2-4已知单调性求参数取值范围(可编辑修改word版)

技法点拨已知函数单调性求参数取值范围■欧阳丽丽摘要：利用导数根据函数单调性（区间）求参数的取值范围，是高考考查函数单调性的一个重要考点，下面将这类问题举例分析。

关键词：导数；单调性；参数取值范围一、转化为不等式的恒成立问题求参数取值范围若函数f (x )在(a ,b )上单调递增，则f′(x )≥0；若函数f (x )在(a ,b )上单调递减，则f′(x )≤0，将问题转化为函数最值问题求解。

一般地，分离变量后，若得到a ≥h (x )，则只需a ≥h (x )max ；若得到a ≤h (x )，则只需a ≤h (x )min 。

注意：f (x )在(a ,b )上为增函数（减函数）的充要条件是对任意的x ∈(a ,b )都有f ′(x )≥0(f′(x )≤0)且在(a ,b )内的任一非空子区间上f′(x )≠0。

例1，已知函数f (x )=ln x -12ax 2-2x (a ≠0)在[1,]4上单调递减，求a 的取值范围。

解：因为f (x )在[1,]4上单调递减，所以当x ∈[1,]4时，f′(x )=1x -ax -2≤0恒成立，即a ≥1x 2-2x 恒成立。

设h (x )=1x2-2x ,x ∈[1,]4所以只要a ≥h (x )max 。

而h′(x )=2(x +1)(x +1)x 4。

当x ∈[1,]4，h′(x )>0，所以h (x )在[1,]4上单调递增。

所以当h (x )max =h (4)=-716，所以a ≥-716，即a 的取值范围是éëêöø÷-716,+∞。

评析：由f (x )在[1,]4上单调递增，得到f′(x )≤0，进而分离参数a ，构造新的函数h (x )，本题转化为求h (x )max 。

例2，已知函数f (x )=ax +1x +2在(-2,+)∞内单调递减，求实数a 的取值范围。

利用函数的单调性求参数的取值范围函数的单调性是指在一定范围内，函数的增减性质的统一性。

对于有单调性的函数，可以通过研究函数的导数来判断参数的取值范围。

首先，我们来回顾一下导数的定义和性质。

对于函数f(x)，其导数可以表示为f'(x)，导数表示函数在其中一点的变化率。

导数的正负号可以告诉我们函数的单调性。

1.若在[a,b]上f'(x)≥0，则函数在[a,b]上为单调递增函数。

2.若在[a,b]上f'(x)≤0，则函数在[a,b]上为单调递减函数。

3.若在[a,b]上f'(x)>0，则函数在[a,b]上为严格递增函数。

4.若在[a,b]上f'(x)<0，则函数在[a,b]上为严格递减函数。

步骤1：确定函数的定义域，即参数的取值范围。

步骤2：求出函数的导函数。

步骤3：利用导函数的性质来判断函数的单调性。

步骤4：结合定义域和单调性判断，确定参数的取值范围。

步骤5：验证参数的取值范围是否符合要求。

下面我们通过具体例子来说明求解参数取值范围的方法。

例子：求函数f(x) = ax^2 + bx + c 在定义域上的参数a、b、c的取值范围。

步骤1：确定函数的定义域。

对于二次函数，其定义域是整个实数集R。

步骤2：求出函数的导函数。

对f(x)求导得到f'(x) = 2ax + b。

步骤3：利用f'(x)的性质来判断函数的单调性。

-若2a>0，则函数在整个定义域上递增。

-若2a<0，则函数在整个定义域上递减。

