已知函数单调性求参数范围
教学目标
1.知识与技能:学会利用导数来解决已知单调性求参数范围问题;
2.过程与方法:通过实例讲解,归纳,解决问题的方法;
3.情感与态度:通过问题的解决,体会转化思想的应用. 教学重点
已知单调性,利用导数求参数范围.
教学难点
不同问题的处理方法.
教学过程
(一)知识梳理
函数y =f (x )的导数为)('x f y =,对于区间(a ,b ).
1.若y =f (x )的单调区间为(a ,b ),则?
??==0)('0)('b f a f 2.若y =f (x )在区间(a ,b )上单调递增(递减),则)0)('(0)('≤≥x f x f 在(a ,b )上恒成立.
(二)典例分析
例1 函数)(ln )(22R a ax x a x x f ∈+-=的单调递减区间是),1(+∞,求a 的值.
例2 函数)(ln )(22R a ax x a x x f ∈+-=在),1(+∞上是减函数, 求a 的取值范围.
例3 函数)0(22
1ln )(2<--=a x ax x x f 在定义域内单调递增,求a 的取值范围.
例4 函数1331)(223+-+=x m mx x x f 在区间)3,2(-上是减函数,求m 的取值范围.
例5已知R a ∈,函数3)1()(223+-+-=x a ax x x f 在)0,(-∞和),1(+∞上都是增函数, 求a 的取值范围.
(三)课时小结
本节课主要介绍了已知函数单调性来利用导数求参数范围.
(四)备用练习
1.函数)0(3)(223>+-+=a x a ax x x f 在[-1,1]上没有极值点, 求a 的值.
2.函数)0(1)(2>+=a ax
e x
f x
在R 上为单调函数, 求a 的取值范围.
3.函数1)5()1()(23-++-+=x k x k x x g 在区间）
（3,0上有极值点，求参数k 的取值范围。
(五)作业布置
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【知识点 4】已知单调性求参数取值范围 1. 思路提示：⑴对于函数在某个区间上单调递增或单调递减的问题，转化为导函数在此区 间上恒为非负或非正的问题，进而转化为导数在该区间上的最值问题. ⑵对于可导函数在某个区间不单调的问题，转化为导函数在此区间无实根，可结 合导函数的图像给出此问题的充要条件，从而求解. ⑶对于只有一个极值点的导函数研究其相关问题（如在给定区间上恒为正或负以 及根的分布等），往往可以类比二次函数在区间上的最值或根的分布求解. 例 1：已知函数f (x) = 3ax4- 2(3a + 1)x2- 2(3a + 1)x2+ 4x 1 （I）当a = 时，求f (x) 的极值; 6 （II）若f (x) 在(-1,1)上是增函数，求a 的取值范围 例 2：已知函数f (x) =x3+ax2+x +1(a ∈R) （I）讨论函数f (x) 的单调区间； 3 1 （II）设函数f (x) 在区间(- , - ) 内是减函数，求a 的取值范围. 2 3 例 3：已知函数f (x) = (2ax -x2 )e ax，其中a 为常数，且a ≥ 0 . （I）若a =1 ，求函数f (x) 的极值点； （II）若f (x) 在区间( 2, 2) 内单调递增，求a 的取值范围. 例 4：已知函数f (x) =ax3+bx2 (x ∈R) 的图像过点P(-1, 2) ，且在点P 处的切线恰好与直线x - 3y = 0 垂直. (Ⅰ)求函数f (x) 的解析式； （II）若函数f (x) 在区间[m, m +1]上单调递增，求实数m 的取值范围.
2 例 5：已知函数 f (x ) = x 3 + (1- a )x 2 - a (a + 2)x + b (a , b ∈ R ) . (Ⅰ)若函数 f (x ) 的图像过原点，且在原点处的切线斜率是-3 ，求 a , b 的值； （II ）若函数 f (x ) 在区间(-1,1) 上不单调，求 a 的取值范围. 例 6：设 f (x ) = e x 1+ ax ，其中a 为正实数 （Ⅰ）当a = 4 时，求 f (x ) 的极值点； 3 （Ⅱ）若 f (x ) 为 R 上的单调函数，求a 的取值范围. 例 7：设 f (x ) = e x ，其中a 为正实数. 2 (Ⅰ)当 a = 3 时，求 f (x ) 的极值点； 4 (Ⅱ)若 f (x ) 为 R 上的单调函数，求a 的取值范围. 例 8：设 f (x ) = - 1 x 3 + 1 x 2 + 2ax 3 2 (I) 若 f (x ) 在( , +∞) 上存在单调递增区间，求 a 的取值范围． 3 （II ）当0 < a < 2 时， f (x ) 在[1, 4] 的最小值为- 16 3 ，求 f (x ) 在该区间上的最大值． 例 9：已知 a ，b 是实数，函数 f (x ) = x 3 + ax , g (x ) = x 2 + bx , f '(x ) 和 g '(x ) 是 f (x ), g (x ) 的导函数，若 f '(x )g '(x ) ≥ 0 在区间 I 上恒成立，则称 f (x ) 和 g (x ) 在区间 I 上单调性一致 (I)设 a > 0 ，若函数 f (x ) 和 g (x ) 在区间[-1,+∞) 上单调性一致,求实数 b 的取值范围；
