直线的斜率 作业 高中数学 必修二 苏教版 含答案

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鑫达捷 第1课 直线的斜率（1）
分层训练
1．已知直线l 经过点(3,2)A 、(3,2)B -，则直线l 的斜率为 （ ） ()A 0 ()B 1 ()C 1- ()D 不存在
2．设,,a b c 是两两不等的实数，直线l 经过点
(,)P b b c +与点(,)Q a a c +，
则直线l 的斜率是（ ） ()A 0 ()
B ()
C 1 ()
D 3．三点(3,1)A ，(2,)B m ，(8,11)C 在同一直
线上，则实数m 的值是 （ ）
()A 4- ()B 3- ()C 2- ()D 1-
4．经过点(,3)M m -，(5,)N m -的直线的斜率为1，则m = ．
5．已知直线l 的斜率21k m =-()m R ∈，则k 的取值范围为 ．
6．已知直线l 斜率为2，及l 上一点(1,2)A ，写出直线l 除A 外的另一点坐标为 ．
7．斜率为2的直线过点(2,3)A -、(21,1)B a +，求实数a 的值．
8．已知直线l 过点(1,4)A 、(,3)B m ，求直线l 的斜率．
9．已知OBC ∆三顶点的坐标分别是(0,0)O ，(4,0)B ，(0,3)C ，求OBC ∆各边所在直线的斜率．
拓展延伸
10．若三点(3,1),(2,),(8,1)A B k C -能构成三角形，求实数k 的取值范围．
本节学习疑点：。

[学业水平训练] 1．过点M (－3，2)，N (－2，3)的直线的倾斜角的大小是________．解析：k MN ＝3－2－2－(－3)＝1，故倾斜角为45°. 答案：45°2．直线l 1过点P (3－3，6－3)，Q (3＋23，3－3)，直线l 2的倾斜角与l 1的倾斜角互补，则直线l 2的倾斜角为________．解析：可求得k PQ ＝－33，即tan α1＝－33， ∴α1＝150°，∴α2＝180°－α1＝30°.答案：30°3．若过P (1－a,1＋a )和Q (3,2a )的直线的倾斜角为0°，则a ＝________.解析：直线的倾斜角为0°，则1＋a ＝2a ，a ＝1.答案：14．如果直线l 过点(1,2)，且不通过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是________．解析：过点(1,2)的斜率为非负且最大斜率为此点与原点的连线斜率时，图象不过第四象限． 答案：[0,2]5．如图，若图中直线l 1，l 2，l 3的斜率分别是k 1，k 2，k 3，则k 1，k 2，k 3的大小关系为________． 解析：由题图可知直线l 3的倾斜角为钝角，所以k 3＜0.直线l 1与l 2的倾斜角为锐角，且直线l 2的倾斜角较大，所以k 2＞k 1，所以k 3＜k 1＜k 2.答案：k 3＜k 1＜k 26．已知三点A (1－a ，－5)，B (a,2a )，C (0，－a )共线，则a ＝________.解析：①当过A 、B 、C 三点的直线斜率不存在时，即1－a ＝a ＝0，无解．②当过A ，B ，C 三点的直线斜率存在时，即k AB ＝2a －(－5)a －(1－a )＝k BC ＝2a －(－a )a －0， 即2a ＋52a －1＝3，解得a ＝2. 综上，A ，B ，C 三点共线，a 的值为2.答案：27．已知M (2m ＋3，m )，N (2m －1,1)．(1)当m 为何值时，直线MN 的倾斜角为锐角？直角？钝角？(2)当m 为何值时，直线MN 的斜率为－1?解：设MN 所在直线的斜率为k ，则k ＝m －14.(1)当k >0，即m －14>0时，直线MN 的倾斜角为锐角，解得m 的取值范围为m >1； 不论m 取何值，k 总存在，故直线MN 的倾斜角不可能是直角；当m <1时，直线MN 的倾斜角为钝角．(2)k ＝m －14，令m －14＝－1，得m ＝－3. ∴所求m 的值为－3.8．(1)(·湖南省望城一中高一期末)若A (－1，－2)，B (4,8)，C (5，x )，且A ，B ，C 三点共线，求x 的值．(2)若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，求1a ＋1b的值． 解：(1)由题意，可知直线AB ，AC 的斜率存在，又A ，B ，C 三点共线，则k AB ＝k AC ，即8－(－2)4－(－1)＝x －(－2)5－(－1)，所以x ＝10. (2)由于A ，C 两点横坐标不相等，故直线AC 的斜率存在，又A ，B ，C 三点共线，于是有22－a＝2－b 2，由此可得a ＋b ＝12ab ，两边同时除以ab (ab ≠0)，得1a ＋1b ＝12. [高考水平训练]1．已知直线l 1的倾斜角为α1、关于x 轴对称的直线l 2的倾斜角α2的值为________． 解析：如图所示，结合图形可知：当α1＝0°时，l 2关于x 轴对称的直线l 2与l 1平行或重合． ∴α2＝α1＝0°，当α2≠0°，则α2＝180°－α1，因此，α2＝⎩⎪⎨⎪⎧ 180°－α1，(0°＜α1＜180°)0°， (α1＝0°). 答案：⎩⎪⎨⎪⎧180°－α1，(0°＜α1＜180°)0°， (α1＝0°) 2．直线l 沿y 轴正方向平移a 个单位(a ≠0)，再沿x 轴的负方向平移(a ＋1)个单位(a ≠－1)，结果恰好与原直线l 重合，则直线l 的斜率为________．解析：设P (x ，y )是l 上任一点，按规则移动P 点后，得到点Q (x －a －1，y ＋a )．由于直线l 移动前后重合，则Q 也在l 上，所以直线l 的斜率k ＝(y ＋a )－y(x －a －1)－x ＝－a a ＋1. 答案：－a a ＋13．已知直线l 经过点P (1,1)，且与线段MN 相交，且点M 、N 的坐标分别是(2，－3)，(－3，－2)．求直线PM 与PN 的斜率．解：由题意与斜率公式可知，直线PM 与PN 的斜率分别为：k PM ＝－3－12－1＝－4，k PN ＝－2－1－3－1＝34. 4．已知直线l 过点P (－1,2)，且与以A (－2，－3)，B (3,0)为端点的线段相交，求直线l 的斜率k 的取值范围．解：如图，k PA ＝2－(－3)－1－(－2)＝5，k PB ＝2－0－1－3＝－12，当直线l 从直线PA 转到与y 轴平行的直线PC 位置时(转动时以点P 为定点)，直线l 的斜率从5开始趋向于正无穷，即k ∈[5，＋∞)；当直线l 再由直线PC 转到直线PB 位置时(转动时以点P 为定点)，直线l 的斜率从负无穷开始趋向于－12，并在PB 位置达到－12，即k ∈(－∞，－12]． 故直线l 的斜率k 的取值范围为(－∞，－12]∪[5，＋∞)．。

随堂练习：直线的斜率1．对于下列命题①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°；②若k是直线的斜率，则k∈R；③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中正确的有________个．2．斜率为2的直线经过点A(3,5)、B(a,7)、C(－1，b)三点，则a、b的值分别为________和________．3．直线经过原点和点(－1，－1)，它的倾斜角是__________．4．直线l过原点(0,0)，且不过第三象限，那么l的倾斜角α的取值范围是______________．5．若图中直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则k1、k2、k3的大小关系为______________．6．若直线AB与y轴的夹角为60°，则直线AB的倾斜角为________，斜率为________．7．一条光线从点A(－1,3)射向x轴，经过x轴上的点P反射后通过点B(3,1)，求P点的坐标．8．设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为________．9．△ABC为正三角形，顶点A在x轴上，A在边BC的右侧，∠BAC的平分线在x轴上，求边AB与AC所在直线的斜率．答案1．32．4 －33．45°4．90°≤α<180°或α＝0°5．k 1<k 3<k 26．30°或150° 33或－337．解 设P(x,0)，则k PA ＝3－0－1－x ＝－3x ＋1，k PB ＝1－03－x ＝13－x ，依题意， 由光的反射定律得k PA ＝－k PB ，即3x ＋1＝13－x，解得x ＝2，即P(2,0)． 8．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135°9．解 如右图，由题意知∠BAO ＝∠OAC ＝30°，∴直线AB 的倾斜角为180°－30°＝150°，直线AC 的倾斜角为30°， ∴k AB ＝tan 150°＝－33， k AC ＝tan 30°＝33.。