步骤4：结合定义域和单调性判断，确定参数的取值范围。

-若2a>0，则函数在整个定义域上递增，所以a>0。

-若2a<0，则函数在整个定义域上递减，所以a<0。

然后，我们可以根据b和c的取值范围来进一步限定a的取值范围。

当a>0时：根据二次函数的几何性质，对于抛物线开口朝上的情况，函数的最小值出现在顶点处，顶点的x坐标为 -b/2a，对应的y坐标为 c - b^2/4a。

【知识点4】已知单调性求参数取值范围1•思路提示：⑴对于函数在某个区间上单调递增或单调递减的问题，转化为导函数在此区间上恒为非负或非正的问题，进而转化为导数在该区间上的最值问题•⑵对于可导函数在某个区间不单调的问题，转化为导函数在此区间无实根，可结合导函数的图像给出此问题的充要条件，从而求解⑶对于只有一个极值点的导函数研究其相关问题(如在给定区间上恒为正或负以及根的分布等)，往往可以类比二次函数在区间上的最值或根的分布求解例1：已知函数f(x) 3ax42(3a 1)x22(3a 1)x24x1(I )当a 时，求f (x)的极值；6(ll )若f (x)在1,1上是增函数，求a的取值范围3 2例2：已知函数f (x) x ax x 1(a R)(I )讨论函数f (x)的单调区间；3 1(ll)设函数f(x)在区间(—，-)内是减函数，求a的取值范围2 3例3：已知函数f (x) (2ax x2)e ax，其中a为常数，且a 0.(l )若a 1,求函数f (x)的极值点；(ll )若f (x)在区间C 2,2)内单调递增，求a的取值范围•3 2例4：已知函数f(x) ax bx (x R)的图像过点P( 1,2)，且在点P处的切线恰好与直线x 3y 0垂直•(I )求函数f (x)的解析式；(ll)若函数f (x)在区间m,m 1上单调递增，求实数m的取值范围•例5：已知函数f(x) x3(1 a)x2a(a 2)x b(a,b R).(I )若函数f (x)的图像过原点，且在原点处的切线斜率是3，求a,b的值; (II)若函数f (x)在区间(1,1)上不单调，求a的取值范围•e x例6：设f (x) ，其中a为正实数1 ax4(I)当a 时，求f (x)的极值点；3(n)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围xe例7：设f(x)—，其中a为正实数•2「3(I )当a —时，求f (x)的极值点；4(n )若f (x)为R上的单调函数，求a的取值范围1 3 12 例& 设f(x) x3 x22ax3 22(I)若f(x)在(-,)上存在单调递增区间，求3 a的取值范围.(II )当0 a 2时，f (x)在［1,4］的最小值为，求f(x)在该区间上的最大值.例9：已知a,b是实数，函数f (x) x3ax,g(x) x2bx, (x)和g (x)是f (x), g(x) 的导函数，若 f (x)g(x) 0在区间I上恒成立，则称 f (x)和g(x)在区间I上单调性一3(I)设a 0,若函数f (x)和g(x)在区间［1,)上单调性一致，求实数b 的取值范围; b ，若函数f (x)和g(x)在以a ，b 为端点的开区间上单调性一致,求a b 的最大值. 1例10 :已知函数f X -x 3 x 2 ax b 的图像在点P(0,f 0 )处的切线方程为 y 3x 2(i )求实数a,b 的值；(n )设g(x) f x — 是［21,］上的增函数。

