求重叠部分的面积

重叠法的经典例题一、例题在一个长方形中，长为8厘米，宽为6厘米，有两个半径为1厘米的圆重叠放在长方形内（圆与长方形的边相切），求阴影部分（两个圆重叠部分以外的区域）的面积。

二、题目解析1. 首先计算长方形的面积- 根据长方形面积公式S = a× b（其中a为长，b为宽），已知长方形长a = 8厘米，宽b = 6厘米，所以长方形面积S_长方形=8×6 = 48平方厘米。

2. 然后计算两个圆的面积- 根据圆的面积公式S=π r^2（其中r为半径），已知圆半径r = 1厘米，一个圆的面积S_圆=π×1^2=π平方厘米。

- 那么两个圆的面积S_两个圆=2π平方厘米，取π = 3.14，则S_两个圆=2×3.14 = 6.28平方厘米。

3. 接着计算两个圆重叠部分的面积- 两个半径为1厘米的圆重叠部分是一个类似橄榄形的图形。

我们可以先算出两个扇形（圆心角为90^∘，因为圆与长方形边相切）的面积之和，再减去中间正方形的面积。

- 一个扇形的面积是圆面积的(1)/(4)，所以一个扇形面积S_扇形=(1)/(4)×π×1^2=(π)/(4)平方厘米。

- 两个扇形面积S_两个扇形=(π)/(2)平方厘米，取π = 3.14，则S_两个扇形=1.57平方厘米。

- 中间正方形的面积S_正方形=1×1 = 1平方厘米。

- 所以两圆重叠部分面积S_重叠=1.57 - 1=0.57平方厘米。

4. 最后计算阴影部分面积- 阴影部分面积S_阴影=S_长方形-S_两个圆+S_重叠- 把S_长方形=48平方厘米，S_两个圆=6.28平方厘米，S_重叠=0.57平方厘米代入可得：- S_阴影=48 - 6.28+0.57 = 42.29平方厘米。

有关重叠部分计算问题2月11日数学作业作业说明：培优同学全做，其他同学做1-5题，请做在练习本上或摘记本上（不用抄题目），有条件的也可打印好再做！开学检查，谢谢你的配合！姓名班级1.两个长方形有一部分重叠，重叠面积相当于大长方形面积的1/6，相当于小长方形面积的1/4，未被重叠的面积为228平方厘米，求重叠部分面积。

2..如图，（1）已知∠AOB＝150°，∠AOC＝∠BOD＝89°，求∠COD的度数。

（2）已知∠AOB＝x°，∠AOC＝∠BOD＝y°，求∠COD的度数3.如图，已知O是直线AB上的点，OD是∠AOC的平分线，OE是∠COB的平分线，求∠DOE的度数。