利用导数求参数的取值范围 一．已知函数单调性，求参数的取值范围 类型1．参数放在函数表达式上 例１． 设函数R a ax x a x x f ∈+++-=其中86)1(32)(23． 的取值范围 求上为增函数在若的值求常数处得极值在若a x f a x x f ,)0,()()2(. ,3)()1(-∞= 二．已知不等式在某区间上恒成立，求参数的取值范围 类型１．参数放在不等式上 例3.已知时都取得极值与在13 2)(23=-=+++=x x c bx ax x x f （1）求ａ、ｂ的值及函数)(x f 的单调区间． （2）若对2)(],2,1[c x f x <-∈不等式恒成立，求ｃ的取值范围． __________)(]2,1[,522)(.32 3 的取值范围是则实数都有若对任意已知函数m m x f x x x x x f >-∈+--= 类型2．参数放在区间上 例４．已知三次函数d cx x ax x f ++-=2 35)(图象上点(1,8)处的切线经过点(3,0),并且)(x f 在x=3处有极值. （1）求)(x f 的解析式.（2）当),0(m x ∈时, )(x f >0恒成立,求实数m 的取值范围. 分析:(1)935)(23++-=x x x x f ] 3,0(),0(0)(]3,0(),0(0)(30)3()(,)(,0)()3,3 1(9)0()()(,0)()3 1,0(3,310)() 3)(13(3103)().2(''21‘2'的取值范围为所以内恒成立 在时当且仅当内不恒成立在时所以当所以单调递减时当所以单调递增时当得由m m x f m ，m x f m f x f x f x f x f x f ，x f x f x x x x f x x x x x f >∈>>=><∈=>>∈===--=+-= 基础训练： .___________24.434的取值范围是则实数都成立对任意实数若不等式a ，x a x x -≥-
已知函数单调性求参数（简单） 一、选择题 1.函数y＝ax3－x在(－∞，＋∞)上是减函数，则() A．a＝ B．a＝1 C．a＝2 D．a≤0 2.若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是() A． (－∞，－2] B． (－∞，－1] C． [2，＋∞) D． [1，＋∞) 3.若函数f(x)＝a ln x＋在区间(1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是() A． (－∞，－2] B． (－∞，－1] C． [1，＋∞) D． [2，＋∞) 4.已知f(x)＝a ln x＋x2，若对任意两个不等的正实数x 1，x2都有>0成立，则实数a的取值范围是() A． [0，＋∞) B． (0，＋∞) C． (0,1) D． (0,1] 5.已知函数f(x)＝－x3＋2ax在(0,1]上是单调递增函数，则实数a的取值范围是()
A． (－∞，) B． [，＋∞) C． (，＋∞) D． (－，) 6.函数f(x)＝e x－ax－1在R上单调递增，则实数a的取值范围为() A．R B． [0，＋∞) C． (－∞，0] D． [－1,1] 7.已知a，b是正实数，函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx在x∈[－1,2]上单调递增，则a＋b的取值范围为() A． (0，] B． [，＋∞) C． (0,1) D． (1，＋∞) 8.已知函数f(x)＝x3＋ax在[1，＋∞)上是增函数，则a的最小值是() A．－3 B．－2 C． 2 D． 3 9.已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是减函数，则实数a的取值范围是() A． (－∞，－)∪[，＋∞) B． [－，]
已知函数单调性求参数范围 教学目标 1.知识与技能:学会利用导数来解决已知单调性求参数范围问题; 2.过程与方法:通过实例讲解,归纳,解决问题的方法; 3.情感与态度:通过问题的解决,体会转化思想的应用. 教学重点 已知单调性,利用导数求参数范围. 教学难点 不同问题的处理方法. 教学过程 (一)知识梳理 函数y =f (x )的导数为)('x f y =,对于区间(a ,b ). 1.若y =f (x )的单调区间为(a ,b ),则? ??==0)('0)('b f a f 2.若y =f (x )在区间(a ,b )上单调递增(递减),则)0)('(0)('≤≥x f x f 在(a ,b )上恒成立. (二)典例分析 例1 函数)(ln )(22R a ax x a x x f ∈+-=的单调递减区间是),1(+∞,求a 的值. 例2 函数)(ln )(22R a ax x a x x f ∈+-=在),1(+∞上是减函数, 求a 的取值范围. 例3 函数)0(22 1ln )(2<--=a x ax x x f 在定义域内单调递增,求a 的取值范围. 例4 函数1331)(223+-+=x m mx x x f 在区间)3,2(-上是减函数,求m 的取值范围. 例5已知R a ∈,函数3)1()(223+-+-=x a ax x x f 在)0,(-∞和),1(+∞上都是增函数, 求a 的取值范围.
