函数单调性求参数范围

核心考点十二含参函数在区间上具有单调性无单调性或存在单调区间求参数范围含参函数在区间上具有单调性、无单调性或存在单调区间，取决于函数的导数的正负情况。

在本篇文章中，我们将介绍含参函数单调性的概念以及如何判断参数范围。

一、含参函数的单调性含参函数的单调性指的是函数在一些区间上的值的增减趋势。

如果函数在整个区间上都递增或者递减，则称该函数在该区间上是单调的。

对于含参函数f(x)，我们可以通过求导来判断其在区间上是否单调。

如果函数在整个区间上的导数恒大于0，则函数在该区间上递增；如果函数在整个区间上的导数恒小于0，则函数在该区间上递减。

换言之，我们可以通过求解方程f'(x)>0或者f'(x)<0来判断函数的单调性。

其中，f'(x)表示函数f(x)的导数。

二、参数范围的确定确定参数范围的方法主要包括以下步骤：1.根据问题的具体内容，确定需要讨论的函数范围，并确定参数的取值范围。

例如，如果需要讨论函数在区间[a,b]上的单调性，那么参数范围可以通过分析函数在区间的特性来确定。

2.找出函数的导数表达式。

通过计算函数f(x)的导数f'(x)，可以得到函数在区间上的单调性。

如果求导的过程中出现了参数，则需要将参数的取值范围考虑进去。

3.解方程f'(x)>0或者f'(x)<0，得到函数在区间上的单调性，并得到参数的取值范围。

4.根据参数的取值范围进行验证。

将参数取值范围代入原函数带入计算，可以验证所得的结论是否正确。

举例说明：问题：求函数f(x)=ax^2+bx+c在区间[-2, 3]上的单调性。

解答：首先求出函数的导数：f'(x)=2ax+b。

接下来我们需要根据参数a的取值范围来判断函数的单调性。

当a>0时，函数f(x)的导数f'(x)=2ax+b恒大于0，说明函数f(x)在区间[-2, 3]上是递增的。

当a<0时，函数f(x)的导数f'(x)=2ax+b恒小于0，说明函数f(x)在区间[-2, 3]上是递减的。

技法点拨已知函数单调性求参数取值范围■欧阳丽丽摘要：利用导数根据函数单调性（区间）求参数的取值范围，是高考考查函数单调性的一个重要考点，下面将这类问题举例分析。

关键词：导数；单调性；参数取值范围一、转化为不等式的恒成立问题求参数取值范围若函数f (x )在(a ,b )上单调递增，则f′(x )≥0；若函数f (x )在(a ,b )上单调递减，则f′(x )≤0，将问题转化为函数最值问题求解。

一般地，分离变量后，若得到a ≥h (x )，则只需a ≥h (x )max ；若得到a ≤h (x )，则只需a ≤h (x )min 。

注意：f (x )在(a ,b )上为增函数（减函数）的充要条件是对任意的x ∈(a ,b )都有f ′(x )≥0(f′(x )≤0)且在(a ,b )内的任一非空子区间上f′(x )≠0。

