数与形结合例二

应用数与形相结合的原则在现实世界中，数与形是不可分离地结合在一起的，这是直观与抽象相结合，感知与思维相结合的体现。

数与形相结合不仅是数学自身发展的需要，也是加深对数学知识的理解、发展智力、培养能力的需要。

从表面上看来，中学数学内容可分为数与形两大部分，中学代数是研究数和数量的学科，中学几何是研究形和空间形式的学科，中学解析几何是把数和形结合起来研究的学科，实际上，在中学数学各科教学中都渗透了数与形相结合的内容。

如：例：在正三角形ＡＢＣ外接圆的弧ＢＣ上任取一点Ｐ，求证： （１）ＰＢ＋ＰＣ＝ＰＡ；（２）ＰＢ·ＰＣ＋ＡＢ２＝ＰＡ２ 分析：设正△ABC 边长为a ，PA=X PB=Y PC=Z 由∠B PA=∠CPA=60°对△PAB 和△PAC 使用余弦定理，有：x 2+y 2-xy=a 2 x 2+z 2-xz=a 2即：y 2-xy+ x 2- a 2=0 z 2-xz +x 2- a 2=0 如图：过说明Y 、Z 是关于U 的方程：u 2-xu+ x 2- a 2=0的两个根。

由韦达定理有：Y+Z=X Y-X=X 2-A 2C即：PB+PC=PA PB·PC+AB2=PA2这是几何问题转化为代数问题中的三角法。

又如：对每个实数，设F（X）取4Ｘ+1 X-Z -2X+4中的最小值，那么+（X）的最的最大值是（）A、8/3B、1/3C、2/3D、2/5分析：如图函数Y=F（X）的图象是图中的实线，联立：Y=—2X+4、Y=X+ 2解得：X=2/3 Y=8/3，故此题应选“A”。