(三)课时小结 本节课主要介绍了已知函数单调性来利用导数求参数范围. (四)备用练习 1.函数)0(3)(223>+-+=a x a ax x x f 在[-1,1]上没有极值点, 求a 的值. 2.函数)0(1)(2>+=a ax e x f x 在R 上为单调函数, 求a 的取值范围. 3.函数1)5()1()(23-++-+=x k x k x x g 在区间） （3,0上有极值点，求参数k 的取值范围。 (五)作业布置 <<状元之路>>第48页 11,12
1.3.1：《函数的单调性》 一、本节内容在教材中的地位与作用： 《函数的单调性》是人教版高中数学必修一第一章第三节第一课时的内容，该内容包括函数的单调性的定义与判断及其证明。这节通过对具体函数图像的归纳和抽象，概括出函数在某个区间上是增函数或减函数的准确含义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的。教材中从形和数来判断函数的增减性。函数的单调性一节中的知识是前一节内容函数的概念和图像知识的延续，它和后面的函数最值性和奇偶性，合称为函数的简单性质。函数的单调性为进一步学习函数其它性质提供了方法依据。同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学。 二、学情、教法分析： 按现行新教材结构体系，学生只学过一次函数、二次函数、反比例函数，所以对函数的单调性研究也只能限于这几种函数。 对于函数单调性，学生的认知困难可能存在以下两个方面的问题： （1）要求用准确的数学符号语言去刻画图象的上升与下降，这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一的学生是比较困难的； （2）单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容，而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的． 因此，在教学过程中，要注意学生第一次接触代数形式的证明，为使学生能迅速掌握代数证明的格式，要注意让学生在内容上紧扣定义贯穿整个学习过程，在形式上要从有意识的模仿逐渐过渡到独立的证明。 三、教学目标 1.知识与技能： (1)使学生理解函数单调性和最值的概念，并能判断一些简单函数在给定区间上的单调性和最值。 (2)能够利用函数的单调性及最值进行综合运用。 (3)启发学生发现问题和提出问题，培养学生分析问题、认识问题和解决问题的能力。 2.过程与方法：
一题多变：已知函数的单调性求参数取值范围 例题：若函数h (x )＝ln x －12 ax 2－2x (a ≠0)在[1,4]上单调递减，求a 的取值范围. 解：因为h (x )在[1,4]上单调递减， 所以当x ∈[1,4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立， 即a ≥1x 2－2x 恒成立． 令G (x )＝1x 2－2x ，则由题意可知，只需a ≥G (x )max ， 而G (x )＝1)11 (2 --x ， 因为x ∈[1,4]，所以1x ∈]1,4 1[， 所以G (x )max ＝－ 716(此时x ＝4)，所以a ≥－716， 又因为a ≠0， 所以a 的取值范围是)0,16 7[- ∪(0，＋∞)． [方法技巧] 根据函数单调性求参数的一般思路 (1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ，b )上单调，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集． (2)f (x )为增函数的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上，f ′(x )不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解． (3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题． [变式探究] 1.若本例条件变为“函数h (x )在[1,4]上单调递增”，求a 的取值范围. 因为h (x )在[1,4]上单调递增，所以当x ∈[1,4]时，h ′(x )≥0恒成立，即a ≤1x 2－2x 恒成立，又因为当 x ∈[1,4]时，(1x 2－2x )min ＝－1(此时x ＝1)，所以a ≤－1， 即a 的取值范围是(－∞，－1]． 2．若本例条件变为“函数h (x )在[1,4]上存在单调递减区间”，求a 的取值范围.
【知识点4】已知单调性求参数取值范围 1. 思路提示：⑴对于函数在某个区间上单调递增或单调递减的问题，转化为导函数在此区 间上恒为非负或非正的问题，进而转化为导数在该区间上的最值问题. ⑵对于可导函数在某个区间不单调的问题，转化为导函数在此区间无实根，可 结合导函数的图像给出此问题的充要条件，从而求解. ⑶对于只有一个极值点的导函数研究其相关问题（如在给定区间上恒为正或负 以及根的分布等），往往可以类比二次函数在区间上的最值或根的分布求解. 例1：已知函数422()32(31)2(31)4f x ax a x a x x =-+-++ （I ）当16 a =时，求()f x 的极值; （II ）若()f x 在()1,1-上是增函数，求a 的取值范围 例2：已知函数32()1()f x x ax x a R =+++∈ （I ）讨论函数()f x 的单调区间； （II ）设函数()f x 在区间31(,)23 --内是减函数，求a 的取值范围. 例3：已知函数2()(2)ax f x ax x e =-，其中a 为常数，且0a ≥. （I ）若1a =，求函数()f x 的极值点； （II ）若()f x 在区间内单调递增，求a 的取值范围. 例4：已知函数32()f x ax bx =+()x R ∈的图像过点(1,2)P -，且在点P 处的切线恰好与直线30x y -=垂直. (Ⅰ)求函数()f x 的解析式； （II ）若函数()f x 在区间[],1m m +上单调递增，求实数m 的取值范围.
