六年级数学辅导讲义7——比和比例

比和比例比的概念是借助于除法的概念建立的。

两个数相除叫做两个数的比。

例如，5÷6可记作5∶6。

比的前项除以比的后项的商，叫做这个比的比值。

如，5÷6=56就是5：6的比值。

表示两个比相等的式子叫做比例（式）。

如，3∶7=9∶21。

判断两个比是否成比例，就要看它们的比值是否相等。

两个比的比值相等，这两个比能组成比例，否则不能组成比例。

在任意一个比例中，两个外项的积等于两个内项的积。

即：如果a∶b=c∶d，那么a×d=b×c。

两个数的比叫做单比，两个以上的数的比叫做连比。

例如a∶b∶c。

连比中的“∶”不能用“÷”代替，不能把连比看成连除。

把两个比化为连比，关键是使第一个比的后项等于第二个比的前项，方法是把这两项化成它们的最小公倍数。

例如，甲∶乙=5∶6，乙∶丙=4∶3，因为[6，4]=12，所以 5∶ 6=10∶ 12， 4∶3=12∶9，得到甲∶乙∶丙=10∶12∶9。

例1已知3∶(x-1)=7∶9，求x。

解： 7×(x-1)=3×9，x-1=3×9÷7，X=3×9÷7＋1=647。

例2六年级一班的男、女生比例为3∶2，又来了4名女生后，全班共有44人。

求现在的男、女生人数之比。

分析与解：原来共有学生44-4=40（人），由男、女生人数之比为3∶2知，如果将人数分为5份，那么男生占3份，女生占2份。

由此求出男生人数=40×35=24(人) 女生人数=40×25=16(人)女生增加4人变为16+4=20（人），男生人数不变，现在男、女生人数之比为 24∶20=6∶5。

在例2中，我们用到了按比例分配的方法。

将一个总量按照一定的比分成若干个分量叫做按比例分配。

按比例分配的方法是将按已知比分配变为按份数分配，把比的各项相加得到总份数，各项与总份数之比就是各个分量在总量中所占的分率，由此可求得各个分量。

六年级数学辅导讲义7——比和比例一、填空比和比例的基本性质1、比的前项是43,比的后项是34,它们的比值是 2、15cm ∶1.3m 的比值是 。

1小时∶15分钟的比值是 。

50g ∶0.5kg 的比值是 。

= 。

＝ . 4、化简∶100克∶4千克＝ ，30分钟∶1小时30分钟= 。

5、把212∶0.25化成后项为100的比 。

6、把连比化为最简整数比：，7、把10克糖溶入90克的水中,则糖和糖水的重量的比是 。

8、53乘以911的积与513除以4的商的比的比值是 。

9、化简比：120分∶1.2小时∶1小时20分钟= 。

10、一项工程甲队单独做3天完成,乙队单独做5天完成,丙队单独做6天完成,那么 甲、乙、丙三队的工作效率比是________________________11、一段绳子原长14米，一次用去了8.2米，余下的绳长与原来绳长的最简整数比是（ ）（A ）5∶1 （B ）1∶5 （C ）4∶5 （D ）5∶412、将一个比的前项扩大2倍，比的后项扩大3倍，这个比的比值与原来比值相比是（ ）（A ）扩大了 （B ）缩小了 （C ）不变 （D ）无法确定13、求下列各比的比值（1）21:14 （2）60:100 （3）32:21（4）322:211 （5）5.2:25.2 （6）4.1:611（7） 28分钟∶1.2小时 （8）375毫升∶1.25升 （9）0.25吨∶40千克14、利用已知条件，求a ∶b ∶c（1）a ∶b =2∶3，b ∶c =6∶5； （2）a ∶b =2∶3，b ∶c =4∶3（3）a ∶b =21∶31，a ∶c =21∶41 （4）a ∶b =1.5∶1， b ∶c=32∶65（5）c b a 654==15、甲、乙两人加工300个同样的零件甲10分钟内完成6个，乙在5分钟内完成6个。

求 ： (1)甲、乙两人完成300个零件的速度比(2)甲、乙两人完成300个零件的时间比16、如图，小圆的52是阴影部分，大圆的83是阴影部分，求大圆面积与小圆面积的比。