3.3导数在研究函数中的应用3.3.1函数的单调性与导数学习目标核心素养1．理解函数的单调性与导数的关系．(重点) 2．能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间和其他函数的单调区间．(重点)3．能根据函数的单调性求参数．(难点)1．通过学习函数单调性与导数的关系，培养学生数学抽象与直观想象的素养．2．借助导数求函数的单调性，培养逻辑推理和数学运算的素养.(1)在区间(a，b)内函数的导数与单调性有如下关系：导数函数的单调性f′(x)>0单调递增f′(x)<0单调递减f′(x)＝0常函数(2)在区间(a，b)函数的单调性导数单调递增f′(x)≥0单调递减f′(x)≤0常函数f′(x)＝0思考：在区间(a，b)内，函数f(x)单调递增是f′(x)>0的什么条件？[提示]必要不充分条件．2．函数的变化快慢与导数的关系一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就“平缓”一些．1．函数y＝x3＋x的单调递增区间为()A．(0，＋∞) B．(－∞，1)C．(1，＋∞) D．(－∞，＋∞)D[y′＝3x2＋1>0，故选D．]2．函数f(x)＝2x－sin x在(－∞，＋∞)上()A．增函数B．减函数C．先增后减D．先减后增A[∵f(x)＝2x－sin x，∴f′(x)＝2－cos x>0，∴f(x)在R上是增函数．]3．若函数f(x)的导数f′(x)＝x(x－2)，则f(x)在区间________上单调递减．[0,2][∵f′(x)＝x(x－2)，由f′(x)≤0得，0≤x≤2，∴f(x)在[0,2]上单调递减．]导数与函数图象的关系y＝f(x)的图象可能是()(2)已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f′(x)的图象可能是图中的()(1)D(2)C[(1)由f′(x)>0(f′(x)<0)的分界点判断原函数在此分界点两侧的图象的上升和下降趋势．由已知可得x的取值范围和f′(x)的正、负，f(x)的增减变化情况如下表所示：x (－∞，0)(0,2)(2，＋∞)f′(x)＋－＋f(x)↗↘↗由表可知f(x)在(－∞，0)内递增，在(0,2)内递减，在(2，＋∞)内递增，满足条件的只有D，故选D．(2)由函数y＝f(x)的图象的增减变化趋势判断函数y＝f′(x)的正、负情况如下表：x (－1，b)(b，a)(a,1)f(x)↘↗↘f ′(x )－ ＋ －由表可知函数y ＝f ′(x )的图象，当x ∈(－1，b )时，函数图象在x 轴下方；当x ∈(b ，a )时，函数图象在x 轴上方；当x ∈(a,1)时，函数图象在x 轴下方．故选C ．]对于原函数图象，要看其在哪个区间内单调递增，则在此区间内导数值大于零.在哪个区间内单调递减，则在此区间内导数值小于零.根据导数值的正负可判定导函数图象.[跟进训练]1．函数y ＝f (x )在定义域⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，3内可导，其图象如图所示，记y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，则不等式f ′(x )<0的解集为__________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1∪(2,3)[根据导数和图象单调性的关系知当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1∪(2,3)时f ′(x )<0.]利用导数求函数的单调区间(1)f (x )＝3x 2－ln x ；(2)f (x )＝－13ax 3＋x 2＋1(a ≤0)． [思路点拨]求定义域―→求导数―→ 解不等式f ′(x )<0或f ′(x )>0―→写单调区间 [解](1)函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝6x －1x ＝6x 2－1x ，令f ′(x )>0，则6x 2－1x >0.又x >0，则6x 2－1>0，解得x >66.所以函数的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫66，＋∞.令f ′(x )<0，则6x 2－1x <0，解得0<x <66， 所以函数的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，66.(2)因为f ′(x )＝－ax 2＋2x (a ≤0)，当a ＝0时，f ′(x )＝2x ，函数在(－∞，0)上是递减的，在(0，＋∞)上是递增的， 当a <0时，令f ′(x )>0，则－ax 2＋2x >0，解得x >0或x <2a ，所以函数的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2a ，(0，＋∞)．令f ′(x )<0，则－ax 2＋2x <0，解得2a <x <0， 所以函数的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ，0.综上，当a ＝0时，函数在(－∞，0)上是递减的，在(0，＋∞)上是递增的； 当a <0时，函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2a 和(0，＋∞)上是递增的，在⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ，0上是递减的．利用导数求函数f (x )的单调区间的一般步骤 (1)确定函数f (x )的定义域； (2)求导数f ′(x )；(3)在函数f (x )的定义域内解不等式f ′(x )>0和f ′(x )<0； (4)根据(3)的结果确定函数f (x )的单调区间.提醒：如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么这些单调区间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开.[跟进训练]2．求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝ln x x；(2)f(x)＝xx2＋4；(3)f(x)＝e x－x.[解](1)函数定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－ln xx2.令f′(x)>0，即1－ln x>0，解得0<x<e；令f′(x)<0，即1－ln x<0，解得x>e.所以函数的单调递增区间是(0，e)，递减区间是(e，＋∞)．(2)函数定义域为R，f′(x)＝(x)′·(x2＋4)－x·(x2＋4)′(x2＋4)2＝4－x2(x2＋4)2.令f′(x)>0，即4－x2>0，解得－2<x<2；令f′(x)<0，即4－x2<0，解得x<－2或x>2；所以函数的单调递增区间是(－2,2)，递减区间是(－∞，－2)和(2，＋∞)．