2019-2020学年高中数学上册 1.4《命题的形式及等价关系》同步练习(1) 沪教版.doc

数学命题及其关系的练习题及答案关于数学命题及其关系的练习题及答案1.1命题及其关系重难点：了解命题及其逆命题、否命题与逆否命题；明白四种命题之间的关系；会利用两个命题互为逆否命题的关系判别命题的真假．考纲要求：①了解命题及其逆命题、否命题与逆否命题．②理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会分析四种命题的互相关系．经典例题：已知命题；若是的充分非必要条件，试求实数的取值范围．当堂练习：1. 给出以下四个命题：①“若x＋y=0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若，则有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三内角相等”的逆否命题．其中真命题是 ( )A．①② B．②③C．①③ D．③④1. “△ABC中，若∠C=90°，则∠A、∠B都是锐角”的否命题为（）A．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B都不是锐角B．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不都是锐角C．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B都不一定是锐角D．以上都不对3. 给出4个命题：①若，则x=1或x=2；②若，则；③若x=y=0，则；④若，x＋y是奇数，则x，y中一个是奇数，一个是偶数．那么：（）A．①的逆命题为真 B．②的否命题为真C．③的逆否命题为假 D．④的逆命题为假4. 命题“若△ABC不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等.”的`逆否命题是（）A．“若△ABC是等腰三角形，则它的任何两个内角相等.”B．“若△ABC任何两个内角不相等，则它不是等腰三角形.”C．“若△ABC有两个内角相等，则它是等腰三角形.”D．“若△ABC任何两个角相等，则它是等腰三角形.”5. 命题p：若A∩B=B，则；命题q：若，则A∩B≠B．那么命题p与命题q的关系是（）A．互逆 B．互否C．互为逆否命题 D．不能确定6. 对以下四个命题的判断正确的是 ( )(1)原命题：若一个自然数的末位数字为0，则这个自然数能被5整除(2)逆命题：若一个自然数能被5整除，则这个自然数的末位数字为0(3)否命题：若一个自然数的末位数字不为0，则这个自然数不能被5整除(4)逆否命题：若一个自然数不能被5整除，则这个自然数的末位数字不为0A．(1)、(3)为真，(2)、(4)为假 B．(1)、(2)为真，(3)、(4)为假C．(1)、(4)为真，(2)、(3)为假 D．(2)、(3)为真，(1)、(4)为假7. 直线的倾斜角为钝角的一个必要非充分条件是（）A．k＜0 B．k＜－1 C．k＜1 D．k＞－28. 直线，互相平行的一个充分条件是（）A．，都平行于同一个平面 B．，与同一个平面所成的角相等C．平行于所在的平面 D．，都垂直于同一个平面9. 已知a1，a2，a3，a4是非零实数，则a1a4=a2a3是a1，a2，a3，a4成等比数列的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充分且必要条件 D．既不充分又不必要条件10. 在ΔABC中，条件甲：A＜B，条件乙：cosA＞cosB,则甲是乙的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件11. 在空间中，①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中，逆命题为真命题的是 (把符合要求的命题序号都填上).12.命题则对复合命题的下述判断：①p或q为真；②p或q为假；③p且q为真；④p且q为假；⑤非p为真；⑥非q为假．其中判断正确的序号是（填上你认为正确的所有序号）．13. 设集合A=x2＋x－6=0，B=mx＋1=0，则B是A的真子集的一个充分不必要的条件是_ .14. 设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，那么甲是丁的__________条件．15. 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并指出他们的真假：(1)若xy=0，则x，y中至少有一个是0；(2)若x＞0，y＞0，则xy＞0；16. 设集合，，则“或”是“”的条件？17. 已知x的一元二次方程(m∈Z)① mx2－4x＋4＝0 ② x2－4mx＋4m2－4m－5＝0求方程①和②都有整数解的充要条件18.设α，β是方程x2－ax+b=0的两个实根，试分析a＞2且b ＞1是两根α、β均大于1的什么条件？参考答案：经典例题：【解析】由，得．：．由，得．：B={}．∵是的充分非必要条件，且， AB．即当堂练习：1.C;2.B;3.A;4.C;5.C;6.C;7.C;8.D;9.B; 10.C; 11. ②; 12.①④⑤⑥; 13. m=(也可为或0);14. 充分不必要.15. 【解析】(1)逆命题：若x=0，或y=0则xy=0；否命题：xy≠0，则x≠0且y≠0；逆否命题：若x≠0，且y≠0则xy≠0；(2)逆命题：若xy＞0,则x＞0，y＞0；否命题：若x≤0，或y≤0则xy≤0；逆否命题：若xy≤0；则x≤0，或y≤016. 【解析】“或”，，因为“或”，但，故“或”是“”的必要不充分条件．17. 【解析】方程①有实根的充要条件是解得m1.方程②有实根的充要条件是，解得故m=－1或m=0或m=1.当m=－1时，①方程无整数解.当m=0时，②无整数解；当m=1时，①②都有整数.从而①②都有整数解m=1.反之，m=1①②都有整数解.∴①②都有整数解的充要条件是m=1.18. 【解析】根据韦达定理得a=α+β,b=αβ.判定的条件是p:结论是q:(注意p中a、b满足的前提是Δ=a2－4b≥0)(1)由，得a=α+β＞2,b=αβ＞1,∴qp(2)为证明pq,可以举出反例：取α=4,β=,它满足a=α+β=4+＞2,b=αβ=4×=2＞1,但q不成立.综上讨论可知a＞2,b＞1是α＞1,β＞1的必要但不充分条件.【关于数学命题及其关系的练习题及答案】。

