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第四章 线性系统的频域分析

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四、线性系统的频域分析法

四、线性系统的频域分析法

其中： A()Ac (j) 幅频特性
A
() (j) 相频特性
RC网络频率特性的物理意义：
1 A()
0.707
频带宽度
b

01 2 3 4 5
TTTT T
() 0
相角迟后
90

01 2 3 4 5
TTTT T
对稳定的线性系统，其频率特性如下：
设： (s)C R ((s s))b a 0 0 ssm n b a 1 1 s sm n 1 1 .... a .b .m n 1 1 s s a b n m
微分环节： s 惯性环节： 1/(Ts1) 一阶微分环节： Ts1
振荡环节： 1 /s (2/ n 2 2s/ n 1 )0 , 1
二阶微分环节： s2/n22 s/n 1 ,01
例如：G(s)s(0.5s K 1()ss( 21 )2s5) 由上述的5个环节组成。
A()1/ ()900
db 60 40 20 0 900
[20]
0.1
1
j
0

幅相曲线
对数频率特性曲线
L()2l0g A()
20lg () 900

10
3）微分环节： s 由 G(s)s
A() ()900
db 60 40 20 0 90 0 00
uc
ur
ur Asi nt c u c
设初值为0， 对上式拉氏变换，设A=1，得：
Uc(s)RC 1s1Ur(s) s1/1T/Ts2 2
RC网络
TRC
s1x/Tsy2sz2 (xy)s2( s (z1 /T y)/T s(2) s x 2 )2z/T

信号与系统 吴大正 第四章 傅立叶变换和系统的频域分析

信号与系统 吴大正 第四章 傅立叶变换和系统的频域分析

4.2 傅里叶级数
3 .f(t)为奇谐函数—f(t) = –f(t±T/2) 此时 其傅里叶级数中只含奇次谐波分量，而不含偶 次谐波分量即 a0=a2=…=b2=b4=…=0
f(t) 0 T/2 T t
4.3 周期信号(Periodic Signal)的频谱
周期信号的频谱 周期矩形脉冲的频谱 从广义上说，信号的某种特征量随信号频率变化的关 系，称为信号的频谱，所画出的图形称为信号的频谱图。 周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、相位 随频率的变化关系，即将An~ω和n~ω的关系分别画在以ω 为横轴的平面上得到的两个图，分别称为振幅频谱图和相 位频谱图。因为n≥0，所以称这种频谱为单边谱。 也可画|Fn|~ω和n~ω的关系，称为双边谱。若Fn为实 数，也可直接画Fn 。
“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”
——傅里叶的第二个主要论点
4.2 傅里叶级数
周期信号展开的无穷级数成为傅里叶级数，分“三角型傅里 叶级数”和“指数型傅里叶级数”，只有当周期信号满足狄 里赫利条件时，才能展开成傅里叶级数。 狄利赫利条件(Dirichlet condition)

t 0 T
2 T bn 2T f (t )sin(nt ) d t T 2
任意函数f(t)都可分解为奇函数和偶函数两部分， 由于f(-t) = -fod(t) + fev(t) ，所以 f (t ) f (t ) f (t ) f (t ) f e v (t ) f od (t ) 2 2
4.2 傅里叶级数
三角形式 指数形式 奇偶函数的傅里叶级数
e jx e jx 由于 cos x 2
A0 f (t ) An cos( n t n ) 2 n 1

自动控制原理课件：线性系统的频域分析

自动控制原理课件：线性系统的频域分析
曲线顺时针方向移动一周时，在 平面上的映射曲线按逆时针方向
包围坐标原点 − 周。
m
F (s)
K1 ( s z j )
j 1
n

i 1
( s pi )
24
• 02
基本概念
m
1 G ( s) H ( s) F ( s)
K1 ( s z j )
j 1
在 平面上的映射曲线 F 1 G ( j ) H ( j )将按逆时针方向
围绕坐标原点旋转 = − 周。
如果在s平面上，s沿着奈奎斯特回线顺时针方向移动一周时，
在 平面上的映射曲线围绕坐标原点按逆时针方向旋转 =
周，则系统为稳定的。
26
根据
( 1, j 0)
L( ) 20 lg K 20 lg 1 12 2 20 lg 1 22 2
( ) arctg 1 arctg 2
τ2
20dB / dec 1
2

