b d=，则a d +与b c +的大小关系是.【答案】a d b c +>+（三）引入以前我们学习过一元一次不等式的解法，结合一次函数的图像我们能够得到一元一次不等式0ax b +>解集如下：（1）当0a >时，一元一次不等式0ax b +>的解集是{}0x x x >，一元一次不等式0ax b +<的解集是{}0x x x <.（2）当0a <时，一元一次不等式0ax b +>的解集是{}0x x x <；一元一次不等式0ax b +<的解集是{}0x x x >.一元二次不等式的形式是怎么样的呢？又如何求解呢？二、知识梳理（1）一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次，这样的不等式叫做一元二次不等式（second oRdeR inequality with one unknown ），它的一般形式为20ax bx c ++>或20ax bx c ++<()0a ≠.（2）一元二次不等式的解法法1：把20ax bx c ++>或20ax bx c ++>()0a ≠先分解因式，借用初中学过的积的符号法则将其实现等价转化一次不等式组，进而求出其解集的并集.法2：利用一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的内在关系，结合二次函数的图像，研究不等式在0∆>、0∆<和0∆=时各种解集的情况.思考：若0a <，则一元二次不等式考点剖析例1.求不等式的解集（1）22320x x -->；（2）2310x x -++>.例2.解下列不等式：（1）29610x x ++>；（2）245x x -<；（3）2210x x ++≤.【小结】解一元二次不等式的步骤：先判断二次项系数的正负，再看判别式，最后比较根的大小.解集要么为【两根之外】，要么为【两根之间】.具体地：①设不等式()200ax bx c a ++>>，对应方程20ax bx c ++=有两个不等实根1x 和2x ，且12x x <，则不等式的解为：1x x <或2x x >（两根之外）②设不等式()200ax bx c a ++<>，对应方程20ax bx c ++=有两个不等实根1x 和2x ，且12x x <，则不等式的解为：12x x x <<（两根之间）【注】①若不等式()200ax bx c ++><或中0a <，可在不等式两边乘1-转化为二次项系数为正的情况，然后再按上述①②进行；②解一元二次不等式要结合二次函数的图象，突出配方法和因式分解法.例3.解关于x 的不等式：（1）22210x x a -+-≥（2）()2110ax a x -++<①不等式的二次项系数决定对应的二次函数的抛物线开口方向；②由含参数的判别式∆，决定解的情况；③比较含参数的两根的大小.例4.解不等式组：22371002520x x x x ⎧--≤⎨-+>⎩.【注】解不等式时，要注意不等式的解集的处理，看清楚是取交集还是并集，然后借助数轴，并注意区间的开闭性及其正确表示.例5.某服装公司生产的衬衫，每件定价80元，在某城市年销售8万件.现该公司在该市设立代理商来销售衬衫.代理商要收取代销费，代销费为销售金额的%r （即每销售100元收取r 元）.为此，该衬衫每件价格要提高到801%r -元才能保证公司利润，由于提价每年将少销售0.62r 万件，如果代理商每年收取的代理费不小于16万，求r 的取值范围.例6.（1）若不等式2(1)460m x x --+>的解集是{}31x x -<<，求m 的值；（2）已知不等式20ax bx c ++>的解集为{}23x x <<，求不等式20cx bx a -+>的解集.（2）由题意得，一元二次方程20ax bx c ++=两根为2和3∴20cx bx a -+>可化为2650ax ax a ++>. 20ax bx c ++>的解集为(2,3)，∴0<a，例7.（1）已知()()2224f x x a x =+-+，I.如果对一切x R ∈，()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围；II.如果对[]3,1x ∈-，()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围.（2）已知关于x 的不等式()()22454140k k x k x +-+-+>恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）I.()0,4；II.1,42⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）[)1,+∞【提示】（1）II.【前后呼应】链接P109【定区间动轴】开口向上，求二次函数最小值“对称轴漂流记”，对称轴a x -=2，①⎩⎨⎧>--<-0)3(32f a ；②⎩⎨⎧>-≤-≤-0)2(123a f a ；③⎩⎨⎧>>-0)1(12f a （2）分类讨论：①10542=⇒=-+k k k ；②100542>⇒⎩⎨⎧<∆>-+k k k 过关检测A 组双基过关【难度系数：★时间：8分钟分值：20分】1．（23-24高一上·上海·期末）函数()2247f x x x =-+，[]1,8x ∈-的最小值是.【答案】5【分析】根据二次函数的单调性进行求解即可.【详解】因为()2247f x x x =-+的图象开口向上，对称轴为1x =，又[]1,8x ∈-，所以()f x 的最小值是()24751f -=+=.故答案为：5.2．（23-24高一上·上海虹口·期末）若一元二次不等式的解集为(1,2)．【答案】2【分析】根据一元二次不等式解集与一元二次方程根的关系解出,a b 即可.