学期综合测评对应学生用书P101本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知角α的终边经过点P(4，－3)，则2sinα＋cosα的值等于()A．－35B．45C．25D．－25答案D解析据三角函数的定义可知sinα＝－35，cosα＝45，∴2sinα＋cosα＝－65＋45＝－25．2．若一个圆的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的32倍，则该弧所对的圆心角是原来的()A．12B．2倍C．13D．3倍答案D解析设圆弧的半径为r，弧长为l，其弧度数为lr，将半径变为原来的一半，弧长变为原来的32倍，则弧度数变为32l 12r＝3·lr ，即弧度数变为原来的3倍，故选D ． 3．已知sin (π＋α)＝13，则cos 2α＝( ) A ．79 B ．－89 C ．－79 D ．429 答案 A解析 因为sin (π＋α)＝13，所以sin α＝－13，所以cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×－132＝79．4．若|a |＝2sin15°，|b |＝4cos15°，且a 与b 的夹角为30°，则a ·b 的值为( ) A ．12 B ．32 C ．3 D ．23 答案 C解析 a·b ＝|a ||b |cos30°＝2sin15°·4cos15°·cos30°＝2sin60°＝3． 5．已知3a ＋4b ＋5c ＝0，且|a |＝|b |＝|c |＝1，则a ·(b ＋c )＝( ) A ．0 B ．－35 C ．35 D ．－45 答案 B解析 由3a ＋4b ＋5c ＝0，得向量3a ，4b ，5c 能组成三角形，又|a |＝|b |＝|c |＝1，所以三角形的三边长分别是3，4，5，故三角形为直角三角形，且a ⊥b ，所以a ·(b ＋c )＝a ·c ＝－35．6．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π2的部分图象如图，则(OA →＋OB →)·AB→＝( )A ．6B ．4C ．－4D ．－6 答案 A解析 ∵点B 的纵坐标为1， ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π2＝1，∴π4x －π2＝π4，∴x ＝3，即B (3，1)．令tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π2＝0，则π4x －π2＝0，解得x ＝2， ∴A (2，0)，∴OA →＋OB →＝(5，1)，AB →＝(1，1)． ∴(OA →＋OB →)·AB→＝6． 7．已知函数f (x )＝43sin ωx ＋π3(ω>0)在平面直角坐标系中的部分图象如图所示，若∠ABC ＝90°，则ω＝( )A ．π4B ．π8C ．π6D ．π12 答案 B解析 由三角函数图象的对称性知P 为AC 的中点，又∠ABC ＝90°，故|P A |＝|PB |＝|PC |＝T 2，则|AC |＝T ．由勾股定理，得T 2＝(83)2＋T22，解得T ＝16，所以ω＝2πT ＝π8．8．为了得到函数y ＝sin3x ＋cos3x 的图象，可以将函数y ＝2cos3x 的图象( )A ．向右平移π12个单位长度 B ．向右平移π4个单位长度 C ．向左平移π12个单位长度 D ．向左平移π4个单位长度 答案 A解析 因为y ＝sin3x ＋cos3x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4，所以将y ＝2cos3x 的图象向右平移π12个单位后可得到y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4的图象．9．已知函数y ＝2sin(ωx ＋θ)(ω＞0，0＜θ＜π)为偶函数，其图象与直线y ＝2的交点的横坐标为x 1，x 2，若|x 1－x 2|的最小值为π，则( )A ．ω＝2，θ＝π2B ．ω＝12，θ＝π2 C ．ω＝12，θ＝π4 D ．ω＝2，θ＝π4 答案 A解析 因为函数y ＝2sin(ωx ＋θ)(ω＞0，0＜θ＜π)为偶函数，所以θ＝π2，所以y ＝2cos ωx ，排除C ，D ；y ＝2cos ωx ∈[－2，2]，结合题意可知T ＝π，所以2πω＝π，所以ω＝2，排除B ．故选A ．10．已知|a |＝22，|b |＝3，a ，b 的夹角为π4，如图所示，若AB →＝5a ＋2b ，AC →＝a －3b ，且D 为BC 中点，则AD→的长度为( )A ．152B ．152 C ．7 D ．8 答案 A解析 AD→＝12(AB →＋AC →)＝12(5a ＋2b ＋a －3b ) ＝12(6a －b )，∴|AD→|2＝14(36a 2－12ab ＋b 2)＝2254， ∴|AD→|＝152．故选A ．11．已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)，若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，则f (x )的最小正周期为( )A ．π3B ．π2C ．5π6 D ．π 答案 C解析 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，可得函数f (x )的一条对称轴为x ＝π2＋2π32＝7π12，则x ＝π2离最近一条对称轴的距离为7π12－π2＝π12．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，且f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上具有单调性，故x ＝π4离最近一条对称轴的距离也为π12，所以T 2＝2×π12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π4＝5π12，所以T ＝5π6．故选C ．12．已知不等式f (x )＝32sin x 4·cos x 4＋6cos 2x 4－62＋m ≤0，对于任意的－5π6≤x ≤π6恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥ 3B ．m ≤3C ．m ≤－ 3D ．－3≤m ≤3 答案 C解析 f (x )＝32sin x 4·cos x 4＋6cos 2x 4－62＋m ＝322sin x 2＋62⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos x 2－62＋m＝322sin x 2＋62cos x2＋m ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x 2＋12cos x 2＋m＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋m ，故要使f (x )≤0对任意的－5π6≤x ≤π6恒成立，只需m ≤－6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6在－5π6≤x ≤π6上恒成立．∵－5π6≤x ≤π6，－π4≤x 2＋π6≤π4， ∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6min ＝－3， ∴m ≤－3．第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．函数f (x )＝sin 23x ＋π2＋sin 23x 的图象相邻的两条对称轴之间的距离是________．答案 3π2解析 f (x )＝cos 23x ＋sin 23x ＝2sin 23x ＋π4，相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，T ＝2π23＝3π，∴T 2＝3π2．14．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52，则a 与c 的夹角的大小为________．答案 120°解析 a ＋b ＝(－1，－2)，|a |＝5，设c ＝(x ，y )，∵(a ＋b )·c ＝52，∴x ＋2y ＝－52．设a 与c 的夹角为θ，∵a ·c ＝x ＋2y ，∴cosθ＝a·c|a||c|＝－525＝－12．又∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°．15．已知函数f(x)＝2sin2π4＋x－3cos2x－1，x∈π4，π2，则f(x)的最小值为________．答案1解析f(x)＝2sin2π4＋x－3cos2x－1＝1－cos2π4＋x－3cos2x－1＝－cos π2＋2x－3cos2x＝sin2x－3cos2x＝2sin2x－π3，因为π4≤x≤π2，所以π6≤2x－π3≤2π3．所以12≤sin2x－π3≤1．所以1≤2sin2x－π3≤2．即1≤f(x)≤2，则f(x)的最小值为1．16．关于函数f(x)＝sin2x－cos2x，有下列命题：①函数f(x)的最小正周期为π；②直线x ＝π4是函数f (x )的一条对称轴；③点⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0是函数f (x )的图象的一个对称中心；④将函数f (x )的图象向左平移π4个单位长度，可得到函数y ＝2sin2x 的图象．其中正确的命题为________(填序号)． 答案 ①③解析 f (x )＝sin2x －cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，所以最小正周期T ＝π，①正确；当x ＝π4时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin2×π4－π4＝2sin π4，不是最值，所以②错误；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8－π4＝0，所以③正确；将f (x )的图象向左平移π4个单位长度，得到y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象，所以④错误．综上，正确的命题为①③． 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知3π4＜α＜π，tan α＋1tan α＝－103． (1)求tan α的值；(2)求5sin 2α2＋8sin α2cos α2＋11cos 2α2－82sin α－π4的值．解 (1)由tan α＋1tan α＝－103，整理，得3tan 2α＋10tan α＋3＝0， 即(3tan α＋1)(tan α＋3)＝0．∵3π4＜α＜π，∴－1＜tan α＜0，∴tan α＝－13．(2)5sin 2α2＋8sin α2cos α2＋11cos 2α2－82sin α－π4＝5sin 2α2＋cos 2α2＋4sin α＋6cos 2α2－82sin α－π4＝5sin 2α2＋cos 2α2＋4sin α＋6×1＋cos α2－82sin α－π4＝4sin α＋3cos αsin α－cos α＝4tan α＋3tan α－1＝4×－13＋3－13－1＝－54．18．(本小题满分12分)已知向量m ＝(1，1)，向量n 与向量m 的夹角为3π4，且m ·n ＝－1．(1)求向量n ；(2)在△ABC 中，B ＝π3，若向量n ＝(0，－1)，p ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A ，2cos 2C 2，求|n ＋p |的取值范围．解 (1)设n ＝(x ，y )，由m ·n ＝－1，得x ＋y ＝－1．① 又∵m 与n 的夹角为3π4，∴m ·n ＝|m ||n |·cos 3π4， ∴x 2＋y 2＝1．②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1，∴n ＝(－1，0)或n ＝(0，－1)． (2)∵B ＝π3，∴A ＋C ＝2π3，0<A <2π3．若n ＝(0，－1)，则n ＋p ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A ，2cos 2C 2－1＝(cos A ，cos C )．∴|n ＋p |2＝cos 2A ＋cos 2C ＝1＋cos2A 2＋1＋cos2C2＝1＋12·⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos2A ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3－2A ＝1＋12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3．∵0<A <2π3，∴π3<2A ＋π3<5π3， ∴－1≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3<12，12≤1＋12cos⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3<54， 即|n ＋p |2∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，54，∴|n ＋p |∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，52．19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2cos x sin x ＋π3－3sin 2x ＋sin x cos x ．(1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求f (x )的值域；(2)用五点法在下图中作出y ＝f (x )在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上的简图；(3)说明f (x )的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变化得到？解 f (x )＝2cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3sin 2x ＋sin x cos x＝2cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos π3＋cos x sin π3－3sin 2x ＋sin x cos x ＝sin2x ＋3cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3．(1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴π3≤2x ＋π3≤4π3， ∴－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1，∴当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的值域为[－3，2]．(2)由T ＝2π2，得T ＝π，列表：图象如下图．(3)解法一：由以下变换可得f (x )的图象：先将y ＝sin x 的图象向左平移π3个单位，再将图象上各点的横坐标缩短到原来的12，最后将纵坐标伸长为原来的2倍．解法二：由以下变换可得f (x )的图象：先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，再将图象向左平移π6个单位，最后将纵坐标伸长为原来的2倍．20．(本小题满分12分)某房地产开发商为吸引更多消费者购房，决定在一块闲置的扇形空地中修建一个花园．如图，已知扇形AOB 的圆心角∠AOB ＝π4，半径为R ．现欲修建的花园为▱OMNH ，其中M ，H 分别在OA ，OB 上，N 在AB 上．设∠MON ＝θ，▱OMNH 的面积为S ．(1)将S 表示为关于θ的函数； (2)求S 的最大值及相应的θ值．解 (1)如图，过N 作NP ⊥OA 于点P ，过H 作HE ⊥OA 于点E ， ∵∠AOB ＝π4，∴OE ＝EH ＝NP ＝R sin θ，OP ＝R cos θ，∴HN ＝EP ＝OP －OE ＝R (cos θ－sin θ)， ∴S ＝HN ·NP ＝R 2(cos θ－sin θ)sin θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4．(2)S ＝R 2(cos θsin θ－sin 2θ) ＝R 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin2θ－1－cos2θ2 ＝12R 2(sin2θ＋cos2θ－1) ＝12R 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4－1，∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴2θ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，∴当2θ＋π4＝π2，即θ＝π8时，S 取得最大值，且最大值为2－12R 2．21．(本小题满分12分)将射线y ＝17x (x ≥0)绕着原点逆时针旋转π4后所得的射线经过点A (cos θ，sin θ)．(1)求点A 的坐标；(2)若向量m ＝(sin2x ，2cos θ)，n ＝(3sin θ，2cos2x )，求函数f (x )＝m ·n x ∈0，π2的值域．解 (1)设射线y ＝17x (x ≥0)与x 轴的非负半轴所成的锐角为α， 则tan α＝17，α∈0，π2．所以tan α＜tan π4，所以α∈0，π4．所以tan θ＝tan α＋π4＝17＋11－17×1＝43，θ∈π4，π2．所以由⎩⎨⎧sin 2θ＋cos 2θ＝1，sin θcos θ＝43，得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝45，cos θ＝35.所以点A 的坐标为35，45． (2)f (x )＝3sin θ·sin2x ＋2cos θ·2cos2x ＝125sin2x ＋125cos2x ＝1225sin2x ＋π4．由x ∈0，π2，得2x ＋π4∈π4，5π4， 所以sin2x ＋π4∈－22，1，所以函数f (x )的值域为－125，1225．22．(本小题满分12分)已知向量a ＝(3sin2x ，cos2x )，b ＝(cos2x ，－cos2x )． (1)若x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫7π24，5π12时，a ·b ＋12＝－35，求cos4x 的值；(2)cos x ≥12，x ∈(0，π)，若关于x 的方程a ·b ＋12＝m 有且仅有一个实根，求实数m 的值．解 (1)∵a ＝(3sin2x ，cos2x )， b ＝(cos2x ，－cos2x )，∴a ·b ＋12＝3sin2x cos2x －cos 22x ＋12 ＝32sin4x －1＋cos4x 2＋12＝－12＋32sin4x －12cos4x ＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π6．由a ·b ＋12＝－35，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π6＝－35．∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫7π24，5π12，∴4x －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2．∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π6＝－45．∴cos4x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫4x －π6＋π6 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π6cos π6－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π6sin π6＝3－4310．(2)∵cos x ≥12，又因为余弦函数在(0，π)上是减函数，∴0<x≤π3．令f(x)＝a·b＋12＝sin⎝⎛⎭⎪⎫4x－π6，g(x)＝m，在同一坐标系中作出两个函数的图象，由图可知：m＝1或m＝－1 2．。