课时跟踪检测（十二） 直线的斜率层级一 学业水平达标1．直线x ＝1的倾斜角和斜率分别是( )A ．45°，1B ．135°，－1C ．90°，不存在D ．180°，不存在解析：选C 作出图象，故C 正确．2．给出下列说法：①若α是直线l 的倾斜角，则0°≤α＜180°；②若k 是直线的斜率，则k ∈R ；③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中说法正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 显然①②③正确，④错误．3．若直线l 经过点M (2,3)，N (4,3)，则直线l 的倾斜角为( )A ．0°B ．30°C ．60°D ．90°解析：选A 因为l 平行于x 轴，所以直线l 倾斜角为0°.4．过两点A (4，y )，B (2，－3)的直线的倾斜角为45°，则y ＝( )A ．－32B ．32C ．－1D ．1解析：选C tan 45°＝k AB ＝y ＋34－2，即y ＋34－2＝1，所以y ＝－1. 5．已知直线l 经过点A (1,2)，且不经过第四象限，则直线l 的斜率k 的取值范围是( )A ．(－1,0]B ．[0,1]C ．[1,2]D ．[0,2]解析：选D 由图，可知当直线位于如图阴影部分所示的区域内时，满足题意，所以直线l 的斜率满足0≤k ≤2.故选D.6．已知A (－3,8)，B (2,4)，若PA 的斜率是PB 斜率的两倍，则y 轴上的点P 的坐标为________．解析：由题意设P (0，y )，由k PA ＝2k PB ，得y －83＝2×y －4－2，解得y ＝5. 即点P 的坐标为(0,5)．答案：(0,5)7．过点A (2，b )和点B (3，－2)的直线的倾斜角为135°，则b 的值是________．解析：由题意k ＝－2－b 3－2＝tan 135°， 即－2－b 3－2＝－1，故b ＝－1. 答案：－18. 直线x cos α＋3y ＋2＝0的倾斜角的范围是________．解析：设直线的倾斜角为θ，依题意知，k ＝－33cos α. ∵cos α∈[－1,1]，∴k ∈⎣⎡⎦⎤－33，33， 即tan θ∈⎣⎡⎦⎤－33，33. 又θ∈[0，π)，∴θ∈⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎭⎫5π6，π. 答案：⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎭⎫5π6，π 9．若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，求1a ＋1b的值． 解：由三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线， 可知k AB ＝k AC ，即2－02－a ＝2－b 2－0，即ab －2a －2b ＝0，所以1a ＋1b ＝12. 10．已知直线l 过点A (1,2)，B (m,3)，求直线l 的斜率和倾斜角的取值范围．解：设直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，当m ＝1时，斜率k 不存在，α＝90°，当m ≠1时，k ＝3－2m －1＝1m －1， 当m ＞1时，k ＝1m －1＞0，此时α为锐角，0°＜α＜90°， 当m ＜1时，k ＝1m －1＜0，此时α为钝角，90°＜α＜180°. 所以直线l 的斜率k 的取值范围为(－∞，0)∪(0，＋∞)，倾斜角α的取值范围为0°＜α＜180°.层级二 应试能力达标1．在平面直角坐标系中，正三角形ABC 的BC 边所在直线的斜率是0，则AC ，AB 边所在直线的斜率之和为( )A ．－23B ．0C ． 3D ．2 3 解析：选B 由BC 边所在直线的斜率是0，知直线BC 与x 轴平行，所以直线AC ，AB 的倾斜角互为补角，根据直线斜率的定义，知直线AC ，AB 的斜率之和为0.故选B.2．已知a ，b ，c 是两两不等的实数，则经过点P (b ，b ＋c )和点Q (a ，c ＋a ) 的直线的倾斜角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．135°解析：选B 显然，经过点P 和点Q 的直线的斜率存在，由直线的斜率公式，得k P Q ＝(c ＋a )－(b ＋c )a －b＝1.又tan 45°＝1，所以直线P Q 的倾斜角为45°.故选B. 3. 如图，直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )A ．k 1＜k 2＜k 3B ．k 3＜k 1＜k 2C ．k 3＜k 2＜k 1D ．k 1＜k 3＜k 2解析：选D 直线l 2，l 3的倾斜角为锐角，且直线l 2的倾斜角大于直线l 3的倾斜角，所以0＜k 3＜k 2.直线l 1的倾斜角为钝角，斜率k 1＜0，所以k 1＜k 3＜k 2. 4．若点P (x ，y )在以A (－3,1)，B (－1,0)，C (－2,0)为顶点的△ABC 的内部运动(不包含边界)，则y －2x －1的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤12，1B.⎝⎛⎭⎫12，1C.⎣⎡⎦⎤14，1D.⎝⎛⎭⎫14，1解析：选D 根据已知的条件，可知点P (x ，y )是点A ，B ，C 围成的△ABC 内一动点，那么所求y －2x －1的几何意义是过动点P (x ，y )与定点M (1,2)的直线的斜率．由已知，得k AM ＝14，k BM ＝1，k CM ＝23.利用图象，可得y －2x －1的取值范围是⎝⎛⎭⎫14，1.故选D. 5．已知a >0，若平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2)，C (3，a 3)共线，则a ＝________. 解析：∵A ，B ，C 三点共线，∴k AB ＝k BC ，即a 2＋a 2－1＝a 3－a 23－2，又a >0，∴a ＝1＋ 2. 答案：1＋ 26．若点P (x ，y )在线段AB ：y ＝1(－2≤x ≤2)上运动，则y x 的取值范围是________．解析：如图所示，y x 的几何意义为点(x ，y )与(0,0)连线的斜率，∴y x ≥12或y x ≤－12. 答案：⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞ 7．已知A (3,3)，B (－4,2)，C (0，－2)，(1)求直线AB 和AC 的斜率．(2)若点D 在线段BC (包括端点)上移动时，求直线AD 的斜率的变化范围．解：(1)由斜率公式可得直线AB 的斜率k AB ＝2－3－4－3＝17.直线AC 的斜率k AC ＝－2－30－3＝53.故直线AB 的斜率为17，直线AC 的斜率为53.(2)如图所示，当D 由B 运动到C 时，直线AD 的斜率由k AB 增大到k AC ，所以直线AD 的斜率的变化范围是⎣⎡⎦⎤17，53.8．光线从点A (2,1)射到y 轴上的点Q ，经y 轴反射后过点B (4,3)，求点Q 的坐标及入射光线的斜率．解：点B (4,3)关于y 轴的对称点B ′(－4,3)，k AB ′＝1－32＋4＝－13，从而入射光线的斜率为－13.设Q (0，y )，则k 入＝k Q A ＝1－y2＝－13.解得y ＝53，即Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，53.。

第2章 平面解析几何初步2.1 直线与方程2.1.1 直线的斜率5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1.过点P(1,3)和Q(0,5)的直线的斜率为( )A.2B.-2C.21D.21- 思路解析：考查直线斜率的求法.由于直线上有两已知点,故用斜率公式求之.由斜率公式知21035-=--=k . 答案：B2.已知直线l 1的斜率为0,且直线l 1⊥l 2,则直线l 2的倾斜角为( )A.0°B.90°C.135°D.180° 思路解析：考查垂直两直线倾斜角之间的关系.因为l 1的斜率为零,其倾斜角为0°,所以l 2的倾斜角为90°，可作图后利用“数形结合”的思想解决.答案：B3.直线l 经过(0,0)、(1,3-)，则直线l 的倾斜角为__________.思路解析：考查直线斜率和倾斜角之间的关系.由斜率公式知30103-=---=k ，由斜率与倾斜角的关系知3-=tanα，且α∈［0,π)，所以α=32π. 答案：32π 10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.与y 轴平行的一条直线,其倾斜角为α,则α( )A.等于0°B.等于45°C.等于90°D.不存在思路解析：考查倾斜角的定义.在平面直角坐标系中作出任一条与y 轴平行的直线,这条直线与x 轴相交且可以看成是由x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转90°后得到的,由倾斜角的定义，可知这条直线的倾斜角为90°.答案：C2.已知直线l 的斜率大小为tan240°,则l 的倾斜角为( )A.30°B.60°C.120°D.240°思路解析：考查倾斜角的范围和三角函数值等相关知识.由tan240°=3,知这条直线的斜率为3,如果设l 的倾斜角为α,则由斜率和倾斜角的关系得tanα=3,又由倾斜角的范围是［0°，180°)知,直线l 的倾斜角为60°.答案：B3.若A(1,-1)、B(3,3)、C(5,a)三点在一条直线上，则a=________思路解析：考查斜率公式的应用.三点在一条直线上,则任意两点连线的斜率相等；或由两点确定的直线必过第三个点，由斜率相等代入点坐标可得结果.∵k AB =21313=-+,k BC =23353-=--a a ，又A 、B 、C 三点在一条直线上,∴k AB =k BC .∴223=-a . ∴a=7.答案：74.若直线l 经过第二、四象限，则直线l 倾斜角的范围是_________.思路解析：考查数形结合思想和倾斜角知识.如图,直线过二、四象限,可知k<0,即tanα<0,所以直线l 的倾斜角为钝角,其范围是90°<α<180°.答案：90°<α<180°5.求坐标轴的两条角平分线所在直线的斜率.思路解析：考查数形结合思想和求直线斜率的方法.由于定直线的斜率是确定的,与计算时选取的两点位置无关,所以可在直线上任取两点,计算直线的斜率.譬如在直线l 1上取两点(m,m)、(n,n)(m≠n)，可得l 1的斜率11=--=nm n m k .解：如图，在l 1上取两点O(0,0)、A(1,1)，可得l 1的斜率101011=--=k ；在直线l 2上取两点O(0,0)、B(1,-1)，可得l 2的斜率101012-=---=k .所以两条直线的斜率分别为1和-1. 30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.直线l 的斜率k=2,又过一点(3,2),则直线l 经过点( )A.(0,4)B.(4,0)C.(0,-4)D.(-2,1)思路解析：因为直线l 经过无数个点,不可能都求出来,可用逆推验证法,即检验选项中哪一个点坐标与点(3,2)连线的斜率为2.答案：C2.已知一次函数的表达式为y=33-x+1,则其图象表示的直线倾斜角为( ) A.6π- B.3π- C.32π D.65π 思路解析：解决这类问题需要注意倾斜角的取值范围.由一次函数的知识知其图象表示的直线斜率为33-,再由tanα=33-且α∈［0,π)得α=65π. 答案：D3.若两直线l 1、l 2的倾斜角分别为α1、α2,则下列四个命题中正确的是( )A.若α1<α2,则两直线的斜率k 1<k 2B.若α1=α2,则两直线的斜率k 1=k 2C.若两直线的斜率k 1<k 2,则α1<α2D.若两直线的斜率k 1=k 2,则α1=α2思路解析：斜率与倾斜角满足k=tanα且α∈［0,π),因为α∈［0,2π)时,k>0;α∈(2π,π)时,k<0;当α=2π时,k 不存在，对于选项A,可取α1为锐角、α2为钝角,这时k 1>k 2；对于选项B,可取α1=α2=90°；对于C 可取k 1=-1,k 2=1,可知α1>α2.所以可以排除A 、B 、C ，选D.答案：D4.(2006北京高考，理) 若三点A(2，2)、B(a,0)、C(0,b)(ab≠0)共线，则ba 11+的值等于________. 思路解析：本题考查利用过两点的直线的斜率公式判断三点共线问题，我们只需利用两点间的斜率相等建立方程即可.由题意知a≠2，所以⇒-==-=2222b k a k AC AB 4=(2-a)(2-b) ⇒ab=2(a+b)⇒2111=+b a . 答案：21 5.已知直线l 1、l 2、l 3的斜率分别是k 1、k 2、k 3，如图2-1-1，则k 1、k 2、k 3的大小关系是_________(由小到大写出).图2-1-1思路解析：考查直线的斜率与倾斜角的关系.由图中直线倾斜角的大小可知l 1的倾斜角为钝角,所以k 1<0；l 2、l 3的倾斜角均为锐角,且l 2的倾斜角较大,所以k 2>k 3>0.所以k 1＜k 3＜k 2. 答案：k 1<k 3<k 26.直线l 过A(-2,(t+t 1)2)、B(2,(t-t1)2)两点,其中t≠0,则此直线的斜率为_________,倾斜角为_________.思路解析：考查两点间的斜率公式应用,斜率与倾斜角的关系.由斜率公式k AB =144)2(2)1()1(22-=-=--+--t t t t ,由tanα=-1,α∈［0°,180°)知α=135°. 答案：-1 135°7.已知A(3,4)在坐标轴上有一点B,使直线AB 的斜率等于2,求B 点的坐标.思路解析：点B 在坐标轴上,即可能在x 轴上,可能在y 轴上,所以需要分情况讨论,设出B 点的坐标后,可利用斜率公式求得所设的变量.解：①如果B 在x 轴上,可设B(x 0,0),则k AB =3400--x =2,所以x 0=1,即B(1,0);②如果B 在y 轴上,可设B(0,y 0),则k AB =23040=--y ,所以y 0=-2,即B(0，-2). 8.求过点A(-2,n)、B(n,4)两点的直线斜率.思路解析：由于直线AB 可能和x 轴垂直,倾斜角为2π,斜率不存在,所以需要对n 分类讨论，当n≠-2时可直接利用斜率公式，当n=-2时，直接写出斜率不存在.解：①当n=-2时,过A 、B 两点的直线斜率不存在;②当n≠-2时,过A 、B 两点的直线斜率24+-=n n k .综上所述，n=-2时,斜率不存在;n≠-2时,斜率24+-=n n k . 9.(1)已知直线l 经过原点,且与以A(1,1)、B(3,-1)为端点的线段相交,试通过作图探索出直线l 的斜率范围.(2)已知直线l 经过原点,且与以A(1,1)、B(-3,-1)为端点的线段相交,试通过作图探索出直线l 的斜率范围.试比较(1)和(2)两小题的结果有什么不同,你能从中总结出什么规律来吗?思路解析：本题主要考查对图形运动变化的理解及探究能力.根据题目的提示,可以作出线段AB,用绕原点旋转的动直线来探究直线与线段相交的动态过程.解：(1)如图(1)，当直线l 绕着原点旋转和线段AB 相交时,即从OB 旋转到OA 的过程中斜率由负(k OB )到正(k OA )连续增大,因为k OB =310301-=---,k OA =10101=--,所以直线l 的斜率k 的范围是31-≤k≤1. (2)如图(2)，当直线l 绕着原点旋转和线段AB 相交时,即从OA 旋转到OB 的过程中斜率从k OA 开始逐渐增加到正无穷大,这时l 与y 轴重合,当l 再旋转下去时,斜率从负无穷逐渐增加到k OB ,因为k OB =310301=----,k OA =10101=--,所以直线l 的斜率k 的范围是k≤31或k≥1.经比较可以发现:(1)中直线l 斜率介于k OA 和k OB 之间,而(2)中直线l 斜率处于k OA 和k OB 之外.一般地,如果直线l 和线段AB 相交,若直线l 和x 轴垂直(斜率不存在)时,与线段AB 不相交,则l 斜率介于k OA 和k OB 之间;若直线l 和x 轴垂直(斜率不存在)时,与线段AB 相交,则l 斜率位于k OA 和k OB 之外.。

