数形结合之一

勾股定理两种主要证明方法勾股定理是一个基本的几何定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。

在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明。

“勾三，股四，弦五”是勾股定理的一个最著名的例子。

当整数a,b,c满足a^2;+b^2;=c^2;这个条件时，(a,b,c)叫做勾股数组。

也就是说，设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a^2;+b^2;=c^2;。

在中国数学史中同样源远流长，是中算的重中之重。

《周髀算经》中已有“勾三股四弦五”的记述，赵爽的《周髀算经》中将勾股定理表述为“勾股各自乘，并之，为弦实。

开方除之，即弦。

”勾股定理现辨认出约有种证明方法，就是数学定理中证明方法最少的定理之一。

下面我们一起来观赏其中一些证明方法：方法一：赵爽“弦图”三国时期吴国数学家赵爽在为《周髀算是经》并作注释时，编定了一幅“勾股圆方图”，也称作“弦图”，这就是我国对勾股定理最早的证明。

年世界数学家大会在北京召开，这届大会会标的中央图案正是经过艺术处理的“弦图”，标志着中国古代数学成就。

方法二：刘徽“青朱进出图”约公元年，三国时代魏国的数学家刘徽为古籍《九章算术》作注释时，用“出入相补法”证明了勾股定理。

方法三：欧几里得“公理化证明”希腊数学家欧几里得（euclid，公元前～公元前）在巨著《几何原本》给出一个公理化的证明。

年希腊为了纪念二千五百年前古希腊在勾股定理上的贡献，发售了一张邮票，图案就是由三个棋盘排序而变成。

方法四：毕达哥拉斯“拼图”毕达哥拉斯（公元前—前年），古希腊知名的哲学家、数学家、天文学家.将4个全等的直角三角形拼成边长为(a＋b)的正方形abcd，使中间留下边长c的一个正方形洞．画出正方形abcd．移动三角形至图2所示的位置中，于是留下了边长分别为a与b的`两个正方形洞。

浅谈“数形结合”在小学低段数学教学中的应用“数形结合”是数学教学中重要的教学原则之一。

它指的是将数学的抽象概念与具体形象相结合，通过形象化的方式来帮助学生理解数学概念和解决问题。

在小学低段数学教学中，应用“数形结合”可以提高学生学习兴趣，培养学生的观察力、想象力和创造力，促进数学思维能力的发展。

通过“数形结合”，可以帮助学生更好地理解抽象的数学概念。

在小学低段数学教学中，许多概念是比较抽象的，例如数量与数的概念、加减法的运算等。

通过利用具体的形象来辅助教学，可以使学生更加直观地理解这些概念。

在教授数量与数的概念时，可以通过物体的形状、颜色、大小等与数量的对应关系，帮助学生理解数量与数的关系。

“数形结合”可以激发学生的学习兴趣。

小学低段的学生对于抽象的数学概念往往缺乏兴趣，他们更喜欢直观、具体的学习方式。

通过利用形象的教学方法，例如使用图形、模型等，可以使学生更加主动参与学习，提高学习的积极性和主动性。

应用“数形结合”可以培养学生的观察力、想象力和创造力。

在数学教学中，观察力、想象力和创造力是非常重要的素质。

通过观察图形、模型等，学生可以培养对形象的观察能力，从而加深对数学概念的理解。

通过形象的教学方法，可以激发学生的想象力，从而帮助他们构建数学模型和解决问题。

在解决实际问题时，学生可以发挥创造力，将数学与现实生活结合起来，找到创新的解决方法。

应用“数形结合”可以促进学生数学思维能力的发展。

在数学教学中，培养学生的数学思维能力是一个重要的目标。

通过形象化的教学方法，可以使学生更加活跃地思考，培养他们的逻辑思维和推理能力。

在解决面积与周长的问题时，可以通过使用图形或模型，让学生从具体的例子中总结出面积与边长之间的关系，培养他们的归纳与演绎能力。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）勾股定理是一个初等几何定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。

勾股定理是余弦定理的一个特例。

勾股定理约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。

“勾三股四弦五”是勾股定理最基本的公式。

勾股数组方程a ² + b ²= c ²的正整数组(a ,b ,c )。

(3,4,5)就是勾股数。

也就是说，设直角三角形两直角边为a 和b ，斜边为c ，那么a ²+b ²=c ² ，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