2019-2020学年高一数学上学期联合测试试题（含解析）（考试时间120分钟，总分150分）一、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分，请将答案填写在答卷的相应位置上.1.已知集合，，则（）A. B. C.D.【答案】A【解析】【分析】首先求出集合中的范围，然后逐一判断选项即可.【详解】解：由已知，又则，故A正确，D错误；，故BC错误；故选：A.【点睛】本题考查集合的交集和并集的运算，是基础题.2.已知，则角的终边在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】利用即可得结果.【详解】由已知可得，则，故的终边在第二象限，故选B.【点睛】本题主要考查弧度制的应用以及角的终边所在象限，属于基础题.3.若，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将不等式的右边也变为以为底的对数形式，然后对讨论，利用对数的单调性解不等式即可.【详解】解：由已知，当时，不等式明显成立；当时，，综合得：实数的取值范围是，故选：B.【点睛】本题考查简单的对数不等式，注意要对对数的底是否大于1进行讨论，是基础题.4.与向量平行的单位向量为（）A. B. C. 或 D.【答案】C【解析】【分析】逐一判断选项中的向量，看是否存在实数，使，且.【详解】解：首先确定选项中的向量的模是否为1，经检验发现，选项中的向量的模均为1，又，选项C符合，故选：C.【点睛】本题考查向量平行的判断，关键是能否找到实数，使，是基础题.5.已知，且，则值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解：先根据所在象限，确定的符号，求出的值，进而求出的值.【详解】解：，，，，故选：A.【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，注意要通过角所在象限确定三角函数值的正负，是基础题.6.函数的定义域是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据分母不为零，被开方数不小于零，对数的真数大于零列不等式组，解出即可.【详解】解：由已知得，解得：，故选：D.【点睛】本题考查求具体函数的定义域，一般根据以下几个方面列不等式：分母不为零，被开方数不小于零，对数的真数大于零.7.已知函数的零点在区间上，则的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】A【解析】【分析】先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理列不等式求解.【详解】解：由已知和均为单调递增函数，故在定义域内也为单调增函数，因为，所以函数的零点在区间上，又函数的零点在区间上，所以，故选：A.【点睛】本题考查零点存在性定理，关键是要通过尝试确定零点大致在哪个区间里面，是基础题.8.已知奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，由函数的奇偶性可得，结合函数的单调性分析可将不等式化为，解可得答案．【详解】解：根据题意，函数为奇函数，若，则，又函数在单调递减，，，∴，解得：，故选：C．【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，涉及抽象函数的应用，关键是求出的值．9.要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A. 向左平移个单位长度B. 向左平移个单位长度C. 向右平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】D【解析】【分析】先对函数进行变形，然后根据函数图像的平移规律即可得到答案．【详解】解：，故只需将函数的图象向右平移个单位长度就可得到，故选：D.【点睛】本题考查的知识点函数的图象变换，其中熟练掌握函数图象的平移法则，“左加右减，上加下减”，是解答本题的关键．属于基础题．10.设，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用对数函数的单调性分析得出结果.【详解】解：由已知，又，，因为，所以，即，综合得：，故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小比较，关键是要将对数式变为同底的形式，才方便比较大小，是基础题.11.函数，的值域是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】令，将函数转化为二次函数的值域问题求解即可.【详解】解：令，则原函数转化为，当时，，当时，，值域是，故选：D.【点睛】本题考查指数型二次函数的值域问题，可以利用换元法，注意要确定新元的范围，是基础题.12.已知外接圆的半径为4,且，，则的值是（）A. B. 16 C. 48 D.【答案】C【解析】【分析】运用平面向量的三角形法则，以及外心的特点，可得为的中点，三角形为直角三角形，再由勾股定理和向量的数量积定义，即可求出结果．【详解】解：如图所示，的外接圆的半径为4，且，，，∴为的中点，即；又，为等边三角形，且边长为4，，由勾股定理得，，则．故选：C．【点睛】本题考查了平面向量的三角形法则和数量积的定义应用问题，也考查了三角形的外心概念与勾股定理的运用，是基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填写在答卷的相应位置上.13.函数的最小正周期为______．【答案】【解析】【分析】根据最小正周期的公式求解即可.【详解】解：函数的最小正周期为，故答案为：【点睛】本题考查三角函数的最小正周期公式，是基础题.14.已知某幂函数的图象经过点，那么这个幂函数的解析式为______．【答案】【解析】【分析】设出幂函数的解析式，代入点的坐标，即可得出结果.【详解】解：设幂函数为，代入点，得，解得，所以这个幂函数的解析式为，故答案为：【点睛】本题考查待定系数法求幂函数的解析式，是基础题.15.函数的单调减区间为______．【答案】【解析】【分析】先求出函数的定义域，在定域内判断的单调减区间，进而可得原函数的的单调减区间.【详解】解：由已知函数定义域为，所以在上的单调减区间为，则函数的单调减区间为，故答案为：.【点睛】本题考查对数型符合函数的单调区间，注意要先求出函数的定义域，是基础题.16.若关于的函数在内有且仅有一个零点，则实数的取值范围是______．【答案】或【解析】【分析】分讨论，另外时，通过解得实数的取值范围．【详解】解：函数在区间仅有一个零点，当时，，解得，若，方程的根为，舍去；当，方程的根为，符合题意；当时，，解得或，由题可得，，解得，又当时，，此时方程另一根为，舍去；当时，，此时方程另一根为，符合题意，综上所述：实数的取值范围是或，故答案为：或.【点睛】本题主要考查函数的零点的存在性定理，要特别注意一些特殊情况的存在性，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.求下列各式的值：（1）（2）【答案】（1）1；（2）-1【解析】【分析】（1）由对数的运算性质来计算即可；（2）利用同角三角函数基本关系，诱导公式进行变形计算即可.【详解】解：（1）；（2）【点睛】本题（1）考查对数的运算性质，（2）考查同角三角函数基本关系，诱导公式，注意符号的确定，是基础题.18.已知向量，，当为何值时：（1）？（2）？（3）与的夹角是钝角？【答案】（1）-1；（2）9；（3）【解析】【分析】（1）利用向量共线定理即可得出；（2）利用，即可得出．（3）利用向量数量积小于0，不反向，求出即可．【详解】解：（1），，∵，∴，解得；（2）∵，∴，解得；（3）因为与的夹角是钝角，则向量的数量积小于0，不反向，∴，解得，且，．【点睛】本题考查了向量共线定理、等基础知识，属于基础题．19.销售甲、乙两种商品所得利润分别是(单位：万元)，和(单位：万元)，它们与投入资金(单位：万元)的关系有经验公式，.今将3万元资金投入经营甲、乙两种商品，其中对甲种商品投资(单位：万元).（1）试建立总利润(单位：万元)关于的函数关系式；（2）求出（1）中的最大值.【答案】（1）；（2）的最大值为万元【解析】【分析】（1）通过设出甲投资以及乙投资的数目，设立函数表达式，根据函数式直接写出定义域；（2）对于（1）中的函数解析式，利用换元法转化成一个二次函数的形式，最后结合二次函数的最值求法得出函数的最大值，从而解决问题．【详解】解：（1）；（2）令，则，当时，的最大值为万元答：关于的函数关系式为，的最大值为万元.【点睛】本题考查函数模型的选择与应用，通过对实际问题的分析，构造数学模型从而解决问题．需要对知识熟练的掌握并应用，属于基础题．20.函数（）的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，（1）求函数的解析式；（2）设，则，求的值【答案】（1）；（2）.【解析】【详解】（1）由三角函数性质得,最大值为A+1=3,∴A=2，周期，∴f（x）=2sin（2x-）+1（2），f（）=2∴2sin（-）+1=2,得sin（-）=，=此处有视频，请去附件查看】21.已知函数是上的奇函数，当时，.（1）求的解析式；（2）用定义证明：函数在为减函数.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）令则，将代入，可得函数在的解析式，又，综合可求得的解析式；（2）设，为区间上的任意两个值，且，计算为正值，即可证明函数在为减函数.【详解】（1）令则，因为函数是上的奇函数，所以因为函数是上的奇函数，所以所以；（2）设，为区间上的任意两个值，且因为所以，，，所以函数在为减函数.【点睛】本题考查奇函数解析式的求法，注意不要漏掉，以及考查函数单调性的证明，考查学生计算能力，是基础题.22.已知函数，其中且.（1）若函数是奇函数，试证明：对任意的，恒有；（2）若对于，函数在区间上的最大值是3，试求实数的值；（3）设且，问：是否存在实数，使得对任意的，都有？如果存在，请求出的取值范围；如果不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）（3）存在,【解析】【分析】（1）由函数是奇函数，可得，代入计算即可证明；（2），，对分类讨论，利用对数函数的单调性即可得出；（3）假设存在实数，使得对任意的，都有，则等价于对任意的，的最小值大于的最大值．令，，可得其最大值．于是问题等价于，的最小值大于1，再利用复合函数的单调性即可得出．【详解】（1）证明：因为是定义域内的奇函数，所以对任意的，恒有由，得对任意的，恒有（2）当时，在区间是增函数，所以当时在区间是减函数，无解综上所述：（3）所以又因为，所以，又因为，所以因为对任意的，都有所以的最小值大于的最大值递减，所以的最小值为令，因，所以递增，所以的最大值为所以，解得.综上所述：满足题设的实数的取值范围是【点睛】本题考查了函数的奇偶性、复合函数的单调性、分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．2019-2020学年高一数学上学期联合测试试题（含解析）（考试时间120分钟，总分150分）一、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分，请将答案填写在答卷的相应位置上.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先求出集合中的范围，然后逐一判断选项即可.【详解】解：由已知，又则，故A正确，D错误；，故BC错误；故选：A.【点睛】本题考查集合的交集和并集的运算，是基础题.2.已知，则角的终边在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】利用即可得结果.【详解】由已知可得，则，故的终边在第二象限，故选B.【点睛】本题主要考查弧度制的应用以及角的终边所在象限，属于基础题.3.若，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将不等式的右边也变为以为底的对数形式，然后对讨论，利用对数的单调性解不等式即可.【详解】解：由已知，当时，不等式明显成立；当时，，综合得：实数的取值范围是，故选：B.【点睛】本题考查简单的对数不等式，注意要对对数的底是否大于1进行讨论，是基础题.4.与向量平行的单位向量为（）A. B. C. 或 D.【答案】C【解析】【分析】逐一判断选项中的向量，看是否存在实数，使，且.【详解】解：首先确定选项中的向量的模是否为1，经检验发现，选项中的向量的模均为1，又，选项C符合，故选：C.【点睛】本题考查向量平行的判断，关键是能否找到实数，使，是基础题.5.已知，且，则值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解：先根据所在象限，确定的符号，求出的值，进而求出的值.【详解】解：，，，，故选：A.【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，注意要通过角所在象限确定三角函数值的正负，是基础题.6.函数的定义域是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据分母不为零，被开方数不小于零，对数的真数大于零列不等式组，解出即可.【详解】解：由已知得，解得：，故选：D.【点睛】本题考查求具体函数的定义域，一般根据以下几个方面列不等式：分母不为零，被开方数不小于零，对数的真数大于零.7.已知函数的零点在区间上，则的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】A【解析】【分析】先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理列不等式求解.【详解】解：由已知和均为单调递增函数，故在定义域内也为单调增函数，因为，所以函数的零点在区间上，又函数的零点在区间上，所以，故选：A.【点睛】本题考查零点存在性定理，关键是要通过尝试确定零点大致在哪个区间里面，是基础题.8.已知奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，由函数的奇偶性可得，结合函数的单调性分析可将不等式化为，解可得答案．【详解】解：根据题意，函数为奇函数，若，则，又函数在单调递减，，，∴，解得：，故选：C．【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，涉及抽象函数的应用，关键是求出的值．9.要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A. 向左平移个单位长度B. 向左平移个单位长度C. 向右平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】D【解析】【分析】先对函数进行变形，然后根据函数图像的平移规律即可得到答案．【详解】解：，故只需将函数的图象向右平移个单位长度就可得到，故选：D.【点睛】本题考查的知识点函数的图象变换，其中熟练掌握函数图象的平移法则，“左加右减，上加下减”，是解答本题的关键．属于基础题．10.设，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用对数函数的单调性分析得出结果.【详解】解：由已知，又，，因为，所以，即，综合得：，故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小比较，关键是要将对数式变为同底的形式，才方便比较大小，是基础题.11.函数，的值域是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】令，将函数转化为二次函数的值域问题求解即可.【详解】解：令，则原函数转化为，当时，，当时，，值域是，故选：D.【点睛】本题考查指数型二次函数的值域问题，可以利用换元法，注意要确定新元的范围，是基础题.12.已知外接圆的半径为4,且，，则的值是（）A. B. 16 C. 48 D.【答案】C【解析】【分析】运用平面向量的三角形法则，以及外心的特点，可得为的中点，三角形为直角三角形，再由勾股定理和向量的数量积定义，即可求出结果．【详解】解：如图所示，的外接圆的半径为4，且，，，∴为的中点，即；又，为等边三角形，且边长为4，，由勾股定理得，，则．故选：C．【点睛】本题考查了平面向量的三角形法则和数量积的定义应用问题，也考查了三角形的外心概念与勾股定理的运用，是基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填写在答卷的相应位置上.13.函数的最小正周期为______．【答案】【解析】【分析】根据最小正周期的公式求解即可.【详解】解：函数的最小正周期为，故答案为：【点睛】本题考查三角函数的最小正周期公式，是基础题.14.已知某幂函数的图象经过点，那么这个幂函数的解析式为______．【答案】【解析】【分析】设出幂函数的解析式，代入点的坐标，即可得出结果.【详解】解：设幂函数为，代入点，得，解得，所以这个幂函数的解析式为，故答案为：【点睛】本题考查待定系数法求幂函数的解析式，是基础题.15.函数的单调减区间为______．【答案】【解析】【分析】先求出函数的定义域，在定域内判断的单调减区间，进而可得原函数的的单调减区间.【详解】解：由已知函数定义域为，所以在上的单调减区间为，则函数的单调减区间为，故答案为：.【点睛】本题考查对数型符合函数的单调区间，注意要先求出函数的定义域，是基础题.16.若关于的函数在内有且仅有一个零点，则实数的取值范围是______．【答案】或【解析】【分析】分讨论，另外时，通过解得实数的取值范围．【详解】解：函数在区间仅有一个零点，当时，，解得，若，方程的根为，舍去；当，方程的根为，符合题意；当时，，解得或，由题可得，，解得，又当时，，此时方程另一根为，舍去；当时，，此时方程另一根为，符合题意，综上所述：实数的取值范围是或，故答案为：或.【点睛】本题主要考查函数的零点的存在性定理，要特别注意一些特殊情况的存在性，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.求下列各式的值：（1）（2）【答案】（1）1；（2）-1【解析】【分析】（1）由对数的运算性质来计算即可；（2）利用同角三角函数基本关系，诱导公式进行变形计算即可.【详解】解：（1）；（2）【点睛】本题（1）考查对数的运算性质，（2）考查同角三角函数基本关系，诱导公式，注意符号的确定，是基础题.18.已知向量，，当为何值时：（1）？（2）？（3）与的夹角是钝角？【答案】（1）-1；（2）9；（3）【解析】【分析】（1）利用向量共线定理即可得出；（2）利用，即可得出．（3）利用向量数量积小于0，不反向，求出即可．【详解】解：（1），，∵，∴，解得；（2）∵，∴，解得；（3）因为与的夹角是钝角，则向量的数量积小于0，不反向，∴，解得，且，．【点睛】本题考查了向量共线定理、等基础知识，属于基础题．19.销售甲、乙两种商品所得利润分别是(单位：万元)，和(单位：万元)，它们与投入资金(单位：万元)的关系有经验公式，.今将3万元资金投入经营甲、乙两种商品，其中对甲种商品投资(单位：万元).（1）试建立总利润(单位：万元)关于的函数关系式；（2）求出（1）中的最大值.【答案】（1）；（2）的最大值为万元【解析】【分析】（1）通过设出甲投资以及乙投资的数目，设立函数表达式，根据函数式直接写出定义域；（2）对于（1）中的函数解析式，利用换元法转化成一个二次函数的形式，最后结合二次函数的最值求法得出函数的最大值，从而解决问题．【详解】解：（1）；（2）令，则，当时，的最大值为万元答：关于的函数关系式为，的最大值为万元.【点睛】本题考查函数模型的选择与应用，通过对实际问题的分析，构造数学模型从而解决问题．需要对知识熟练的掌握并应用，属于基础题．20.函数（）的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，（1）求函数的解析式；（2）设，则，求的值【答案】（1）；（2）.【解析】【详解】（1）由三角函数性质得,最大值为A+1=3,∴A=2，周期，∴f（x）=2sin（2x-）+1（2），f（）=2∴2sin（-）+1=2,得sin（-）=，=此处有视频，请去附件查看】21.已知函数是上的奇函数，当时，.（1）求的解析式；（2）用定义证明：函数在为减函数.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）令则，将代入，可得函数在的解析式，又，综合可求得的解析式；（2）设，为区间上的任意两个值，且，计算为正值，即可证明函数在为减函数.【详解】（1）令则，因为函数是上的奇函数，所以因为函数是上的奇函数，所以所以；（2）设，为区间上的任意两个值，且因为所以，，，所以函数在为减函数.【点睛】本题考查奇函数解析式的求法，注意不要漏掉，以及考查函数单调性的证明，考查学生计算能力，是基础题.22.已知函数，其中且.（1）若函数是奇函数，试证明：对任意的，恒有；（2）若对于，函数在区间上的最大值是3，试求实数的值；（3）设且，问：是否存在实数，使得对任意的，都有？如果存在，请求出的取值范围；如果不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）（3）存在,【解析】【分析】（1）由函数是奇函数，可得，代入计算即可证明；（2），，对分类讨论，利用对数函数的单调性即可得出；（3）假设存在实数，使得对任意的，都有，则等价于对任意的，的最小值大于的最大值．令，，可得其最大值．于是问题等价于，的最小值大于1，再利用复合函数的单调性即可得出．【详解】（1）证明：因为是定义域内的奇函数，所以对任意的，恒有由，得对任意的，恒有（2）当时，在区间是增函数，所以当时在区间是减函数，无解综上所述：（3）所以又因为，所以，又因为，所以因为对任意的，都有所以的最小值大于的最大值递减，所以的最小值为令，因，所以递增，所以的最大值为所以，解得.综上所述：满足题设的实数的取值范围是【点睛】本题考查了函数的奇偶性、复合函数的单调性、分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