例5：已知函数32 ()(1)(2)(,)f x x a x a a x b a b R =+--++∈. (Ⅰ)若函数()f x 的图像过原点，且在原点处的切线斜率是3-，求,a b 的值； （II ）若函数()f x 在区间(1,1)-上不单调，求a 的取值范围. 例6：设()1x e f x ax =+，其中a 为正实数 （Ⅰ）当a 43 =时，求()f x 的极值点； （Ⅱ）若()f x 为R 上的单调函数，求a 的取值范围. 例7：设()2 x e f x =，其中a 为正实数. (Ⅰ)当34 a =时，求()f x 的极值点； (Ⅱ)若()f x 为R 上的单调函数，求a 的取值范围. 例8：设3211()232 f x x x ax =-++ (I)若()f x 在2(,)3+∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围． （II ）当02a <<时，()f x 在[1,4]的最小值为163 - ，求()f x 在该区间上的最大值． 例9：已知a ，b 是实数，函数,)(,)(23bx x x g ax x x f +=+= )(x f '和)(x g '是)(),(x g x f 的导函数，若0)()(≥''x g x f 在区间I 上恒成立，则称)(x f 和)(x g 在区间I 上单调性一致
如对您有帮助，请购买打赏，谢谢您！ 一、教学内容分析: 函数的单调性是学生在掌握了函数的概念，函数的表示方法等基础知识后，学习的函数的第一个性质，主要刻画了函数在其定义域内某区间上图像（上升或下降）的变化趋势，为进一步学习函数其它性质提供了方法依据，如在研究函数的值域、最大值、最小值等性质中有着重要应用，而且在解决比较数的大小、解不等式、证明不等式、数列的性质等数学问题时也有重要的应用。同时它又是后续研究指数函数、对数函数以及三角函数性质的基础。所以函数的单调性在高中数学中具有核心知识地位和承上启下的重要作用。 二、教学目标设置: （一）知识与技能： 1.用准确的数学语言归纳、抽象概括增函数和减函数的定义，并能正确理解单调性的定义； 2.利用图像和定义判断函数的单调性，能正确书写单调区间，并能用单调性定义证明函数在给定区间上的单调性； 3.培养学生抽象概括能力、类比化归能力及数形结合思想方法的运用能力。 （二）过程与方法： 1. 通过学生熟悉的现实问题创设情境，引出本节课题函数单调性，同时借助多媒体的直观演示，让学生观察图像（上升？下降？）变化趋势，过渡到在区间上用自变量x和相应函数f(x)的变化进行语言表述； 2.设置问题引导学生自主探究、尝试、归纳、总结，师生互相讨论交流，最终形成严格的数学概念； 3.形成概念后，引导学生自主探究，通过生生互动，师生互动，达到让学生从多种形式认识概念的本质含义，从而加深学生对概念的理解；巩固练习问题（1）为了加深学生对单调性定义中自变量取值“任意”性的理解，是一个很好的问题；问题（2）的变式题体现了“逆向思维”，深化对定义的理解；问题（3）通过教师的引导，针对于数学基础较好、思维较为活跃的一部分学生，对判断方法进行适当的深入和拓展，加深学生对单调性定义的更
第二讲：函数的单调性 一、定义： 1.设函数)(x f y =的定义域为I ,如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有),()(21x f x f <那么就说)(x f 在区间D 上是增函数.区间D 叫)(x f y =的单调增区间. 注意：增函数的等价式子：0) ()(0)]()()[(2 1212121>--?>--x x x f x f x f x f x x ; 难点突破：（1）所有函数都具有单调性吗？ （2）函数单调性的定义中有三个核心①21x x <②)()(21x f x f <③ 函数)(x f 为增函数,那么①②③中任意两个作为条件，能不能推出第三个？ 2. 设函数)(x f y =的定义域为I ,如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有),()(21x f x f >那么就说)(x f 在区间D 上是减函数.区间D 叫)(x f y =的单调减区间. 注意：(1)减函数的等价式子：0) ()(0)]()()[(21212121<--? <--x x x f x f x f x f x x ； (2)若函数)(x f 为增函数，且)()(,2121x f x f x x <<则. 题型一：函数单调性的判断与证明 例 1.已知函数)(x f 的定义域为R ，如果对于属于定义域内某个区间I 上的任意两个不同的自变量21,x x 都有 .0) ()(2 121>--x x x f x f 则（ ） A.)(x f 在这个区间上为增函数 B.)(x f 在这个区间上为减函数 C.)(x f 在这个区间上的增减性不变 D.)(x f 在这个区间上为常函数
利用单调性求参数取值范围 学习目标 1. 能够根据函数的单调性求参数的取值范围 学习重点 1. 能够根据函数的单调性求参数的取值范围 难点 自主学习 (时间15 分钟) 自主探究下列问题 1.已知函数f(x) x3 ax2 3x 1在[2,4]上是单调递增函数，求参数a的取值范围 变式： 1 )已知函数f (x) 32 x3 ax2 3x 1 在[2,4] 上是单调递减函数，求参数 a 的取值范围； 2)已知函数f (x) x3 ax2 3x 1在R上是单调函数，求参数a的取值范围。 3)已知函数f (x) X ax 3x 1在R上不是单调函数，求参数 a 的取值范围；