六年级数学《比和比例》知识点一、比的意义和性质1、比的意义两个数相除又叫做两个数的比。

2、比的性质比的前项和后项同时乘上或者除以相同的数（0除外），比值不变。

3、比的应用通过比可以应用一些问题。

二、比例的意义和性质1、比例的意义表示两个比相等的式子叫做比例。

2、比例的性质在一个比例中，组成比例的两个数，叫做比例的项。

在一比例里，两外项的积等于两内项的积。

这叫做比例的基本性质。

3、解比例根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个比例中的另外一个未知项。

这个求未知项的过程，叫做解比例。

三、正比例和反比例1、成正比例的量如果两种量是相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量。

2、成反比例的量如果两种量是相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量。

3、正比例和反比例的判断方法判断两种量是否成正比例或反比例的方法：一是看这两种相关联的量中相对应的两个数的比值是否一定；二是看这两种量中相对应的两个数的积是否一定。

比的意义：两个量的关系可以用比来表示，我们通常称之为“比”。

定义：在两个量的比中，我们把数量放在前面，单位“1”放在后面，我们称之为前项，后项。

比与除法、分数的关系：比的前项相当于被除数或分子，后项相当于除数或分母，比值相当于商或分数值。

比的性质：比的前项和后项同时乘上或者除以相同的数(0除外)，比值不变。

比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例。

组成比例的四个数叫做比例的项。

两外两项叫做内项，中间两项叫做外项。

如果中间的两项是两个相同的数，这样的比例叫做对称比例。

比例尺的意义：我们把图上距离和实际距离的比叫做比例尺。

我们把比例尺分为放大比例尺和缩小比例尺两种。

缩小比例尺的计算方法：已知实际距离求图上距离，根据公式计算即可；已知图上距离求实际距离根据公式计算即可。

小学数学比和比例某码头第一货场有750吨货物，分给两个运输队运到另一个货场。

甲队有载重6吨的汽车6辆，乙队有载重8吨的汽车3辆，按两个队的运输能力分配，甲、乙两队各应运货多少吨?方法一：分数方法（6×6）∶（8×3）＝3∶2 3＋2＝5甲队：750×＝450（吨）乙队：750×＝300（吨）方法二：归一法（6×6）∶（8×3）＝3∶2甲队：750÷（3＋2）×3＝450（吨）乙队：750÷（3＋2）×2＝300（吨）方法三：用比例解解：设甲队应运货吨。

∶（750－）＝（6×6）∶（8×3）＝450750－450＝300（吨）答：甲队应运货450吨，乙队应运货300吨。

知识梳理1. 比和比例的联系与区别比比例意义表示两个数相除表示两个比相等的式子各部分名称基本性质比的前项和后项同时乘上或者除以相同的数（0除外），比值不变在比例里，两个外项的积等于两个内项的积化简比的依据解比例的依据比表示两个数之间的倍比关系，分数是一个数，除法是一种运算。

比的基本性质、分数的基本性质和商不变的规律都蕴含着相同的道理。

例如：3. 求比值和化简比求比值的方法：用比的前项除以后项，它的结果是一个数值，既可以是整数，也可以是小数或分数。

化简比：根据比的基本性质可以把比化成最简单的整数比。

它的结果必须是一个最简比，即前、后项是互质的数。

4. 用比例知识解决问题（1）按比例分配在农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配，这种分配的方法通常叫做按比例分配。

方法：首先求出各部分占总量的几分之几，然后求出总数的几分之几是多少。

（2）用正比例、反比例知识解答应用题步骤①分析数量关系，判断成什么比例；②找等量关系，若成正比例，按“等比”找等量关系，若成反比例，则按“等积”找数量关系；③列比例式；④解比例；⑤检验，并写出答语。