高级中学1* 本《命题的形式及等价关系》同步练习本课时编写：双辽一中王秋萍1•判断下列语句是否为命题，并在括号内填入“是”或“否” •(1)正方形是四边形.() (2) 0是不是自然数？()(3)如果G Z ,那么m e Z 且z?wZ.( ) (4)3〉龙( )2.判断下列命题的真假，并在括号内填入“真”或“假”.(1)如果都是奇数，那么a + b是偶数.()(2)—组对边平行且两对角线相等的四边形是平行四边形.()(3)已知owR,如果|«|<2,那么a<2.( )(4)如果 A B = A，那么 A B = B.( )3.如果a,b,cw R,设A:a = b = c = O\ B:ci,b,c至少有一个为0; C:a2 -\-y[h+\c\=0那么 A ____________ B； A _____________ C；B _____________ C.(用符号“=>”、“u”或“o”填空)注|4.若a:{2}UBu{2,3,4},0:B = {2,4},则a 与0 的关系是()A. a => 0 ;B. 0 => a ;C. a o 0 ;D. &/=> 0 且0/=> a5.判断下列命题的真假，并在插号内填入“真”或“假”⑴若 A B H0,BUC，则A C H0・()(2)对于任意的a,bwR,方程(d + l)x + Z? = 0的解为x =—-—；( )a + \(3)若Q=>0,0=>y,y =>Q ,则6T <=> / ;( )(4)对于任意的x,qwR,如果q>0,那么方程jC+x-q = 0有实根；( )6.对于x9yeR，填入一个正确的语句使得推出关系成立：“与二0” o “____________________ ”；5>o” o “ _______________________________________ 7.把下列命题改写成“若则0”的形式：(1)对顶角相等.(2)平行四边形的一组对边平行且相等.8.已知BD, CD分别是AABC的ZB, ZC的角平分线如果AB = AC ,那么BD = CE.利用“n”证明:9.你相信2 = 1吗？看看下面的推导吧：设a = h r则有a2 =ab=> a2—b2 = ab—b2=> (a + Z?)(Q—Z?) = b(a — b)=>2b = b这是怎么回事？请指出原因。