这是由代数问题转化为几何题图解法。

以上两题证明数与形之间的联系是密不可分的，两者相畏相承同生共长。

在教学中应注意利用它们之间的关系来解决问题。

另外，实数与数轴相结合，复数与坐标平面相结合；函数与其图象相结合。

代数方程可表示各种数量关系，它可解决有关长度、面积、体积等问题。

二元一次方程，二元一次方程分别表示平面直线，二次曲线等。

三年级数形结合案例数形结合是指将数学知识与几何图形相结合，通过几何图形的形状、大小、位置等特征来解决数学问题。

三年级是学习数学和几何的关键阶段，以下是符合要求的一些数形结合案例：1. 小明家里有一块长方形的花坛，他想要在花坛的四周铺上一圈石子，用来美化花坛。

他测量了花坛的长和宽，发现长是5米，宽是3米。

他需要计算一下需要多少块石子才能够铺满整个花坛的四周。

2. 小红正在学习面积的概念，她拿着一个正方形的纸板，边长是4厘米。

她想要知道这个正方形的面积是多少，并用纸板上的方格来计算。

3. 小明和小红正在进行一个游戏，他们需要分别画一个正三角形和一个正方形，然后比较它们的面积。

小明画的正三角形的底边长是6厘米，高是4厘米；小红画的正方形的边长是5厘米。

他们需要计算一下谁画的图形面积更大。

4. 小明正在学习周长的概念，他拿着一个长方形的纸板，长是8厘米，宽是3厘米。

他需要计算一下这个长方形的周长是多少，并用纸板上的方格来计算。

5. 小红家里有一个圆形的花坛，她想要在花坛中间种一棵树，并围上一个圆形的栅栏，用来保护树苗。

她测量了花坛的直径，发现直径是10米。

她需要计算一下围栅栏需要多长的铁丝。

6. 小明正在学习体积的概念，他拿着一个正方体的木块，边长是4厘米。

他想要知道这个正方体的体积是多少，并通过拼装小木块的方式来计算。

7. 小红和小明正在进行一个游戏，他们需要分别画一个长方形和一个正三角形，然后比较它们的周长。

小红画的长方形的长是7厘米，宽是3厘米；小明画的正三角形的底边长是5厘米，高是4厘米。

他们需要计算一下谁画的图形周长更大。

8. 小明正在学习体积的概念，他拿着一个长方体的木块，长是6厘米，宽是3厘米，高是2厘米。

他想要知道这个长方体的体积是多少，并通过拼装小木块的方式来计算。

9. 小红正在学习面积的概念，她拿着一个长方形的纸板，长是7厘米，宽是4厘米。

她想要知道这个长方形的面积是多少，并用纸板上的方格来计算。

数形结合在实际问题中的应用案例数形结合在实际问题中的应用案例1. 引言数学和几何学是我们日常生活中不可或缺的一部分。

数形结合作为数学和几何学的交叉点，将抽象的数学概念和形状、图形相结合，可以帮助我们解决实际问题并深入理解数学的应用。

本文将通过几个应用案例，展示数形结合在实际问题中的重要性和价值。

2. 案例一：房屋设计假设你是一名建筑设计师，你的任务是设计一个舒适、实用的房子。

在设计过程中，数形结合起到了重要的作用。

你需要根据房屋的布局和尺寸计算出每个房间的面积和体积。

通过数学计算，你可以确定每个房间的大小和容量，以确保房屋满足居住者的需求。

在设计外观时，你可以使用数学原理和几何形状来确定房屋的外部结构和造型，例如使用三角形的石墙或圆形的阳台。

在室内设计中，你可以运用数学的比例和比例关系来布置家具和装饰品，以提高空间的利用率和美观度。

3. 案例二：汽车设计想象一下你是一名汽车设计师，你的目标是设计一辆外观时尚、性能出色的汽车。

在汽车设计中，数形结合同样发挥着重要作用。

你需要考虑汽车的整体比例和尺寸，以确保汽车在外观上比例协调。

通过使用几何图形和数学原理，你可以设计出具有良好比例的车身，使其在视觉上更加吸引人。

利用数学模型和几何原理，你可以优化汽车的空气动力学性能，使其在行驶过程中减少阻力和能耗。

在车内设计中，你可以运用数学和几何概念来确定座椅的角度、仪表盘的位置以及按钮的布局，以提高乘坐舒适性和人机交互体验。

4. 案例三：城市规划城市规划是一个涉及复杂的多维问题，数形结合在其中扮演着重要的角色。

城市规划师需要考虑人口数量、土地利用、交通流量等诸多因素。

数学和几何概念可以帮助城市规划师评估和优化城市的布局和形状。

在确定城市区域的大小和规模时，可以使用数学模型和几何原理来计算和优化土地的使用效率。

在交通规划中，数形结合可以帮助规划师设计合理的道路网络和交通流动，以提高城市的通行效率和交通安全性。

数学和几何概念还可以应用于建筑物的设计和风景区的规划，以创造出美观、宜居的城市环境。

数形结合的典型例题初中示例文章篇一：哎呀，一提到数形结合，这可真是初中数学里超级有趣又超级重要的一部分呢！就说那次，老师在黑板上出了一道题：已知一个二次函数图像经过点（1，0）、（3，0）和（0，3），求这个二次函数的解析式。

我一开始看着题目直发懵，心里想着：“这可咋整啊？”同桌小明倒是很快有了思路，他悄悄跟我说：“你看，这几个点不就是关键线索嘛！”我还是一脸茫然。

老师看到大家都有点不知所措，就笑着说：“同学们，咱们来画画图呀，这不就是数形结合嘛！”于是，我们在纸上画出了坐标系，把那几个点标了上去。

这一标，我好像突然开窍了！这不就像是在地图上找宝藏的标记一样嘛，这些点就是我们寻找函数解析式这个“宝藏”的线索。

我赶紧和旁边的小红讨论起来：“你说，这几个点连起来像不像一个三角形？”小红白了我一眼说：“别瞎想啦，咱们得正经解题。

”经过一番琢磨，我发现通过这几个点的位置关系，可以设出二次函数的一般式y = ax² + bx + c ，然后把点的坐标代进去，就能算出a、b、c 的值啦！这就好像是搭积木，每个点就是一块积木，我们得把它们巧妙地组合起来，才能搭出完整的“函数大厦”。

还有一次，有道题是比较两个数的大小，一个是根号5，一个是2。

这可把我难住了，这两个数看起来没啥直接的联系呀！这时候，老师又提醒我们：“画画图呀！”我恍然大悟，在数轴上把根号5 的大概位置标了出来，一下子就看出来它比2 大啦！数形结合就像是给我们开了一扇神奇的窗户，让原本抽象的数学变得清晰可见。