(4)已知函数f(x) x3(1 a)x2 a(a 2)x b(a,b R)若函数f (x)在区间(1,1) 上不单调，求a的取值范围? (5)设f (x)= ax3+x恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间 合作交流8分钟 1 3 3 2 2.如果函数f(x) x x 2x 1在定义域内的一个子区间(k,k+3)上单调递增，求 3 2 k的取值范围。 变式：如果函数f(x) 2x2 In x在定义域内的一个子区间(k-1,k+1)上不是单调函数，求k的取值范围。
小组展示8分钟 1.已知函数f (x) x ax2 In x(a 0)若f (x)是单调函数，求a的取值范围 教师点拨6分钟 达标检测3分钟 1.已知函数f (x) In x 2x 3,若函数g(x) -x3 x2f '(x) m(其中 f (x)为f(x) 3 的导数)在区间(1，3)上不是单调函数，求实数m的取值范围
【知识点4】已知单调性求参数取值范围 1?思路提示：⑴对于函数在某个区间上单调递增或单调递减的问题，转化为导函数在此区间上恒为非负或非正的问题，进而转化为导数在该区间上的最值问题? ⑵对于可导函数在某个区间不单调的问题，转化为导函数在此区间无实根，可结合导 函数的图像给出此问题的充要条件，从而求解 ⑶对于只有一个极值点的导函数研究其相关问题(如在给定区间上恒为正或负以及根 的分布等)，往往可以类比二次函数在区间上的最值或根的分布求解 例1：已知函数f(x) 3ax42(3a 1)x22(3a 1)x24x 1 (I )当a 时，求f (x)的极值； 6 (ll )若f (x)在1,1上是增函数，求a的取值范围 3 2 例2：已知函数f (x) x ax x 1(a R) (I )讨论函数f (x)的单调区间； 3 1 (ll)设函数f(x)在区间(—，-)内是减函数，求a的取值范围 2 3 例3：已知函数f (x) (2ax x2)e ax，其中a为常数，且a 0. (l )若a 1,求函数f (x)的极值点； (ll )若f (x)在区间C 2,2)内单调递增，求a的取值范围? 3 2 例4：已知函数f(x) ax bx (x R)的图像过点P( 1,2)，且在点P处的切线恰好与 直线x 3y 0垂直? (I )求函数f (x)的解析式； (ll)若函数f (x)在区间m,m 1上单调递增，求实数m的取值范围?
例5：已知函数f(x) x3(1 a)x2a(a 2)x b(a,b R). (I )若函数f (x)的图像过原点，且在原点处的切线斜率是3，求a,b的值; (II)若函数f (x)在区间(1,1)上不单调，求a的取值范围? e x 例6：设f (x) ，其中a为正实数 1 ax 4 (I)当a 时，求f (x)的极值点； 3 (n)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围 x e 例7：设f(x)—，其中a为正实数? 2 「3 (I )当a —时，求f (x)的极值点； 4 (n )若f (x)为R上的单调函数，求a的取值范围 1 3 1 2 例& 设f(x) x 3 x2 2ax 3 2 2 (I)若f(x)在(-,)上存在单调递增区间，求 3 a的取值范围. (II )当0 a 2时，f (x)在［1,4］的最小值为，求f(x)在该区间上的最大值. 例9：已知a,b是实数，函数f (x) x3ax,g(x) x2bx, (x)和g (x)是f (x), g(x) 的导函数，若 f (x)g(x) 0在区间I上恒成立，则称 f (x)和g(x)在区间I上单调性一
利用导数求单调性与已知单调性求参数范围，天差地别，你了解了吗？ 前面小数老师已经讲过两道了，分别是“通过分类讨论求函数的单调区间”与“不等式恒成立问题”，大家还记得吗？今天又是一道导数题，小数老师带大家来看第三种常考的类型，“已知函数的单调性，求参数的取值范围”，大家往下看吧！还是建议同学自己先试着做一下！ 这道导数题，函数解析式看着不是很复杂，第（1）问求函数的单调区间与最值，也不需要讨论，因为参数k的值已知，按照我们以前说的方法求解即可；第（2）问已知函数的单调性，求参数取值范围，是一个容易出错的点，下面小数老师重点与大家一起分析下！ 回顾1、对于函数y=f(x)， 若导数f’(x)在区间M上大于0，则函数y=f(x)在区间M上单调递增； 若导数f’(x)在区间M上小于0，则函数y=f(x)在区间M上单调递减。 2、对于函数y=f(x)， 若函数y=f(x)在区间M上单调递增，则导函数f’(x)在区间M上大于等于0； 若函数y=f(x)在区间M上单调递减，则导函数f’(x)在区间M上小于等于0； 3、关于含参不等式的恒成立问题，你还记得怎么做吗？ 小数老师再提醒下：首先先看能否参变量分离，如果能分离是最好的，如果不能分离，就按照之前说的规律寻找最值即可。有疑问的同学可以翻一下历史消息哈！ 4、关于函数单调性的说法，并不仅仅是像题目中直接告诉你哦，你看到的也有可能是这样的，还有可能是这样的： 这两种情况，都是告诉你函数y=f(x)在区间[1,2]上单调递增哦。好了，接下来跟小数老师一起来解题吧！