L3 ( )
L2 ( )
40dB / dec
( )
0
L( )

90
A( ) 1, ( )
L ( ) 20 lg A( ) 0
L( )
jQ( )
L( ) 0
0
( )
1
0
1
P( )
1

0


30

60
16
5.3
系统开环频率特性图
设开环系统由n个典型环节串联组成
G(s ) G 1(s )G 2(s ) G n(s )
这意味着 的映射曲线 F 围绕原点运动的情况，相当于

第章_傅里叶变换和系统的频谱分析

第章_傅里叶变换和系统的频谱分析

2019/7/26
3
第四章 傅里叶变换和系统频域分析 4.1 信号分解为正交函数
信号的分量和信号的分解
正交信号空间
设n个函数 1(t),2(t), n (t) 构成一函数集，如在区间 (t1, t2 )
内满足下列特性：
t2 t1
i
(t)
j
(t)dt

0
t2 t1
i2
(t
)dt

Ki
(i j)
——常数
则称此函数集为正交函数集，这n
个
i
(t
)
构成一个n维
正交信号空间。
任意一个代表信号的函数 f(t)，在区间
(t ,t ) 内可以用 12
组成信号空间的这n个正交函数的线性组合来近似。
n
f (t) c (t) ii
i 1
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4
第四章 傅里叶变换和系统频域分析 4.1 信号分解为正交函数
1822年法国数学家傅里叶（1768－1830）在研究 热传导理论时发表了“热的分析理论”著作，提出 并证明了将周期函数展开为三角函数的无穷级数的 原理。
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9
第四章 傅里叶变换和系统频域分析 4.2 傅里叶级数
1829年， Dirichlet给出了补充，只有当周期信号 f (t) 满足Dirichlet条件时，才能展开为傅立叶级数。 (电子技术中的周期信号大都满足条件。)
t0
cos
mt

cos
nt
d
t

T

2
,
mn0
T , m n 0
Sin 0=0 不包含在 三角函数

频域分析方法

频域分析方法

解为许多个周期性信号之和，然后分别求解，
最后求和（积分）。 在某频率点 ω ，实际（复）振幅是一个无穷
小量：
E&(ω) = lim 1 E( jω) = lim Ω E( jω) = E( jω) dω
T→∞ T
Ω→0 2π
2π
所以其响应为：
∴R& (ω) = H( jω)E&(ω) = H( jω)E( jω) dω 2π
4、系统的频率特性
H ( jω) 在特定 ω 点上的取值实际上表示了系统
对该频率点上的信号的幅度和相位的影响。由
H ( jω ) 可以引出系统的频域特性：
1） 频域特性定义：系统的频率特性是指系统对各 个频率的复正弦信号的影响：包括对复正弦信 号幅度和相位的影响。
2）频率特性曲线 系统的传输特性也可以用图形的方法表示。
如果要在理论上更加严格的话，还可以进一步证
明只有 R( jω ) ⋅ e jωt 可能是系统对 E( jω ) ⋅ e jωt 信
号的响应。
令系统的传输函数为：
H ( jω) = bm ( jω )m + bm−1( jω )m−1 + ... + b1( jω ) + b0
( jω )n + an−1( jω )n + ... + a1( jω ) + a0 它实际上可以将时域中的转移算子 H ( p) 中的算 子 p 用 jω 替代后得到。这里的 H 完全是一个代
E(
jω )
= H ( jω)E( jω)
非周期信号通过线性系统的 rzs 求解公式还 有第三种推导方法： 根据卷积积分公式，有：
r(t) = e(t) ⊗ h(t)

线性系统的频域分析法

线性系统的频域分析法

5.1 频率特性

lg
1 0
2
0.301
3
0.477
4
0.602
5
0.699
6
0.778
7
0.845
8
0.903
9
0.954
10
1
※※
( )
40
20 0dB -20 -40
2、对数频率特性曲线 [ 伯德（Bode）图 ]
L ( ) 20 lg A( ) 20 lg G ( j ) ( dB )
L ( ) 20 lg (T ) 1 20 lg T
2
当 T 即 T 1 时
L(ω)dB 40 20 0dB -20 - 40
1
T
1 T
当