次火车自北京西站开往安庆西站，行驶至全程的511再向前56千米处所用时间比提速前减少了60分钟，而到达安庆西站比提速前早了2小时．问北京西站、安庆西站两地相距多少千米两地相距多少千米? ?【分析与解】设北京西站、安庆西站相距多少千米？设北京西站、安庆西站相距多少千米？(511x+56)x+56)：：x=60x=60：：120120，即，即，即((511x+56)x+56)：：x=1x=1：：2，即x=1011x+112x+112，解得，解得x=1232x=1232．． 即北京西站、安庆西站两地相距即北京西站、安庆西站两地相距1232千米，千米，3．两座房屋A 和B 各被分成两个单元．若干只猫和狗住在其中．已知：各被分成两个单元．若干只猫和狗住在其中．已知：A A 房第一单元内猫的比率房第一单元内猫的比率((即住在该单元内猫的数目与住在该单元内猫狗总数之比在该单元内猫的数目与住在该单元内猫狗总数之比))大于B 房第一单元内猫的比率；并且A 房第二单元内猫的比率也大于B 房第二单元内猫的比率．试问是否整座房屋A 内猫的比率必定大于整座房屋B 内猫的比率的比率? ?【分析与解】 如下表给出的反例指出：如下表给出的反例指出：如下表给出的反例指出：对所提出问题的回答应该是否定的．对所提出问题的回答应该是否定的．对所提出问题的回答应该是否定的．表中具体写出了各个表中具体写出了各个单元及整座房屋中的宠物情况和猫占宠物总数的比率．单元及整座房屋中的宠物情况和猫占宠物总数的比率． 小升初数学知识点解析：比和比例两个数相除又叫做两个数的比．两个数相除又叫做两个数的比．一、比和比例的性质性质1：若a: b=c a: b=c：：d ，则，则(a + c)(a + c)(a + c)：：(b + d)= a (b + d)= a：：b=c b=c：：d ；性质2：若a: b=c a: b=c：：d ，则，则(a - c)(a - c)(a - c)：：(b - d)= a (b - d)= a：：b=c b=c：：d ；性质3：若a: b=c a: b=c：：d ，则，则(a +x c)(a +x c)(a +x c)：：(b +x d)=a (b +x d)=a：：b=c b=c：：d ；(x 为常数)性质4：若a: b=c a: b=c：：d ，则a ×d ×d = = = b×b×b×c c ；(即外项积等于内项积即外项积等于内项积) )正比例：如果a ÷b=k(k 为常数为常数))，则称a 、b 成正比；成正比；反比例：如果a ×b=k(k 为常数为常数))，则称a 、b 成反比．成反比．二、比和比例在行程问题中的体现在行程问题中，因为有在行程问题中，因为有速度速度=路程时间，所以：，所以： 当一组物体行走速度相等，那么行走的路程比等于对应时间的反比；当一组物体行走速度相等，那么行走的路程比等于对应时间的反比；当一组物体行走路程相等，那么行走的速度比等于对应时间的反比；当一组物体行走路程相等，那么行走的速度比等于对应时间的反比；当一组物体行走时间相等，那么行走的速度比等于对应路程的正比．当一组物体行走时间相等，那么行走的速度比等于对应路程的正比．1．A 和B 两个数的比是8：5，每一数都减少34后，后，A A 是B 的2倍，试求这两个数．倍，试求这两个数．【分析与解】方法一：设A 为8x 8x，则，则B 为5x 5x，于是有，于是有，于是有(8x-34):(5x-34)=2(8x-34):(5x-34)=2(8x-34):(5x-34)=2：：1，x=17x=17，所以，所以A 为136136，，B 为8585．． 方法二：因为减少的数相同，所以前后A A 、、B 的差不变，开始时差占3份，后来差占1份且与B 一样多，也就是说减少的3434，占开始的，占开始的3-1=2份，所以开始的1份为34÷2=17，所以A 为17×8=136，B 为17×5=85．17×5=85．2．近年来．近年来火车火车大提速，大提速，142714274．家禽场里鸡、鸭、鹅三种家禽中公篱与母篱数量之比是2：3，已知鸡、鸭、鹅数量之比是8：7：5，公鸡、母鸡数量之比是1：3，公鸭、母鸭数量之比是3：4．试求公鹅、母鹅的数量比．．试求公鹅、母鹅的数量比．【分析与解】 公鸡占家禽场家禽总数的公鸡占家禽场家禽总数的公鸡占家禽场家禽总数的 =21124615:(3544)45:46:(3544)46:47.333345´´+´´=´´+´´=8118751310´=+++，母鸡占总数的310； 公鸭占总数的8338753420´=+++，母鸭占总数的420； 公鹅占总数的213332102020-+=+（），母鹅占总数的234232102020-+=+（），公鹅、母鹅数量之比【分析与解】70cm 的杆子产生影子的长度为175cm;所以影子的长度与杆子的长度比为：所以影子的长度与杆子的长度比为：175175175：：70=2.5倍．为322020：：3：2．5．