解析 （1）当k=0时，所以 x (0,1) 1 (1,+ ∞) f’(x)+ 0 - f(x) 递增极大值递减 所以y=f(x)的最大值是f(1)=2. 注意：求函数的单调区间之前，千万别忘了函数的定义域哈！ （2）函数y=f(x)在区间[1,2]上单调，（未说明单调增还是单调减，所以此处应该有分类讨论） ①若函数y=f(x)在区间[1,2]上单调递增，根据回顾中的，我们可以知道导数f’(x) ≥0，x∈[1,2], ②若函数y=f(x)在区间[1,2]上单调递减， 根据回顾中的，我们可以知道导数f’(x) ≤0，x∈[1,2],
一题多解专题二：已知函数的单调性求参数范围问题 已知函数单调性,求参数范围的两个方法 (1)利用集合间的包含关系处理:y=f(x)在(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的子集. (2)转化为不等式的恒成立问题:即“若函数单调递增,则0)(≥'x f ;若函数单调递减,则 0)(≤'x f ”来求解. 例：若函数1)(23+-=ax x x f 在]2,1[上单调递减,求实数a 的取值范围. 思路点拨: 先求出导函数,再利用导数与单调性的关系或转化为恒成立问题求解. )23(23)(2a x x ax x x f -=-=' 解析：方法一：由)(x f 在]2,1[上单调递减知0)(≤'x f ，即0232 ≤-ax x 在]2,1[上恒成立, 即x a 23≥ 在]2,1[上恒成立.故只需max )2 3(x a ≥, 故3≥a . 综上可知，a 的取值范围是［3,+∞). 方法二：当0=a 时，0)(≥'x f ,故)(x f y =在),(+∞-∞上单调递增，与)(x f y =在 ]2,1[上单调递减不符，舍去. 当0a 时，由0)(≤'x f 得0≤x≤ a 32，即)(x f 的减区间为]32,0[a ，由)(x f 在 ]2,1[上单调递减得23 2≥a ,得a≥3. 综上可知，a 的取值范围是［3,+∞). 针对性练习： 1．已知y ＝13 x 3＋bx 2＋(b ＋2)x ＋3是R 上的单调增函数，则b 的取值范围是( ) A ．b ＜－1或b ＞2 B ．b ≤－2或b ≥2 C ．－1＜b ＜2 D ．－1≤b ≤2 解析 D 由题意，得y ′＝x 2＋2bx ＋b ＋2≥0在R 上恒成立，∴Δ＝4b 2－4(b ＋2)≤0， 解得－1≤b ≤2. 2．函数f (x )＝13x 3＋12 (2－a )x 2－2ax ＋5在区间[－1,1]上不单调，则a 的取值范围是________． 解析 f ′(x )＝x 2＋(2－a )x －2a ＝(x ＋2)(x －a )＝0的两根为x 1＝－2，x 2＝a .若f (x )在[－1,1] 上不单调，则－10，函数f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是单调增函数，则a 的最大值是________．
1.3.1函数的单调性教学设计 一、教学内容分析: 函数的单调性是学生在掌握了函数的概念，函数的表示方法等基础知识后，学习的函数的第一个性质，主要刻画了函数在其定义域内某区间上图像（上升或下降）的变化趋势，为进一步学习函数其它性质提供了方法依据，如在研究函数的值域、最大值、最小值等性质中有着重要应用，而且在解决比较数的大小、解不等式、证明不等式、数列的性质等数学问题时也有重要的应用。同时它又是后续研究指数函数、对数函数以及三角函数性质的基础。所以函数的单调性在高中数学中具有核心知识地位和承上启下的重要作用。 二、教学目标设置: （一）知识与技能： 1.用准确的数学语言归纳、抽象概括增函数和减函数的定义，并能正确理解单调性的定义； 2.利用图像和定义判断函数的单调性，能正确书写单调区间，并能用单调性定义证明函数在给定区间上的单调性； 3.培养学生抽象概括能力、类比化归能力及数形结合思想方法的运用能力。 （二）过程与方法： 1. 通过学生熟悉的现实问题创设情境，引出本节课题函数单调性，同时借助多媒体的直观演示，让学生观察图像（上升？下降？）变化趋势，过渡到在区间上用自变量x和相应函数f(x)的变化进行语言表述； 2.设置问题引导学生自主探究、尝试、归纳、总结，师生互相讨论交流，最终形成严格的数学概念； 3.形成概念后，引导学生自主探究，通过生生互动，师生互动，达到让学生从多种形式认识概念的本质含义，从而加深学生对概念的理解；巩固练习问题（1）为了加深学生对单调性定义中自变量取值“任意”性的理解，是一个很好的问题；问题（2）的变式题体现了“逆向思维”，深化对定义的理解；问题（3）通过教师的引导，针对于数学基础较好、思维较为活跃的一部分学生，
已知函数单调性求参数（较难） 一、选择题 1.若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则a的取值范围是() A． (－∞，＋∞) B． (－2，＋∞) C． (0，＋∞) D． (－1，＋∞) 2.已知函数f(x)＝x3－12x，若f(x)在区间(2m，m＋1)上单调递减，则实数m的取值范围是() A．－1≤m≤1 B．－1 A． (－5，－1)∪(－1,1) B． (－5，－)∪(－，1) C． (－3，－)∪(－，1) D． (－3，－1)∪(－1,5) 6.已知函数f(x)＝x2－ax＋3在(0,1)上为减函数，函数g(x)＝x2－a ln x在(1,2)上为增函数，则a的值等于() A． 1 B． 2 C． 0 D． 7.已知函数f(x)＝x2＋a ln x＋在(1,4)上是减函数，则实数a的取值范围是() A．a≤3 B．a<－ C．a≤－ D．a<3 8.若函数f(x)＝x3－kx2＋(2k－1)x＋5在区间(2,3)上是减函数，则k的取值范围是() A． [1，＋∞) B． [0,1] C． (－∞，0] D． [2，＋∞) 9.