数形结合思想的含义数与形是数学中两个最古老

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“数”与“形”在一定的条件下可以相互转化
． 在一维空间，实数与数轴上的点建立了一一对应 关系； 在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立了一 一对应关系，进而使函数的解析式与函数的图象 ，方程与曲线建立了一一对应关系； 在三维空间，空间向量的引入又为用代数方法研 究空间点线面关系提供了可能． 这种用代数方法研究图形性质，借助图形性质研
2 （2,0）是函数图象的极小值点； 在x2 处符合其导函数 3 2 的值左正右负，故x 时，y1取得极大值． 3
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所示．
2 32 是函数图象的极大值点，其函数图象如图 ， 3 27
又在图中作出函数y2=log2x的图象，显然两图象有2 个不同交点，故原方程有2个不同的实根．
16
又因单位圆的圆心到直线l的距离 d
1 由平面几何知识知， OA ( AB) 2 d 2， 2
2
|c| a 2 b2
,
2 2 2cos c 即1 d2 2 ， 2 4 a b
2
所以 cos
2
1 cos c2 2 2 ， 2 a b
14
奇函数若在原点处有定义，则奇函数的图象一 定过原点．当我们作出了满足全部条件的函数F(x)的 图象后，不等式 F(x)＜0的解集已经跃然图上了．这 就是图形的直观作用！借助于图形，省却了繁琐的 推理与计算，取而代之的是一幅赏心悦目的优美图 案与简洁明快的解答！
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(5)利用“单位圆”
例5 已知acos bsin c，acos bsin c(ab 0，
的取值范围．
解析： 由根的分布，可写出a、b所满足的条件，并
b2 作出示意图；另外，由 的形式，可联想斜率公 a 1

“数形结合思想”解析（一）“数形结合”思想的内涵诠释“数形结合”的本质是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来进行思考，使“数”与“形”各展其长，优势互补，实现抽象思维与形象思维的结合，从而使复杂问题简单化，抽象问题具体化，起到优化解题途径的目的。

“数形结合”一词正式出现在华罗庚先生于1964年1月撰写的《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》的科普小册子中，书中有一首小词：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。

数无形时少直觉，形少数时难入微。

数形结合百般好，隔离分家万事非；切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！”这首小词形象、生动、深刻地指明了“数形结合”的价值，也揭示了“数形结合”的本质。

“数形结合”是一种重要的数学思想，也是一种智慧的数学方法。

我们在研究抽象的“数”的时候，往往要借助于直观的“形”，在探讨“形”的性质时，又往往离不开“数”。

通过“数”与“形”的结合，我们对事物、规律的把握就能既容易又细微、深刻。

（二）“数形结合思想”在教学中的作用。

数形结合的方法具有双向性：借助“形”的生动和直观性认识“数”，即以“形”为手段，“数”为目的；或借助于“数”精确和规范地阐明“形”的属性，此时，“数”是手段。

1.以“形”助“数”。

“形”的广义性以及小学生数学学习中直观形象思维的主导地位决定了大部分数学知识学习需要“形”的支撑。

a.数学概念的建立借助“形”的直观。

由于概念的抽象与概括性，教学时要向学生提供大量感性材料，而“形”的材料常常是最有效的。

如在数小棒、搭多边形中认识整数，在等分图形中认识分（小）数；利用交集图理解公因数与公倍数等等。

同样，运算的概念（如“除法”、“余数”）、数学术语（如“平均分”、“大于”）等等都需要“形”的参与。

b.数学性质的探索依赖“形”的操作。

数学性质是关于规律性的知识，应该让学生自主探索发现，而形的操作有助于发现规律。

如教学“3的倍数的特征”可作如下设计：让学生用9根小棒摆出三位数，判断是否是3的倍数；8根、6根呢？操作中学生发现，组成的三位数是否是3的倍数只与小棒的根数有关，而与摆的方式无关，根数就是各数位上数的和。

数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。

中学数学研究的对象可分为两大部分，一部分是数，一部分是形，但数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。

我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非。

”“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。

我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。

数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。

作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。

“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等等。

数形结合的思想方法是数学教学内容的主线之一，应用数形结合的思想，可以解决以下问题：一、解决集合问题：在集合运算中常常借助于数轴、Venn图来处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了。

二、解决函数问题：借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法。

函数图象的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法。

三、解决方程与不等式的问题：处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图象的交点问题；处理不等式时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路。

四、解决三角函数问题：有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题，一般借助于单位圆或三角函数图象来处理，数形结合思想是处理三角函数问题的重要方法。