1 T
时 时
20 lg T 0
20 lg T 20
dB
dB
10 T
频 率 特 性 ： G ( j ) 1 j T 1
( ) tg T
1
A ( )
1 T 1
2 2
ω 1/10T φ (ω )(度) -5.7 L(ω )（dB）
从到值 取 代入计算,得
对数幅频特性曲线 Bode图如右
1/5T -11.3
1/2T -26.6
2.频域法的基本思想：利用系统的开环频率特 性来分析闭环响应。对系统进行定性分析和定量 计算。
3.频率特性的性质 考察一个系统的好坏，通常用阶跃输入下系统的阶跃响应 来分析系统的动态性能和稳态性能。
有时也用正弦波输入时系统的响应来分析，但这种响应并 不是单看某一个频率正弦波输入时的瞬态响应，而是考察频率 由低到高无数个正弦波输入下所对应的每个输出的稳态响应。 因此，这种响应也叫频率响应。

机电控制工程基础 第 4 章 线性系统的频域分析法

比较式( 4－5 )和式( 4－6 )可知, A ( ω )和 φ ( ω )分别是 G ( j ω )的幅值 G ( j ω ) 和相角∠ G ( j ω )。这一结论非常重 要,反映了 A ( ω )和 φ ( ω )与控制系统数学模型的本质关系, 在线性定常系统中具有普遍性。
第 4 章 线性系统的频域分析法
第 4 章 线性系统的频域分析法
4. 2 频率特性的图示法
工程中常用的频率特性的图示法有以下三种。 1. 频率特性曲线 频率特性 曲 线 包 括 幅 频 特 性 曲 线 和 相 频 特 性 曲 线。幅 频 特 性 是 频 率 特 性 幅 值︱ G (j ω )︱ 随 ω 的变 化规律;相频特性描述的是频率特性相角 ∠ G ( j ω )随 ω 的 变化规律,如图 4－4 ( a )所示。
时域分析法具有直观、准确的优点,但实际系统往往都 是高阶的,求解高阶系统的微分方程以及按时域指标进行设 计并非易事。频域分析法能比较方便地由频率特性来确定系 统性能。当系统的传递函数难以确定时,可以通过实验法确 定频率特性。
第 4 章 线性系统的频域分析法
4. 1 频 率 特 性
4. 1. 1 频率特性的基本概念与定义 1. 频率特性的基本概念 首先以图 4－1 所示的 RC 滤波网络为例,建立频率特性
(3 )有关传递函数的概念和运算法则对频率特性同样适 用。
(4 )频率特性虽然是用系统稳态响应定义的,但可以用来 分析系统全过程的响应特性,这一点可以通过傅里叶变换加 以证明。
第 4 章 线性系统的频域分析法
图 4－3 频率特性、传递函数与微分方程之间的关系
第 4 章 线性系统的频域分析法
(5 )频率特性具有明显的物理意义。 传递函数表示的是系统或环节传递任意信号的性能,而 频率特性则表示系统或环节传递正弦信号的能力,并且有 3 个要素,即同频率、变幅值、相位移。因此,对于稳定的系 统,可以通过实验的方法求出其输出量的各个物理参数。即 在系统的输入端施加不同频率的正弦信号,然后测量系统的 输出稳态响应,再根据幅值比和相位差作出系统的频率特性 曲线。对于不稳定系统,输出响应稳态分量中含有由系统传 递函数的不稳定极点产生的呈发散或振荡的分量,所以不稳 定系统的频率特性不能通过实验方法确定。

第四章 频域分析(第一节)


