一题多变：已知函数的单调性求参数取值范围

题型8新定义 (9)已知函数y =Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0)，在[x 1,x 2]上单调递增（或递减），求ω的取值范围第一步：根据题意可知区间[x 1,x 2]的长度不大于该函数最小正周期的一半，即x 2-x 1≤12T =πω，求得0<ω≤πx 2-x 1.第二步：以单调递增为例，利用[ωx 1+φ,ωx 2+φ]⊆[―π2+2kπ,π2+2kπ]，解得ω的范围；第三步：结合第一步求出的ω的范围对k 进行赋值，从而求出ω（不含参数）的取值范围.结合图象平移求ω的取值范围1、平移后与原图象重合思路1：平移长度即为原函数周期的整倍数；思路2：平移前的函数=平移后的函数.2、平移后与新图象重合：平移后的函数=新的函数.3、平移后的函数与原图象关于轴对称：平移后的函数为偶函数；4、平移后的函数与原函数关于轴对称：平移前的函数=平移后的函数-；5、平移后过定点：将定点坐标代入平移后的函数中。

()f x ()g x ()f x ()g x y x ()f x ()g x三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为T，相邻的对称轴和对2，也就是说，我们可以根据三角函数的对称性来研究其周期称中心之间的“水平间隔”为T4性，进而可以研究ω的取值。

三角函数的对称轴比经过图象的最高点或最低点，函数的对称中心就是其图象与x轴的交点（零点），也就是说我们可以利用函数的最值、零点之间的“差距”来确定其周期，进而可以确定ω的取值.已知三角函数的零点个数问题求ω的取值范围对于区间长度为定值的动区间，若区间上至少含有k个零点，需要确定含有k个零点的区间长度，一般和周期相关，若在在区间至多含有k个零点，需要确定包含k+1个零点的区间长度的最小值．三角函数的对称轴比经过图象的最高点或最低点，函数的对称中心就是其图象与x轴的交点（零点），也就是说我们可以利用函数的最值、零点之间的“差距”来确定其周期，进而可以确定ω的取值.ππ。

复合函数问题一、复合函数定义： 设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A ⊇B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量.二、复合函数定义域问题：题型一、已知f x ()的定义域，求[]f g x ()的定义域思路：设函数f x ()的定义域为D ，即x D ∈，所以f 的作用范围为D ，又f 对g x ()作用，作用范围不变，所以D x g ∈)(，解得x E ∈，E 为[]f g x ()的定义域。

例1. 设函数f u ()的定义域为（0，1），则函数f x (ln )的定义域为__________。

解：函数f u ()的定义域为（0，1）即u ∈()01，，所以f 的作用范围为（0，1）又f 对lnx 作用，作用范围不变，所以01<<ln x解得x e ∈()1，，故函数f x (ln )的定义域为（1，e ）例2. 若函数f x x ()=+11，则函数[]f f x ()的定义域为______________。

解：先求f 的作用范围，由f x x ()=+11，知x ≠-1 即f 的作用范围为{}x R x ∈≠-|1，又f 对f(x)作用所以f x R f x ()()∈≠-且1，即[]f f x ()中x 应满足x f x ≠-≠-⎧⎨⎩11() 即x x ≠-+≠-⎧⎨⎪⎩⎪1111，解得x x ≠-≠-12且 故函数[]f f x ()的定义域为{}x R x x ∈≠-≠-|12且题型二、已知[]f g x ()的定义域，求f x ()的定义域思路：设[]f g x ()的定义域为D ，即x D ∈，由此得g x E ()∈，所以f 的作用范围为E ，又f 对x 作用，作用范围不变，所以x E E ∈，为f x ()的定义域。

例3. 已知f x ()32-的定义域为[]x ∈-12，，则函数f x ()的定义域为_____。

如何运用导数解决含参函数问题的研究作者：黄清鹏来源：《中学课程辅导·教师通讯》2018年第02期【内容摘要】导数的学习和解决方法的掌握，不仅是高中数学重要的组成部分，在高考中也是作为考试的考查重点。

含参函数问题主要是以函数为载体，运用导数工具来解决这一类问题，这是一种方法，主要是考查函数性质，促进学生深入研究和分析导数和更好地应用导数。

因此，运用导数解决含参函数问题，必须把握好最近几年函数命题的规律，深入了解和分析导数的性质和应用，结合试题特点和命题趋向的同时，要充分运用导数来解决含参函数问题。

要把握好导数的性质，根据导数来求出含参数函数问题中参数的取值范围，这种求存在性问题是常考的范围，也是常规的解题思路，通过等价转化将复杂的数学思想进行简单转化，有利于将学生不熟悉、复杂的问题简单化，进而变为他们熟悉、规范和简单的含参函数问题。