在古巴比伦的在古巴比伦的金字塔金字塔旁，旁，其朝西下降的阶梯旁其朝西下降的阶梯旁6m 的地方树立有1根走子，其影子的其影子的前端前端正好到达阶梯的第3阶(箭头箭头))．另外，此时树立l 根长70cm 自杆子，其影子的长度为175cm 175cm，设阶梯各阶的高度，设阶梯各阶的高度与深度都是50cm 50cm，求柱子的高度为多少？，求柱子的高度为多少？ 于是，影子的长度为6+1.5+1.6+1.5+1.5×25×25×2.5=11.25.5=11.25.5=11.25，所以杆子的长度为，所以杆子的长度为11.11.25÷225÷225÷2.5=4.5m .5=4.5m .5=4.5m．．6．已知三种．已知三种混合物混合物由三种成分A 、B 、C 组成，第一种仅含成分A 和B ，重量比为3：5；第二种只含成分B 和C ，重量比为I ：2；第三种只含成分A 和C ，重量之比为2：3．以什么．以什么比例比例取这些混合物，才能使所得的混合物中A ，B 和C ，这三种成分的重量比为3：5：2 ?【分析与解】注意到第一种混合物种A 、B 重量比与最终混合物的A 、B 重量比相同，均为3：5.5.所以，所以，k=65． 标准的时钟每隔56511分钟重合一次．分钟重合一次． 假设经历了假设经历了x 分钟．分钟． 于是，甲钟每隔于是，甲钟每隔52460651124605´´´-分钟重合一次，甲钟重合了246052460´-´×x 次；次； 同理，乙钟重合了同理，乙钟重合了246052460´+´×x 次；次； 于是，需要乙钟比甲钟多重合于是，需要乙钟比甲钟多重合于是，需要乙钟比甲钟多重合 246052460´+´×x-246052460´-´×x=102460´×x=10; 所以，所以，x=24x=24x=24×60；×60；×60； 所以要经历24×60×65511分钟，则为5246065 51165246011´´=´天.于是为65天510(24)10()1111´=天．后来，由一队工人23与二队工人13组成新一队，其余的工人组成新二队．其余的工人组成新二队．两支新队又同时分别接受两项工作量与条件完全相同的工程，两支新队又同时分别接受两项工作量与条件完全相同的工程，两支新队又同时分别接受两项工作量与条件完全相同的工程，结果新二队结果新二队先将第二种、第三种先将第二种、第三种混合物混合物的A 、B 重量比调整到重量比调整到 3 3 3：：5，再将第二种、第三种混合物中A 、B 与第一种混合物中A 、B 视为单一物质视为单一物质. .第二种混合物不含第二种混合物不含A ，第三种混合物不含B ，所以1.5倍第三种混合物含A 为3，5倍第二种混合物含B 为5，即第二种、第三种混合物的重量比为5：1.51.5．．于是此时含有于是此时含有C 为5×2+15×2+1..5×3=145×3=14.5.5.5，在最终混合物中，在最终混合物中C 的含量为3A 3A／／5B 含量的2倍．有14.14.5÷25÷25÷2-1=6.25-1=6.25-1=6.25，所以含有第一种混合物，所以含有第一种混合物6.256.25．．即第一、二、三这三种混合物的即第一、二、三这三种混合物的比例比例为6.256.25：：5：1.5=251.5=25：：2020：：6．7．现有男、女职工共1100人，其中全体男工和全体女工可用同样人，其中全体男工和全体女工可用同样天数天数完成同样的工作；若将男工人数和女工人数对调一下，则全体男25天完成的工作，全体女工需36天才能完成，问：男、女工各多少人女工各多少人? ?【分析与解】 直接设出男、女工人数，然后在通过直接设出男、女工人数，然后在通过直接设出男、女工人数，然后在通过方程方程求解，过程会比较繁琐．求解，过程会比较繁琐．设开始男工为“1”，此时女工为“设开始男工为“1”，此时女工为“k k ”，有1名男工相当k 名女工．男工、女工人数对调以后，则男工为“男工为“k k ”，相当于女工“，相当于女工“k k 2”，女工为“I”．，女工为“I”．有k 2：1=361=36：：2525，所以，所以于是，开始有男工数为11k+×1100=500人，女工600人．人．8．有甲乙两个钟，甲每天比．有甲乙两个钟，甲每天比标准时间标准时间慢5分钟，而乙每天比标准时间快5分钟，在3月15日的日的零点零点零分的时候两钟正好对准．若已知在某一时刻，乙钟和甲钟时针与分针都分别重合，且在从3月15日开始到这个时候，乙钟时针与分针重合的次数比甲钟多10次，那么这个时候的标准时间是多少次，那么这个时候的标准时间是多少? ?【分析与解】 小时106(60)541111´=分钟．分钟．9．一队和二队两个．一队和二队两个施工施工队的人数之比为3：4，每人工作效率之比为5：4，两队同时分别接受两项工作量与条件完全相同的工程，结果二队比一队早完工96÷147=282´´´´282×4645天．天．144：(282×：(282×4645)=(144×45)：(282×46))=(144×45)：(282×46)=540。