五、解决线性规划问题：线性规划问题是在约束条件下求目标函数的最值的问题。

数形结合思想作者：来源：《数学金刊·高考版》2013年第04期数与形是数学发展中两个最古老的，也是最基本的研究对象，它们在一定的条件下可以相互转化，如某些代数问题、三角问题往往都有几何背景，而借助其背景图形的性质，可使那些抽象的概念、复杂的数量关系变得直观具体，以便于探求解题思路或找到问题的结论.可见数形结合，不仅是一种重要的解题方法，也是一种重要的思维方法.作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致可分为以下两种情形：第一，借助于数的精确性来阐明形的某些属性，即“以数解形”；第二，借助形的几何直观性来阐明数之间的某种关系，即“以形助数”.■ 以数解形当我们探究几何问题的解题思路受阻，或虽有办法但很艰难时，我们常常考虑能否将其转化为代数问题，而转化的常用方法是解析法即建立坐标系；还可引进复平面用复数的有关知识解决，综合使用三角法、向量法等代数方法，常可得到简洁的解法. 其典型代表是在立体几何与解析几何中的应用.■ 如图1，四边形ABCD内接于圆E，E为圆心，AC⊥BD，AC，BD交于点O，G为CD 边上的中点，EF⊥AB，垂足为F，求证：OG=EF.■图1思路点拨本题用几何的方法证明不易，可考虑用解析法，适当建立坐标系，将“形”的问题转化为“数”的问题. 由于“数”具有精确性的特征，所以巧妙利用这一性质就可以阐明“形”的某些属性，从而准确澄清“形”的模糊，使问题得以解决.破解以两条对角线所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图2.设点A，B，C，D的坐标分别为（-a，0），（0，-b），（c，0），（0，d）. 由F，G分别为AB，CD的中点，知F-■，-■，G■，■.■图2又E同时在AC，BD的垂直平分线上，所以E■，■.由两点间的距离公式可得EF=OG=■.■ 如图3，已知平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC=16，PA=PC=10.■图3（1）设G是OC的中点，证明：FG∥平面BOE；（2）证明：在△ABO内存在一点M，使FM⊥平面BOE.思路点拨用空间向量法解立体几何问题的一般步骤：（1）建立合理的空间直角坐标系.①当图形中有三条两两垂直且共点的直线时，通常分别以这三条直线为坐标轴建立坐标系.②当图形中没有现成的两两垂直的三条直线时，可根据实际情况构造出满足条件的三条直线，如图形中有直线与平面垂直时，可选择这条直线与这个平面的两条互相垂直的直线为坐标轴.（2）求出相关点的坐标. 求出图形中与题目条件和结论相关的所有点的坐标.（3）求出相关平面的一个法向量. 所有与平面相关的问题都是通过它的一个法向量来实现的.（4）通过合理运算得到所需结论.破解连结PO，由题意可得OB，OC，OP两两垂直. 如图4，以O为原点，射线OB，OC，OP为坐标轴的正半轴建立空间直角坐标系，则O（0，0，0），B（8，0，0），A（0，-8，0），C（0，8，0），P（0，0，6），E（0，-4，3），F（4，0，3），G（0，4，0）.■图4（1）■=（4，-4，3），■=（0，-4，3），■=（8，0，0）.设n=（a，b，1）是平面BOE的一个法向量，则n·■=8a=0及n·■=-4b+3=0，所以a=0，b=■，n=0，■，1，所以n·■=0.直线FG不在平面BOE内，所以FG∥平面BOE.（2）设△ABO内满足条件的点M的坐标为M（x，y，0），则■=（x-4，y，-3），由于FM⊥平面BOE，由■·■=0，■·■=0得-4y+3×（-3）=0，8（x-4）=0，即x=4，y=-■. 所以在△ABO内存在点M4，-■使FM⊥平面BOE.■ 已知m>1，直线l：x-my-■=0，椭圆C：■+y2=1，F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点.设直线l与椭圆C交于A，B两点，△AF1F2，△BF1F2的重心分别为G，H. 若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围.■图5思路点拨题设所描述的语言都非常形象直观，同学们很容易就能画出对应的图形，但是要求出实数m的范围，却不是靠看图就能看出来的，这需要我们把图形语言转换成代数语言，然后通过严谨的代数运算来求得m的精确范围.破解不妨设A（x1，y1），B（x2，y2），由于F1（-c，0），F2（c，0），则重心G的坐标为■，■，重心H的坐标为■，■，则GH2=■+■. 设M是GH的中点，则M■，■.由题知原点O在以线段GH为直径的圆内，我们可将此“形”的信息翻译为“数”的不等式：2MO即可得4■■+■■从（？鄢）式我们联想到了韦达定理，于是联立方程x=my+■，■+y2=1，消去x得2y2+my+■-1=0. 因为Δ=m2-8■-1=-m2+8>0，解得m2将其代入（？鄢）式得■-■1且Δ>0，所以1■1.一个平面封闭区域内任意两点距离的最大值称为该区域的“直径”，封闭区域边界曲线的长度与区域直径之比称为区域的“周率”，下面四个平面区域（阴影部分）的周率从左到右依次记为τ1，τ2，τ3，τ4，则下列关系中正确的为（）■图6A. τ1>τ4>τ3B. τ3>τ1>τ2C. τ4>τ2>τ3D. τ3>τ4>τ12. 如图7，在三棱锥P-ABC中，AB=AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2.■图7（1）证明：AP⊥BC.（2）在线段AP上是否存在点M，使得二面角A-MC-B为直二面角？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由.3. 如图8，过椭圆■+■=1的右焦点M任作一条直线l与椭圆相交于A，B两点，设N（2■，0），连结AN，BN. 求证：∠ANM=∠BNM.■图8■ 以形解数由于图形具有生动性和直观性的特点，恰当地利用图形就能使得复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而使问题灵活、简洁、准确地获解.