运用导数解决含参函数问题，对提高学生对导数性质认识和创新方法与思路去解决含参函数问题具有极强的指导意义。

【关键词】含参函数问题导数数学历年高考试题中常常出现含参函数问题，这考察的不仅是学生对含参函数问题的解决能力，也是学生解题思路的一种培养。

常用的解题方法就是导数求解法。

实际上，学生对这类含参函数问题比较头疼和恐惧，因为此类问题涉及的数学知识内容多、面广，具有极强的综合性。

学生面对这类问题时，不知道如何确定参数范围，也不知道所包括的函数关系或不等关系是怎么来的。

含参函数问题以函数为载体，对学生函数性质及导数应用的考察要求较为严格，也是近些年高考数学命题的趋向。

实际上，运用导数解决含参数函数问题，求参数取值范围，作为探索性问题对于数学解题来说非常常见，通过等价转化来把握住数学思想，就可以将这些复杂的数学问题转化成为学生熟悉的、规范的和简单的问题。

运用导数解决含参函数问题，就是基于不等式的结构特征，把握好含参数不等式的存在性，适当构造函数，来探讨含参函数的最值，利用导数就可以求出范围。

1 / 3数形结合，巧解含参方程若存在[]1,2∈m ，使得关于x 的方程()22+−=mm t xm x知有四个不等的实数根，则实数t 的取值范围是_________.答案：3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭解法一：分离参数由题意得：321=−++x x t m m m ，令()3232,01,01⎧−>⎪⎪++=⎨⎪−+<⎪++⎩x xx m m m f x x x x m m m ， 易知()f x 为偶函数，且当0>x 时，()2222313=1−'−=+++x x mf x m m m m m，则当3⎛∈ ⎝m x 时，()0'<f x ，()f x 单调递减；当,+3⎫∈∞⎪⎪⎭m x 时，()0'>f x ，()f x 单调递增； 所以()()23391≥=−+m m f x f m ，如图作出()f x 图像， 要使关于x 的方程()22+−=mm t xm x知有四个不等的实数根，则有()230<<mt ，因为()()23=mg m 在[]1,2上单调递增，所以()()min 31>==t g m g ， 综上：实数t 的取值范围是39⎛⎫∈− ⎪ ⎪⎝⎭t .解法二：直接求导由题意得，()()220−−+=x m x m m t ，令()()()3232,0,0⎧−−+>⎪=⎨−+−+<⎪⎩x mx m m t x f x x mx m m t x ， 易知()f x 为偶函数，且当0>x 时，()2=3'−f x x m ，则当3⎛∈ ⎝m x 时，()0'<f x ，()f x 单调递减；当,+3⎫∈∞⎪⎪⎭m x 时，()0'>f x ，()f x 单调递增； 要使关于x 的方程()22+−=mm t xm x知有四个不等的实数根，则有03<m f ，且0<t ；化解得()23331>=m t m m2⎡⎣m ， 由题意知min3331⎛>= +⎝t m m ，综上：实数t 的取值范围是39⎛⎫∈− ⎪ ⎪⎝⎭t .解法三：切线法①当=0t 时，原方程化为20−=x m ，只有两个实数根，不合题意，舍； ②当>0t 可作出()2=−f x x m 和()()2+=m m t g x x的草图如图，易知只有两个实数根，不合题意，舍；3 / 3③当<0t 时，考虑临界情况，即()f x 与()g x 图像相切时，如图，设切点为()()00,x f x ，在()0,∈+∞x 上，此时()2'=f x x ，()()22+'=−mm t g x x，有：()()202022002①②⎧+⎪=−⎪⎨+⎪−=⎪⎩m m t x x m m t x m x ，①②得03=m x ，此时解得()02323119192=−=+++m t m m m， 要使关于x 的方程()22+−=mm t x m x知有四个不等的实数根，则有()0min 39>=−t t ，综上：实数t 的取值范围是39⎛⎫∈− ⎪ ⎪⎝⎭t .评论与赏析：本题是一个关于x 的方程，其中含有两个参数t 和m ，根据此方程有4个不相等的实数根，从而进行数形结合来求解. 而在解法一中，多数老师利用分离参数t ，从而根据函数的单调性做出()f x 的图像，使得当此方程有4个不等的实数根的时候相当于两个函数图像有4个交点，从而得出t 的取值范围，这是比较普遍的做法. 而解法二直接求导，就是根据方程变形，然后把含有t 的一个函数关系式进行求导，其实本质上和解法一类似，故不再赘述. 而解法三利用数形结合讨论t 的取值范围，从而利用图像交点的个数进行求解，当讨论0<t 的时候，根据图像相切从而得出此时的切点坐标，然后再回归到前两种解法中来，第三种解法笔者认为更好一些.。