函数考试内容：映射、函数、函数的单调性、奇偶性．反函数．互为反函数的函数图像间的关系．指数概念的扩充．有理指数幂的运算性质．指数函数．对数．对数的运算性质．对数函数．函数的应用．考试要求：（1）了解映射的概念，理解函数的概念．（2）了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法．（3）了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数．（4）理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像和性质．（5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质．（6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题．§02. 函数知识要点一、本章知识网络结构：F:A →B对数函数指数函数二次函数二、知识回顾： （一） 映射与函数 1. 映射与一一映射 2.函数函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数. 3.反函数反函数的定义设函数))((A x x f y ∈=的值域是C ，根据这个函数中x,y 的关系，用y 把x 表示出，得到x=ϕ(y). 若对于y 在C 中的任何一个值，通过x=ϕ(y)，x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么，x=ϕ(y)就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数，这样的函数x=ϕ(y) (y ∈C)叫做函数))((A x x f y ∈=的反函数，记作)(1y f x -=,习惯上改写成)(1x f y -=（二）函数的性质 ⒈函数的单调性定义：对于函数f(x)的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1,x 2,⑴若当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2),则说f(x)在这个区间上是增函数； ⑵若当x 1<x 2时，都有f(x 1)>f(x 2),则说f(x) 在这个区间上是减函数.若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数. 2.函数的奇偶性正确理解奇、偶函数的定义。