频率每变化一倍，称作一倍频程，记作oct， 坐标间距为0.301长度单位。频率每变化10倍，称 作10频程，记作dec，坐标间距为一个长度单位。 横坐标按频率ω的对数分度的优点在于：便于在较 宽的频率范围内研究系统的频率特性。 对数幅频图中的纵坐标采用均匀分度，坐标值 取 G ( jw ) 幅值的20倍对数，坐标值为
1
2
Aw
2
上式取拉氏变换并整理得
e
- t /T
Ts + 1 s + w
+
A 1+ T w
2 2
s in ( w t - a rc ta n T w )
x0 (t ) =
AT w 1+ T w
2 2
e
- t /T
+
A 1+ T w
2 2
s in ( w t - a rc ta n T w )
上式即为由正弦输入引起的响应。其中，右边 第一项是瞬态分量，第二项是稳态分量。 当时间 t→∞，瞬态分量趋近于零，则系统的稳态响应为
(4-1)
相频特性(): 稳态输出信号的相角与输入信号相 角之差: 频率特性G(j) : G(j)的幅值和相位均随输入 正弦信号角频率的变化而变化。 在系统闭环传递函数G(s)中，令s= j，即可得 到系统的频率特性。
例如图4-3所示，简单的RC电路。
RC电路的传递函数为
G (s) = 1 Ts + 1
由此可见，比例环 节的对数幅频图为幅 值等于20LgK(dB)的一 条水平直线。对数相 频图的相角为零，与 频率无关。
L( ) / dB
20 lg K
0 0.1 90 0 -90
( ) /()

第四章系统的频率特性分析

第四章系统的频率特性分析第四章系统的频率特性分析时间响应分析：主要用于分析线性系统的过渡过程，以时间t为独立变量，通过阶跃或脉冲输入作用下系统的瞬态时间响应来研究系统的性能；依据的数学模型为G(s)频率特性分析：以频率ω为独立变量，通过分析不同的谐波输入时系统的稳态响应来研究系统的性能；依据的数学模型为G(jω)频域分析的基本思想：把系统输入看成由许多不同频率的正弦信号组成，输出就是系统对不同频率信号响应的总和。

4.1频率特性概述1.频率响应与频率特性（1）频率响应：线性定常系统对谐波输入的稳态响应。

（frequencyresponse）对稳定的线性定常系统输入一谐波信号xi(t)=Xisin?t稳态输出（频率响应）:xo(t)=Xo(?)sin[ωt+?(ω)]【例】设系统的传递函数为输入谐波信号xi(t)=Xisin?t 则稳态输出（频率响应）与输入信号的幅值成正比与输入同频率，相位不同进行laplace逆变换，整理得同频率?幅值比A(?)相位差?(?)ω的非线性函数(揭示了系统的频率响应特性)输入:xi(t)=Xisinωt稳态输出（频率响应）:xo(t)=XiA(?)sin[ωt+?(ω)]幅频特性：稳态输出与输入谐波的幅值比相频特性：稳态输出与输入谐波的相位差?(?)[s]A(?)?(?)（2）频率特性：对系统频率响应特性的描述(frequencycharacteristic)频率特性定义为ω的复变函数，幅值为A(?)，相位为?(?)。

输入谐波函数xi(t)=Xisin?t，其拉式变换为2.频率特性与传递函数的关系设系统的微分方程为:则系统的传递函数为:则由数学推导可得出系统的稳态响应为根据频率特性定义，幅频特性和相频特性分别为故G(j?)=?G(j?)?ej?G(j?)就是系统的频率特性如例1，系统的传递函数为所以3.频率特性的求法(1)频率响应→频率特性稳态输出（频率响应）故系统的频率特性为或表示为(2)传递函数→频率特性将传递函数G(s)中的s换成jω，得到频率特性G(jω)。

实验四 线性系统的频域分析

实验四线性系统的频域分析
线性系统的频域分析是一种利用线性系统的响应特性来提高系统性能的有效手段，它
在系统设计中起着重要的作用。

其主要思想是将系统的响应特性根据其与频率之间的关系
进行分割，从而更好地理解该响应的物理规律。

本文的目的是介绍线性系统的频域分析方法。

线性系统的频域分析分为时域分析和频域分析两种技术。

时域分析是检测一个系统在
其他变量没有变化时，系统输出信号形状及其随时间变化趋势的一种分析方法。

时域分析中，将系统的输入和输出逐样本放入示波器进行分析及测试。

频域分析是通过将系统的输
入和输出信号进行频谱分析，将它们映射到频率轴上进行分析的一种方法。

在频域分析中，我们可以通过频谱分析仪、傅里叶变换、系统增益、阶跃响应等技术来检测系统响应的特性，得出系统的频率响应函数，从而研究系统是否属于线性系统。

线性系统的频域分析一般步骤如下：
1、定义时域函数并将其傅里叶变换，从而得到其频域函数；
2、计算系统的增益及其全频响应曲线，以便了解频率和增益之间的关系；
3、根据阶跃响应的拟合结果，利用积分和微分的技巧，确定系统的阶跃函数；
4、选择优化算法，进行系统参数优化调整，使系统达到所需要的设计目标。