【详解】根据题意可知方程20x ax b ++=的两根分别为121,2x x ==，根据韦达定理可知123x x a +==-，122x x b ==，故答案为：2.3．（23-24高一上·上海普陀·期中）不等式2440x ax ++>的解集为R ，则a 的取值范围是．【答案】{}88a a -<<【分析】由已知可得出Δ0<，由此可求得实数a 的取值范围.【详解】因为不等式2440x ax ++>的解集为R ，则24440a ∆=-⨯⨯<，解得88a -<<.所以，实数a 的取值范围是{}88a a -<<.故答案为：{}88a a -<<.4．（23-24高一上·上海长宁·期中）不等式210x x -+≥的解集为.的解集为，则b =.【答案】2-【分析】根据三个二次关系计算即可.【详解】由题意可知20x ax b -+=有两个实数根121,2x x =-=，由根与系数的关系，则122x x b ==-.故答案为：2-6．（23-24高一上·上海普陀·期中）不等式|2||21|x x -<+的解集是．的解集为.【答案】R【分析】由一元二次不等式的解法求解即可.【详解】由()22610310x x x -+=-+>恒成立，所以不等式26100x x -+>的解集为R .故答案为：R .8．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知条件α：x m ≤，条件β：20x x -≤，若α是β的必要条件，则实数m 的取值范围是.【答案】m 1≥【分析】假设β为真，一元二次不等式求对应x 范围，根据α是β的必要条件确定集合包含关系即可求参数范围.【详解】若β为真，则2(1)001x x x x x -=-≤⇒≤≤，若α是β的必要条件，即[0,1](,]m ⊆-∞，则m 1≥.故答案为：m 1≥9．（23-24高一上·上海浦东新·期中）关于x 的不等式220x ax b ++<的解集为()2,3，则a b +=..B 组巩固提高【难度系数：★★时间：10分钟分值：20分】11．（23-24高一上·上海·期中）已知实数a b <，关于x 的不等式()210x a b x ab -+++<的解集为()12,x x ，则实数a 、b 、1x 、2x 从小到大的排列顺序是.【答案】12a x x b<<<【分析】不等式2()10x a b x ab -+++<可化为()()10x a x b --+<，设()()()g x x a x b =--，()()1f x g x =+，画出函数()g x 与函数()f x 的图像，利用数形结合法即可求出结果．【详解】不等式2()10x a b x ab -+++<可化为()()10x a x b --+<，设()()()g x x a x b =--，()()1f x g x =+，画出函数()g x 与函数()f x 的图像，如图所示，由图像可知，12a x x b <<<，故答案为：12a x x b<<<12．（23-24高一下·上海·开学考试）已知关于x 的不等式20ax x a -+<的解集非空，则实数a 的取值范围是.恒成立，则实数的取值范围是.对任意实数都有0f x <成立，则实数a 的取值范围是.【答案】(]3,0-【分析】讨论二次项系数结合判别式列不等式求解即可.【详解】由题意知当0a =时，()30f x =-<符合题意；当0a ≠时，则230Δ4120a a a a <⎧⇒-<<⎨=+<⎩则实数a 的取值范围是(]3,0-.故答案为：(]3,0-.15．（23-24高一上·上海·期末）对任意x ∈R ，22120ax ax -+>都成立，则实数a 的取值范围为.范围．，R b ∈.方程的解集为，其中0m n <<，则不等式()210+-+<a b x abx 的解集为.18．（23-24高一上·上海杨浦·期末）（1）已知关于x 的不等式250ax x b -+<的解集是，求a ，b 的值；（2）解关于x 的不等式()()()60x c x c -->∈R .19．（23-24高一上·上海·期中）命题甲：集合为空集；命题乙：关于x 的不等式()2140x k x +-+>的解集为R ．若命题甲、乙都是真命题，求实数k 的取值范围．又因为关于x 的不等式()2140x k x +-+>的解集为R ，则()2116035k k D =--<Þ-<<，因为甲乙为真命题，所以实数k 的取值范围是[)0,120．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知函数2()32f x ax x =-+．(1)若不等式()2f x >-的解集为区间(4,1)-，求实数a 的值；(2)当0a <时，求关于x 的不等式()1f x ax >-的解集．C 组综合训练【难度系数：★★★时间：15分钟分值：30分】21．（23-24高一上·上海黄浦·期中）设[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]4.14=，[]21.1-=-，则不等式2[][]60x x --≤的解集是（）A ．[]3,4-B ．[]2,4-C ．[)3,4-D ．[)2,4-【答案】D【分析】解不等式得到[]23x -≤≤，再根据定义确定范围.【详解】2[][]60x x --≤，则[]23x -≤≤，故24x -≤<.故选：D.22．（23-24高一上·上海·期中）已知：一元二次不等式20ax bx c ++>的解集为()3,2-，则不等式20cx bx a ++>的解集为（）A ．11,32⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．