勾股定理命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么。

勾股定理的逆定理命题2 如果三角形的三边长a ，b ，c 满足，那么这个三角形是直角三角形。

【证法1】（赵爽证明）以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于21ab. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE,∴ ∠HDA = ∠EAB.∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º，∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º， ∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c2. ∵ EF = FG =GH =HE = b―a ,∠HEF = 90º. ∴ EFGH 是一个边长为b―a 的正方形，它的面积等于.∴ ∴.【证法2】（课本的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等.即， 整理得 .【证法3】（1876年美国总统Garfield证明）以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,∴ ∠ADE = ∠BEC.∵ ∠AED + ∠ADE = 90º,∴ ∠AED + ∠BEC = 90º.∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º.∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于.又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º,∴AD∥BC.∴ABCD是一个直角梯形，它的面积等于∴ .∴.【趣闻】：在1876年一个周末的傍晚，在美国华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。

数形结合之一教学目标：1.知识与技能：学生总结出从1开始的连续奇数相加的和的规律，并能灵活运用。

2.过程与方法：学生经历观察操作归纳等活动，帮助学生通过形来直观感受与数之间的联系。

经历探索规律的过程，发现算式中蕴含的数学规律。

体会数与形有时能互相解释，并能借助形来解决一些与数有关的问题。

3.情感态度与价值观：通过数形结合来分析思考问题，从而感悟数形结合的思想，提高解决问题的能力。

教学重点：学生经历观察操作归纳等活动，帮助学生借助形来直观感受与数之间的联系。

教学难点：运用数形结合的思想来分析具体的数学问题，提高分析问题的能力。

教学准备：多媒体课件，小正方形教学设计一、导入师：同学们，提到数学你会想到什么？预设：算式，符号，三角形，正方形……师：你们说的这些，在数学中可以归为两类，其中算式，数字属于数学中的数；符号，图形，属于数学中的形。

师：今天我们就一起来研究数与形。

（揭示课题：数与形）二、探究新知师：同学们，黑板上有几个黄色的正方形？（1个）。

师：黑板上有几个绿色的正方形？（3个）师：一共有几个正方形？（4个）。

师：谁来按颜色列式？生：1+3=4师：黑板上有几个红色的正方形？（5个）。

师：一共有几个正方形？（9个）师：谁来按颜色列式？生：1+3+5=9师：有几个蓝色正方形？生：7个师：一共有几个正方形？（16个）师：怎么算的？生：1+3+5+7=16师：老师这里已经出示了4种不同颜色的正方形，每种颜色的正方形个数都不同，如果我再出示一种颜色的正方形，猜想一下，会有几个？生：9个师：你是怎么想的？预设1：我发现每种颜色的正方形个数都比前一种颜色的正方形个数多2个。

预设2：我发现每种颜色的正方形个数都是连续的奇数。

（读算式加数，验证学生的猜想并鼓励）师：原来这些算式都有规律！它们的加数都是连续的奇数！那同学们，下一个算式是什么？生：1+3+5+7+9+11=师：你是怎么想的？（抓住学生的回答强调，从1开始的连续奇数）师带着学生看每一个算式，并肯定强调从1开始！（板书：从1开始的连续奇数的和）师：你们看，这样的算式能写多少个？生：无数个。

数形结合------研究三角函数的主要数学思想 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非。

”“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。

数形结合，主要指的是数与形之间的一种对应关系。

数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”， 即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题形象化。