158教育版次次绝境重生，在攻坚克难中能不断从胜利走向胜利，根本原因就在于不管是处于顺境还是逆境，我们党始终坚守为中国人民谋幸福、为中华民族谋复兴这个初心和使命！在新时代下的今天，我们仍然要不忘初心，牢记使命，为实现两个一百年奋斗目标和中华民族伟大复兴的中国梦而努力奋斗！谢谢指导，谢谢合作！教学反思：亮点：重难点突破较好，捋清了中国共产党开辟革命新道路的来龙去脉，线索清晰；课堂气氛活跃，学生思维在动，小组合作讨论，自主、探究、合作学习明显。

不足：时间把握上，第一、三子目可更紧凑些，以便更集中突破重难点——第二子目。

（单位：山东省微山县第一中学）内容摘要：思维的基本品质有：广阔性，深刻性，敏捷性，灵活性，独立性，批判性。

通过具体案例展示一题多解和一题多变，促进知识与方法的迁移，促进学生思维的多元化，提高思维的广阔性、灵活性和深刻性。

关键词： 一题多解　一题多变　思维品质“一题多解”是通过不同的思维途径，采用多种解题方法解决同一个问题的教学方法。

在教学中，教师引导学生从不同的方面不同的角度去分析问题解决问题，可以较好地激活学生的思维潜能，充分调动学生脑海中储存的大量信息，在探求问题的解决方案中，使学生建立起解题的思维网络，启迪学生的发散思维能力。

一题多解，有利于拓宽学生思维的广阔性，提高思维的灵活性和深刻性，培养学生的辩证思维能力，提升思维的品质。

的取值范围。

求满足实数例y x y x y x +=+,134,122（略）在这个问题的解决中，引导学生从解析几何，导数，三角函数，柯西不等式，向量等角度寻求解法，开拓了解题思路，提高了解决问题的能力，最大限度地挖掘学生已有的知识潜能。