函数f(x)＝x3－mx2＋4x在[1,3]上是单调增函数，则实数m的取值范围是() A．m≤5 B．m≤ 课题：函数的单调性 考纲要求： 1．理解函数的单调性及其几何意义. 2．会运用函数的图象理解和研究函数的性质； 3．帮助学生树立函数思想和全面分析问题的方法，增强意志力。 学情分析： 该教学班共有学生 62 人，数学基础普遍不好，对函数的理解不深， 在一轮复习中必须把握基础，注重思想与方法的渗透。 高考预测： 对函数单调性的理解，利用函数的单调性定义判断、讨论、证明函数的单调性。 利用函数的单调性研究函数。. 重点：函数的单调性及其几何意义. 难点：讨论函数的单调性，利用单调性研究函数。 教学过程： 课前热身： 1．x 1，x 2 是函数 f (x )定义域内的两个值，且 x 1＜x 2，有 f (x 1)＞f (x 2)，则 f (x )是( ) A ．增函数 B ．减函数 C ．常数函数 D ．增减性不定 2．下列函数中，在区间(0，2)上为增函数的是( ) A ．y ＝－x ＋1 B ． y x 1 C ．y ＝x 2－4x ＋5 D ．y ＝x ＋x 1 3．函数 f (x )＝x ＋x 的单调增区间是( ) A ．[－1，0)，[1，＋∞) B ．(0，1] C ．(－∞，－1]，[1，＋∞) D ．[－1，0) 要点回顾： 1．函数的单调性概念： (1)单调函数的定义；一般地，设函数 f (x )的定义域为 I ，如果对于定义域 I 内 某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x 1，x 2，当 x 1 “函数的单调性”教学设计(教案) 【教学目标】 【知识目标】：使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，学会利用函数图像理解和研究函数的性质，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法． 【能力目标】通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力． 【德育目标】通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程． 【教学重点】函数单调性的概念、判断及证明． 函数的单调性是学生第一次接触用严格的逻辑语言证明函数的性质，并在今后解决初等函数的性质、求函数的值域、不等式及比较两个数的大小等方面有广泛的实际应用， 【教学难点】归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性．由于判断或证明函数的单调性，常常要综合运用一些知识（如不等式、因式分解、配方及数形结合的思想方法等）所以判断或证明函数的单调性是本节课的难点. 【教材分析】函数的单调性是函数的重要性质之一，它把自变量的变化方向和函数值的变化方向定性的联系在一起，所以本节课在教材中的作用如下 （1）函数的单调性起着承前启后的作用。一方面，初中数学的许多内容在解决函数的某些问题中得到了充分运用，函数的单调性与前一节内容函数的概念和图像知识的延续有密切的联系；函数的单调性一节中的知识是它和后面的函数奇偶性，合称为函数的简单性质，是今后研究指数函数、对数函数、幂函数及其他函数单调性的理论基础。 （2）函数的单调性是培养学生数学能力的良好题材，这节课通过对具体函数图像的归纳和抽象，概括出函数在某个区间上是增函数或减函数的准确定义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的。教材中判断函数的增减性，既有从图像上进行观察的直观方法，又有根据其定义进行逻辑推理的严格证明方法，最后将两种方法统一起来，形成根据观察图像得出猜想结论，进而用推理证明猜想的体系。同时还要综合利用前面的知识解决函数单调性的一些问题，有利于学生数学能力的提高。 利用函数的单调性求参数范围 王冠中 已知函数的单调性，求参变量的取值范围，实质上是含参不等式恒成立的一种重要题型。本文将举例说明此类问题的求解策略。 例1 已知在上单调递减，求实数a的取值范围。分析：令，由为减函数知应为增函数，设，则只需恒成立，所以。 另一方面，，即恒成立，因，故，从而。综上所述，。 评注：本题常因没有考虑对数函数的定义域而产生错误。 例2 已知函数。 （1）若在上是增函数，求a的取值范围； （2）求在上的最大值。 分析：（1）设，则恒成立，又，只需，即。 （3）若，则当时，；若，则 ，当且仅当时，。 评注：本题若没有第一小题为铺垫，第二小题的解决会显得很困难。 例3 已知函数在区间（0，1）上是单调递增函数。 （1）求实数a的取值范围； （2）当取a最小值时，定义数列，，若，求证：； （3）在（2）的条件下，是否存在正实数p，使得，对一切整数都成立？若存在则求出的取值范围，若不存在试说明理由。 分析：本题脱胎于2003年石家庄市高三复习教学质量检测题，与2002年全国高考理科压轴题类似。 （1）要使在（0，1）上增函数，必须（0，1），只需，即。 （2）本小题在时，由导出，容易想到数学归纳法。假设，由（1）结论可知，从而。或证 ，当且仅当时取等号，由知（0，1）。 （3）因为，假设存在正实数满足题设条件，只需恒成立，因 故数列为递增数列，只需，即。 