说白了，就是将代数问题转化为几何问题，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，把数量关系转化为图形的性质来研究，思路与方法便在图形中直观显示出来，不仅可以加深对数量关系的理解，而且还能简化运算过程，起到事半功倍的效果.1. 利用图形研究方程或不等式的解解方程或不等式时，如果方程或不等式两边表达式有明显的几何意义，或通过某种方式可与图形建立联系，则可设法构造图形，将方程或不等式所表达的抽象数量关系直接在图形中得以直观形象地展现. 美国数学家斯蒂恩说：“如果一个特定的问题，可以被转化为一个图形，那么思想就整体地把握了问题，并且能创造性地思索问题的解法.”■ 解不等式3x-2+3x+1≤6（x∈R）.思路点拨本题如果直接解不等式，需要进行分类讨论，而考虑几何意义，其解法极为简洁.破解设z=3x，则在数轴上z-2+z+1≤6的图形是以■为中点，长度为6的一条线段，两端点分别为-■，■，所以-■≤3x≤■，即原不等式的解集为-■，■.■ 解关于x的不等式■≥a-x.思路点拨本题若试图化无理不等式为有理不等式，可能会有很多同学弄不清分类的标准；而若能转变思路，运用数形结合的思想则可以帮助我们明确分类标准，从而简化讨论.破解在同一平面直角坐标系中画出函数y=■和y=a-x的图象，即一个半圆（x-1）2+y2=4（y≥0）和一条直线（如图9）.■图9a为直线在y轴上的截距，直线和半圆相切时，算得a=1+2■，根据直线与半圆的交点情况，结合a的取值范围，得①当a≤-1时，有-1≤x≤3.②当-1③当3④当a>1+2■时，不等式无解.■ 若已知关于x的方程■=kx+2只有一个实数根，则k的取值范围为（）A. k=0B. k=0或k>1C. k>1或kD. k=0或k>1或k思路点拨本题用代数知识求解，不仅复杂、烦琐，而且很容易出错，结果是花费了大量的时间和精力，仍然无法得出正确答案. 充分利用方程两边式子所具有的几何意义，结合图形，答案便一目了然.破解关于x的方程■=kx+2只有一个实数根，等价于函数y=■，y=kx+2的图象只有一个公共点，作出函数图象，如图10. 由图象可知，直线与半圆只有一个公共点时，k=0或k>1或k■图10■ 方程x2+■x-1=0的解可视为函数y=x+■的图象与函数y=■的图象交点的横坐标. 若方程x4+ax-4=0的各个实根x1，x2，…，xk（k≤4）所对应的点x1，■（i=1，2，…k）均在直线y=x的同侧，则实数a的取值范围是______.思路点拨根据题中条件自然想到把方程x4+ax-4=0变形为x3+a=■，从而把问题转化为函数y=x3+a与函数y=■的图象交点的横坐标，再利用图象求解.■图11破解方程x4+ax-4=0的各个实根可视为函数y=x3+a和函数y=■的图象交点的横坐标. 在同一坐标系内，画出y=x，y=■，y=x3+a的图象，如图11所示，A（2，2），B（-2，-2）.当y=x3+a的图象分别过B，A时，a等于6和-6. 由图象上、下平移可知，当a6时交点均在直线y=x的同侧.■1. 若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且当x∈[0，1]时， f（x）=x，则函数y=f（x）-log4x的零点个数为（）A. 3B. 4C. 5D. 62. 函数y=■的图象与函数y=2sinπx（-2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于_______.3. 若关于x的不等式x22. 利用图形求最值（值域）数学问题中一些最值（值域）问题，若数量关系可赋予几何意义的，考虑采用数形结合的方法，常可凭借特殊位置、图形性质等直观的优势而简洁求解.■ 求函数y=■的值域.思路点拨求解此题的常规方法是将其变形为2y=sinx-ycosx，然后将等式右边合成一个三角函数，再利用三角函数的有界性求得y的取值范围. 除此之外，我们也可用数形结合的思想求解.破解由已知，原函数可变形为y=■，其几何含义是过点A（cosx，sinx）和B（-2，0）的直线的斜率，而A是单位圆x2+y2=1上的动点.■图12由图12可知，当过B（-2，0）作圆的切线时，直线AB的斜率到达最大或最小.容易算得ymax=■，ymin= -■，所以y∈-■，■.■ 求函数y=■+■的最大值.思路点拨本题易想到的是用换元法去掉根式，得y=u+v，注意到根式中两式的关系得新元的关系式，此关系式具有明显的几何意义.破解令u=■（u≥0），v=■（v≥0），则y=u+v.由5-2x=u2，x-2=v2，■得u2+2v2=1，且u≥0，v≥0. 问题转化为求直线y=u+v与椭圆u2+2v2=1有公共点时，直线的纵截距y的最大值.由图13可知，当直线与椭圆相切时，相应的纵截距最大，此时y=■，故函数y的最大值为■.■图13注：数学中的最值问题是比较常见的，有的最值问题若用一般的方法很难奏效，这种情况下可根据数学问题中的条件或结论，构造出相应的图形来“帮忙”，利用图形的特征来优化解题过程，从而使问题迎刃而解.■1. 求函数f（x）=■（0≤x≤π）的值域.2. 求函数f（x）=■+■的值域.3. 函数f（x）=■（0≤x≤2π）的值域为______.3. 数形渗透数形结合的思想方法，不仅是几何问题用代数方法思考，或是代数（包括三角）问题由图形去思考，而是密切联系，相互渗透的统一整体.解题时尤其是解较为综合的题目，请注意灵活使用.■ 已知向量a≠e，e=1满足对任意t∈R，恒有a-te≥a-e，则（）A. a⊥eB. a⊥（a-e）C. e⊥（a-e）D. （a+e）⊥（a-e）思路点拨此题如果用代数方法强行演算的话，虽然也能得到答案，但是运算“成本”太大，而且复杂的代数运算也会增加出错的概率. 考虑到这是一道选择题，不需要详细的推导过程，因此我们不妨“投机取巧”，利用向量的几何意义，缩短“战线”.破解我们首先画出向量a和向量e，然后再画出与向量e共线的向量te，这样，根据向量的减法法则，我们可以得到向量a-e和向量a-te. 因为a-te≥a-e对任意的t恒成立，所以向量a-e 是所有形如a-te的向量中模长最短的，这说明向量a-e必定非常特殊. 事实上，a-e与向量e是垂直的，即有e⊥（a-e），故选C.■ 若实数x，y满足不等式组x+3y-3≥0，2x-y-3≤0，x-my+1≥0，且x+y的最大值为9，则实数m=______.