4.如图，点0为直线AB上的一点，OD是∠AOC的平分线, OE是∠COB的平分线，∠BOD：∠AOE=8：7。

求∠AOD的度数。

5.三个正方形叠放在一起，如图所示。

求：∠1的度数。

6.小明和小慧两位同学在数学活动课中，把长为30cm，宽为10cm的长方形白纸条粘合起来，小明按如图甲所示的方法粘合起来得到长方形ABCD，粘合部分的长度为6cm，小慧按如图乙所示的方法粘合起来得到长方形A1B1C1D1，黏合部分的长度为4cm．若长为30cm，宽为10cm的长方形白纸条共有100张，则小明应分配到张长方形白纸条，才能使小明和小慧按各自要求黏合起来的长方形面积相等（要求100张长方形白纸条全部用完）．7．已知点O是直线AB上一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．（1）如图1，若∠AOC=40°，求∠DOE的度数；（2）在图1中，若∠AOC=α，请直接写出∠DOE的度数（用含α的代数式表示）；（3）将图1中的∠COD按顺时针方向旋转至图2所示的位置，探究∠AOC与∠DOE的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．有关重叠部分计算问题2月11日数学作业答案1. 解:设重叠部分面积为x,则大长方形面积6x,小长方形面积4x,则:大长方形和小长方形没有被重叠部分的面积分别为5x和3x,所以5x+3x=228解得:x=28.5(平方厘米) 答：重叠部分面积为28.5平方厘米2. （1）28°（2）(2y-x)°3.解：根据题意可知,∠COD=1/2∠AOC，∠COE=1/2∠BOC∴∠COD＋∠COE=1/2(∠AOC+∠BOC),∵AOC+∠BOC=180°,∴∠COD＋∠COE=1/2(∠AOC+∠BOC)=90°,∴∠DOE=90°4. 略解：设∠AOD=x°,则∠BOD=(180-x) °,∠AOE= (90+x)°依题意有, (180-x)/(90+x)=8:7, 解得x=36°5. 解：∠1+∠2=90°-45°=45°,∠1+∠3=90°-30°=60°∠1=45°+60°-90°=15°, 答：∠1的度数是15°．点评：根据各角之间的数量关系和正方形的每个内角都是90°求解即可．6. 解：设小明应分配到x张长方形白纸条，则小慧应分配到（100-x）张长方形白纸条，依题意有,10[30x-6（x-1）]=30[10（100-x）-4（100-x-1）]，解得x=43．答：小明应分配到43张长方形白纸条，才能使小明和小慧按各自要求黏合起来的长方形面积相等．7.解：（1）∵∠AOC+∠BOC=180°，,∴∠BOC=180°-∠AOC=180°-40°=140°，∵OE平分∠BOC，,∴∠COE=1/2∠BOC=1/2×140°=70°，∵∠COD是直角，∴∠COE+∠DOE=90°，∴∠DOE=90°-∠COE=90°-70°=20°．（2）若∠AOC=α，则∠DOE=1/2∠AOC=1/2α（3）结论是：∠DOE=1/2∠AOC．理由是：∵∠AOC+∠BOC=180°，∴∠BOC=180°-∠AOC，∵OE平分∠BOC，∴∠COE=1/2∠BOC，∵∠COD是直角，∴∠COE+∠DOE=90°，∴∠DOE=90°-∠COE=90°-1/2∠BOC=90°-1/2（180°-∠AOC）=1/2∠AOC．点评本题考查了角平分线的定义，是基础题，难度不大，掌握各角之间的关系是解题的关键．。

重叠面积计算公式在几何学中，重叠面积是指两个或多个形状在空间中重叠部分的面积。

计算重叠面积的公式可以根据具体的形状和情况而有所不同，下面我们将介绍一些常见形状的重叠面积计算公式。

1. 矩形重叠面积计算公式。

当两个矩形重叠时，可以使用以下公式计算它们的重叠面积：重叠面积 = (min(右上角的x坐标) max(左下角的x坐标)) (min(右上角的y坐标) max(左下角的y坐标))。

其中，min和max分别表示取最小值和最大值的函数。

这个公式的原理是通过比较两个矩形的四个边界的位置，找到它们的重叠部分的边界，并计算出重叠面积。

2. 圆形重叠面积计算公式。

当两个圆形重叠时，可以使用以下公式计算它们的重叠面积：重叠面积 = r^2 arccos((d^2 + r^2 R^2) / (2 d r)) + R^2 arccos((d^2 + R^2 r^2) / (2 d R)) 0.5 sqrt((-d + r + R) (d + r R) (d r + R) (d + r + R))。

其中，r和R分别表示两个圆形的半径，d表示两个圆心之间的距离。

这个公式的原理是将重叠部分分成两个扇形和一个三角形，然后分别计算它们的面积并相加。

3. 不规则形状重叠面积计算公式。

对于不规则形状的重叠面积计算，可以使用数值积分或数值逼近的方法来求解。

其中，数值积分是通过将不规则形状分成许多小的子形状，然后对每个子形状的面积进行求和来逼近重叠面积；数值逼近则是通过在不规则形状上放置网格，并计算网格上的点是否在重叠部分内来逼近重叠面积。