课时作业3 四种命题间的相互关系知识点一 四种命题的真假关系1.一个命题及其逆命题、否命题、逆否命题四种命题中( )A ．真命题的个数一定是奇数B ．真命题的个数一定是偶数C ．真命题的个数可能是奇数也可能是偶数D ．上述判断都不正确答案 B解析 原命题与逆否命题真假性相同，逆命题与否命题真假性相同，因此真命题个数可能为0个，2个，4个．2．原命题为“若a n ＋a n ＋12<a n ，n ∈N *，则{a n }为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A ．真，真，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假答案 A解析 a n ＋a n ＋12<a n ，即a n ＋a n ＋1<2a n ，则a n ＋1<a n ，∴{a n }为递减数列，故原命题为真，则其逆否命题也为真；若{a n }是递减数列，则a n ＋1<a n ，∴a n ＋a n ＋1<2a n ，∴a n ＋a n ＋12<a n ，故其逆命题也是真命题，则其否命题也是真命题．故选A.知识点二 等价命题及应用3.判断命题“已知l ，m 为两条直线，α为平面，且l ⊂α，当m ⊥l 时，m ⊥α”的否命题的真假．并简要说明理由．解 原命题的逆命题：已知l ，m 为两条直线，α为平面，且l ⊂α，当m ⊥α时，m ⊥l .很明显这是真命题，所以原命题的否命题也是真命题．4．证明：已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a 、b ∈R ，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.证明原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b<0，则f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．”∵当a＋b<0时，a<－b，b<－a，又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)．∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，即逆否命题为真命题．∴原命题为真命题．一、选择题1．与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是()A．能被3整除的整数，一定能被6整除B．不能被3整除的整数，一定不能被6整除C．不能被6整除的整数，一定不能被3整除D．不能被6整除的整数，不一定能被3整除答案 B解析原命题的逆否命题是“不能被3整除的整数，一定不能被6整除”．故选B.2．命题“若∠A＝60°，则△ABC是等边三角形”的否命题() A．是假命题B．与原命题真假性相同C．与原命题的逆否命题真假性相同D．与原命题的逆命题真假性相同答案 D解析原命题的否命题与原命题的逆命题互为逆否命题，真假性相同．3．已知命题p为“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A，∠B都是锐角”，则下列结论正确的是()A．命题p的逆否命题为“在△ABC中，若∠A，∠B都不是锐角，则∠C≠90°”，且是真命题B．命题p的逆否命题为“在△ABC中，若∠A，∠B都不是锐角，则∠C≠90°”，且是假命题C．命题p的逆否命题为“在△ABC中，若∠A，∠B不都是锐角，则∠C≠90°”，且是真命题D．命题p的逆否命题为“在△ABC中，若∠A，∠B不都是锐角，则∠C≠90°”，且是假命题答案 C解析原命题的条件：在△ABC中，∠C＝90°；结论：∠A，∠B 都是锐角．所以它的逆否命题为“在△ABC中，若∠A，∠B不都是锐角，则∠C≠90°”．由于命题p是真命题，因此它的逆否命题是真命题．故选C.4．证明“若x2＋y2＝2，则x＋y≤2”时，可以转化为证明() A．若x＋y≤2，则x2＋y2＝2B．若x＋y＞2，则x2＋y2≠2C．若x2＋y2≠2，则x＋y＞2D．若x＋y≤2，则x2＋y2≤2答案 B解析由于原命题与逆否命题的真假性相同，所以可以转化为证明“若x＋y＞2，则x2＋y2≠2”，故选B.5．有下列4个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆否命题；②“若a>b，则a2>b2”的逆命题；③“若x≤－3，则x2－x－6>0”的否命题；④“若a b是无理数，则a，b是无理数”的逆命题．其中真命题的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3答案 B解析①若x＋y＝0，则x，y互为相反数，为真命题．则逆否命题也为真命题，故①正确．②“若a>b，则a2>b2”的逆命题为：若a2>b2，则a>b.若a＝－2，b＝0，满足a2>b2，但a>b不成立，故②为假命题．③“若x≤－3，则x2－x－6>0”的否命题为：若x>－3，则x2－x －6≤0.当x＝4时，x2－x－6≤0不成立，故③为假命题．④“若a b是无理数，则a，b是无理数”的逆命题为：若a，b是无理数，则a b是无理数．该命题是假命题，取a＝(2)2，b＝2，则a b＝[(2)2]2＝(2)2·2＝(2)2＝2为有理数，所以该命题是假命题．故真命题的个数为1个．二、填空题6．命题“已知不共线向量e1，e2，若λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0”的等价命题为_______________________________________，是________(填“真”或“假”)命题．答案已知不共线向量e1，e2，若λ，μ不全为0，则λe1＋μe2≠0真解析原命题的等价命题为其逆否命题．7．关于原命题“在△ABC中，若cos A＝2sin B sin C，则△ABC是钝角三角形”的叙述：①原命题是假命题；②逆命题为假命题；③否命题是假命题；④逆否命题为真命题．其中正确叙述的序号为________．答案②③④解析在△ABC中，若cos A＝2sin B sin C，则－cos(B＋C)＝2sin B sin C，得cos B cos C＋sin B sin C＝0，得cos(B－C)＝0，故B－C＝90°或B－C＝－90°，即B＝C＋90°或C＝B＋90°，故△ABC是钝角三角形，原命题与逆否命题为真命题．逆命题和否命题互为逆否命题，是假命题，如在钝角△ABC中，A＝15°，B＝15°，C＝150°，cos A＝cos15°6－24≠cos A .8．若命题“对于任意实数a ∈R ，不等式(a －1)x 2＋(a －1)x ＋4>0恒成立”的逆否命题为真命题，则实数a 的取值范围是________．答案 [1,17)解析 由题意可知原命题为真命题．当a ＝1时，不等式化为4>0，显然恒成立；当a －1≠0时，由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧a －1>0，Δ＝(a －1)2－16(a －1)<0， 得1<a <17.综上得a 的取值范围是1≤a <17.三、解答题9．写出命题“若直线l 的斜率为－1，则直线l 在两坐标轴上的截距相等”的逆命题、否命题与逆否命题，并判断这三个命题的真假．解 逆命题：若直线l 在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的斜率为－1.显然该命题是假命题．否命题：若直线l 的斜率不为－1，则直线l 在两坐标轴上的截距不相等．显然该命题是假命题．逆否命题：若直线l 在两坐标轴上的截距不相等，则直线l 的斜率不为－1.显然原命题为真命题，故其逆否命题也是真命题．10．证明：若a 2－4b 2－2a ＋1≠0，则a ≠2b ＋1.证明 “若a 2－4b 2－2a ＋1≠0，则a ≠2b ＋1”的逆否命题为“若a ＝2b ＋1，则a 2－4b 2－2a ＋1＝0”．∵a ＝2b ＋1，∴a 2－4b 2－2a ＋1＝(2b ＋1)2－4b 2－2(2b ＋1)＋1＝4b 2＋1＋4b －4b 2－4b －2＋1＝0.∴命题“若a ＝2b ＋1，则a 2－4b 2－2a ＋1＝0”为真命题．由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，原命题正确．。