(3)函数定义域为R，f′(x)＝e x－1.令f′(x)>0，即e x－1>0，解得x>0；令f′(x)<0，即e x－1<0，解得x<0；所以函数的单调递增区间是(0，＋∞)，递减区间是(－∞，0)．已知函数的单调性求参数的取值范围1．在区间(a，b)内，若f′(x)＞0，则f(x)在此区间上单调递增，反之也成立吗？提示：不一定成立．比如y＝x3在R上为增函数，但其在x＝0处的导数等于零．也就是说f′(x)＞0是y＝f(x)在某个区间上递增的充分条件．2．一般地，在区间(a ，b )内函数的单调性与导数有什么关系？ 提示：【例3】 (1)若f (x )在区间(1，＋∞)内为增函数，求a 的取值范围； (2)若f (x )的递减区间为(－1,1)，求a 的取值范围； (3)若f (x )在区间(－1,1)上不单调，求a 的取值范围．[解](1)因为f ′(x )＝3x 2－a ，且f (x )在区间(1，＋∞)上为增函数，所以f ′(x )≥0在(1，＋∞)上恒成立，即3x 2－a ≥0在(1，＋∞)上恒成立， 所以a ≤3x 2在(1，＋∞)上恒成立，即a ≤3. (2)f ′(x )＝3x 2－a .①当a ≤0时，f ′(x )≥0，无减区间，不满足条件． ②当a >0时，令3x 2－a ＝0，得x ＝±3a3； 当－3a 3<x <3a3时，f ′(x )<0.因此f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 3，3a 3上为减函数． 所以3a3＝1，即a ＝3， 综上a 的取值范围为{a |a ＝3}． (3)f ′(x )＝3x 2－a ，当a ≤0时，－a ≥0，f ′(x )≥0恒成立，满足在区间(－1,1)上是递增的，不符合题意，舍去；当a>0时，由f′(x)＝0，得x＝±3a3(a>0)．因为f(x)在区间(－1,1)上不单调，所以0<3a3<1，即0<a<3.综上a的取值范围为(0,3)．1．利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路(1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意．(2)先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f(x)是否满足题意．2．恒成立问题的重要思路(1)m≥f(x)恒成立⇒m≥f(x)max.(2)m≤f(x)恒成立⇒m≤f(x)min.[跟进训练]3．已知向量a＝(x2，x＋1)，b＝(1－x，t)，若函数f(x)＝a·b在区间(－1,1)上是增加的，求t的取值范围．[解]由题意得f(x)＝x2(1－x)＋t(x＋1)＝－x3＋x2＋tx＋t，∴f′(x)＝－3x2＋2x＋t.若f(x)在(－1,1)上是增加的，则在(－1,1)上f′(x)≥0恒成立．即t≥3x2－2x在区间(－1,1)上恒成立．考虑函数g (x )＝3x 2－2x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132－13，x ∈(－1,1)显然g (x )<g (－1)，故t ≥3x 2－2x 在区间(－1,1)上恒成立⇔t ≥g (－1)，即t ≥5.而当t ≥5时，f ′(x )在(－1,1)上满足f ′(x )>0，即f (x )在(－1,1)上是增加的．故t 的取值范围是[5，＋∞).1．导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度．2．在利用导数讨论函数的单调性时，首先要确定函数的定义域，在定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调性．3．如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么这些单调区间中间不能用“∪”连接，可用“，”隔开或用“和”连接．特别提醒：(1)在对函数划分单调区间时，除了注意使导数等于零的点，还要注意在定义域内不连续的点和不可导的点．(2)当不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0不易求解时，可通过列表的方法求函数f (x )的单调区间．(3)区间的端点可以属于单调区间，也可以不属于单调区间，对结论没有影响． 1．判断正误(1)“在区间I 上，f ′(x )<0”是“f (x )在I 上单调递减”的充分不必要条件． ( )(2)若函数f (x )在(a ，b )上单调递增，则f (x )在(a ，b )上各点处的切线的倾斜角都是锐角．( )(3)单调递增函数的导函数也是单调递增函数．( ) (4)如果函数f (x )在(a ，b )上变化得越快，其导数就越大． ( )[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)× 2．函数f (x )＝x ＋ln x 在(0,6)上是( ) A ．增函数 B ．减函数C ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，6上是增函数D ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，6上是减函数 A [∵f (x )＝x ＋ln x 的定义域为(0，＋∞)， 又f ′(x )＝1＋1x >0，∴f (x )在(0,6)上是增函数．]3．在R 上可导的函数f (x )的图象如图所示，则关于x 的不等式x ·f ′(x )<0的解集为( )A ．(－∞，－1)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(1，＋∞)C ．(－2，－1)∪(1,2)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) A [当x >0时，f ′(x )<0，此时0<x <1， 当x <0时，f ′(x )>0，此时x <－1，因此xf ′(x )<0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)．]4．若函数f (x )＝ax 3－x 2＋x －5在(－∞，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围．[解]因为f ′(x )＝3ax 2－2x ＋1， 由题意可知f (x )在R 上是增加的， 所以f ′(x )≥0对x ∈R 恒成立， 即3ax 2－2x ＋1≥0在R 上恒成立． 所以⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4－12a ≤0，解得a ≥13.当a ＝13时，f ′(x )＝x 2－2x ＋1＝0，有且只有f ′(1)＝0. 所以实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞.。

伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍方法集锦求参数的取值范围问题比较常见，常出现在函数、不等式、三角函数、解析几何、解三角形等试题中.解答这类问题的常用技巧有：分离参数和分类讨论.下面主要谈一谈如何运用这两种技巧来求参数的取值范围.一、分离参数分离参数是求参数的取值范围的常用技巧.运用该技巧解题，需先根据题意建立含有参数的关系式；然后对含有参数的关系式进行合理的变形，使参数位于等号或不等号的一侧；最后利用函数的性质、基本不等式、导数法等求得关系式另一侧式子的最值，即可求出参数的取值范围.例1.如果函数f ()x =x 3-b 2x 2+bx +c 在区间[-2,1]上为增函数，求实数b 的取值.解：因为函数f ()x =x 3-b 2x 2+bx +c 在[-2,1]上为增函数，所以对于∀x ∈[-2,1]，都有f ′()x =3x 2-bx +b ≥0,当x =1时，3x 2-bx +b ≥0，当x ∈[-2,1）时，要使3x 2-bx +b ≥0，就需使b ≥3x 2x -1，即b ≥(3x 2x -1)max ，又因为(3x 2x -1)max =0，所以b ≥0，即实数b 的取值范围为[0,+∞).当遇到含参不等式问题时，运用分离参数法求解比较有效，只需将不等式中的参数与变量分离，把含参不等式变成形如a ≥h ()x 或a ≤h ()x 的式子，即可将问题转化为函数最值问题来求解.二、分类讨论由于问题中含有参数，所以往往需要运用分类讨论思想对参数进行分类讨论，以逐步确定参数的取值范围.在运用分类讨论法求参数的取值范围时，要先根据题意确定分类讨论的对象和标准，如根据抛物线的开口方向对二次函数的二次项的系数进行讨论，根据函数的单调性对指数函数的底数进行分类讨论；然后逐层逐级进行讨论；最后综合所得的结果.例2.已知函数f ()x =ln ()x +1-x x +1，若当x ≥0时，f ()x ≤ax 2恒成立，求实数a 的取值范围.解：要使当x ≥0时，ln ()x +1-x x +1≤ax 2恒成立，需使当x ≥0时，ln ()x +1-x x +1-ax 2≤0恒成立，令g ()x =ln ()x +1-x x +1-ax 2，x ≥0，可得g ′()x =x [1-2a (x +1)2](x +1)2.（i ）当a ≤0时，1-2a (x +1)2>0，则g ′()x ≥0，则g ()x 在区间[0,+∞）上单调递增，所以当x >0时，g ()x >g ()0=0，与题意不相符.（ii ）当a ≥12时，2a ≥1，可得(x +1)2≥1，则1-2a (x +1)2≤0，所以g ′()x ≤0，则g ()x 在区间[0,+∞)上单调递减，所以g ()x ≤g ()0=0，满足题意.（iii ）当0<a <12时，1-2a (x +1)2>0，当x ∈(0，12a-1)时，g ′()x >0，所以g ()x 在区间(01)上单调递增，可得g ()x >g ()0=0，与题意不相符合.故实数a 的取值范围为[12,+∞）.因为分离参数后的式子较为复杂，所以本题需采用分类讨论法求解.由于参数a 对函数的单调性和最值影响较大，于是将a 分为a ≤0、a ≥12、0<a <12三种情况，并在每一种情况下讨论函数的单调性；然后根据导函数与函数单调性之间的关系，判断出函数的单调性，求得其最值，就能确定不等式恒成立时a 的取值范围.相比较而言，分类讨论法的适用范围较广，而分离参数法的适用范围较窄，但较为简单.所以在解题时，要首先尝试将参数分离，运用分离参数法求解，若行不通，再考虑运用分类讨论法.（作者单位：江苏省如东县马塘中学）43。