学生对比七种解法，找到适合自己的方法，优化了自己的解题策略。

通过认识不同解法的差异和联系，加深对概念、规律的理解和应用，内化认知结构，完善知识系统。

例2:已知函数f(x)=x 3-3ax-bx，其中a，b 为实数，若f(x)在区间[-1，2]上为减函数，且b=9a,求a 的取值范围。

第3讲导数的简单应用1．导数的几何意义函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，曲线f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(x0)，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．[提醒]求曲线的切线方程时，要注意是在点P处的切线还是过点P的切线，前者点P 为切点，后者点P不一定为切点．2．四个易误导数公式(1)(sin x)′＝cos_x；(2)(cos x)′＝－sin_x；(3)(a x)′＝a x ln a(a>0，且a≠1)；(4)(log a x)′＝1x ln a(a>0，且a≠1，x>0)．3．利用导数研究函数的单调性(1)导数与函数单调性的关系．①f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0.②f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件，如果函数在某个区间内恒有f′(x)＝0时，则f(x)为常数函数．(2)利用导数研究函数单调性的方法．①若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0.②若已知函数的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题来求解．4．利用导数研究函数的极值、最值(1)若在x0附近左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则f(x0)为函数f(x)的极大值；若在x0附近左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则f(x0)为函数f(x)的极小值．(2)设函数y＝f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则f(x)在[a，b]上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得．热点一导数的几何意义——明切点，建方程(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax.若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x) 在点(0，0)处的切线方程为()A．y＝－2x B．y＝－xC．y＝2x D．y＝x解析：选D.解法一：因为函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以(－x)3＋(a－1)(－x)2＋a(－x)＝－[x3＋(a－1)x2＋ax]，所以2(a－1)x2＝0，因为x∈R，所以a ＝1，所以f (x )＝x 3＋x ，所以f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为y ＝x .故选D. [一题多变]1．奇函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax 与直线y ＝kx ＋2相切，则实数k 的值为________． 解析：由例1解析知a ＝1，即f (x )＝x 3＋x ，f ′(x )＝3x 2＋1. 设切点M 为(x 0，x 30＋x 0)，则点M 处的切线方程为y －(x 30＋x 0)＝(3x 20＋1)(x －x 0)，又切线y ＝kx ＋2 过定点(0，2)，所以2－x 30－x 0＝(3x 20＋1)(－x 0)解得 x 0＝－1，故k ＝3x 20＋1＝4. 答案：42．奇函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax 与曲线y ＝2x 2交点处的公切线方程为y ＝kx ＋2，则实数k 的值为________．解析：由例1解析知f (x )＝x 3＋x ，设交点(x 0，2x 20)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 30＋x 0＝2x 203x 20＋1＝4x 0＝k解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1k ＝4答案：41．解题策略：与切线有关问题的处理策略(1)已知切点A (x 0，y 0)求斜率k ，即求该点处的导数值，k ＝f ′(x 0)． (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k .(3)求过某点M (x 1，y 1)的切线方程时，需设出切点A (x 0，f (x 0))，则切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，再把点M (x 1，y 1)代入切线方程，求x 0. 2．常用结论①y ＝e x 在(0，1)处的切线方程为y ＝x ＋1；过原点的切线的切点为(1，e)； ②y ＝ln x 在(1，0)处的切线方程为y ＝x －1；过原点的切线的切点为(e ，1)． 热点二 利用导数研究函数的单调性(1)(2019·河北名校联考)函数f (x )＝x 2－2ln x 的单调递减区间是________．解析：函数f (x )＝x 2－2ln x 的定义域为(0，＋∞)，令f ′(x )＝2x －2x ＝2（x ＋1）（x －1）x <0，得0<x <1，∴f (x )的单调递减区间是(0，1)．(2)函数f (x )＝13x 3－x 2＋ax －5在区间(－1，2)内单调递减，则实数a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝x 2－2x ＋a ，又f (x )在(－1，2)内单调递减， ∴x 2－2x ＋a ≤0在(－1，2)上恒成立． 解法一：分离参数法－a ≥x 2－2x 恒成立，又x 2－2x <3. 故－a ≥3，即a ≤－3. 解法二：构造函数法设g (x )＝x 2－2x ＋a .由二次函数性质得：⎩⎪⎨⎪⎧g （－1）≤0g （2）≤0即⎩⎪⎨⎪⎧（－1）2＋2＋a ≤04－4＋a ≤0，即a ≤－3. 答案：(－∞，－3](3)(2019·武汉模拟)已知定义域为R 的奇函数y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，当x >0时， xf ′(x )－f (x )<0，若a ＝f （e ）e ，b ＝f （ln 2）ln 2，c ＝f （－3）－3，则a ，b ，c 的大小关系正确的是( ) A ．a <b <c B ．b <c <a C ．a <c <bD ．c <a <b解析：选D.构造函数g (x )＝f （x ）x ，所以g ′(x )＝xf ′（x ）－f （x ）x 2， 因为当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，所以g ′(x )<0，所以函数g (x )在(0，＋∞)上单调递减． 因为函数f (x )为奇函数，所以g (x )＝f （x ）x是偶函数，所以c ＝f （－3）－3＝g (－3)＝g (3)，因为a ＝f （e ）e ＝g (e)，b ＝f （ln 2）ln 2＝g (ln 2)，所以g (3)<g (e)<g (ln 2)，所以c <a <b . [一题多变]1．本例(1)函数f (x )＝x 2－2a ln x (a ∈R )的单调递增区间为________． 解析：定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2x －2a x ＝2（x 2－a ）x当a ≤0时，f ′(x )>0，即f (x )的增区间为(0，＋∞)． 当a >0时，由f ′(x )>0即x 2>a ，又x >0即x >a . 故f (x )增区间为(a ，＋∞)． 综上当a ≤0时f (x )增区间为(0，＋∞) 当a >0时，f (x )的增区间为(a ，＋∞)． 答案：当a ≤0时，f (x )增区间为(0，＋∞) 当a >0时，f (x )的增区间为(a ，＋∞)．2．本例(2)若f (x )＝13x 3－x 2＋ax －5在区间(－1，2)内存在单调减区间，则实数a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝x 2－2x ＋a ＝(x －1)2＋a －1，当x ∈(－1，2)时，f ′(x )≥a －1， 依题意a －1<0即a <1. 答案：(－∞，1)3．本例(2)若函数f (x )＝13x 3－x 2＋ax －5在[－1，2]上不单调，则实数a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝(x －1)2＋a －1，若函数f (x )在[－1，2]上单调，则a －1≥0或⎩⎪⎨⎪⎧f ′（－1）≤0f ′（2）≤0解得a ≥1或a ≤－3，故满足条件的a ∈(－3，1)． 答案：(－3，1)4．