1.4 命题的形式及等价关系1.命题与推出关系在初中，我们已经知道，可以判断真假的语句叫做命题，命题常用陈述句表述.正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题.【例题】判断下列语句哪些不是命题，哪些是命题？如果是命题，那么它们是真命题还是假命题？为什么？（1）个位数是5的自然数都能被5整除；（2）凡直角三角形都相似；（3）上课请不要讲话；（4）互为补角的两个角不相等；（5）如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等；（6）你是高一学生吗？在数学中常见的命题由条件与结论两部分组成.要确定一个命题是假命题，只要举出一个满足命题条件，而不满足命题结论的例子就可以了，这在数学中称为举反例.如果命题α成立可以退出命题β也成立，那么就说由α可以退出β，并用记号α⟹β表示，读作“α推出β”.换言之，α⟹β表示以α为条件、β为结论的命题是真命题.如果α成立不能推出β成立，可记作α⇏β.换言之，α⇏β表示以α为条件，β为结论的命题是一个假命题.如果α⟹β，并且β⟹α，那么记作α⟺β，叫做α与β等价.推出关系具有传递性【例题】用符号⇒、⇐、⟺表示下列事件的推出关系；（1）α：△ABC是等边三角形，β：△ABC是轴对称图形，αβ；（2）α：一次函数y=kx+b的图像经过第一、二、三象限，β：一次函数y=kx+b中，k>0，b>0,αβ；（3）α：实数x适合x2=1，β：x=1，αβ.2. 四种命题形式逆命题：“如果α，那么β”把结论与条件互换，就得到一个新命题“如果β，那么α”，我们把这个命题叫做原命题的逆命题.例如：平行四边形的对角线互相平分→对角线互相平分的四边形是平行四边形否命题：把原命题的条件和结论都换成它们的否定形式，那么另一个命题就叫做原命题的否命题.例如：平行四边形的对角线互相平分→如果四边形不是平行四边形，那么它的对角线不互相平分【例题】请写出下列命题的逆命题和否命题，并判断其真假.命题A：如果两个三角形全等，那么它们的面积相等；命题B：如果一个三角形两边相等，那么这两边所对的角也相等.逆否命题：如果把原命题“如果α，那么β”结论的否定作条件，把条件的否定作结论，那么就可得到原命题的逆否命题.例如：平行四边形的对角线互相平分→如果一个四边形的对角线不互相平分，那么这个四边形不是平行四边形.3.等价命题逆命题与否命题互为逆否命题互为逆否命题的两个命题是同真同假的【例题】原命题、逆命题、否命题、逆否命题，这四种命题中真命题的个数可能是【例题】证明：若a2−4b2−2a+1≠0，则a≠2b+1..【例题】已知a，b，c∈R，证明：若a+b+c<1，则a，b，c中至少有一个小于13当我们证明某个命题有困难时，就可尝试用证明它的逆否命题来代替证明原命题.1.5 充分条件，必要条件“三角形有两个内角相等”“三角形是等腰三角形”“某个整数能够被4整除”“某个整数是偶数”一般地，用α、β分别表示两个命题，如果命题α成立，可以推出命题β也成立，即α⟹β，那么α叫做β的充分条件，β叫做α的必要条件.对于α、β两件事而言，α与β之间不一定有充分条件或者必要条件的关系，例如a+b>0与ab>0，是非充分非必要条件【例题】已知四边形ABCD是凸四边形，那么“AC=BD”是“四边形ABCD是矩形”的什么条件？为什么？如果α⟹β，那么α是β的充分条件；如果β⟹α，那么α是β的必要条件.如果既有α⟹β，又有β⟹α，即α⟺β，那么α既是β的充分条件，又是β的必要条件.这时我们就说α是β的充分必要条件，简称充要条件.“三角形两个内角相等”“三角形是等腰三角形”思考：x,y不都为0x,y都不为0的充分条件1.6 子集与推出关系设A、B是非空集合，A={a|a具有性质α}，B={b|b具有性质β}，则A⊆B与α⟹β等价。