已知单调性求参数范围问题在高中选修内容中：某函数()x f y =在指定区间上可导，如果()0x f '，则函数()x f y =在区间单调递增，如果()0x f '，则函数()x f y =在区间单调递减，如果()0x f ='，则函数()x f y =在区间是常值函数。

对这个定理的理解和使用给学生造成一些麻烦。

下面我们先看几个例题：例1：（清华附中学月考试题）已知函数0)1(,ln 2)(=--=f x x b ax x f ． 若函数f (x )在其定义域内为单调函数。

求a 的取值范围 解：x xa ax x fb a b a f ln 2)(,0)1(--=∴=⇒=-=， xx a a x f 2)(2-+='∴． 要使函数f (x )在定义域),0(+∞内为单调函数，则由我们課本上的定理：在),0(+∞内)(x f '恒大于0或恒小于0， 当02)(0<-='=xx f a 时，在),0(+∞内恒成立； 当时，0>a 要使01)11()(2>-+-='a a a x a x f 在),0(+∞恒成立，则01>-a a ，解得，当时，0<a 要使01)11()(2<-+-='aa a x a x f 在),0(+∞恒成立，则 所以的取值范围为或但事实上当：a=1时，()1x 2x 1x f 2+-='=21x 1⎪⎭⎫ ⎝⎛-,显然，命题成立 综上可知：的取值范围为或例2：（05年全国高考Ⅱ（22））题 已知，函数x e ax x x f )2()(2-=． （Ⅰ）当x 为何值时，f(x)取得最小值？证明你的结论；（Ⅱ）设f(x)在[-1,1]上是单调函数，求a 的取值范围．我们只分析（Ⅱ）()[]2a x )a 1(2x e x f 2x --+='因此设()=x h 2a x )a 1(2x 2--+，由我们课本定理可知：只要使或在[-1,1]上恒成立，因为，所以只可能在[-1,1]上恒成立即单调减成立则必须使()01h -且()01h解得:43a 但事实上当：43a =时，()()()32x 1x 2123x 21x x h 2+-=-+=显然成立 综上可知:43a ≥ 从上面的两个例题看出:我们在处理已知单调性求参数问题时:如果直接用课本上的定理,一定要注意验证端点值是否成立,否则将陋掉端点值的情况。