以上就是线性系统的频域分析方法介绍，从分析输入输出信号，到频域拟合分析，再
到进行参数优化调整，这一系列的步骤可以帮助我们更好的理解系统的物理机理，实现系
统的最佳设计性能。

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1 T
四．极坐标图举例
K 例 G(s) s(Ts 1) 试绘制其Nyquist 图。 1. 解: K G(j ) j (1 jT ) K | G(j ) |
G(j ) -90 arctgT 0 | G(j ) | G(j ) -90 | G(j ) | 0 G(j ) -180 KT G(j ) 1-T 2 2 - j (1K 2 2 ) T -(kT,j0) KT U( ) Re[G(j )] - 1 T 2 2 k V( ) Im[G(j )] (1-T 2 2 )
Im
V( ) T


0
Re
6.振荡环节 G(S)
n
2 2 2
S 2 n S n
0 1
1 1 ( n ) j 2
2
G(j )
n
2
2
n j 2 n
2 n

n
n n
1
2
1 j 2
2j 1 jT

A
2
1 1 T e
2 jarctgT
s j
2j 1 jT
a
1
Ts 1 s
2
a T t
T

a
2
(Ts 1) s 1
T
AT
2
2 2
1 T
U 0 (t) e d1e d 2e jt jt lim U 0 (t ) d1e d 2e
S -j

G(-j )X 2j 2j
X s
2 2
G(j )X
S j
G(j ) | G(j ) | e
G(j )
- G(-j )
G(-j ) | G(-j ) | e | G(j ) || G(-j ) |
-j
y ss (t) -
(1- ) 4
2
2
G(j ) -arctg 1-2
2
7.二阶微分环节 G(S) T S 2TS 1
2 2 2 2
T
1
n
2
G(j ) -T j 2T 1 (1 ) j 2 | G(j ) | (1 - ) 4 2 G(j ) arctg 2 1- 0 0 | G(j ) | 1 1 n | G(j ) | 2 | G(j ) |
2 2 2
- KT 2 2 1T
) V (
2 2
K 2 2 1 T
-
K 2
(K) 2
2
当0 时为下半圆 G(j )与V( )恒为负 5. 一阶微分环节 G(S) TS 1 U( ) 1 G(j ) 1 jT V( ) 0
0
4.惯性环节 G(S)
K TS 1 K 1 T
2 2
Im
G(j )
K jT 1

K ( 1 jT ) 1T
2 2
Re 0

| G(j ) |
G(j ) -arctgT G(j ) 0
2 2
0 | G(j ) | K
1 T

1 T
| G(j ) |
K 0.707 K
G(j ) 45



| G(j ) | 0
G(j ) 90
U( ) Re[(j )] (U K 2
K 2 2 1 T
V( ) Im[G(j )] )
2 K T 2 2 2 ( 1T )
| G(j ) | e X 2j e
e
jt

| G(j ) | e X 2j
j
e
jt
j (t )
2j y ss (t) Ysin( t )
| G(j ) | X
e
j (t )
说明: 1.在稳态求出的输出信号 与输入信号的幅值比是 的非 线性函数, 称为幅频特性 Y/X | G(j ) | 2.输出信号与输入信号的 相位差是的非线性函数 称 , 为相频特性它描述在稳态情况下 . ,当系统输入不同频率 的谐波信号时 其相位产生超前 0 )或滞后( 0 )的 , ( 特性. 3.幅频特性和相频特性总 称为频率特性 记为 , G(j ) G(j ) e 4.频率特性的求取
Re
| G(j ) |