本例(3)变为：已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(－∞，0)时，不等式f (x )＋xf ′(x )<0成立，若a ＝3f (3)，b ＝－2f (－2)，c ＝f (1)，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．c >b >a C ．c >a >bD ．a >c >b解析：选A.令函数F (x )＝xf (x )，则F ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，∵当x ∈(－∞，0)时，f (x )＋xf ′(x )<0，∴F (x )＝xf (x )在(－∞，0)上单调递减，∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴F (x )为偶函数．∵a ＝3f (3)，b ＝－2f (－2)，c ＝f (1)，∴a ＝F (－3)，b ＝F (－2)，c ＝F (1)＝F (－1)，∴F (－3)>F (－2)>F (－1)，即a >b >c .1．解题策略(1)利用函数的单调性求参数的取值范围的解题思路①由函数在区间[a ，b ]上单调递增(减)可知f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)在区间[a ，b ]上恒成立列出不等式．②利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题．③对等号单独检验，检验参数的取值能否使f ′(x )在整个区间恒等于0，若f ′(x )恒等于0，则参数的这个值应舍去；若只有在个别处有f ′(x )＝0，则参数可取这个值． (2)利用导数比较大小或解不等式的常用技巧利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式． 2．依据求导法则，常见的构造函数有： (1)xf ′(x )＋f (x )联想[xf (x )]′；(2)xf ′(x )－f (x )联想⎣⎡⎦⎤f （x ）x ′；(3)f ′(x )＋f (x )联想[e x f (x )]′； (4)f ′(x )－f (x )联想⎣⎡⎦⎤f （x ）e x ′；(5)f ′(x )±k 联想(f (x )±kx )′.热点三 利用导数研究函数的极值、最值(1)[母题](2019·唐山模拟)已知函数f (x )＝23x 3－2ax 2－3x ＋1在(－1，2)内有且只有一个极值点，则实数a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝2x 2－4ax －3，由函数f (x )在(－1，2)内有且只有一个极值点，知f ′(x )＝0在(－1，2)上有且只有一根(不是重根)，则①f ′(－1)·f ′(2)＜0，解得a ＞58或a ＜14；②若f ′(－1)＝0，a ＝14，则f ′(x )＝0的另一根为32，32∈(－1，2)，满足条件；③若f ′(2)＝0，a ＝58，则f ′(x )＝0的另一根为－34，－34∈(－1，2)，满足条件．综上，a ≥58或a ≤14.答案：(－∞，14]∪[58，＋∞)(2)[考题打磨]若函数f (x )＝2x 3－ax 2＋1(a ∈R )在(0，＋∞)内有且只有一个零点，则f (x )在[－1，1]上的最大值与最小值的和为________．解析：f ′(x )＝6x 2－2ax ＝2x (3x －a )(x >0)，①当a ≤0时，f ′(x )＞0，在(0，＋∞)上恒成立，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (0)＝1，所以此时f (x )在(0，＋∞)内无零点，不满足题意．②当a ＞0时，由f ′(x )＞0得x ＞a 3，由f ′(x )＜0得0＜x ＜a3，则f (x )在⎝⎛⎭⎫0，a 3上单调递减，在⎝⎛⎭⎫a 3，＋∞上单调递增，又f (x )在(0，＋∞)内有且只有一个零点，所以f ⎝⎛⎭⎫a 3＝－a 327＋1＝0，得a ＝3，所以f (x )＝2x 3－3x 2＋1，则f ′(x )＝6x (x －1)，当x ∈(－1，0)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，当x ∈(0，1)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，则f (x )max ＝f (0)＝1，f (－1)＝－4，f (1)＝0，则f (x )min ＝－4，所以f (x )在[－1，1]上的最大值与最小值的和为－3.(1)求函数f (x )的极值，则先求方程f ′(x )＝0的根，再检查f ′(x )在方程根的左右函数符号． (2)若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f ′(x )＝0根的大小或存在来求解． (3)求函数f (x )在闭区间[a ，b ]的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f (a )，f (b )与f (x )的各极值进行比较得到函数的最值．(2019·昆明二模)已知函数f (x )＝e xx 2＋2k ln x －kx ，若x ＝2是函数f (x )的唯一极值点，则实数k 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤－∞，e 24 B ．⎝⎛⎦⎤－∞，e2 C ．(0，2]D ．[2，＋∞)解析：选A.由题意得f ′(x )＝e x （x －2）x 3＋2k x －k ＝（x －2）（e x －kx 2）x 3，f ′(2)＝0.令g (x )＝e x－kx 2，g (x )在区间(0，＋∞)恒大于等于0，或恒小于等于零，即e x x 2≥k 或k ≥e xx2在(0，＋∞)上恒成立．设h (x )＝e x x 2，h ′(x )＝e 2（x －2）x 3，所以h (x )的最小值为h (2)＝e 24，所以k ≤e 24，选A.限时训练一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)1．(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线y ＝a e x ＋x ln x 在点(1，a e)处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则( )A ．a ＝e ，b ＝－1B ．a ＝e ，b ＝1C ．a ＝e －1，b ＝1D ．a ＝e －1，b ＝－1解析：选D.y ′＝a e x ＋ln x ＋1，k ＝y ′|x ＝1＝a e ＋1， ∴切线方程为y －a e ＝(a e ＋1)(x －1)， 即y ＝(a e ＋1)x －1.又∵切线方程为y ＝2x ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a e ＋1＝2，b ＝－1，即a ＝e －1，b ＝－1. 故选D.2．(2019·太原二模)函数y ＝f (x )的导函数的图象如图所示，则下 列说法错误的是( ) A ．(－1，3)为函数y ＝f (x )的单调递增区间 B ．(3，5)为函数y ＝f (x )的单调递减区间 C ．函数y ＝f (x )在x ＝0处取得极大值 D ．函数y ＝f (x )在x ＝5处取得极小值解析：选C.由函数y ＝f (x )的导函数的图象可知，当x <－1或3<x <5时，f ′(x )<0，y ＝f (x )单调递减；当x >5或－1<x <3时，f ′(x )>0，y ＝f (x )单调递增．所以函数y ＝f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，5)，单调递增区间为(－1，3)，(5，＋∞)．函数y ＝f(x)在x＝－1，5处取得极小值，在x＝3处取得极大值，故选项C错误，选C. 3．(2019·武汉模拟)函数f(x)＝ln x＋ax存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围为()A．(－∞，2] B．(－∞，2)C．(2，＋∞) D．(0，＋∞)解析：选B.f(x)＝ln x＋ax存在与直线2x－y＝0平行的切线，即f′(x)＝2在(0，＋∞)上有解，而f′(x)＝1x＋a，即1x＋a＝2在(0，＋∞)上有解，a＝2－1x，因为x>0，所以2－1x<2，所以a的取值范围是(－∞，2)．故选B.4．若函数f(x)＝(x＋a)e x在(0，＋∞)上不单调，则实数a的取值范围是() A．(－∞，－1) B．(－∞，0)C．(－1，0) D．[－1，＋∞)解析：选A.f′(x)＝e x(x＋a＋1)，由题意，知方程e x(x＋a＋1)＝0在(0，＋∞)上至少有一个实数根，即x＝－a－1>0，解得a<－1.5．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2，2]上有最大值为3，那么此函数在[－2，2]上的最小值为()A．0 B．－5C．－10 D．－37解析：选D.由题意知，f′(x)＝6x2－12x，由f′(x)＝0得x＝0或x＝2，当x<0或x>2时，f′(x)>0，当0<x<2时，f′(x)<0，∴f(x)在[－2，0]上单调递增，在[0，2]上单调递减，由条件知f(0)＝m＝3，∴f(2)＝－5，f(－2)＝－37，∴最小值为－37.6．