它能让我们在数学的世界里畅行无阻，就像有了导航一样，再也不怕迷路啦！总之，数形结合在初中数学里可太重要啦，它能帮我们轻松解决好多难题，让数学变得有趣又简单，难道不是吗？示例文章篇二：哎呀，说到数形结合，这在咱们初中数学里可太重要啦！就比如说，有这么一道题，让咱们求一个函数图象与坐标轴围成的面积。

光看数字和公式，是不是觉得脑袋都大啦？可要是把数和形结合起来，那就完全不一样喽！老师在黑板上画出那个函数图象的时候，就好像给我们打开了一扇神奇的大门。

让“数”与“形”和谐交融
“数”与“形”可以相互结合，产生美妙的艺术效果。

以下是
一些例子：
1. 黄金分割：黄金分割是一种比例关系，可以用来构成优美的
图形和艺术作品。

黄金分割比例约为1：1.618，它是一种数学上的
完美比例，也被认为是最美和最和谐的比例之一。

2. 几何图形：数学中的几何图形如正方形、圆形、三角形等可
以用来构成美观的艺术作品。

这些图形可以作为元素组合在一起，
产生出各种不同的形态。

3. 点线面：画家们经常使用点、线和面来创作他们的艺术作品。

这些基本元素可以用对称性和比例来创造出协调的形状。

4. 数字艺术：数字艺术是一种新兴的艺术形式，用数字和计算
来创造艺术作品。

数字艺术家将数字和几何形状以新的方式组合起来，产生出独特的作品。

总之，数学和艺术是密切相关的领域。

它们都涉及到理解和创
造美的方式，并可以相互促进，创造出更美妙的作品。

高考数学复习----《数形结合》典型例题讲解【典型例题】例1、（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2x f x x =+，2()log g x x x =+，()2sin h x x x =+的零点分别为a ，b ，c 则a ，b ，c 的大小顺序为（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>【答案】D【解析】由()2sin 0h x x x =+=得0x =，0c ∴=，由()0f x =得2x x =−，由()0g x =得2log x x =−.在同一平面直角坐标系中画出2x y =、2log y x =、y x =−的图像， 由图像知a<0，0b >，a c b ∴<<.故选：D例2、（2023·江苏·高三专题练习）已知正实数a ，b ，c 满足2e e e e c a a c −−+=+，28log 3log 6b =+，2log 2c c +=，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】B【解析】22e e e e e e e e c a a c c c a a −−−−⇒+=+−=−，故令()e e x x f x −=−，则()e e c c f c −=−，()e e a a f a −=−．易知1e ex x y −=−=−和e x y =均为()0,+∞上的增函数，故()f x 在()0,+∞为增函数． ∵2e e a a −−<，故由题可知，2e e e e e e c c a a a a −−−−=−>−，即()()f c f a >，则0c a >>．易知222log 3log log 2b =+>，2log 2c c =−，作出函数2log y x =与函数2y x =−的图像，如图所示，则两图像交点横坐标在()1,2内，即12c <<，c b ∴<，a cb ∴<<．故选：B ．例3、（2023·全国·高三专题练习）已知e ππe e ,π,a b c ===，则这三个数的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．b c a <<C ．b a c <<D ．c a b <<【答案】A【解析】令()()ln ,0x f x x x =>，则()()21ln ,0x f x x x −'=>， 由()0f x ¢>，解得0e x <<，由()0f x '<，解得e x >，所以()()ln ,0x f x x x=>在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减； 因为πe >，所以()()πe f f <，即ln πln e πe<， 所以eln ππln e <，所以e πln πln e <，又ln y x =递增，所以e ππe <，即b a <；ee ππ=⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 在同一坐标系中作出xy =与y x =的图像，如图：由图像可知在()2,4中恒有x x >， 又2π4<<，所以ππ>， 又e y x =在()0,∞+上单调递增，且ππ>所以e πe πe π=⎡⎤>⎢⎥⎣⎦，即b c >；综上可知：c b a <<，故选：A例3、（2022春·四川内江·高三校考阶段练习）最近公布的2021年网络新词，我们非常熟悉的有“yyds ”、“内卷”、“躺平”等．定义方程()()f x f x '=的实数根x 叫做函数()f x 的“躺平点”．若函数()lng x x =，()31h x x =−的“躺平点”分别为α，β，则α，β的大小关系为（ ）A ．αβ≥B ．αβ>C ．αβ≤D ．αβ<【答案】D【解析】∵()ln g x x =，则()1g x x'=， 由题意可得：1ln a α=， 令()1ln G x x x=−，则α为()G x 的零点， 可知()G x 在定义域()0,∞+内单调递增，且()()1110,e 10eG G =-<=->， ∴()1,e α∈；又∵()31h x x =−，则()23h x x '=， 由题意可得：3213ββ−=，令()3231H x x x =−−，则β为()H x 的零点，()()23632H x x x x x '=−=−，令()0H x '>，则0x <或2x >，∴()H x 在(),0∞−，()2,+∞内单调递增，在()0,2内单调递减，当(),2x ∈−∞时，()()010H x H ≤=−<，则()H x 在(),2−∞内无零点， 当[)2,x ∞∈+时，()()310,4150H H =−<=>，则()3,4β∈， 综上所述：()3,4β∈；故αβ<.故选：D.。