评注：本题3个小题的考查目的各有侧重，第（1）小题逆向考查了函数的单调性，并为第（2）小题的解决埋下了伏笔；第（2）小题比较隐蔽地考查了数学归纳法，这是目前高考命题的一个方向，借助函数单调性或基本不等式加以证明， 颇有特色；第（2）小题为存在型探索题，由，要求考生自觉地探求数列 的单调性，匠心独具，令人耳目一新，掩卷沉思，使人回味无穷。 1．设函数． （1）当时，函数与在处的切线互相垂直，求的值； （2）若函数在定义域内不单调，求的取值范围； （3）是否存在正实数，使得对任意正实数恒成立？若存在，求出满足条件的实数；若不存在，请说明理由． 2．已知函数是的导函数，为自然对数的底数．（1）讨论的单调性； （2）当时，证明：； （3）当时，判断函数零点的个数，并说明理由． 3．已知函数（其中，）. （1）当时，若在其定义域内为单调函数，求的取值范围； （2）当时，是否存在实数，使得当时，不等式恒成立，如果存在，求的取值范围，如果不存在，说明理由（其中是自然对数的底数，）. 4．已知函数，其中为常数. （1）讨论函数的单调性； （2）若存在两个极值点，求证：无论实数取什么值都有. 5．已知函数（为常数）是实数集上的奇函数，函数是区间上的减函数. （1）求的值； （2）若在及所在的取值范围上恒成立，求的取值范围；（3）讨论关于的方程的根的个数. 6．已知函数()()ln ,x f x ax x F x e ax =-=+，其中0,0x a ><. （1）若()f x 和()F x 在区间()0,ln3上具有相同的单调性，求实数a 的取值范围； （2）若21,a e ?? ∈-∞- ??? ，且函数()()12ax g x xe ax f x -=-+的最小值为M ，求M 的最小值. 7．已知函数()ln x m f x e x +=-. （1）如1x =是函数()f x 的极值点，求实数m 的值并讨论的单调性()f x ； （2）若0x x =是函数()f x 的极值点，且()0f x ≥恒成立，求实数m 的取值范围（注：已知常数a 满足ln 1a a =）. 8．已知函数()()2 ln 12x f x mx mx =++-，其中01m <≤． （1）当1m =时，求证：10x -<≤时，()3 3 x f x ≤； （2）试讨论函数()y f x =的零点个数． 9．已知e 是自然对数的底数,()()()1 2ln ,13x F x e x x f x a x -=++=-+. （1）设()()()T x F x f x =-,当1 12a e -=+时, 求证：()T x 在()0,+∞上单调递增； （2）若()()1,x F x f x ?≥≥,求实数a 的取值范围. 10．已知函数()2x f x e ax =+- （1）若1a =-，求函数()f x 在区间[1,1]-的最小值； （2）若,a R ∈讨论函数()f x 在(0,)+∞的单调性； （3）若对于任意的1212,(0,),,x x x x ∈+∞<且 [][]2112()()x f x a x f x a +<+都有成立， 求a 的取值范围。 一、选择题 1.函数y＝ax3－x在(－∞，＋∞)上是减函数，则() A．a＝ B．a＝1 C．a＝2 D．a≤0 2.若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是() A． (－∞，－2] B． (－∞，－1] C． [2，＋∞) D． [1，＋∞) 3.若函数f(x)＝a ln x＋在区间(1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是() A． (－∞，－2] B． (－∞，－1] C． [1，＋∞) D． [2，＋∞) 4.已知f(x)＝a ln x＋x2，若对任意两个不等的正实数x 1，x2都有>0成立，则实数a的取值 范围是() A． [0，＋∞) B． (0，＋∞) C． (0,1) D． (0,1] 5.已知函数f(x)＝－x3＋2ax在(0,1]上是单调递增函数，则实数a的取值范围是() A． (－∞，) B． [，＋∞) C． (，＋∞) D． (－，) 6.函数f(x)＝e x－ax－1在R上单调递增，则实数a的取值范围为() A．R B． [0，＋∞) C． (－∞，0] D． [－1,1] 7.已知a，b是正实数，函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx在x∈[－1,2]上单调递增，则a＋b的取值范围为 () A． (0，] B． [，＋∞) C． (0,1) D． (1，＋∞) 8.已知函数f(x)＝x3＋ax在[1，＋∞)上是增函数，则a的最小值是() A．－3 B．－2 C． 2 D． 3 9.已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是减函数，则实数a的取值范围是() A． (－∞，－)∪[，＋∞) B． [－，] C． (－∞，－)∪(，＋∞) D． (－，) 10.已知函数f(x)＝x－a ln x在区间(0,2]上单调递减，则实数a的取值范围是() A． (0，) B． (0,2) C． (，＋∞) D． [2，＋∞) 11.已知f(x)＝x3＋bx2＋(b＋2)x＋3在R上是单调增函数，则b的取值范围是() A．b≤－1或b≥2 B．b<－1或b>2公开课教案函数的单调性
函数的单调性优秀教案(教学设计)(公开课比赛优秀教案)
利用函数的单调性求参数范围
导数讨论含参单调性习题(含详解答案)
专题：已知函数单调性求参数(简单)
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