501
第五章 线性系统的频域分析法
5-1 设闭环系统稳定，闭环传递函数为)(s Φ，试根据频率特性的定义证明：系统输入信号为余弦函数)cos()(φω+=t A t r 时，系统的稳态输出为
)](cos[|)(|)(ωφωωj t j A t c ss Φ∠++Φ=。
证明：根据三角定理，输入信号可表示为 )90sin()( ++=φωt A t r ，
根据频率特性的定义，有 ]90)(sin[|)(|)( +Φ∠++Φ=ωφωωj t j A t c ss ， 根据三角定理，得证： )](cos[|)(|)(ωφωωj t j A t c ss Φ∠++Φ=。
5-2 若系统的单位阶跃响应
t t e e t c 948.08.11)(--+-=，
试确定系统的频率特性。 解：s s s s C 1
361336)(2++=
，36
1336)(2++=s s s G ，)9)(4(36)(ωωωj j j G ++=；
2
/122/12)
81()16(36
|)(|ωωω++=j G ，9arctan 4arctan )(ωωω--=∠j G 。 或：)(2.7)()(94t t e e t c
t g ---== ；36
1336
)]([)(2
++==s s t g L s G ； 5-3 设系统如下图所示，试确定输入信号
)452cos()30sin()(
--+=t t t r
作用下，系统的稳态误差)(t e ss 。
解：2
1)(++=Φs s s e ； )452sin()30sin()(
+-+=t t t r
6325.0|)(|=Φj e ， 4.186.2645)(=-=Φ∠j ；
7906.0|)2(|=Φj e ， 4.18454.63)2(=-=Φ∠j ； 答案：)4.632sin(7906.0)4.48sin(6325.0)( +-+=t t t e ss 。
5-4 典型二阶系统的开环传递函数
)
2()(2
n n
s s s G ωζω+=
， 当取t t r sin 2)(=时，系统的稳态输出为
)45sin(2)( -=t t c ss ，
试确定系统参数n ω和ζ。
解：2
222)(n
n n
s s s ωζωω++=Φ； 1]
4)1[(2
2222=+-n n n
ωζωω，
451
2arctan
2
-=--n n ωζω； 122
-=n n ωζω，
答案：414.12==n ω，3536.04/2==ζ。
502
5-5 已知系统开环传递函数
)
1()
1()(2
++=
Ts s s K s G τ，0,,>T K τ， 试分析并绘制T >τ和τ>T 情况下的概略幅相曲线。 解：
其中
2/12231)(2-+=ττT K A ；T K A ττ=2；2/1223)(τ+=T KT A ；
)/arctan(451τφT -= ；]))((5.0arctan[2/1--=T T m ττφ；
参考：ωτω
ωωωτωωωτωωτωωω)
()1()()1()1()1()1()(2
022222222-+-+-++--=+-+=⇒→T K j K T T K j T T K jT j K j G 。 5-6 已知系统开环传递函数
)
2)(1(1
)(++=
s s s s G v
， 试分别绘制4,3,2,1=v 时的概略开环幅相曲线。
解：∞=|)0(|j G ， 90)0(⨯-=∠v j G ；0|)(|=∞j G ， 90)2()(⨯+-=∞∠v j G ；
2/122/12)4()1(|)(|---++=ωωωωv j G 和ωωω5.0arctan arctan 90)(--⨯-=∠ v j G 都是递减函数。所有幅相曲线的终止相角均小于起始相角180o ，以 90)2(⨯+-
v 趋于原点。
当1=v 时，有22
=x ω，204.0|)(|=x j G ω，与负实轴有交点)0,204.0(j -。
5-7
已知系统开环传递函数
)
1()
1(
)(12
++-=
s T s s T K
s G ，0,,21>T T K ，
当取1=ω时， 180)(-=∠ωj G ，5.0|)(|=ωj G 。当输入为单位速度信号时，系统的稳态误差为 0.1。试写出)(ωj G 的表达式。
解：据题义有下列结果，
503
10=K ； 180arctan 90arctan 12-=---T T ；2/1212/122)1(5.0)1(10T T +=+；
90)]1/()arctan[(2121=-+T T T T ，121=T T ；201=T ，05.02=T 。
所求的表达式为 )
201()
05.01(10)(ωωωωj j j j G +-=
。 5-8 已知系统开环传递函数
)
15.0)(12(10
)(2
+++=
s s s s s G ， 试分别计算5.0=ω和2=ω时，开环频率特性的幅值|)(|ωj G 和相位)(ωj G ∠。 解：5.0=ω，
89.17791
.0414.15.010
|)(|=⨯⨯=ωj G ， 4.1534.184590)(-=---=∠ωj G ；
2=ω，
383.0162
.3123.4210
|)(|=⨯⨯=
ωj G ， 6.3274.181800.7690)(-=+---=∠ωj G 。
5-9 已知系统开环传递函数
)
125.0)(1(10
)(2
++=
s s s s G ， 试绘制系统的概略开环幅相曲线。 解：{参考：
5
.22)
(2
+⇒→ωωj j G }
5-10 已知系统开环传递函数
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++=
131911211
)(2s s s s s s G ，
选择频率点，列表计算对应的幅值与相位，绘制对数幅频特性曲线和相频特性曲线。 解：(过于烦琐，绘制渐近幅频特性)