第8单元 数学广角——数与形学习目标：1．经历探索“由形到数”和“由数到形”的过程，体会数形结合思想在解决问题中的重要价值。

2．发现图形中的规律，会利用图形解决一些有关数的问题，体会数形结合思想和极限思想。

3．在解决问题的过程中感受数学的直观与抽象，激发学习数学的兴趣。

重点：结合实例理解数形结合思想。

难点：运用数形结合的方法探索规律，解决问题。

知识点1.运用数形结合的方法探索规律例1的规律：从1开始，n 个连续的奇数相加，等于n 2。

例2的规律：12 +14 +18 +116 +132 +164 +……＝1，也就是从12开始，每个数是前一个数的12 连续相加，即 12n 连续相加等于2n -12n 。

教材108页“做一做”参考答案：1．分析：(l)l+3+5+7=42 5+3+1=321+3+5+7+5+3+1=42+32＝25(2)1+3+5+7+9+11+13＝72 11+9+7+5+3+1=621+3+5+7+9+11+13+11+9+7+5+3+1=72 +62=85解答：25 852．第6个图形有6个红色小正方形和18个蓝色小正方形；第10个图形有10个红色小正方形和26个蓝色小正方形。

规律：红色为n 蓝色为6+2n=2(3+n)练习二十二（教材109～111页）参考答案：第1题．第5个图形最外圈有40个小正方形。

因为第n 个图形最外圈有(2n+1)2 -（2n-1）2=8n(个)小正方形，所以第5个图形最外圈就有5×8=40（个）小正方形。

规律是（2n+1）2-(2n-1)2=8n第2题．提示：第1个数是1，对应的圆片数是1个；第2个数是3，对应的圆片数是1+2=3（个）；第3个数是6，对应的圆片数是1+2+3=6（个）；第4个数是10，对应的圆片数是1+2+3+4=10（个）……第n 个数就是从1加到n ，即1+2+3+4+…+n=(1+n)n 2 ,所以第10个数是(1+10)╳102=55。

数学人教六年级上册《第八单元_第02课时_数学广角-数与形（二）例2》（说课稿）一. 教材分析数学人教六年级上册《第八单元_第02课时_数学广角-数与形（二）例2》这一课时，主要让学生通过观察、操作、探究等活动，发现规律，并用发现的规律解决问题。

教材以数与形的关系为主线，引导学生感受数形结合的思想，培养学生的数形结合意识，提高解决问题的能力。

二. 学情分析六年级的学生已经具备了一定的数学基础，对数形结合的思想有一定的了解。

但学生在解决实际问题时，还存在着对数形结合思想的运用不够灵活、不能很好地将数学知识与实际问题结合等问题。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的个体差异，引导学生主动探究，发现规律，提高解决问题的能力。

三. 说教学目标1.知识与技能：学生会运用数形结合的思想，解决实际问题。

2.过程与方法：学生通过观察、操作、探究等活动，发现规律，培养数形结合意识。

3.情感态度与价值观：学生感受数学与生活的联系，提高学习数学的兴趣。

四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够运用数形结合的思想，解决实际问题。

2.教学难点：学生发现规律，并用发现的规律解决问题。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、合作学习法、引导发现法等。