三角函数是基本初等函数之一，它是中学数学的重要内容之一，它的认知基础主要是几何中圆的性质、相似形的有关知识，在数学必修一中建立的函数概念以及函数的研究方法。

主要的学习内容是三角函数是概念、图象和性质，以及三角函数模型的简单应用；研究方法主要是代数变形和图象分析。

因此，三角函数的研究已经初步把几何与代数联系起来了。

1.三角函数线作为三角函数的几何表示，它给三角函数的定义有了直观的理解，加深了学生形与数的结合。

对同角三角函数关系可予以几何解释，还能帮助学生更好地理解掌握诱导公式，三角函数的定义域及三角函数的符号规律。

三角函数线在解决许多三角问题中都起到了重要的作用。

从它的应用中让学生充分体会数形结合的思想方法，从而培养“数形结合”的良好习惯。

2. 运用数形结合的思想方法，可更好的理解三角函数的图象和性质。

如三角函数的定义域，值域，周期性，奇偶性，单调性，对称性等都可以从三角函数的图象上直观的显现出来，而利用三角函数的图象又非常容易理解三角函数的这些性质。

因此，明确研究三角函数问题都可用代数和几何相结合的思想方法，拓宽思维空间，提高解决问题的能力。

3. 例题分析，下面列举几例来体会三角函数中的数形结合思想。

例1. 如果,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦那么函数f x x x ()cos sin =+2的最小值是多少？ 分析：y f x x x x x ==+=-++()cos sin sin sin 221从三角函数的角度来看，求y x x =-++sin sin 21的最小值是一个较难的问题，是一个比较陌生的问题。

数形结合建构运算律的基本模型——“乘法分配律”错例分析与思考乘法分配律是数学中非常重要的一个基本运算律，它是数形结合的基本模型之一、乘法分配律告诉我们，对于任意的实数a、b和c，有以下等式成立：a×(b+c)=(a×b)+(a×c)。

通过这个运算律，我们可以将加法和乘法进行结合，从而可以更方便地进行计算。

但是，有时候我们在应用乘法分配律的时候会出现错例，即不满足这个等式。

接下来，我们将对乘法分配律的错例进行分析与思考。

首先，我们来看一个常见的错误应用乘法分配律的例子：3×(4+5)=(3×4)+(3×5)。

这个等式是错误的，因为左边等于27，而右边等于39、这是因为我们误把乘法分配律应用到了加法上，实际上，乘法分配律只能应用于乘法和加法的组合。

接下来，我们思考一下为什么乘法分配律会出现错例。

一个常见的原因是在计算过程中出现了计算错误。

例如，上面的例子中，27并不等于39，说明我们在计算过程中出现了错误。

这种情况下，我们需要仔细检查计算过程，找到错误的地方并进行修正。

另外一个常见的原因是对乘法分配律的理解不够透彻。

乘法分配律告诉我们，可以将一个数与括号中的和相乘，再将结果进行求和。

这个过程可以看作是将被乘数拆分成多个部分，分别与乘数相乘，再将结果相加。

然而，在实际应用中，由于数字的顺序和运算符的处理可能比较复杂，容易出现理解不准确的情况。

这种情况下，我们需要重新理解乘法分配律的本质，并进行正确的应用。

此外，还有一个可能的原因是我们在应用乘法分配律的时候，忽略了乘法分配律的前提条件。

乘法分配律要求我们应用于实数，而不是应用于其他类型的数。

如果我们将乘法分配律应用于复数或者其他类型的数，就有可能导致出错。

因此，在应用乘法分配律之前，我们需要明确运算对象的类型，以确保其满足乘法分配律的条件。

综上所述，乘法分配律是数学中一个非常重要的基本运算律，可以在数形结合的过程中帮助我们简化计算。

浅谈小学数学“数形结合”思想小学数学教学担负着培养小学生数学素养的特殊任务，而数学思想方法是数学的灵魂和精髓，是数学素养的本质所在，因此我们必须给予充分的重视和关注。

数学新课程标准也明确指出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生应该获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识以及基本的数学思想方法和必要的应用技能。

”数形结合思想是根据“数”与“形”之间的对应关系，通过数与形的相互转化，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来解决问题的思想方法。

数形结合思想是数学中最重要、最基本的思想方法之一，是解决许多数学问题的有效思想。

“数”和“形”是紧密联系的。

我们在研究“数”的时候，往往要借助于“形”，在探讨“形”的性质时，又往往离不开“数”。

伟大的数学家华罗庚先生也曾这样形容过“数”与“形”的关系：“数形本是相倚依，焉能分作两边飞，数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。