（新课标）2018-2019学年苏教版高一数学必修2(直线的倾斜角和斜率)一、选择题1、过两点)6,32(-和)3,3(-的直线的斜率为A 3-B 3C 33D -33 2、若点A(2,3)，B(1,5)，则直线AB 的倾斜角是A arctan2B arctan(-2)C +2πarctan2 D π+ arctan(-2)3、已知直线l 的倾斜角为α-150，则下列结论正确的是A 0o ≤α<180oB 15o <α<180oC 15o ≤α<195oD 15o ≤α<180o4、直线l 过原点(0,0)，且不过第三象限，那么l 的倾斜角α的取值范围是A [0o ,90o ]B [90o ,180o ]C [90o ,180o )或α=0o D[90o ,135o ]5、已知两点A(x,-2),B(3,0),并且直线AB 的斜率为1/2，则x 的值为A 1B -1C ±1D 06、已知两点M(2，-3)，N(-3，-2)，直线l 过点P(1,1)且与线段MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围为A 443-≤≥k k 或B -443≤≤kC 443≤≤kD -443≤≤k 二、填空题1、直线l 的斜率k=1-m 2(m ∈R),则直线l 的倾斜角的范围是______________；2、直线l 经过二、三、四象限，l 的倾斜角为α，斜率为k ，则kcos α的取值范围为___________;3、若三点A(3,1)，B(-2，k),C(8,11)在同一直线 上，则k 的值为____;4、已知ϕ是直线l 的倾斜角，且51cos sin =+ϕϕ，则直线l 的斜率为______。

三、解答题1、求过点A(3,5)，B(a ，2)的直线的斜率和倾斜角2、已知直线的倾斜角的正弦值为3/4,求直线的斜率和倾斜角3、已知点A )cos ,sin 3(2θθ-，B(0,1)是平面上相异的两点，求经过A ，B 两点的直线的倾斜角的取值范围答案：一、1、A ，332363-=--+=k ；2、D ，α∴-=--=,22135k =π+ arctan(-2) 3、C ， 倾斜角的取值范围为0o <α<180o ；4、C ， 倾斜角的取值范围为0o <α<180o 直线过原点且不过第三象限；5、132021-=⇒-+=x x ；6、,41213-=---=PM K ,431312=----=PM K 直线l 在两直线PM,PN 之间,利用图象可得 二、1、),2(]4,0[πππ 解：斜率k=1-m 21≤，利用正切函数图象可得；2、(0,1)解：kcos α=sin α, 3、-9 解：,51321k k K AB -=---= ,238111=--=AC K ,AB AC K K = 4、34-解：利用三角函数的知识得⎪⎩⎪⎨⎧-==53cos 54sin ϕϕ34tan -=∴ϕ 三、1、解：1)直线的斜率不存在时，a=3 , 倾斜角为9002) 直线的斜率存在时，a ≠3，设倾斜角为α，则斜率为a a -=--=33352 当a<3时，k>0,由tan aa k -=-==33arctan 33αα得 当a>3时，k<0,由tan aa k -+=-==33arctan 33παα得 2、解：设直线的倾斜角为α，则παα<<=0,43sin 当43arcsin ,)2,0(=∈απα得时，773)43tan(arcsin ==∴k 当43arcsin ,),2(-=∈παππα得时，773)43arcsin tan(-=-=∴πk 3、解：∵A ，B 是相异的两点，∴sin ≠θ0设所求直线的倾斜角为α，倾率为k 则θθθθθsin 33sin 3sin )sin 3(0cos 122==---=k ,即θαsin 33tan = 0sin 1sin 1≠≤≤-θθ且0sin 33sin 3333≠≤≤-θθ且 0tan 33tan 33≠≤≤-αα且 利用图象可得),65[]6,0(πππ。