2.教学手段：多媒体课件、实物模型、学习卡片等。

六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引发学生对数形结合思想的思考，导入新课。

2.探究规律：学生分组讨论，观察、操作、探究数形结合的规律。

3.展示交流：学生代表展示探究成果，其他学生补充、评价。

4.解决问题：学生运用发现的规律，解决实际问题。

5.总结提升：教师引导学生总结数形结合的思想，培养学生的数形结合意识。

6.巩固练习：学生独立完成练习题，检验学习效果。

七. 说板书设计板书设计要简洁明了，突出重点。

可以采用流程图、思维导图等形式，展示数形结合的思想和规律。

八. 说教学评价教学评价要注重过程性评价和终结性评价相结合。

《数与形》例2（教案）六年级上册数学人教版在今天的数学课上，我们将一起探索《数与形》例2，这是人教版六年级上册数学教材中的一课。

一、教学内容我们将会使用人教版六年级上册数学教材，具体是第101页的内容。

这一页介绍了数与形之间的关系，通过例2来展示如何利用图形来帮助我们理解和解决数学问题。

二、教学目标通过本节课的学习，我希望学生们能够理解数与形之间的内在联系，学会使用图形来解决数学问题，提高他们的数学思维能力。

三、教学难点与重点本节课的重点是让学生们理解和掌握数与形之间的关系，难点是如何引导学生通过图形来解决数学问题。

四、教具与学具准备为了帮助学生们更好地理解课程内容，我已经准备好了多媒体教学设备和一些教学模型。

学生们需要准备的学具有纸、笔和尺子。

五、教学过程1. 导入：我会在黑板上画出一个长方形，然后提问学生们长方形的面积应该如何计算。

通过这个实践情景引入，让学生们感受到图形与数学问题的联系。

2. 新课讲解：我会带领学生们一起阅读教材中的例2，解释数与形之间的关系，并展示如何利用图形来解决数学问题。

3. 例题讲解：我会挑选一些与例2类似的题目，详细讲解解题步骤和方法，帮助学生们理解和掌握如何通过图形来解决数学问题。

4. 随堂练习：我会给学生们一些练习题，让他们独立完成，然后我会挑选一些学生的作业进行讲解和评价，确保学生们能够正确地运用所学知识。

六、板书设计1. 数与形的定义2. 数与形之间的关系3. 利用图形解决数学问题的方法七、作业设计1. 如果一个长方形的长是10cm，宽是5cm，请问它的面积是多少？2. 如果一个正方形的边长是8cm，请问它的面积是多少？答案：1. 长方形的面积 = 长× 宽= 10cm × 5cm = 50cm²2. 正方形的面积 = 边长× 边长= 8cm × 8cm = 64cm²八、课后反思及拓展延伸通过本节课的教学，我觉得学生们对数与形之间的关系有了更深入的理解，大多数学生能够通过图形来解决数学问题。

数与形结合的规律知识精讲1.数与形结合的规律“数”：指数学中的数量和数量关系，如数字、等式等，表达的信息具有抽象性和精确性；“形”：指图形，表示量对应的图形意义等，表达的信息具有直观性和形象性。

数与形结合主要有两种方式：以数辅形、以形助数。

以数辅形：借助数的精确性说明形的特征，通过准确计算，把图形问题转化成数量问题，化难为易。

以形助数：利用图形更好地揭示实际问题中蕴含的数量关系，进而解决实际问题。

2.数与形结合的规律——以数辅形如可以借助数形结合的方法数线段、角、三角形等图形的数量。

数线段的方法：可以结合图形，按照基本线段的个数得出一共有几条线段。

注：基本线段是指一条线段被端点所分成的几条线段。

1条基本线段：线段数量＝1（条）。

2条基本线段：线段数量＝2+1=3（条）。

3条基本线段：线段数量＝3+2+1=6（条）。

4条基本线段：线段数量＝4+3+2+1=10（条）。

……n条基本线段：线段数量＝n+（n－1）＋…＋2＋1 （条）。

类似地，数角或三角形等图形的数量，也可以数形结合运用基本角和基本三角形的个数来求。

3.数与形结合的规律——以形助数如下图是公共汽车从解放路到游乐园之间行驶速度变化的情况。

从图中可以观察得出以下信息。

（1）公共汽车从解放路到游乐园共行驶了4分。

（2）在第1分内，汽车行驶速度从0提高到400米/分。

（3）从0分到1分，汽车行驶速度在增加；从3分到4分，汽车行驶速度在减少；从1分到3分，行驶速度保持不变，是400米/分。

除了可以之间观察得出的信息之外，还可以根据图像推断出一些实际情况。

如根据上图可知汽车在1分至3分之间匀速行驶，因此路程是在增加，共增加了800米。

易错易误点混淆基本图形的数量和所求图形的数量在数线段或其他图形的数量时，容易只数基本图形，即将所求图形的数量和基本图形的数量混淆，从而导致错误。

如下图中一共有多少个角？错解：4。

这里错在只数出了4个基本角，而要求的是一共有多少个角。

解析几何解题技巧之“数”“形”结合策略(一)份解析几何解题技巧之“数”“形”结合策略 1解析几何解题技巧之“数”“形”结合策略一、“数”“形”结合解题法的理论概述（一）方法释义首先，关于解析几何的释义，其泛指几何学上一个小分支，主要用代数方法研究集合对象之间的关系和性质，因此也称作“坐标几何”。