思路点拨这是个线性规划问题，常规的方法是通过画出约束条件所表示的几何图形来解决，但是约束条件x-my+1≥0中含有字母m，这就使得其图象不能准确地被画出，该怎么办呢？仔细观察后我们发现，直线x-my+1=0必过定点（-1，0），但是仍无法确定此直线的倾斜程度，因此确定直线的倾斜程度就成为解决此题的突破口.破解不妨设z=x+y，则y=-x+z，结合图象知，当直线x-my+1=0绕着（-1，0）旋转的时候，只有当斜率■∈（0，2）时，才能让函数y=-x+z的截距能取到最大值，如图14所示.我们发现，当目标函数y=-x+z经过点A时，z取到最大值9.联立直线y=-x+9，2x-y-3=0，解得A（4，5），代入x-my+1=0中，得m=1.■图14■1.在△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是边BC上一点，DC=2BD，则■·■=_______.2. 已知动点P（a，b）在不等式组x+y-2≤0，x-y≥0，y≥0表示的平面区域内部及其边界上运动，则w=■的取值范围是__________.3. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4≥10，S5≤15，求a4的最大值.■ 参考答案1 以数解形1. 准确理解区域“直径”“周率”概念的含义是求解本题的突破口.第一个区域：先补成一个长方形，如图15甲所示，设长为a，宽为b，则周率τ1=■=■≤2■. 第二个区域：设大圆半径为2，则周率τ2=■=π. 第三个区域：将原图补成一个三角形，如图15乙所示，设边长为a，则周率τ3=■=3. 第四个区域：如图15丙所示，设此区域外接正六边形边长为a，则周率τ4=■=2■，故选C.■甲乙丙图152. （1）因为AB=AC，D为BC的中点，所以AD⊥BC，又因PO⊥平面ABC，因此PO⊥BC，所以BC⊥平面POA，则AP⊥BC.（2）不妨以AD所在直线为y轴，OP为z轴，O为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图16所示，则由题意得O（0，0，0），A（0，-3，0），D（0，2，0），B（4，2，0），C （-4，2，0），P（0，0，4）. 设■=λ■，■=（0，3，4）.■图16设平面AMC的法向量为n1=（x1，y1，z1），■=（-4，5，0），■=（0，3λ，4λ）. 因为n1·■=0，n1·■=0，所以-4x1+5y1=0，3λy1+4λz1=0，则n1=（5，4，-3）.设平面BMC的法向量为n2=（x2，y2，z2），■=（8，0，0），■=■+■=（-4，-5，0）+（0，3λ，4λ）=（-4，-5+3λ，4λ）.因为n2·■=0，n2·■=0，所以x2=0，-4x2+（-5+3λ）y2+4λz2=0，则可得n2=（0，4λ，5-3λ）. 若二面角A-MC-B为直二面角，则16λ-3（5-3λ）=0，得λ=■，此时AM=λAP=■×5=3.3. 易得M（■，0），所以可设直线AB的方程为x=ty+■，A（x1，y1），B（x2，y2），则x1=ty1+■，x2=ty2+■. 把x=ty+■代入椭圆方程x2+2y2-4=0可得（t2+2）y2+2■ty-2=0，所以y■+y■=■，y■y■=■. 所以直线AN的斜率kNA=■=■，直线BN的斜率kNB=■=■，所以由此得kNA+kNB=■+■=■[2ty■y■-■·（y■+y■）]=■·2t■-■■=0，所以直线AN和BN的倾斜角互补，即∠ANM=∠BNM成立.2 以形解数1. 利用图形研究方程或不等式的解1. 偶函数f（x）的周期为2，且x∈[0，1]时，f（x）=x，作出函数f（x）的部分图象如图17所示，而函数y=f（x）-log■x的零点即为函数y=f（x）与y=log■x的图象的交点横坐标. 由图象可知，交点有6个，故函数y=f（x）-log■x的零点有6个，故选D.■图172. 由题意知y=■=■的图象是双曲线，且关于点（1，0）成中心对称. 又y=2sinπx的周期为T=■=2，也关于点（1，0）成中心对称，因此两图象的交点也一定关于点（1，0）成中心对称，如图18所示. 可知两个图象在[-2，4]上有8个交点，因此8个交点的横坐标之和x1+x2+…+x8=2×4=8.■图183. 不等式x2■图192. 利用图形求最值（值域）1. f（x）的几何意义是单位圆上的部分点（cosx，sinx）（-1≤cosx≤1，0≤sinx≤1）与点（4，2■）确定的直线斜率，如图20所示，得k■=■，kPA=■，所以函数f（x）的值域为■，■.■图202. 令u=■，v=■，则u2+v2=2（u≥0，v≥0）.它表示以原点为圆心，■为半径的一段圆弧（在第一象限内）. 又y=f（x）=■u+v，即v=-■u+y. 所以函数y的值域可以看成直线v=-■u+y与这段圆弧有交点时，直线在v轴上截距的取值范围. 结合图21，易知此取值范围为[■，■]，故所求函数f（x）的值域为[■，■].■图213. 当x=■时， f（x）=0；当x≠■时，可知f（x）=■= -■= -■.其中■表示单位圆上的点P（sinx，cosx）与点Q（1，1）连线的斜率.如图22所示：■∈[0，+∞），则f（x）∈[-1，0）. 综上，f（x）∈[-1，0].■图223. 数形渗透1. 建立如图23所示的坐标系，则A（0，0），B（-1，■），C（1，0），设点D的坐标为（x，y），则■=（x+1，y-■），■=（1-x，-y）.■图23因为D是边BC上一点，DC=2BD，所以1-x=2x+2，-y=2y-2■，解得x=-■，y=■.所以■=-■，■，■=（2，-■），所以■·■=-■.2. w=■=1+■=1+k，k为定点（1，2）与可行域上动点连线的斜率，由数形结合得斜率k的取值范围为（-∞，-2]∪[2，+∞），所以w的取值范围是（-∞，-1]∪[3，+∞）.3. 由题意得2a1+3d≥5，a1+2d≤3，a4=a1+3d，则问题转化为：已知实数x，y满足约束条件2x+3y≥5，x+2y≤3，求z=x+3y的最大值.作出约束条件2x+3y≥5，x+2y≤3对应的平面区域（如图24），将目标函数z=x+3y变形为y=-■x+■，它表示斜率为-■，在y轴上的截距为■的直线. 平移直线y=-■x+■，当直线经过点A （1，1）时，直线在y轴上的截距最大，对应的z最大，此时，zmax=1+3=4，所以a4的最大值为4. ■■图24。