六年级比和比例知识点在六年级的数学学习中，比和比例是一个重要的知识点。

它们可以帮助我们更好地理解和比较数值之间的关系，进而解决实际生活和数学问题。

本文将详细介绍六年级比和比例的相关知识点。

一、比的概念和表示方法比是用来比较两个或多个数值之间的关系的一种数学工具。

当两个数值之间的比例关系可以用分数表示时，我们就可以用比来描述它们之间的关系。

比的表示方法通常为“：”（冒号）或者“/”（斜杠），例如：1：2、3/5。

二、比的基本性质1. 相等比：当两个比的值相等时，它们之间的数值大小关系也是相等的。

例如，1：2和5：10表示的比是相等的。

2. 乘法公式：当一个比的两个数值分别乘以同一个数时，它们之间的关系仍保持不变。

例如，2：5乘以2得到4：10。

3. 除法公式：当一个比的两个数值分别除以同一个非零数时，它们之间的关系仍保持不变。

例如，4：10除以2得到2：5。

三、比的应用1. 比的比较：通过比的大小关系，我们可以判断数值的大小。

例如，比较1：2和3：4，我们可以发现3：4大于1：2，即3：4表示的数值更大。

2. 比的化简：当一个比的两个数值可以约分为最简形式时，我们可以将其化简。

例如，10：30可以化简为1：3。

3. 比的扩大和缩小：通过乘法公式，我们可以将一个比的两个数值同时乘以同一个数，将其扩大或缩小。

例如，2：3可以扩大为4：6，缩小为1：1.5。

四、比例的概念和表示方法比例是用来表示两个或更多相关数值之间的相对关系的一种数学工具。

比例通常以“：”或者“/”表示，例如：1：2或者1/2。

比例中的两个数值分别称为“比例项”。

五、比例的性质和应用1. 比例的基本性质：在一个比例中，四个比例项中的任意三个比例项之间，都可以用第四个比例项来表示它们之间的关系。

例如，在1：2=3：6中，我们可以使用等号将1：2和3：6互相替换。

2. 比例的比较：通过比例的大小关系，我们可以判断相关数值的大小关系。

例如，1：2和3：4，我们可以发现3：4大于1：2。

六年级比和比例知识点讲解比和比例是数学中重要的概念之一，对于六年级的学生来说，理解和掌握比和比例的概念非常重要。

本文将详细介绍比和比例的定义、性质以及应用，帮助学生更好地理解和运用比和比例知识。

一、比的概念及性质比是指两个量之间的大小关系，可以用分数或比例的形式表示。

比的一般形式为a:b，读作“a比b”。

其中，a称为比的前项，b称为比的后项。

比的两个项必须是同类的量，即具有相同的单位。

比的性质如下：1. 相等性：如果两个比的前项与后项互相相等，那么这两个比相等。

例如，4:6和2:3是相等的比。

2. 反比：两个比的前项与后项互为倒数时，这两个比称为反比。

例如，3:4和4:3是反比。

3. 异比：两个比的前项与后项既不相等，也不互为倒数时，这两个比称为异比。

例如，5:6和3:4是异比。

二、比例的概念及性质1. 比例的概念：当两个或多个比相等时，它们之间称为比例。

比例通常用冒号(:)或“=”符号表示。

2. 比例的性质：比例有以下几个重要的性质：a. 交换性：比例中的前、后项可以互换位置而保持比例不变。

例如，如果a:b=c:d，那么b:a=d:c。

b. 归结性：如果在一个比例中，两个比都是由同一个数相除而得到的，那么这两个比互为倒数。

例如，如果a:b=4:6，那么b:a=6:4=3:2。

c. 增量乘性：比例中的前、后项同时乘以同一个数，得到的新比例与原比例相等。

例如，如果a:b=4:6，那么2a:2b=8:12。

d. 变量比例：比例中的前项与后项都含有一个变量时，可以通过代入不同的值来求解这个变量的取值。

例如，如果a:b=3:5，且a=12，那么可以利用已知比例求解b的值。

三、比和比例的应用比和比例在日常生活和实际问题中有广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：1. 真实比例：在地图上，使用比例尺可以将真实世界的地理距离映射到纸面上，帮助我们进行测量和导航。

2. 长度比例：在实际测量中，我们可以使用比例来计算物体的长度、宽度等尺寸。