第2课 直线的斜率（2） 知识网络 学习要求 1．掌握直线的倾斜角的概念，了解直线倾斜角的范围； 2．理解直线的斜率与倾斜角之间的关系，能根据直线的倾斜角求出直线的斜率；3．通过操作体会直线的倾斜角变化时，直线斜率的变化规律．【课堂互动】自学评价1．直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，把 绕着交点按 逆 （顺、逆）时针旋转到和直线重合时所转过的 最小正角 称为这条直线的倾斜角，并规定：与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为 0 ．2.倾斜角的范围： [0,180) ．3.直线的倾斜角与斜率的关系：当直线的倾斜角不等于 90 时，直线的斜率k 与倾斜角α之间满足关系 tan k α= .【精典范例】例1：直线123,,l l l 如图所示，则123,,l l l 的斜率123,,k k k 的大小关系为 ，倾斜角123,,ααα的大小关系为 ．答案：123l l l >>，312ααα>>．点评: 当090α<<时，倾斜角越大，斜率越大，反之，斜率越大，倾斜角也越大； 当90180α<<时，上述结论仍成立．例2：（1）经过两点(2,3),(1,4)A B 的直线的斜率为 ，倾斜角为 ；（2）经过两点(4,21),(2,3)A y B +-的直线的倾斜角为120，则y = ． 答案：（1）1-，135；（2）23--．倾斜角和斜率的关系直线的倾斜角范围 概念 1l 2l 3l例3：已知直线1l 的倾斜角115α=，直线1l 和2l 的交点A ，直线1l 绕点A 按顺时针方向旋转到与直线2l 重合时所转的最小正角为60，求直线2l 的斜率k ．分析：由几何图形可得直线2l 倾斜角为135，∴斜率为1-．点评:本题的关键在于弄清倾斜角的定义．例4：已知(23,),(2,1)M m m N m +-，（1）当m 为何值时，直线MN 的倾斜角为锐角？（2）当m 为何值时，直线MN 的倾斜角为钝角？（3）当m 为何值时，直线MN 的倾斜角为直角？分析：当斜率大于0时，倾斜角为锐角；当斜率小于0时，倾斜角为钝角；当直线垂直于x 轴时直线倾斜角为直角． 答案：（1）1m >或5m <-；（2）51m -<<；（3）5m =-．追踪训练一1. 直线2230x y ++=的倾斜角为135．2.已知直线1l 的倾斜角为α，直线2l 与1l 关于x 轴对称，则直线2l 的倾斜角为180α-．3. 已知直线l 的倾斜角的变化范围为[,)63ππα∈，则该直线斜率的变化范围是． 【选修延伸】一、直线与已知线段相交，求直线斜率的取值范围例5: 若过原点O 的直线l 与连结(2,2),(6,P Q 的线段相交，求直线l 的倾斜角和斜率的取值范围．分析：结合图形可知，直线l 介于直线,OP OQ 之间，即可得倾斜角范围；再根据倾斜角变化时，斜率变化规律可得斜率范围．答案：倾斜角范围[30,45]，斜率范围,1]3． 追踪训练二1．已知(1,3),A B -，则直线AB 的倾斜角α和斜率k 分别为（ B ）()A 30,k α==()B 120,k α==()C 150,k α==()D 60,k α==2．设点(2,3),(3,2)A B ---，直线l 过点(1,2)P ，且与线段AB 相交，求直线l 的斜率的取值范围．答案：由直线l 过点(1,2)P ，且与线段AB 相交可得：直线l 的斜率的变化可以看作是以P 为旋转中心，直线BP 逆时针旋转到直线AP 的过程中斜率的变化，又∵5AP k =-，1BP k =，结合图形（图略）可得：直线l 的斜率的取值范围是5k ≤-或1k ≥．第2课 直线的斜率（2）分层训练1．已知直线l 的倾斜角为15α-，则下列结论正确的是 （ ）()A 0180α≤<()B 15180α<<()C 15195α≤<()D 15180α≤<2．已知直线经过点(2,0)A -，(5,3)B -，则该直线的倾斜角为（ ）()A 150 ()B 135 ()C 75 ()D 453．已知直线1l 的倾斜角为α，将直线1l 绕着它与x 轴的交点，逆时针旋转45得直线2l ，则直线2l 的倾斜角为 （ ）()A 45α+ ()B 45α-()C 135α- ()D 45α+或135α-4．直线1l 的倾斜角为120，若直线2l 与1l 关于x 轴对称，则直线2l 的倾斜角为 ，斜率为 ．5．已知直线l 的斜率2k =，直线l 上有一点(2,3)P ，若将点P 沿x 轴方向右移3个单位，则再沿y 轴方向上移 个单位后，所得到点1P 仍在直线上．6．已知点1)A -，点B 在y 轴上，若直线AB 的倾斜角为120，求B 点坐标．7．已知(1,1)P ，(1,1)Q -，且过原点的直线l 与线段PQ 相交，求直线l 的倾斜角的取值范围．8．已知直线l 过点(2,1)P 且与两坐标轴围成等腰直角三角形，求l 的倾斜角和斜率．拓展延伸9．如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位，又回到原来的位置，求直线l 的斜率．10．已知直线1l 的倾斜角15α=，直线1l 和2l 的交点为A ．直线1l 绕点A 按顺时针方向旋转到与直线2l 重合时所转过的最小正角为60，求直线2l 的斜率2k ．。

高中数学必修二答案(共7篇)高中数学必修二答案（一）: 高一数学必修一必修二课后习题答案习题1-11.右2.14/33.768习题1-21.第一象限不一定可能超过360度2.⑴305 度42分第四象限⑵35度8分第一象限⑶249度30分第三象限⑷123度3.⑴-660度；-300度；60度⑵-45度；-405度；315度⑶-136度42分；223度18分；-496度42分⑷-585度；-225度；135度希望对你有些帮助不把分赏给我你就对不起我了哦,我找了很久的高中数学必修二答案（二）: 高中数学必修二关于直线的倾斜角斜率直线l的方程为y=xtanα+2,则（A）α一定是直线的倾斜角（B）α一定不是直线的倾斜角（C）π－α一定是直线的倾斜角（D）α不一定是直线的倾斜角D倾斜角要求在[0,π)高中数学必修二答案（三）: 高中数学必修二习题《两点间的距离》、《点到直线的距离》、《两条平行直线间的距离》,就是它们求与直线L:5x-12y+6=0平行且与L的距离为2的直线的方程.求求大家了,有答有赏!5x-12y+4=0 5x-12y+8=0高中数学必修二答案（四）: 高中数学必修二的内容【高中数学必修二答案】高中数学必修2知识点一、直线与方程（1）直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角.特别地,当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度.因此,倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°（2）直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率.直线的斜率常用k表示.即.斜率反映直线与轴的倾斜程度.当时,；当时,；当时,不存在.②过两点的直线的斜率公式：注意下面四点：(1)当时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为90°；(2)k与P1、P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到.（3）直线方程①点斜式：直线斜率k,且过点注意：当直线的斜率为0°时,k=0,直线的方程是y=y1.当直线的斜率为90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1,所以它的方程是x=x1.②斜截式：,直线斜率为k,直线在y轴上的截距为b③两点式：（）直线两点,④截矩式：其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为.⑤一般式：（A,B不全为0）注意：各式的适用范围特殊的方程如：平行于x轴的直线：（b为常数）；平行于y轴的直线：（a为常数）；（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系平行于已知直线（是不全为0的常数）的直线系：（C为常数）（二）垂直直线系垂直于已知直线（是不全为0的常数）的直线系：（C为常数）（三）过定点的直线系（ⅰ）斜率为k的直线系：,直线过定点；（ⅱ）过两条直线,的交点的直线系方程为（为参数）,其中直线不在直线系中.（6）两直线平行与垂直当,时,；注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否. （7）两条直线的交点相交交点坐标即方程组的一组解.方程组无解；方程组有无数解与重合（8）两点间距离公式：设是平面直角坐标系中的两个点,则（9）点到直线距离公式：一点到直线的距离（10）两平行直线距离公式在任一直线上任取一点,再转化为点到直线的距离进行求解.二、圆的方程1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径.2、圆的方程（1）标准方程,圆心,半径为r；（2）一般方程当时,方程表示圆,此时圆心为,半径为当时,表示一个点；当时,方程不表示任何图形.（3）求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求.确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程,需求出a,b,r；若利用一般方程,需要求出D,E,F；另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置.3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况：（1）设直线,圆,圆心到l的距离为,则有；；（2）过圆外一点的切线：①k不存在,验证是否成立②k存在,设点斜式方程,用圆心到该直线距离=半径,求解k,得到方程【一定两解】(3)过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r24、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差）,与圆心距（d）之间的大小比较来确定.设圆,两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差）,与圆心距（d）之间的大小比较来确定.当时两圆外离,此时有公切线四条；当时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条；当时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线；当时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线；当时,两圆内含；当时,为同心圆.注意：已知圆上两点,圆心必在中垂线上；已知两圆相切,两圆心与切点共线圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点三、立体几何初步1、柱、锥、台、球的结构特征（1）棱柱：几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形.（2）棱锥几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方.（3）棱台：几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形.（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形.（6）圆台：定义：以直角梯形的垂直与底边的腰为旋转轴,旋转一周所成几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形.（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径.2、空间几何体的三视图定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、俯视图（从上向下）注：正视图反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体的高度和宽度.3、空间几何体的直观图——斜二测画法斜二测画法特点：①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变；②原来与y轴平行的线段仍然与y平行,长度为原来的一半.4、柱体、锥体、台体的表面积与体积（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和.（2）特殊几何体表面积公式（c为底面周长,h为高,为斜高,l为母线）（3）柱体、锥体、台体的体积公式（4）球体的表面积和体积公式：V= ； S=4、空间点、直线、平面的位置关系公理1：如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线是所有的点都在这个平面内.应用：判断直线是否在平面内用符号语言表示公理1：公理2：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线符号：平面α和β相交,交线是a,记作α∩β＝a.符号语言：公理2的作用：①它是判定两个平面相交的方法.②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点.③它可以判断点在直线上,即证若干个点共线的重要依据.公理3：经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面.公理3及其推论作用：①它是空间内确定平面的依据②它是证明平面重合的依据公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行空间直线与直线之间的位置关系① 异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线② 异面直线性质：既不平行,又不相交.③ 异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线④ 异面直线所成角：作平行,令两线相交,所得锐角或直角,即所成角.两条异面直线所成角的范围是（0°,90°],若两条异面直线所成的角是直角,我们就说这两条异面直线互相垂直.求异面直线所成角步骤：A、利用定义构造角,可固定一条,平移另一条,或两条同时平移到某个特殊的位置,顶点选在特殊的位置上.B、证明作出的角即为所求角C、利用三角形来求角（7）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,那么这两角相等或互补.（8）空间直线与平面之间的位置关系直线在平面内——有无数个公共点．三种位置关系的符号表示：aα a∩α＝A a‖α（9）平面与平面之间的位置关系：平行——没有公共点；α‖β相交——有一条公共直线.α∩β＝b5、空间中的平行问题（1）直线与平面平行的判定及其性质线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行.线线平行线面平行线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行.线面平行线线平行（2）平面与平面平行的判定及其性质两个平面平行的判定定理（1）如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行（线面平行→面面平行）,（2）如果在两个平面内,各有两组相交直线对应平行,那么这两个平面平行.（线线平行→面面平行）,（3）垂直于同一条直线的两个平面平行,两个平面平行的性质定理（1）如果两个平面平行,那么某一个平面内的直线与另一个平面平行.（面面平行→线面平行）（2）如果两个平行平面都和第三个平面相交,那么它们的交线平行.（面面平行→线线平行）7、空间中的垂直问题（1）线线、面面、线面垂直的定义①两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角,就说这两条异面直线互相垂直.②线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直,就说这条直线和这个平面垂直.③平面和平面垂直：如果两个平面相交,所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角）,就说这两个平面垂直. （2）垂直关系的判定和性质定理①线面垂直判定定理和性质定理判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直这个平面.性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行.②面面垂直的判定定理和性质定理判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.性质定理：如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面.9、空间角问题（1）直线与直线所成的角①两平行直线所成的角：规定为.②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角,叫这两条直线所成的角.③两条异面直线所成的角：过空间任意一点O,分别作与两条异面直线a,b平行的直线,形成两条相交直线,这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角.（2）直线和平面所成的角①平面的平行线与平面所成的角：规定为. ②平面的垂线与平面所成的角：规定为.③平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角.求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作,二证,三计算”.在“作角”时依定义关键作射影,由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线,在解题时,注意挖掘题设中两个主要信息：（1）斜线上一点到面的垂线；（2）过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直,由面面垂直性质易得垂线. （3）二面角和二面角的平面角①二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面.②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫二面角的平面角.③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角.两相交平面如果所组成的二面角是直二面角,那么这两个平面垂直；反过来,如果两个平面垂直,那么所成的二面角为直二面角④求二面角的方法定义法：在棱上选择有关点,过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时,过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平面角高中数学必修二答案（五）: 求学海导航高一数学必修2答案全部谁有高一必修2数学的学海导航练习册的答案..即高中新课标同步攻略...首都师范大学出版社出的【高中数学必修二答案】我有,给个邮箱地址,发给你ps 实物我还要用,没有扫描仪,只能用相机拍下来o(∩_∩)o~高中数学必修二答案（六）: 高中数学必修1第二章函数末的复习题二A组的答案亲,我们没有答案的,你有什么问题直接发,我们才能给你解答高中数学必修二答案（七）: 人教A版高中数学必修二习题4.1 A组 T6 B组人教A版高中数学必修二习题4.1 A组6、△ABC的顶点B、C的坐标分别是(-3,-1),(2,1),顶点A在圆(x+2)2+(y-4)2=4上运动,求△ABC的重心G的轨迹方程.设顶点A为(x,y),重心G为(E,F),所以：E=(-3+2+x)/3=(x-1)/3,得：x=3E+1F=(-1+1+y)/3,得：Y=3F把X,Y代入圆中：(3E+1+2)^+(3F-4)^2=4所以△ABC的重心G的轨迹方程为 (3X+3)^2+(3Y-4)^2=4B组2、长为2a的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动,求线段AB的中点的轨迹方程.令AB中点为M根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,在直角三角形OAB中,OM=AB/2=a根据圆的定义,M的轨迹是以O为圆心,a为半径的圆 (除去与坐标轴的4个交点）轨迹方程为x^2+y^2=a^2（x≠0,±a)高中数学必修二教案高中数学必修二电子书。