浅谈数形结合发展简史作者：阿卜杜加帕尔·阿巴拜克尔阿米乃·图尔迪麦麦提来源：《新教育时代·学生版》2017年第25期摘要：“数”与“形”是数学的两大基本概念，数学的发展史也主要是围绕“数”和“形”这两大概念产生、发展、变迁的历史。

随着数学内涵的不断扩充，数学中最原始的两大对象——“数”与“形”的概念自身处于不断的发展变化中。

关键词：数形数形结合发展史阶段简单来说“数”与“形”经历了一个由分到和，又由合而分的发展变化过程。

追溯数形结合思想的历史渊源，我们可以发现数形结合的历史与数学的发展史息息相关，历史上数形概念的发展变化可以概括为以下阶段：一、数学萌芽时期的数形结合——数形不分在人类的原始时代，人们对数的认识与形是密不可分的。

正如德国数学家克隆尼克所言：“整数是被亲爱的上帝造成的，其它的一切都是人的工作”，数的概念是人类通过实践从客观事物的众多属性中抽象出来的。

此时数与形是结合在一起的。

例如：“天上一个太阳（数 1 与太阳结合在一起），人的一只手有五个指头（数5与一只手的指头结合在一起）等等”。

最早的计数方法也体现了这一点，如结绳记事、在树皮上划下刻痕计数等。

历史上最早的计数工具—中国的算筹和算盘就是数形结合的典范。

在形的发展过程中也离不开数的作用，如最早的几何知识产生于实际丈量土地的需要，人们对图形面积的计算需要借助于数。

所以形的发展也体现了数形结合的思想。

这个时期由于人们的认识能力有限，对数与形还没有达到有意识区分的水平，所以数形结合是必然的，它是一种无意识的结合。

二、古代数学发展时期的数形结合——从数占上风到形占上风古埃及人与巴比伦人通过长期的生产生活实践获得了大量的直观的几何知识，然后传到了古希腊。

古希腊的学派文化极大地促进了古希腊数学的发展。

毕达哥拉斯学派的贡献之一是有意识地承认并强调：“数学上的东西如数和图形是思维的抽象，同实际事务或实际形象是截然不同的。

《数与形》评课稿《数与形》评课稿（通用11篇）作为一位杰出的老师，可能需要进行评课稿编写工作，评课是教学、教研工作过程中一项经常开展的活动。

我们应该怎么写评课稿呢？以下是本店铺帮大家整理的《数与形》评课稿，希望对大家有所帮助。

《数与形》评课稿 1数形结合”是六年级上册教材中新编的内容，数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，数形结合可以让数量关系与图形的性质的问题很好地转化，通过几何直观可以帮助学生建立数的概念，帮助学生理解数运算的意义，可以使思路与过程具体化。

《数与形》这一内容是让学生经历观察、操作、归纳等活动，帮助学生借助“形”来直观感受与“数”之间的关系，体会有时“形”与“数”能互相解释，并能借助“形”解决一些与“数”有关的问题。

郎老师为了让学生理解图形和数字的对应关系，发现相应的数字变化规律，在课堂中做到了以下几点：一是引导学生数形结合，从不同角度寻找规律。

例如，在教学例1之前，郎老师首先用一组图形……让学生去发现图形排列的规律，让学生从形引入，猜下一个图形是什么图形。

学生从图形中想到数，单数是，双数，从形到数，教师为学生提供了一个熟悉的、生动形象的情境，让学生通过想象进入了新知的学习。

接着在教学例1时，先让学生说一说三幅图中分别有多少个小正方形？你是怎么发现的？通过学生的讨论，学生容易得出小正方形数为12.22.32.…的结论；还有的学生看到三个图中的小正方形数还可以分别表示成1.1+3.1+3+5.…的结论。

这时教师引导学生从数引入，让学生通过计算，发现1+3=4.1+3+5=9，…有的学生可能很快发现4=22.9=32.…这时老师引导学生用正方形来表示这些算式，使学生通过数与形的比照，看到这些连续的奇数在图形中的什么地方，平方数代表的又是图形中的什么，学生对规律形成更为直观的认识，从而突出了本课重点及难点。

二是改变学生的学习方法，促进自主探究和合作交流。

在课堂学习中，教师不论是“以数解形”、还是“以形助数”，在难点、重点之处都是能较好地引导学生自主探究和进行合作交流，学生在小组合作交流中，把复杂的问题简单化，抽象问题具体化。

“数”“形”结合是数学的核心思想和灵魂作者：吴宜朔来源：《环球市场信息导报》2016年第27期数学是一门古老的学问，是人类进化史上的重要工具。

其研究内容丰富、应用领域广泛。

其中，数与形是数学研究领域中两个最古老、最基本的内容，它们相互转化、相互渗透、相互支撑。

中学数学将研究对象分为数和形两部分，实际二者是密切交织和结合在一起的。

有研究将数形结合作为一种数学思想方法和解题思路，更高程度上，数形结合是数学的核心思想和灵魂。

因为它贯穿于数学的产生、发展过程中，渗透于数学的学习与应用中。

数学是因生产实践需要而早在远古时代就产生的古老的基础科学，其工具性和实用性特征显著，所以，被几乎所有学科和领域广泛使用；又因其极强抽象性和严密的逻辑性，在使用过程中，需借助图形、图像、图示等直观、简洁的形式呈现出来，将复杂问题简单化。

数学的产生于发展始终贯穿数形结合人类最早用有形物体来计数。

数学是研究事物数量关系和空间形式的学问。

它起源于人类最早的用手指、脚趾或小石子、小木棍等计数方式，同时，在实践中对各种形状的物体如大、小、方、圆等，进行反复观察、比较与使用，逐渐舍弃具体事物，进而抽象概括出形的概念。

所以，最早的数学本身就是数形结合。

其它学科尤其自然科学都借助数学这一工具，精确地反映客观事物的运动形态和规律。

随着生产力的不断发展和人类认识水平的不断提高，数学获得了极大的进步，也提出了许多新的研究课题，诞生了许多数学理论成果，如概率论、运筹学、信息论、控制论等。

数学与其它学科渗透，产生了诸多边缘学科：物理数学、生物数学、经济数学、语言数学等。

数学方法被应用于大量学科，如分析处理人口学、人种学和考古学等科研数据，还被运用到研究经济学、法学、史学和语言学等社会科学中。

这诸多方面都离不开数形结合的思想和方法的指导与运用。

基于数学而诞生的计算机，更彰显数学强大的工具性及实用性，也把数形结合的核心思想和灵魂发挥到极致。

数形结合是有效的教学方法和解题思路以“数”化“形”。

数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。

数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。

数形结合思想简单来讲是指将数（量）与（图）形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思维策略。

“数形结合”是数学中最重要的，也是最基本的思想方法之一，是解决许多数学问题的有效思想。

数形结合是数学中四种重要思想方法之一．它既具有数学学科的鲜明特点又是数学研究的常用方法．著名数学家华罗庚先生曾指出：“数与形本是相倚依，怎能分作两边飞，数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”这充分说明了数形结合思想在数学研究和数学应用中的重要性。

数和形这两个基本概念，是数学的两块基石。

在数学发展的进程中，数和形常常结合在一起，在内容上互相联系，在方法上互相渗透，在一定条件下互相转化。

数与形是中学数学研究的两类基本对象，相互独立又互相渗透。

尤其在坐标系建立以后，数与形的结合更为紧密。

而且在实际应用中，若就数论数，缺乏直观性；若就形论形缺乏严密性，当二者结合往往可优势互补，收到事半功倍的效果。

而且通过数到形结合的研究有助于数学思维品质的培养。

数形结合的思想方法，具体来说就是把问题中的数量关系与相应的图形结合起来，由数的性质得到相应图形的特征，或由图形的特征得出相应的数量关系，从而解决问题的思想方法。

其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来使抽象思维和形象思维结合。

通过对图形的认识、数形的转化,可以培养思维的灵活性、形象性,使问题化难为易、化抽象为具体。

例如：数轴就是数形结合的产物；解析几何就是用代数的方法研究几何问题的数学分支。

专题48 中考数学数形结合思想数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。

中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。

作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。

“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等。

1.数形结合思想的含义数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系,寻求代数问题的解决方法(以形助数),或利用数量关系来研究几何图形的性质,解决几何问题(以数助形)的一种数学思想. 数形结合思想使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，使问题得以解决。