以上是一些常见形状的重叠面积计算公式，当然在实际应用中可能还会有其他形状的重叠面积需要计算，这时可以根据具体情况选择合适的方法来求解。

重叠面积的计算在工程、地理信息系统、计算机图形学等领域都有着重要的应用，因此掌握这些计算公式是非常有价值的。

重叠问题练习题重叠问题练习题重叠问题是数学中一个有趣且具有挑战性的题目类型。

它要求我们在给定的条件下，找到一种最优的解决方案，以最大化或最小化重叠的部分。

这类问题常常涉及到几何形状、图论和优化等领域，对于培养逻辑思维和解决实际问题非常有帮助。

在本文中，我们将介绍一些重叠问题的练习题，帮助读者更好地理解和应用相关概念。

题目一：最大重叠面积给定一个平面上的矩形列表，每个矩形由左下角和右上角的坐标表示。

请计算这些矩形的最大重叠面积。

解题思路：首先，我们可以将问题转化为一个图论的问题。

将每个矩形看作一个节点，如果两个矩形有重叠部分，则在它们之间添加一条边。

接下来，我们可以使用深度优先搜索或广度优先搜索算法来遍历图，并计算每个连通分量的面积。

最后，取所有连通分量中面积的最大值即为所求。

题目二：最小重叠次数给定一个字符串列表，每个字符串表示一个区间。

请计算这些区间的最小重叠次数。

解题思路：我们可以将每个区间表示为一个有向边，边的起点和终点分别对应区间的起始和结束位置。

接下来，我们可以使用拓扑排序算法来确定最小重叠次数。

首先，我们需要构建一个有向无环图，其中每个节点表示一个区间，每条边表示两个区间的重叠关系。

然后，我们可以从入度为零的节点开始，依次删除节点并更新其后继节点的入度。

最后，剩下的节点数即为最小重叠次数。

题目三：最大重叠路径给定一个有向无环图，每条边上有一个权值。

请计算从起点到终点的最大重叠路径。

解题思路：我们可以使用动态规划算法来解决这个问题。

首先，我们需要构建一个二维数组，其中每个元素表示从起点到当前节点的最大重叠路径。

然后，我们可以使用递推关系式来计算每个元素的值。

具体地说，对于每个节点，我们可以选择从它的前驱节点中的最大重叠路径加上当前边的权值，或者直接从前驱节点中选择最大重叠路径。

最后，最大重叠路径即为终点的最大重叠路径。

通过以上三个练习题，我们可以看到重叠问题的多样性和复杂性。

解决这类问题需要我们灵活运用数学和算法知识，并结合具体问题的特点进行分析和求解。

《重叠问题》1．（2013秋•西安期中）下面图形的面积是(2)cmA．12B．11C．10【解答】解：223112⨯⨯-⨯⨯122=-10=（平方厘米）答：图形的面积是10平方厘米．故选：C．2．爸爸把两根绳子接在一起，用来捆扎报纸，第一根绳子长1.9米，第二根绳子长1.1米，接头处共用0.3米，接好后的绳子长()米．A．3B．2.7C．3.3【解答】解：1.9 1.10.3+-30.3=-2.7=（米)答：接好后的绳子长2.7米．故选：B．3．如图，A、B两圆的重叠部分占圆A的25，占圆B的14，那么圆B面积与圆A面积之比为()A．5:8B．8:5C．2:1D．4:5【解答】解：设重叠部分的面积是1，那么：A圆的面积：25 152÷=B圆的面积：1144÷=B圆的面积：A圆的面积54:8:52==答：B圆的面积与A圆的面积之比是8:5．故选：B．4．如图，两张长度相等的长方形重叠在一起，阴影部分的面积是()A．ab B．bc C．ac D．2c【解答】解：中间阴影部分平行四边形的面积是a c ac⨯=．故选：C．5．（2019春•庆云县期末）两根分别长1.4米的木条粘接成一根板条，重叠部分长0.05米．粘成的木条长 2.75米．【解答】解：1.4 1.40.05+-2.80.05=-2.75=（米)答：粘成的木条长2.75米．故答案为：2.75．6．（2014秋•新泰市期末）下图中两个圆重叠部分的面积，相当于大圆面积的19，相当于小圆面积的13，小圆和大圆的面积比是1:3．