命题的形式及等价关系【学习目标】1．知道命题、真命题、假命题，理解命题的推出关系、等价关系，推出关系的传递性；2．在探究命题推出关系的过程中，体会举反例判断假命题的要领，初步会用推出关系的传递性证明一个命题是真命题的方法；3．能写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题，会分析四种命题的相互关系【学习重难点】重点：理解命题的推出关系。

难点：会判断四种命题的真假【学习过程】 一、知识梳理1．命题的定义用语言、符号或式子表达的，可以 叫做命题.注意：（1）命题定义的要点：一、能判断真假 二、陈述句（2）科学测想也是命题，因为随着科学技术的发展与时间的推移，总能确定它的真假.例如“在2012年前，将有人类登上火星”等2．命题的推出关系：一般地说，如果命题α成立可以推出命题β成立，那么就说由α可以推出β，并用记号“βα⇒”，读作“α推出β”。

也就是说，βα⇒表示以α为______、β为______的命题是______命题。

如果α成立不能推出β成立，记为“βα⇒/”，读作“α推不出β”。

换言之，βα⇒/表示以α为条件、β为结论的命题是______命题。

3．命题的真假判断为真的语句叫做 ，判断为假的语句叫做 .注意：（1）一个命题要么是真命题，要么是假命题。

（2）要判断一个命题是真命题，需进行论证，而要判断一个命题是假命题，只需 即可4．命题的结构命题的一般形式为“若p则q”,也可写成“如果p那么q”，“只要p就有q”等形式。

P 叫做，q叫。

注意（1）命题的一般形式为“若p则q”,但也有命题不是这种标准形式，我们可以通过分析命题的条件和结论，将命题改写为“若p则q”的形式。

（2）改写命题前后的真假性不发生变化。

（3）在将有大前提的命题改写为“若p则q”的形式时，大前提应保持不变，改后仍作为大前提，不要写在条件p中。

5．四种命题及其关系（1）四种命题一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用p和q分别表示p和q的否定，于是四种命题的形式就是原命题：若p则q(p⇒q)；逆命题：；否命题：；逆否命题：。