《9.1 线性回归分析》同步训练(答案在后面)一、单选题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）1、某地区近五年内每年的GDP（单位：亿元）如下表所示：年份 | GDP–|—– 2016 | 300 2017 | 320 2018 | 350 2019 | 370 2020 | 400若要用线性回归分析预测该地区2021年的GDP，以下哪项说法是正确的？A、根据2016年到2020年的数据，拟合直线y=10x+290，则预测2021年GDP为410亿元B、根据2016年到2020年的数据，拟合直线y=10x+280，则预测2021年GDP为420亿元C、根据2016年到2020年的数据，拟合直线y=10x+280，则预测2021年GDP为400亿元D、根据2016年到2020年的数据，拟合直线y=10x+290，则预测2021年GDP为400亿元2、已知一组数据的线性回归方程为(y=1.5x+20)，若将(x)的值增加 2，则(y)的值将（）。

A、减少 3B、减少 2C、增加 3D、增加 23、（单选题）若线性回归方程为y = 3x + 1，当x增加1个单位时，y大约增加多少个单位？A. 1个单位B. 3个单位C. 4个单位D. 2个单位4、给定一组数据点((x1,y1),(x2,y2),...,(x n,y n))，假设我们已经计算出了线性回归方程(y=ax+b)中的斜率(a)和截距(b)。

如果增加一个新数据点((x n+1,y n+1))到这组数据中，那么新的线性回归方程中的斜率(a′)相对于原来的斜率(a)：A. 一定会变大B. 一定会变小C. 可能会变大，可能会变小，也可能会不变D. 一定不会改变5、某校为研究学生身高与体重之间的关系，随机抽取了10名学生的身高和体重数据，并建立了线性回归方程y=50x+35（其中x为身高，y为体重），若某学生的身高为1.75米，则该学生的预测体重约为：A. 70千克B. 75千克C. 80千克D. 85千克6、某研究机构对两种不同品牌的学习卡片销售情况进行了统计，得到了两组数据，为了找到哪种学习卡片的销售趋势更好的线性回归方程，第一组（品牌A）的广告费用与销售额数据如下：广告费用x（元）分别为100、200、300、400、500，对应的销售额y（万元）分别为15、25、35、45、55。

1．若直线l 与x 轴垂直，其倾斜角为α，则α＝__________.答案：90°2．已知点A (3,4)，在坐标轴上有一点B ，若k AB ＝2，则B 点的坐标为________．解析：若点B 在x 轴上，设B (x,0)，由4－03－x＝2，得x ＝1；若点B 在y 轴上，设B (0，y )由4－y3－0＝2，得y ＝－2.所以B 点坐标为(1,0)或(0，－2)． 答案：(1,0)或(0，－2)3．已知直线l 1的倾斜角为α，则l 1关于x 轴对称的直线l 2的倾斜角用α表示为__________．解析：设l 2的倾斜角为θ，则α＝0°时，θ＝0°；0°＜α＜180°时，θ＝180°－α.答案：0°或180°－α4．已知三点A (2，－3)，B (4,3)及C (5，k 2)在同一条直线上，则k 的值是__________． 解析：由题意知，k AB ＝k AC .即3＋34－2＝k 2＋35－2，解得k ＝12. 答案：125．若点P (x ，y )在线段AB ：y ＝1(－2≤x ≤2)上运动，则y x 的取值范围是________．解析：如图所示，y x 的几何意义为点(x ，y )与(0,0)连线的斜率，∴y x ≥12或y x ≤－12. 答案：(－∞，－12]∪[12，＋∞) 6．求证：A (1，－1)，B (－2，－7)，C (0，－3)三点共线．证明：∵A (1，－1)，B (－2,7)，C (0，－3)三点共线．∴k AB ＝－7－(－1)－2－1＝2，k AC ＝－3－(－1)0－1＝2. ∴k AB ＝k AC .∵直线AB 与直线AC 的斜率相等且过同一点A .∴A 、B 、C 在同一条直线上，即三点共线．7.如图所示，直角梯形OABC 中，OA ∥BC ，顶点A 、C 分别在x 轴和y轴上，且OA ＝4，CB ＝3，梯形的面积S ＝6.求直线AB 的斜率．解：由题意知，S ＝12×(4＋3)OC ＝6，解得OC ＝127， 即点B 的坐标是(3，127)， 又点A 的坐标为(4,0)且3≠4，故直线AB 的斜率k ＝127－03－4＝－127. 8．光线从点A (2,1)射到y 轴上的点Q ，经y 轴反射后过点B (4,3)，求点Q 的坐标及入射光线的斜率．解：点B (4,3)关于y 轴的对称点B ′(－4,3)，k AB ′＝1－32＋4＝－13，从而入射光线的斜率为－13. 设Q (0，y )，则k 入＝k QA ＝1－y 2＝－13. 解得y ＝53，即Q 的坐标为(0，53)．。

．直线的倾斜角与斜率周峻民学习目标．掌握直线的倾斜角的定义．．掌握斜率公式，理解倾斜角和斜率的关系．．能根据斜率判定两条直线平行与垂直．一、夯实基础基础梳理．直线的倾斜角（）定义：当直线与轴相交时，我们取轴作为基准，轴与直线方向之后所成的角叫做直线的倾斜角．当直线与轴平行或重合时，规定它的倾斜角为．（）倾斜角的范围为．．直线的斜率（）定义：一条直线的倾斜角的叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母表示，即，倾斜角是的直线斜率不存在．（）过两点的直线的斜率公式：经过两点的直线的斜率公式为．．两条直线平行的判定：对于两条不重合的直线，，其斜率分别是，，有．特别地，当时，、都垂直于轴，．当两直线斜率都不存在且不重合时，它们都垂直于轴，与的倾斜角都是，故．．两条直线垂直的判定：两条直线，都有斜率，其斜率分别是，，有．注意：（）．（）两条直线中，一条斜率不存在，同时另一条斜率等于零，则两条直线垂直．这样，两条直线垂直的判定的条件就可叙述为：或一条斜率不存在，同时另一条斜率等于零．基础达标．若过点和的直线的斜率为，则的值为（）．．．或．或．若，，三点共线，则的值为（）．．．．．在下列叙述中：①一条直线的倾斜角为，则它的斜率为；②若直线斜率，则它的倾斜角为；③若（，）、（，），则直线的倾斜角为；④若直线过点，且它的倾斜角为，则这直线必过（，）点；⑤若直线斜率为，则这条直线必过（，）与（，）两点．所有正确命题的序号是．．已知直线斜率的绝对值等于，则直线的倾斜角为．．（）已知△中，两顶点、的坐标为、，、分别是、的中点，求直线的斜率．（）已知，求证：四边形为矩形．二、学习指引自主探究．什么是直线的倾斜角与斜率，倾斜角的取值范围是什么？．关于直线的倾斜角和斜率，下列说法哪些是正确的？（）任一条直线都有倾斜角，也都有斜率（）直线的倾斜角越大，它的斜率就越大（）平行于轴的直线的倾斜角是（）两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等（）两直线的斜率相等，它们的倾斜角也相等（）直线斜率的范围是．倾斜角与斜率的变化规律打开《几何画板》，过定点作一条平行于轴的直线，度量其斜率，并将该直线绕定点按逆时针旋转，倾斜角从增大到．当时，随着增大，斜率（填“增大”“减小”），其范围是．当时，随着增大，斜率（填“增大”“减小”），其范围是．．对于“”，要从左边推出右边即“”，前提是两直线要从右边推出左边即“”，前提是两直线．案例分析．下列三点能构成三角形的三个顶点的为（）．．．．．【解析】、、选项中三点均共线，不能组成三角形．选项中三点不共线，故可以组成三角形的三个顶点．选．。