【解答】解：设重叠部分的面积是1； 大圆的面积是：1199÷=； 小圆的面积是：1133÷=；小圆面积：大圆面积3:91:3==；答：小圆和大圆面积比是1:3．故答案为：1:3．7．（2012春•吴中区校级期末）某班有48人，会打篮球的有25人，会打排球的有18人，都不会的有12人．既会打篮球又会打排球的有 7 人．【解答】解：481236-=（人)，251843+=（人)，43367-=（人)，答：既会打篮球又会打排球的有7人，故答案为：7．8．（2011•长春模拟）一根绳长比10米短，从一头量到5米处作一个记号A ，再从另一头量到5米处作一个记号B ，这是量得AB 间的距离是绳全长的19，AB 间的距离是 1 米？ 【解答】解：11(55)(1)99+÷+⨯， 1011099=÷⨯， 9110109=⨯⨯，1=（米)；答：AB 间的距离是1米．故答案为：1．9．如图，长方形ABCD ，BC CD ⊥，BC // AD ；与三角形交叉叠一起后，如果170∠=度，那么2∠=度，3∠= 度．【解答】解：因为四边形ABCD 是长方形，两组对边平行且相等的四边形是长方形，所以//BC AD ； 因为//DC FG ，所以2170∠=∠=︒；因为BC CD ⊥，所以2490∠+∠=︒，所以4902907020∠=︒-∠=︒-=；又三角形的一个外角的度数等于不相邻的两个内角度数的和，所以34B ∠=∠+∠，所以39020110∠=︒+︒=︒．故答案为：//，70，110．10．一根竹竿长10米，分别把两头垂直插人同一水池中，并依次在竹竿上水面的位置上做上记号，若这两个记号之间相距2米，则水深可能是 4米或6米 ．【解答】解：第一种情况：(102)2-÷82=÷4=（米)第二种情况：(102)2+÷122=÷6=（米)答：水深是4米或6米．故答案为：4米或6米．11．（2012•长沙）如图，有两个边长均为2厘米的正方形，其中以一个正方形的某一个顶点绕另一个正方形的中心旋转．某一时刻这两个正方形不重合部分的面积是 6平方厘米 ．【解答】解：过O 点做AB 的垂线OD ，那么1OD =厘米；2121AOB S ∆=⨯÷=（平方厘米）；AOB ∆的面积就是两个正方形重合部分四边形AEOC 的面积，所以不重合部分的面积是：22212⨯⨯-⨯82=-6=（平方厘米）答：两个正方形不重合的部分面积的和是6平方厘米．故答案为：6平方厘米．12．（2012•中山校级模拟）如图的图形是由六个相等的圆连环组成，每相邻两个圆重叠部分的面积是526平方厘米，占每个圆面积的16，这个图形的总面积是 5876平方厘米．【解答】解：5152625666÷⨯-⨯17856666=⨯⨯-851026=-5876=（平方厘米），故答案为：5876．13．（2012•广汉市校级模拟）如图中，长方形和圆有一部分重叠，重叠部分面积是长方形的17，是圆的110，那么长方形面积是圆面积的710．【解答】解：由题意可知：长方形的面积17⨯=圆的面积110⨯，则长方形的面积：圆的面积117:10710==，所以长方形面积是圆面积的7 10，故答案为：7 10．14．请你算一算4个铁环套在一起的长度是多少？【解答】解：604(42)3⨯-÷⨯60423=⨯-⨯2406=-234()mm=答：4个铁环套在一起的长度是234mm．15．甲乙两人共有30本文艺书，乙丙两人共有50本文艺书，甲、丙两人共有40本文艺书，甲乙丙三人各有文艺书多少本？【解答】解：(305040)2++÷1202=÷60=（本)丙的本数：603030-=（本)甲的本数：605010-=（本)-=（本)乙的本数：604020答：甲有文艺书10本，乙有文艺书20本，丙有文艺书30本．16．某学校四年级有甲、乙、丙3个班，甲班和乙班共有100人，乙班和丙班共有101人，甲班和丙班共有97人．