”利用数形结合能使“数”和“形”统一起来。

以形助数、以数辅形，可使计算中的算式形象化，帮助学生在理解算理的基础上掌握算法；可将复杂问题简单化，在解决问题的过程中，提高学生的思维能力和数学素养。

适时的渗透数形结合的思想，可达到事半功倍的效果。

一、数形结合，使概念掌握得更扎实。

对1~2年级的学生来说，许多数学概念比较抽象，很难理解，特别需要视觉的有效应用，因此有时教师可采用数形结合的思想展开概念的教学，运用图形提供一定的数学问题情境，通过对图形的分析，帮助学生理解数学概念。

例如，在教学100以内的数的认识时，学生大多对100以内的数顺背、倒背如流，看上去掌握得很不错。

于是我出示了这样一道题考考学生：66接近70还是60呢？结果却发觉好多学生都不会。

分析其原因主要是有些学生只是机械地会背这些数，关于数的顺序、大小等方面的知识其实掌握不佳，因而需要教师创设一定的情境让学生进一步感知和学习的。

于是我在黑板上画了一条数轴，称它是一条带箭头的线，在数轴上逐一标出60～70，将抽象的数在可看得见的线上形象、直观地表示出来，将数与位置建立一一对应关系，这样就有助于学生理解数的顺序、大小。

数形结合在小学数学中运用数形结合是数学中重要思想方法之一。

它既具有数学学科的鲜明特点，又是数学研究的常用方法。

数形结合思想就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合。

赞科夫说:“教会学生思考,这对学生来说,是一生中最有价值的本钱”,而要教会学生思考,实质是要教会学生掌握数学的思想方法。

常用的数学思想方法有很多,而数形结合思想具有数学学科的鲜明特点,是解决许多数学问题的有效思想。

将抽象的数量关系形象化，具有直观性强，易理解、易接受的特点。

将直观图形数量化，转化成数学运算，常会降低难度，并且使知识的理解更加深刻明了。

一、数形结合的功能1、有利于记忆由于数学语言比较抽象，而图形语言则比较形象。

利用图形语言进行记忆速度快，记得牢。

笛卡尔曾说：“没有任何东西比几何图形更容易印入脑际了。

因此，用这种方式来表达事物是非常有益的。

”同时，由于图象是“形象”的，语言是“抽象”的，因此对图形的记忆往往保持得比较牢固。

2、有助于思考用图进行思维可以说是数学家的思维特色。

往往一个简单的图象就能表达复杂的思想，因此图象语言有助于数学思维的表达。

在数学中，有时看到学生遇到难题百思不得其解时，如能画个草图稍加点拔，学生往往思路大开。

究其原因就是充分发挥了图象语言的优越性。

二、培养学生数形结合思想方法的措施1、强化意识，体会作用例如，学生学完长方形和正方形的周长后，有一题是这样的：用4个变长为2厘米的正方形拼成一个长方形或正方形，周长最大是多少最小是多少(周长为整厘米数) 一开始学生看不懂，问我“老师，什么意思”我说：“看不懂的话，照题目说的拼拼看，可以同桌合作。

先想有几种拼法再想拼好后长和宽各是多少”在我的启发下，学生很快拼出了两种:第一种：(8+2)2=20厘米第二种：44=16厘米在这样的探究过程中，教师把“数学结合思想方法”有意识的渗透在学生获得知识和解决问题的过程中，充分利用直观图形，把抽象内容视觉化、具体化、形象化，化深奥为浅显，让学生在观察、实验、分析、抽象、概括的过程中，看到知识背后负载的方法、蕴涵的思想，那么，学生所掌握的知识才是鲜活的，可迁移的，学生的数学素质才能得到质的飞跃。