其包括平面解析几何和立体解析几何两部分，其中，平面解析几何是二维空间上的解析几何；立体解析几何是三维空间上的解析几何，而立体解析几何则比平面解析几何更加复杂、抽象。

其次，关于数形结合的.释义，即是把题目所给条件中的“数”与“形”一一对应，用简单的、直观的几何图形以及条件之间的位置关系把复杂的、抽象的数学语言以及条件之间的数量关系结合起来，通过形象思维与抽象思维之间的结合，以形助数，或以数解形，从而使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，以起到优化解题途径的目的。

（二）解题思路在遇到解析几何时，能清楚条件与问题之间的数量关系与位置关系，将“数”与“形”一一对应，便能够快速找到解题突破点。

事实上，当熟练掌握到数形结合方法，能够举一反三时，遇到的所有题目都将是同一题目了。

因此，掌握数形结合思，就必须厘清下列关系：第一点，复数、三角函数等以几何条件和几何元素为背景建立的概念；第二点，题目所给的等式或代数方程式的结构中所含明显的几何意义；第三点，函数与图象的对应关系；第四点曲线与方程的对应关系；第五点，实数与数轴上的点的对应关系。

二、“数”“形”结合法在几何解题中的实例解析（一）解析几何中圆类问题实践证明，数形结合对速解圆类问题的帮助很大，因为在一般解题过程中，解析几何圆类问题主要围绕求圆与圆之间的位置关系、圆与直线的位置关系、圆的标准方程等几方面展开。

比如在判断圆与直线的位置关系时，通过建立直角坐标系，便可以直观地观察到直线在圆外，但是答题需要写出确切的答题步骤才能得分。

这时就需要有“数”“形”结合解题思想的辅导——以数解形：通过计算圆心到直线的距离，距离比圆的半径大即表明直线在圆外。

数学人教六年级上册《第八单元_第02课时_数学广角-数与形（二）例2》（教案）一. 教材分析本节课为人教六年级上册数学广角-数与形（二）中的例2。

例2主要通过观察、操作、探索等活动，让学生体会数形结合思想，培养学生的逻辑思维能力和创新思维能力。

教材内容紧密联系学生的生活实际，具有很强的趣味性和实践性，能激发学生的学习兴趣。

二. 学情分析六年级的学生已经具备了一定的数学基础，对数形结合思想有一定的认识。

但在解决实际问题时，部分学生还存在着思维定势，不能很好地将数形结合思想运用到解题过程中。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的个体差异，引导他们积极思考，突破思维定势，提高解决问题的能力。

三. 教学目标1.让学生通过观察、操作、探索等活动，理解数形结合思想的内涵，体会数形结合在解决问题中的重要作用。

2.培养学生运用数形结合思想解决实际问题的能力，提高学生的逻辑思维能力和创新思维能力。

3.激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和动手操作能力。

四. 教学重难点1.重点：让学生通过观察、操作、探索等活动，理解数形结合思想的内涵，体会数形结合在解决问题中的重要作用。

2.难点：引导学生运用数形结合思想解决实际问题，培养学生创新思维能力和逻辑思维能力。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动参与课堂，积极思考。

2.运用观察、操作、探索等教学方法，让学生在实践中感受数形结合思想。

3.采用小组合作学习，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

4.利用多媒体辅助教学，提高课堂趣味性和生动性。

六. 教学准备1.准备相关的教学课件和教学素材。

2.准备足够的学习材料，如白纸、彩笔等。

3.提前学生进行预习，了解学生对数形结合思想的掌握情况。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个简单的数学问题，引导学生回顾已学的数形结合思想，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）教师展示例2的问题，让学生观察并思考：如何利用数形结合思想解决这个问题？3.操练（10分钟）学生分组讨论，每组选择一种方法利用数形结合思想解决这个问题。