甲、乙、丙3个班各有多少人？+-÷【解答】解：乙班：(10010197)2=÷1042=（人)52-=（人)甲班：1005248-=（人)丙班：974849答：甲班有48人，乙班有52人，丙班有49人．17．3个大小相同的铁环连在一起，拉紧后如图所示，铁环的总长度是多少毫米？=毫米【解答】解：2厘米20⨯-⨯20324=-608=（毫米）52答：铁环的总长底是52毫米．18．甲、乙、丙三个数，甲、乙两个数的和是10，乙、丙两个数的和是8.4，甲、丙两个数的和是7.6．求甲、乙、丙三个数各是多少？++÷【解答】解：(108.47.6)2=÷262=13-=甲数：138.4 4.6-=乙数：137.6 5.4-=丙数：13103答：甲数是4.6，乙数是5.4，丙数是3．19．如图中，长方形的长为9厘米，宽为7厘米，正方形的边长为4厘米，它们重叠部分的面积为8平方厘米．问阴影部分面积是多少？⨯+⨯-⨯【解答】解：974482=+-631616=（平方厘米）63答：阴影部分的面积是63平方厘米．20．如图，大正方形的一个顶点A落在小正方形的中心，已知大、小正方形的边长分别是19厘米和10厘米，求重叠部分的面积．【解答】答案为：25平方厘米21．两块一样长的木板重叠在一起，成了一块木板，总长200厘米，重叠部分是20厘米，原来每块木板长多少厘米？+÷【解答】解：(20020)2=÷2202110=（厘米）答：原来每块木板长110厘米．22．小明把一根竹竿插入水中，入水部分是30厘米，然后他把竹竿倒过来，再插入水中，这时没沾水的部分是40厘米这根竹竿长多少分米？【解答】解：303040++6040=+100=（厘米），100厘米10=分米，答：这根竹竿长10分米．23．图中阴影部分占大长方形的16，占小正方形的14，小正方形的面积是大长方形面积的()()．【解答】解：11(1)(1)46÷÷÷ 46=÷23=；答：小正方形的面积是大长方形面积的23．故答案为：23．24．在如图中，点C 是AB 的中点，点E 是BD 的中点，阴影部分面积占整个图形面积的几分之几？【解答】解：由题意和图可知：把整个图形平均分成7份，阴影部分占了1份，所以占17． 25．如图中阴影部分的面积是小圆面积的512，是大圆面积的115，小圆面积与大圆面积的比是多少？【解答】解：因为大圆面积115⨯=小圆面积512⨯，所以小圆面积：大圆面积15:4:251512== 答：小圆面积与大圆面积的比是4:25．26．如图，图形是由两个有部分重叠的圆组成的，重叠部分的面积是212cm ，占大圆面积的112，占小圆面积的38，这个图形的面积是多少？【解答】解：11214412÷=（平方厘米)312328÷=（平方厘米） 1443212164+-=（平方厘米）答：这个图形的面积是164平方厘米．27．把3个大小相同的铁环连在一起（如图），拉紧后的长是多少分米？【解答】解：36324⨯-⨯1088=-100=（毫米）100毫米1=分米答：拉紧后的长是1分米．28．如图，两个长为30厘米的长方形，放在桌面上，求盖住桌面的面积．【解答】解：30123081012⨯+⨯-⨯360240120=+-480=（平方厘米）；答：盖住桌面的面积是480平方厘米．29．如图是两个重叠的正方形，中间重叠部分恰好是1平方分米．这个图形的面积是多少平方分米？【解答】解：177⨯=（平方分米）答：这个图形的面积是7平方分米．30．将图A和图B重叠后得到的新图形是哪一个？【解答】解：根据题干综合分析，图A和图B重叠后的新图形是③．31．如图，涂色部分是三角形ABC面积的14，是梯形EFGD面积的15，三角形ABC的面积是梯形EFGD面积的() ()．【解答】解：设涂色部分的面积是1，三角形ABC面积是：1144÷=梯形EFGD面积是：1155÷=4455÷=答：三角形ABC的面积是梯形EFGD面积的4 5．故答案为：4 5．。