双基达标(限时15分钟)1．y轴所在直线的倾斜角为________，斜率为________．解析易知倾斜角为90°，当倾斜角为90°时，斜率不存在．答案90°不存在2．经过两点A(2,3)，B(1,4)的直线的斜率为________．解析由斜率定义式k＝y2－y1x2－x1求出斜率为－1. 答案－13．过点M(－2，a)，N(a,4)的直线的斜率为－12，则a等于________．解析由斜率定义式k＝y2－y1x2－x1求解．答案104．已知A(－3,8)，B(2,4)，若P A的斜率是PB斜率的两倍，则y轴上的点P 的坐标为________．解析由题意，设P(0，y)，由k P A＝2k PB，∴y－83＝2×y－4－2，解得y＝5.即点P的坐标为(0,5)．答案(0,5)5．过点A(2，b)和点B(3，－2)的直线的倾斜角为135°，则b的值是________(参考公式：tan(180°－α)＝－tan α)．解析由斜率定义式k＝y2－y1x2－x1及斜率等于tan 135°＝－tan 45°＝－1求解．答案－16．求证：A(1,5)，B(0,2)，C(2,8)三点共线．证明由斜率定义式k＝y2－y1x2－x1求得k AB＝k AC＝3，且有公共点A，∴三点A，B，C共线．综合提高(限时30分钟)7．已知三点A(a,2)，B(3,7)，C(－2，－9a)在一条直线上，则实数a的值为________．解析 由题意，k AB ＝k BC ，∴7－23－a ＝－9a －7－2－3，∴a ＝2或29. 答案 2或298．直线l 1，l 2，l 3如图所示，则l 1，l 2，l 3的斜率k 1，k 2，k 3的大小关系为________，倾斜角α1，α2，α3的大小关系为________．解析 当0°＜α＜90°时，斜率为正值，倾斜角越大，斜率越大；反之，斜率越大，倾斜角也越大；当90°＜α＜180°时，斜率为负值，上述结论仍成立．答案 k 1＞k 2＞k 3 α3＞α1＞α29．斜率为2的直线过(3,5)，(a,7)，(－1，b )三点，则a ，b 的值分别是________．解析 由斜率定义式k ＝y 2－y 1x 2－x 1求解． 答案 a ＝4，b ＝－310．若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b 的值等于________．解析 由三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，可知k AB ＝k AC ，即2－02－a＝2－b 2－0，即ab －2a －2b ＝0，所以1a ＋1b ＝12. 答案 1211．已知直线l 1的倾斜角α1＝15°，直线l 1和l 2的交点A ，直线l 1绕点A 按顺时针方向旋转到与直线l 2重合时所转的最小正角为60°，求直线l 2的斜率k .解 如下图，由图形可得直线l 2倾斜角为15°＋(180°－60°)＝135°，∴斜率为tan 135°＝－tan 45°＝－1.12．已知三点A (0，a )，B (2,3)，C (4,5a )在一条直线上，求a 的值，并求这条直线的倾斜角．解 ∵三点的横坐标不等，∴三点所共直线的斜率存在．由斜率公式可得k AB ＝3－a 2－0＝3－a 2. k BC ＝5a －34－2＝5a －32. ∵三点在一条直线上，∴k AB ＝k BC ，即3－a 2＝5a －32，解得a ＝1.此时这条直线的斜率k ＝k AB ＝3－12＝1，设这条直线倾斜角为α，当0°≤α<180°时，只有tan 45°＝1，∴α＝45°.即这条直线的倾斜角为45°.13．(创新拓展)(1)设点A (2，－3)，B (3,2)，直线过P (1,1)且与线段AB 相交，求直线l 的斜率k 的取值范围；(2)已知两点A (－3,4)，B (3,2)，过点P (2，－1)的直线l 与线段AB 有公共点，求直线l 的斜率的取值范围．解 (1)数形结合求解；如图，要使l 与线段AB 相交，则直线l 的倾斜角介于直线PB 的倾斜角和直线P A 的倾斜角之间，又直线PB 的斜率是2－13－1＝12，直线P A 的斜率是－4；故直线l 的斜率的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4，12.(2)如图，要使l 与线段AB 有公共点，则直线l 的倾斜角介于直线PB 的倾斜角和直线P A 的倾斜角之间，又直线PB 的斜率是3，斜率是－1；故直线l 的斜率的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．。