“数形结合”在小学低段数学教学中的应用一、数形结合的概念数形结合是指将数学中的数与形状相结合，通过图形来呈现数学问题，从而帮助学生更好地理解数学概念和解决问题。

数形结合不仅能够增强学生的空间想象力和创造力，还能促进学生对数学知识的理解和运用。

1. 通过图形呈现问题在小学低段数学教学中，老师可以通过图形的方式呈现数学问题，让学生通过观察图形来理解问题，并通过图形解决问题。

老师可以通过绘制图形让学生理解并计算面积、周长等问题，将抽象的数学问题可视化，使学生更容易接受。

2. 利用几何形状进行数学探究通过几何形状进行数学探究是数形结合的重要应用之一。

在数学教学中，老师可以利用各种几何形状让学生认识、探究和运用数学概念。

通过拼图、纸折等活动，让学生了解多边形的性质，培养学生的空间想象力和逻辑思维。

3. 借助数字图形进行认知和思维发展在小学低段数学教学中，老师可以借助数字图形进行认知和思维发展。

通过数字图形，学生可以直观地认识数学概念，培养学生的数学思维和解决问题的能力。

老师可以设计一些数字图形的填数问题，让学生通过填数的方式来理解和掌握数学规律。

三、数形结合的教学实践1. 开展形式多样的教学活动在小学低段数学教学中，老师可以根据教学内容和学生特点开展形式多样的教学活动，如数学游戏、实验探究、小组合作等，让学生在实际操作中体验数形结合的魅力，从而更好地理解和掌握数学知识。

2. 进行跨学科教学数形结合不仅可以应用在数学教学中，还可以和其他学科进行有机结合。

在跨学科教学中，老师可以通过合并数学和美术、音乐等学科的教学资源，开展丰富多彩的数学教学活动，从而激发学生的学习兴趣和学习动力。

3. 注重个性化教学在数形结合的教学实践中，老师应该注重个性化教学，充分考虑学生的认知特点和学习能力，因材施教，使每个学生都能得到有效的学习。

通过个性化教学，可以更好地激发学生的学习潜力，提高学生的学习效果。

四、总结数形结合是小学低段数学教学中一种有效的教学方法。

小学数学教学中数形结合思想的应用摘要数形结合是重要的教学思想方法之一，也是一种教学理念。

数形结合思想具有渊远流长的历史，贯穿着小学数学的始终，是小学数学灵魂的重要组成部分。

在教学中，教师通过利用数形结合思想方法，帮助学生把抽象的问题具体化、形象化，把复杂的问题简单化。

当前，数形结合思想在小学数学教学中已经有了广泛的应用，但是仔细观察还是会发现，教师在运用数形结合思想时还是存在着不少问题，导致教学效果不理想，学生成绩止步不前。

本论文根据教学中出现的问题，采用文献法、观察法及访谈法，对小学数学教学中数形结合思想的应用进行了研究。

过程中整理出教师在制定教学目标中忽略数形结合思想的定位、课堂教学中数形结合思想的渗透不到位、教师应用数形结合思想过于死板、忽视数形结合思想在复习中的渗透等问题，然后对应这些问题，逐一提出：学校加强对教师数形结合思想的培训、教师自身应不断更新教育理念、改进教师专用教材、与多种教学方法相结合、充分利用各种教学资源等策略。

关键词：小学数学；教学；数形结合思想；应用目录摘要 I1绪论 11.1研究背景 11.2研究目的及意义 11.2.1研究目的 11.2.2研究意义 11.3研究现状 21.3.1国内研究现状 21.3.2国外研究现状 21.4研究内容方法 31.4.1研究内容 31.4.2研究方法 31.5本文拟解决的问题 32相关概念概述 42.1数学思想 42.2数形结合 42.3数形结合思想 43小学数学教学中数形结合思想的应用现状及成因分析 53.1小学数学教学中数形结合思想的应用现状 53.1.1教学目标中忽略数形结合思想的定位 53.1.2课堂教学中数形结合思想的渗透不到位 63.1.3教师应用数形结合思想过于死板 63.1.4忽视数形结合思想在复习中的渗透 63.2数形结合思想应用问题的原因 73.2.1教师的数形结合思想观念片面 73.2.2教师的数形结合思想教学经验匮乏 7毕业论文上3.2.3教师对教材中数形结合挖掘不足 83.2.4学校缺少对教师数形结合思想的培养 84改进小学数学教学中数形结合思想应用的策略 94.1学校加强对教师数形结合思想的培养 94.2教师自身应不断更新教育理念 94.3改进教师专用教材 104.4与多种教学方法相结合 104.5充分利用各种教学资源 10结论 12致谢 13参考文献 14小学数学教学中数形结合思想的应用1绪论1.1研究背景人们在享受高端数字化生活的同时，也关注孩子的未来生活，关注他们的数学教育。