若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)e x－1的极值点，则f(x)的极小值为()A．－1 B．－2e－3C．5e－3D．1解析：选A.由题意可得f′(x)＝e x－1[x2＋(a＋2)x＋a－1]．∵x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax －1)e x－1的极值点，∴f′(－2)＝0，∴a＝－1，∴f(x)＝(x2－x－1)e x－1，f′(x)＝e x－1(x2＋x－2)＝e x－1(x－1)(x＋2)，∴x∈(－∞，－2)，(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x) 单调递增；x∈(－2，1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减．∴f(x)极小值＝f(1)＝－1.故选A.7．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是() A．(－1，2) B．(－∞，－3)∪(6，＋∞)C．(－3，6) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)解析：选B.∵f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，由已知可得f′(x)＝0有两个不相等的实根．∴Δ＝4a 2－4×3(a ＋6)>0，即a 2－3a －18>0. ∴a >6或a <－3.8．(2019·宁波模拟)若不等式2x ln x ≥－x 2＋ax －3对x ∈(0，＋∞)恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，4] C ．(0，＋∞)D ．[4，＋∞)解析：选B.2x ln x ≥－x 2＋ax －3， 则a ≤2ln x ＋x ＋3x ，设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x (x >0)，则h ′(x )＝（x ＋3）（x －1）x 2.当x ∈(0，1)时，h ′(x )<0，函数h (x )单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0，函数h (x )单调递增， 所以h (x )min ＝h (1)＝4，所以a ≤h (x )min ＝4. 9．(2019·吉林长春质检)已知函数f (x )＝e xx2－k ⎝⎛⎭⎫2x ＋ln x ，若x ＝2是函数f (x )的唯一极值点，则实数k 的取值范围为( ) A ．(－∞，e] B ．[0，e] C ．(－∞，e)D ．(0，e]解析：选A.∵f (x )＝e x x2－k ⎝⎛⎭⎫2x ＋ln x ， ∴x ∈(0，＋∞)，∴f ′(x )＝（e x －kx ）（x －2）x 2.∵x ＝2是f (x )的唯一极值点，∴y ＝e x －kx 无其他变号零点． 令g (x )＝e x －kx ，则g ′(x )＝e x －k .①k ≤0时，g ′(x )＞0恒成立，g (x )在(0，＋∞)上单调递增，g (x )min ＝g (0)＝1，∴g (x )＝0无解．②k ＞0时，由g ′(x )＝0得x ＝ln k .0＜x ＜ln k 时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减；x ＞ln k 时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增． ∴g (x )min ＝g (ln k )＝k －k ln k ，∴k －k ln k ≥0，∴0＜k ≤e ， 综上，k ≤e.故选A.11．(2019·长沙模拟)已知定义在R 上的可导函数f (x )的导函数为f ′(x )，满足f ′(x )<f (x )，且f (x ＋2)为偶函数，f (4)＝1，则不等式f (x )<e x 的解集为( ) A ．(－2，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞)解析：选B.因为f (x ＋2)为偶函数， 所以f (x ＋2)的图象关于x ＝0对称， 所以f (x )的图象关于x ＝2对称． 所以f (0)＝f (4)＝1. 设g (x )＝f （x ）ex (x ∈R )，则g ′(x )＝f ′（x ）e x －f （x ）e x （e x ）2＝f ′（x ）－f （x ）e x .又f ′(x )<f (x )，所以g ′(x )<0(x ∈R )， 所以函数g (x )在定义域上单调递减．因为f (x )<e x ⇔f （x ）e x <1，而 g (0)＝f （0）e 0＝1，所以f (x )<e x ⇔g (x )<g (0)，所以x >0.故选B. 12．(2019·浙江卷)设a ，b ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ＜0，13x 3－12（a ＋1）x 2＋ax ，x ≥0.若函数y ＝f (x )－ax －b 恰有3个零点，则( ) A ．a ＜－1，b ＜0 B ．a ＜－1，b ＞0 C ．a ＞－1，b ＜0 D ．a ＞－1，b ＞0解析：选C.由题意，b ＝f (x )－ax ＝⎩⎪⎨⎪⎧（1－a ）x ，x <0，13x 3－12（a ＋1）x 2，x ≥0. 设y ＝b ，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（1－a ）x ，x <0，13x 3－12（a ＋1）x 2，x ≥0. 即以上两个函数的图象恰有3个交点，根据选项进行讨论． ①当a <－1时，1－a >0，可知g (x )在(－∞，0)上递增； 由g ′(x )＝x 2－(a ＋1)x ＝x [x －(a ＋1)](x ≥0)，a ＋1<0， 可知g (x )在(0，＋∞)上递增．此时直线y ＝b 与g (x )的图象只有1个交点，不符合题意，故A ，B 排除． ②当a >－1，即a ＋1>0时， 因为g ′(x )＝x [x －(a ＋1)](x ≥0)， 所以当x ≥0时，由g ′(x )<0可得0<x <a ＋1，所以当x ≥0时，g (x )在(0，a ＋1)上递减，g (x )在(a ＋1，＋∞)上递增． 如图，y ＝b 与y ＝g (x )(x ≥0)的图象至多有2个交点．当1－a >0，即－1<a <1时，由图象可得，若要y ＝g (x )与y ＝b 的图象有3个交点，必有b <0；当1－a ＝0时，y ＝g (x )与y ＝b 的图象可以有1个、2个或无数个交点，但不存在有3个交点的情况，不合题意，舍去；当1－a <0，即a >1时，y ＝g (x )与y ＝b 的图象可以有1个或2个交点，但不存在有3个交点的情况，不合题意，舍去．综上，－1<a <1，b <0. a>－1,b<0,故选C . 二、填空题13．(2019·浙江卷)在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y ＝ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点(－e ，－1)(e 为自然对数的底数)，则点A 的坐标是________． 解析：设A (m ，n )，则曲线y ＝ln x 在点A 处的切线方程为y －n ＝1m (x －m )．又切线过点(－e ，－1)，所以有n ＋1＝1m (m ＋e)．再由n ＝ln m ，解得m ＝e ，n ＝1. 故点A 的坐标为(e ，1)． 答案：(e ，1)14．(2019·南通调研)已知函数f (x )＝2f ′(1)ln x －x ，则f (x )的极大值为________． 解析：因为f ′(x )＝2f ′（1）x－1，所以f ′(1)＝2f ′(1)－1，所以f ′(1)＝1，故f (x )＝2ln x －x ，f ′(x )＝2x －1＝2－x x ，则f (x )在(0，2)上为增函数，在(2，＋∞)上为减函数，所以当x ＝2时f (x )取得极大值，且f (x )极大值＝f (2)＝2ln 2－2. 答案：2ln 2－215．(2019·天津卷改编)已知a ∈R .设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2ax ＋2a ，x ≤1，x －a ln x ，x ＞1.若关于x 的不等式f (x )≥0在R 上恒成立，则a 的取值范围为________．解析：当x ≤1时，由f (x )＝x 2－2ax ＋2a ≥0恒成立，而二次函数f (x )图象的对称轴为直线x ＝a ，所以当a ≥1时，f (x )min ＝f (1)＝1>0恒成立， 当a <1时，f (x )min ＝f (a )＝2a －a 2≥0，∴0≤a <1. ∴a ≥0.当x >1时，由f (x )＝x －a ln x ≥0恒成立， 即a ≤xln x恒成立．设g(x)＝xln x，则g′(x)＝ln x－1（ln x）2.令g′(x)＝0，得x＝e，且当1<x<e时，g′(x)<0，当x>e时，g′(x)>0，∴g(x)min＝g(e)＝e，∴a≤e.综上，a的取值范围为[0，e]．答案：[0，e]。