例1，已知函数f (x )=ln x -12ax 2-2x (a ≠0)在[1,]4上单调递减，求a 的取值范围。

解：因为f (x )在[1,]4上单调递减，所以当x ∈[1,]4时，f′(x )=1x -ax -2≤0恒成立，即a ≥1x 2-2x 恒成立。

设h (x )=1x2-2x ,x ∈[1,]4所以只要a ≥h (x )max 。

而h′(x )=2(x +1)(x +1)x 4。

当x ∈[1,]4，h′(x )>0，所以h (x )在[1,]4上单调递增。

所以当h (x )max =h (4)=-716，所以a ≥-716，即a 的取值范围是éëêöø÷-716,+∞。

评析：由f (x )在[1,]4上单调递增，得到f′(x )≤0，进而分离参数a ，构造新的函数h (x )，本题转化为求h (x )max 。

例2，已知函数f (x )=ax +1x +2在(-2,+)∞内单调递减，求实数a 的取值范围。

例析与对数函数的单调性有关的参数范围的求法对数函数的单调性是对数函数的一个重要性质，而求与对数函数的单调性有关的参数范围是一个难点.要正确解答此类题型，主要从下面几点考虑：①抓住函数的定义域，在定义域内进行讨论；②抓住对数函数的底数，由此确定函数的单调性；③注意对数函数真数大于零.下面举例说明.例1已知函数f(x)＝lg(ax －1)－lg(x －1)(a ∈R)，若函数f(x)在[10,＋∞)上单调递增，试求a 的取值范围.解：由已知有10a －1＞0，a ＞110，则 因为f(x)＝lg(ax －1)－lg(x －1)＝lg(a ＋a-1x-1)在[10,＋∞)上单调递增， 当a ＞1时，f(x)在[1，∞)上为减函数，因此，f(x)不可能在[10,＋∞)上单调递增，不满足条件；当110＜a ＜1时，f(x)在[1，∞)上为增函数，因此，f(x)在[10,＋∞)上单调递增，满足条件.综上所述，所求a 的取值范围是110＜a ＜1. 点评：本题利用对数的性质转化为函数f(x)＝lg(a ＋a-1x-1)，对a －1的符号进行讨论，并结合反比例函数的单调性及单调性的复合规律进行求解的.例2已知函数f(x)＝2x ，设f(x)的反函数为f －1(x)，若f －1(x ＋a x–3)在区间[2,＋∞)上单调递增，求正实数a 的范围.解：∵f －1(x)＝log 2x ，∴f －1(x ＋a x –3)＝log 2(x ＋a x–3)， 设g(x)＝x ＋a x –3，由于f －1(x ＋a x –3)在区间[2,＋∞)上单调递增，故g(2)＝2＋a 2–3＞0，即a ＞2，当2≤x 1＜x 2时恒有：g(x 1)－g(x 2)＝(x 1－x 2)·x 1x 2-a x 1x 2＜0成立， ∵x 1－x 2＜0，x 1x 2＞4，x 1x 2－a ＞0恒成立，即a ＜x 1x 2恒成立，∴a ≤4，综上所述，a 的取值范围为2＜a ≤4.点评：本题充分利用函数的单调性的定义，通过分离参数，并将a ＜x 1x 2恒成立转化为a ≤x 1x 2无限趋近的一个常数.例3函数f(x)＝log 9(x ＋8–a x)在[1,＋∞)上单调递增，求实数a 的取值范围. 解：由条件知1＋8–a ＞0，得a ＜9.当0＜a ＜9时，易知函数u ＝x ＋8–a x在(0，＋∞)上单调递增，由此可知函数f(x)＝log 9(x ＋8–a x)在[1,＋∞)上单调递增，满足条件； 当a ＝0时，函数f(x)＝log 9(x ＋8)，易知在[1,＋∞)上单调递增，满足条件；当a ＜0时，函数u ＝x ＋8–a x ＝x ＋－a x＋8在[－a,＋∞)上单调递增，所以－a ≤1，解得a ≥－1.综上所述，所求a 的范围是－1≤a ＜9.点评：本题充分利用函数y ＝x ＋m x 的单调性进行求解的.对于函数y ＝x ＋m x：当m ＞0时，函数的单调递增区间为(－∞，－m)，(m ，＋∞)；当m ＝0时为一次函数；当m ＜0时，函数的递增区间为(－∞，0)，(0，＋∞).例4是否存在实数a ，使函数f(x)＝log a (ax 2－x)在区间[2,4]上是增函数？如果存在，求出a 的变化范围，如果不存在，请说明理由.解：设g(x)＝ax 2－x ，假设符合条件的a 存在，当a ＞1时，为使函数f(x)＝log a (ax 2－x)在区间[2,4]上是增函数，只需g(x)＝ax 2－x在区间[2,4]上是增函数，故应满足⎩⎪⎨⎪⎧ x=12a ≤2g(2)=4a-2＞0⇒a ＞12，当注意到a ＞1时，即a ＞1； 当0＜a ＜1时，为使函数f(x)＝log a (ax 2－x)在区间[2,4]上是增函数，只需g(x)＝ax 2－x 在区间[2,4]上是减函数，故应满足⎩⎪⎨⎪⎧ x=12a ≥4g(4)=16a-4＞0，此不等式组无解， 综上可知，当a ＞1时，f(x)＝log a (ax 2－x)在区间[2,4]上为增函数.点评：本题充分利用二次函数的对称轴位置及单调区间的端点值的符号进行求解的.。