2.数形结合思想应用常见的四种类型（1）实数与数轴。

实数与数轴上的点具有一一对应关系,借助数轴观察数的特点,直观明了。

（2）在解方程(组)或不等式(组)中的应用。

利用函数图象解决方程问题时,常把方程根的问题看作两个函数图象的交点问题来解决;利用数轴或函数图象解有关不等式(组)的问题直观,形象,易于找出不等式(组)解的公共部分或判断不等式组有无公共解。

（3）在函数中的应用。

借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法,函数图象的几何特征与数量特征紧密结合,体现了数形结合的特征与方法。

（4）在几何中的应用。

对于几何问题,我们常通过图形,找出边、角的数量关系,通过边、角的数量关系,得出图形的性质等。

3.数形结合思想解题方法“数”和“形”是数学中两个最基本的概念, 每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状、大小、位置密切相关的数量关系；反之,数量关系又常常可以通过几何图形做出直观地反映和描述.数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象思维和形象思维结合起来,在解决代数问题时,想到它的图形,从而启发思维,找到解题之路；或者在研究图形时,利用代数的知识,解决几何的问题.实现了抽象概念与具体图形的联系和转化,化难为易,化抽象为直观.【例题1】（2020•遵义）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，延长CB 使BD ＝AB ，连接AD ，得∠D ＝15°，所以tan15°=AC CD =12+√3=2−√3(2+√3)(2−√3)=2−√3．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（ ）A ．√2+1B ．√2−1C ．√2D ．12 【答案】B【分析】在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝45°，延长CB 使BD ＝AB ，连接AD ，得∠D ＝22.5°，设AC ＝BC ＝1，则AB ＝BD =√2，根据tan22.5°=ACCD 计算即可．【解析】在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝45°，延长CB 使BD ＝AB ，连接AD ，得∠D ＝22.5°，设AC ＝BC ＝1，则AB ＝BD =√2，∴tan22.5°=AC CD =11+√2=√2−1 【对点练习】（2019•湖北省仙桃市）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）A． B．C．D．【答案】C【解答】解：解不等式x﹣1＞0得x＞1，解不等式5﹣2x≥1得x≤2，则不等式组的解集为1＜x≤2【例题2】（2020•济宁）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，根据图象可知，方程x+5＝ax+b的解是（）A．x＝20 B．x＝5 C．x＝25 D．x＝15【答案】A【分析】两直线的交点坐标为两直线解析式所组成的方程组的解．【解析】∵直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P（20，25）∴直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P为x＝20．【对点练习】（2020株洲模拟）直线y=k1x+b1（k1＞0）与y=k2x+b2（k2＜0）相交于点（﹣2，0），且两直线与y轴围城的三角形面积为4，那么b1﹣b2等于．【答案】4【解析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点以及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．如图，直线y=k1x+b1（k1＞0）与y轴交于B点，则OB=b1，直线y=k2x+b2（k2＜0）与y轴交于C，则OC=﹣b2，∵△ABC的面积为4，∴OA•OB+=4，∴+=4，解得：b1﹣b2=4．【例题3】（2020通化模拟）在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD 与边长为2的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上．(1）小明发现DG⊥BE，请你帮他说明理由．(2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE 的长．(3）如图3，小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转，线段DG与线段BE将相交，交点为H，写出△GHE与△BHD面积之和的最大值，并简要说明理由．【答案】见解析。

数形结合:就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题,它包含以形助数和以数解形两个方面.利用它可使复杂问题简单化,抽象问题具体化,它兼有数的严谨与形的直观之长,是优化解题过程的重要途径之一,是一种基本的数学方法。

数"和"形"是数学中两个最基本的概念,它们既是对立的,又是统一的,每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状,大小,位置密切相关的数量关系;反之,数量关系又常常可以通过几何图形做出直观地反映和描述.数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象思维和形象思维结合起来,在解决代数问题时,想到它的图形,从而启发思维,找到解题之路;或者在研究图形时,利用代数的性质,解决几何的问题.实现抽象概念与具体形象的联系和转化,化难为易,化抽象为直观.作为最基本的数学思想之一的数形结合思想在新课程中又是怎样体现的呢？下面我结合它在以下几方面的运用浅谈一下。

一、数与代数中的数形结合这部分内容与原教学大纲比，数形结合的内容有很大改变和加强。

它重视渗透和揭示基本的数学思想方法，加强数学内部的联系及其相关学科的联系，如提前安排平面直角坐标系，用坐标的方法处理更多的内容包括二元一次方程组，平移变换，对称变换，函数等。

又如，它改变了“先集中出方程，后集中出函数”的做法，而是按照一次和二次的数量关系，使方程和函数交替出现，分层递进，螺旋上升。

在数与代数的教学里，我认为，应该抓住实数与树轴上的点一一对应的关系，有序实数对与坐标平面上的点的一一对应关系，从数形结合的角度出发，借助数轴处理好相反数和绝对值的意义，有理数大小的比较，有理数的分类，有理数的加法运算，不等式的解集在数轴上的表示等。

教师要赋予这些系统内容新的活力，采用符合课标理念的教法，在吃透新课程标准和教材的基础上，让学生经历试验、探索的过程，体验如何用数形结合思想分析和解决，培养学生学习和应用的能力，从而激发其学习数学的原动力。

“数形结合”在小学数学教学中的应用数学课程标准提出了“通过数学研究，掌握数学的基础知识、基本技能和思想方法。

”其实在上海二期课改时关于数学基础知识的内容的界定上，也指出数学基础知识不仅指有关的数学概念、性质、公式等，还包括其中隐含的数学思想方法，以及研究数学和运用数学知识解决问题等。