一题多变：已知函数的单调性求参数取值范围例题：若函数h (x )＝ln x －12ax 2－2x (a ≠0)在[1,4]上单调递减，求a 的取值范围. 解：因为h (x )在[1,4]上单调递减，所以当x ∈[1,4]时，h ′(x )＝1x－ax －2≤0恒成立， 即a ≥1x 2－2x恒成立． 令G (x )＝1x 2－2x，则由题意可知，只需a ≥G (x )max ， 而G (x )＝1)11(2--x ， 因为x ∈[1,4]，所以1x ∈]1,41[， 所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)，所以a ≥－716， 又因为a ≠0，所以a 的取值范围是)0,167[-∪(0，＋∞)．[方法技巧] 根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ，b )上单调，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集．(2)f (x )为增函数的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上，f ′(x )不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题．[变式探究]1.若本例条件变为“函数h (x )在[1,4]上单调递增”，求a 的取值范围.因为h (x )在[1,4]上单调递增，所以当x ∈[1,4]时，h ′(x )≥0恒成立，即a ≤1x 2－2x恒成立，又因为当 x ∈[1,4]时，(1x 2－2x)min ＝－1(此时x ＝1)，所以a ≤－1， 即a 的取值范围是(－∞，－1]．2．若本例条件变为“函数h (x )在[1,4]上存在单调递减区间”，求a 的取值范围.因为h(x)在[1,4]上存在单调递减区间，所以h′(x)＜0在[1,4]上有解，所以当x∈[1,4]时，a＞1x2－2x有解，而当x∈[1,4]时，(1x2－2x)min＝－1(此时x＝1)，所以a＞－1，又因为a≠0，所以a的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)．3．若本例条件变为“函数h(x)在[1,4]上不单调”，求a的取值范围.因为h(x)在[1,4]上不单调，所以h′(x)＝0在(1,4)上有解，即a＝1x2－2x＝(11x)2－1在(1,4)上有解，令m(x)＝1x2－2x，x∈(1,4)，则－1＜m(x)＜－716.所以实数a的取值范围是(－1,－716).。