专题15已知函数的单调区间求参数的范一、单选题■1.若函数/（］）=空山在区间（0,工）上单调递增，则实数。

的取值范围是（）cosx 2A.a<-\B.a<2C.a>-\D.a<\【答案】C【分析】利用导函数研究原函数的单调性，利用单调性求解实数。

的取值范围.【详解】解：函数/（1）="*COSXnJ”、cosx>cos x+sinx(sin x+a)则/M=；-----cos^xTT•••X£(0,一)上，2/.cos2x>0.要使函数/(幻=吧*在区间(0,工)上单调递增,cosx 271、、二cos2x+sin2x+asinxN0在x G(0,—)上恒成立,2T[即：asinx+120在x£(0,一)上恒成立，2TT•/xe(0,—)±,2sin XG(0,1)故选：C.【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理.2.已知函数/a）=Lf+s—a）x+（a-l）lnx,（a>l）,函数y=2用的图象过定点（0,1）,对于任意玉,七£（0,+8）,西>々，有/（%）一/（工2）>工2一不，则实数。

的范围为（）B.2<a<5C.2<a<5D.3<a<5【答案】A【分析】 由图象过定点可得人=0,设/(x)=〃x)+x,结合已知条件可得F(x)在(0,+8)递增，求尸(X )的导数，令g(x)=%2一(〃-1)工+。

一1,由二次函数的性质可得g 【详解】解：因为>=2'+〃的图象过定点(0,1),所以2人=1，解得6=0,所以一方+(。

-1)1仪(。

>1),因为对于任意X]，W^(0,-KO ),X]>x 2,有/(%)一/(无2)>W 一%，则/(%)+%>%+/(七)，设/(%)=f(x)+x ，即F (x)=/(%)+%=—x 2-ar+(^-l)lri¥+x=—x 2-(6f-l)x+(^-l)lri¥,所以F(x)=x-(〃-1)+0「2—令且(1)=工2—(。