所以在教材编写上注重把数学思想方法贯穿在知识领域中，使每部分的数学知识不再孤立、零碎，组成一个有机的整体。

数学思想方法有许多，我们小学一般用到的如符号化、化归、数形结合、极限、模型、推理、几何变化、方程和函数、分类讨论、统计概率等思想。

在小学数学教学过程中，有意识地对学生进行数学思想方法的渗透，可以让学生不再感觉数学是一门枯燥的学科，而初步了解数学的价值，从而感受数学思考的条理性、数学结论的明确性以及数学的美。

下面就“数形结合”思想在小学数学教学中的应用谈些粗浅的想法。

一、数形结合思想的概念数与形是数学中的两个最古老，也是最根本的研究对象，我们中小学数学研究的对象就分为数和形两大部分，数与形是有接洽的，这个接洽称之为数形结合，或形数结合。

作为一种数学思想办法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：1、借助于数的精确性来阐明形的某些属性，即“以数解形”；2、借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即“以形助数”。

所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学题目的思想。

数形结合思想是一种可使庞大题目简朴化、抽象题目具体化的常用的数学思想办法，具体地说就是将抽象的数学语言与直观图形对应起来，使抽象思惟与形象思惟结合起来，通过“数”与“形”之间的对应和转换来解决数学题目。

二、数形结合的三种应用方式一般来说，数形结合的应用方式主要有三种类型：以数化形、以形变数和数形结合。

（1）以数化形由于“数”和“形”是一种对应的关系，“数”比较抽象，而“形”具有形象，直观的优点，能表达较多具体的思惟。

在低年级教学中，我们常常会把数的认识与计算通过形（学具）的演示，让学生初步建立起数的概念，认识数、进修数的加减乘除法；而高年级有些数量也较庞大，我们难以把握，因而就可以把“数”的对应——“形”找出来，利用图形来解决题目。

数形结合思想在小学数学教学中的应用——以数与代数为摘要]“数”和“形”是数学中两个最基本的概念，它们既是一种重要的数学思想，也是一种解决数学问题的有效方法。

本文将在数与代数领域对数形结合思想进行研究。

[关键词] 数学思想数与代数数形结合新课标中提出教师在教学中要发挥主导作用，使学生理解和掌握基本的数学知识和技能的同时，也突出强调了数学思想和方法。

著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休。

”数形结合就是把抽象难懂的数学语言、数量关系与直观形象的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，使抽象问题具体化，使复杂问题简单化，从而起到优化解题途径的目的。

一、数的认识方面在“数与代数”领域的“数的认识”教学中，渗透数形结合思想方法，帮助学生很好地建立数感。

《数学课程标准》指出：“数感主要表现在理解数的意义；能用多种方法表示数。

”例如教学《10的认识》时，可以让同学们先认真观察图，从图中你知道了什么？让学生利用数数的经验上台现场数数后，学生明白10个人、10只鸽子都可以用数字10表示。

接着让学生摆小棒操作，知道一捆就是1个十，所以10个1是十。

接着可以让学生找一找生活中哪些物体的个数可以用数字10表示。

最后让“10”宝宝参加数字排队，0~9这几个数字宝宝已经按照从小到大的顺序排好队了（出示尺子图），10应该排在哪儿？请计数器来帮忙。

学生动手操作先拨8颗，再添一颗是几颗（使学生能直观感受到9比8多1），9颗再添上1颗是几颗？10颗再去掉一颗是几颗（使学生感受到10比9多1）？10应该排在哪里？回到尺子图，让学生猜一猜9的后面是几？让学生分别按照从小到大、从大到小的顺序读出0~10这几个数字。

以“形”助“数”，“形”的广义性以及儿童数学学习中直观形象思维的主导地位决定了大部分数学知识学习需要“形”的支撑。

教师在教学中，尤其低年级，要向学生提供大量的“形”的材料。

小学数学数形结合思想方法的灵活妙用论文[内容摘要]“数”和“形”是数学中两个最基本的概念，它们既是一种重要的思想方法，又是解决问题的有效方法。

数形结合就是把抽象难懂的数学语言、数量关系与直观形象的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，使抽象问题具体化，使复杂问题简单化，，从而起到优化解题途径的目的。

[关键词]数形数形结合我国著名数学家华罗庚对“数”与“形”之间的密切联系有过一段精彩的描述：“数与形本相依，焉能分作两边飞，数缺形少直觉，形少数难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。

切莫忘，几何代数流一体，永远联系莫分离。

”数形结合符合人类认识自然，认识世界的客观规律。

“数”和“形”是数学的两个基本概念，全部数学大体上就是围绕这两个概念逐步展开的。

“数”与“形”的结合就是把抽象难懂的数学语言、数量关系与直观形象的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使相对的复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。

数形结合思想在小学数学中有着广泛的应用，本文谈谈小学数学中“数形结合”思想方法的运用。

一、以形助数----用图形的直观，帮助学生理解数量关系，提高教学效率。

用数形结合策略表示题中量与量之关系，可以达到化繁为简、化难为易的目的。

“数形结合”通过借助简单的图形，符号和文字所作的示意图，促进学生形象思维和抽象思维的协调发展，沟通数学知识之间的联系，从复杂的数量关系中凸显最本质的特征。

它是小学数学教材的一个重要特点，更是解决问题时常用的方法。

众所周知，学生从形象思维向抽象思维发展，一般来说需要借助于直观。

例如：例1：把一根绳子对折三次，现在的绳子占原来绳子总长的几分之几？分析与解：这道题条件虽少，对于大部分学生单从字面上很难弄清现在绳子与原来绳子之间的关系。

如果画出线段图，思路就豁然开朗了。

三、数与形的扩充与结合简史随着时间的流逝，人类文明进程的不断推进，数学的内容也不断地扩大着，尤其是在17-18世纪直至19世纪，被包括在数学领域内的许多学科和分支已经独立出去，而在各学科的边界又不断创造和衍生出一系列新的学科，这些新学科现在已融合成面向21世纪的庞大的数学科学领域，它是一个具有内在统一性的科学技术群。

数与形是数学中的两大基本概念，一部数学史主要是数与形的概念产生、发展、变迁的历史，现代数学也是围绕着这两个概念对其不断抽象、概括、提炼而发展起来的。

正因为数学内涵的不断扩充，数学中最原始的对象是数与形这两概念自身也处于不断变化中。

从最初计数而产生的自然数，从最初土地测量而产生的几何，发展成为研究代数系统的内在规律的现代代数学，以及与群论、拓扑学、计算机科学等数学分支相融合的种类纷呈的现代几何学。