1
G(
3.微分环节 G(s) s
| G(j ) | | G(j ) | 0
G(j ) -90
G(j ) 90

G(j ) j

| G(j ) | G(j ) 90
2
U( ) V( )
(1 ) ( 2 ) 2 1
2 2 2 2 2
2
n
3
(1 ) ( 2 ) 2 (1 ) ( 2 ) 1
2 2 2
1 2 3
2
| G(j ) |
0 0 | G(j ) | 1 G(j ) 0 1 n | G(j ) | 1 2 G(j ) 90 | G(j ) | 0 G(j ) 180 的取值不同 极坐标图型的形状不同 ,
1 1 T
2 2
e
- jarctg T

1 1 jT
e
j 1 (1 jT )

1 1 j T
它描述了网络在正弦输 入作用下 稳态输出时电压幅值 , 和相角随正弦输入电压 频率变化的规律 称为网络的频 , 率特性. 3.
1 1 j T

1 TS 1 S j
b.一般系统 G(s) G(s) Y(s) Y ( s) X ( s) B( s ) A( s ) B( s ) ( s s1 )( s s2 ) ( s sn ) B( s ) ( s s1 )( s s2 ) ( s sn ) X(s) B( s ) d1 s j
2 2
则 | G(j ) |
Im

Re
0
1
三.典型环节的极坐标图及 频率响应 1.比例环节 Gs K | G(j ) | K G(j ) 0 2.积分环节 G(s)
1 s
Im
G(j ) K
K
Im
G(j )
1 j
第四章 线性系统的频域分析 §1 频率响应及其描述
一．频率特性 1.频率特性的基本概念 a.RC网络
右图所示的RC 网络的微分方程为 T
dU0 dt
R UI C U0
U0 Ui T RC 则 A
2 2 U 0 (S) U i (S)
式中

1 TS 1
设 U i Asin t U 0 (S) d1 d2 1 1 1
- j t
X ( s)
X(t) xsint Y(S)
x s
2 2
x c1 s s1
s1 t
( s s1 )( s s2 ) ( s sn ) (s j )(s - j ) d2 s j
j t


sn t
cn s sn
y(t) d1e
t
jt
jt

A 1 T
2 2
sin( t arctgT ) e
j
这里应用欧拉公式 sin
e 2j
j
说明: 1. 网络的稳态输出仍是正 弦电压, 其频率与输入电压相同 , 幅值是输入电压的1
1T
2 2
(幅频特性), 相角比输入电压
滞后 - arctgT ( 相频特性). 2.

1 T 2 2
Im
0 Re

0
lim U( ) kT
0
lim V( ) 0

例2. 解:
G(S)
K S (1 T1S)(1 T2S)
2

G(j )
K
2

(j ) (1 jT1 )(1 jT2 ) K | G(j ) | 2 2 2 1 T1 2 1 T2 2 G(j ) -180 arctgT1 arctgT2 0 | G(j ) | G(j ) -180 | G(j ) | 0 G(j ) -360 G(j ) Re[G(j )] Im[G(j )] 1 令 Re[G(j )] 0 得 T1T2 3 K(T1T2 ) 2 这时 Im[G(j )] T1 T2 由此得出Nyquist 图与虚轴的交点
jG(j )
G(j ) G(s) s j
结论 : 频率特性和传递函数以 及微分方程一样 也 , 表征了系统的运动规律这就是频率响应能 , 够从频率特性出发研究 系统的理论依据。
微分方程
s p
传递函数
s j
系统
j p
频率特性
§2 典型环节的频率响应
一.控制系统中常见的典型 环节 m m -1 K(b m s b m -1s b1s 1) G(s) n n -1 a n s a n -1s a 1s 1 1 1 ( n v h ) ( m l ) h l 2 2 1 1 1 2 2 K v ( j s 1) ( i S 2 i i S 1) 2 j 1 s i 1 Ti s 1 i 1 Ti s 2 2 i Ti s 1 j 1 二.极坐标图 G(j ) Re[G(j )] Im[G(j )] U( ) jV( ) 当 1时 , G(j 1 )可以用一矢量及其端点 坐标来表示 G(j 1 ) U(j 1 ) jV( 1 ) U( 1 ) V ( 1 ) V( 1 ) G(j ) arctg U ( 1 ) 极坐标图: 当从 0 时 , G(j )端点的轨迹 即为频率特性的极坐标 , 或称Nyquist 图, 它不仅 图 表示了实频特性和虚频 特性, 而且也表示幅频特 性和相频特性 .