11,,32∞∞⎛⎫⎛⎫--⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．11,00,32⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．11,,23⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．的不等式的真子集，则的取值范围是．【答案】[)0,1【分析】讨论参数a 求不等式解集，由不等式的解集是区间()0,1的真子集，列不等式求解即可.【详解】不等式20x ax -<可化为()0x x a -<，当0a >时，不等式的解集为(0,)a ，由不等式的解集是区间()0,1的真子集，可得01a <<；当a<0时，不等式的解集为(,0)a ，不符合题意；当0a =时，不等式的解集为∅，符合题意，综上可得，a 的取值范围是[)0,1.故答案为：[)0,125．（23-24高一上·上海嘉定·期末）已知,R b c ∈，关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集为()2,3-，则bc =.(用a 表示)期中）对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是．【答案】(]1,0-【分析】利用分类讨论的解题思想，结合一元二次不等式恒成立，可得答案.【详解】当0a =时，不等式化简为20-<，显然此时不等式恒成立；当0a ≠时，由一元二次不等式恒成立可得()()2Δ2420a a a a <⎧⎪⎨=++<⎪⎩，解得10a -<<，综上所述，a 的取值范围为(]1,0-.故答案为：(]1,0-.27．（23-24高一上·上海·期中）已知()()123y m x m x m =-++，21y x =-.(1)若1m =，解关于x 的不等式组1200y y >⎧⎨<⎩；(2)若对任意x ∈R ，都有10y <或20y <成立，求m 的取值范围；(3)在（2）的条件下，存在<4x -，使得120y y <，求m 的取值范围.的不等式：．(1)当2a =-时，求不等式的解集；(2)当0a ≥时，求不等式的解集；(3)命题:P 若二次不等式()2110ax a x -++<的解集为空集，命题22:210Q x x a a --++>对任意实数x 都成立，若,P Q 中至少有一个真命题，求实数a 的取值范围．所以命题P ，Q 中至少有一个真命题，则01a <≤.∴实数a 的取值范围为(]0,1.29．（23-24高一上·上海·期中）解关于x 的不等式：()22240x a x a -++>.【答案】答案见解析【分析】根据题意将不等式因式分解为：()()220x a x -->，然后再分情况进行讨论，从而求解.【详解】由题意得：()22240x a x a -++>，可化简为：()()220x a x -->，得：()()220x a x --=有两解：12x =，22x a =，当22a >时，即：1a >时，不等式的解集为：()(),22,a -∞⋃+∞；当22a =时，即：1a =时，不等式解集为：()(),22,-∞⋃+∞；当22a <时，即：1a <时，不等式解集为：()(),22,a -∞⋃+∞；综上所述：当1a >时，不等式的解集为：()(),22,a -∞⋃+∞；当1a =时，不等式的解集为：()(),22,-∞⋃+∞；当1a <时，不等式的解集为：()(),22,a -∞⋃+∞.30．（23-24高一上·上海嘉定·期中）已知2a <，关于x 的不等式组()()()232320220x x x a x a ⎧-+>⎪⎨-++≥⎪⎩没有实数解，求实数a 的取值范围．D 组拓展延伸【难度系数：★★★时间：20分钟分值：30分】31．（23-24高一上·上海虹口·阶段练习）设a 、b 是实数，定义：()22991a b a b ma a b m =+--+∈R .则满足不等式()()()12202220231⋅⋅⋅⋅⋅⋅≤ 的实数m 的取值范围是（）A ．m 1≥B ．3m ≤C ．913329m ≤D ．3291361m +≤≤32．（22-23高一上·上海长宁·期中）关于的不等式()231x ax +<的整数解恰有3个，则实数的取值范围是．时最大值为2，最小值为1．设()()g x f x x=．(1)求实数m ，n 的值；(2)若存在[1,1]x ∈-，使得不等式()2410x xg k -⋅+<成立，求实数k 的取值范围；(3)若关于x 的方程()332log 310log af x a x +--=有四个不同的实数解，求实数a 的取值范围．，,c d ，,c d ，,c d 的长度均为d c -，其中d c >.(1)若关于x 的不等式221230ax x -->，求实数a 的值；(2)已知实数a ，b （a b >），求111x a x b+≥--解集构成的各区间长度和；(3)已知关于x 的不等式组3312x ⎧-<⎪>的解集构成的各区间长度和为6，求实数t 的取值范围.【答案】(1)2a =35．（22-23高一上·上海宝山·阶段练习）（1）求证：已知a ，b ，x ，()0,y ∈+∞，22a b a b x y x y++≥+，并指出等号成立的条件；（2）求证：对任意的x ∈R ，关于x 的两个方程250x x m -+=与2260x x m ++-=至少有一个方程有实数根（反证法证明）；（3）求证：使得不等式()()()()()()0A x y x z B y z y x C z x z y --+--+--≥对一切实数x ，y ，z 都成立的充要条件是A ，B ，0C ≥且()2222A B C AB BC CA ++≤++.。