数与形亦作为数学的两大基本研究对象经历了一个“合久必分，分久必合”的过程，从融合走向分离继而又走向融合。

数的产生源于计数，是对具体物体的计数。

产生数的概念之后，用来表示“数”的工具首先是一系列“形”在古代的各种各样的计数法中，都是以具体的图形来表抽象的数。

例如以及中国的算盘是一个历史最长的计数工具，也可算是数形结合的一个典型范例。

“数”产生于各种“形”的计算，“数”又借助于“形”得以记录、使用、计算。

数学最早的大发展是以几何学为特征，以欧几里得的《几何原本》为代表，可谓是总结当时数学成果的大成，但《几何原本》却并不是单纯讲几何学“形”的。

几何学的发展与实际测量有密切联系。

巴比伦几何学的主要特征是它的代数性质。

一些比较复杂的问题虽然是以几何术语来表达的，但实质上还是一些特殊的代数问题。

有许多问题涉及平行于直角三角形的一条边的横截线，它们就引出二次方程;还有一些问题引出了联立方程组，其中有一例就给出了含10个未知数的10个方程。

“形数”被看作是某些几何图形中的点的数目，它们成了几何学和算术之间的纽带。

数形结合思想的含义数与形是数学中两个最古老、最基本的元素，是数学大厦深处的两块基石，所有的数学问题都是围绕数和形的提炼、演变、发展而展开的：每一个几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，而数量关系又常常可以通过图形的直观性作出形象的描述。

因此，在解决数学问题时，常常根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，将数的问题利用形来观察，提示其几何意义；而形的问题也常借助数去思考，分析其代数含义，如此将数量关系和空间形式巧妙地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决的方法。

正恩格斯曾经说过:"数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的一门科学。

"在数学领域中包含着两大研究对象,即"数"与"形",这两大研究对象既是对立的又是统一的,它们是数学发展的内在因素。

纵观数学知识的发展长河中,数形结合始终是发展的一条主线,并且数与形相结合能够让学生在实际应用中对知识的运用更加广泛和深入。

在初中数学教学中教师要特别重视将数形结合的思想渗透到教学环节中,以此来让学生感受到数形结合的伟大力量,促进学生生成数形结合的思想,让学生在以后的数学学习中受益1.数形结合思想的涵义“数”早期是古代的计数，现在表示数量的概念；“形”早期是古代的形状，现在表示空间的概念。

家欧几里得用自己毕生精力完成《几何原本》这一千古流芳的巨著，这是体现数形转化的文字资料。

柏拉图说过，只有数学存在的实体才具备永恒的可理解性，任何科学都只有建立在几何学带来的概念和模式上，才可以解释现象表面背后的结构和关系。

教育家波利亚也曾说：“画一个图，并用符号表示”。

数形结合是把数或数量关系与图形对应起来，借助图形来研究数量关系或者利用数量关系来研究图形的性质，是一种重要的数学思想方法。

它可以使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化。

数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质等等。

浅谈数形结合思想数形结合的思想方法一、数形结合思想的含义数与形是数学中两个最古老、最基本的元素，是数学大厦深处的两块基石，所有的数学问题都是围绕数和形的提炼、演变、发展而展开的：每一个几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，而数量关系又常常可以通过图形的直观性作出形象的描述。

因此，在解决数学问题时，常常根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，将数的问题利用形来观察，提示其几何意义；而形的问题也常借助数去思考，分析其代数含义，如此将数量关系和空间形式巧妙地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决的方法，简言之，就是把数学问题中的数量关系和空间形式相结合起来加以考察的处理数学问题的方法，称之为数形结合的思想方法。

数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。

数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。

在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。

二、应用数形结合思想的途径1．转换数与形的三条途径：①通过坐标系的建立，引入数量化静为动，以动求解。

②转化，通过分析数与式的结构特点，把问题转化到另一个角度来考虑，如将转化为勾股定理或平面上两点间的距离等。

③构造，比如构造一个几何图形，构造一个函数，构造一个图表等。

数形结合主要是指数与形之间的一一对应关系，其实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，将抽象思维和形象思维结合起来，通过对图形的处理，发挥直观对抽象的支柱作用，实现抽象概念与具体形象、表象的联系和转化，化难为易，化抽象为直观。

因此，数形结合不仅仅是一种简单的关系，更是一种数学思想（方法）。

数与形是数学中最古老、最基本的两个研究对象，它们之间存在着对立统一的辩证关系，一方面各自独立存在于自己的领域，另一方面两者又完美地结合在一起，在宇宙空间释放着关于空间形式与数量关系的无穷无尽的能量。

从古到今，很多人曾经对数与形的关系做过生动的描绘：从《九章算术》里的“析理以辞，解体用图”到华罗庚“数形本是相倚依，怎能分作两边飞；数缺形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休；几何代数统一体，永远联系莫分离”的诗句；从古希腊数学家毕达哥拉斯的数阵图、毕达哥拉斯定理（勾股定理）到美国数学家斯蒂恩提出的“如果一个特定的问题可以被转化为一个图形，那么思想就整体地把握了问题，并且创造性思索问题的解法”，等等，所有这些都向我们深刻地描绘了数形之间那种美妙的契合关系。

小学阶段的数学学习中数形结合的思想具有得天独厚的优势。

第一，从小学数学教材的编写来看，有关数形的内容没有被人为割裂，而是交替呈现，螺旋上升，为渗透数形结合的思想提供了可能；第二，小学是学生系统地学习数学的初级阶段，他们头脑中关于数与形没有明显的分隔符，是建构数形结合思想的极佳时期，为今后的数学学习乃至良好思维方式的形成奠定了基础；第三，小学生的身心特点决定了他们的学习特点，在以形象思维为主渐渐向抽象思维的过渡中，数形的结合正是顺利完成这个过渡的最好的媒介，借助形的形象来理解数的抽象，利用数的抽象来提升形的内在逻辑，这也正是数学学习的本质。

在课堂教学中，教师运用数形结合思想的领域常见于数概念、数的计算及数量（关系）的问题解决中。

通常情况下以代数为出发点，通过各种形式揭示隐含在它内部的几何背景，启发学生的思维，找到解题的途径。