高一数学函数图像试题答案及解析1.一电子广告，背景是由固定的一系列顶点相接的正三角形组成，这一列正三角形的底边在同一直线上，正三角形的内切圆由第一个正三角形底边中点点沿三角形列的底边匀速向前滚动（如图），设滚动中的圆与系列正三角形的重叠部分（如图中的阴影）的面积关于时间的函数为，则下列图中与函数图像最近似的是（）【答案】B【解析】滚动中的圆与系列正三角形的重叠部分（如图中的阴影）的面积S关于时间t的关系呈周期性变化，且两者之间是非线性变化，故排除答案D；圆滚动到两三角形的连接点时，阴影部分的面积取最小值，但仍不为0，故排除答案C又由当t=0时，阴影部分的面积取最大值，可排除答案A，故选B.考点:函数图像2.在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时价格曲线y=f(x)(实线表示)，另一种是平均价格曲线y=g(x)(虚线表示)(如f(2)=3是指开始买卖后两个小时的即时价格为3元g(2)=3表示2个小时内的平均价格为3元)，下图给出四个图象：其中可能正确的图象序号是 .A．①②③④B．①③④C．①③D．③【答案】D【解析】①错，因为即时价格是下降的，所以从开始后，平均价格应在即时价格的上面，不会有交点；②错，因为，如果平均价格不变，那么即时价格也应不变；③正确，因为开始即时价格是上升的，所以一段时间的平均价格应该在他的下面，后即时价格下降了，那么经过一段时间，会出现平均价格在即时价格的上面；④错，即时价格为折线，平均价格应为曲线.故选D.【考点】函数的图像3.已知函数若函数有三个零点，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】有3个零点，即有三个实根，即与有三个不同交点，画出的图像，当有三个交点时，先确定了,解得：.【考点】1.函数零点；2.函数图像.4.函数的图象大致是（）【答案】C【解析】，即，所以不是偶函数，图像不关于y轴对称，故D不正确；时，所以，所以，所以，故B不正确。

当时，所以，所以，故A不正确。