专题01直线斜率与倾斜角（易错必刷32题13种题型专项训练）直线方程求倾斜角 动点求斜率范围最值 方向向量与斜率 直线斜率比大小 斜率范围求倾斜角 函数值域型求倾斜角直线与线段有交点求斜率范围直线相交受限型求倾斜角 斜率公式几何意义 截距型直线斜率 直线斜率倾斜角求参 直线倾斜角型求参数 综合应用一．直线方程求倾斜角（共2小题）1．（23-24高二上·四川雅安·阶段练习）直线tan 345y x =-︒+的倾斜角为（）A ．34︒B ．56︒C ．124︒D ．146︒【答案】D【分析】根据斜率的定义结合诱导公式即可求解.【详解】因为tan 34tan146-︒=︒，所以直线tan 345y x =-︒+的倾斜角为146°.故选：D2．（23-24高二上·天津南开·期中）若直线2π:tan 5l x =的倾斜角为α，则α=（）．A ．0B ．2π5C ．π2D ．不存在【答案】C【分析】根据直线的方程即可求解.【详解】因为2π:tan 5l x =，2πtan5为一常数，故直线的倾斜角为π2，故选：C二．动点求斜率最值范围（共2小题）3．（23-24高二上·四川·期中）已知点()20,A m ，()()3,0B m m m >，则直线AB 斜率的最小值为（）A ．14-B ．12-C ．14D ．124．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）若直线l 经过两点()2,A m 、(),21B m m --且l 的倾斜角为45 ，则m 的值为（）A ．12B ．2C ．1D ．12-三．方向向量与斜率（共2小题）5．（23-24高二上·北京·期中）已知直线l 的一个方向向量为()3,2a =-，则直线l 的斜率为（）A ．32-B ．23-C ．23D ．326．（23-24高二上·江苏无锡·期中）经过()2,0A ，()3,3B 两点的直线的方向向量为()1,k ，则k 的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】直线AB 的方向向量与AB共线，可求k 的值.【详解】由()2,0A ，()3,3B ，有()1,3AB =，经过()2,0A ，()3,3B 两点的直线的方向向量为()1,k ，则有3k =.故选：C.四．直线斜率比大小（共2小题）7．（22-23高二上·安徽阜阳·阶段练习）图中的直线123l l l ､､的斜率分别为123k k k ､､，则（）A ．123k k k <<B ．312k k k <<C ．321k k k <<D ．132k k k <<【答案】D【分析】根据图像得到直线1l ，2l ，3l 的倾斜角满足o o123900ααα>>>>，由倾斜角与斜率的关系即可求解.【详解】设直线1l ，2l ，3l 的倾斜角分别为1α，2α，3α，由图像可得o o123900ααα>>>>，由倾斜角与斜率的关系可得，1320k k k <<<.故选：D.8．（23-24高二上·山西·开学考试）直线1l ，2l ，3l ，4l 的图象如图所示，则斜率最小的直线是（）A ．1lB ．2lC ．3lD ．4l 【答案】B【分析】由题图确定直线斜率的大小关系即可.【详解】由图知：34120l l l l k k k k >>>>，故斜率最小的直线是2l .故选：B五．斜率范围求倾斜角（共2小题）9．（23-24高二上·广东广州·期中）设直线l 的斜率为k ，且11k -≤<，则直线l 的倾斜角α的取值范围为（）A ．π3π0,,π44⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭ B ．π3π0,,π44⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭ C ．π3π,44⎛⎤ D ．π3π,44⎛⎫ ⎪10．（23-24高二上·广东汕头·期中）若直线l 的斜率k ∈，则直线l 的倾斜角的取值范围是（）A ．π2π0,π43⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭B ．π3π0,,π34⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭C ．π2π,43⎛⎫ ⎪D ．π3π,34⎛⎫⎪六．函数值域型求倾斜角（共5小题）11．（23-24高二上·河南洛阳·期中）已知直线:cos 30l x y θ+-=，则l 的倾斜角α的取值范围是（）A ．[)0,πB ．ππ,42⎡⎤⎢⎥C ．π3π,44⎡⎤⎢⎥D ．πππ3,,422π4⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥12．（23-24高二上·河北石家庄·期中）直线()242230a x y --+=（a 为常数）的倾斜角的取值范围是（）A ．ππ3π0,424⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦B ．π3π0,,π24⎡⎫⎡⎤⎪⎢⎢⎥⎣⎭⎣⎦ C ．π3π0,,π24⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢ D ．π3π0,24⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢，则直线l 的倾斜角的范围是（）A ．[]0,πB ．ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．π3π,44⎡⎤⎢⎥D ．πππ3,,422π4⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥14．（22-23高二下·上海黄浦·期中）直线()21210a x ay +-+=的倾斜角的取值范围是（）A ．π0,4⎡⎤⎢⎥B ．ππ,42⎡⎤⎢⎥C ．π3π,44⎡⎤⎢⎥D ．π3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢，则直线的倾斜角的范围是（）A ．[0,]πB ．ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．π3π,44⎡⎤⎢⎥D ．πππ3,,422π4⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥七．直线与线段有交点求斜率范围（共3小题）16．（23-24高二上·河南开封·期中）经过点()0,1P -作直线l ，若直线l 与连接()2,0A -，()2,0B 两点的线段总有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是（）A ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[]22-,C ．11,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢ D ．(][),22,-∞-+∞UC，直线l 过点(1,1)P 且与线段AB 相交，则直线的斜率 k 的取值范围是（）A ．1k ≥或4k ≤-B ．1k ≥或43k ≤-C ．41k -≤≤D ．413k -≤≤的斜率，再画出图形分析可得k k ≤或k k ≥，从而即可得解如图所示：若直线k 满足43PA k k ≤=-或1PB k k ≥=，即l 的斜率18．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知两点()3,2A -，2,1，过点()0,1P -的直线l 与线段AB （含端点）有交点，则直线l 的斜率的取值范围为（）A ．(][),11,∞∞--⋃+B ．[1,1]-C ．[)1,1,5∞∞⎛⎤--⋃+ ⎥⎝⎦D ．1,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】A【分析】画出图像，数形结合，根据倾斜角变化得到斜率的取值范围.【详解】如图所示，直线PB 逆时针旋转到PA 的位置才能保证过点()0,1P -的直线与线段AB 有交点，八．直线相交受限型求倾斜角（共1小题）19．（2014高三·全国·专题练习）若直线:l y kx =2360x y +-=的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是（）A ．ππ,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭C ．ππ,32⎛⎫ ⎪D ．ππ,32⎡⎤⎢⎥直线AP 的斜率33AP k =直线BP 的斜率不存在，此时倾斜角为所以直线l 的倾斜角的取值范围是故选：B.九．斜率公式几何意义（共3小题）20．（23-24高二下·全国·课后作业）已知实数x ，y 满足1355y x =-，且23x -≤≤，则21y x -+的取值范围（）A ．[)1,3,2⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦B ．1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．(][),13,-∞-+∞D ．[]1,3-21．（23-24高二上·福建福州·阶段练习）设点()2,3A -，()3,2B --，若点(),P x y 在线段AB 上（含端点），则11y x --的取值范围是（）A ．(]3,4,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣--⋃⎭∞B ．34,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．3,44⎡⎤-⎢⎥D ．以上都不对点3(2,)A -，(3,2)B --，点P 13412AQ k +==-- ，123134BQ k +==+34k ∴≥或4k ≤-，∴11y x --的取值范围是(],4--⋃∞故选：A ．22．（21-22高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）实数x ，y 满足226440x y x y +--+=，则2x ++的最大值为（）A ．158B ．3+CD ．0十．截距型直线斜率（共3小题）23．（22-23高二上·四川成都·阶段练习）直线1(0)x y ab a b +=<在坐标系中的位置可能是（）A ．B ．C ．D ．的直线l 在x 轴上的截距的取值范围为，则直线l 的斜率k 的取值范围为（）A ．1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,(1,)3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ D ．1(,1),3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】求出端点处的直线l 的斜率，从而求出斜率k 的取值范围.25．（23-24高二上·陕西榆林·阶段练习）直线l 经过点()4,3P -，在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，且,a b 满足log 2a b =，则直线l 的斜率为（）A ．2B ．1-【答案】C【分析】由题意设直线l 的方程为十一．直线斜率倾斜角求参（共2小题）27．（21-22高二上·全国·阶段练习）设直线l 的方程是40x By +-=倾斜角为α.若64ππα<<，则B 的取值范围是（）A ．3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B ．()C ．()()0,1 D ．(),1,3⎛-∞-+∞ ⎝⎭【答案】B十二．直线倾斜角型求参（共3小题）26．（21-22高二上·吉林四平·期末）已知直线l ()1220m y +--=的倾斜角为23π，则m =（）A ．13B ．1C ．32D ．－1【答案】A【分析】由倾斜角求出斜率，列方程即可求出m .28．（山东省多校2023-2024学年高二上学期12月联合质量检测数学试题）已知直线30mx y -=的倾斜角是直线1y +的倾斜角的两倍，则m =（）29．（23-24高二上·广东佛山·期中）已知直线l 过()31A m +,，()4,21B m +两点且倾斜角为4，则m 的值十三．综合应用（共3小题）30．（21-22高一·湖南长沙·期中）曲线13y =与过原点的直线l 没有交点，则l 的倾斜角α的取值范围是A ．20,,33πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢UB ．,33ππ⎡⎤-⎢⎥C ．2,3ππ⎡⎫⎪⎢D ．0,3π⎡⎫⎪⎢3331．（23-24高二上·安徽·期中）已知直线:l y x =-，其中1l ，2l ，l 的图象如图所示，直线1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，纵截距分别为1b ，2b ，则下列说法正确的是（）A ．210k -<<B ．121k k <<-C ．12b b >D ．120b b >【答案】AC 【分析】根据倾斜角和斜率的关系以及截距的定义判断.【详解】解：由图可知，1210k k <-<<，210b b <<，故选：AC ．32．（23-24高二上·安徽阜阳·期中）下列说法中不正确的是（）A ．若直线的斜率越大，则直线的倾斜角就越大B ．直线sin 20x y α++=的倾斜角θ的取值范围是π3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C ．过点()1,2，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线l 的方程为10x y -+=D ．若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α。

课时分层作业(十二)(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．下列说法中，正确的是( )A ．直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan αB ．直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为αC ．若直线的倾斜角为α，则sin α>0D ．任意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tan αD [α＝90°时，A 不成立；α不一定符合倾斜角的范围，故B 错；当α＝0°时，sin α＝0，故C 错；D 正确．]2．若过点P (3－a ，2＋a )和点Q (1，3a )的直线的倾斜角α为钝角，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，2)B ．(1，2)C ．(1，2]D ．[1，2]B [k ＝tan α＝3a －（2＋a ）1－（3－a ）＝2a －2a －2，∵α为钝角， ∴2a －2a －2<0， ∴1<a <2.]3．若直线l 过原点，且不过第三象限，那么l 的倾斜角α的取值范围是( ) A ．{α|90°<α<180°} B ．{α|90°≤α<180°}C ．{α|90°≤α≤180°}D ．{α|90°≤α<180°或α＝0°}D [倾斜角的取值范围为0°≤α<180°，直线过原点且不过第三象限，切勿忽略x 轴和y 轴．]4．在平面直角坐标系中，正三角形ABC 的BC 边所在直线的斜率是0，则AC ，AB 边所在直线的斜率之和为( )A ．－2 3B ．0 C. 3D ．2 3B [由BC 边所在直线的斜率是0，知直线BC 与x 轴平行，所以直线AC ，AB 的倾斜角互为补角，根据直线斜率的定义，知直线AC ，AB 的斜率之和为0.故选B.]5．如图，直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 2D [直线l 2，l 3的倾斜角为锐角，且直线l 2的倾斜角大于直线l 3的倾斜角，所以0<k 3<k 2，直线l 1的倾斜角为钝角，斜率k 1<0，所以k 1<k 3<k 2.]二、填空题6．若三点A (2，3)，B (3，2)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，m 共线，则实数m 的值为__________．92 [根据斜率公式得k AB ＝－1，k AC ＝6－2m 3. ∵A ，B ，C 三点共线， ∴k AB ＝k AC ，∴6－2m3＝－1. ∴m ＝92.]7．已知直线l 的倾斜角为α，且0°≤α<135°，则直线l 的斜率的取值范围是__________________．(－∞，－1)∪[0，＋∞)[设直线l的斜率为k，当0°≤α<90°时，k＝tan α≥0；当α＝90°时，无斜率；当90°<α<135°时；k＝tan α<－1，∴直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1)∪[0，＋∞)．]8．已知过点(－3，1)和点(0，b)的直线的倾斜角α满足30°≤α<60°，则b 的取值范围是________．[2，4)[因为30°≤α<60°，所以33≤k<3，又k＝b－13，所以33≤b－13<3，解得2≤b<4.]三、解答题9．△ABC的三个顶点为A(1，1)，B(2，2)，C(1，2)，试求△ABC三边所在直线的斜率和倾斜角．[解]由各点坐标知，三边所在直线的斜率分别为k AB＝2－12－1＝1，k AC不存在，k BC＝2－21－2＝0，故相应的三条直线的倾斜角分别为45°，90°，0°.10．光线从点A(2，1)射到y轴上的点Q，经y轴反射后过点B(4，3)，求点Q 的坐标及入射光线的斜率．[解]点B(4，3)关于y轴的对称点B′(－4，3)，k AB′＝1－32＋4＝－13，从而入射光线的斜率为－13.设Q(0，y)，则k入＝k QA＝1－y2＝－13，解得y ＝53，即Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，53.[等级过关练]1．给出下列说法，正确的个数是( )①若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等； ②一条直线的倾斜角为－30°； ③倾斜角为0°的直线只有一条；④直线的倾斜角α的集合{α|0°≤α<180°}与直线集合建立了一一对应关系． A ．0 B ．1 C ．2D ．3A [若两直线的倾斜角为90°，则它们的斜率不存在，①错；直线倾斜角的取值范围是[0°，180°)，②错；所有垂直于y 轴的直线倾斜角均为0°，③错；不同的直线可以有相同的倾斜角，④错．]2．一条直线l 与x 轴相交，其向上的方向与y 轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为( )A ．αB ．180°－αC ．180°－α或90°－αD ．90°＋α或90°－αD [如图，当l 向上方向的部分在y 轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l 向上方向的部分在y 轴右侧时，倾斜角为90°－α.故选D.]3．已知直线l 经过两点A (3，3)，B (6，23)，而直线l 1的倾斜角是直线l 的倾斜角的2倍，则直线l 1的斜率是________．3 [∵直线l 经过点A (3，3)，B (6，23)， ∴k l ＝23－36－3＝33，∴直线l 1的倾斜角为30°， ∴l 1的倾斜角为60°.∴kl 1＝tan 60°＝ 3.]4．已知点A(2，－1)，若在坐标轴上存在一点P，使直线P A的倾斜角为45°，则点P的坐标为________．(3，0)或(0，－3)[设x轴上点P(m，0)或y轴上点P(0，n)，由k P A＝1，得0＋1m－2＝n＋10－2＝1，解得m＝3，n＝－3，故点P坐标为(3，0)或(0，－3)．]5．过点M(0，－3)的直线l与以点A(3，0)，B(－4，1)为端点的线段AB有公共点，求直线l的斜率k的取值范围．[解]如图所示，(1)直线l过点A(3，0)时，即为直线MA，倾斜角α1为最小值，∵tan α1＝0－（－3）3－0＝1，∴α1＝45°.(2)直线l过点B(－4，1)时，即为直线MB，倾斜角α2为最大值，∵tan α2＝1－（－3）－4－0＝－1，∴α2＝135°.所以直线l的倾斜角α的取值范围是45°≤α≤135°.当α＝90°时，直线l的斜率不存在；当45°≤α<90°时，直线l的斜率k＝tan α≥1；当90°<α≤135°时，直线l的斜率k＝tan α≤－1.所以直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．。