利用函数的单调性求参数的取值范围函数的单调性是指在一定范围内，函数的增减性质的统一性。

对于有单调性的函数，可以通过研究函数的导数来判断参数的取值范围。

首先，我们来回顾一下导数的定义和性质。

对于函数f(x)，其导数可以表示为f'(x)，导数表示函数在其中一点的变化率。

导数的正负号可以告诉我们函数的单调性。

1.若在[a,b]上f'(x)≥0，则函数在[a,b]上为单调递增函数。

2.若在[a,b]上f'(x)≤0，则函数在[a,b]上为单调递减函数。

3.若在[a,b]上f'(x)>0，则函数在[a,b]上为严格递增函数。

4.若在[a,b]上f'(x)<0，则函数在[a,b]上为严格递减函数。

步骤1：确定函数的定义域，即参数的取值范围。

步骤2：求出函数的导函数。

步骤3：利用导函数的性质来判断函数的单调性。

步骤4：结合定义域和单调性判断，确定参数的取值范围。

步骤5：验证参数的取值范围是否符合要求。

下面我们通过具体例子来说明求解参数取值范围的方法。

例子：求函数f(x) = ax^2 + bx + c 在定义域上的参数a、b、c的取值范围。

步骤1：确定函数的定义域。

对于二次函数，其定义域是整个实数集R。

步骤2：求出函数的导函数。

对f(x)求导得到f'(x) = 2ax + b。

步骤3：利用f'(x)的性质来判断函数的单调性。

-若2a>0，则函数在整个定义域上递增。

-若2a<0，则函数在整个定义域上递减。

步骤4：结合定义域和单调性判断，确定参数的取值范围。

-若2a>0，则函数在整个定义域上递增，所以a>0。

-若2a<0，则函数在整个定义域上递减，所以a<0。

然后，我们可以根据b和c的取值范围来进一步限定a的取值范围。

当a>0时：根据二次函数的几何性质，对于抛物线开口朝上的情况，函数的最小值出现在顶点处，顶点的x坐标为 -b/2a，对应的y坐标为 c - b^2/4a。

函数的单调性及单调区间1．函数的单调性及单调区间【知识点的认识】一般地，设函数f （x ）的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1，x 2， 当x 1＜x 2时，都有f （x 1）＜f （x 2），那么就说函数f （x ）在区间D 上是增函数；当x 1＜x 2时，都有f （x 1）＞f （x 2），那么就说函数f （x ）在区间D 上是减函数．若函数f （x ）在区间D 上是增函数或减函数，则称函数f （x ）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y ＝f （x ）的单调区间．【解题方法点拨】判断函数的单调性，有四种方法：定义法；导数法；函数图象法；基本函数的单调性的应用；复合函数遵循“同增异减”；证明方法有定义法；导数法．单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“和”或“，”连结．设任意x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1≠x 2，那么①f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0⇔f （x ）在[a ，b ]上是增函数；f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0⇔f （x ）在[a ，b ]上是减函数．②（x 1﹣x 2）[f （x 1）﹣f （x 2）]＞0⇔f （x ）在[a ，b ]上是增函数；（x 1﹣x 2）[f （x 1）﹣f （x 2）]＜0⇔f （x ）在[a ，b ]上是减函数．函数的单调区间，定义求解求解一般包括端点值，导数一般是开区间．【命题方向】函数的单调性及单调区间．是高考的重点内容，一般是压轴题，常与函数的导数相结合，课改地区单调性定义证明考查大题的可能性比较小．从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．。

专题8：导数中已知单调性求参数的范围经典例题与练习（解析版）已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围解法1：转化为0)(0)(''≤≥x f x f 或在给定区间上恒成立， 回归基础题型 解法2：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；做题时一定要看清楚“在（m,n ）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b ）”，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集例1：已知R a ∈，函数x a x a x x f )14(21121)(23++++=． （Ⅰ）如果函数)()(x f x g '=是偶函数，求)(x f 的极大值和极小值； （Ⅱ）如果函数)(x f 是),(∞+-∞上的单调函数，求a 的取值范围．解：)14()1(41)(2++++='a x a x x f . （Ⅰ）∵()f x '是偶函数，∴ 1-=a . 此时x x x f 3121)(3-=，341)(2-='x x f ， 令0)(='x f ，解得：32±=x .列表如下：可知：()f x 的极大值为34)32(=-f ， ()f x 的极小值为34)32(-=f .（Ⅱ）∵函数)(x f 是),(∞+-∞上的单调函数，∴21()(1)(41)04f x x a x a '=++++≥，在给定区间R 上恒成立判别式法 则221(1)4(41)204a a a a ∆=+-⋅⋅+=-≤， 解得：02a ≤≤.综上，a 的取值范围是}20{≤≤a a .例2、已知函数3211()(2)(1)(0).32f x x a x a x a =+-+-≥ （I ）求()f x 的单调区间；（II ）若()f x 在[0，1]上单调递增，求a 的取值范围。

子集思想（I ）2()(2)1(1)(1).f x x a x a x x a '=+-+-=++-1、20,()(1)0,a f x x '==+≥当时恒成立当且仅当1x =-时取“=”号，()(,)f x -∞+∞在单调递增。