数形结合解题五例“数形结合”是一门研究两类问题之间相互联系的学科，它是数学和几何学的实践性结合。

一个经典的数形结合解题模型是，利用数学分析的方法来解答具有几何关系的问题。

在这种情况下，解决问题的核心是发现数学模型，以及数学和几何知识之间的关系。

以下将介绍五个典型的数形结合解题案例。

第一个案例是：一只蚊子被困在圆柱形水桶内，现在要让它自由起飞，需要给桶中加多少水？这是一道数形结合案例，我们可以使用几何知识来解答这个问题。

首先，由于蚊子被困在圆柱形水桶内，我们可以确定桶的容积公式：容积=πr^2 h，其中r是桶的半径，h是桶的高度。

现在，我们需要确定桶中有多少水，因此需要求出桶中水的容积。

由于蚊子不能跨越水面，因此桶中水的容积必须超过蚊子跳过水面所需的高度，那么桶中水的容积就是h高度加上空气高度，因此总容积就是πr^2 (h+空气高度)，空气高度可以根据蚊子跳出水面所必须的高度来计算。

最后，我们只需将总容积减去桶内现有水的容积，就可以得到桶中需要加的水的容积。

第二个案例是：在XY平面上，有一直角三角形ABC，AB=3，BC=4，求角A的大小。

这是一道解三角形的数形结合问题，我们可以使用勾股定理来解答，即a^2 + b^2 = c*2。

由此可知，a=3，b=4，那么角A的大小就是A=cos--1((a*2 - b*2)/2ab)=cos--1(-5/24)=90°-cos--1(5/24)。

通过以上的运算，可以知道 ABC的三角中，角A的大小是90°-cos--1(5/24)。

第三个案例是：以圆心A为原点，有一个半径为R的完整圆，两个圆心分别为B、C，B和C的距离为d，要求确定BC两点的坐标和圆心A的半径R。

这是一道数形结合问题，我们首先要求出圆心A的半径R，首先可以使用勾股定理求出R=√(d2-d2A)可以求得圆心A的半径R。

然后确定圆心B和C在XY平面上的坐标，我们需要知道圆心A的坐标，以及两个圆心B和C之间的夹角α，也就是两个圆心所在线段的切线夹角。

《数与形（二）》教学设计教学内容教科书第105页例2及相关内容。

教学目标1．探究数与形之间的关系，寻找规律，发现规律，使学生学会利用图形来解决一些有关数的问题。

2．使学生经历猜想与验证的过程，体会数形结合、归纳推理、极限等基本数学思想。

3．在解决实际问题的过程中，使学生感受数学知识的奥妙，激发学习数学的兴趣。

教学重点学会利用图形来解决一些有关数的问题。

教学难点探索数与形之间的关系，渗透极限思想。

教学准备多媒体课件。

教学过程一、新课导入师：“数缺形时少直观，形少数时难入微。

”你能理解这句话的含义吗？今天我们继续研究有关数与图形之间的联系，通过今天的学习来帮助我们理解这句话。

［板书课题：数与形（二）］二、探究新知（一）提出问题课件出示：计算12＋14＋18＋116＋132＋164＋…。

师：观察这个算式，它有什么特点？学生通过观察，很容易发现：从第二个加数开始，每个数是前一个数的12。

师：这个算式和以前的算式有所不同，它后面还有个省略号，省略号表示什么？预设：省略号表示后面还有无数个这样的数相加。

师：“无数个”就是没有尽头的意思，按照这样的规律加下去，它的和会是多少呢？对于这个算式我们应该如何计算呢？（二）尝试解决师：我们先分步计算试一试。

出示【学习任务一】。

学生先独立计算，再在组内交流自己的发现。

师：观察这些算式，你有什么发现？预设1：对比发现，34与1相差1－34＝14，78与1相差1－78＝18，1516与1相差1－15 16＝116……预设2：我猜想，继续加下去，等号右边的分数越来越接近于1。

师：怎样验证我们的猜想呢？下面我们借助图形来验证一下。

出示【学习任务二】。

学生操作，教师巡视、指导。

搜集典型作品，指名学生说一说是怎么画的。

方法一：借助“圆”研究。

预设：把这个圆看作单位“1”，先通过平均分，找到了这个圆的12，就这样，每一次都把剩下的空白部分的图形平均分成2份，将其中的一份涂上颜色，依次加下去。