2.1.2 直线的方程第1课时 点斜式1．直线的点斜式方程(1)过点P 1(x 1，y 1)且斜率为k 的直线方程y －y 1＝k (x －x 1)叫做直线的点斜式方程．(2)过点P 1(x 1，y 1)且与x 轴垂直的方程为x ＝x 1．2．直线的斜截式方程斜截式方程：y ＝kx ＋b ，它表示经过点P (0，b )，且斜率为k 的直线方程．其中b 为直线与y 轴交点的纵坐标，称其为直线在y 轴上的截距．思考：(1)“斜截式方程的应用前提是什么？(2)截距是距离吗？提示：(1)斜截式方程应用的前提是直线的斜率存在．(2)纵截距不是距离，它是直线与y 轴交点的纵坐标，所以可取一切实数，即可为正数、负数或零．1.思考辨析(1)当直线的倾斜角为0°时，过(x 0，y 0)的直线l 的方程为y ＝y 0.( )(2)直线与y 轴交点到原点的距离和直线在y 轴上的截距是同一概念．()(3)直线的点斜式方程不能表示坐标平面上的所有直线．()(4)当直线的斜率不存在时，过点(x1，y1)的直线方程为x＝x1.() [答案](1)√(2)×(3)√(4)√2．过点(2，3)，斜率为－1的直线的方程为________．y＝－x＋5[由点斜式方程得：y－3＝－1·(x－2)，∴y－3＝－x＋2，即y＝－x＋5.]3.过点P(1，1)平行于x轴的直线方程为________，垂直于x轴的直线方程为________．y＝1x＝1[过点P(1，1)平行于x轴的直线方程为y＝1，垂直于x轴的直线方程为x＝1.]4.已知直线的倾斜角为60°，在y轴上的截距为－2，则此直线方程为________．3x－y－2＝0[k＝tan 60°＝3，且过点(0，－2)，所以直线方程为y＋2＝3 (x－0)，即3x－y－2＝0.](1)经过点B(2，3)，倾斜角是45°；(2)经过点C(－1，－1)，与x轴平行；(3)经过点A(1，1)，B(2，3)．思路探究：先求直线的斜率，再用点斜式求直线的方程．[解](1)∵直线的倾斜角为45°，∴此直线的斜率k＝tan 45°＝1，∴直线的点斜式方程为y－3＝x－2，即x－y＋1＝0.(2)∵直线与x轴平行，∴倾斜角为0°，斜率k＝0，∴直线方程为y＋1＝0×(x＋1)，即y＝－1.(3)∵直线的斜率k＝3－12－1＝2.∴直线的点斜式方程为y－3＝2×(x－2)，即2x－y－1＝0.1．求直线的点斜式方程的前提条件是：(1)已知一点P(x0，y0)和斜率k；(2)斜率必须存在．只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程．2．求直线的点斜式方程的步骤是：先确定点，再确定斜率，从而代入公式求解．1．求倾斜角为135°且分别满足下列条件的直线方程：(1)经过点(－1，2)；(2)在x轴上的截距是－5.[解](1)∵所求直线的倾斜角为135°，∴斜率k＝tan 135°＝－1，又直线经过点(－1，2)，∴所求直线方程是y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0.(2)∵所求直线在x轴上的截距是－5，即过点(－5，0)，又所求直线的斜率为－1，∴所求直线方程是y－0＝－(x＋5)，即x＋y＋5＝0.(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.思路探究：(1)直接利用斜截式写出方程；(2)先求斜率，再用斜截式求方程；(3)截距有两种情况．[解](1)由直线方程的斜截式方程可知，所求直线方程为y＝2x＋5.(2)∵倾斜角α＝150°，∴斜率k＝tan 150°＝－3 3.由斜截式可得方程为y＝－33x－2.(3)∵直线的倾斜角为60°，∴其斜率k＝tan 60°＝3，∵直线与y轴的交点到原点的距离为3，∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3.∴所求直线方程为y＝3x＋3或y＝3x－3.1.直线的斜截式方程使用的前提条件是斜率必须存在．2.当直线的斜率和直线在y轴上的截距都具备时，可以直接写出直线的斜截式方程；当斜率和纵截距不直接给出时，求直线的斜截式方程可以利用待定系数法求解．2．根据下列条件，求直线的斜截式方程．(1)倾斜角是30°，在y轴上的截距是0.(2)倾斜角为直线y＝－3x＋1的倾斜角的一半，且在y轴上的截距为－10.[解](1)由题意可知所求直线的斜率k＝tan 30°＝3 3，由直线方程的斜截式可知，直线方程为y＝33x.(2)设直线y＝－3x＋1的倾斜角为α，则tan α＝－3，∴α＝120°，∴所求直线的斜率k＝tan 60°＝ 3.∴直线的斜截式方程为y＝3x－10.1．对于直线y＝kx＋1，是否存在k使直线不过第三象限？若存在，k的取值范围是多少？[提示]直线y＝kx＋1过定点(0，1)，直线不过第三象限，只需k<0.2．已知直线l的斜率为2，在y轴上的截距为a.(1)求直线l的方程．(2)当a为何值时，直线l经过点(4，－3)?[提示](1)因为直线l的斜率k＝2，在y轴上的截距为a，由直线方程的斜截式可得y＝2x＋a.(2)由于点(4，－3)在直线l上，把点的坐标代入l的方程y＝2x＋a得－3＝2×4＋a，所以a＝－11.【例3】已知直线l经过点P(4，1)，且与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为8，求直线l的点斜式方程．思路探究：设出直线的点斜式方程，表示出横、纵截距，利用三角形面积得斜率方程，求解即可．[解] 设所求直线的点斜式方程为：y －1＝k (x －4)(k <0)，当x ＝0时，y ＝1－4k ；当y ＝0时，x ＝4－1k .由题意，得12×(1－4k )×⎝ ⎛⎭⎪⎫4－1k ＝8. 解得k ＝－14.所以直线l 的点斜式方程为 y －1＝－14(x －4)．在利用直线的点斜式方程或斜截式方程表示纵、横截距，从而进一步表示直线与坐标轴围成的三角形面积时，要注意截距并非一定是三角形的边长，要根据斜率进行判断，当正负不确定时，要进行分类讨论．3．已知直线l 的斜率为16，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l 的方程．[解] 设直线方程为y ＝16x ＋b ，则x ＝0时，y ＝b ；y ＝0时，x ＝－6b .由已知可得12·|b |·|－6b |＝3，即6|b |2＝6，∴b ＝±1. 故所求直线方程为y ＝16x ＋1或y ＝16x －1，即x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.1．本节课的重点是了解直线方程的点斜式的推导过程，掌握直线方程的点斜式并会应用，掌握直线方程的斜截式，了解截距的概念．难点是了解直线方程的点斜式的推导过程．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)求点斜式方程的方法步骤．(2)求斜截式方程的求解策略．(3)含参数方程问题的求解．3．本节课的易错点是利用斜截式方程求参数时漏掉斜率不存在的情况．1．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则()A．直线经过点(－1，2)，斜率为－1B．直线经过点(2，－1)，斜率为－1C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1D．直线经过点(－1，－2)，斜率为1C[方程变形为y＋2＝－(x＋1)，∴直线过点(－1，－2)，斜率为－1.]2．经过点(－1，1)，斜率是直线y＝22x－2的斜率的2倍的直线方程是________．2x－y＋2＋1＝0[由方程知，已知直线的斜率为2 2，∴所求直线的斜率是2，由直线方程的点斜式可得方程为y－1＝2(x＋1)，即2x－y＋2＋1＝0.]3．直线x＋y＋1＝0的倾斜角与其在y轴上的截距分别是________．135°，－1[直线x＋y＋1＝0变成斜截式得y＝－x－1，故该直线的斜率为－1，在y轴上的截距为－1.若直线的倾斜角为α，则tan α＝－1，即α＝135°.] 4．求经过点A(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程．[解]设直线方程为y－4＝k(x＋3)(k≠0)．当x＝0，y＝4＋3k，当y＝0，x＝－4－3，k－3＝12，即3k2－11k－4＝0，∴3k＋4－4k∴k＝4或k＝－13.∴直线方程为y－4＝4(x＋3)或y－4＝－13(x＋3)，即4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.。