xx学校xx学年xx学期xx 试卷姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题（每空xx 分，共xx分）试题1:如图，△ABC中，AB=BC=AC=3，O是它的内心，以O为中心，将△ABC旋转180°得到△A/B/C/，，则△ABC与△A/B/C＇重叠部分的面积为( A)(A) (B) (C) (D)试题2:如图，将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点A1、A2、…、A n分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分的面积和为（）评卷人得分A．cm2B．cm2 C．cm2 D． cm2试题3:如图，将边长为2 cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开,再把△ABC沿着AD方向平移，得到△，若两个三角形重叠部分的面积是1cm 2，则它移动的距离等于A.0.5cmB.1cmC.1.5cmD.2cm试题4:如图所示，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且夹角为，则重叠部分的面积为A. B. C.D. 1试题5:如图，将边长为1的正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转30度，至正方形，求旋转前后两个正方形重叠部分的面积？试题6:如图，将边长为1的正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转60度，至正方形，求旋转前后两个正方形重叠部分的面积？试题7:如图，正方形ABCD的面积为S，对角线相交于点O，点O是正方形的一个顶点，如果两个正方形的边长相等，那么正方形绕点O转动时，（1）求两个正方形重叠部分的面积。

（2）如果正方形的边长大于正方形ABCD的边长，则重叠部分的面积等于多少？与上述结论是否一致？（3）将正方形改为，只要满足什么条件，重叠部分的面积不变？（4）如果把正方形ABCD改为等边△ABC，O为等边△ABC的中心，以O为顶点的扇形绕点O无论怎样转动，要使它与等边△ABC的重叠部分的面积总保持不变，问扇形应满足什么条件？并且说明你的理由。

三年级下册重叠法引出面积单位的感知的例题含解答共20题1. 请画一个正方形，边长为3 个单位，请计算它的面积。

解答：正方形的面积可以通过边长的平方来计算，即 3 ×3 = 9 个单位^2。

2. 请画一个长方形，长为4 个单位，宽为2 个单位，请计算它的面积。

解答：长方形的面积可以通过长乘以宽来计算，即4 ×2 = 8 个单位^2。

3. 请画一个边长为5 个单位的正方形A，并将其重叠于另一个边长为3 个单位的正方形B 上，请计算重叠部分的面积。

解答：正方形A 的面积为5 ×5 = 25 个单位^2，正方形B 的面积为3 ×3 = 9 个单位^2。

由于重叠部分完全位于正方形B 内部，所以重叠部分的面积为正方形B 的面积，即9 个单位^2。

4. 请画一个边长为6 个单位的正方形A，并将其重叠于另一个边长为4 个单位的正方形B 上，请计算重叠部分的面积。

解答：正方形A 的面积为6 ×6 = 36 个单位^2，正方形B 的面积为4 ×4 = 16 个单位^2。

由于正方形 A 完全覆盖了正方形B，所以重叠部分的面积等于正方形 B 的面积，即16 个单位^2。

5. 请画一个长方形A，长为7 个单位，宽为3 个单位，并将其重叠于另一个长方形B，长为5 个单位，宽为2 个单位，请计算重叠部分的面积。

解答：长方形A 的面积为7 ×3 = 21 个单位^2，长方形B 的面积为5 ×2 = 10 个单位^2。

由于重叠部分完全位于长方形 B 内部，所以重叠部分的面积为长方形 B 的面积，即10 个单位^2。

6. 请画一个边长为8 个单位的正方形A，并将其重叠于一个边长为6 个单位的正方形B 上，请计算重叠部分的面积。

解答：正方形A 的面积为8 ×8 = 64 个单位^2，正方形B 的面积为6 ×6 = 36 个单位^2。

由于正方形 A 完全覆盖了正方形B，所以重叠部分的面积等于正方形 B 的面积，即36 个单位^2。